PROBLEMA ANALISI FORMALIZZAZIONE

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1 LO RISOLVO O NON LO RISOLVO QUESTO E IL PROBLEMA!! Cos è un problema in matematica? Un problema è una situazione in cui vengono fornite delle informazioni e ne vengono richieste altre. Cosa significa risolvere un problema? Risolvere un problema significa rispondere alla richiesta che il problema ci pone attraverso una serie di ragionamenti e di operazioni. TAPPE PER LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA PROBLEMA ANALISI FORMALIZZAZIONE RISPOSTA VERIFICA SOLUZIONE ELABORAZIONE ANALISI FORMALIZZAZIONE 1 LETTURA E COMPRENSIONE DEL TESTO Il testo del problema va letto con molta attenzione. La maggior parte degli insuccessi, infatti, sono da addebitare al non aver capito bene quali informazioni sono contenute nel testo e qual è l obiettivo da raggiungere. Un aiuto per la comprensione dei problemi ci può venire dalla sua rappresentazione e disegnare la situazione descritta nel testo in alcuni casi è addirittura fondamentale. Abituiamoci quindi a fare sempre il disegno!! 2 INDIVIDUAZIONE DI INFORMAZIONI (DATI) E DOMANDE (RICHIESTE O INCOGNITE) Capire il testo del problema vuol dire innanzitutto riconoscere i dati e le richieste. Per quanto riguarda i dati ci possiamo trovare in diverse situazioni: a) i dati sono sovrabbondanti (In questo caso dovremo capire quali sono quelli utili alla risoluzione del problema e trascurare gli altri) b) i dati sono sufficienti (E questo il caso più comune con cui vi troverete ad operare) c) i dati sono insufficienti (Se mancano dei dati necessari il problema non sarà risolvibile) d) i dati sono nascosti (In questo caso dovremo andare alla ricerca dei dati) 3 RAPPRESENTAZIONE Nella maggior parte dei casi (e sempre per i problemi di geometria) è utilissimo fare un disegno che rappresenti il problema da risolvere. Il disegno ci potrà aiutare sia nella comprensione del testo (così come detto prima) ma anche nella individuazione della tecnica di risoluzione più adatta al problema che stiamo affrontando. Nei problemi di geometria, inoltre, il disegno va fatto rispettando i dati del problema (es. un rettangolo con altezza doppia della base) e inserendo correttamente le lettere e tutto ci sarà di aiuto per la scrittura di dati e incognite (vedi fase successiva). 4 TRADUZIONE DEL PROBLEMA IN LINGUAGGIO MATEMATICO Come bisogna scrivere i dati e le incognite? È importante abituarci a farlo in maniera sintetica, facendo uso del linguaggio e della simbologia matematica e non riscrivendo interi parti di testo nella sezione dedicata ai dati!! A tal proposito è importante capire con che tipi di dati abbiamo a che fare: e) a) dati numerici (se espressi da un numero) f) b) dati relazionali (se sono espressi da parole che hanno un significato numerico) Eccovi un esempio di alcuni dati relazionali e del loro significato numerico: DATI SIGNIFICATO DATI SIGNIFICATO coppia oppure paio 2 anno 365 giorni; 12 mesi dozzina 12 la metà : 2 giorno 24 ore; 1440 min; sec un terzo un quarto : 3 : 4 settimana 7 giorni il doppio x 2 mese 30 giorni il triplo x 3

2 ELABORAZIONE VERIFICA 5 ALGORITMO ed ELABORAZIONE DELL ALGORITMO L algoritmo è la serie di operazioni necessarie alla risoluzione del problema e la sua elaborazione consiste nell esecuzione delle operazioni stesse. Di seguito vi ricordo alcune delle più frequenti formule per i problemi di aritmetica e scienze: peso = volume x peso specifico; volume = peso : peso specifico; peso specifico = peso : volume ricavo = spesa + guadagno; spesa = ricavo guadagno; guadagno = ricavo spesa peso lordo = peso netto + tara; peso netto = peso lordo tara; tara = peso lordo peso netto perdita = spesa ricavo; ricavo = spesa perdita; spesa = ricavo + perdita; velocità = spazio percorso : tempo impiegato; spazio = velocità x tempo; tempo = spazio : velocità pressione = peso : area; peso = pressione x area; area = peso : pressione Per i problemi di geometria, invece, occorre conoscere le formule relative alla/e figura/e coinvolta/e. 6 PROCEDIMENTI DI RISOLUZIONE Le tecniche risolutive possono essere tante e col tempo e con l esperienza comincerete a capire quale strategia è più conveniente utilizzare per la risoluzione di un certo problema. Di seguito vi elenco alcuni procedimenti e, nell approfondimento alla fine di questa tabella, vi illustro con degli esempi quei procedimenti che non trovate nel libro di testo: a) Lista ordinata o Grafo ad albero (v. pag 291 del libro) b) Tabella (v. pag 292 del libro) c) Metodo grafico (v. pag. 292 del libro e approfondimento) d) Procedere a ritroso (v. pag. 294 del libro) e) Espressioni aritmetiche risolutive f) Top-down e bottom-up g) Diagrammi di flusso h) Insiemi 7 VERIFICA Al termine dell elaborazione è bene verificare, nei casi in cui ciò è possibile, se il risultato ottenuto è corretto, confrontandolo con i dati a disposizione nel testo. Quando non è possibile verificarlo è bene cercare di capire almeno se il risultato ha senso oppure no. (Spesso il testo ci fornisce il risultato e quindi in modo immediato è possibile verificare se abbiamo operato correttamente, ma in alcune occasioni, come ad esempio le verifiche, non vi verrà fornito il risultato e quindi dovrete essere voi a capire se avete fatto bene).

3 APPROFONDIMENTO SUI PROCEDIMENTI DI RISOLUZIONE c) Metodo grafico Il procedimento consiste nella rappresentazione grafica dei dati in modo da evidenziare bene le relazioni fra i dati stessi da cui poi scaturisce la soluzione. A parte quello che trovate sul libro di testo, volevo riepilogarvi alcuni dei tipi di relazioni possibili mentre altre relazioni le studieremo più avanti (con le frazioni). Come potrete vedere dagli esempi, il tipo di problemi risolvibili con questo procedimento (che abbiamo già studiato insieme ai segmenti e abbiamo ripreso con gli angoli) va dai numeri alle cose, dal denaro ai lati di una figura (come vedremo in seguito) ecc. 1. problema somma-differenza La somma di due numeri è 17 e la loro differenza è 3. Calcola i due numeri. Indichiamo con a e b i due numeri, scriviamo così dati e richieste e rappresentiamo con dei segmenti: DATI INCOGNITE a a + b = 17 a =? A D B a b = 3 b =? C b D Dalla rappresentazione appare chiaro che sottraendo dalla somma dei due segmenti la loro differenza (in rosso), otteniamo il doppio del numero più piccolo. Avremo quindi: 17 3 = 14 (doppio del numero più piccolo) b = 14 : 2 = 7 (valore del numero più piccolo) a = = 10 (valore del numero più grande) 1.bis problema somma-differenza A una gita partecipano complessivamente 80 persone fra uomini, donne e bambini. Le donne sono 4 in più dei bambini e gli uomini 3 in più delle donne. Quanti sono gli uomini, le donne e i bambini? Indichiamo gli uomini, le donne e i bambini con u, d e b, scriviamo dati e richieste e rappresentiamo: DATI INCOGNITE u u + d + b = 80 u =? d = b + 4 d =? d u = d + 3 b =? b Il segmento più corto rappresenta i bambini, quello medio rappresenta le donne che sono 4 in più dei bambini, il segmento più lungo rappresenta gli uomini che sono 7 in più dei bambini. La rappresentazione ci suggerisce: 80 (7+4) = 69 (triplo del numero dei bambini) b = 69 : 3 = 23 (numero di bambini) d = = 27 (numero di donne) u = = 30 oppure u = = 30 (numero di uomini) 2. problema somma-multipli La somma di tre numeri è 72, il secondo è il doppio del primo e il terzo è il triplo del secondo. Calcola i tre numeri. Indichiamo con a, b e c i tre numeri, scriviamo i dati e rappresentiamo con i segmenti: DATI a + b + c = 72 a =? b = 2a b =? c = 3b c =? INCOGNITE Dalla rappresentazione vediamo che la somma dei tre numeri è formata da 9 parti uguali al primo numero (o segmento) e che la somma di tutti e nove vale 72. Trovando il valore di un segmento si trova anche il valore di a, cioè del primo numero: a = 72 : 9 = 8 (valore del primo numero e anche di ogni segmentino) b = 8 x 2 = 16 (valore del secondo numero) c = 8 x 6 = 48 oppure c = 16 x 3 = 48 (valore del terzo numero) 3. problema differenza-multipli Bruno ha il triplo di anni di Azzurra e la differenza di età tra i due è di 4 anni. Quanti anni ha Bruno e quanti Azzurra? Indichiamo con a l età di Azzurra e con b quella di Bruno, scriviamo i dati e rappresentiamo: DATI b a = 4 a =? b = 3a b =? INCOGNITE Dal disegno notiamo che la differenza tra le due età (segm. tratteggiati in rosso) risulta formata da due segmenti congruenti e dai dati sappiamo che vale 4. Trovando il valore di uno di questi due segmenti si trova il valore di a cioè l età di Azzurra: a = 4 : 2 = 2 b = 3 x 2 = 6 (età di Azzurra) (età di Bruno) a b c a b

4 e) Espressioni aritmetiche risolutive Con questo procedimento una espressione aritmetica rappresenta l algoritmo (cioè l insieme delle operazioni) necessario per la risoluzione del problema. Osserviamo come si procede con un esempio in cui ci serviremo dell algoritmo e della sua elaborazione per trovare l espressione risolutiva. Un agricoltore vende 180 kg di frumento a 0,85 il chilogrammo, 230 kg di granoturco a 0,65 il chilogrammo e una certa quantità di riso a 1, 70 il chilogrammo. Se ricava complessivamente 642,50 quanti chilogrammi di riso ha venduto? DATI INCOGNITA frumento venduto: 180 kg riso venduto =? prezzo frumento: 0,85 /kg granoturco venduto: 230 kg prezzo granoturco: 0,65 /kg prezzo riso: 1,70 /kg ricavo totale: 642,60 ALGORITMO ELABORAZIONE ricavo vendita frumento 0,85 x 180 ricavo vendita granoturco 0,65 x 230 ricavo vendita frumento e granoturco 0,85 x ,65 x 230 ricavo vendita riso 642,50 (0,85 x ,65 x 230) chilogrammi di riso venduto [642,50 (0,85 x ,65 x 230)] : 1,70 L espressione risolutiva è quindi [642,50 (0,85 x ,65 x 230)] : 1,70 e basta risolverla per trovare la soluzione del problema (lascio a voi la sua risoluzione ) f) Top-down e bottom-up Questo metodo consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi più semplici cominciando dalla richiesta e trovando i blocchi successivi chiedendosi ogni volta come si risponde a quel quesito. Ci si ferma quando il blocco non si può più suddividere perché è un dato del problema. Vediamo come funziona questo procedimento risolvendo il problema precedentemente visto al punto e) cominciando a costruire lo schema (è simile ad uno schema ad albero rovesciato) Questo metodo è molto utile nei problemi di geometria, specie quelli complessi che si affrontano in seconda e in terza media. DATI INCOGNITA frumento venduto: 180 kg riso venduto =? prezzo frumento: 0,85 /kg granoturco venduto: 230 kg prezzo granoturco: 0,65 /kg prezzo riso: 1,70 /kg ricavo totale: 642,50 kg riso venduto ricavo vendita riso : prezzo unitario riso ricavo totale _ ricavo vendita frumento e grano ricavo vendita frumento + ricavo vendita grano prezzo unitario frumento x frumento venduto prezzo unitario grano x grano venduto

5 Una volta costruito lo schema lo si ripercorre dal basso verso l alto inserendo i dati ed eseguendo le operazioni e risolvendo quindi i sottoproblemi che ci porteranno verso la soluzione finale: kg riso venduto 200 ricavo vendita riso 340,00 : prezzo unitario riso 1,70 ricavo totale 642,50 _ ricavo vendita frumento e grano 302,50 ricavo vendita frumento ricavo vendita grano 149,50 prezzo unitario frumento 0,85 x frumento venduto 180 prezzo unitario grano 0,65 x grano venduto 230 g) Diagrammi di flusso Tra tutte le tappe della risoluzione dei problemi la più importante è quella relativa all impostazione dell algoritmo di risoluzione. L algoritmo (o programma risolutivo) consiste, come già accennato prima, ad una serie di ragionamenti e di operazioni che ci portano alla soluzione e, in questa fase, è importantissima la sequenza logica di istruzioni o di operazioni. Una sequenza sbagliata, infatti, non ci permetterà di risolvere il problema correttamente. Questa sequenza logica può essere rappresentata attraverso uno schema (il diagramma di flusso) che mette in evidenza le operazioni da eseguire e anche la relazione temporale (quali operazioni fare prima e quali dopo). Tutto ciò si fa utilizzando dei blocchi aventi ciascuno un preciso significato collegati tra loro da frecce. Vediamo innanzitutto i blocchi più comuni: Blocco Descrizione Blocco Descrizione Blocco iniziale e finale del diagramma. Si scrive all interno VIA e FINE Blocco decisionale. Indica una analisi. Dal blocco usciranno 2 frecce con possibile scelta SI oppure NO Blocco di acquisizione dei dati Blocco di stampa. Vi si scrivono i risultati. Blocco delle istruzioni. Indica le operazioni da eseguire

6 Sebbene questo procedimento si presta più per problemi pratici e/o operativi in cui si devono eseguire delle istruzioni (pensate ad esempio alle istruzioni per una ricetta), si può comunque utilizzare anche per i problemi matematici e adesso ne vedremo un esempio. Sandra, per comprare dei regali di Natale, utilizza i suoi risparmi, che ammontano a 120 euro. Acquista un profumo da 29 euro per la mamma, una camicia da 23 euro per il papà e una borsetta da 14 euro per la sorellina. Con i soldi avanzati vorrebbe comprare un maglione da 53 euro per sé. Quanto le rimarrebbe in entrambi i casi? VIA Dati iniziali S I = 120 Cp = 29 Cc = 23 Cb = 14 Cm = 53 Calcolare la spesa dei regali S R = Cp + Cc + Cb = = = 66 Calcolare la somma rimasta S F = S I S R = = 54 Considerare l acquisto del maglione Sì S F è sufficiente per comprare il maglione? No S F è il risultato finale Calcolare la cifra rimasta S F = SF Cm = = = 1 Scrivi S F S F è il risultato finale Scrivi S F S F = 1 FINE

7 Seguono due diagrammi di flusso per il calcolo del m.c.m. e del M.C.D. fra due numeri con il metodo della scomposizione in fattori primi. Altri diagrammi di flusso per dei problemi pratici li incontreremo più avanti. VIA VIA Considerare i numeri a e b (con a>b) Considerare i numeri a e b (con a > b) Scomporre a e b in fattori primi No a è multiplo di b? Sì a è il m.c.m. Scomporre a e b in fattori primi No a è multiplo di b? Sì b è il M.C.D. Considerare i fattori primi comuni e non comuni con il più grande esponente Considerare i fattori primi comuni con il più piccolo esponente Eseguirne il prodotto Eseguirne il prodotto Tale prodotto è il m.c.m. Tale prodotto è il M.C.D. FINE FINE

8 h) Insiemi Questo procedimento prevede l utilizzo della rappresentazione di Eulero-Venn, tipica degli insiemi. Vediamo con un esempio l utilità di questo metodo. La classe di Fabio è formata da 24 ragazzi. Di questi 10 praticano il calcio, 11 praticano il nuoto e alcuni praticano entrambi gli sport. Soltanto 7 alunni della classe non praticano nessuno sport. Quanti sono i ragazzi che praticano il calcio e il nuoto? Quanti sono quelli che praticano solo il calcio? Quanti praticano solo il nuoto? Iniziamo disegnando due ellissi (uno per il calcio e uno per il nuoto) che si intersecano, visto che alcuni ragazzi frequentano entrambi gli sport. Poi collochiamo fuori dagli ellissi 7 pallini che rappresentano i ragazzi che non praticano nessuno sport. Calcoliamo adesso quanti ragazzi praticano N entrambi gli sport C 24 7 = 17 (praticano almeno uno sport) = 21 (praticano calcio e/o nuoto) = 4 (praticano entrambi gli sport) Disegniamo allora 4 pallini nell insieme C N 10 4 = 6 (praticano solo calcio) Disegniamo 6 pallini nell insieme C 11 4 = 7 (praticano solo nuoto) Disegniamo 7 pallini nell insieme N