SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag Criteri per serie a termini positivi... pag.

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1 SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri). Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag Serie a termii di sego altero... pag La proprietà commutativa elle serie... pag. 6. Esercizi... pag. 0 C.d.L i Fisica Lecce, a.a. 04/5

2 LE SERIE NUMERICHE (C. De Mitri). Defiizioe, esempi e primi risultati Quato fa ? Zeoe di Elea (V secolo a.c.), ei suoi famosi paradossi, o era eache miimamete sfiorato dal dubbio che il risultato potesse essere fiito. A be vedere, prima di domadarci quato fa ua somma co ifiiti addedi, dobbiamo chiederci che sigificato attribuire ad ua tale operazioe. Nel caso di u umero fiito di addedi, per otteere la somma si cosidera dapprima la somma dei primi due, al risultato si aggiuge il terzo, al uovo risultato si aggiuge il quarto, e così via fio ad arrivare all ultimo. Nel caso che gli addedi siao ifiiti si otterrà ua successioe ifiita di risultati parziali, e si rederà ecessario evidetetemete u passaggio al limite per mettere fie all operazioe. La ozioe di serie che adiamo a defiire formalizza i modo rigoroso il cocetto ituitivo di somma di ifiiti termii. Defiizioe.. Data la succ/e umerica (a ) IN, si dice serie ad essa associata, o serie di termie geerale a, la succ/e (s ) IN, dove, IN, s = a k. La serie è idicata co a (talvolta co Σ a ), oppure co a + a a +... ; per ogi IN, il umero s è chiamato somma parziale eesima o ridotta di ordie. La serie si dice covergete, divergete, idetermiata (e si parla di carattere della serie), se tale risulta essere rispett/te la succ/e (s ) IN. I caso di covergeza, e per estesioe ache i caso di divergeza, il lim s è chiamato somma della serie ed è idicato co a oppure co a +a +...+a +... (gli stessi simboli co cui è idicata la serie). La serie geometrica. Dato x IR, si chiama serie geometrica di ragioe x la serie x = +x+x +x Qui è possibile esprimere la somma parziale s i modo da poterefacilmete calcolare il limite: se x = si ha che s = = ; se x è oto che s = +x+...+x = x x {. = + se x Si coclude allora che lim s = se x <. x o esiste se x Torado al quesito posto all iizio del paragrafo, si può ora rispodere che = ( ) = / =. Proposizioe. (proprietà di liearità). ( ) ( ) c IR\{0} ca è regolare a) = a è regolare ca = c b) ( a è regolare, a + b ) b è regolare a ( = (a +b ) è regolare (a +b ) = a + b Dim. Basta cosiderare le somme parziali delle serie i oggetto, teer coto della liearità delle somme fiite e far tedere all ifiito applicado i teoremi sulle operazioi co i limiti )

3 Esercizi. ) Scrivere il umero 0, 36 i forma frazioaria. Risulta 0,36 = 0, = = = = = (00 ) = = ( ) = ) Sia α l agolo acuto formato dalle semirette r ed s usceti da O. Si preda su r il puto P 0 tale che OP 0 =. Siao P la proiezioe di P 0 su s, P la proiezioe di P su r, P 3 la proiezioe di P su s, e così via. Calcolare la lughezza della spezzata P 0 P P P Si tratta di calcolare la somma P P + = P 0 P +P P +P P Si ricoosce che IN P P + = P P cosα, e iterado questa uguagliaza si ricava che P P + = P 0 P cos α = seαcos α. Risulta allora P P + = seαcos α = seα cosα = cotg α. La serie di Megoli e le serie telescopiche. La serie Megoli. Si ricoosce che, IN, s = al limite, si ricava che k(k+) = ( k (+) è ota come serie di k+ ) =, e da qui, passado + (+) =. I geerale, soo chiamate serie telescopiche quelle serie che possoo essere scritte ella forma (b b + ). Cosiderato che, IN, s = (b k b k+ ) = b b +, possiamo affermare che: la serie (b b + ) è regolare se e solo se lim b, e i tal caso risulta (b b + ) = b lim b. Osservazioe. (sul umero di Nepero). Dallo sviluppo di Mac Lauri di e x si ricava, per x =,che IN c ]0,[ taleche e = k=0 k! +ec!. Nesegueche 0 < e k=0 k! = ec! < 3! ( ), e duque e = lim, vale a dire e = k=0 k!! = ++! + 3! + 4! Basta osservare attetamete la ( ) per avere ua idea della velocità co la quale la succ/e s = k=0 k! approssima il umero e. Ivero, posto E = e s, da ( ) si ha ad esempio che E 0 < 3 0!, cosicché s 0 approssima e co u errore iferiore al milioesimo. Si calcola s 0 = ++! ! =, (metre e =, ). Si sa che ache la succ/e (( ) + ) coverge ad e, ma essa è talmete leta che per = IN 0 o si raggiuge la precisioe eache ella prima cifra decimale, risultado ( + 0) 0 =,59... ; per avere il 7 come prima cifra decimale bisoga attedere il 74 o termie! La ( ) cosete ache di dimostrare che e / lq. Se per assurdo fosse e = p q co p,q IN, preso ) > max{,q} si avrebbe 0 < p q (++ ( )!! ( )! ( )! < 3, e ciò è impossibile dato che fra 0 e o vi soo umeri iteri. Proposizioe. (codizioe di covergeza di Cauchy). ( ) ( ) a coverge ε IR + ν IN > ν p IN +p a k < ε Dim. Applicado la ota codizioe di covergeza di Cauchy alla succ/e (s ) IN, si ha che (s ) IN coverge se e solo se ε IR + ν IN t.c. m, > ν s m s < ε, ossia, equivaletemete, > ν p IN s +p s < ε k=+

4 La serie resto. Data la serie a e dato p IN, la serie a = a p+ +a p+ +a p =p+ è detta serie resto di idice p relativa alla serie data. I sostaza la serie resto di idice p è otteuta dalla serie di parteza sopprimedoe i primi p termii. Proposizioe.3 (teorema del resto). Per ogi p IN la serie resto carattere della serie a e, i caso di regolarità, risulta =p+ a = Dim. Idicado co s la somma parziale eesima della serie serie resto, si vede che σ (p) = a p+ +a p a p+ = p+ lim σ(p) k=p+ =p+ a p a ha lo stesso a. a e co σ (p) quella della a k = s p+ s p, da cui segue che se e solo se lim s e, i caso affermativo, risulta lim σ(p) = lim s s p La somma della serie resto di idice p, quado esiste, è chiamata resto p esimo della serie data; l uguagliaza appea dimostrata stabilisce i sostaza che il resto p esimo coicide co l errore che si commette approssimado la somma totale co la somma parziale d ordie p. Cosegueza del teorema è che il caratteredi ua serie o cambia se se e modifica u umero fiitoditermii,cioèsesipassadallaserie a allaserie b ellaquale a = b p+; ifatti le due serie hao i comue la serie resto d idice p. Sipuòprovarealtresì,edelrestolosiituiscefacilmete,chediuaserieocambiailcarattere, e eache la somma, se se e sopprime u umero, ache ifiito, di termii ulli. I criteri atti a stabilire il carattere di ua serie sarao formulati, per maggiore semplicità, richiededo codizioi su tutti i termii a, ma co l itesa che gli stessi criteri, grazie al teorema del resto, potrao essere applicati ache i quei casi i cui le stesse codizioi soo soddisfatte soltato defiit/te (). Proposizioe.4 (regolarità delle serie a termii di sego costate). Ogi serie a termii di sego costate è regolare. Se a 0 0 IN, allora a = sups = if s. IN IN Dim. L ipotesi assicura che la succ/e (s ) IN è mootoa e quidi regolare. Se a 0 0 IN, allora (s ) IN è crescete decrescete e risulta lim s = sups = if s IN Proposizioe.5 (codizioe ecessaria di covergeza). ( ) a coverge = ( lim a = 0 ) Dim. Posto S = lim s, essedo a = s s si ha che lim a = S S = 0 Esercizi. ) La serie diverge (posit/te). Ifatti essa è regolare perché a termii positivi, ed è + escluso che sia covergete per macaza della cod. ec. (il lim a esiste ma o è 0). ) Stesso discorso vale per la serie se (solo che qui il lim a o esiste eache). Il fatto che lim a = 0 è codizioe ecessaria ma o sufficiete per la covergeza della serie, come mostra l esempio che segue. () Ricordiamo che, se IN P è u predicato ella variabile, si poe P defiitivamete def k IN > k P. 3 IN

5 La serie armoica. La serie, detta serie armoica, è divergete. Per provarlo, osserviamo che IN s s = , dato che ogua delle frazioi è o miore dell ultima. Se si suppoe per assurdo che lim s = S IR, allora deve risultare l i m (s s ) = S S = 0, e duque s s < defiit/te.. Criteri per serie a termii positivi I criteri che seguoo riguardao serie a termii positivi, ma è chiaro che risultati aaloghi a quelli che esporremo valgoo per serie a termii egativi e, più i geerale, per serie a termii di sego defiit/te costate. Più avati vedremo come i criteri sulle serie a termii positivi potrao essere utilizzati ache per serie a termii di sego variabile. Ricordiamo che tutte le serie a termii positivi soo regolari. Proposizioe. (criterio di Cauchy o di codesazioe). Se la succ/e (a ) IN è a termii positivi e decrescete, allora le serie a e a hao lo stesso carattere. Dim. Idicate co s e σ le somme parziali eesime delle due serie i oggetto,eprecisamete s = a +a +...+a e σ = a +a + a a, si vede che: a a = 0 a 0, a +a 3 a = a, a 4 +a 5 +a 6 +a 7 4a 4 = a,, a +a a a, da cui segue, sommado membro a membro, che s σ ; aalogamete si ha: a a 0, a 0 a, a 3 +a 4 a 4 = a, a 5 +a 6 +a 7 +a 8 4a 8 = a 3,, a + +a a a, da cui segue, sommado membro a membro, che s σ. Dalla a relazioe trovata discede che, se lim σ IR, ache lim s (= lim s ) IR; dalla a relazioe trovata discede che, se lim σ = +, ache lim s (= lim s ) = + La serie armoica geeralizzata. Dato α IR +, si chiama serie armoica geeralizzata di ordie α la serie. E facile ricooscere che vi soo le codizioi per applicare il criterio α ( di codes/e; si passa così alla serie geometrica = ) α, la quale coverge se α α > e diverge se α. I seguito, co abuso di liguaggio, useremo la stessa deomiazioe ache per la serie co α 0; i questo caso è evidete che la serie diverge, perché maca α la ota cod. ec. di covergeza. I risultati sulla serie armoica geeralizzata, il cui termie geerale è l if/mo campioe di ordie α, faosorgereusospetto: selasucc/e (a ) IN tedea0imodo sufficietemete veloce, allora la serie a coverge. Sarà così? Vedremo più avati. 4

6 Esercizio. La serie = log Più i geerale, x IR + la serie coverge se e solo se x >. ha il carattere della serie = log = (log) ha il carattere della serie x, che diverge. log (log) x, e questa Proposizioe. (criterio del cofroto). Siao Σ a e Σ b due serie a termii positivi. Se IN a b, allora la covergeza di Σ b implica la covergeza di Σ a (ossia, i forma cotroomiale, la divergeza di Σ a implica la divergeza di Σ b ). N.B. Se IN a b, si suol dire che la serie Σ a è maggiorata dalla serie Σ b, oppure che la serie Σ b è miorata dalla serie Σ a. Dim. Idicate co s e σ le ridotte rispett/te di Σ a e Σ b, dall ipotesi segue che IN 0 < s σ, e duque, se lim σ IR, allora ache lim s IR Esercizi. ) La serie ) La serie log(+se ) coverge, dato che IN 0 < log(+se) se diverge, dato che IN se. log3. 3) La serie coverge. Ifatti, poiché lim loglog = +, si ha che loglog = (log) log defiit/te, e duque risulta 0 < = defiit/te. (log) log log log Proposizioe.3 (criterio del cofroto asitotico). Siao Σ a e Σ b due serie a termii positivi. Se a b per, allora le due serie hao lo stesso carattere. Dim. Poiché lim a b =, risulta a b 3 defiit/te,eduque b a 3 b defiit/te. Dopo di ciò basta ivocare il criterio del cofroto Esercizi. ) La serie coverge, dato che per. Si osservi che i termii della serie data o soo tutti positivi (ma è chiaro che lo soo defiit/te). )La serie ( ) diverge, datoche = e log log per e log defiit/te. Qui soo iterveuti sia il criterio del cofroto sia il criterio del cofroto asitotico. Osservazioe.. Nella Prop/e.3 l ipotesi che i termii della serie siao positivi (o, più precisamete, di sego defiit/te costate), è idispesabile. ( ) Adesempiolaserie ( ) ècovergete(comevedremopiùavati)elaserie ( ) + è divergete (vedi Prop/e.), oostate che le succ/i siao tra loro asitotiche. Proposizioe.4 (criterio della radice). Sia Σ a ua serie a termii positivi. a) Se k ]0,[ t.c. IN a k, allora Σ a coverge. b) Se a freq/te (), allora Σ a o coverge (per macaza della ota cod. ec.). Dim.(a). L ipotesi è che IN a k, e la tesi segue i virtù del criterio del cofroto. (b). Dall ipotesi si ricava che a freq/te, e ciò impedisce che (a ) sia if/ma () Ricordiamo che, se IN P è u predicato ella variabile, si poe: P frequetemete def k IN > k P. Si ricoosce facilmete che: P freq/te ( P defiit/te). 5

7 Proposizioe.5 (criterio del rapporto). Sia Σ a ua serie a termii positivi. a) Se k ]0,[ t.c. IN a + a k, allora Σ a coverge. b) Se IN a + a, allora Σ a o coverge (per macaza della ota cod. ec.). Dim.(a). Dall ipotesi segue che a ka, a 3 ka k a, e così si ottiee i geerale che IN a k a. Dato che la serie Σ a k coverge, ache la serie Σ a coverge. (b). Dall ipotesi segue che la succ/e (a ) è crescete, e duque IN a a > 0. Ciò impedisce che (a ) sia if/ma Osservazioe.. Nella (b) di Prop/e.5 o sarebbe sufficiete l ipotesi freq/te. Ciò è provato ad esempio dalla serie ; i effetti questa serie 8 coverge, dato che la sua ridotta di ordie è s = σ, dove σ è la ridotta d ordie della serie geometrica di ragioe, cosicché lim s = lim σ = 4. a + a 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi Defiizioe 3.. Sidicechelaserie a coverge assolutamete secovergelaserie E evidete che, el caso di serie a termii di sego costate, o c è differeza fra covergeza e covergeza assoluta. Comuque, el caso geerale, sussiste la seguete Proposizioe 3.. ( ) a coverge assol/te = ( a coverge e a a. ) a N.B. L ultima parte della tesi mostra che la disuguagliaza triagolore del valore assoluto si estede al caso delle somme co ifiiti addedi. Dim. Per dimostrare la prima parte della tesi possiamo utilizzare la codizioe di covergeza di Cauchy: fissato ε IR +, dato che a coverge, ν IN > ν p IN +p a k < ε; e segue, teedo coto della disuguagliaza triagolare, che > ν p IN +p k=+ k=+ a k < ε. Oppure la dimostrazioe si può fare utilizzado le serie a termii o egativi Σ a + e Σ a associate alla serie Σ a () : se la serie Σ a è assol/te covergete, allora le serie Σ a + e Σ a soo covergeti, essedo IN a+,a a ; da ciò segue, per la proprietà di liearità, che coverge ache la serie Σ a, essedo a = a + a. Per la secoda parte della tesi, posto s = a k e σ = a k, basta osservare che, per la disuguagliaza triagolare, s σ, e poi passare al limite per Si è visto el corso della dimostrazioe che, se la serie Σ a è assol/te covergete, allora le serie Σ a + e Σ a soo covergeti. Aggiugiamo che, viceversa, se le serie Σ a + e Σ a soo covergeti, allora la serie Σ a è assol/te covergete, dato che IN a = a + +a. { 0 () Ricordiamo che, dato x IR, si poe x + se x < 0 = max{x,0} = x se x 0 e x = max{ x,0} = { x se x 0 0 se x > 0, e risulta x = x+ x, x = x + +x e 0 x +,x x. 6

8 Esercizio. La serie se(x) coverge x IR. e x Ifatti: se x = 0 la serie è a termii ulli; se x 0 la serie coverge assol/te, dal mometo che a (x) = se(x) = (e x ) e che la serie (e x ) coverge. e x e x Osservazioe 3.. Nella prop/e precedete o vale l implicazioe iversa. Ad esempio la serie ( ) è covergete (lo vedremo più avati), seza essere assol/te covergete. Le serie che soo covergeti seza essere assol/te covergeti si dicoo semplicemete covergeti. Si ricoosce facilmete, ragioado per assurdo, che, se la serie Σ a è sempl/te covergete, allora le serie Σ a + e Σ a soo etrambe divergeti. Dai criteri della radice e del rapporto discedoo i segueti criteri per serie a termii di sego qualsiasi, che euciamo ella forma più idoea per le applicazioi. Proposizioe 3. (criterio della radice per la covergeza assoluta). Sia data la serie Σ a. a) Se lim a <, allora Σ a coverge assol/te. b) Se lim a >, allora Σ a o coverge (per macaza della ota cod. ec.). Dim.(a). Sia l = lim a <. Preso k = l+, risulta a < k defiit/te, ossia a < k defiit/te, da cui segue, per il criterio del cofroto, che la serie Σ a coverge. (b). Dall ipotesi segue che a > defiit/te, ossia a > defiit/te, e ciò impedisce che la succ/e (a ) sia if/ma Proposizioe 3.3 (criterio del rapporto per la covergeza assoluta). Sia data la serie Σ a, co a 0 IN. a) Se lim a + a <, allora Σ a coverge assol/te. b) Se lim a + a >, allora Σ a o coverge (per macaza della ota cod. ec.). Dim. Basta ricordare che, se lim a + a = l, allora lim a = l, e poi ivocare il criterio precedete All iizio della dim/e è stato ricordato che, se lim a + a = l, allora lim a = l; a causa di ciò si può affermare che il criterio della radice è più forte del criterio del rapporto, dato che ciascua delle ipotesi del primo è più debole della corrispodete ipotesi del secodo. Osservazioe 3.. E oto che, data la succ/e (x ), soo defiiti il suo miimo limite, mi lim x o brevemete lim x, ed il suo massimo limite, maxlim x o brevemete lim x : { se if lim IN x = x { = + se sup supif x se if x >, x = + lim IN x = if sup x k IN k IN k IN se supx < + k IN per i quali valgoo le segueti proprietà: ) lim x lim x ; ) dato l IR, lim x = l lim x = lim x = l; 3) dato l IR, lim x = l ε IR + l ε < x defiit/te e x < l+ε freq/te, lim x = l ε IR + l ε < x freq/te e x < l+ε defiit/te. Ciò premesso, si ricoosce facilmete che le ipotesi i (a) delle Prop/i 3. e 3.3 possoo essere sostituite rispett/te dalle codizioi più deboli che max lim a < e maxlim a + a < ; aalogamete le ipotesi i (b) possoo essere sostituite rispett/te dalle codizioi più deboli che max lim a > e milim a + a >. 7

9 Esercizi. ) Per la serie (già icotrata i precedeza) il criterio della radice è iefficace, = (log) log dato che risulta lim a =. Il problema si risolve se si effettua prelimiarmete ua codesazioe, passado alla serie. Ifatti, posto b (log) log =, si ha che (log) log lim b = 0 <. Pertato la serie data coverge. ) La serie x x ( 3 x ) è defiita per x IR\{ 3 }.. Risulta: Si calcola lim x a (x) = 3 x <... x < x > 3, e per tali x la serie coverge assol/te; x 3 x x 3 x >... < x < 3, e per tali x la serie o coverge (si può aggiugere, se x < 3, che la serie, essedo a termii positivi, diverge). x Ifie 3 x = x = x = 3: per x = la serie è, che o coverge; per x = 3 la serie è ( ), che coverge assol/te. 3 3) La serie ()! se() ()! coverge assol/te. Ifatti IN a ()! ()!, e la serie ()! ()! coverge per il criterio del rapporto, i quato, posto b = ()! ()!, si ha che lim b + b = lim + + ( + ) = e <. 4) Cosideriamo la serie x! (x IR). Per x = 0 la serie coverge. Per x 0 si vede che lim a +(x) a (x) = lim x = x, cosicché: se x < e la seriecoverge (+/) e assol/te; se x > e la serie o coverge (diverge perché a termii positivi se x > e). Per x = e e per x = e si ottegoo rispett/te le serie e! e ( ) e!, per le quali il criterio del rapporto i forma asitotica o può essere applicato; tuttavia i etrambi i casi, risultado a +(x) a (x) = e > IN, è applicabile alla corrispodete serie dei valori (+/) assoluti la Prop/e.5, che esclude il verificarsi della cod. ec. di covergeza. 5)Laserie ( ) coverge. Ad essasipuòapplicareilcriteriodella radicemaoquello { { se è dispari e a + se è pari a = 8 se è dispari, se è pari del rapporto. Risulta ifatti a = per cui lim a =, metre maxlim a + a = > e milim a + a = 8 <. Il criterio che segue, basato sul cofroto co la serie armoica geeralizzata, coferma l ituizioe che il comportameto di questa serie aveva a suo tempo geerato, e e precisa le codizioi. Proposizioe 3.4 (criterio dell ordie di if/mo). Sia data la serie Σ a. a) Se α > t.c. (a ) sia if/ma d ordie maggiore di α o uguale ad α, allora Σ a è assol/te covergete. b) Se (a ) è if/ma d ordie miore di o uguale ad, allora Σ a o è assol/te covergete. Dim.(a). Suppoiamo che (a ) sia if/ma d ordie maggiore di α >. Dal fatto che a lim / = 0 segue che a α / < defiit/te, ossia che a α < defiit/te, cosicché Σ α a coverge. Se poi (a ) è if/ma d ordie α, si prede β ],α[ e si ricade el caso precedete. 8

10 (b). Se (a ) è if/ma d ordie miore di, vuol dire che lim a / che a = +, da cui segue / > defiit/te, ossia che a > defiit/te, cosicché Σ a diverge. Se poi (a ) è if/ma d ordie, allora h IR + a t.c. / h defiit/te, da cui segue che a h defiit/te, e di uovo Σ a diverge Osservazioe 3.3. Si ricoosce subito che: a) l ipotesi i (a) equivale alla seguete: α > t.c. lim α a < + ; b) l ipotesi i (b) è i particolare soddisfatta se (a ) è if/ma e lim a > 0. Esercizi. ) La serie ) La serie ( ) log coverge assol/te, dato che (a ) è if/ma d ordie maggiore di 3. log diverge, dato che (a ) è if/ma d ordie miore di. 3) Si è visto, usado il criterio di codesazioe, che la serie = log diverge. A questa serie o può essere applicato il criterio dell ordie di if/mo, dato che la succ/e (a ) o soddisfa é l ipotesi i (a) é l ipotesi i (b). Da otare ache che la serie o coverge, oostate che la succ/e (a ) sia if/ma d ordie maggiore di. 4) La serie e coverge, dato che la succ/e (a ) è if/ma d ordie ifiitamete grade. 5) Si cosideri la serie ( tg α ), co α IR. Posto a (α) = tg α, si ha che: se α < è a (α) per, cosicché la serie diverge per α e coverge per α > ; α se α = è a = o( ) per, e la serie coverge; se α > è a (α) per, e la serie coverge. 4. Serie a termii di sego altero Proposizioe 4. (criterio di Leibiz). Sia data la serie ( ) b, co b > 0 IN. Se (b ) è decrescete e if/ma, allora la serie ( ) b è covergete. Nelle stesse ipotesi, se s ed S soo rispett/te la somma parziale eesima e la somma della serie, allora IN S s b +. Dim. La succ/e (s ) è decrescete, dato che IN s + s = b + b 0; la succ/e (s ) è crescete, dato che IN s + s = b + +b + 0. Ioltre queste due succ/i soo limitate, dato che IN s s = s b < s s. Ne segue che lim s = if s = S IR ed lim s = sup s = S IR. Risulta poi S S = lim (s s ) = lim b = 0, eduque S = S. Posto S = S = S, si coclude che lim s = S IR. Proviamo che IN S s b +. Se = m, la disuguagliaza diveta s m S b m, ossia s m S, che è vera; se = m, la disuguagliaza diveta S s m b m+, ossia S s m+, che è vera 9

11 Proposizioe 4.. Sia data la serie ( ) b, co b > 0 IN. Se (b ) è crescete, allora la serie ( ) b è idetermiata. Dim. Si ricoosce che le succ/i (s ) e (s ) soo la prima crescete e la secoda decrescete. Ioltre risulta s = b b < s. Pertato lim s = sup s s > s if s = lim s, cosicché la succ/e (s ) o può essere regolare La serie armoica alterata. La serie ( ), detta serie armoica alterata, coverge i virtù del criterio di Leibiz. Detta S la sua somma, risulta S s 00 0, cosicché s 00 = 0, costituisce ua approssimazioe (per difetto) di S a meo di u cetesimo. Possiamo dimostrare che S = log = 0, Ifatti dallo sviluppo di Mac Lauri di log(+x) si ricava, per x =, che IN c ]0,[ t.c. log = ( ) k e segue che log Esercizi. ) La serie ( ) log ( ) k k = (+)(+c) + < + e duque lim + k ( ) k k ( ) (+)(+c) + ; = log., che o è assol/te covergete, coverge i virtù del criterio di Leibiz. Quato alla decresceza di b = log, si vede che b + b log( + ) ( (+)log (+) + + ), e questa relazioe è vera almeo defiit/te, ( datoche lim + ) = 0. Delresto,calcoladoil segodelladerivata, facilmetesiricoosce che la fuzioe f(x) = logx x, x, è decrescete i u itoro di +. ) La serie log(+ ( ) = ) o è assol/te covergete, dato che b = log(+ ( ) ) per. Tuttavia essa coverge i virtù del criterio di Leibiz (per provare la decresceza di (b ), bisoga valutare la relazioe b b + distiguedo i casi pari ed dispari). La stessa serie può essere studiata più agevolmete facedo ricorso allo sviluppo di Taylor log( + ( ) ) = ( ) + o( additività di Prop/e.. applicata alle serie ) per e poi teedo coto della proprietà di ( ), o( ). = = e = Oppure si lavora direttamete sulle sommme parziali, { osservado che IN s = log 3 + log 3 +log 5 4 +log 4 ( )+ log( log(+ 5 + ) = ) se è dispari + e deducedoe 0 se è pari che lim s = 0. Osservazioe 4.. Nel criterio di Leibiz o è possibile riuciare all ipotesi che la succ/e (b ) siadecrescete. Lodimostraadesempiolaserie,divergete, ( ( ) + ),doveapputo la succ/e b = ( ) + = + ( ) o è decrescete. Da otare ache che la succ/e ( ) decresce, pur essedo asitotica alla succ/e (b ). Il risultato che segue geeralizza il criterio di Leibiz. Proposizioe 4.3 (criterio di Dirichlet). Se la succ/e delle somme parziali della serie Σ c è limitata e la succ/e (b ) è decrescete e if/ma, allora la serie Σ c b coverge. Dim. Si omette 0

12 5. La proprietà commutativa elle serie E oto che = log; moltiplicado ogitermieper e atepoedoe uo 0 si ha = log; sommado termie a termie si ottiee = 3 log. Eppure l ultima serie è formata dagli stessi termii della prima (ogi termie egativo si preseta dopo due termii positivi). Duque la proprietà commutativa dell addizioe o si estede alle serie, almeo o a tutte. Prima di esporre i risultati più importati sull argometo, precisiamo il sigificato di cambiameto dell ordie dei termii di ua serie: date le serie a e α, si dice che la secoda è u riordiameto della prima se j : IN IN bigettiva t.c. IN α = a j(). Proposizioe 5.. Se la serie Σ a è a termii o egativi, allora ogi suo riordiameto Σ α e coserva sia il carattere sia la somma. Dim. Premettiamocheledueserie Σ a e Σ α,essedoatermiioegativi,sooregolari. Sia j : IN IN ua applicazioe bigettiva t.c. IN α = a j(). Idicado co s, σ, s e σ le somme parziali e totali rispett/te di Σ a e Σ α, posto m = max{j(),j(),...,j()}, si vede che IN σ = α +α +...+α = a j() +a j() +...+a j() s m s, da cui segue che σ s. Scambiado i ruoli fra le due serie si ricava che s σ. Pertato s = σ Proposizioe 5.. Se la serie Σ a è assol/te covergete, allora ogi suo riordiameto Σ α è assol/te covergete ed ammette la stessa somma. Dim. L ipotesi assicura che le serie Σ a + e Σ a covergoo. Ne discede, per la prop/e precedete, che i rispettivi riordiameti Σ α + e Σ α covergoo ach essi e mategoo ivariata la somma. Pertato la serie Σ α = Σ (α + + α ) coverge ed ioltre Σ α = Σ α + Σ α = Σ a + Σ a = Σ a La prop/e precedete stabilisce i sostaza che la proprietà commutativa vale quado le serie Σ a + e Σ a soo etrambe covergeti. Co aalogo ragioameto si dimostra che la proprietà vale ache el caso i cui le due serie risultao ua covergete e l altra divergete. Be diverso è il caso i cui le due serie soo etrambe divergeti. Sussiste i particolare il seguete teorema. Proposizioe 5.3 (teorema di Riema Dii). Se la serie Σ a coverge sempl/te, allora σ IR esiste almeo u riordiameto che ha somma σ, ed ioltre esiste almeo u riordiameto o regolare. Dim. Si omette ) E che dire ifie della proprietà associativa? A questo proposito ci limitiamo ad osservare che, se la proprietà fosse valida, ci sarebbe di che preoccuparsi, dato che risulterebbe 0 = = ( )+( )+( )+... = +( +)+( +)+... = =!

13 6. Esercizi 0. Calcolare la somma delle segueti serie a. ( ) 5 /, 4cosx, ( x x 3x ). b. +5+6, , 4, (+)!, + (+), (+)(+), ( ) + (+), (+). 0. Studiare le segueti serie a. 0log 8 ( ), se cos. b. ( secos), = log. c. = (+) +, log(!), [e (+ )α ], ( + ), log(+ log(+) ), x log(x + ). log( +), d. ( ) + log +, ( ) ()!. e. ( 3 ( ), log log(+), )3, +( ) (e x + ). +selog log (+), f. = x log, = [e (+ log )log ], = ( e ), ( log log(+) ). g. cosπ 3 se, ( ) log +, ( ) + x log (x IR + ), = ( ) loglog, ( ) ( ), ( ) arccose.

14 03. Posto a = e b = log +, studiare la serie (a +b ). Dire se il carattere di questa serie poteva essere dedotto da quello delle serie a e b. 04. Studiare la serie 05. Studiare la serie (!). Dire quato vale il lim se!. (!). Dire quato vale il lim (+ se(+) (+)! + + se(+) (+)! +... se() ()! ). 06. Sia a > 0. Provare che ( Σ a coverge ) ( Σ a coverge ). Vale ache l implicazioe iversa? 07. Trovare ua succ/e (a ) tale che le serie Σ a e a siao etrambe divergeti. Esiste ua succ/e (a ) tale che le serie a e a siao etrambe covergeti? 08. Trovare gli evetuali errori preseti elle segueti affermazioi riferite alla serie a, dove a = + ( ) log : a) La serie coverge per cofroto asitotico co la serie = = ( ) log, che coverge per il criterio di Leibiz. b) La serie coverge per il criterio di Leibiz; ifatti la successioe (a ) ha i termii di sego altero, è ifiitesima ed ifie, per ciò che riguarda la decresceza della successioe a = ( ) +, essa è provata dal fatto che decresce la successioe, asitoticamete log equivalete, log. c) La serie diverge positivamete i virtù della proprietà di additività, dato che la serie diverge positivamete e la serie coverge per il criterio di Leibiz. = = ( ) log 3