Soluzioni Esercizio 4: PRECISIONE A REGIME E ANALISI DELLA STABILITA`

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1 Soluzioni Esercizio 4: PEISIONE A EIME E ANALISI ELLA STABILITA` a) Affinché l esercizio sia immediatamente e semplicemente risolvibile deve risultare: r( t) y( t) costante In questo caso si osserva che se si prende 4 si ha: 4 r ( t) y( t). Inoltre, proprio perché per un ingresso di tipo parabolico ( grado) si ha un errore a regime costante e diverso da, il sistema deve essere di tipo, cioè ν Infine, per un sistema di tipo si ha: e da cui: e 6. 8 b) Si riscriva l ingresso nella forma k t k! r ( t) ato che ν, il sistema è di tipo, quindi l errore a regime per ingressi del ordine è limitato, diverso da e pari a: e h Nella formula compare, si ricordi che le formule senza questo termine sono relative ad ingressi unitari, o, se si preferisce, forniscono la percentuale di errore rispetto all ingresso. alla formula precedente si ricava: t!

2 c) Per il sistema dato P,, ν. ato che si desidera inseguire con errore diverso da (e limitato) una rampa, è necessario che ( (P( sia di tipo uno, cioè che vi sia un polo nell origine. ato che in P( non c è, lo si aggiunge in (, che dovrà perciò essere della forma: ( s e dovrà essere tale da garantire il rispetto della specifica sulla precisione a regime. Per l errore vale la seguente formula: e P se si desidera che sia minore o uguale ad un certo e * si ha: * e P da cui e P *.4. Il valore minimo sufficiente per garantire la specifica sulla precisione è. Per l analisi della stabilità si tracciano i diagrammi di Bode di ( ( P( s ( +.( +.5 I punti di rottura sono ω p e ω p.5. iagramma Ampiezze La pendenza iniziale è -ν db/dec e si immagina che la retta iniziale passi per ω in log(k). Se ci sono punti di rottura prima di ω la retta iniziale viene tagliata prima. In questa caso la pendenze iniziale è - db/dec e la retta iniziale deve essere posizionata per passare in log()db6db quando ω. Per il resto del diagramma si faccia riferimento alla seguente tabella: Variazione di pendenza Pendenza assoluta (si rispetto alla pendenza parte da - db/dec) precedente ω P - db/dec - 4 db/dec ω P - db/dec - 6 db/dec

3 iagramma Fasi Le pendenze iniziali e finali sono sempre. La fase iniziale è pari a -9ν + la fase del guadagno ( se positivo, -8 se negativo). In questo caso la fase iniziale è pari a -9. La fase finale può essere valutata calcolando la differenza tra il numero di zeri e il numero di poli della ( privata dei poli nell origine. Sia q questa differenza, lo fase finale è pari alla fase iniziale + 9q (questo prodotto indica di quanto sfasa la f. di trasferimento). In questo caso abbiamo zeri e poli non nell origine, quindi q- e la fase finale è Per il resto del diagramma si faccia riferimento alla seguente tabella: Variazione di pendenza Pendenza assoluta (si rispetto alla pendenza parte da /dec) precedente ω P / /dec - 45 /dec ω P / - 45 /dec - 9 /dec ω P + 45 /dec - 45 /dec ω P + 45 /dec - /dec 6 db - db / dec -4 db / dec -6 db / dec ω p ω t ω p - /dec -45 / dec µ ϕ -9 / dec -45 / dec - /dec ω p / ω p / ω p ω p ai diagrammi si ricava che la frequenza di attraversamento ω t vale circa 6 rad/sec. In corrispondenza di questo punto la fase vale circa -95 ed il margine di fase è negativo (stiamo al di sotto di -8 ) e vale in valore assoluto circa Quindi µ ϕ -5, il che implica che il sistema è instabile.

4 Questa informazione può essere evinta anche dal diagramma di Nyquist e dal teorema relativo ω > ω In particolare, se si decide di lasciare il polo nell origine a sinistra, il diagramma di Nyquist, disegnato a partire dai diagrammi di Bode, va chiuso lasciando a sinistra l infinito. osì facendo il numero di radici P p del denominatore di ( a parte reale positiva è nullo, il numero di rotazioni N intorno a -, prese in senso antiorario è -, quindi N è diverso da P P, e quindi, come trovato già da Bode, il sistema è instabile ω < ω - Im((jω)) INFINITO ω + inf - ω - inf e((jω)) ω +

5 ω > ω Ovviamente, se si fosse deciso di lasciare il polo nell origine a destra, il sistema sarebbe risultato comunque instabile. Infatti, in questo caso, il diagramma di Nyquist, sempre disegnato a partire dai diagrammi di Bode, va chiuso lasciando a destra l infinito. osì facendo il numero di radici P p del denominatore di ( a parte reale positiva, il numero di rotazioni N intorno a -, prese in senso antiorario diviene -, quindi N è diverso da P P, e quindi, come trovato precedentemente, il sistema è instabile ω < ω - Im((jω)) INFINITO ω + inf - ω - inf e((jω)) ω + ato che il sistema è instabile, non esiste il regime permanente, e quindi la specifica sulla precisione non può essere soddisfatta. Per stabilizzare il sistema è necessario aggiungere qualcosa per modificare i diagrammi di Bode in modo tale da far scendere leggermente il diagramma delle ampiezze cercando di lasciare inalterato quello delle fasi. In questo caso la frequenza di taglio si sposta verso sinistra ed il nuovo margine di fase potrebbe essere positivo. omunque, qualsiasi cosa si aggiunga dovrebbe avere guadagno unitario, essendo questo già scelto per soddisfare la specifica sulla precisione. Un guadagno minore di uno potrebbe provocare la perdita della specifica, un guadagno maggiore di uno ne permette

6 comunque il soddisfacimento, ma è preferibile non aumentarlo troppo per problemi realizzativi. Inoltre, qualsiasi cosa si aggiunga, deve essere propria o strettamente propria. Se ad esempio aggiungiamo al ( trovato un polo e uno zero, con il punto di rottura del polo prima di quello dello zero, distanziati tra loro di una decade, e poniamo il punto di rottura dello zero una decade prima del più piccolo punto di rottura fin ora trovato, troviamo il seguente controllore: ( (5s + ) s(5s + ) Se si diagramma ( ( P( (5s + ) s ( +.( +.5(5s + ) si ottiene: dal quale si vede immediatamente che il margine di fase è positivo e quindi il sistema è stabilizzato. Ovviamente non si può scegliere a caso il controllore, sia perché nulla assicura a priori che si riesca a stabilizzare, sia perché il controllore ottenuto potrebbe essere di difficile realizzazione. Più avanti verranno forniti criteri per la scelta.