40,7%; 34,9%; 11,6%; 10,5%; 2,3%

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1 requenze 1 3 I voti riportati da una classe in una esercitazione sono stati i seguenti: 7, 6, 7, 4, 5, 8, 7, 8, 8, 5 Dopo aver disposto i dati in una tabella: a) determinare la frequenza assoluta e relativa per ciascun voto; b) determinare la frequenza cumulata assoluta per ciascun voto. Le età dei dipendenti di una ditta sono (in anni): 55, 5, 34, 7, 51, 4, 39, 34, 35, 45, 36, 8 a) Disporre i dati in una tabella e determinare le frequenze assolute e relative per le classi di età: b) determinare le frequenze cumulate. Disporre in una tabella i 1 valori che figurano nella ordinaria tavola pitagorica. a) Scrivere esplicitamente i valori indicati. b) Calcolare le rispettive frequenze. 4 Un sondaggio sulla diffusione del fumo ha dato le percentuali di risposte relative al numero di sigarette fumate giornalmente riportate in tabella. Calcolare le frequenze relative che si ottengono decidendo di trascurare quel 14% di intervistati che non hanno dato alcuna risposta. 4,7%; 34,9%; 11,6%; 1,5%;,3% -5 35% 6-1 3% % 16-9% 1-5 % senza risposta 14% 5 Un sondaggio sui mezzi di trasporto usati in un certo periodo di tempo da un campione di cittadini ha dato le seguenti risposte: Mezzo di trasporto Treno Autobus Auto Nave Aereo Cittadini a) Calcolare le frequenze percentuali d uso di ciascun mezzo di trasporto. b) Costruire il diagramma a torta che rappresenta tali percentuali. 6 7 A un gruppo di 35 ragazzi si chiede di indicare lo sport preferito: 1 scelgono il calcio, 8 il nuoto, 4 la pallavolo, 3 il tennis, la pallacanestro. a) Tracciare un diagramma a bastoni che illustri le risposte. b) Calcolare le frequenze percentuali. c) Costruire il diagramma a torta che rappresenta tali percentuali. Su famiglie residenti in una cittadina la distribuzione di bambini di età inferiore ai 1 anni è la seguente: 3 famiglie non hanno bambini, 5 hanno un bambino, 8 hanno due bambini, 7 hanno tre bambini, 11 hanno quattro bambini, hanno più quattro bambini. Costruire una tabella di frequenze, contenente le frequenze assolute, le frequenze percentuali, le frequenze cumulate assolute e le frequenze cumulate percentuali. Qual è la percentuale di famiglie che ha almeno un bambino? 85% 1

2 8 La tabella che segue mostra la distribuzione di frequenze dei punteggi ottenuti da 1 concorrenti a un concorso. Punteggio requenza requenza requenza requenza assoluta percentuale cumulata cumulata assoluta percentuale Completare la tabella e rispondere alle seguenti domande: a) quanti concorrenti hanno avuto un punteggio superiore a 6; b) quale percentuale di concorrenti ha un punteggio che non supera 5; c) quale percentuale ha un punteggio superiore a 8; d) quale percentuale di concorrenti ha un punteggio maggiore di 5 e non superiore a 7; e) tracciare il poligono delle frequenze assolute cumulate. a) 43 b) 35,8% c) 4% d) 49% 9 1 Sono riportate le altezze (in cm) dei 3 alunni di una classe: a) Costruire una tabella raggruppando i dati in classi di ampiezza 1 cm iniziando da 1 cm. b) Quale percentuale di allievi ha altezza inferiore a 15 cm? c) Quale percentuale di allievi ha altezza superiore a 16 cm? d) Tracciare un istogramma relativo alle frequenze cumulate percentuali. b) 31,5% c) 37,5% Nazioni partecipanti alle Olimpiadi Anno Città Nazioni Anno Città Nazioni Anno Città Nazioni 1896 Atene Parigi St. Louis Londra 191 Stoccolma 8 19 Anversa Parigi Amsterdam Los Angeles Berlino Londra Helsinki Melbourne Roma Tokyo Città del Messico Monaco Montreal Mosca Los Angeles Seul Barcellona Atlanta 197 Sidney 4 Atene 1 Dividere le Olimpiadi a seconda del numero delle nazioni partecipanti in classi [1; 5[, [51; 1[, [11; 15[ [151; 1] e costruire una tabella di frequenze assolute e percentuali. Disegnare un diagramma a torta relativo alle frequenze percentuali e un istogramma relativo alle frequenze cumulate percentuali. Qual è la percentuale di Olimpiadi che hanno avuto più di 1 nazioni partecipanti? 3% Raccogliere i dati riguardanti le altezze degli alunni della propria classe e suddividerli in classi di ampiezza 5 cm. Calcolare le frequenze assolute e percentuali cumulate e costruire un istogramma con le frequenze percentuali cumulate.

3 1 La penetrazione della distribuzione mondiale dell'e-commerce si distribuisce come riportato nella tabella (da Il Sole - 4 ORE del 7 ottobre 1999). Software Hardware Libri Musica Biglietti iaggi ideo Altro 35% 13% 11% 9% 7% 7% 6% 1% Dare una rappresentazione mediante un diagramma a torta e un diagramma a bastoni. 13 Nella tabella sono riportati i dati relativi agli alunni delle scuole della provincia di erona (Anno Scolastico /3 a confronto con Anno Scolastico 1993/1994). Totale alunni Totale alunni Totale alunni italiani e stranieri stranieri stranieri A.S. /3 A.S. /3 A.S. 1993/1994 Scuole dell infanzia Scuole elementari Scuole medie Scuole superiori Totale.... Dare una rappresentazione mediante un diagramma a torta relativamente all anno scolastico /3 delle otto categorie di alunni: Italiani nelle Scuole dell'infanzia Stranieri nelle Scuole dell'infanzia Italiani nelle Scuole elementari Stranieri nelle Scuole elementari Italiani nelle Scuole medie Stranieri nelle Scuole medie Italiani nelle Scuole superiori Stranieri nelle Scuole superiori Calcolare inoltre la percentuale di stranieri in ogni tipo di scuola nell anno /3 e l aumento percentuale di studenti stranieri rispetto all anno scolastico 1993/ La tabella seguente indica la misura dei diametri di 8 bulloni misurati con la precisione di,1 mm, secondo l ordine di uscita dalla macchina. 13,39 13,43 13,54 13,64 13,4 13,55 13,4 13,6 13,4 13,5 13,3 13,31 13,8 13,5 13,46 13,63 13,38 13,44 13,5 13,53 13,37 13,33 13,4 13,13 13,53 13,53 13,39 13,57 13,51 13,34 13,39 13,47 13,51 13,48 13,6 13,58 13,57 13,33 13,51 13,4 13,3 13,48 13,4 13,57 13,51 13,4 13,5 13,56 13,4 13,34 13,3 13,37 13,48 13,48 13,6 13,35 13,4 13,36 13,45 13,48 13,9 13,58 13,44 13,56 13,8 13,59 13,47 13,46 13,6 13,54 13, 13,38 13,43 13,35 13,56 13,51 13,47 13,4 13,9 13, a) Mettere ciascun dato in classi di ampiezza,5 mm (la prima classe è 13,1 13,15) e costruire la tabella della distribuzione. b) Tracciare l istogramma delle frequenze. c) Tracciare l istogramma delle frequenze cumulate. 3

4 15 Completare la seguente tabella che fornisce la distribuzione della popolazione di un paese rurale a seconda del tipo di impiego lavorativo Agricoltori Artigiani Operai Impiegati unzionari Dirigenti Totale requenza assoluta requenza percentuale Rappresentare la distribuzione di frequenze con un diagramma semicircolare (1% corrisponde a 1,8 ). ero o falso? Si consideri la seguente tabella, relativa all anno e si indichi la risposta corretta. Popolazione Linee Utenti Personal telefoniche Internet Computer Italia Europa Usa Mondo La popolazione italiana è l 1% della popolazione mondiale.. La popolazione italiana è il % della popolazione europea. 3. In Europa la diffusione di linee telefoniche tra la popolazione è maggiore rispetto agli USA In Europa la percentuale di utenti Internet nella popolazione è circa di quella degli USA. 5. Il numero più alto di computer per abitante si raggiunge in USA e corrisponde a,75 computer per abitante. 6. La distribuzione delle frequenze per l Italia è rappresentata dal seguente istogramma:,5,43,36,8,1,14,5, Linee telefoniche Utenti Internet Personal computer 4

5 Media aritmetica Calcolare la media aritmetica di ciascuno dei seguenti insiemi di dati ; 8; 4; 5; 1 6,8 15; 1; 37; 86 34,75 6,1; 6,1; 6,1; 7,5; 7,5; 9; 9; 9 7, ; ; ; 15; 8; 8; 3; 34 14,5 15; 11; ; 3; 45; 88; 97; 4; 3; 1; 41 4,8 Calcolare la media aritmetica della statistica (18, 19,,, 6, 7).,5 Calcolare la media aritmetica della statistica (11, 1, 13,, 19, ). 15,5 Calcolare la media aritmetica della statistica (,, 4,, 38, 4). 3 Un insegnante di matematica insegna in due diverse sezioni A e B. Propone lo stesso test alle due classi: nella 1 a A, che ha studenti, la media del punteggio ottenuto è 9 mentre nella 1 a B, composta da 5 studenti, la media è 83. Se il professore mette insieme i risultati delle due classi, quale media ottiene? 87 5 Determinare a tale che la media aritmetica tra i numeri {a; a; 3a; ; 1a} valga 1. a = Calcolare le medie aritmetiche a e b della statistiche (1,, 3, 4, 5) e {6, 7, 8, 9, 1} e controllare se la loro media a+ b è la media della statistica formata dai primi 1 numeri naturali. a = 3; b = 8 Determinare la media dei primi n numeri naturali e riconoscere per quali n risulta intera. [ nn n +1 La somma dei primi n numeri naturali è ( +1 )...] n dispari ; Determinare la differenza tra la media dei primi n numeri naturali e quella dei primi n. n Calcolare la media aritmetica della statistica S composta da n valori uguali ad a e m valori uguali a b. na + mb n+ m La statistica S sia composta da n valori uguali ad a e da m valori uguali a b. Per quali scelte di m, n, a, b la media vale a+ b? n = m, a, b; n m se a = b L esame di ingresso a una scuola di specializzazione in elettronica, le cui votazioni sono in ventesimi, consiste in tre prove: Matematica: peso 4 isica: peso 3 Italiano: peso 5

6 Si supera la prova se si ottiene un punteggio maggiore o uguale a 1. Considerare le seguenti situazioni: a) Luca ha ottenuto 1 in matematica, 1 in fisica, 8 in italiano. Ha superato la prova? b) Nicola ha ottenuto 1 in matematica, 11 in italiano. Quale deve essere il voto minimo in fisica perché possa superare la prova? c) Giulio ha avuto 1 in fisica. Il voto in matematica è il doppio del voto in italiano. La sua media è 1. Quali sono i voti in matematica e in italiano? a) sì b) 1 c) 1; 6 3 A una gara di pesca i risultati del pescato sono riportati nella seguente tabella: Massa m (in g) Numero dei pescatori < m 5 5 < m < m < m 1 < m 5 3 a) Qual è il numero di pescatori che ha partecipato alla gara? b) Qual è il numero di concorrenti che ha pescato più di 15 g? c) Qual è la percentuale di concorrenti che hanno pescato al massimo 1 kg? d) Qual è la percentuale di concorrenti che hanno pescato tra 1 kg e 1,5 kg? e) Qual è la media del pescato? a) 4 b) 4 c) 75% d) 15% e) 71,5 g Quesiti a risposta multipla Dati i 1 valori:,,, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 9, la media aritmetica è uguale a a 3 b 6 c 8 d 11. se tutti i termini vengono moltiplicati per 3 allora la media aritmetica a b non varia c viene moltiplicata per 3 1 viene moltiplicata per = 4 3 d aumenta di 3 3. se a ogni termine si aggiunge 3 allora la media aritmetica a b aumenta di 3 c viene moltiplicata per 3 aumenta di 1 3 = 36 d non varia 4. se ogni termine viene moltiplicato per 3 e poi a ognuno di essi si aggiunge 3, la media aritmetica a non varia c è uguale a 1 b aumenta di 3 d è uguale a 9 5. lo scarto di 4 dalla media è a b c 3 d 6

7 Moda Calcolare la moda di ciascuno dei seguenti insiemi di dati ; 11; 4; 48; 11; 81; 48; ; 13; 5; 6; 4; 5; 6; 6; 5; 4; 1 5 e 6 3; 4; 5; ; 3; 4; ; 7; 3; 1; ; 3; 5; ; ; ; 1; 1; 1; 3; ; ; 1; ; ; 1; ; ; 1; 1 ; 1;, ,6; 18,3; 3,4; 7,; 4,1; 4,8; 31,6; 1,5; 6,9 non esiste 1; 1; 1; ; 1; 1; ; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 1 Un indagine condotta su un gruppo di ragazzi in relazione al numero di ore dedicate settimanalmente ai giochi al computer ha prodotto la seguente tabella: Numero ore requenza a) Costruire l istogramma delle frequenze assolute e quello delle frequenze relative. b) Quanti sono i ragazzi intervistati? c) Qual è la classe modale? 4 I lanci di un dado hanno dato i risultati riportati nella seguente tabella: a) Costruire l istogramma delle frequenze assolute. b) Costruire l istogramma delle frequenze cumulate assolute. c) Quante volte è stato lanciato il dado? d) Qual è la moda? La moda è un buon indicatore per la serie di valori? Perché? e) Qual è la media aritmetica? Mediana Numero faccia requenza Calcolare la mediana di ciascuno dei seguenti insiemi di dati , 7, 11, 1, 7 51, 1, 8, 43, 36, 9 35, 3, 13, 81, 18, 7, , 71, 98, 64, 39, 4, 7, 43 53,5 Calcolare la media aritmetica e la mediana della seguente distribuzione: 4, 5, 8, 3, 7,, 9. 5,4; 5 7

8 46 I numeri 3, 6, 4, 1, 1, 4, 1, a hanno per media aritmetica 7: a) calcolare il valore di a; b) calcolare la mediana della distribuzione. a) a = 5 b) mediana = 5,5 ero o falso? 1. La moda della serie 3, 6, 1, 8, 5, 1 è 6.. La moda di una serie di dati dipende da tutti gli elementi della serie. 3. In una serie di dati vi possono essere più mode. 4. La mediana della serie 3, 6, 1, 8, 5, 1 è 5,5. 5. La mediana di una serie di dati dipende da tutti i termini della serie. 6. In un grafico di frequenze cumulate relative la mediana è l elemento che corrisponde alla frequenza cumulata del 5%. 7. Se tutti i termini di una serie aumentano di 8 unità anche la mediana aumenta di 8 unità. 47 Le auto transitate in un certo orario davanti a un punto di rilevazione sono occupate da 1,, 6 persone secondo la seguente statistica: Persone Auto Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana.,86; ; 3 48 I punteggi ottenuti da 5 concorrenti all esame scritto di un concorso sono suddivisi in classi e rappresentati nella seguente tabella: Punteggi requenza Calcolare: a) la media; b) la classe modale; c) la classe mediana. a) 6,8 b) 6-69 c) A un concorso candidati hanno ottenuto votazioni superiori a 5/6. La distribuzione delle frequenze è la seguente: otazione requenza Calcolare la mediana, il primo e il terzo quartile, la media aritmetica. 54,5; 5; 57; 54,95 8

9 5 Nelle due tabelle sono riportate le altezze (in cm) di 8 ragazze e di 8 ragazzi sotto i 14 anni appartenenti a un gruppo sportivo. Altezze Ragazze Altezze Ragazzi a) Calcolare la media, la moda e la mediana della prima distribuzione. b) Calcolare la media, la moda e la mediana della seconda distribuzione. c) Disegnare il poligono delle frequenze relativo alle due distribuzioni. d) are qualche osservazione dopo aver confrontato i due diagrammi. a) 144,9; ; b) 143,; ; Un indagine effettuata sulla composizione delle famiglie di un certo Comune ha dato i seguenti risultati circa il numero dei figli: igli amiglie Calcolare: a) il numero totale dei figli; b) il numero medio di figli per famiglia; c) le frequenze relative e cumulate; d) la mediana, dopo aver disegnato il grafico delle frequenze relative cumulate. a) 18 b) 1,9 c) 3%, 49,1%, 14,5%, 4%,,4% d) 5 La distribuzione dei punti, assegnati da a 1, riportati da 15 studenti in una gara nazionale ha le seguenti frequenze: Punteggio requenza a) determinare tre quartili; b) determinare la media aritmetica, la classe modale, la mediana. o risolto Un rilevamento sugli intervalli di tempo tra il passaggio di un auto e della successiva ha prodotto il grafico di frequenze cumulate riportato a fianco. Dalla lettura del grafico dedurre: a) quante auto sono state rilevate; b) qual è l intervallo di tempo corrispondente alla mediana della statistica ottenuta; c) quale percentuale di auto distava dalla successiva per meno di 5 secondi. 9

10 a) Il numero di auto osservate corrisponde al valore più alto del grafico delle frequenze cumulate, 8. b) Il valore della mediana e il numero di auto con distanze superiori a 5 secondi si ricavano dal grafico a fianco. Il tempo mediano corrisponde a quello per il quale il grafico delle frequenze cumulate raggiunge la sua quota media, 4: si tratta quindi del tempo secondi. c) La parte degli 8 veicoli osservati che presentava un distacco di più di 5 secondi si ottiene elevando la verticale da 5, linea che interseca il grafico delle frequenze cumulate alla quota 55: questo significa che 55 macchine su 8 hanno presentato una distanza in tempo dalla successiva minore o uguale a 5 secondi, ovvero 5 veicoli su 8, il 31%, hanno un intervallo superiore a 5 secondi. frequenze cumulate frequenze cumulate distanza temporale distanza temporale Le stature dei 5 abitanti di un condominio, bambini, ragazzi e adulti, presentano il seguente diagramma delle frequenze cumulate. Determinare: frequenza cumulata a) la statura mediana; b) la percentuale di condomini che superano 5 1,8 m; 4 c) la percentuale dei condomini al di sotto di 3 un metro. 1 studenti di una scuola hanno riportato a una prova d esame voti distribuiti secondo il seguente diagramma di frequenze cumulate. Determinare: a) il voto mediana e i voti dei due quartili; b) la percentuale di studenti che ha riportato la sufficienza, cioè un voto maggiore o uguale a 6; c) la percentuale di studenti che hanno riportato voti compresi tra i due voti quartili frequenza cumulata statura voti 1

11 confezioni da 1 g di un noto prodotto alimentare hanno fornito, controllate a posteriori, i seguenti 5 pesi differenti: 1,7 99, 11,6 99,9 98,9 11,8 98,6 11, 1, 11, 1, 98, 99,5 11, 1,6 1, 1, 98,3 98,8 1,8 1,5 98,8 11,1 98,9 11,4 97,6 99,7 98,6 98,6 98,5 99, 1,1 1, 1, 98, 1, 98,7 1,4 11,4 98,5 11,3 11,6 97,6 11, 1, 11,5 1,1 98,3 1,3 11,7 a) Disegnare il diagramma delle frequenze cumulate dei diversi pesi riscontrati. b) Determinare il peso mediana e i due pesi quartili. c) Determinare la percentuale di confezioni di peso superiore ai 1 grammi dichiarati. Due campioni di 1 pezzi ciascuno di prodotti alimentari in confezione da 1 grammi, relativi a due marche diverse hanno offerto i due seguenti diagrammi delle frequenze cumulate rispetto ai diversi pesi effettivi. Calcolare: Campione A Campione B a) il peso mediana del campione A e di quello B; b) la percentuale delle confezioni A di peso inferiore ai 1 g dichiarati; c) la percentuale delle confezioni B di peso superiore a 11 g. 57 In una sala cinematografica sono presenti 8 spettatori di età distribuite come segue: 8 bambini sui 6 anni, trentenni, 1 ragazzi di circa 1 anni, 1 cinquantenni, 15 giovani ventenni, 17 ultrasessantenni. a) Calcolare la mediana e la media delle età degli spettatori. b) Calcolare la percentuale di minorenni. ero o falso? L istogramma a fianco rappresenta la distribuzione di frequenze per classi di età delle persone che frequentano una palestra. frequenza assoluta classi di età 11

12 1. Più del 45% ha età inferiore a 36 anni.. Il 5% è nella classe Il 5% è nella classe La classe è la classe modale. 5. La classe mediana è la classe La media della distribuzione è superiore a 36 anni. Indici di dispersione vero o falso? Osservando il diagramma a bastoni di una serie statistica, indicare la risposta corretta. frequenze Il numero totale degli elementi della serie è.. La moda è La media aritmetica coincide con un termine della serie. 4. La media aritmetica è 4,8. 5. Tutti gli scarti dalla media aritmetica sono positivi. 6. Le frequenze cumulate sono: 5, 1, 16,, 5 7. Una mediana è 3,5. 8. Il range è ha una frequenza relativa uguale a %. 1. Se tutti i termini della serie vengono moltiplicati per 1 la moda non varia Calcolare il campo di variazione delle seguenti distribuzioni: a) 31, 33, 54, 1, 7, 5 c) 41, 44, 37, 55, 48, 44, 38 b) 13, 8, 81, 84, 85, 61, 74 d), 7, 11,, 5, 3, 4 In un azienda ci sono sei tipi di categorie di impiego. La distribuzione dei salari mensili è data nella tabella che segue: Salari in euro requenza a) erificare che il salario medio è di 1955 euro. b) È vero che il 6% dei salari è superiore alla media? c) Calcolare il campo di variazione dei salari. 1

13 6 61 In un torneo di calcio giocano 4 squadre A, B, C, D. Attribuendo 3 punti a ogni partita vinta, 1 punto a ogni pareggio, completare la tabella e fare la classifica. Determinare: a) la squadra vincitrice; c) il campo di variazione; b) il punteggio medio; d) lo scarto semplice medio. Squadra inte Pari Perse Punteggio A B 5 5 C 7 3 D 11 1 Il medagliere alle Olimpiadi invernali di Torino del 6 (per le prime 15 nazioni) Nazioni Oro Argento Bronzo Punteggio 1 Germania USA Austria Russia Canada Svezia Corea del Sud Svizzera Italia rancia Olanda Estonia 3 13 Norvegia Cina Croazia 1 Supponendo di dare un peso a ciascuna medaglia conquistata: 3 per l oro, per l argento, 1 per il bronzo: a) completare la tabella con i punteggi ottenuti da ciascuna nazione; l ordine si conserva? b) calcolare il punteggio medio, la moda e la mediana della distribuzione; c) qual è il campo di variazione dei punteggi ottenuti? d) dividere i punteggi in classi di ampiezza e determinare la classe modale Calcolare la media e lo scarto semplice medio dei primi 1 numeri naturali. 11 media = ; scarto = Assegnate le due statistiche S = {1; ;, 9; 1} e Z = {3; 3; 3; 3; 3; 8; 8; 8; 8; 8}: a) calcolare le medie a e b delle due statistiche; b) calcolare i rispettivi scarti semplici medi. Che cosa si può osservare? a) a = b = 5,5 b) scarti uguali = Sia S = {1; 1; ; ; ; 1; 1}: calcolare il range e lo scarto semplice; esaminare di quanto cambia la media se si aumenta uno degli elementi di 5. range =, scarto = 5,5 se si aumenta un elemento di 5 la media passa da a,5 Assegnate le due statistiche {; 4; 6; 8; ; 18; } e {3; 3; 5; 5; ; 1; 1}: a) calcolare le medie a e b delle due statistiche; b) calcolare i rispettivi scarti semplici medi. a) a = 11, b = 1 b) scarto della prima = 5, scarto della seconda =

14 Si consideri la statistica S dei primi 1 numeri naturali. Calcolare: a) di quanto cambia la media se aumentiamo di 1 uno dei 1 valori che formano S; b) di quanto cambia in conseguenza lo scarto semplice. a) media = 5,6 b) scarto =,4 oppure,6 a seconda che si aumenti un valore prima di 5 o dopo 5 Determinare per quali b lo scarto semplice della statistica {b; b; 3b; ; 1b} è minore di,1. 1, b < = 4, 5, Assegnata la statistica S = {1; ; ; 1; a}: a) indicare per quale a la media di S è la stessa della statistica dei soli primi 1 numeri naturali; b) per tale valore di a confrontare lo scarto semplice medio di S con quello della statistica dei soli primi 1 numeri naturali a) a = b) scarto primi 1 naturali =, scarto con a = 69 Assegnata la statistica S = {1; ; 3; 4; 5} e avuta la possibilità di aumentare di 1 uno dei suoi elementi, scegliere quale modificare per ottenere la maggiore riduzione dello scarto semplice medio. aumentando il si abbassa lo scarto a 1,4 Esercizi di riepilogo 7 71 Sia S la statistica delle aree dei rettangoli di lati di misure intere prese nell intervallo [1; ; 5]: a) determinare le frequenze; b) calcolare la media; c) calcolare la mediana; d) calcolare lo scarto semplice medio. Le aree possibili sono {1,, 3, 4, 5, 4, 6, 8, 1, 9, 1, 15, 16,, 5} a) Le frequenze sono tutte 1 tranne quella del 4 che vale b) 14 c) 8 d) 5,6 15 La produzione di un certo distretto industriale ha dato i seguenti risultati mensili, misurati in numero di container spediti. Mesi Container a) Rappresentare la statistica della produzione mensile sotto forma di istogramma. b) Calcolare la produzione mensile media e lo scarto semplice medio. c) Costruire la statistica della produzione per trimestri e calcolarne la media e lo scarto semplice medio. b) produzione media mensile = 4,5; scarto = 9,833 c) statistica per trimestri = {5,6; 8; 16,6; 7,6}, media per trimestri = 4,5, scarto = 3,9 7 Una serie di misure sperimentali sul punto di solidificazione di un liquido ha per media aritmetica μ e deviazione standard σ rispettivamente: μ=4,34 C σ=,47 C Se tutte le misure vengono convertite in gradi Kelvin, come si modificano μ e σ? [Se T è la temperatura in gradi Kelvin e t la temperatura in gradi Celsius, si ha: T = t + 73,14...] μ=4, ,16 K = 77,5 K; σ=,47 K 14

15 73 Il medagliere delle Olimpiadi di Atene 4 (per le prime 15 nazioni) Nazioni Oro Argento Bronzo Punteggio 1 Stati Uniti Cina Russia Australia Giappone Germania rancia Italia Corea del Sud Gran Bretagna Cuba Ucraina Ungheria Romania Grecia Supponendo di dare un peso a ciascuna medaglia conquistata: 3 per l oro, per l argento, 1 per il bronzo: a) completare la tabella con il punteggi ottenuti da ciascuna nazione; b) dividere i punteggi in classi di ampiezza 3 e costruire una tabella delle frequenze f, dove f è il numero di nazioni che hanno punteggio nella classe; c) calcolare il punteggio medio; d) calcolare lo scarto semplice medio Calcolare lo scarto quadratico medio della distribuzione riportata in tabella, avendo indicato con f la frequenza assoluta di ciascun valore. Calcolare media aritmetica e scarto quadratico medio per la distribuzione di altezze riportata in tabella. x f Altezze requenze 148,5 153,5 153,5 158, ,5 163, ,5 168, ,5 173, ,5 178,5 4,9 164,5; 6,45 15

16 Calcolare mediana, media aritmetica e scarto quadratico medio della seguente distribuzione: 5, 4,,, 1, 7, 4, 6, 6, 3, 3,, 8, 4,, 3, 3, 1, 5, 6, 9, 7, 5, 6, 4 4; 4,3;,13 Calcolare lo scarto semplice medio, la varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18,5; 15; 3,87 Una classe di 5 alunni ha riportato agli esami di maturità i seguenti voti: oti requenze Calcolare la media aritmetica, il campo di variazione, lo scarto semplice medio, lo scarto quadratico medio. 47; 4; 4,68; 5, Raggruppare le votazioni della tabella precedente in cinque classi: Calcolare, mediante il centro di ogni classe, la media aritmetica, lo scarto semplice medio e lo scarto quadratico medio. Constatare che i risultati sono diversi da quelli ottenuti in precedenza. Per quale distribuzione di voti ci sarebbe stata coincidenza? La distribuzione di frequenze per classi di reddito di 1 famiglie italiane è la seguente: Classe di reddito (in migliaia di euro) requenze Utilizzando i valori centrali di ciascuna classe, calcolare la media aritmetica, lo scarto semplice medio, lo scarto quadratico medio. 34,8; 16,98; 1,47 81 I 1 giocatori di un torneo che prevede la conquista di 1 punti hanno riportato i seguenti risultati: Punti Giocatori a) Calcolare il punteggio medio, lo scarto semplice medio e la deviazione standard. b) Disegnare il grafico delle frequenze cumulate. c) Calcolare la mediana e i due quartili. a) media = 5,4, scarto semplice medio = 1,688, deviazione standard =,441 c) La mediana e i due quartili sono leggibili dal grafico delle frequenze cumulate 8 Agli alunni di una classe è stato chiesto di indicare a occhio, senza orologio, la durata di 1 minuto. Le risposte ottenute, controllate con l orologio dell insegnante, sono state le seguenti: Risposte in secondi Alunni a) Calcolare la media e la deviazione standard. 16

17 b) Rappresentare la statistica con un istogramma. c) Calcolare il numero di risposte che si discostano dalla media per non più della deviazione standard. [c) L intervallo con centro la media proposto copre le tre fasce [41-5], [51-6], [61-7]; le risposte sono pertanto 1, il 7% del totale delle risposte] a) media = 55, deviazione standard = 9, Un primo gruppo A di persone presenta le seguenti altezze {1,6; 1,73; 1,6; 1,75; 1,75} un secondo gruppo B le seguenti {1,79; 1,84; 1,56; 1,74;,; 1,35; 1,35}. Calcolare le altezze medie dei due gruppi e le relative deviazioni standard. A e B hanno la stessa media = 1,69. La deviazione standard di A è,4 quella di B è,8 I valori {4; 5; 7; 8; x} hanno come media 6. a) Determinare il valore necessariamente assunto da x. b) Determinare la deviazione standard. a) x = 6 b) = Un dado lanciato 1 volte ha dato i seguenti risultati: Punto requenza a) Calcolare il punteggio medio. b) Calcolare la deviazione standard. c) Calcolare il numero di lanci che ha dato un risultato che si discosta da quello medio per non più della deviazione standard. a) punteggio medio = 3,49; b) deviazione standard = 3,4 c) tutti i 1 lanci hanno dato risposta appartenente all intervallo assegnato 86 Consideriamo le tabelle A e B, la seconda delle quali è ottenuta dalla prima moltiplicando ciascun valore per 5 e aggiungendo 11. Calcolare le rispettive medie e deviazione standard. Tabella A alori requenze Tabella B alori requenze media della tabella A =,84; media della tabella B = ,84 = 135,; deviazione standard della A = 1,488, deviazione standard della B = 1,488 5 = 7,44 In una gara di pesca i 5 concorrenti hanno ottenuto i seguenti risultati, misurati in kilogrammi di pescato. Pescato (in kg) -,4,5-,9 1,-1,4 1,5-1,9,-,4 Concorrenti a) Calcolare il peso medio e la deviazione standard. b) Determinare il numero di concorrenti che hanno ottenuto un pescato che differisce dalla media per non più della deviazione standard. c) Disegnare il grafico delle frequenze cumulate e determinare mediana e quartili. a) media = 1,3, deviazione standard =,583 b) 18 concorrenti, il 7%, rientra nell intervallo indicato c) Dal grafico si riconosce che la mediana è circa 1,5, mentre i due quartili sono circa 1 e 1,5 17

18 ero o falso? 1. Il range di un campione è sempre minore o uguale al range dell intera popolazione.. La deviazione standard è nulla se e solo se tutti i valori della statistica sono uguali. 3. La deviazione standard è fortemente influenzata dai valori estremi. Sia 5 il punteggio medio di un test con deviazione standard 1; se ciascun punteggio è incrementato di 5 allora: 4. la media e la deviazione standard risultano incrementate di 5 unità 5. la media e la deviazione standard risultano inalterate 6. la media risulta incrementata di 5 unità e la deviazione standard resta inalterata Sia 5 il punteggio medio di un test con deviazione standard 1; se ciascun punteggio è incrementato di 5% allora: 7. la media è 5 e la deviazione standard è 1 8. la media è 55 e la deviazione standard è 1 9. la media è 65 e la deviazione standard è 1 1. la media è 65 e la deviazione standard è 15 Il seguente grafico a barre mostra la percentuale di abitazioni della città con riscaldamento a gas metano e a gasolio metano 66% gasolio 9% metano 65% gasolio 9% metano 6% gasolio 3% metano 59% gasolio 33% metano 58% gasolio % 1% % 3% 34% 4% 5% 6% 7% Da questi dati si può dedurre che: 11. la percentuale di abitazioni che usano il gasolio non è mai aumentata da un anno all altro. 1. la percentuale di abitazioni che usano il gas metano è aumentata da un anno all altro 13. la percentuale di abitazioni che usano combustibili diversi dal gasolio e dal gas metano non è aumentata da un anno all altro 18

19 L istogramma seguente rappresenta i prezzi delle case (in migliaia di euro) messe in vendita da un agenzia. frequenza,5 3,5 1, ,5 prezzo in migliaia di euro Si può dedurre che: 14. la mediana della distribuzione è 15 euro 15. le case che costano tra 1 euro e 15 euro sono più numerose di quelle che costano più di 15 euro La classe 1 a A fa un test e ottiene un punteggio con deviazione standard 11,; la classe 1 a B fa lo stesso test e ottiene un punteggio con deviazione standard 5,6: 16. la 1 a A è meno eterogenea della 1 a B. 17. la 1 a B è più omogenea della 1 a A. 18. la 1 a B ha risultati due volte superiori a quelli della 1 a A. 19. la 1 a A non va bene come la 1 a B. 19