BOOK IN PROGRESS MATEMATICA GEOMETRIA SECONDO ANNO TOMO NR. 1

Transcript

1 OOK IN PROGRESS MTEMTI GEOMETRI SEONO NNO TOMO NR 1

2 SOMMRIO EL TOMO 1 SEONO NNO UNITÀ 6: L IRONFERENZ E IL ERHIO 61 Generalità pag 1 62 Simmetrie nella circonferenza e nel cerchio pag 3 63 Le parti della circonferenza e del cerchio pag 5 64 Proprietà delle corde di una circonferenza pag Reciproche posizioni fra retta e circonferenza pag Reciproche posizioni fra due circonferenze pag ngoli alla circonferenza e corrispondenti angoli al centro pag Tangenti condotte da un punto ad una circonferenza pag 41 ESERIZI UNITÀ 6 onoscenza e comprensione pag 47 pplicazione pag 54 Problemi orde e archi pag 61 Reciproche posizioni fra retta e circonferenza Reciproche pag 63 posizioni fra due circonferenze ngoli al centro e angoli alla circonferenza Tangenti a una pag 65 circonferenza Problemi di riepilogo pag 68 OLIMPII pag 71 UNITÀ 7: POLIGONI INSRITTI E IROSRITTI POLIGONI REGOLRI 71 Generalità pag Punti notevoli di un triangolo pag I quadrilateri inscritti e circoscritti pag I poligoni regolari pag 96 ESERIZI UNITÀ 7 onoscenza e comprensione pag 104 pplicazione pag 109 1

3 Punti notevoli di un triangolo pag 111 Quadrilateri inscritti e circoscritti pag 112 Poligoni regolari pag 113 Problemi di riepilogo pag 114 OLIMPII pag 117 UNITÀ 8: L EQUIVLENZ EI POLIGONI 81 Figure equivalenti pag Somma e differenza di superfici pag Poligoni equivalenti pag ostruzione di poligoni equivalenti pag I teoremi di Pitagora e di Euclide pag Espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide pag ree dei poligoni rea del cerchio pag pplicazioni del teorema di Pitagora pag Relazioni tra i lati dei poligoni regolari e i raggi delle circonferenze pag 164 inscritte e circoscritte ESERIZI UNITÀ 8 onoscenza e comprensione pag 173 ostruzioni pag 180 Problemi pag 182 Primo teorema di Euclide pag 186 Teorema di Pitagora pag 187 Secondo teorema di Euclide pag 188 Problemi di riepilogo sull equivalenza pag 189 Problemi sulle aree dei poligoni Espressioni metriche dei teoremi di pag 191 Pitagora e di Euclide OLIMPII pag 195 2

4 UNITÀ 6 L IRONFERENZ E IL ERHIO 61 Generalità Fissati nel piano un punto O ed un segmento r, si chiama circonferenza di centro O e raggio r il luogo geometrico dei punti P del piano aventi distanza da O congruente al segmento r (fig 1): P O // // r PO = distanza di P da O = d (P, O) PO r fig 1 Ovviamente ogni segmento avente per estremi il punto O ed un punto qualsiasi della circonferenza è congruente al segmento r (e quindi tutti i raggi sono congruenti) Si chiama corda il segmento che ha per estremi due punti qualsiasi della circonferenza (fig 2): Q P O PQ corda fig 2 Si chiama diametro ogni segmento che ha per estremi due punti della circonferenza e che contiene il centro della circonferenza stessa (fig 3): r O r diametro 2 r fig 3 Il diametro è, quindi, una corda che contiene il centro della circonferenza Gli estremi e del diametro si dicono punti diametralmente opposti La retta passante per e viene detta retta diametrale 3

5 ato che il diametro è congruente al doppio del raggio, tutti i diametri di una stessa circonferenza sono congruenti Le circonferenze si disegnano con il compasso: la punta metallica nel centro O ed apertura uguale al raggio ISEGN sul tuo quaderno tre circonferenze con centri in tre punti a tua scelta e raggi r = 3 cm, r = 5 cm, r = 6 cm La circonferenza è una linea chiusa non intrecciata e divide il piano in tre sottoinsiemi disgiunti: l insieme dei punti la cui distanza dal centro è minore del raggio (punti interni alla circonferenza); l insieme dei punti la cui distanza dal centro è congruente al raggio (punti della circonferenza); l insieme dei punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio (punti esterni alla circonferenza) In fig 4 è data una circonferenza Γ e sono rappresentati un punto interno, un punto esterno e un punto appartenente a Γ: Γ O Q P T fig 4 Q punto interno a Γ : OQ < r P punto appartenente a Γ : OP r T punto esterno a Γ : OT > r Si dice cerchio di centro O e raggio r il luogo dei punti P del piano che hanno distanza da O minore o congruente al raggio; in simboli: {P π / PO < r PO r} Pertanto, il cerchio è la figura formata dall insieme dei punti interni e dei punti appartenenti alla circonferenza (fig 5): circonferenza O cerchio fig 5 La circonferenza è il contorno del cerchio Il punto O è il centro della circonferenza e del cerchio Il cerchio è una figura convessa [PERHÉ?] È intuitivo che due circonferenze/cerchi sono congruenti se e solo se hanno raggi congruenti 4

6 62 Simmetrie nella circonferenza (e nel cerchio) La circonferenza e il cerchio hanno infiniti assi di simmetria e un centro di simmetria Valgono infatti i seguenti teoremi: TEOREM Ogni retta che contiene un diametro è asse di simmetria per la circonferenza / il cerchio Sia data una circonferenza Γ di centro O e raggio r onsideriamo un diametro e la simmetria assiale σ di asse la retta Vogliamo dimostrare che, considerato un generico punto P di Γ, il suo corrispondente P', nella σ, appartiene ancora a Γ Quindi: P Γ circonferenza di centro O O Hp:,, P Γ ; O σ : P P' Γ Th: P' Γ imostrazione Nella σ si ha: σ : O O perché O è un punto dell asse di simmetria e, poiché per ipotesi: σ : P P', si ha: σ : OP OP' ato che la simmetria assiale è una isometria, si ha: OP OP' e, poiché OP r, segue che: OP' r per la proprietà transitiva della congruenza, cioè P' Γ 5

7 [La figura seguente sintetizza il precedente teorema: P * * P' O Γ ] V al precedente teorema segue che la circonferenza e il cerchio hanno infiniti assi di simmetria che sono le infinite rette passanti per il centro (rette del fascio di centro O), cioè le infinite rette che contengono gli infiniti diametri TEOREM Il centro della circonferenza è centro di simmetria per la circonferenza / il cerchio ata la circonferenza Γ di centro O e raggio r, consideriamo la simmetria centrale di centro O, σ o Vogliamo dimostrare che, considerato un generico punto di Γ, il suo corrispondente nella σ o appartiene ancora a Γ Quindi: Γ circonferenza di centro O O Hp: Γ σ o : ' Γ Th: ' Γ imostrazione Sappiamo per ipotesi che Γ e che σ o : ', quindi, per definizione di simmetria centrale, è: O O' e, poiché O r, si ha che: O' r per la proprietà transitiva della congruenza, cioè ' Γ (fig 6): 6

8 O ' PROV TU: Γ fig 6 V La circonferenza e il cerchio sono figure unite in ogni rotazione di centro O 63 Le parti della circonferenza e del cerchio Si dice arco ciascuna delle due parti in cui una circonferenza viene divisa da due suoi punti (fig 7): O fig 7 I punti e individuano due archi che si indicano con Spesso, per evitare confusione, si fissa un punto interno ad uno dei due archi che si vuole individuare (fig 8): O P Q fig 8 Si hanno così gli archi P e Q; oppure, se vogliamo riferirci per esempio all arco P, diciamo l arco che contiene P o, ancora, l arco che non contiene Q lcuni parlano di arco minore / arco maggiore, con qualche problema, però, nel caso in cui gli estremi dell arco siano punti diametralmente opposti 7

9 d ognuno dei due archi individuati da due punti e della circonferenza corrisponde una sola corda (corda sottesa dall arco) ma ad ogni corda corrispondono due archi (archi sottesi dalla corda) [fig 9]: O fig 9 o La corda è sottesa da ciascuno dei due archi o I due archi sono sottesi dalla corda Quando i due punti e sono diametralmente opposti, ognuno dei due archi viene chiamato semicirconferenza (fig 10): O semicirconferenza fig 10 Ogni corda divide il cerchio in due parti, ciascuna delle quali si chiama segmento circolare ad una base In fig 11, la corda delimita due segmenti circolari di base : O segmento circolare di base segmento circolare di base fig 11 OSSERVZIONE: Il segmento circolare a una base si può pensare ottenuto dall intersezione di un semipiano, la cui origine contiene una corda, con un cerchio (fig 12): 8

10 O fig 12 Si dice altezza di un segmento circolare ad una base il segmento che ha come estremi il punto medio della base e il punto d intersezione dell asse della base con la circonferenza (meglio, con l arco del nostro segmento circolare) In fig 13 abbiamo individuato un segmento circolare di base e altezza MH: H * M * O fig 13 Se la corda è un diametro (fig 14), ognuno dei due segmenti circolari viene chiamato semicerchio: O semicerchio Il semicerchio è ciascuna delle due parti di piano comprese fra una circonferenza ed un suo diametro fig 14 Se consideriamo due corde parallele e, la parte di cerchio compresa tra le due corde si chiama segmento circolare a due basi ( e basi) [fig 15]: O segmento circolare a due basi fig 15 9

11 OSSERVZIONE: Il segmento circolare a due basi si può pensare ottenuto dall intersezione di una striscia, individuata da due corde parallele (basi del segmento circolare) con un cerchio (fig 16): O fig 16 Si chiama altezza di un segmento circolare a due basi la distanza tra le due basi (fig 17): H O H altezza del segmento circolare di basi e fig 17 Si dice angolo alla circonferenza un angolo convesso avente per vertice un punto della circonferenza e i lati entrambi secanti la circonferenza (fig 18), oppure uno secante e l altro tangente (fig 19): O angolo alla circonferenza I lati e sono entrambi secanti la circonferenza fig 18 L angolo alla circonferenza individua l arco di colore rosso: si dice che l angolo alla circonferenza insiste sull arco ; 10

12 oppure: O E EF angolo alla circonferenza Il lato F è secante, il lato E è tangente alla circonferenza F fig 19 L angolo alla circonferenza individua l arco F di colore blu: si dice che l angolo alla circonferenza EF insiste sull arco F Si dice angolo al centro un angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza (fig 20): O O angolo convesso fig 20 In fig 20, i lati dell angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti e, individuando, così, l arco di circonferenza, (e la corda ), interno all angolo: si dice che l angolo al centro O insiste sull arco o sottende l arco In fig 21, l angolo convesso O insiste sull arco di colore rosso mentre l angolo concavo O insiste sull arco di colore blu O fig 21 11

13 OSSERVZIONE: d ogni angolo alla circonferenza corrisponde uno ed un solo angolo al centro che insiste sullo stesso arco (fig 22): angolo alla circonferenza che insiste O sull arco ll angolo uno ed un solo angolo al centro, l angolo O, che insiste sullo fig 22 stesso arco La corrispondenza evidenziata non è però biunivoca; infatti ad un angolo al centro che insiste su un certo arco, corrispondono infiniti angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (fig 23): 2 1 O angolo al centro che insiste sull arco angolo alla O circonferenza che insiste sull arco ; 1 angolo alla fig 23 ll angolo O circonferenza che insiste sull arco ; 2 angolo alla circonferenza che insiste sull arco ; PROV TU il seguente TEOREM In ogni circonferenza se si verifica una delle seguenti congruenze: due corde sono congruenti; due archi sono congruenti; due angoli al centro sono congruenti, allora si verificano anche le restanti congruenze 12

14 Si dice settore circolare ciascuna delle due parti di cerchio limitate da due raggi (fig 24): α O iascuna delle due parti colorate è un settore circolare α ampiezza del settore di colore fucsia fig 24 OSSERVZIONE: Il settore circolare si può pensare ottenuto dall intersezione di un angolo al centro con il cerchio (fig 25): O fig Proprietà delle corde di una circonferenza TEOREM In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualsiasi corda non passante per il centro O Hp: Γ circonferenza di centro O diametro corda, O Γ Th: > imostrazione ongiungiamo gli estremi e della corda con il centro O della nostra circonferenza ottenendo, così, il triangolo O (fig 26): 13

15 O Γ fig 26 Poiché in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato, si ha: O + O > ed essendo O e O raggi, risulta: O + O e quindi: > V TEOREM In una circonferenza, l asse di una corda passa per il centro della circonferenza stessa Γ circonferenza di centro O Hp: corda asse di * M * Th: diametro Γ imostrazione Sappiamo che è l asse della corda, cioè la perpendicolare ad passante per il suo punto medio M Per dimostrare che è un diametro, basta far vedere che vi appartiene il centro O Ora, il centro della circonferenza è, per definizione, equidistante da tutti i punti della circonferenza e, quindi, anche dagli estremi e della corda (fig 27): O r r * M * Γ fig 27 14

16 Pertanto il centro O appartiene all asse di [ricorda che l asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento ] V IRONFERENZ PER TRE PUNTI ome conseguenza del precedente teorema si ha il seguente: TEOREM Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Hp: Th:,, punti non allineati circonferenza passante per,, imostrazione onduciamo gli assi dei segmenti e ed indichiamo con O il loro punto d intersezione (esiste! PERHÉ?) [fig 28]: Si ha: M O * N * fig 28 O O O O perché O appartiene all asse di ; perché O appartiene all asse di, da cui segue: O O O per la proprietà transitiva della congruenza Pertanto O è equidistante dai punti,, e, quindi, è il centro della circonferenza passante per tali punti (fig 29): 15

17 r r O r fig 29 La circonferenza è unica perché è unico il punto d intersezione dei due assi e, di conseguenza, è unico il punto equidistante dai punti dati V OSSERVZIONE: Per la dimostrazione del teorema si possono condurre due qualsiasi tra i tre assi dei tre segmenti,, OROLLRIO 1 ue circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione [Infatti se ne avessero tre, sarebbero la stessa circonferenza] OROLLRIO 2 Una circonferenza non può avere tre punti allineati [Se una circonferenza avesse, infatti, tre punti allineati: O,, allineati gli assi delle corde e dovrebbero essere incidenti in O, per cui ONTINU ] 16

18 Ora giochiamo con un po di circonferenze e verifichiamo con il disegno che: per un punto del piano passano infinite circonferenze ato, infatti, nel piano un punto P, osserviamo che ognuno degli infiniti punti O 1, O 2, O 3,, distinti da P, può essere considerato come centro di una circonferenza Γ 1, Γ 2, Γ 3,, di raggio rispettivamente O 1 P, O 2 P, O 3 P, (fig 30): Γ 4 O 4 O 2 P Γ 2 O 5 Γ 1 O 1 O 3 Γ 3 fig 30 per due punti del piano passano infinite circonferenze ati, infatti, nel piano due punti P e Q, conduciamo l asse del segmento PQ ed osserviamo che ognuno degli infiniti punti O 1, O 2, O 3, dell asse può essere considerato come centro di una circonferenza Γ 1, Γ 2, Γ 3,, di raggio rispettivamente O 1 P (o O 1 Q), O 2 P (o O 2 Q), O 3 P (o O 3 Q), (fig 31): O 6 Γ 2 O 2 Q P * O 1 * O 3 Γ 1 O 4 O 5 Γ 3 fig 31 per tre punti del piano, non allineati, passa una ed una sola circonferenza ati, infatti, nel piano tre punti L, M, N, non allineati ONTINU (secondo la costruzione riportata in fig 28, pag 13) 17

19 TEOREM La perpendicolare condotta dal centro della circonferenza ad una sua corda dimezza la corda Γ circonferenza di centro O Γ O H Hp: Th: corda OH H H imostrazione ongiungiamo il centro O con gli estremi e della corda (fig 32): Γ r O H r fig 32 e consideriamo i triangoli OH e OH; essi hanno: OH OH O O retti, per ipotesi; perché raggi; OH in comune (o OH OH per la proprietà riflessiva della congruenza) I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti l angolo retto, l ipotenusa ed un cateto, sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: H H ( segnare H e H con il simbolo * ) V [l termine della teorema la figura si presenta come segue: O r r * * H Γ ] 18

20 TEOREM INVERSO La congiungente il centro O di una circonferenza con il punto medio M di una sua corda è perpendicolare alla corda Γ circonferenza di centro O O Hp: corda * M * Γ Th: M M OM imostrazione ongiungiamo il centro O con gli estremi e della corda (fig 33): O r r * M * Γ fig 33 e consideriamo i triangoli OM e OM; essi hanno: M M O O per ipotesi; perché raggi; OM in comune (o OM OM per la proprietà riflessiva della congruenza) I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti i tre lati, sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: MO MO ed essendo M piatto, si ha che gli angoli MO e MO sono retti e quindi: OM V [Questa volta, e quasi sempre in seguito, OMPLET TU la figura] 19

21 TEOREM In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro [imostriamo il teorema nel caso in cui le due corde appartengono alla stessa circonferenza] Γ K ~ O ~ H Hp: Th: Γ circonferenza di centro O, corde OH OK OH OK imostrazione Osserviamo che le perpendicolari OH e OK, condotte da O alle corde, tagliano le corde nel loro punto medio (teorema pag 16), per cui: H H K K perché metà di corde congruenti ( segnare H, H, K e K con il simbolo * ) ongiungiamo, ora, il centro O con gli estremi e (fig 34): * K ~ * O r r * ~ * H Γ fig 34 e consideriamo i triangoli OH e OK; essi hanno: OH OK O O H K retti, per ipotesi; perché raggi; per precedente osservazione I due triangoli, oltre all angolo retto, hanno ordinatamente congruenti l ipotenusa ed un cateto per cui sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: OH OK V Si effettua un analoga dimostrazione se le corde appartengono a due circonferenze congruenti (questa considerazione vale anche per i teoremi successivi) 20

22 TEOREM INVERSO In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se due corde hanno la stessa distanza dal centro, allora sono congruenti [imostriamo il teorema nel caso in cui le due corde appartengono alla stessa circonferenza] imostrazione K * O * H Γ ongiungiamo il centro O con gli estremi e (fig 35): Hp: Th: Γ circonferenza di centro O, corde OH distanza di O da OK distanza di O da OH OK r r Γ K * O * H fig 35 e consideriamo i triangoli OH e OK; essi hanno: OH OK ( 90 ) O O OH OK perché OH e OK distanze di O rispettivamente da e ; perché raggi; per ipotesi I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti l angolo retto, l ipotenusa ed un cateto, sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: H K Infine, poiché le perpendicolari condotte dal centro alle corde dividono ogni corda in due segmenti congruenti, si deduce che, se le metà sono congruenti, saranno congruenti anche le corde stesse; cioè: V 21

23 TEOREM Se in una stessa circonferenze (o in circonferenze congruenti) due corde non sono congruenti, allora anche le loro distanze dal centro non sono congruenti e, in particolare, la corda maggiore ha distanza minore [imostriamo il teorema nel caso in cui e siano due corde della stessa circonferenza di centro O, con > ] H Γ circonferenza di centro O O Hp: > OH Γ K Th: OK OK > OH imostrazione Se le due corde non sono consecutive, costruiamo la corda E consecutiva ad e cogruente a (fig 36): H O Γ K E fig 36 e diciamo OT la distanza di E da O (fig 37): H O T Γ K E fig 37 22

24 Poiché le corde e E sono congruenti, si ha che le loro distanze dal centro sono congruenti (teorema pag 18), cioè OK OT Inoltre, da: > E segue, per la proprietà della disuguaglianza tra segmenti, che: > E e la stessa relazione vale fra le metà delle due corde, cioè: H > T (PERHÈ H è la metà di e T la metà di E?) onsideriamo ora il triangolo HT (fig 38): H O T Γ K E fig 38 e osserviamo che, poiché in un triangolo al lato maggiore sta opposto l angolo maggiore (disuguaglianza triangolare), si ha: TH > HT ( segnare TH e HT rispettivamente con i simboli e ) [fig 39]: H O T Γ K E fig 39 23

25 per cui fra gli angoli HTO e THO, complementari rispettivamente degli angoli TH e HT, vale la relazione opposta, cioè: HTO < THO e quindi: OH < OT perché nel triangolo HOT ad angolo minore si oppone lato minore, che è lo stesso dire: OH < OK V TEOREM INVERSO Se in una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) due corde hanno distanze dal centro non congruenti, allora anche le corde non sono congruenti e, in particolare, è maggiore la corda che ha distanza minore da esso PROV TU a dimostrare il teorema, sempre nel caso in cui le due corde e appartengono alla stessa circonferenza di centro O e la distanza di da O sia minore di quella di da O Riferisci, quindi, la dimostrazione alla seguente figura e ai dati riportati: H Γ circonferenza di centro O O Hp: OH OK K Γ Th: OH < OK > (suggerimento: se le due corde non sono consecutive, costruisci la corda E consecutiva a e congruente a imostrazione per assurdo) 24

26 65 Reciproche posizioni fra retta e circonferenza ate la circonferenza Γ, di centro O e raggio r, ed una retta s, vogliamo studiare le posizioni che la retta può assumere rispetto alla circonferenza Tracciamo dal centro O la perpendicolare OH alla retta s Si possono presentare i seguenti casi: 1 retta esterna alla circonferenza (fig 40): Γ O OH > O cioè OH > r H s fig 40 OMPLET: In tal caso il punto H è esterno alla circonferenza e ogni altro punto P appartenente ad s, avendo distanza da O di, perché il segmento di perpendicolare è di ogni segmento, è alla circonferenza (fig 41): Γ O H P s fig 41 Pertanto: Γ s = In tal caso la retta è esterna alla circonferenza Pertanto: una retta è esterna ad una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio Viceversa: Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è maggiore del raggio, allora la retta è esterna alla circonferenza (PROV TU) [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] 25

27 2 retta tangente alla circonferenza (fig 42): Γ O OH O cioè OH r H s fig 42 OMPLET: In tal caso il punto H sta sulla circonferenza e ogni altro punto P appartenente ad s, avendo distanza da O di (perché il segmento di perpendicolare è di ogni segmento, è alla circonferenza (fig 43): Γ O H P s fig 43 Pertanto: Γ s = {H} H si dice punto di tangenza In questo caso la retta è tangente alla circonferenza Pertanto: una retta è tangente ad una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è congruente al raggio Viceversa: Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è congruente al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza (PROV TU) [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] 26

28 3 retta secante la circonferenza (fig 44): Γ O H s fig 44 OH < O cioè OH < r OMPLET: In tal caso il punto H è interno alla circonferenza Prendiamo, allora, su s un punto P tale che PH r e consideriamo il triangolo rettangolo OPH (fig 45): Γ P O H s fig 45 Si ha che: OP >, perché, nel triangolo rettangolo OPH, il lato OP è e quindi: > r, per cui il punto è esterno alla circonferenza Segue che il segmento HP unisce un punto interno ( ) con un punto esterno ( ) e pertanto deve intersecare la (postulato di continuità), diciamo nel punto E (fig 46): Γ P O H s fig 46 27

29 Ripetendo lo stesso ragionamento con un punto Q, simmetrico di P rispetto ad H, e quindi tale che QH r, si ha che il segmento QH ha un punto F in comune con la circonferenza (fig 47): Γ O F Q H P E s fig 47 Esistono, quindi, due punti E ed F, comuni alla retta s e alla circonferenza In questo caso la retta s si dice secante la circonferenza nei punti E ed F In simboli: Γ s = {E, F} Pertanto: una retta è secante ad una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è minore del raggio Viceversa: Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore del raggio, allora la retta è secante la circonferenza (PROV TU) [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] Tutto quanto detto ci permette di formulare il seguente teorema: TEOREM ondizione necessaria e sufficiente affinchè una retta sia: esterna ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia maggiore del raggio; tangente ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia congruente al raggio; secante ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia minore del raggio In conclusione, QUNTI punti, al massimo, possono avere in comune una retta ed una circonferenza? 28

30 66 Reciproche posizioni fra due circonferenze ate in un piano due circonferenze Γ 1 e Γ 2, esaminiamo le possibili reciproche posizioni che esse possono assumere Osserviamo innanzitutto che per tre punti allineati non passa alcuna circonferenza (OROLLRIO 2, pag 14), mentre per tre punti non allineati ne passa una sola (TEOREM pag 13) Pertanto, due circonferenze possono avere al massimo due punti di intersezione (OROLLRIO 1, pag 14) Si possono presentare, quindi, i casi seguenti: 1 caso: circonferenze esterne (fig 48): O 1 r 1 r 2 O 2 Γ 2 Γ 1 fig 48 Le circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono esterne: la distanza fra i due centri è maggiore della somma dei due raggi In simboli: O 1 O 2 > r 1 + r 2 OMPLET: Nel caso delle circonferenze esterne, ogni punto di Γ 1 è a Γ 2 e ogni di è a Γ 1 Quindi: Γ 1 Γ 2 = Si ha: due circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono fra loro esterne se la distanza fra i due centri è maggiore della somma dei due raggi 29

31 Viceversa: se la distanza fra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei due raggi, allora le due circonferenze sono esterne [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] 2 caso: circonferenze tangenti esternamente (fig 49): O 1 r 1 r 2 T O 2 Γ 2 Γ 1 fig 49 Le circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono tangenti esternamente: la distanza fra i due centri è congruente alla somma dei due raggi In simboli: O 1 O 2 r 1 + r 2 T si dice punto di tangenza OMPLET: Nel caso delle circonferenze Γ 1 e Γ 2, esse hanno un unico comune T, appartenente alla retta ; ogni altro punto di è a Γ 2 e ogni altro punto di è a (cioè il centro di ognuna delle due circonferenze è all altra) Quindi: Γ 1 Γ 2 = Si ha: due circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono tangenti esternamente se la distanza fra i centri è congruente alla somma dei due raggi Viceversa: se la distanza fra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei due raggi, allora le due circonferenze sono tangenti esternamente [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] 30

32 OSSERVZIONE: Nel caso esaminato, le due circonferenze hanno, nel punto T, la stessa retta tangente t che è perpendicoalre alla congiugente O 1 O 2 (fig 50): O 1 T O 2 Γ 2 bbiamo segnato quattro angoli retti; è vero che sono troppi? Γ 1 t fig 50 3 caso: circonferenze secanti (fig 51): O 1 r 1 r 2 O 2 Γ 2 Γ 1 fig 51 Le circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono secanti: la distanza fra i due centri è minore della somma dei due raggi e maggiore della loro differenza In simboli: r 1 r 2 < O 1 O 2 < r 1 + r 2 OMPLET: Nel caso delle circonferenze secanti, le due circonferenze Γ 1 e Γ 2 hanno punti, e, in comune e che non appartengono alla congiungente Si ha: due circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono secanti se la distanza fra i due centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza Viceversa: se la distanza fra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza, allora le due circonferenze sono secanti [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] 31

33 4 caso: circonferenze tangenti internamente (fig 52): O 1 r 1 O 2 r 2 T r 1 > r 2 Γ 2 Γ 1 fig 52 Le circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono tangenti internamente: la distanza fra i due centri è congruente alla differenza dei due raggi In simboli: O 1 O 2 r 1 r 2 T si dice punto di tangenza OMPLET: Nel caso delle circonferenze tangenti internamente, le due circonferenze Γ 1 e Γ 2 hanno un unico comune T, appartenente alla retta, e ogni altro punto di è interno a Quindi: Γ 1 Γ 2 = Si ha: due circonferenze Γ 1 e Γ 2 sono tangenti internamente se la distanza fra i due centri è congruente alla differenza dei due raggi Viceversa: se la distanza fra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi, allora le due circonferenze sono tangenti internamente [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] OSSERVZIONE: Nel caso esaminato, le due circonferenze hanno, nel punto T, la stessa retta tangente t che è perpendicolare alla retta O 1 O 2 (fig 53): O 1 T O 2 Γ 2 Γ 1 t 32

34 fig 53 5 caso: circonferenza una interna all altra (fig 54): O 1 O 2 r 1 r 2 r 1 > r 2 Γ 2 Γ 1 fig 54 La circonferenza Γ 2 è interna alla circonferenza Γ 1 : la distanza fra i due centri è minore della differenza dei raggi In simboli: O 1 O 2 < r 1 r 2 OMPLET: Nel caso della circonferenza Γ 2, interna alla circonferenza Γ 1, si ha che punto di è a Γ 1 Quindi: Γ 1 Γ 2 = Si ha: una circonferenza Γ 2 è interna ad una circonferenza Γ 1 se la distanza dei loro centri è minore della differenza dei raggi Viceversa: se la distanza fra i centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi, allora una circonferenza è interna all altra [e quindi si ha una condizione necessaria e sufficiente] Tutto quanto detto ci permette di formulare il seguente teorema: TEOREM ondizione necessaria e sufficiente affinchè due circonferenze siano: esterne è che la distanza fra i centri sia maggiore della somma dei raggi; tangenti esternamente è che la distanza fra i centri sia congruente alla somma dei raggi; secanti è che la distanza fra i centri centri sia minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza; tangenti internamente è che la distanza fra i centri sia congruente alla differenza dei raggi; interne una all altra è che la distanza fra i centri centri sia minore della differenza dei raggi 33

35 ome caso particolare di circonferenze una interna all altra, si ha quello di due circonferenze che hanno lo stesso centro (circonferenze concentriche) [fig 55]: Γ 1 O 1 O 2 Γ 2 fig 55 La definizione si estende ovviamente ai cerchi concentrici Nel caso di due circonferenze concentriche, si definisce corona circolare la parte di piano limitata dalle due circonferenze (fig 56): corona circolare Γ 1 Γ 2 fig 56 In altre parole, la corona circolare è l insieme dei punti del cerchio di raggio maggiore che sono esterni a quello di raggio minore Riassumendo si ha: reciproche posizioni di due circonferenze di raggi r 1 e r 2, con r 1 > r 2 punti in comune distanza fra i centri (d) esterne 0 d > r 1 + r 2 tangenti esternamente 1 d r 1 + r 2 secanti 2 r 1 r 2 < d < r 1 + r 2 tangenti internamente 1 d r 1 r 2 interne 0 d < r 1 r 2 concentriche 0 d = 0 34

36 67 ngoli alla circonferenza e corrispondenti angoli al centro Vale il seguente: TEOREM Ogni angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell angolo al centro che insiste sullo stesso arco Esaminiamo i casi che si possono presentare: 1 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono entrambi secanti ed il centro appartiene ad uno di essi V O Hp: Γ circonferenza di centro O V angolo alla circonferenza O V 1 Th: V O Γ 2 imostrazione Indichiamo l angolo alla circonferenza V con α e l angolo al centro corrispondente O con β (fig 57): V α β O Γ fig 57 1 obbiamo quindi dimostrare che α β 2 Osserviamo, a tale scopo, che il triangolo OV è isoscele sulla base V perché: O OV raggi della stessa circonferenza Segue che: OV OV perché angoli alla base di un triangolo isoscele ( indicare OV con α ) [fig 58]: 35

37 V α α β O Γ fig 58 Inoltre: O OV + OV e quindi: β α + α 2 α cioè: perché O è un angolo esterno al triangolo OV ed è quindi congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso (secondo teorema dell angolo esterno, unità 3, pag 125) α 2 1 β V 2 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono uno secante, passante per il centro, e l altro tangente V Γ circonferenza di centro O O Hp: V tangente alla circonferenza V angolo alla circonferenza O V Γ Th: V 2 1 VO imostrazione asta osservare che l angolo alla circonferenza V è retto e che l angolo al centro corrispondente VO è piatto, per cui: 1 V VO 2 V 36

38 3 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono entrambi secanti e il centro della circonferenza è interno all angolo V Γ circonferenza di centro O O Γ Hp: V angolo alla circonferenza O V ; O V Th: V 2 1 O imostrazione Tracciamo il diametro V (fig 59): V O Γ fig 59 e osserviamo che: V 2 1 O (1 caso) V 2 1 O (1 caso) e quindi, sommando membro a membro: cioè: V + V 2 1 O O V 2 1 (O + O) 2 1 O V 37

39 4 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono uno secante e l altro tangente; il centro della circonferenza è interno all angolo V O Hp: Γ circonferenza di centro O V angolo alla circonferenza O V Γ Th: V 2 1 VO (con VO concavo) imostrazione Tracciamo il diametro V (fig 60): V O Γ fig 60 e osserviamo che: V 2 1 O (1 caso); V 2 1 VO (2 caso), e quindi, sommando membro a membro: cioè: V + V 2 1 O VO V+ V 2 1 (O + VO) 2 1 VO V 38

40 5 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono entrambi secanti e il centro della circonferenza è esterno all angolo V O Hp: Γ circonferenza di centro O V angolo alla circonferenza O V Γ Th: V 2 1 O imostrazione Tracciamo il diametro V (fig 61): V O Γ fig 61 e osserviamo che: V V V ma: 1 V O (1 caso) 2 V OMPLET 39

41 6 caso: i lati dell angolo alla circonferenza sono uno secante e l altro tangente; il centro della circonferenza è esterno all angolo V Γ circonferenza di centro O O Hp: V tangente alla circonferenza V angolo alla circonferenza O V Γ Th: V 2 1 VO imostrazione PROV TU (suggerimento: traccia il diametro V ) ome conseguenze del teorema sugli angoli al centro e alla circonferenza si hanno i seguenti: OROLLRIO 1 ngoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti V O Γ imostrazione PROV TU (suggerimento: confronta ogni angolo alla circonferenza con il corrispondente angolo al centro) Vale anche il viceversa: ngoli alla circonferenza congruenti insistono su archi congruenti (PROV TU) 40

42 OROLLRIO 2 Ogni angolo alla circonferenza che insiste su di una semicirconferenza è retto O imostrazione PROV TU Il OROLLRIO 2 può essere formulato nel seguente modo: ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo URIOSITÀ Il OROLLRIO 2 è detto anche teorema di ante in quanto ante lighieri, nel Paradiso, al canto XIII versi , riporta: o se del mezzo cerchio far si puote triangol sì ch un retto non avesse (commento: o se in un semicerchio si possa inscrivere un triangolo che non sia rettangolo) VIEVERS: Un triangolo rettangolo si può inscrivere in una circonferenza con il diametro coincidente con l ipotenusa Infatti, dato un triangolo rettangolo, retto in (figura a lato), tracciamo la circonferenza passante per i punti,, (che ed è ) ONTINU Il OROLLRIO 2 permette di disegnare correttamente un triangolo rettangolo se si ha un compasso e un righello Infatti ONTINU 41

43 1 Problema risolto ata la circonferenza Γ di centro O e raggio r, siano e due suoi diametri imostra che il quadrilatero è un rettangolo O Hp: Γ circonferenza di centro O diametro diametro Γ Th: rettangolo imostrazione Per il OROLLRIO 2, pag 39, si ha che: il triangolo è retto in, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro ; il triangolo è retto in, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro ; il triangolo è retto in, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro ; il triangolo è retto in, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro Pertanto il quadrilatero, avendo tutti e quattro gli angoli retti, è un rettangolo V Quando il rettangolo diventa un quadrato? [Ti aiuto con la figura che segue: O Γ dove e ONTINU] 42

44 68 Tangenti condotte da un punto ad una circonferenza Siano dati nel piano una circonferenza Γ e un punto P istinguiamo i seguenti casi: 1 caso: il punto P è interno alla circonferenza (fig 62): P Γ fig 62 Tutte le rette passanti per P (fascio di rette di centro P) sono secanti la circonferenza e quindi non esiste alcuna retta tangente alla circonferenza passante per P 2 caso: il punto P appartiene alla circonferenza (fig 63): P O Γ fig 63 In tal caso esiste una ed una sola retta t tangente alla circonferenza passante per P (punto 2 pag 24) Tale retta è perpendicolare al raggio OP (fig 64): P O t Γ fig 64 43

45 3 caso: il punto P è esterno alla circonferenza (fig 65): O P Γ fig 65 In tal caso esistono due rette t 1 e t 2 tangenti a Γ, passanti per P Tracciamo, infatti, la circonferenza di diametro OP che è secante Γ in due punti T 1 e T 2 (fig 66): T 1 Non conduciamo per ora O P le tangenti t 1 e t 2 Γ T 2 fig 66 asta, poi, osservare che i due triangoli OT 1 P e OT 2 P sono retti rispettivamente in T 1 e in T 2 in quanto inscritti in una semicirconferenza e quindi le rette PT 1 e PT 2, perpendicolari rispettivamente ai raggi OT 1 e OT 2, sono le tangenti t 1 e t 2 a Γ, passanti per P (fig 67): t 1 T 1 t 1 e t 2 rette tangenti a Γ passanti per P O P I segmenti PT 1 e PT 2 sono detti segmenti di tangenza Γ t 2 T 2 fig 67 44

46 Si ha il seguente TEOREM Se da un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O, si conducono le due rette tangenti ad essa, i segmenti di tangenza sono congruenti t 1 T 1 Γ circonferenza di centro O O P Hp: P Γ PT 1 OT 1 PT 2 OT 2 Γ t 2 T 2 Th: PT 1 PT 2 imostrazione ongiugiamo O con P (fig 68): t 1 T 1 O P Γ t 2 T 2 fig 68 e consideriamo i triangoli OPT 1 e OPT 2 ; essi hanno: OT 1 P OT 2 P perché entrambi retti; OP in comune (o OP OP per la proprietà riflessiva della congruenza); OT 1 OT 2 perché raggi della stessa circonferenza I due triangoli, oltre all angolo retto, hanno due altri elementi ordinatamente congruenti (che non sono i due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: PT 1 PT 2 V 45

47 OROLLRIO 1 ata una circonferenza di centro O ed un punto P esterno ad essa, il segmento PO appartiene alla bisettrice dell angolo formato dalle due tangenti condotte dal punto P (PROV TU) OROLLRIO 2 ata una circonferenza di centro O ed un punto P esterno ad essa, il segmento PO appartiene all asse della corda che ha per estremi i punti di tangenza (PROV TU) ostruzioni geometriche (con squadra e compasso) ata una retta t, sia O un punto non appartenente a tale retta PROV TU a costruire la circonferenza di centro O e tangente aalla retta t Motiva la costruzione effettuata ata una retta t, PROV TU a costruire la circonferenza tangente a t in un punto T e passante per un dato punto, distinto da T Motiva la costruzione effettuata osa succede se il punto appartiene alla retta t? ate due rette s e t, PROV TU a costruire la circonferenza tangente alle due rette, conoscendo il punto T di tangenza con una di esse Esegui la costruzione nei seguenti casi: a) le rette s e t sono parallele; b) le rette s e t sono incidenti Motiva le costruzioni effettuate (suggerimento: nel caso a), manda la mediana della striscia individuata dalle rette ; nel caso b), manda le bisettrici degli angoli formati dalle rette ) ate tre rette s, t, u, a due a due incidenti, PROV TU a costruire la circonferenza tangente alle tre rette Motiva la costruzione effettuata 46

48 2 Problema risolto ata una circonferenza Γ di centro O, sia un suo diametro Traccia le rette tangenti, t 1 e t 2, rispettivamente in e in onduci, poi, un ulteriore retta t 3, tangente a Γ, tale che: t 3 Γ = {} ; t 3 t 1 = {P} ; t 3 t 2 = {Q} imostra che: PQ P + Q Q Γ circonferenza di centro O t 3 P O Hp: O t 1, t 2, t 3 tangenti a Γ t 3 Γ = {} t 3 t 1 = {P} t 3 t 2 = {Q} Γ t 1 t 2 Th: PQ P + Q imostrazione Osserviamo innanzitutto che la retta tangente ad una circonferenza ed il raggio passante per il punto di tangenza sono fra loro perpendicolari per cui la figura può essere subito arricchita come segue: Q P t 3 O arricchimento eseguito per non dimenticare Γ t 1 t 2 47

49 Inoltre: P P perchè segmenti di tangenti condotte da P (punto esterno) alla circonferenza Γ ; Q Q perchè segmenti di tangenti condotte da Q (punto esterno) alla circonferenza Γ Pertanto, da: PQ P + Q segue: PQ P + Q V 48

50 ESERIZI UNITÀ 6 onoscenza e comprensione 1) efinisci la circonferenza 2) efinisci il cerchio 3) Le seguenti proposizioni sono vere o false? a) La circonferenza è un sottoinsieme del cerchio V F b) Una corda è una linea che unisce due punti di una circonferenza V F c) Il diametro di una circonferenza è una corda V F d) Una corda è un segmento che ha per estremi due punti del cerchio V F e) Una corda è anche un diametro di una circonferenza V F f) Una corda è un segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza V F g) Un segmento passante per il centro di una circonferenza è un diametro V F h) ue circonferenze sono congruenti se hanno lo stesso raggio V F i) ue cerchi sono congruenti se hanno i raggi congruenti V F 4) In una circonferenza, due punti sono diametralmente opposti se: a) appartengono alla circonferenza; b) hanno la stessa distanza dal centro; c) sono gli estremi di un diametro; d) sono gli estremi di una corda 5) ompleta le seguenti proposizioni in modo che risultino vere: a) un punto è alla circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio; b) un punto è esterno alla circonferenza se la sua distanza dal centro è del raggio; c) un punto alla circonferenza se la sua distanza dal centro è congruente al raggio 49

51 6) Quanti e quali sono gli assi di simmetria di una circonferenza? Spiega perché 7) Quanti e quali sono i centri di simmetria di una circonferenza? Spiega perché 8) Rispetto a quale trasformazione la circonferenza è una figura unita? 9) he cosa si intende per arco di una circonferenza? 10) In quale caso un arco di circonferenza prende il nome di semicirconferenza? 11) Un settore circolare è l intersezione di due insiemi di punti Quali? 12) Un segmento circolare è l intersezione di due insiemi di punti Quali? 13) he cosa si intende per altezza di un segmento circolare a due basi? E per altezza di un segmento circolare ad una base? 14) ai la definizione di angolo al centro e angolo alla circonferenza 15) osa vuol dire che un angolo al centro o alla circonferenza insiste sull arco? 16) In quale caso un angolo alla circonferenza e un angolo al centro si dicono corrispondenti? 17) Una sola delle seguenti proposizioni è vera Quale? La relazione che ad ogni angolo alla circonferenza associa il corrispondente angolo al centro: a) è una funzione iniettiva; b) è una funzione suriettiva; c) è una funzione invertibile; d) è una funzione; e) non è una funzione 18) La misura di una corda di una circonferenza, espressa in cm, è 25 Quale, fra i seguenti numeri, può esprimere la misura, in cm, del raggio della circonferenza? a) 10; b) 13; c) 8; d) 12; e) 3; f) 28; g) 9; h) 12,5 19) Una circonferenza ha il raggio di 8 cm Quali delle seguente lunghezze, espresse in cm, possono rappresentare corde della circonferenza? Motiva la tua risposta: a) 7; b) 10; c) 18; d) 2,7; e) 16; f) 20; g) 0,3; h) 9; 50

52 i) 8,2; l) 12; m) 15; n) 16,1 20) Vero o falso? a) La distanza di una corda dal centro può essere maggiore del raggio della V F circonferenza b) Il centro di una circonferenza appartiene all asse di una sua corda V F c) Il punto medio di una corda di una circonferenza appartiene alla perpendicolare V F alla corda passante per il centro della circonferenza d) Se due corde hanno la stessa distanza dal centro, le due corde sono congruenti V F e) ue corde di una circonferenza tra loro parallele, hanno la stessa distanza dal V F centro della circonferenza f) La distanza di una corda dal centro è sempre minore del raggio della V F circonferenza 21) e sono due corde di una stessa circonferenza tali che > Quale relazione esiste fra le loro distanze dal centro della circonferenza? 22) Una sola delle seguenti proposizioni è vera Quale? a) Per tre punti distinti del piano passa una sola circonferenza b) Le circonferenze passanti per due punti del piano sono più di una, ma in numero finito c) Siano e due punti distinti del piano; i centri di tutte le circonferenze passanti per e non sono allineati d) Se i centri di due circonferenze distinte appartengono all asse del segmento, le due circonferenze passano per gli estremi del segmento e) Tre punti di una circonferenza possono essere allineati 23) Quando una retta è esterna ad una circonferenza? E quando è tangente? E quando è secante una circonferenza? 24) Sia s una retta secante una circonferenza il cui raggio misura 5 cm Quali, fra i seguenti numeri può rappresentare la distanza, espressa in cm, di s dal centro della circonferenza? a) 9; b) 5; c) 4,8; d) 7; e) 6 51

53 25) Siano Γ una circonferenza di raggio r e v una retta Se esiste almeno un punto di v la cui distanza dal centro di Γ è minore di r, che cosa si può dire della posizione di v rispetto a Γ? 26) Siano Γ una circonferenza di raggio r ed a una retta Se esiste almeno un punto di a la cui distanza dal centro di Γ è maggiore di r, che cosa si può dire della posizione di a rispetto a Γ? 27) Siano Γ una circonferenza di raggio r e b una retta Se esiste almeno un punto di b la cui distanza dal centro di Γ è congruente ad r, che cosa si può dire della posizione di b rispetto a Γ? 28) Siano Γ una circonferenza di raggio r e d una retta Se esiste un solo punto di d la cui distanza dal centro di Γ è congruente ad r, che cosa si può dire della posizione di d rispetto a Γ? 29) Quante e quali posizioni possono assumere, reciprocamente, due circonferenze? 30) Una sola delle seguenti proposizioni è vera Quale? Se due circonferenze non hanno punti in comune, allora: a) sono sicuramente una esterna all altra; b) sono tangenti; c) sono sicuramente una interna all altra; d) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta 31) Siano Γ 1 e Γ 2 due circonferenze di centro, rispettivamente, O 1 e O 2 e di raggio, rispettivamente, r 1 e r 2 (r 1 > r 2 ) ompleta le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere: a) se r 1 + r 2 < O 1 O 2, Γ 1 e Γ 2 sono ; b) se r 1 + r 2 O 1 O 2, Γ 1 e Γ 2 sono tangenti esternamente; c) se r 1 r 2 < O 1 O 2 < r 1 + r 2, Γ 1 e Γ 2 sono ; d) se r 1 r 2 O 1 O 2, Γ 1 e Γ 2 sono ; e) se r 1 r 2 > O 1 O 2, Γ 1 e Γ 2 sono 32) Siano, e V punti della circonferenza Γ di centro O, allora: a) O è la metà di V; b) V è il doppio di O; c) O è il doppio di V; d) O V; 52

54 e) O < V 33) he cosa si intende per corona circolare? 34) Perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti? 35) Sia il diametro di una circonferenza Γ e P un punto di Γ Una sola delle seguenti affermazioni è corretta Quale? a) P è acuto; b) P è ottuso; c) P è retto 36) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false: a) Un triangolo inscritto in una circonferenza può essere rettangolo V F b) Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre un triangolo V F rettangolo c) Se il centro di una circonferenza non è interno ad un triangolo inscritto V F in essa, il triangolo è sicuramente ottusangolo d) Se un triangolo inscritto in una circonferenza è acutangolo, allora il centro V F della circonferenza è interno al triangolo 37) Sia P un punto del piano esterno ad una circonferenza Γ; quante sono le rette tangenti a Γ che passano per P? 38) he cosa si intende per segmento di tangenza o di tangente? 39) Una sola delle seguenti proposizioni è vera Quale? Se per un punto P del piano non passa alcuna retta tangente alla circonferenza Γ, allora: a) P è esterno a Γ; b) P è interno a Γ; c) P è un punto di Γ 40) Sia P un punto della circonferenza Γ di centro O e s una retta tangente a Γ passante per P; quale delle seguenti affermazioni è corretta?: 53

55 a) l angolo che OP forma con la retta s è ottuso; b) l angolo che OP forma con la retta s è acuto; c) l angolo che OP forma con la retta s è retto 41) Le proposizioni che seguono si riferiscono alla seguente figura Stabilisci se sono vere o false: t 1 H O P t 1 e t 2 tangenti per P alla circonferenza K t 2 a) POH e OPK sono complementari V F b) Il triangolo HPK è isoscele V F c) HK e HOP sono complementari V F d) HOK e HPK sono supplementari V F e) HK è perpendicolare ad OP V F f) HK e HPK sono supplementari V F g) KHO HPO V F h) POK PKH V F i) HK 2 HOK V F j) t 1 t 2 = {H, K) V F k) Il triangolo HOK è equilatero V F l) H è perpendicolare a t 1 V F m) H < 2 OH V F 54

56 Motiva le risposte 42) In base alla seguente figura: Γ H O t completa le varie affermazioni: 1 O è il ; 2 è il ; 3 O è ; 4 è ; 5 OH è ; 6 H è ; 7 t è 43) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false: a) Un angolo che ha per vertice un punto della circonferenza è un V F angolo alla circonferenza b) ue circonferenze che non hanno punti in comune sono esterne V F c) ue circonferenze secanti hanno tre tangenti comuni V F d) ue circonferenze esterne non hanno tangenti comuni V F e) ue circonferenze concentriche possono avere centri diversi V F f) Un angolo che ha per vertice un punto della circonferenza è un V F 55

57 angolo al centro g) a un punto appartenente ad una circonferenza si possono condurre V F più di una tangente alla circonferenza stessa pplicazione 1) Riferendoti alla seguente figura, misura con la squadra le lunghezze dei segmenti indicati e completa: O O cm O cm O O (inserisci uno dei simboli <, >, ) 2) he cosa rappresenta la seguente figura? O Riproduci la figura sul tuo quaderno e, senza far uso del goniometro, valuta, approssimativamente, l ampiezza dell angolo convesso O 3) isegna una circonferenza di raggio qualsiasi e traccia le rette q, s, t, tra loro parallele, tali che: q sia esterna alla circonferenza; s sia secante la circonferenza; t sia tangente alla circonferenza 4) Riproduci sul quaderno l angolo O della figura a lato Traccia la sua bisettrice b e prendi su di essa un punto P, distante 5 cm dal vertice O onduci, poi, i segmenti PH e PK, perpendicolari rispettivamente ai lati O e O Traccia, infine, la circonferenza di centro P tangente ai lati dell angolo dato Qual è il raggio di tale circonferenza? O 56

58 5) Traccia la distanza OH della retta q dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate: O q Γ = OH r Γ q 6) Traccia la distanza OH della retta s dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate: Γ O s s Γ = OH r 7) Traccia la distanza OH della retta t dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate: t Γ O t Γ = ome si chiama questo punto? Perché? 57

59 opo aver disegnato una circonferenza Γ di centro O e raggio r = 4 cm, risolvi i seguenti esercizi: 8) Traccia una circonferenza Γ 1 di centro O 1, distante da O di un segmento congruente a 3 cm, e raggio r 1 = 2 cm ome risultano Γ e Γ 1? 9) Traccia una circonferenza Γ 2 di centro O 2, distante da O di un segmento congruente a 3 cm, e raggio r 2 = 1 cm ome risultano Γ e Γ 2? 10) Traccia una circonferenza Γ 3 di centro O 3, distante da O di un segmento congruente a 5 cm, e raggio r 3 = 1 cm ome risultano Γ e Γ 3? 11) Traccia una circonferenza Γ 4 di centro O 4, distante da O di un segmento congruente a 2 cm, e raggio r 4 = 1 cm ome risultano Γ e Γ 4? 12) Traccia una circonferenza Γ 5 di centro O 5 O e raggio r 5 = 3 cm ome risultano Γ e Γ 5? 13) Traccia una circonferenza Γ 6 di centro O 6, distante da O di un segmento congruente a 8 cm, e raggio r 6 = 3 cm ome risultano Γ e Γ 6? ome deve variare r 6 affinchè le circonferenze Γ e Γ 6 mantengano la stessa posizione reciproca? 14) Nella figura a lato è rappresentato il segmento O O + Riproduci sul tuo quaderno tale segmento e disegna la figura che si ottiene facendo compiere al segmento O una rotazione completa intorno ad O I punti e cosa descrivono? E il segmento O? E il segmento O? O 58

60 E il segmento? In ognuno dei seguenti esercizi è rappresentato un angolo alla circonferenza α isegna l angolo al centro corrispondente β e, data la misura di α, determina quella di β 15) α O α = 21 8' β = = 16) α O F α = 74 30' β = = E 17) L α O α = 31 30' β = = M N 59

61 18) ompleta la seguente tabella sapendo che V è un angolo alla circonferenza e O è il corrispondente angolo al centro: V O isegna, poi, una figura per ciascuna coppia di angoli corrispondenti alcola l ampiezza degli angoli indicati con i simboli x, y, 19) x O 48 20) x O 18 21) x O y

62 22) P Q y 20 O 36 x S R 23) U x O T R S 24) V z x 20 O t tangente in alla circonferenza y t 25) x O 28 y t 1 tangente in alla circonferenza t 2 tangente in alla circonferenza 61 t 1 t 2

63 26) La somma di due angoli alla circonferenza è 114 Sapendo che uno è i 9/10 dell altro, qual è l ampiezza dei corrispondenti angoli al centro? [108 ; 120 ] 27) La somma di due angoli alla circonferenza è 96 Sapendo che uno è triplo dell altro, qual è l ampiezza dei corrispondenti angoli al centro? [144 ; 48 ] 28) La somma di due angoli alla circonferenza è 105 e la loro differenza è 47 Qual è l ampiezza dei corrispondenti angoli al centro? [152 ; 58 ] 29) Qual è l ampiezza degli angoli alla circonferenza che insistono rispettivamente su archi che sono ,,,, della circonferenza? [108 ; ] 30) ue angoli al centro hanno come somma 165 e sono uno i 3 2 dell altro Qual è l ampiezza dei corrispondenti angoli alla circonferenza? [33 ; ] 2 31) ividi un cerchio in tre settori circolari in modo che l ampiezza del secondo sia di quella del 5 primo e che l ampiezza del terzo sia la metà di quella del secondo Qual è l ampiezza di ogni settore? [225 ; 90 ; 45 ] 32) ividi un cerchio in tre settori circolari in modo che il secondo abbia ampiezza doppia di quella del primo e il terzo ampiezza pari alla somma dei primi due Qual è l ampiezza di ogni settore? [60 ; 120 ; 180 ] 62

64 33) ividi un cerchio in tre settori circolari in modo che le ampiezze del secondo e del terzo siano rispettivamente 5 1 e 5 3 di quella del primo Qual è l ampiezza di ogni settore? [200 ; 40 ; 120 ] Problemi orde e archi 1) Siano date una circonferenza Γ, di centro O, e due sue corde e tra loro congruenti etto P il punto di intersezione delle rette contenenti le due corde, dimostra che la congiungente PO è bisettrice dell angolo P 2) In una circonferenza di centro O è data una corda la cui distanza dal centro è congruente alla metà della corda stessa onsiderata la simmetria σ s, di asse la retta s, contenente il diametro parallelo ad, sia: σ s () = ' ; σ s () = ' imostra che gli archi, ', '' e ' sono congruenti 3) Siano date una circonferenza Γ e due corde parallele e imostra che se (figura a lato) allora il quadrilatero è un rettangolo O 4) Siano date una circonferenza Γ e due corde parallele e imostra che se (nella figura a lato > ) allora il quadrilatero è un trapezio isoscele O 63

65 5) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e una sua corda onsidera su due punti e tali che imostra che il triangolo O è isoscele 6) ata una circonferenza Γ di centro O, sia O un suo raggio opo aver tracciato una corda parallela ad O (figura a lato), dimostra che il segmento biseca l angolo O O 7) Sia una corda di una circonferenza di centro O onsiderata la simmetria σ s,di asse la retta s, contenente il diametro, parallelo ad, sia: σ s () = ' ; σ s () = ' imostra che i triangoli ' e ' sono congruenti 8) Siano dati una circonferenza di centro O e un suo diametro ondotte le corde e, parallele tra loro, dimostra che 9) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, ed una sua corda opo aver prolungato la corda di due segmenti congruenti e, dimostra che O O 10) ata una circonferenza Γ, conduci due suoi diametri e imostra che il quadrilatero è un rettangolo 11) ata una circonferenza Γ, conduci due suoi diametri e tra loro perpendicolari imostra che il quadrilatero è un quadrato 12) In una circonferenza Γ, di centro O, considera due corde e, incidenti perpendicolarmente nel punto E onduci da O le perpendicolari alle corde e ed indica con H e K i rispettivi piedi delle perpendicolari 64

66 imostra che il quadrilatero OHEK è un rettangolo Quando il quadrilatero OHEK è un quadrato? 13) Siano date una circonferenza Γ di centro O e una sua corda Prolunga la corda di due segmenti e congruenti fra loro imostra che i triangoli O e O sono congruenti 14) Sia data una circonferenza Γ di centro O e due sue corde e congruenti Prolunga le due corde di due segmenti E e F congruenti fra loro (figura a lato): Γ * O * // // E F imostra che il segmento EF ha per asse una retta diametrale (suggerimento: manda dal centro O le perpendicolari alle corde e considera i due triangoli ) Reciproche posizioni fra retta e circonferenza Reciproche posizioni fra due circonferenze 15) ata una circonferenza Γ di centro O, sia s una retta secante Γ nei punti P e Q Traccia un diametro ed indica con H e K le proiezioni ortogonali rispettivamente di e sulla retta s imostra che OH OK 16) ata una circonferenza Γ di centro O, sia s una retta secante Γ nei punti P e Q Traccia un diametro ed indica con H e K le proiezioni ortogonali rispettivamente di e sulla retta s imostra che H K 17) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ', di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con r < r' onsidera una retta s tale che: 65

67 s Γ = {, }; s Γ' = {, } imostra che i segmenti e, compresi fra le due circonferenze, sono congruenti 18) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ' di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con r < r' imostra che: 1 due qualsiasi corde della circonferenza maggiore, tangenti a quella minore, sono congruenti; 2 il punto di tangenza di ogni corda è il punto medio della corda stessa 19) ata una circonferenza Γ di centro O, siano q e s due rette parallele secanti Γ imostra che gli archi compresi fra le due parallele sono congruenti 20) Siano date due circonferenze esterne: Γ 1 di centro O 1 e raggio r 1, Γ 2 di centro O 2 e raggio r 2, con r 1 r 2 onduci le tangenti esterne s e t, comuni alle due circonferenze, e dimostra che tali tangenti si incontrano sulla retta dei centri O 1 e O 2 (fig a lato): Γ 1 s O 1 O 2 Γ 2 t (suggerimento: la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti ) PERHÈ abbiamo posto r 1 r 2? 21) ue circonferenze Γ 1 e Γ 2, di centri rispettivamente O 1 e O 2, sono tangenti esternamente in un punto T onduci da T una retta s che incontri ulteriormente la circonferenza Γ 1 in e la circonferenza Γ 2 in imostra che la retta tangente in a Γ 1 è parallela alla retta tangente in alla Γ 2 22) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ' di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con r < r' Siano: 66

68 un diametro della circonferenza Γ' ; un diametro della circonferenza Γ, non contenuto in imostra che il quadrilatero è un parallelogramma ngoli al centro e angoli alla circonferenza Tangenti a una circonferenza 24) Sia dato il triangolo, retto in etto M il punto medio di, dimostra che: 1) 2 1 M; 2) 2 1 M 25) ata una circonferenza Γ, sia un suo angolo alla circonferenza etta M la mediana dell arco sotteso dall angolo, conduci la corda parallela ad M imostra che M 26) Sia data una semicirconferenza di diametro onduci da la retta t tangente alla semicirconferenza e prendi su di essa un punto P tale che P imostra che il segmento P incontra la semicirconferenza nel suo punto medio M (suggerimento: angoli alla circonferenza ) 27) Siano date una circonferenza Γ, di centro O, ed una sua corda onduci la tangente t in a Γ e prendi su di essa, nel semipiano individuato dalla retta contenente O, un punto tale che sia congruente alla corda Se: Γ = {P}, dimostra che: 1) P P ; 2) P 2 OP 28) Sia data una circonferenza Γ di centro O a un punto P, esterno a Γ, conduci una delle due tangenti e dal punto di tangenza T manda la perpendicolare al segmento OP, indicando con H il piede di tale perpendicolare Se : 67

69 Γ OP = {}, dimostra che T è bisettrice dell angolo PTH 29) Siano date due circonferenze esterne Γ 1 e Γ 2, di centri rispettivamente O 1 e O 2 Traccia due rette, t 1 e t 2, tangenti comuni a Γ 1 e Γ 2 (figura a lato) imostra che i segmenti e sono congruenti O 1 P O 2 he cosa puoi dire del quadrilatero? t 2 t 1 31) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e un suo diametro ondotta la corda congruente al raggio, prolunga, dalla parte di, di un segmento congruente ad imostra che il segmento è tangente a Γ 32) ata una circonferenza Γ di centro O, siano e rispettivamente un diametro ed una corda ai punti e manda le tangenti t 1 e t 2 a Γ imostra che t 1 t ) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e due corde congruenti e ondotte dagli estremi,, rispettivamente le tangenti t 1, t 2, t 3 a Γ e indicati con: {} = t 1 t 2 ; {E} = t 2 t 3, dimostra che i triangoli e E sono congruenti 34) Sia data una circonferenza Γ di centro O onsidera un arco e la corda ad esso sottesa etto M il punto medio dell arco, dimostra che la tangente in M a Γ è parallela alla corda Scrivi e dimostra la proposizione inversa (suggerimento: se una corda e una tangente sono ) 68

70 35) Siano date due circonferenze Γ 1 e Γ 2, tangenti internamente nel punto T, con Γ 1 di raggio maggiore a quello di Γ 2 al punto del diametro T di Γ 1 conduci le tangenti a Γ 2, indicando con e i punti di intersezione con la tangente comune t imostra che il triangolo è isoscele 36) Nella figura a lato sono date due circonferenze Γ 1 e Γ 2, di centri rispettivamente O 1 e O 2, tangenti esternamente nel punto Sapendo che le rette s, t, u sono le tangenti comuni a Γ 1 e a Γ 2 e che: s u = {F} ; t u = {G}, dimostra che: 1 F è il punto medio del segmento ; 2 G è il punto medio del segmento E; 3 il triangolo è retto in Γ 1 O 1 u F G O 2 E Γ 2 t s 37) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e un suo diametro imostra che le rette tangenti a Γ, condotte dagli estremi del diametro, sono parallele 38) Siano date due circonferenze Γ 1 e Γ 2, di centri rispettivamente O 1 e O 2, con Γ 2 interna a Γ 1 onduci le corde e di Γ 1, tangenti a Γ 2, parallele alla retta dei centri (figura a lato): Γ 1 Γ 2 O 1 O 2 imostra che (suggerimento: osserva che le due corde hanno distanze ) 39) Siano date due circonferenze Γ e Γ' tangenti esternamente e sia T il loro punto di contatto Traccia da T due rette q ed s secanti le circonferenze Sapendo che: q Γ = {, T} 69

71 q Γ' = {, T} s Γ = {, T} s Γ' = {, T} dimostra che // Problemi di riepilogo 40) Siano Γ 1 e Γ 2 due circonferenze tangenti esternamente nel punto T onduci da T due rette r ed s che intersecano rispettivamente la circonferenza Γ 1 nei punti e e la circonferenza Γ 2 nei punti e imostra che i triangoli T e T hanno gli angoli a due a due congruenti (suggerimento: conduci da T la tangente comune ) 41) Sia data una circonferenza Γ di centro O a un punto P di Γ conduci le corde P e P e siano M ed N i rispettivi punti medi etto Q il punto medio del raggio PO, dimostra che MQ NQ (suggerimento: congiungi e con O; il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo ) 42) Siano date due circonferenze Γ 1 e Γ 2, secanti tra loro nei punti e onduci da una retta s che incontri ulteriormente Γ 1 e Γ 2 rispettivamente in e imostra che l angolo non varia al variare della retta s (suggerimento: conduci per una ulteriore retta t secante le due circonferenze; angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco ) 43) Sia dato un triangolo, isoscele sulla base, con il vertice centro di una circonferenza Γ di raggio maggiore di ciascuno dei lati congruenti del triangolo etti P e Q i punti di intersezione della retta con Γ, dimostra che P Q (suggerimento: considera i triangoli P e ) 44) Siano date una circonferenza Γ di centro O e due rette t 1 e t 2, tangenti a Γ, con t 1 // t 2 Sia t 3 un ulteriore tangente allla circonferenza tale che: t 3 t 1 = {}, t 3 t 2 = {} imostra che il segmento è visto da O secondo un angolo retto 45) Siano date due circonferenze Γ 1 e Γ 2, tangenti esternamente nel punto T Traccia da T la tangente t comune alle due circonferenze e, da un punto P t, conduci le ulteriori tangenti alle circonferenze 70

72 Se: {} = t Γ 1, {} = t Γ 2, dimostra che il triangolo P è isoscele 46) ati una circonferenza Γ di centro O ed un punto P interno a Γ, conduci per P la corda di lunghezza minima (suggerimento: unisci il centro O con P e traccia la corda, passante per P e perpendicolare ad OP ) 47) Siano date due circonfrenze Γ e Γ', di centri rispettivamente O e O, congruenti e tangenti esternamente nel punto T onduci da T, dalla stessa parte rispetto alla retta dei centri, due corde T e T, perpendicolari tra loro imostra che // OO (suggerimento: conduci da T la tangente comune alle due circonferenze; angoli alla circonferenza e angoli al centro ) 48) Siano dati una circonferenza Γ e un suo diametro Indicati con M il punto medio di una delle due semicirconferenze e con P un generico punto dell altra semicirconferenza, dimostra che la corda PM è bisettrice dell angolo P 49) Siano dati una circonferenza Γ e un suo diametro onduci la corda e prolungala di un segmento a) imostra che b) Traccia da la perpendicolare ad ed indica con E l ulteriore punto di intersezione con la circonferenza Prolunga E di un segmento EF E imostra che i punti, ed F sono allineati (suggerimento: indica l angolo con α e osserva gli angoli e E ) 50) ate due circonferenze secanti Γ e Γ', siano e i loro punti di intersezione ondotti i diametri e, dimostra che i punti, e sono allineati (suggerimento: osserva gli angoli e ) 51) Sia data una circonferenza Γ di centro O Prendi un punto P su Γ e conduci da tale punto due corde qualsiasi P e P etti M, N e Q i punti medi rispettivamente di P, P e PO, dimostra che MQ NQ 71

73 (suggerimento: unisci i punti e con il centro O della circonferenza; i segmenti che uniscono i punti medi ) 52) Siano dati una circonferenza Γ di centro O e due suoi archi congruenti e onduci da e da rispettivamente le tangenti t 1 e t 2 a Γ imostra che la distanza di dalla t 1 è congruente a quella di dalla t 2 53) Relativamente alla circonferenza di centro O, rappresentata nella figura a lato, si sa che le corde e formano angoli congruenti con il diametro imostra, utilizzando la simmetria, che: a) ; b) O O O 54) Sia dato un triangolo, isoscele sulla base Traccia la circonferenza di centro, secante i lati e rispettivamente nei punti ed E imostra che il quadrilatero E è un trapezio isoscele 72

74 OLIMPII 55) è un triangolo rettangolo in non isoscele e l ulteriore intersezione del cerchio di diametro con l ipotenusa ire quali delle seguenti affermazioni è falsa (F è la tangente alla circonferenza in ): a F = 2 b F = F c F biseca l angolo d F biseca il segmento O e F = F F [Gara Senior, 1992] 56) Siano e due corde di una circonferenza aventi un estremo in comune, M' sia il punto dell arco (non contenente ) equidistante da e da e M'' il punto dell arco (non contenente ) equidistante da e da Se H e K sono le intersezioni del segmento M'M'' con le due corde, si dimostri che HK è isoscele [Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1993] 57) Supponiamo che nel cerchio in figura l angolo sia di 35 Se è il diametro passante per, quanto vale? a 35 b 45 c 50 O d 55 [Giochi di rchimede, 1998] 35 73

75 58) PR e QR sono tangenti al cerchio in figura Sapendo che l arco PSQ è quattro volte l arco PTQ, allora l angolo PRQ è: a 72 b 90 c 105 d 108 e 120 P S T O Q R [Giochi di rchimede, Gara del biennio 3 dicembre 1997] 59) La lunghezza del lato di un quadrato posto su un piano è di 1 cm Ogni vertice di questo quadrato è centro di una circonferenza di raggio 1 cm, giacente nello stesso piano In quanti punti del piano si intersecano queste circonferenze? a 6 b 8 c 10 d 12 e 14 [Kangourou Italia adet 15 marzo 2001] 60) è un triangolo equilatero e è il punto medio del segmento (vedi figura) Un punto E è scelto nello stesso piano in modo che E = Si sa che la distanza tra ed E è la massima possibile Quanto misura l angolo E? a) 45 b) 30 c) 20 d) 15 e) 10 [Kangourou Italia adet 15 marzo 2001] 74

76 61) Siano,, tre punti su una circonferenza di centro O Sia un punto esterno alla circonferenza situato sulla retta dalla parte di Sapendo che = 72, quanto misura l angolo O? O a) 135 b) 144 c) 153 d) 162 e) 171 [Olimpiadi della Matematica, Giochi di rchimede, 2004] 62) E data una circonferenza di diametro e centro O Sia un punto sulla circonferenza (diverso da e da ) e si tracci la retta r parallela ad passante per O Sia l intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di rispetto ad imostrare che O è bisettrice di [Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2007] 63) Sia una corda di una circonferenza e P un punto interno ad tale che P = 2 P Sia E la corda passante per P e perpendicolare ad imostrare che il punto medio Q di P è l ortocentro di E [Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2008] 64) E dato un triangolo rettangolo in e con cateto maggiore; sia M il punto medio di, N il simmetrico di rispetto a, O l intersezione fra la perpendicolare ad MN passante per N e la retta contenente imostrare che l angolo OMN è il doppio dell angolo [Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2009] 75

77 UNITÀ 7 POLIGONI INSRITTI E IROSRITTI POLIGONI REGOLRI 71 Generalità Un poligono si dice inscritto in una circonferenza /in un cerchio se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza In tal caso la circonferenza /il cerchio si dice circoscritta/o al poligono In fig 1 è rappresentato il pentagono E che è inscritto nella circonferenza Γ: E Γ fig 1 In fig 2 è rappresentato il quadrilatero che non è inscritto nella circonferenza Γ: PERHÈ? Γ fig 2 Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza /ad un cerchio se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza In tal caso la circonferenza / il cerchio si dice inscritta/o nel poligono ed il raggio si dice apotema del poligono 76

78 In fig 3 è rappresentato l esagono EF che è circoscritto alla circonferenza Γ: F E apotema Γ fig 3 In fig 4 è rappresentato il quadrilatero che non è circoscritto alla circonferenza Γ: PERHÈ? Γ fig 4 OSSERVZIONE: ata una circonferenza, è sempre possibile sia inscrivervi che circoscrivervi un poligono con un qualsiasi numero di lati ato un poligono qualsiasi, non è sempre possile inscriverlo o circoscriverlo ad una circonferenza 72 Punti notevoli di un triangolo bbiamo già parlato di ortocentro, baricentro, incentro e circocentro di un triangolo (pag 155 e successive TOMO 1, 1 anno) Tali punti vengono detti punti notevoli di un triangolo (punti, cioè, in cui si incontrano segmenti/rette particolari, come altezze, mediane, bisettrici, assi) tali punti si aggiungono gli ex-centri In questa unità approfondiremo l argomento, grazie all introduzione dei quadrilateri, della circonferenza/del cerchio e dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza/un cerchio 77

79 TEOREM Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama circocentro c o b Hp: a asse di b asse di o c asse di * * Th: a b c = {O} a imostrazione Osserviamo che due dei tre assi, per esempio a e b, sono incidenti in un punto O, in quanto l angolo è minore di un angolo piatto (cosa succede nel caso dell angolo congruente ad un angolo piatto?) [fig 5]: c o O b o * * a fig 5 Poiché l asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento si ha: O O perché O a ; O O perché O b Segue: O O per la proprietà transitiva della congruenza e quindi: O c (PERHÉ?) Pertanto: a b c = {O} [fig 6]: OSTRUISI TU L FIGUR [fig 6] V 78

80 OSSERVZIONE: Ricordiamo che per tre punti non allineati (i vertici,, del triangolo) passa una e sola circonferenza (teorema pag 13) [fig 7]: O fig 7 Si ha quindi che esiste una (ed una sola!) circonferenza circoscritta al triangolo e poiché la perpendicolare ad ogni corda condotta dal centro della circonferenza dimezza ONTINU V Questo teorema permette l affermazione che ogni triangolo può essere inscritto in una circonferenza il cui centro è il punto di intersezione degli assi dei lati (circocentro del triangolo) In realtà più che di una affermazione si tratta di una conferma in quanto hai già verificato con il compasso che gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (circocentro del triangolo) che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo (pag 158 Tomo 1, 1 anno) Possiamo, pertanto, concludere che vale il seguente: OROLLRIO Ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza il cui centro è il circocentro del triangolo 79

81 TEOREM Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama incentro o o c Hp: a bisettrice dell angolo interno di vertice b bisettrice dell angolo interno di vertice c bisettrice dell angolo interno di vertice a b Th: a b c = {I} imostrazione Osserviamo che due delle tre bisettrici, per esempio a e b, sono incidenti in un punto I, interno al triangolo, in quanto formano, con la trasversale, angoli coniugati interni non supplementari (PERHÉ?) [fig 8]: o o b c I a a e b non possono essere parallele fig 8 Poiché la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell angolo, indicati con: H il piede della perpendicolare condotta da I al lato ; K il piede della perpendicolare condotta da I al lato ; T il piede della perpendicolare condotta da I al lato, si ha che: IK IH IH IT perché I a perché I b e quindi: IK IT per la proprietà transitiva della congruenza 80

82 Pertanto il punto I, essendo equidistante dai lati dell angolo, appartiene alla bisettrice di tale angolo, cioè I c (fig 9): K o o b I H T a c fig 9 V OSSERVZIONE: Il punto I è quindi equidistante dai tre lati del triangolo per cui esiste una (ed una sola! PERHÉ?) circonferenza con centro in I e raggio IH (o IT o IK) inscritta nel triangolo (fig 10): K I T H fig 10 Il teorema precedente permette l affermazione che ogni triangolo può essere circoscritto ad una circonferenza il cui centro è il punto d intersezione delle bisettrici degli angoli interni del triangolo (incentro) In realtà, anche qui, più che di una affermazione si tratta di una conferma in quanto hai già verificato con il compasso che le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (incentro del triangolo) che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo [pag 157 Tomo 1, 1 anno] Possiamo, pertanto, concludere che vale il seguente: OROLLRIO Ogni triangolo è circoscrittibile triangolo ad una circonferenza che ha come centro l incentro del 81

83 i seguito riportiamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema: TEOREM Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell angolo interno non adiacente ad essi passano per uno stesso punto che si chiama ex-centro (fig 11): o o I 1 fig 11 I 1 ex-centro Nel caso della fig 11, il teorema ci assicura l esistenza di una circonferenza (circonferenza exinscritta al triangolo ) che ha come tangenti il lato e i prolungamenti degli altri due lati e (fig 12): o o I 1 fig 12 82

84 nalogamente si costruiscono le altre due circonferenze ex-inscritte (fig 13): I 2 I 1 I 3 fig 13 OSSERVZIONE: Per ora (e rimarrà così!) possiamo dire che: Un triangolo ha quattro punti equidistanti dalle rette dei lati: l incentro e i tre ex-centri 83

85 TEOREM Le altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, passano per uno stesso punto detto ortocentro [i riferiamo ad un triangolo acutangolo quindi ] K Hp: K altezza relativa ad S altezza relativa ad S T altezza relativa ad T Th: K S T = {H} imostrazione onduciamo da ogni vertice del triangolo la parallela al lato opposto e sia EF il triangolo così ottenuto (fig 14): E K S T F fig 14 (PERHÈ le rette E, EF, F si incontrano a due a due?) OMPLET: Osserviamo che i quadrilateri e F sono parallelogrammi perché i lati opposti sono a due a due paralleli e quindi: perché F perchè Segue: per la proprietà transitiva della congruenza 84

86 Pertanto il punto è il punto medio del segmento Inoltre K, essendo perpendicolare a, è perpendicolare anche a F (PERHÉ?) e quindi risulta di F nalogamente si dimostra che S è asse di e che T è di Pertanto le rette che contengono le tre altezze del triangolo coincidono con gli assi del triangolo EF per cui, in base al teorema di pag 54, tali rette passano per uno stesso punto H V OSSERVZIONE: L ortocentro del triangolo coincide con il circocentro del triangolo EF TEOREM Le mediane di un triangolo passano per uno stesso punto (baricentro), che divide ciascuna mediane in due parti, delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell altra * // N M * // / / P Hp: Th: M mediana relativa a N mediana relativa ad P mediana relativa ad M N P = {G} G 2GM G 2GN G 2GP imostrazione isegnamo per bene due delle tre mediane, per esempio le mediane M e N e indichiamo con G il loro punto di intersezione (esiste! PERHÉ?) [fig 15]: * N * // M // / / P fig 15 Non riportiamo la mediana P per una figura più pulita 85

87 ongiungiamo N con M (fig 16): * N * G // M / / P // fig 16 ed osserviamo che il segmento NM unisce i punti medi dei lati e per cui si ha (teorema pag 153 Tomo 2, 1 anno) che: NM // NM 1 ( ) 2 Siano ora Q ed R i punti medi rispettivamente dei lati G e G del triangolo G e congiungiamo Q con R (fig 17): * N * o Q o / G // x P M // R x / fig 17 Osserviamo che il segmento QR unisce i punti medi dei lati G e G per cui si ha (teorema pag ) che: QR // QR 1 ( ) 2 alle relazioni ( ) e ( ), segue, per la proprietà transitiva della congruenza, che: NM // QR NM QR per cui il quadrilatero NMRQ, avendo due lati opposti paralleli e congruenti, è un parallelogramma (pag 127 Tomo 2, 1 anno) [fig 18]: * N * o Q o / G // x P M // R x / fig 18 86

88 Poiché in un parallelogramma le diagonali si incontrano nel loro punto medio si ha: NG GR ( segnare NG con il simbolo x ) e MG GQ ( segnare MG con il simbolo o ) [fig 19]: * // N x G o * o x o Q / P M // R x / fig 19 Pertanto risulta: Q QG GM e R RG GN cioè: G 2GM e G 2GN Ripetendo lo stesso ragionamento per un altra coppia di mediane, per esempio M e P, si trova che il loro punto comune G' le divide allo stesso modo e cioè: G' 2G'M e G' 2G'P, per cui la mediana M è divisa nello stesso modo sia dalla mediana N che dalla mediana P e questo implica che G G', cioè le tre mediane passano per lo stesso punto G e ciascuna di esse viene divisa da G in due parti tali che quella che contiene il vertice è doppia dell altra V 87

89 73 I quadrilateri inscritti e circoscritti Parlando dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza abbiamo visto che, dato un poligono qualsiasi, non è sempre possibile inscriverlo oppure circoscriverlo ad una circonferenza (a differenza di quanto accade per i triangoli) Puoi facilmente osservare e verificare che per qualsiasi poligono valgono le seguenti regole : un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano tutti nello stesso punto; un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano tutte nello stesso punto Tali regole rappresentano in realtà condizioni necessarie e sufficienti perché un poligono sia rispettivamente inscrittibile e circoscrittibile Le regole su esposte valgono per qualsiasi poligono e, quindi, anche per i quadrilateri per i quali, però, si dimostrano anche i seguenti teoremi: TEOREM (sui quadrilateri inscritti) Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, allora i suoi angoli opposti sono supplementari [condizione necessaria] O Hp: Th: inscritto in una circonferenza di centro O supplementare di supplementare di imostrazione Osserviamo innanzitutto che basterà dimostrare uno solo dei due punti della tesi perché l altro si dedurrà immediatamente dal fatto che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a due angoli piatti Indichiamo, pertanto, l angolo con α e l angolo con β (fig 20): α O β fig 20 88

90 e dimostriamo che α è supplementare di β, cioè che: α + β 1 angolo piatto ongiungiamo il centro O con e (fig 21): α e osserviamo che: quindi: cioè: osì: quindi: cioè: l angolo convesso O è un angolo al centro che insiste sull arco che contiene ; l angolo è un angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco, O 2 O 2 α perché ogni angolo al centro è congruente al doppio dell angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco, l angolo concavo O è un angolo al centro che insiste sull arco che contiene ; l angolo è un angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco, O 2 O 2β [fig 22]: O β fig 21 α 2β O 2α β fig 22 89

91 Poiché: 2α + 2β 2 angoli piatti si ha: α + β 1 angolo piatto [Per la 2 a parte del teorema vale l osservazione riportata in precedenza, oppure si ripete un ragionamento analogo] V TEOREM (inverso del precedente) Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza [condizione sufficiente] Osserviamo, ancora una volta, che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a 2 angoli piatti per cui, se due angoli opposti sono supplementari, allora lo sono anche gli altri due Pertanto il teorema può essere enunciato nel seguente modo: Un quadrilatero con una coppia di angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza Hp: quadrilatero + 1 angolo piatto ( + 1 angolo piatto) Th: è inscrivibile in una circonferenza imostrazione Poiché per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza (teorema pag 13), esiste una circonferenza Γ che passa, per esempio, per, e obbiamo dimostrare che la circonferenza Γ passa anche per Ragioniamo per assurdo e supponiamo che la circonferenza Γ, passante per, e, non passi anche per Si possono presentare due casi: 90

92 1 caso: Il punto è esterno alla circonferenza Γ che interseca il lato nel punto E (fig 23): E O Γ fig 23 In tal caso osserviamo che il quadrilatero E risulta inscritto nella circonferenza Γ (fig 24): E O per cui si ha: + E 1 angolo piatto e poiché: + 1 angolo piatto si ha: E Γ fig 24 perché e E sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, per ipotesi, perché supplementari dello stesso angolo Quest ultima congruenza è un assurdo perché l angolo E, esterno al triangolo E, deve essere maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacente (teorema pag 40 Tomo 1, 1 anno), cioè, in particolare, deve essere: E > Per non cadere in un assurdo, la circonferenza Γ deve, quindi, passare anche per V Nell ultima parte del teorema, invece di utilizzare il 1 teorema dell angolo esterno di un triangolo, PROV TU a pervenire alla tesi utilizzando il parallelismo (suggerimento: gli angoli E e risultano angoli corrispondenti ) 91

93 2 caso: Il punto è interno alla circonferenza Γ che interseca il prolungamento del lato nel punto E (fig 25): E O Γ fig 25 In tal caso osserviamo che ONTINU TU V I due teoremi precedenti si possono riassumere nel seguente: TEOREM ondizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che gli angoli opposti siano supplementari Questo teorema permette di stabilire quando quattro punti appartengono ad una stessa circonferenza; si può, infatti, affermare che: quattro punti appartengono ad una stessa circonferenza se il quadrilatero da essi individuato ha gli angoli opposti supplementari (ovviamente basta che due ) OSSERVZIONE: Per quanto detto sui poligoni inscrittibili (pag 86), puoi verificare, anche con il disegno, che, se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il punto di intersezione dei quattro assi dei lati del quadrilatero è il centro della circonferenza circoscritta 92

94 OROLLRIO 1 Ogni rettangolo è inscrittibile in una circonferenza (PROV TU) OROLLRIO 2 Ogni quadrato è inscrittibile in una circonferenza (PROV TU) OROLLRIO 3 Ogni trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza (PROV TU) osa puoi dire circa l inscrittibilità di un rombo in una circonferenza? TEOREM (sui quadrilateri circoscritti) In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due [condizione necessaria] O Hp: circoscritto ad una circonferenza Th: + + imostrazione Siano E, F, G e H i punti di tangenza rispettivamente dei lati,, e con la circonferenza (fig 26): G F H O E fig 26 93

95 Osserviamo che ogni vertice del nostro quadrilatero può essere considerato come un punto esterno alla circonferenza dal quale vengono condotte le tangenti alla circonferenza stessa Si ha quindi (teorema pag ) che: E H segmenti di tangenti condotte dal punto ; E F segmenti di tangenti condotte dal punto ; F G segmenti di tangenti condotte dal punto ; G H segmenti di tangenti condotte dal punto Pertanto si ha: + (E + E) + (G + G) (H + F) + (F + H) (H + H) + (F + F) + [GIUSTIFI le congruenze riportate] V TEOREM INVERSO Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due [condizione sufficiente] Hp: + + Th: è circoscrittibile in una circonferenza imostrazione Osserviamo che le bisettrici di due angoli interni del quadrilatero, per esempio degli angoli e, si intersecano in un punto O (PERHÉ?) che è equidistante dai lati, e Esiste, pertanto, una ed una sola circonferenza Γ tangente ai tre lati del quadrilatero obbiamo dimostrare che Γ è tangente anche al quarto lato Supponiamo per assurdo che Γ non risulti tangente a Tracciamo allora dal punto la retta tangente a Γ che interseca la retta del lato in un punto E 94

96 Si possono presentare due casi: 1 caso: il punto E è interno al lato (fig 27): E Γ fig 27 In tal caso il quadrilatero E risulta circoscritto a Γ per cui vale la relazione: + E E + e poiché per ipotesi è: + + sottraendo, membro a membro, dalla seconda relazione la prima, si ha: + ( + E) + (E + ) cioè: + E + E Semplificando, si ha: E E cioè: E E e ancora: E + E Quest ultima congruenza è assurda per la disuguaglianza triangolare relativa al triangolo E (ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due) Per non cadere in un assurdo, la circonferenza Γ deve, quindi, essere tangente anche al lato per cui il quadrilatero è circoscritto a Γ V 95

97 2 caso: il punto E è esterno al lato, cioè appartiene al suo prolungamento (fig 28): E Γ fig 28 ONTINU TU V I due teoremi precedenti si possono riassumere nel seguente: TEOREM ondizione necessaria e sufficiente affinchè un quadrilatero sia circoscrittibile ad una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due OSSERVZIONE: Per quanto detto sui poligoni circoscrittibili (pag 86), puoi verificare, anche con il disegno, che, se è un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza, il punto di intersezione delle quattro bisettrici degli angoli interni del quadrilatero è il centro della circonferenza inscritta OROLLRIO Un quadrilatero con i lati tutti congruenti tra loro si può circoscrivere ad una circonferenza (PROV TU) Relativamente alla circoscrittibilità dei seguenti quadrilateri: quadrato; rombo; (generico) parallelogramma; (generico) rettangolo, cosa puoi dedurre in base all ultimo corollario? 96

98 Problema risolto o quasi Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un suo diametro Preso un punto su Γ, conduci dal punto la perpendicolare alla retta O ed indica con H il piede di tale perpendicolare: etta K la proiezione di sul diametro, dimostra che: 1 H K; 2 Il quadrilatero convesso HK è inscrittibile in una circonferenza O centro della circonferenza Γ Hp: O H O H O K Γ Th: K 1 H K 2 HK è inscrittibile in una circonferenza imostrazione onsideriamo i triangoli OH e OK; essi hanno: HO KO entrambi retti per ipotesi; O O perché raggi della stessa circonferenza; OH OK perché angoli opposti al vertice I due triangoli, avendo oltre all angolo retto due altri elementi ordinatamente congruenti (che non sono gli angoli acuti), sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli vranno, pertanto, tutti gli elemento corrispondenti congruenti, in particolare H K e, quindi, è dimostrato il punto 1 Per dimostrare il punto 2, osserviamo il quadrilatero HK (fig 29): O K H Γ fig 29 Poiché il triangolo H è retto in H, si ha che tale triangolo è inscritto nella semicirconferenza di diametro e analogamente ONTINU TU 97

99 74 I poligoni regolari Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti In altre parole, un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo Sono esempi di poligoni regolari: il triangolo equilatero (che è anche equiangolo: è l unico poligono regolare che ha tre lati); il quadrato In particolare osserviamo che: o il rombo e il quadrato sono i quadrilateri equilateri; o il rettangolo e il quadrato sono i quadrilateri equiangoli Pertanto, il quadrato è l unico quadrilatero regolare Vi sono, inoltre, pentagoni regolari, esagoni regolari, ettagoni regolari,, poligoni regolari di n lati ( n > 4) [fig 30]: pentagono regolare esagono regolare ottagono regolare fig 30 98

100 TEOREM Ogni poligono regolare è sia inscrittibile che circoscrittibile e le due circonferenze (circoscritta è inscritta) sono concentriche [Riferiamo il teorema, per semplicità, ad un esagono regolare, sottolineando che esso vale per un qualsiasi poligono di n lati, con n 3 ] E * * * Hp: E EF F E F F * * * Th: 1 EF è inscrittibile in una circonferenza Γ 1 2 EF è circoscrittibile in una circonferenza Γ 2 3 le circonferenze Γ 1 e Γ 2 hanno lo stesso centro imostrazione Tracciamo due qualsiasi bisettrici degli angoli interni dell esagono, per esempio degli angoli e e sia O il loro punto di intersezione (PERHÈ tali bisettrici si incontrano?) [fig 31]: E * F * * O * * * fig 31 Osserviamo che tali bisettrici bisecano gli angoli e in angoli tutti e quattro congruenti tra loro perché metà di angoli congruenti per ipotesi ( ) Quindi: OF O O O ( segnare tali angoli con il simbolo ) [fig 32] 99

101 E * F * * O * * * fig 32 Il triangolo O è quindi isoscele sulla base per cui: O O ( segnare O e O con il simbolo ) ongiungiamo O con il vertice (fig 33): E * F * * O * * * fig 33 onsideriamo, ora, i triangoli O e O; essi hanno: O in comune (o O O per la proprietà riflessiva della congruenza); per ipotesi: O O per precedente dimostrazione I due triangoli, avendo due lati e l angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 1 criterio di congruenza dei triangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: O O ( segnare O e O con il simbolo ); O O ( segnare O con il simbolo ) Segue, per la proprietà transitiva della congruenza, che: e O O O O O O O 100

102 per cui il triangolo O, congruente al triangolo O, è isoscele sulla base (fig 34): E * F * * O * * * fig 34 nalogamente si dimostra che sono isosceli e congruenti fra loro tutti i triangoli ottenuti congiungendo O con i vertici del poligono (fig 35): F E * * * O * * * fig 35 Il punto O è, pertanto, equidistante da tutti i vertici del poligono per cui è il centro della circonferenza Γ 1 circoscritta al poligono (fig 36): E F O Γ 1 fig 36 Inoltre O è anche il punto d incontro delle bisettrici degli angoli interni dell esagono per cui, per una proprietà delle bisettrici (teorema pag 131 Tomo 1, 1 anno), O è anche equidistante dai lati del poligono e quindi è il centro della circonferenza inscritta nel poligono (fig 37): 101

103 E F o o O o o Γ 2 o o O è il centro sia della circonferenza circoscritta che di quella inscritta fig 37 V OSSERVZIONE: Nei poligoni regolari, grazie al teorema precedente, possono essere individuati alcuni elementi particolari Riferendoci all esagono EF e alle circonferenze circoscritta e inscritta della fig 38 si riportano gli elementi particolari del poligono: E F O H fig 38 Il centro: è il centro O della circonferenza circoscritta e inscritta; il raggio: è il raggio della circonferenza circoscritta (in figura il segmento O); l apotema: è il raggio della circonferenza inscritta (in figura il segmento OH) 102

104 ontinuiamo lo studio delle proprietà dei poligoni inscritti e circoscritti dimostrando i seguenti teoremi: TEOREM Se si divide una circonferenza in n parti congruenti (n 3), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione è regolare [Riferiamo il teorema alla suddivisione di una circonferenza in sei parti congruenti, sottolineando che esso vale per la suddivisione di una circonferenza in n qualsiasi parti congruenti, con n 3] * * F * O * E * * imostrazione Hp: Th: E EF F EF poligono regolare i fini della dimostrazione, dobbiamo far vedere che il poligono EF (esagono) ha lati e angoli tutti congruenti tra loro, cioè: e E EF F E F tale scopo, osserviamo che: E EF F perché corde sottese da archi congruenti (teorema pag 10) [ segnare i lati,,, E, EF, F con il simbolo ]; e inoltre: E F perché angoli alla circonferenza che sottendono archi congruenti (OROLLRIO 1 pag 38) [ segnare gli angoli,,,, E, F con il simbolo ] [fig 39]: 103

105 * * F * O * * * E fig 39 (per dimostrare la congruenza degli angoli potevamo considerare i triangoli O, O, ) ONTINU V TEOREM Se si divide una circonferenza in n parti congruenti (n 3), il poligono circoscritto che ha i lati tangenti nei punti di divisione è regolare [Riferiamo il teorema alla suddivisione di una circonferenza in sei parti congruenti, sottolineando che esso vale per la suddivisione di una circonferenza in n qualsiasi parti congruenti, con n 3] G N * * * * I L F H * O * t 2 t 1 t 3 t 6 E t 4 t 5 M Hp: Th: E EF F t 1 tangente in alla circonferenza t 2 tangente in alla circonferenza t 6 tangente in F alla circonferenza t 1 t 2 = {G} ; t 2 t 3 = {H} ; t 3 t 4 = {N} ; t 4 t 5 = {L} ; t 5 t 6 = {M} ; t 6 t 1 = {N} GHILMN poligono regolare imostrazione i fini della dimostrazione, dobbiamo far vedere che il poligono GHILMN (esagono) ha lati e angoli tutti congruenti tra loro, cioè: e GH HI IL LM MN NG G H I L M N 104

106 tale scopo, osserviamo che: E EF F perché corde che sottendono archi congruenti ( segnare le corde,, con il simbolo ); e inoltre: G G H H I NF NF perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti ( segnare gli angoli alla circonferenza G, G, con il simbolo ) [fig 40]: G N t 1 * * F H * O * t 2 E * * I L t 3 t 6 t 4 fig 40 i limitiamo a segnare solo alcune corde e qualche angolo alla circonferenza Pertanto i triangoli G, H, I,, NF sono triangoli isosceli tutti congruenti tra loro ONTINU TU Segue che il poligono EF ha V 105

107 ESERIZI UNITÀ 7 onoscenza e comprensione 1) osa vuol dire che un poligono è inscritto in una circonferenza? 2) osa vuol dire che un poligono è circoscritto ad una circonferenza? 3) Quali sono i punti notevoli di un triangolo? 4) Il centro di quale circonferenza è detto ex-centro di un triangolo? 5) Vero o Falso? a) Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, tutti i suoi punti sono V F esterni ad essa b) Se un poligono è inscritto in una circonferenza, i suoi lati sono corde della V F circonferenza c) Un triangolo ottusangolo non può essere circoscritto ad una circonferenza V F d) Se un triangolo è inscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza V F coincide con l incentro del triangolo e) Se una circonferenza è inscritta in un triangolo, l incentro del triangolo è il V F centro della circonferenza f) Un triangolo ammette un solo ex-centro V F g) La circonferenza inscritta e quella circoscritta ad un triangolo possono V F essere concentriche h) Il baricentro di un triangolo equilatero è il centro della circonferenza ad esso V F circoscritta i) Un poligono concavo non può essere circoscritto ad una circonferenza V F j) In un circonferenza si può inscrivere un poligono concavo V F k) Se un poligono è inscritto in una circonferenza, esso è sicuramente convesso V F l) Se le bisettrici dei vertici di un poligono convesso passano per uno stesso V F punto, il poligono è inscrittibile in una circonferenza m) Se una circonferenza è circoscritta ad un poligono convesso, gli assi dei lati V F del poligono passano per uno stesso punto 106

108 6) Esponi la NES affinchè un quadrilatero si inscrivibile in una circonferenza 7) Esponi la NES affinchè un quadrilatero sia circoscrivibile ad una circonferenza 8) Una sola delle seguenti proposizioni è vera Quale? a) Un trapezio è sempre inscrittibile in una circonferenza b) Se due angoli consecutivi di un quadrilatero sono supplementari, esso è inscrittibile in una circonferenza c) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono complementari, il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza d) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari, esiste sicuramente una circonferenza circoscritta al quadrilatero e) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari, esiste sicuramente una circonferenza inscritta nel quadrilatero 9) Sia Γ una circonferenza circoscritta al quadrilatero ; quali, fra le seguenti, possono essere le ampiezze degli angoli del quadrilatero? a) = 83 ; = 75 ; = 80 ; = 122 b) = 73 ; = 96 ; = 108 ; = 83 c) = 106 ; = 93 ; = 74 ; = 87 d) = 80 ; = 110 ; = 100 ; = 80 e) = 87 ; = 87 ; = 97 ; = 97 10) Il quadrilatero FGKL è inscritto in una circonferenza Γ di centro O; l ampiezza dell angolo FOG è 114 e quella di FKL è di 45 ; qual è l ampiezza di LFG? a) 66 ; b) 21 ; c) 78 ; d) 80 ; e) non si può determinare 107

109 11) Sia Γ una circonferenza inscritta nel quadrilatero ; quali, fra le seguenti, possono essere le misure dei lati del quadrilatero? a) = 42 cm; = 73 cm; = 60 cm; = 30 cm b) = 52 cm; = 52 cm; = 32 cm; = 35 cm c) = 55 cm; = 20 cm; = 32 cm; = 68 cm d) = 25 cm; = 35 cm; = 42 cm; = 18 cm e) = 25 cm; = 35 cm; = 35 cm; = 25 cm 12) Il quadrilatero PQRS è circoscritto ad una circonferenza; i lati PQ e SR misurano, rispettivamente, 14 cm e 18 cm, il lato PS è i 2 3 di SR Qual è la misura di QR? a) 19; b) 22; c) 18; d) 8; e) 20 13) Quale dei seguenti poligoni non è circoscrivibile ad una circonferenza? a) trapezio rettangolo; b) quadrato; c) rombo; d) trapezio isoscele; e) rettangolo 14) Osserva la figura e stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false t 2 T O t 1 e t 2 rette tangenti alla circonferenza S t 1 a) Il quadrilatero OTS è circoscrivibile ad una circonferenza V F b) S è un punto della circonferenza circoscritta al triangolo OT V F c) Il punto medio di O è il centro della circonferenza circoscritta a OTS V F d) Il centro della circonferenza inscritta nel quadrilatero OTS appartiene V F ad O 108

110 15) ai la definizione di poligono regolare 16) Vero o Falso? a) I vertici di un poligono regolare dividono la circonferenza circoscritta in archi V F congruenti b) I centri della circonferenza inscritta e di quella circoscritta ad un poligono V F regolare sono punti distinti c) L apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza circoscritta V F al poligono d) Il lato di un quadrato è congruente al doppio del raggio della circonferenza V F inscritta nel quadrato e) Il diametro di una circonferenza è congruente alla diagonale del quadrato in V F essa inscritto onsidera i seguenti quadrilateri e completa secondo le indicazioni date: 17) INSRITTIILE SI NO Perché 18) INSRITTIILE SI NO Perché 109

111 19) 135 INSRITTIILE SI NO Perché 20) * * INSRITTIILE SI NO * 120 Perché 21) 40 INSRITTIILE * * SI NO 35 Perché 110

112 pplicazione 1) Nella tabella seguente sono date le ampiezze degli angoli opposti e di un insieme di quadrilateri ompleta la tabella secondo le indicazioni riportate: + Il quadrilatero è inscrittibile? (scrivere SI o NO) ' 15'' ' 45'' ' 12'' 73 48'' 63 38'' '' 2) Le ampiezze di due angoli di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono 46 30' 18'' e ' 35'' alcola le ampiezze degli altri angoli [133 29' 42'' ; 65 34' 25''] 3) Sia dato un quadrilatero inscritto in una circonferenza Sapendo che gli angoli di vertici e hanno ampiezza rispettivamente di 58 37'' e 60 29' 15'', calcola l ampiezza degli angoli di vertici e [121 59' 23'' ; ' 45''] 4) Sia dato un quadrilatero inscritto in una circonferenza Sapendo che l angolo ha ampiezza 81 21' 12'' e che l angolo è congruente ai 2/3 di tale ampiezza, determina l ampiezza degli angoli,, [54 14' 8'' ; 98 38' 48'' ; ' 52''] 5) In un quadrilatero inscritto in una circonferenza la somma di due angoli è ' 34'' e la loro differenza è 31 15' 38'' etermina l ampiezza dei quattro angoli del quadrilatero [108 28' 36'' ; 77 12' 58'' ; 31 31' 24'' ; ' 2''] 111

113 6) Nella tabella seguente sono date le lunghezze dei lati, espresse in cm, di un insieme di quadrilateri ompleta la tabella secondo le indicazioni riportate: + + Il quadrilatero è circoscrittibile? (scrivere SI o NO) ) Sia un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza Sapendo che e il lato opposto misurano rispettivamente 50 cm e 27 cm, determina le misure di e di, con 2 [19 cm ; 38 cm] 8) Sia un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza Sapendo che la somma dei lati opposti e è congruente a 63 cm e che 2, determina le misure dei lati del quadrilatero nel caso in cui 3 4 [42 cm ; 27 cm ; 21 cm ; 36 cm] 9) ato il quadrilatero, figura a lato, completa la seguente tabella in modo che il quadrilatero sia inscrittibile e circoscrittibile (le misure dei lati sono espresse in cm): / / /3 1/ /

114 10) alcola l ampiezza dell angolo indicato con il simbolo x : O x Problemi Punti notevoli di un triangolo 1) Sia data una circonferenza Γ in cui è inscritto un triangolo, isoscele sulla base etto O l incentro del triangolo, siano rispettivamente ed E gli ulteriori punti d intersezione delle rette O e O con Γ imostra che: 1) Il quadrilatero OE è un rombo; 2) (E ) 2) ato un triangolo, sia G il suo baricentro etto M il punto medio del segmento G, conduci dai punti G ed M le parallele al lato imostra che tali parallele dividono i lati e in tre segmenti fra loro congruenti 3) ato un triangolo, siano M, N e P i punti medi rispettivamente dei lati, e imostra che: 1) I triangoli e MNP hanno lo stesso baricentro; 2) L ortocentro del triangolo MNP è il circocentro del triangolo 4) imostra che in ogni triangolo rettangolo la distanza del baricentro dal vertice dell angolo retto è congruente alla terza parte dell ipotenusa 5) ato un triangolo, sia H il suo ortocentro imostra che il vertice è l ortocentro del triangolo H 113

115 6) ato un triangolo, retto in, sia H l altezza relativa all ipotenusa Prendi un punto P interno al segmento H e conduci da tale punto la parallela al cateto etto K il punto d intersezione di tale parallele con l altezza H, dimostra che K è l ortocentro del triangolo P (suggerimento: detto T il punto d intersezione della retta PK con il cateto, il punto K ) Quadrilateri inscritti e circoscritti 7) Siano dati una circonferenza Γ ed un quadrilatero in essa inscritto, con le rette dei lati e incidenti in un punto E imostra che i triangoli E e E hanno gli angoli ordinatamente congruenti 8) Sia dato un trapezio circoscritto ad una circonferenza Γ di centro O imostra che i triangoli aventi per vertici il centro della circonferenza e gli estremi dei lati non paralleli sono rettangoli 9) Siano dati il rombo e la circonferenza di centro O in esso inscritta imostra che il quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti di contatto tra il rombo e la circonferenza è un rettangolo 10) Siano dati una circonferenza Γ di centro O, un suo diametro e una corda perpendicolare ad imostra che il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza 11) ato un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza Γ di centro O, dimostra che il triangolo avente per vertici O e gli estremi di un lato obliquo è rettangolo 12) Siano dati una circonferenza Γ di centro O e un punto P esterno a Γ onduci da P le tangenti alla circonferenza ed indica con S e T i punti di contatto imostra che il quadrilatero PSOT è inscrittibile e circoscrittibile 13) ato un triangolo rettangolo, considera la circonferenza inscritta e dimostra che il suo diametro è congruente alla differenza fra la somma dei cateti e l ipotenusa 14) Sia dato un trapezio circoscritto ad una semicirconferenza imostra che la base maggiore è congruente alla somma dei lati obliqui (suggerimento: unisci il centro della semicirconferenza con gli estremi della base minore ) 114

116 15) Sia dato il quadrilatero inscritto in una circonferenza opo aver condotto le diagonali e, dimostra che gli angoli e sono congruenti Sai dire quali sono tutte le coppie di angoli congruenti? Poligoni regolari 16) ato un poligono regolare, dimostra che il poligono ottenuto unendo i punti medi dei suoi lati è ancora regolare 17) ato un pentagono regolare E, conduci due diagonali (non uscenti dallo stesso vertice) imostra che tali diagonali si intersecano in parti corrispondenti congruenti e che la maggiore di esse è congruente al lato del pentagono lassifica, poi, i poligoni in cui resta suddiviso il pentagono 18) ato un esagono regolare PQRSTU, conduci le diagonali PR, PT e QU imostra che: 1 le diagonali PS e PT dividono la diagonale QU in tre parti congruenti; 2 l angolo QPT è retto 19) Sia dato un esagono regolare inscritto in una circonferenza Γ imostra che il lato dell esagono è congruente al raggio di Γ 20) ato un esagono regolare EF, considera la diagonale imostra che i due quadrilateri in cui viene suddiviso l esagono sono due trapezi isosceli congruenti 21) Sia dato un esagono regolare EF inscritto in una circonferenza di centro O imostra che l apotema dell esagono è congruente alla metà del lato del triangolo equilatero inscritto nella stessa circonferenza 22) Sia PQRSTU un esagono regolare Prolunga i lati UP ed RQ ed indica con V il punto di intersezione di tali prolungamenti imostra che PQV è un triangolo equilatero 23) ato l esagono regolare EF, conduci le diagonali,, F e E imostra che i punti di incontro di tali diagonali individuano un rombo 115

117 24) ato un pentagono regolare E, conduci due diagonali non uscenti dallo stesso vertice imostra che le due diagonali si tagliano in due parti di cui la maggiore è congruente al lato del pentagono (suggerimento: riferendoti alla seguente figura E * * 108 completa la dimostrazione ragionando sugli angoli) F * * * Problemi di riepilogo 25) In una circonferenza Γ di centro O è inscritto un trapezio isoscele con la base maggiore coincidente con un diametro della circonferenza ondotte le diagonali e che si incontrano in P, dimostra che P è l ortocentro del triangolo E ottenuto prolungando i lati obliqui del trapezio 26) imostra che in ogni triangolo rettangolo la somma dei due cateti è congruente alla somma dei diametri delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo 27) ato un triangolo acutangolo PQR, siano: PS l altezza relativa al lato QR; QT l altezza relativa al lato PR; PS QT = {U} imostra che il quadrilatero RTUS è inscrittibile in una circonferenza 28) imostra che il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero è doppio del raggio della circonferenza inscritta (suggerimento: dal centro O conduci l apotema OH relativa al lato ) 29) ato un qualsiasi triangolo acutangolo, dimostra che la circonferenza avente per diametro un lato del triangolo interseca gli altri due lati nei piedi delle rispettive altezze 116

118 30) ato un triangolo, retto in, siano: M il punto medio del cateto, N il punto medio del cateto, P il punto medio del cateto imostra che il quadrilatero PMN è inscrittibile in una circonferenza 31) Sia dato un triangolo equilatero Prolunga i lati, e, dalle parti rispettivamente di, e, dei segmenti, E e F congruenti tutti ai lati del triangolo equilatero imostra che: 1 il triangolo EF è equilatero; 2 le circonferenze circoscritte ai triangoli e EF sono concentriche 32) Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un suo diametro onduci, da parti opposte rispetto al diametro, due corde e imostra che il quadrilatero che ha per vertici, O e i punti medi delle corde e è inscrittibile in una circonferenza 33) ue rette r ed s, distinte e tra loro parallele, sono tagliate da una trasversale t rispettivamente nei punti e onduci le bisettrici degli angoli alterni interni di vertici e ed indica con e i loro punti di intersezione imostra che il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza e determinane il centro 34) In una circonferenza Γ di centro O, è inscritto un triangolo, isoscele sulla base ongiungi il vertice con O e sia il punto d intersezione del prolungamento di O con la circonferenza imostra che il triangolo è isoscele sulla base 35) d una circonferenza Γ di centro O è circoscritto un triangolo, retto in Sia: Γ = {H}; Γ = {K} imostra che il quadrilatero HOK è un quadrato 36) Sia dato un triangolo, retto in Sul prolungamento del cateto, dalla parte di, prendi il punto tale che imostra che il quadrilatero E, con E punto qualsiasi sul prolungamento di, dalla parte di, non è circoscrittibile ad una circonferenza 117

119 37) Siano date due circonferenze Γ e Γ', tangenti internamente nel punto onduci il diametro della circonferenza maggiore Γ e, dal suo estremo, traccia le tangenti S e T alla circonferenza Γ' imostra che il quadrilatero ST è circoscrittibile 38) Sia dato il triangolo, isoscele sulla base Traccia la semicirconferenza di diametro ed indica rispettivamente con ed E i punti di intersezione della semicirconferenza con i lati e etto F il punto d intersezione tra E e, dimostra che il quadrilatero FE è inscrittibile 39) Sia dato un triangolo inscritto in una circonferenza etto H l ortocentro del triangolo, riferendoti alla figura a lato: E H G F dimostra che è bisettrice dell angolo HG (suggerimento: confronta gli angoli dei triangoli e E; angoli alla circonferenza ) 118

120 OLIMPII 40) ato un triangolo acutangolo, siano U e V i piedi delle altezze uscenti dai vertici e imostra che l asse di UV passa per il punto medio di [Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1989] 41) Sia un quadrilatero convesso inscrivibile in una circonferenza e tale che le diagonali e siano perpendicolari etto P il punto d intersezione di e, dimostra che la perpendicolare da P a ciascun lato biseca il lato opposto [Olimpiadi della Matematica, ortona, 1995] 42) Sia un triangolo tale che l angolo = 60 Sia M il punto medio del lato e siano H e K i piedi delle altezze che partono, rispettivamente, da e da imostra che HMK è equilatero (suggerimento: HK è inscrivibile ) [Olimpiadi della Matematica, Gara provinciale, 2001] 43) Sia un triangolo isoscele tale che ˆ = 120 e = = 1 Quanto misura il raggio del cerchio circoscritto? a) 2; b) 3 ; 2 c) 2 ; 2 d) 1; e) nessuna delle precedenti [Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2002] 44) Sia data una stella a cinque punte inscritta in una circonferenza Quanto vale la somma degli angoli con vertice nelle punte della stella? a 100 b 150 c 180 d 200 e i dati a disposizione sono insufficienti [Olimpiadi della Matematica, Giochi di rchimede, 2003] 119

121 45) In un triangolo si tracciano le bisettrici da e da che incontrano rispettivamente i lati e in ed E etto I il punto d incontro delle bisettrici, si sa che il quadrilatero IE è inscrivibile in una circonferenza llora l angolo in vale: a 30 b 45 c 60 d 90 e non si può determinare in modo univoco [Olimpiadi della Matematica, Giochi di rchimede, 2004] 46) In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell angolo formato dai due lati si incontrano in uno stesso punto Possiamo affermare che: a non esiste un triangolo con questa proprietà b il triangolo è equilatero c il triangolo ha un angolo di 30 d il triangolo è rettangolo e il triangolo ha un angolo di 45 [Olimpiadi della Matematica, Giochi di rchimede, 2005] 47) In un pentagono convesso E i lati,, E sono uguali Inoltre ogni diagonale è parallela a un lato imostrare che E è un pentagono regolare [ortona, 1989] 48) ato un triangolo acutangolo inscritto in una circonferenza di centro O, si tracci la bisettrice dell angolo ; detta la sua intersezione con, si conduca da la perpendicolare alla retta O e si supponga che essa incontri la retta passante per e per in un punto P interno al segmento Si dimostri che P = [Gara nazionale, 1995] 120

122 49) Sia un quadrilatero in una circonferenza γ ette rispettivamente ', ', ', ' le intersezioni di γ con le bisettrici degli angoli in,,, del quadrilatero assegnato, si dimostri che '''' è un rettangolo In quali casi '''' è un quadrato? La medesima costruzione può essere applicata a '''' per ottenere un rettangolo '''''''', e così via Si descrivano i rettangoli così ottenuti [Gara Senior, 1992] 50) Un triangolo è tale che esiste un cerchio che passa per tutti i punti che dividono ciascun lato in tre parti uguali Provare che è equilatero [Gara Senior, 1989] 51) imostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza e tale che ogni sua diagonale sia parallela a un lato, è necessariamente regolare E [Gara provinciale, 1999] 52) Si consideri un quadrato di lato unitario; inscriviamo al suo interno una circonferenza e all interno di questa un esagono regolare Quanto misura il lato dell esagono? [Giochi di rchimede, 1998] 121

123 53) Su una circonferenza consideriamo cinque punti che chiamiamo, ordinatamente,, M,,,, e sia M equidistante da e da (vedi figura) Siano, inoltre, E ed F rispettivamente le intersezioni di M con e di M con Si dimostri che il quadrilatero EF è inscrivibile in una circonferenza [Olimpiadi della Matematica, gara nazionale 1989] 54) Sia Γ una circonferenza fissata e un triangolo in essa inscritto Se ', ', ' sono le intersezioni delle bisettrici uscenti rispettivamente da,, con Γ, dimostrare che esse sono le altezze del triangolo ''' [Olimpiadi della Matematica, gara nazionale 1991] 122

124 UNITÀ 8 L EQUIVLENZ EI POLIGONI Il problema Il signor X vuole calcolare l area del terreno, adiacente alla sua casa, di forma rettangolare con i lati che misurano 12 cm e 7 cm pplicherà con naturalezza e sicurezza la formula = b h, che esprime l area di un rettangolo di base b ed altezza h ( formula che ha imparato fin da piccolo) Insieme al signor X, vogliamo, però, chiederci: perché l area del rettangolo si calcola in quel modo? Più in generale: perché l area di una determinata figura si calcola applicando le formule che conosciamo? 81 Figure equivalenti Ricordiamo che viene detta figura piana, o superficie piana (finita), la parte di piano delimitata da una o più linee chiuse non intrecciate (fig 1): fig 1 [Nel nostro lavoro useremo indifferentemente i due termini] d ogni figura piana si può associare la sua estensione, cioè la caratteristica di occupare una certa parte di piano [L estensione è un concetto primitivo Ricordi cosa significa?] i chiediamo se è possibile definire un metodo per stabilire, per esempio, se alcune delle figure precedenti delimitano la stessa estensione ; cioè, se occupano la stessa parte di piano Sappiamo che due figure congruenti si possono sovrapporre, così che il contorno dell una coincida perfettamente con il contorno dell altra e siamo portati a dire che hanno la stessa estensione (fig 2): 123

125 ' ' ' '''' ' '''' = '''' fig 2 Nel caso di due figure e non congruenti, se, sovrapponendole, si ha che contiene, si dice che è meno estesa di ( o è suvvalente a ) o, anche, che è più estesa di ( o è prevalente ad ) [fig 3]: è suvvalente a oppure è prevalente ad fig 3 Ma come si opera quando le figure non sono sovrapponibili o lo sono solo in parte? Nella pratica capita spesso di dover confrontare le estensioni di figure diverse fra loro: per esempio due pareti di forma diversa; ebbene, se per dipingere due pareti, una rettangolare e l altra quadrata, si è utilizzata la stessa quantità di vernice, diciamo che le due pareti, pur avendo forma diversa, hanno la stessa superficie; così un pavimento è più grande di un altro se ci vogliono più mattoni dello stesso tipo per ricoprirlo; ecc Per poter dire se due regioni piane hanno, o non hanno, la stessa superficie, da un punto di vista geometrico, però, si devono avere criteri ben precisi iamo la seguente definizione: ue figure piane si dicono equiestese se hanno uguale estensione Se F 1 ed F 2 sono due figure equiestese, si scrive F 1 = F 2 (si legge F 1 è equiesteso a F 2 ) La relazione di equiestensione gode delle seguenti proprietà che si assumono come assiomi: proprietà riflessiva: ogni figura F è equiestesa a se stessa ( F = F ); proprietà simmetrica: se una figura F 1 è equiestesa ad una figura F 2, allora la figura F 2 è equiestesa alla figura F 1 ( F 1 F 2 = F 2 F 1 ); = proprietà transitiva: se una figura F 1 è equiestesa ad una figura F 2 e F 2 è equiestesa ad una figura F 3, allora F 1 è equiestesa a F 3 ( F 1 = F 2 F 2 = F 3 F 1 = F 3 ) 124

126 La relazione di equiestensione è, quindi, una relazione di equivalenza per cui l insieme delle figure piane si può ripartire in classi di equivalenza: ad ogni classe appartengono tutte e sole le figure piane che hanno la stessa estensione (area) Poiché la relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, due figure equiestese si dicono, anche, equivalenti Enunciamo il seguente assioma (legge di tricotomia o di esclusione): ate due figure e, fra di esse sussiste una sola fra le seguenti relazioni: = ( ha la stessa estensione di ); < ( è meno estesa di ); > ( è più estesa di ) 82 Somma e differenza di superfici Si chiama somma di due superfici piane e, non aventi punti in comune o aventi in comune solo punti appartenenti al loro contorno, la superficie F formata dall unione dei punti di e di In simboli: F = + Le superfici e sono dette parti di F Il concetto di somma può ovviamente essere esteso a più di due superfici Esempio 1: Le superfici e non hanno punti in comune (fig 4): fig 4 La superficie F 1 = + è formata dall unione dei punti delle due parti distinte (fig 5): F 1 = + fig 5 125

127 Esempio 2: Le superfici e hanno in comune punti del loro contorno (fig 6): fig 6 La superficie F 2 = + è formata dall unione dei punti delle due superfici date (fig 7): F 2 F 2 = + fig 7 La somma di superfici gode della proprietà commutativa e di quella associativa (PROV TU a scrivere tali proprietà) Se una superficie F è somma di due superfici e, si dice che è la differenza tra F ed (o, anche, che è la differenza tra F e ) In simboli: = F - ( = F - ) ue figure F 1 e F 2, ottenute come somma di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equicomposte ate le figure,, (fig 8): componiamole in modo diverso (fig 9): fig 8 F 1 F 2 Le figure F 1 e F 2 sono equicomposte per cui avranno la stessa estensione fig 9 126

128 ue figure, che si possono suddividere in modo che siano formate da parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equiscomponibili Osserviamo le figure F 1 e F 2 (fig 10): F 1 F 2 fig 10 Le figure F 1 e F 2 possono essere scomposte nello stesso numero di parti ordinatamente congruenti, per cui risultano equiscomponibili e perciò sono equivalenti Non vale sempre il viceversa; esistono, infatti, figure equivalenti che non sono, però, equiscomponibili (per esempio, un cerchio e un quadrato equivalenti non possono essere scomposti in uno stesso numero di parti ordinatamente congruenti) Le figure, ottenute per sottrazione di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equiscomponibili onsideriamo due rettangoli e tra loro congruenti (fig 11 ): fig

129 Se, da ciascuno dei due rettangoli dati, togliamo due quadrati congruenti, otteniamo le figure F 1 e F 2 (fig 12 ): F 1 F 2 Le figure F 1 e F 2 sono equiestese perché ottenute ritagliando, appunto, da rettangoli congruenti, due quadratini congruenti fig 12 Le figure F 1, F 2 ed F 3 hanno la stessa estensione perché ottenute sottraendo, da quadrati congruenti, quattro quadratini congruenti (fig 13 ): F 1 F 2 F 3 fig

130 lcuni giochi matematici, antichissimi, consistono nella scomposizione di figure piane / solide e nel ricomporre la figura di partenza o nell ottenere una figura nuova Il più noto fra questi è il gioco cinese noto come Tangram: un quadrato composto da sette forme geometriche (pezzi o tessere), precisamente cinque triangoli rettangoli isosceli, un quadrato e un parallelogramma (fig14): on i sette pezzi del Tangram è possibile costruire tantissime figure differenti, sia geometriche che di oggetti o animali (fig15): fig14 129

131 fig15 PROV TU a costruire altre figure, procedendo come segue: 1 prendi un cartoncino; 2 disegna un quadrato con lato a piacere; 3 traccia le diagonali e tutti i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del quadrato; 4 colora le parti ottenute, come illustrato in fig 14 (ovviamente puoi utilizzare altri colori); 5 ritaglia le parti colorate Hai costruito il tuo TNGRM! Per iniziare il lavoro, mescola le tue tessere e cerca di ricostruire il quadrato iniziale e l hai fatta? Penso proprio di sì Procedi, allora, nella costruzione di nuove figure e buon lavoro! Puoi osservare che le figure ottenute non hanno la stessa forma per cui non sono congruenti ma sono tutte composte con i sette pezzi dello stesso tangram, cioè dallo stesso numero di parti congruenti Sono, quindi, tutte figure che, pur diverse tra loro, risultano equiscomponibili 130

132 83 Poligoni equivalenti Equiscomponibilità fra parallelogrammi TEOREM ue parallelogrammi sono equivalenti se hanno ordinatamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti I G parallelogramma EFGI parallelogramma * * Hp: EF H // E // K F H ; IK EF H IK imostrazione Th: EFGI Mediante un movimento rigido, trasportiamo il parallelogramma EFGI sul parallelogramma in modo che la base EF coincida con e che i lati GI e e siano nello stesso semipiano rispetto alla retta del lato Poiché i due parallelogrammi hanno le altezze congruenti, i lati e GI giaceranno sulla stessa retta (parallela ad ) Si distinguono quattro casi: 1 caso) G coincide con e I coincide con (fig 16): = I G E F fig 16 I due parallelogrammi si sovrappongono punto per punto per cui sono congruenti e quindi equivalenti 2 caso) I lati e GI hanno una parte in comune (fig 17): I G E F fig

133 Osserviamo che: o il parallelogramma è formato dal trapezio I e dal triangolo I; o il parallelogramma GI è formato dallo stesso trapezio I e dal triangolo G onsideriamo, allora, i triangoli I e G; essi hanno: I G I G perché lati opposti del parallelogramma ; perché lati opposti del parallelogramma GI; perché differenza di segmenti congruenti ( IG I I) I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3 criterio di congruenza dei triangoli [PROV TU a dimostrare la congruenza dei triangoli I e G utilizzando, invece, il 1 criterio di congruenza dei triangoli] Si ha quindi che: = GI perché somme di poligoni congruenti (I I I G), cioè: = EFGI 3 caso) I lati e GI hanno solo un estremo in comune (fig 18): I G E F fig 18 Osserviamo che: o o il parallelogramma è formato dai triangoli e ; il parallelogramma GI è formato dallo stesso triangolo e dal triangolo GI onsideriamo, allora, i triangoli e GI; essi hanno: perché lati opposti del parallelogramma ; G perché lati opposti del parallelogramma GI; GI perché ONTINU TU I due triangoli, avendo I parallelogrammi e GI sono e, quindi, 132

134 4 caso): I lati e GI non hanno punti in comune (fig 19): I G T I = {T} E F fig 19 Osserviamo che: o il parallelogramma è formato dal trapezio T e dal triangolo T; o il parallelogramma GI è formato dal trapezio GIT e dallo stesso triangolo T onsideriamo i triangoli I e G; essi hanno: perché ; ; I due triangoli, avendo [Osserva che se ai triangoli I e G togli il triangolo ] OROLLRIO Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l altezza rispettivamente congruenti alla base e all altezza del parallelogramma La conseguenza diretta dal teorema precedente è visualizzata nelle figg 20 e 21: I G * * H // E // F fig

135 I G E F fig 21 Illustra le figure al tuo insegnante Equiscomponibilità fra parallelogramma e triangolo TEOREM Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente alla base del parallelogramma ed altezza doppia di quella del parallelogramma G parallelogramma Hp: H ; GK EF EF GK 2 H H // E // K F Th: = EFG imostrazione Trasportiamo il triangolo EFG sul parallelogramma in modo che la base EF coincida con (fig 22): G E K F fig

136 onduciamo dal vertice G la parallela GI al lato del parallelogramma ed indichiamo con L ed M, rispettivamente, i punti d intersezione dei lati EG e FG con il lato (fig 23): G L I M E K F fig 23 Poiché: GK 2 H per ipotesi, si ha: e G 2L L LG ( segnare L e LG con il simbolo ) G 2M M MG ( segnare M e MG con il simbolo * ) per la corrispondenza di Talete [fig 24]: G L I * M * E K F fig 24 onsideriamo i triangoli L e GIL; essi hanno: L LG L LGI per precedente osservazione; perché angoli alterni interni formati dalle parallele e GI tagliate dalla trasversale G ( segnare L e LGI con il simbolo ) ; L GLI perché angoli opposti al vertice ( segnare L e GLI con il simbolo ) [fig 25]: 135

137 G L I * M * E K F fig 25 I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2 criterio di congruenza dei triangoli Seguendo lo stesso procedimento, si dimostra che sono congruenti i triangoli M e GIM (PROV TU) [fig 26]: G L I * M * E K F fig 26 Pertanto: ML + L + M ML + GIL + MIG ML + LMG = = = = G cioè il parallelogramma e il triangolo G, o EFG, sono equicomposti e quindi equivalenti V Il teorema può essere formulato nel seguente modo: Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la stessa altezza del parallelogramma e base doppia di quella del parallelogramma PROV TU a dimostrarlo [suggerimento: il parallelogramma e il triangolo risultano equicomposti nello stesso quadrilatero e in due triangoli tra loro congruenti] 136

138 TEOREM Un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma (fig 27) * H // fig 27 PROV TU a dimostrarlo, riferendoti alla fig 27 [suggerimento: il parallelogramma risulta diviso dalla diagonale in due triangoli tra loro congruenti] ome conseguenza degli ultimi due teoremi si ha il seguente: TEOREM ue triangoli che hanno basi congruenti ed altezze congruenti sono equivalenti PROV TU a dimostrarlo [suggerimento: i due triangoli sono ordinatamente equivalenti a parallelogrammi che risultano tra loro equivalenti] OSSERVZIONE: ato il triangolo, se conduciamo da la parallela alla base, si ha che gli estremi della base formeranno, con un qualsiasi punto di tale parallela, triangoli che risultano tutti equivalenti tra loro (teorema precedente) [fig 28]: fig

139 Equiscomponibilità fra triangolo e trapezio TEOREM Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza imostrazione ato il trapezio (fig 29): H fig 29 Prolunghiamo la base di un segmento E ( segnare E e con il simbolo * ); congiungiamo con E ed indichiamo con F il punto d intersezione tra E e [fig 30]: * F H * E fig 30 Vogliamo dimostrare che: = E onsideriamo i triangoli EF e F; essi hanno: E EF F EF F per costruzione; perché angoli alterni interni formati dalle parallele E e con la trasversale E ( segnare EF e F con il simbolo ); perché angoli alterni interni formati dalle parallele E e con la trasversale ( segnare EF e F con il simbolo ) [fig 31] 138

140 * F H * E fig 31 I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2 criterio di congruenza dei triangoli Il trapezio, formato dal quadrilatero F e dal triangolo F, è, quindi, equiscomponibile con il triangolo E, formato dallo stesso quadrilatero F e dal triangolo EF (congruente al triangolo F): Pertanto: = E V Equiscomponibilità tra poligono circoscritto e triangolo TEOREM Ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza inscritta nel poligono [Senza perdere in generalità, riferiamo il teorema ad un esagono EF circoscritto ad una circonferenza di centro O] imostrazione E F O r ongiungiamo ogni vertice dell esagono con il centro O della circonferenza ( fig 32 ): 139

141 r fig 32 Si ottengono tanti triangoli, aventi come base un lato del poligono e per altezza il raggio della circonferenza, per quanti sono i lati del poligono (nel nostro caso 6) Riportiamo, poi, su una retta s, consecutivamente, tanti segmenti per quanti sono i lati del nostro poligono, precisamente i segmenti: GI, IL, LM, MN E, NP EF, PQ F (fig 33): G I L M N P Q s fig 33 Prendiamo, in uno dei due semipiani individuati dalla retta s, un punto T che abbia distanza da s pari ad un segmento TK congruente al raggio della circonferenza, cioè TK OH ongiungiamo T con gli estremi dei segmenti riportati (fig 34): r K fig 34 s Osserviamo che ognuno dei 6 triangoli ottenuti ha la base congruente ad un lato del poligono e tutti hanno la stessa altezza, congruente al raggio della circonferenza Pertanto, per il teorema di pag 15, si ha che: TGI O ; TIL O ; TLM O ; TMN = OE ; TNP = OEF ; TPQ = = = = OF Quindi: EF = TGQ perché somma di triangoli equivalenti V 140

142 OROLLRIO Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e l altezza congruente all apotema (del poligono) PROV TU a dimostrarlo ( osserva che un poligono regolare è sempre ) Quanto fatto finora ci permette di confrontare, in termini di equivalenza, alcuni poligoni particolari: parallelogrammi, rettangoli, triangoli, quadrati, trapezi, poligoni circoscritti, poligoni regolari bbiamo anche visto che è possibile determinare un triangolo equiesteso ad un rettangolo, ad un parallelogramma, ad un trapezio, ad un poligono circoscritto ad una circonferenza, ad un poligono regolare La maggior parte dei teoremi ci ha permesso, quindi, di passare da un particolare poligono di quattro lati ad uno di tre lati, ad esso equivalente E se abbiamo un poligono con un numero generico n di lati? E, in generale, come si fa a stabilire quando due poligoni qualsiasi sono equivalenti? Il problema di stabilire se due poligoni qualsiasi sono equivalenti si risolve con un procedimento che generalizza quanto fatto in precedenza e, precisamente, permette di determinare un triangolo equiesteso a un dato poligono convesso con un qualsiasi numero di lati 84 ostruzione di poligoni equivalenti 1 Trasformazione di un poligono convesso di n lati (n > 3) in un altro, ad esso equivalente, con n-1 lati, cioè con un lato di meno Sia dato, per esempio, l esagono convesso EF (fig 35): F E fig 35 Fissiamo tre vertici consecutivi, ad esempio,, E, e conduciamo, per il vertice medio, la retta r parallela alla diagonale E (fig 36): 141

143 F E r fig 36 Indichiamo con G il punto d intersezione della retta del lato con tale parallela e uniamo E con G (fig 37): F E G r fig 37 Osserviamo che i triangoli E e EG sono equivalenti in quanto hanno la stessa base E e le altezze congruenti perché segmenti di perpendicolari compresi tra rette parallele Ora: l esagono EF è formato dal pentagono EF e dal triangolo E; il pentagono GEF è formato dallo stesso pentagono EF e dal triangolo EG, e, poiché i triangoli E e EG sono equivalenti, si ha: EF = GEF perché somma di figure equivalenti Il poligono dato è stato così trasformato in un altro poligono, ad esso equivalente, e con un lato di meno 142

144 2 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo ad esso equivalente pplicando più volte la costruzione descritta al punto 1, si ottiene ogni volta un nuovo poligono, equivalente a quello precedente, ma con un lato sempre in meno, fino ad avere un triangolo 3 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo ad esso equivalente Innanzitutto si trasforma il poligono in un triangolo equivalente e, successivamente, il triangolo in un parallelogramma (teorema pag 132) e questo in un rettangolo equivalente (teorema pag 131) 4 Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente e con un lato di lunghezza assegnata ato il triangolo, di base, si vuole costruire un altro triangolo, ad esso equivalente, con un lato congruente ad un segmento assegnato E Escludendo il caso banale in cui E (in tal caso, il triangolo dato risolve il nostro problema), si possono presentare i seguenti due casi: 1 caso): < E (fig 38): E fig 38 imostrazione Riportiamo sulla semiretta, a partire da, il segmento F E ( segnare F e E con il simbolo // ) [fig 39]: // F // E fig 39 ongiungiamo con F; tracciamo da la parallela a F ed indichiamo con G il suo punto d intersezione con Uniamo, poi, G con F (fig 40): 143

145 G // F fig 40 Osserviamo che i triangoli G e FG sono equivalenti perché hanno la stessa base G e altezze congruenti in quanto distanze fra rette parallele nalogamente sono equivalenti i triangoli F e FG (PROV TU) Pertanto: G + G ; FG = = G + FG ma: G = FG e, quindi: = FG 2 caso) > E (fig 41): imostrazione E fig 41 PROV TU [Segui il procedimento precedente] 5 Trasformazione di un triangolo in un altro, ad esso equivalente, avente un altezza assegnata PROV TU [Segui il procedimento di cui al punto 4] 144

146 6 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo, ad esso equivalente, avente un lato assegnato (caso particolare del punto 2) PROV TU [onsidera un poligono generico e procedi come nel punto 1, fino ad ottenere un triangolo Trasforma il triangolo in un altro triangolo, ad esso equivalente, con il lato assegnato (punto 4)] 7 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo, ad esso equivalente, avente una dimensione (base o altezza) congruente ad un segmento assegnato (caso particolare del punto 3) PROV TU [onsidera un poligono generico e, procedendo come nel punto 6, trasforma il poligono in un triangolo con un lato congruente alla dimensione assegnata per il rettangolo ostruisci, poi, il rettangolo avente una delle due dimensioni congruente a quella attribuita al triangolo e l altra congruente alla metà dell altezza del triangolo] Grazie alle trasformazioni dei poligoni, siamo, ora, in grado di stabilire se due dati poligoni, P 1 e P 2, sono equivalenti Procediamo, infatti, nel seguente modo: I Trasformiamo i due poligoni, P 1 e P 2, in due triangoli, T 1 e T 2, con T 1 P 1 e T 2 P = = 2 ( punto 1-costruzione di poligoni equivalenti) per cui confrontare i due poligoni equivale a confrontare i due triangoli II Trasformiamo uno dei due triangoli ottenuti, per esempio T 1, in un triangolo T' 1, ad esso equivalente, con un lato, scelto come base, congruente alla base di T 2 ( punto 4-costruzione di poligoni equivalenti) III Trasformiamo T' 1 e T 2 in due rettangoli, R 1 ed R 2, aventi per basi le basi congruenti dei due triangoli, con R 1 T' 1 e R 2 T 2 IV onfrontiamo i due rettangoli R 1 ed R 2 che, avendo le basi congruenti, possono portare ai seguenti casi: a) se le due altezze sono congruenti, i due rettangoli sono congruenti e, dunque, equivalenti; di conseguenza, sono equivalenti i due poligoni; b) se le due altezze non sono congruenti, i due rettangoli non sono congruenti e, dunque, non sono equivalenti; di conseguenza, non sono equivalenti i due poligoni 145

147 85 I teoremi di Pitagora e di Euclide Negli studi precedenti hai applicato, dal punto di vista numerico, il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide; ora, rivisitiamo questi teoremi dal punto di vista dell equivalenza, per poi ritornare sull espressioni numeriche di tali teoremi PRIMO TEOREM I EULIE In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull ipotenusa Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma che il quadrato Q costruito sul cateto è equivalente al rettangolo R i cui lati sono la proiezione H del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa; cioè: Q = R (tesi) La tesi può anche essere espressa nel modo seguente: q() = r (H, ) 146

148 imostrazione Prolunghiamo il lato FG, dalla parte di G, e indichiamo con I e J i punti di intersezione di tale prolungamento rispettivamente con le rette dei lati ed EH del rettangolo (fig 42): fig 42 onsideriamo i triangoli FI e ; essi hanno: F perché lati del quadrato Q; FI FI perché entrambi retti; perché complementari dello stesso angolo I I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2 criterio di congruenza dei triangoli vranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare: I Osserviamo inoltre che il quadrilatero IJ è un parallelogramma perché i lati opposti sono paralleli per costruzione 147

149 Ora consideriamo il parallelogramma IJ ( indicato in figura con P ) e il quadrato FG (indicato in figura con Q) [fig 43]: fig 43 Essi hanno la stessa base e la stessa altezza F quindi sono equivalenti; cioè: Q = P nche il rettangolo EH ed il parallelogramma IJ sono equivalenti perché hanno le basi I ( perché? ) e la stessa altezza H; cioè: R = P Per la proprietà transitiva dell equivalenza delle figure piane si ha: Q = R V Vale anche il teorema inverso PROV TU ad enunciarlo 148

150 TEOREM I PITGOR In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma che il quadrato Q3 costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma del quadrato Q1, costruito sul cateto, e del quadrato Q2, costruito sul cateto ; cioè: Q3 La tesi può anche essere espressa nel modo seguente: Q1 + Q2 (tesi) q() = q() + q() Per dimostrare il teorema prolunghiamo l altezza H dalla parte di H; in questo modo il quadrato Q3 viene diviso in due rettangoli R1 ed R2 (fig 44): = 149

151 fig 44 Per il primo teorema di Euclide si ha che: e, poiché: segue che: Vale il seguente: Q1 R1 Q2 = = R2 Q3 = R1 + R2, Q3 = Q1 + Q2 V TEOREM (INVERSO EL TEOREM I PITGOR) Se in un triangolo la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato, allora il triangolo è rettangolo PROV TU a dimostrarlo [suggerimento: costruisci un triangolo rettangolo con i cateti congruenti a due lati del triangolo dato teorema di Pitagora ] 150

152 SEONO TEOREM I EULIE In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma che il quadrato Q, costruito sull altezza H relativa all ipotenusa, è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni H e H dei cateti sull ipotenusa (H H); cioè: Q = R (tesi) La tesi può anche essere espressa nel modo seguente: q(h) = r (H, H) Per dimostrare il teorema, costruiamo il quadrato di lato H ed il rettangolo che ha per dimensioni H ( proiezione di sull ipotenusa ) e J (fig 45): fig

153 Ora costruiamo il quadrato Q1 di lato e il quadrato Q2 di lato H (fig 46): fig 46 Per il primo teorema di Euclide, il quadrato Q1 è equivalente al rettangolo R1 (JKH), cioè: Q1 = R1 Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo H si ha: e, di conseguenza, risulta: Q1 Q + Q2 R1 = Q + Q2 Sottraendo ad ambo i membri dell equivalenza la stessa figura Q2 si ha: R1 Q2 e, osservando che la differenza di figure che compare al primo membro è il rettangolo NJK che indichiamo con F, si ottiene: [vedi fig 47]: = = Q = F Q 152

154 fig 47 Le dimensioni del rettangolo F sono: N H NJ J N; ma: J per costruzione, e N H perché lati dello stesso quadrato, per cui possiamo scrivere: NJ H H Segue che il rettangolo F ha per dimensioni H e H che sono proprio le proiezioni dei cateti sull ipotenusa Vale anche il teorema inverso PROV TU ad enunciarlo V 153