Esercitazione di Teoria dell Informazione e Trasmissione

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1 Eserctazoe d Teora dell Iformazoe e Trasmssoe Eserctazo.3 del 15/4/211 (Alessadro Tomaso) Algebra de cam ft A lezoe è stato trodotto l cocetto d camo d elemet fto, o camo d Galos GF() co elemet, co le sue oerazo e le sue roretà. Avete vsto che se é u umero rmo é ossble defre u camo GF() tramte umer atural da a -1, co gl oerator somma e rodotto classc, a atto d lmtare l rsultato modulo. Avete ache vsto che se o è rmo, queste stesse regole volao le roretà del camo. Per =q m co q rmo, s uò defre l camo GF(q m ) esteso da GF(q), come comosto da tutte le m-le (olom d grado m-1) d elemet d GF(q). L oeratore somma s ottee alcado elemeto er elemeto la somma GF(q) (somma classca modulo q), metre l oeratore rodotto s uò defre come rodotto classco tra olom, co rsultato lmtato modulo (x), dove (x) é u olomo d grado m rrducble, co coeffcet GF(q), detto olomo geeratore del camo. I qualsas camo GF(q) esste almeo u elemeto α detto rmtvo, che co le sue oteze da a q-2, assume tutt 1 ossbl valor del camo trae, e l rete o cclcamete co erodo q-1, er cu α q = α = 1. Per comletezza d raresetazoe s uò orre (covezoalmete) α - =. Gl elemet d u camo esteso GF( m ) s ossoo qud raresetare due mod: 1) come olom d grado m-1 co coeffcet GF() (o m-le d elemet GF()) 2) come oteze k-sme d u elemeto rmtvo: α k k=-,,1... m -2 La rma raresetazoe é ù comoda er l alcazoe dell oeratore somma, metre la secoda s resta meglo k j ( j+ k) mod q 1 alle oerazo d moltlcazoe graze alle roretà delle oteze er cu α α = α. I cam ù teressat soo GF(2 m ), cu elemet o soo altro che m-le d bt (byte). Iteressao quato artedo dalle roretà dell algebra de cam é ossble rogettare delle tecche d codfca e decodfca er la rotezoe dagl error d blocch d bt. Ogg mlemeteremo MATLAB le oerazo del camo GF(2 m ). Come alcazoe dell algebra d GF(2 m ), utamo all mlemetazoe d u decodfcatore algebrco tramte algortmo d Euclde. Per comodtà rareseteremo gl elemet d GF(2 m ) co otazoe esoezale, tramte l loro esoete: ertato 1, 2 1 2, 1 rareseterao rsettvamete α,α e α, -If rareseterà, e rareseterà 1 (attezoe a o fare cofusoe!). Co questa scelta sarà abbastaza facle mlemetare le oerazo d moltlcazoe, dvsoe ed elevameto a oteza. Sarà u o ù comlcato mlemetare la somma (la dffereza cocde co la somma erchè é fatta GF(2)). Per questa c servremo del logartmo d Zech. Suoamo k<j: j k k+ z( j k) ( + α ) = k j k α + α = α 1 α (1) la fuzoe z() é detta logartmo d Zech, ed é quell esoete che alcato ad α dà 1 +α : ( ) = 1 (2) z α +α S tratta qud d recomlare ua tabella che dà z er og, ed ache l oeratore somma sarà mlemetato faclmete. 1

2 Oerazo sugl elemet d GF( m ) Oerator rodotto, dvsoe ed elevameto a oteza Assumamo d oerare GF(q= m ). Per defre l oeratore rodotto o dobbamo che mlemetare la somma delle oteze de fattor, e o lmtarla modulo q-1. I arametr che c servoo soo qud solo fattor a, b e la cardaltà del camo q. Se decdamo d raresetare l elemeto ullo co l valore MATLAB -If, bsogerà trattare a arte l eccezoe er cu a o b (o etramb) soo If, er oter utlzzare la fuzoe mod: fucto [c]=multgf(a,b,q) [a,b]=exted(a,b); c=mod(a+b,q-1); c(sf(a) sf(b))=-f; La fuzoe exted, che o è strettamete ecessara, estede uo de due arametr gresso, se scalare, alle dmeso dell altro: fucto [a,b]=exted(a,b) f legth(a)==1 a=remat(a,sze(b)); elsef legth(b)==1 b=remat(b,sze(a)); ed I tal modo, la ostra fuzoe uò oerare dfferetemete co gress scalar, vettor (d ar lughezza, ovvo!) oure uo scalare e u vettore, mtado così l classco comortameto delle fuzo MATLAB. L oerazoe d dvsoe s mlemeta co logca aaloga: fucto [c]=dvgf(a,b,q) [a,b]=exted(a,b); f ay(sf(b)) error('dvsoe er zero!') ed c=mod(a-b,q-1); c(sf(a))=-f; Pù delcata la gestoe de valor e If er quato rguarda l elevameto a oteza. S è assuto = 1, er redere ù facle la gestoe delle oerazo olomal, come sarà charo ù avat: fucto [c]=owgf(a,b,q) [a,b]=exted(a,b); c=mod(a.*b,q-1); c(sf(a) sf(b))=-f; c(b==)=; 2

3 Fuzoe logartmo d Zech Assumamo d oerare GF( m ) defto da u olomo rmtvo: allora l elemeto rmtvo α é radce del olomo ( α) che geera l camo. No dobbamo calcolare u vettore z() d q-2 elemet cu sa esattamete l dce del vettore, e tale er cu la coa (z,) soddsf la (2). Per calcolare tale vettore o ossamo fare altro che eumerare tutt gl elemet del camo co otazoe esoezale ed assocare tale otazoe co quella olomale (m-ule d bt) corrsodete. La raresetazoe olomale d α. Raresetamo olom co grado crescete, er cu α saamo che é l resto della dvsoe er ( ) geercamete» alfa=[zeros(1,) 1]; α MATLAB sarà: Suoamo che qualcuo c da ol che rareseta ( α). Il resto della dvsoe tra α e ol s determa modo rcorsvo. Il resto della dvsoe d α (grado 1) er ol (grado certamete maggore d uo!) vale α : ossamo qud zalzzare a mao la rma rga della tabella ella quale adremo a scrvere le raresetazo olomal d >> ol=[1 1 1]; =2; m=3; q=^m; >> a(1,:)=[1 zeros(1,m-1)]; Per la rcorsoe, faccamo uso della seguete relazoe: R ( ) ( α)[ α ] = r = α m 2 r = = ( 1) ( 1) α + r α = R R I altre arole, l resto della dvsoe d 1 1 ( α)[ α α ] = R( α) [ α R( α)[ α ] = R( α) m 2 m ( 1) ( 1) ( α)[ α ] = α r α + rm 1 α = α er ( α) = α = r ( 1) α = α : sarà ar a rm m 2 term del resto al asso recedete 1 α, alzat d u grado (qud ella raresetazoe vettorale d MATLAB traslat verso destra), ù rm m 1 term del olomo geeratore stesso, se l terme d grado ù alto del asso recedete fosse ar a uo: >> for =2:q-1, a(,:)=[ a(-1,1:ed-1)]; f a(-1,ed)~=, a(,:)=mod(a(,:)-a(-1,ed)*ol(1:m),); ed ed Ora dobbamo calcolare l aaloga tabella che corrsode a >> b=a; >> b(:,1)=mod(b(:,1)+1,); 1 +α : Ora abbamo queste due matrc; er og rga d b, che rareseta 1 +α, o dobbamo che cercare quale rga z z d a (che rareseta α ) s trova la m-la uguale. Per far questo, forse covee trasformare vettor d bt decmal corrsodet: >> w=.^(:(m-1))'; >> aa=a*w; >> bb=b*w; Ora ossamo fare la semlce rcerca: 3

4 >> for =1:q-1, f bb()~=, z()=fd(aa==bb())-1; else z()=-f; ed ed Poamo tutte le oerazo sora esegute u modulo, salvado ure rcal olom geerator d GF(2 m ) e GF(3 m ): fucto [z]=logzech(,m) ol(:,:,1)=[ 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; 1 1 1]; ol(:,:,2)=[ 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 1; ]; f (<2) (>3) (m>9) error('polomo geeratore o dsoble') ed ol=ol(m,1:(m+1),-1); q=^m; % assaggo dalla raresetazoe alfa^ a quella olomale a=zeros(q-1,m); a(1,:)=[1 zeros(1,m-1)]; for =2:q-1 a(,:)=[ a(-1,1:ed-1)]; f a(-1,ed)~= a(,:)=mod(a(,:)-a(-1,ed)*ol(1:m),); ed ed % calcolo d 1+alfa^ b=a; b(:,1)=mod(b(:,1)+1,); % determazoe corrsodeze tra a e b 4

5 w=.^(:(m-1))'; aa=a*w; bb=b*w; for =1:q-1, f bb()~= z()=fd(aa==bb())-1; else z()=-f; ed ed Oeratore somma, oosto e dffereza Ora che abbamo l logartmo d Zech, ossamo mlemetare la somma semlcemete tramte la (1). Al solto dovremo verfcare cas artcolar cu a e/o b soo -If. fucto [c]=addgf(a,b,zech) q=legth(zech)+1; [a,b]=exted(a,b); dx=fd((~sf(a))&(~sf(b))); c(dx)=a(dx)+zech(mod(b(dx)-a(dx),q-1)+1); dx=fd(~sf(c)); c(dx)=mod(c(dx),q-1); c(sf(a))=b(sf(a)); c(sf(b))=a(sf(b)); L oeratore oosto s rcava dalla semlce sezoe del logartmo d Zech. Ifatt l elemeto -1 è quello tale er cu l logartmo d Zech s aulla: fucto [c]=ogf(a,zech) q=legth(zech)+1; b=fd(sf(zech))-1; c=multgf(a,b,q); La sottrazoe, er fre, uò essere mlemetata come la somma del rmo addedo co l oosto del secodo: fucto c=subgf(a,b,zech) c=addgf(a,ogf(b,zech),zech); 5