Equazioni differenziali

Transcript

1 1-Risolvi l equazione differenziale y (x)= x+senx con la condizione iniziale y(0)=0 SOLUZIONE: L equazione è a variabili separabili. Si integrano ambo i membri y (x)dx= (x+senx)dx, da cui l integrale generale y(x)=x 2 /2 - cosx +c; si impone la condizione iniziale y(0)= -1 + c= 0, da cui c=1 e quindi la soluzione particolare y*(x)= x 2 /2 - cosx +1

2 2-Risolvi la seguente equazione differenziale s (t)= (3t+1) con la condizione s(0)=1 SOLUZIONE: Analogamente all esercizio 1, si ha s(t)= (3t+1)dt = 2/9(3t+1) 3/2 + c, da cui, imponendo la condizione iniziale, si ha 2/9 + c=1 e quindi c=7/9 si ottiene la soluzione particolare s*(t)= 2/9(3t+1) 3/2 +7/9

3 3-Risolvi la seguente equazione differenziale y (x)= (x+1)/y con la condizione y(0)=2 SOLUZIONE: Separiamo le variabili e integriamo, si ha yy (x)dx= (x+1)dx, da cui ydy= (x+1)dx, quindi y 2 /2=x 2 /2 +x+c; imponendo la condizione y(0)=2 si ricava c=2 e quindi la soluzione particolare y*(x)= sqr(x 2 +2x +4)

4 4 - Sia L(t) la lunghezza di un pesce al tempo t e supponiamo che il pesce cresca in accordo all equazione di von Bertalanffy L = k(34 L(t)) con L(0)=2 a) determina la soluzione dell equazione b) Usa la tua soluzione per determinare k sotto l ipotesi che L(4)=10, disegna il grafico di L(t) per questo valore di k c) Trova la lunghezza del pesce quando t=0 d) Trova la lunghezza asintotica del pesce quando t +

5 SOLUZIONE:a) Ricordando (vedi lezione eq.diff.) che la soluzione generale dell equazione dl/dt =k(a- L) è data da L(t)=A(1-(1-L 0 /A)e -kt ), essendo nel nostro caso A=34 ed L 0 =2, si ottiene L(t)=34(1-(16/17)e -kt ); b) L(4)= 34(1-(16/17)e -4k )=10, da cui 16/17 e -4k =24/34, quindi e -4k =3/4, da cui -4k=ln(3/4), ed infine k=(1/4)ln(4/3), si ha quindi la soluzione L*(t)=34(1-(16/17)(4/3) -1/4t ); c) sappiamo già dalla condizione iniziale che il pesce è lungo 2 per t=0; la lunghezza asintotica è data da A, ed è quindi 34.

6 5- Assegnata l'equazione di Verhulst dx dt = x 2 1- x 10 6 a) determina per quali valori x(0) la soluzione x(t) è decrescente e verso quale limite tende per t + b) determina per quali valori x(0) la soluzione x(t) presenta un punto di flesso.

7 SOLUZIONE: a) avremo x (t) < 0 e quindi x(t) decrescente se e solo se x/2(1-x/10 6 )<0. Poiché l equazione logistica (o di Verhulst) descrive la dinamica di una popolazione, porremo sempre x(0)>0 e quindi per ogni t avremo x(t) > 0 (infatti x(t)=0 per ogni t è una soluzione dell equazione e quindi per ogni altra soluzione, per il teorema di Cauchy, non può esistere t tale che x(t)=0), dunque x/2(1-x/10 6 )<0 se e solo se 1-x/10 6 < 0, se e solo se x > 10 6, dunque le soluzioni saranno decrescenti per x(0) > 10 6 ;

8 poiché la soluzione generale dell equazione x (t)=rx(1-x/k) è (vedi lez. equaz. diff.) x(t)=k/(1-e -rt /C), dove C= x 0 /(x 0 -K) essendo x 0 =x(0), per t + tutte le soluzioni (tranne la soluzione nulla) tendono a K, e quindi, in questo caso a 10 6 ; b) possiamo dimostrare che l eventuale punto di flesso si ha se e solo se esiste t tale che x(t)=k/2, quindi dovrebbe esistere t tale che x(t)=k/(1-e -rt /C)=K/2, quindi C = -e -rt, per cui se e solo se C < 0, per cui si deve avere x 0 < K; si osserva inoltre che il flesso si avrà per un t>0 se e solo se x 0 < K/2, infatti dovendo essere

9 e -rt = x 0 /(K- x 0 ), si ricava t = (1/r)ln((K- x 0 )/ x 0 ) per cui t>0 se e solo se ln((k- x 0 )/ x 0 ) >0, se e solo se (K- x 0 )/ x 0 >1 e quindi se e solo se x 0 <K/2. Osservazione: L eventuale punto di flesso può essere determinato dallo studio del segno della derivata seconda di x(t) e questo può essere fatto sia calcolando, come di consueto, la derivata seconda della soluzione scritta in forma esplicita, oppure, più semplicemente, derivando l equazione differenziale x (t)=rx(1-x/k), infatti si ha

10 x (t)=r(1-x/k)x +rx(-1/k)x =rx (1-2x/K), quindi si ha x (t)=0 se e solo se x =0 oppure x(t)=k/2; x =0 corrisponde alle due soluzioni costanti x=0 e x=k, in tutti gli altri casi x (t) 0 per ogni t, mentre x(t)=k/2 è la soluzione di cui si è detto in precedenza e che si ha se e solo se x 0 <K/2; si osserva che, in tal caso, la x(t) è convessa per t < (1/r)ln((K- x 0 )/ x 0 ) e concava per t > (1/r)ln((K- x 0 )/ x 0 ).