Ottimizzazione Combinatoria 2 Rilassamento Lagrangiano e Metodo Subgradiente

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1 Ottiizzazione Coinatoria ilassaento agrangiano e Metodo Sgradiente Prof. Antonio Sassano Dipartiento di Inforatica Atoatica e Gestionale Antonio erti Università di oa Sapienza A.A. 6 oa Aprile

2 ilassaento agrangiano Prolea di ottiizzazione Esepio * n A Q A z P n Per ogni n vettore di oltiplicatori non negativi è il ilassaento agrangiano di P n Q A 5 5 A 5 5 Q A P

3 oer Bond agrangiano Di. in * n A Q A z P n in n Q A A Q A A ottia per ottia per P aissiile per z A A eorea oer ond agrangiano Per ogni aiao * z

4 Dale agrangiano in * n A Q A z P n in n Q A arg n Q A Il ilassaento agrangiano si applica qando possono essere identificati dei «vincoli difficili» A > Ad esepio i vincoli di accoppiaento delle capacità del prolea «lti-coodity flo» e slac dei vincoli vengono inserite nella fnzione oiettivo coe tere di penalità coe nella Fase del Siplesso è n loer ond per ogni >.. Il igliore? a A D Q a * Prolea Dale agrangiano

5 Esepio I n prolea di P + P ൠ A + ൠ Q A = + = + = = + + A = = + c + c Solzione ottia di ci i ci i

6 Esepio II n prolea di P } { a P Q P / Q Q Solzione ottia di P z ; } { Q } { Q Solzione ottia di ; ; Es ; ; ilassaento agrangiano

7 Discretizzazione del ilassaento agrangiano P z * Q n A Q A n A n D a Q Stdiao l andaento della fnzione al variare di n p Q... A... p... p Iperpiano in..se è no scalare A A n poliedro A

8 Discretizzazione di Esepio II cont. A 4 4 = = = = 4 = Q } { a Q = / S = + + = = 4

9 Discretizzazione di Esepio II cont A 4 4 = = 4 4 / = / = = = 4 / = / = / = = = 4 = 4 / = = D a... 4

10 Andaento della fnzione lagrangiana a K K... p Per ogni = K è ottento sgli iperpiani più assi rette nel caso sia no scalare ovvero qelli per i qali =. ali piani sono detti iperpiani di spporto in. è na fnzione concava lineare a tratti

11 Forlazione P del Dale agrangiano fissato ഥ +... A p A p ഥ = a v v + ഥ A K per ogni fissato + = a v v + A K al variare di v e + = a + = = a + v v + A K

12 Forlazione P del Dale agrangiano = a + = = a v + v v + A K v a v v * v v v p... A A p * Prolea difficile di P troppi vincoli! Usiao le idee del Metodo del Siplesso Dinaico

13 Metodo del ctting plane siplesso dinaico A. isolviao n Prolea idotto «Core» B. Verifichiao l aissiilità con n Oracolo Prolea idotto «Core» isolvi per n sottoinsiee di «iperpiani» B K = p B = a v v + A B Poiché B K la solzione ottia del prolea ridotto v B B prodce n Upper Bond per la solzione ottia B B = v B = v B Se v B B è aissiile per il prolea copleto v B = B allora v B =. Infatti B B = v B = B = a v v + B A K

14 Metodo del ctting plane siplesso dinaico A. isolviao n Prolea idotto «Core» B. Verifichiao l aissiilità con n Oracolo Oracolo Se v B B è aissiile per il prolea copleto vb + B A K Ovvero se v B = B = a v v + B A K v B B Ottio v B = Se v B B NON è aissiile per il prolea copleto ovvero v B > B esiste iperpiano ഥ tale che v B > ഥ + B A ഥ = B

15 Metodo del ctting plane diagraa di flsso Scegli n sottoinsiee B K isolvi prolea ridotto di P v B = B B = a v v + B A B solzione ottia v B B Calcola oracolo B = a v v + B A K = = ഥ + B A ഥ v B B A Se v B = B Altrienti B B ഥ v B B ottia

16 Proprietà delle fnzioni concave g Def. Fnzione CONCAVA se e solo se per ogni e ogni α aiao g α + α αg + α g eorea. Una fnzione g è concava se e solo se per ogni esiste tale che s g s g Se g è differenziaile in ഥ s è nico ed è il gradiente di g in ഥ g ഥ direzione di assio increento di g in ഥ g s s = g ഥ = gഥ/... gഥ/ il grafico della fnzione giace al di sotto della tangente in ogni pnto

17 + = g g =

18 A Sgradienti sdifferenziali C In A e C g non è differenziaile infiniti vettori tali che g s s g s SUBDIFFEENZIAE di SUBGADIENE di g s s è n sgradiente di g in Il prolea vincolato MEODO DE SUBGADIENE che costrisce na seqenza t Pr oj t g in a g t t t t s a s t s t g g in t pò essere risolto con t Il novo pnto è ottento proiettando sll ortante positivo t t t + il pnto s ottento ovendosi da t nella direzione del sgradiente di assio increento in t

19 Criterio di arresto caso non vincolato eorea Se g è na fnzione concava in solzione ottia per il prolea a se e solo se g Di. g g g g g * è na g Condizione soddisfatta se esiste n iperpiano di spporto in * parallelo al sottospazio. Eristicaente anche n iperpiano di spporto ε g qasi parallelo va ene!

20 Sgradienti del Dale agrangiano EOEMA Il sdifferenziale della fnzione nel pnto ഥ soddisfa la relazione ഥ A + ഥ A = ഥ K DIM. Doiao diostrare che per ogni K tale che + ഥ A = ഥ il vettore A è n sgradiente di in ഥ. Ovvero che per ogni ഥ + A ഥ Poiché + ഥ A = ഥ aiao che ഥ + A ഥ = = + ഥ A + A ഥ = = + A = K = OSS. e coponenti positive di A rappresentano violazioni del vincolo corrispondente da parte di

21 Sgradiente applicato al Dale agrangiano I Scegli θ e Poni i rova i = εk i = ഥ + A ഥ i ഥ K i Definisci i+ = a i + θ i s Calcola θ i+ i i + i+ + Qando ci feriao? Coe scegliao θ i+? Sgradiente? s = A per n qalsiasi iperpiano + A i = = i Ovvero n iperpiano con valore i nel pnto i eorea precedente

22 Scelta di θ i e criterio di arresto. Serie Divergente σ i= θ i = li i θ i = esepio θ i = i o. Serie con target pper ond ത θ i i ത = ρi A < ρ i <. qello che si sa sepre i+ θ i+ = θi SOP se θ i+ < ε

23 Sgradiente applicato al Dale agrangiano II Scegli ε θ e Poni i Best. PASSO i rova i = εk i = ഥ + A ഥ i ഥ K Se Best < i Best i ; Best i Definisci i+ + i+ = a i + θ i A θ i+ = θi Se θ i+ < ε or A = Best solzione igliore eristica Altrienti i i +

24 Metodo del Sgradiente Esepio II cont Inizializzazione A = Best θ ε = / Passo = Calcolo = 4 = Aggiorno Best Best Possiile sgradiente A 4 = coefficiente di in 4 Scelgo n sgradiente s = Aggiorno = + θ s = + = Aggiorno θ = θ = > ε =

25 Metodo del Sgradiente Esepio II cont. 4 Passo = θ = Calcolo = 4 = 6 NON Aggiorno Best Possiili sgradienti A = coefficiente di in Scelgo n sgradiente s = Aggiorno = + θ s = = Aggiorno θ = θ = 4 > ε =

26 Metodo del Sgradiente Esepio II cont. 4 Passo = / θ = 4 Calcolo / = 4 / = Aggiorno Best Best Possiili sgradienti A 4 A = coefficienti di in 4 e Scelgo n sgradiente s = e se sceglievao? Aggiorno = + θ s = + 4 = Aggiorno θ = θ = 8 > ε =

27 Metodo del Sgradiente Esepio II cont. 4 Passo = θ = 8 Calcolo = 4 NON Aggiorno Best Possiili sgradienti A = coefficiente di in Scelgo n sgradiente s = Aggiorno = 4 = + θ s = 8 = 5 8 Aggiorno θ 4 = θ = 6 > ε =

28 Metodo del Sgradiente Esepio II cont. 4 Passo 4 4 = 5/8 θ 4 = 6 Calcolo 5/8 = 4 5/8 Possiili sgradienti 4 A = Coefficiente di in Scelgo n sgradiente s = Aggiorno = 5 = 4 + θ 4 s = 5 8 = 5 8 = 4 Aggiorno θ θ 5 = θ 4 = = SOP anche 4 Best solzione eristica