Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana. Dipartimento di informatica ed elettrotecnica. Esercizi - E2A. Ing.

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1 Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento di informatica ed elettrotecnica Esercizi - E2A Ing. Roberto Bucher 3 maggio 20

2 Esercizi - E2A 2 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

3 Capitolo Laplace. Esercizio Determina la rappresentazione nello spazio degli stati del sistema descritto nella figura.. In seguito determina le funzioni di trasferimento tra u y, u y 2, u 2 y e u 2 y 2. u 3 s 2 s+5 s+3 y 2 s+4 y2 u2 3 s+3 Figura.: Schema dell esercizio. Soluzione: Per la soluzione possiamo scegliere le variabili di stato come da figura.2. Possiamo ora determinare tutte le equazioni specifiche del sistema e trasformarle in equazioni differenziali di. ordine. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 3

4 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace u 3 s x 2 x2 x3 s+5 s+3 y 2 s+4 x4 y2 u2 3 s+3 x5 Figura.2: Schema dell esercizio. X (s) = 3 s U (s) sx (s) = 3U (s) ẋ = 3u X 2 (s) = 2 s+5 X (s) (s+5)x 2 (s) = 2X (s) ẋ 2 = 2x 5x 2 X 3 (s) = s+3 X 2(s) (s+3)x 3 (s) = X 2 (s) ẋ 3 = x 2 3x 2 X 4 (s) = 2 s+4 X (s) (s+4)x 4 (s) = 2X (s) ẋ 4 = 2x 4x 4 X 5 (s) = 3 s+3 U 2(s) (s+3)x 5 (s) = 3U 2 (s) ẋ 5 = 3x 5 3u 2 y = x 3 x4 y 2 = x 4 +x 5 +u Possiamo ora trascrivere queste equazioni in forma matriciale 4 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

5 .. Esercizio Esercizi - E2A ẋ ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 ẋ 5 = x x 2 x 3 x 4 x [ u (t) u 2 (t) ] [ y y 2 ] = [ ] x x 2 x 3 x 4 x 5 + [ ][ u (t) u 2 (t) ] Applicando ora la formula Y(s) = [ C(sI A) B +D ] U(s) Otteniamo la matrice delle funzioni di trasferimento cercate Y (s) Y 2 (s) = 6(s 2 +7s+) s(s+3)(s+4)(s+5) 6 s(s+4) 0 3 s+3 U (s) U 2 (s) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 5

6 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.2 Esercizio Usa le trasformate di Laplace per determinare la risposta del sistema con x(0) = e ẋ(0) =. d 2 x dt 2 +3dx dt +2x = Soluzione: Utilizzando le regole delle trasformate di Laplace possiamo trasformare l equazione differenziale in equazione alle differenze. s 2 X(s) sx(0) ẋ(0)+3(sx(s) x(0))+2x(s) = s (s 2 +3s+2)X(s) = s +s+3 X(s) = s2 +3s+ s(s 2 +3s+2) La scomposizione in termini di frazioni parziali ci fornisce X(s) = 2s + s+ 2 s+2 Ora possiamo ritrasformare nel tempo ogni singolo termine e si ottiene x(t) = 2 +e t 2 e 2t 6 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

7 .3. Esercizio Esercizi - E2A.3 Esercizio L equazione seguente rappresenta un sistema, con entrata u(t) e uscita y(t). Rappresenta questa equazione mediante un diagramma a blocchi. d 2 y dt 2 +6dy dt +3y = u Soluzione: Possiamo riscrivere l equazione differenziale nella forma ÿ = u 6ẏ 3y La figura.3 rappresenta lo schema a blocchi del sistema. u(t) ÿ s ẏ s y(t) 6 3 Figura.3: Schema dell esercizio.3 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 7

8 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.4 Esercizio Calcola il valore iniziale e finale delle funzioni con le trasformate di Laplace seguenti F (s) = F 2 (s) = 2(s+) s(s+3)(s+5) 2 4 s 3 +5s 2 +2s+8 Soluzione: Applicando il teorema del valore iniziale e finale in Laplace si possono trovare direttamente i valori cercati lim f (t) = limsf (s) = lim t s 0 s 0 s lim f 2(t) = limsf 2 (s) = lim t s 0 s 0 s limf (t) = lim sf (s) = lim t 0 s limf 2 (t) = lim sf 2 (s) = lim t 0 s s s s s 2(s+) s(s+3)(s+5) = s 3 +5s 2 +2s+8 = 0 2(s+) s(s+3)(s+5) = s 3 +5s 2 +2s+8 = 0 8 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

9 .5. Esercizio Esercizi - E2A.5 Esercizio Sfruttando unicamente le regole delle trasformate di Laplace determinare l antitrasformata della funzione s+2 s 2 +2s+5 Soluzione: s+2 s 2 +2s+5 = s+2 (s+) 2 +4 = s+ (s+) (s+) 2 +4 = s+ (s+) (s+) 2 +4 Utilizzando il teorema dello spostamento in frequenza e la tabella delle funzioni, possiamo ora ritrasformare nel tempo i due elementi della soluzione. y(t) = e t (cos2t+ 2 sin2t) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 9

10 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.6 Esercizio Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione 8 s 2 (s 2 +4) Soluzione: La scomposizione in termini di frazioni parziali, tenendo conto della radice multipla a 0 vale Dal denominatore comune si ottiene 8 s 2 (s 2 +4) = A s + B s + Cs+D 2 (s 2 +4) As 3 +4As+Bs 2 +4B +Cs 3 +Ds 2 s 2 (s 2 +4) = 8 s 2 (s 2 +4) Il paragone di coefficienti fornisce la soluzione A = 0, B = 2, C = 0 e D = 2 e quindi la funzione scomposta diventa 2 s 2 2 s 2 +4 che trasformata nel tempo tramite le tabelle diventa 2t sin(2t) 0 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

11 .7. Esercizio Esercizi - E2A.7 Esercizio Determinare la funzione di trasferimento tra l entrata U 2 (s) e l uscita Y 2 (s) nel sistema dato nello spazio degli stati nel modo seguente [ ẋ ẋ 2 ] [ y y 2 = ] [ 0 2 = [ 0 0 Soluzione: Applicando la formula ][ x x 2 ][ ] x x 2 ] + + [ 0 [ ][ u (t) u 2 (t) ][ u (t) u 2 (t) ] ] si ottiene Y(s) = ( C(sI A) B +D ) U(s) Y (s) Y 2 (s) = s+ s 2 +s+2 2 s 2 +s+2 s+2 s 2 +s+2 s 2 s 2 +s+2 + U (s) U 2 (s) La funzione di trasferimento tra l entrata U 2 (s) e l uscita Y 2 (s) vale quindi Y 2 (s) = ( s 2 s 2 +s+2 + ) U 2 (s) = s(s+2) s 2 +s+2 U 2(s) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher

12 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.8 Esercizio Usa le trasformate di Laplace per determinare la risposta del sistema con x() =, ẋ(0) = 0 e ẍ(0) = 0. d 3 x dt 3 +2d2 x dt 2 +4dx dt +5x = 2 Soluzione: Applicando le regole di Laplace si ottiene d 3 x dt 3 s3 X(s) s 2 x(0) sẋ(0) ẍ(0) d 2 x dt 2 s2 X(s) sx(0) ẋ(0) otteniamo dx dt sx(s) x(0) s 3 X(s) s 2 +2(s 2 X(s) s)+4(sx(s) )+5X(s) = 2 s X(s)(s 3 +2s 2 +4s+5) s 2 2s 4 = 2 s X(s)(s 3 +2s 2 +4s+5) = 2 s +s2 +2s+4 = s3 +2s 2 +4s+2 s Con la calcolatrice si ottiene X(s) = s3 +2s 2 +4s+2 s(s 3 +2s 2 +4s+5) x(t) = e 0.24t (0.97cos(.79t)+0.368sin(.79t))+0.4e.526t Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

13 .9. Esercizio Esercizi - E2A.9 Esercizio La figura.4 rappresenta lo schema a blocchi di un processo. 4 u(t) s+ x3 x2 s+2 s+3 x 5 y(t) 3 Figura.4: Schema a blocchi per l esercizio.9 Determinare. La rappresentazione nello spazio degli stati del sistema con le variabili di stato x, x 2 e x 3 come da schema a blocchi della figura La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) Soluzione: Le equazioni differenziali sono calcolate tramite X (s) = s+3 X 2(s) x (t) = 3 x (t)+x 2 (t) X 2 (s) = s+2 X 3(s) x 2 (t) = 2 x 2 (t)+x 3 (t) e X 3 (s) = s+ U(s) x 3 (t) = x 3 (t)+u(t) y(t) = 5 x (t)+3 x 2 (t)+4 u(t) In forma matriciale possiamo trovare le 4 matrici A,B,C,D come 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 3

14 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace A = B = 0 C = [5 3 0] D = 4 Applicando la formula G(s) = C (si A) B +D troviamo G(s) = 38+47s+24s2 +4s 3 6+s+6s 2 +s 3 4 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

15 .0. Esercizio Esercizi - E2A.0 Esercizio Determina la rappresentazione nello spazio degli stati del sistema descritto nella figura.5. In seguito determina le funzioni di trasferimento tra U (s) Y (s), utilizzando entrambi i metodi conosciuti (Mason e ss2g). u(t) 2 s 2+s+ x4(t) s+2 x(t) y(t) G4(s) G(s) x2(t) 2 s+4 G2(s) x3(t) 3 s+3 G3(s) Figura.5: Schema dell esercizio.0 Soluzione: X (s) = s+2 ( X 2(s)+X 4 (s)) ẋ = 2x x 2 +x 4 X 2 (s) = 2 s+4 X (s) ẋ 2 = 2x 4x 2 X 3 (s) = 3 s+3 X ẋ 3 = 3x 3x 3 X 4 (s) = 2 s 2 +s+ (U(s) X 3(s)) s 2 X 4 (s)+sx 4 (s)+x 4 (s) = 2X 3 (s)+2u(s) con la sostituzione e quindi ẋ 4 = x 5 X 5 (s) = sx 4 (s) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 5

16 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace si ottiene sx 5 (s)+x 5 (s)+x 4 (s) = 2X 3 (s)+2u(s) ẋ 5 = 2x 3 x 4 x 5 +2u Possiamo ora trascrivere queste equazioni in forma matriciale ẋ ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 ẋ 5 = x x 2 x 3 x 4 x u y = [ ] x x 2 x 3 x 4 x 5 Applicando ora la formula Y(s) = [ C(sI A) B +D ] U(s) Otteniamo la funzione di trasferimento cercata Y(s) U(s) = 2(s 2 +7s+2) s 5 +0s 4 +38s 3 +67s 2 +64s+54 Il diagramma di flusso di segnali del sistema è rappresentato nella figura.6. Utilizzando le regole di Mason si vede che ci sono un percorso e 2 loop. P = 2 s 2 +s+s+2 e L = 2 s+2s L 2 = s 2 +s+s+2s+3 6 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

17 .0. Esercizio Esercizi - E2A u 2 s 2 +s+ x 4 s+2 x y s+2 2 s+4 2 s 2 +s+ 3 s+3 x 2 x 3 Figura.6: Diagramma di flusso La funzione di trasferimento si calcola con Y(s) U(s) = P L L 2 = 2(s 2 +7s+2) s 5 +0s 4 +38s 3 +67s 2 +64s+54 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 7

18 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace. Esercizio Determinare la matrice di transizione degli stati Φ(t) associata al sistema seguente Soluzione: [ ẋ ẋ 2 ] = [ ][ x y = [ 0 ][ x x 2 x 2 ] ] + [ 0 +u(t) La soluzione più semplice la si ottiene utilizzando la formula ] u(t) Φ(t) = L [ (si A) ] (si A) = 0 s+ 0 s+2 Trasformando i singoli elementi della matrice secondo le regole e le tabelle di Laplace si ottiene Φ(t) = e t 0 0 e 2t 8 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

19 .2. Esercizio Esercizi - E2A.2 Esercizio Viene dato lo schema di figura.7. u s+ X3 s+2 X y s+3 X4 s X2 Figura.7: Schema dell esercizio.2 Determinare La rappresentazione nello spazio degli stati del sistema, utilizzando come variabili di stato le uscite di ogni blocco. Rappresentare il sistema mediante un diagramma di flusso di segnali. Determinare la funzione di trasferimento globale del sistema dalla descrizione nelo spazio dgli stati del sistema. Determinare la funzione di trasferimento del sistema con le regole di Mason e confrontarlo con il risultato trovato precedentemente. Soluzione: Le equazioni differenziali associate ad ogni funzione di trasferimento sono X = s+2 (X 3 X 4 ) 2 x +x 3 x 4 X 2 = s X 4 x 2 = x 4 X 3 = s+ (U X 4) x 3 = x = x 3 x 4 +u 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 9

20 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace X 4 = s+3 ( X X 2 +U) x 4 = x x 2 3 x 4 +u In forma matriciale il sistema può essere rappresentato dalle matrici A, B, C e D seguenti: A = B = C = [ 0 0] D = 0 La figura.8 rappresenta il diagramma di flusso di segnali del sistema. u X3 X s+ s+2 y s+3 X4 s X2 Figura.8: Diagramma di flusso di segnali dell esercizio.2 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

21 .2. Esercizio Esercizi - E2A Applicando la formula per il calcolo della funzione di trasferimento si ottiene: G(s) = 2+4s+s 2 2+7s+s 2 +6s 3 +s 4 Per il calcolo della funzione di trasferimento con il metodo di Mason troviamo percorsi e loop del diagramma. Ci sono 4 percorsi e 3 loop. La funzione di trasferimento vale P = s+s+2 P2 = ( ) s+3s+s+2 P3 = ( ) s+3s+2 P4 = s+3s L = s+3s+s+2 L2 = s+3s+2 L3 = ( ) s+3s G(s) = P+P2+P3+P4 L L2 L3 = 2+4s+s 2 2+7s+s 2 +6s 3 +s 4 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 2

22 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.3 Esercizio Analizzate il sistema della figura.9 u e s+ Transfer Fcn x3 3 s+3 Transfer Fcn x2 5 x s+5 Transfer Fcn2 y Figura.9: Schema per l esercizio.3. Disegnate il diagramma di flusso di segnale del sistema utilizzando come nodi le grandezze u, e, x 3, x 2, x e y 2. Trovate con le regole di Mason la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) 3. Trovate la rappresentazione nello spazio degli stati di questo sistema utilizzando le variabili di stato x, x 2 e x 3 4. Determinate la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) partendo dalla rappresentazione nello spazio degli stati e controllatela con quella trovata preceden- U(s) temente 5. Disegnate il diagramma di flusso di segnali del sistema, partendo dalla rappresentazione nello spazio degli stati, utilizzando quali nodi le grandezze u, ẋ 3, x 3, ẋ 2, x 2, ẋ, x e y 6. Determinare la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) Mason sullo schema precedente utilizzando le regole di 7. Determinare il valore finale verso cui tende y(t) Soluzione: La figura.0 mostra il diagramma di flusso di segnali associato al sistema. Applicando le regole di Mason vediamo che c è un percorso e un loop P = s+ 3 s+3 5 s+5 L = s+ 3 s+3 5 s+5 22 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

23 .3. Esercizio Esercizi - E2A u s+ 3 s+3 5 s+5 y x3 x2 x Figura.0: Diagramma di flusso di segnali per la risposta dell esercizio.3 La funzione di trasferimento associata vale quindi G(s) = P L = s+9s 2 +s 3 La rappresentazione di stato del sistema vale X (s) = 5 s+5 X 2(s) x = 5 x +5 x 2 X 2 (s) = 3 s+3 X 3(s) x 2 = 3 x 2 +3 x 3 X 3 (s) = s+ (u X (s)) x 3 = x x 3 +u Le matrici associate a questo sistema sono A = B = 0 C = [ 0 0] D = 0 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 23

24 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace Applicando la formula di trasformazione si ottiene G(s) = C (si A) B +D = s+9s 2 +s 3 La figura. rappresenta il diagramma di flusso di segnali con i nuovi nodi. u x 3 x 2 x 2 x 3 5 s s x 3 x s y 3 5 Figura.: Diagramma di flusso di segnali per la risposta 5 dell esercizio.3 Troviamo con questo diagramma un percoro e 4 loop P = s 3 s 5 s = 5 s 3 L = s L 2 = 3 s L 3 = 5 s L 4 = s 3 s 5 s = 5 s 3 La funzione di trasferimento diventa quindi 24 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

25 .3. Esercizio Esercizi - E2A G(s) = P L L 2 L 3 L 4 +L L 2 +L L 3 +L 2 L 3 L L 2 L 3 che vale G(s) = s+9s 2 +s 3 Il valore finale verso cui tende y(t) può essere calcolato applicando il teorema del valore finale di Laplace: lim t y(t) = lims Y(s) = lim s s 0 s 0 s s+9s 2 +s 3 = 2 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 25

26 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.4 Esercizio Viene dato il sistema rappresentato nella figura.2 con due sistemi SISO in serie, e un feedback con amplificazione K. I due sistemi sono descritti nello spazio degli stati e sono caratterizzati dalle matrici A, B e C per il sistema SISO (D è nulla!), e da A 2,B 2, C 2 e D 2 per il sistema SISO2 (D 2 non nulla!). r(t) SISO Processo SISO2 Processo 2 y K Gain Figura.2: Sistema dell esercizio.4. Determinare le matrici A, B, C e D del sistema globale tra entrata r(t) e uscita y(t), in funzione della matrici A, B, C, A 2, B 2, C 2, D 2 e K. Soluzione: Il primo sistema può essere scritto come e ẋ = A x +B u y = C x ẋ 2 = A 2 x 2 +B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 +D 2 u 2 Le entrate dei due sistemi valgono u = r K y 2 = r K (C 2 x 2 +D 2 C x ) e u 2 = C x sostituendo le entrate nei vari sistemi si ottiene 26 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

27 .4. Esercizio Esercizi - E2A [ ẋ ẋ 2 ] = [ A B K D 2 C B K C 2 B2 C A 2 ] [ x x 2 ] + [ B 0 ] r(t) y = [ D 2 C C 2 ] [ x x 2 ] 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 27

28 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.5 Esercizio Viene dato il sistema della figura.3. u s+ G x Subtract s+ G3 x3 y s+5 G2 x2 Figura.3: Sistema dell esercizio.5 Determinare:. La rappresentazione di stato del sistema utilizzando le variabili di stato x, x 2 e x 3 come da schema dato. 2. La funzione di trasferimento G(s) tra l entrata u e l uscita y. 3. L equazione differenziale del sistema riferito alla grandezza y. Soluzione: Troviamo le equazioni di stato associate al sistema. X (s) = s+ U (s) x = x +u X 2 (s) = s+5 U (s) x 2 = 5x 2 +u X 3 (s) = s+ (X (s) X 2 (s)) x 3 = x x 2 x 3 Le matrici associate al sistema sono A = Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

29 .5. Esercizio Esercizi - E2A B = 0 C = [0 0 ] D = Applicando la formula si trova la funzione di trasferimento del sistema G(s) = C (si A) B +D = 9+s+7s2 +s 3 5+s+7s 2 +s 3 L equazione differenziale associata a questo sistema è y (3) +7ÿ +ẏ +5y = u (3) +7ü + u +9u 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 29

30 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.6 Esercizio Viene dato il sistema della figura.4. u G G2 G3 y Figura.4: Sistema dell esercizio.6 Le funzioni di trasferimento valgono: Determinare: G(s) = s+ G2(s) = 2 s+2 G3(s) = s. La funzione di trasferimento tra l entrata u e l uscita y utilizzando le regole di Mason. 2. L equazione differenziale associata al sistema. 3. Una delle possibili rappresentazioni di stato di questo sistema. Soluzione: Abbiamo un percorso P = G G 2 G 3 e due loop L = G 3 L 2 = G 2 G 3 30 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

31 .6. Esercizio Esercizi - E2A La funzione di trasferimento vale G(s) = P L L2 = 2 4+7s+4s 2 +s 3 L equazione differenziale del sistema può essere letta direttamente dalla funzione di trasferimento y (3) +4 ÿ +7 ẏ +4 y = 2 u Le matrici seguenti danno una possibile descrizione nello spazio degli stati del sistema e sono costruite direttamente partendo dalla funzione di trasferimento. A = B = 0 C = [2 0 0] D = 0 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 3

32 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.7 Esercizio Viene dato il sistema della figura.5. 2 u G G2 5 y Figura.5: Sistema dell esercizio.7 Le funzioni di trasferimento valgono: Determinare: G(s) = s+ G2(s) = s. La funzione di trasferimento tra l entrata u e l uscita y utilizzando le regole di Mason. 2. L equazione differenziale associata al sistema. 3. Una delle possibili rappresentazioni di stato di questo sistema. Soluzione: Ci sono due percorsi P = 5 G G 2 e due loop P 2 = L = 2 L 2 = G 2 32 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

33 .7. Esercizio Esercizi - E2A La funzione di trasferimento vale G(s) = s+s s+s 2 L equazione differenziale associata a questa funzione vale 3 ÿ +4 ẏ +y = u Una possibile rappresentazione di stato e data da [ ] 0 A = [ 0 B = ] C = [ ] D = 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 33

34 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.8 Esercizio Viene dato il sistema della figura.6. u 2 s+3 G x 2 u2 s G2 x2 Add 2 s+5 G3 x3 y 2 y2 Figura.6: Sistema dell esercizio.8 Determinare:. La rappresentazione di stato del sistema utilizzando le variabili x, x 2 e x 3 come da schema. 2. La funzione di trasferimento Y (s)/u (s) 3. Eqz. differenziale della variabile y (t) con entrata u 2 (t) = 0 costante. Soluzione: Scriviamo per prima cosa le equazioni di stato del sistema X (s) = 2 s+3 U (s) ẋ = 3 x +2 u X 2(s) = s U 2(s) ẋ 2 = u 2 X 3 (s) = 2 s+5 (X (s)+x 2(s)) ẋ 3 = 2 x +2 x 2 5 x 3 y = x 3 y 2 = x +x 2 Le matrici associate a questo sistema sono quindi 34 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

35 .8. Esercizio Esercizi - E2A A = e le funzioni di trasferimento sono G(s) = B = C = D = La funzione di trasferimento cercata vale [ ] [ ] [ s+s 2 5s+s 2 2 ] 3+s s Y (s) U (s) = 4 5+8s+s 2 L equazione differenziale per l uscita y (t) con la sola entrata u (t) risulta essere ÿ +8 ẏ +5 y = 2 u 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 35

36 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.9 Esercizio Viene dato il sistema della figura.7. s 2+s+ x3 Transfer Fcn u 2 s+2 Transfer Fcn x2 Add 5 s+5 Transfer Fcn2 x y Figura.7: Sistema dell esercizio.9 Determinare:. La rappresentazione di stato del sistema utilizzando le variabili x, x 2 e x 3 date nello schema. 2. La funzione di trasferimento Y(s)/U(s) 3. La rappresentazione mediante diagramma di flusso del sistema. Soluzione: La rappresentazione di stato associata a questo sistema e la seguente (attenzione: occorre aggiungere uno stato supplementare per la funzione di trasferimento di 2. ordine) X (s) = 5 s+5 (X 2(s)+X 3 (s)+u(s)) ẋ = 5 x +5 x 2 +5 x 3 +5 u X 2 (s) = 2 s+2 U(s) ẋ 2 = 2 x 2 +2 u ẋ 3 = x 4 X 3 (s) = Le matrici del sistema sono quindi s 2 +s+ U(s) ẋ 4 = x 3 x 4 +u 36 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

37 .9. Esercizio Esercizi - E2A A = B = 0 C = [ 0 0 0] La funzione di trasferimento cercata vale D = 0 G(s) = C (si A) B +D = 30+30s+25s2 +5s 3 0+7s+8s 2 +8s 3 +s 4 La figura.8 mostra il diagramma di flusso di segnali del sistema. s 2 +s+ u y 2 s+2 5 s+5 Figura.8: Diagramma di flusso di segnali dell esercizio.9 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 37

38 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.20 Esercizio Vengono dati due sistemi in rappresentazione di stato: e ẋ = A x +B u y = C x ẋ 2 = A 2 x 2 +B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 Determinare la rappresentazione di stato dei due sistemi in parallelo e quella dei due sistemi in feedback unitario, con il secondo sistema sulla linea di feedback. Soluzione: Analizziamo inizialmente i due sistemi in parallelo. L entrata per entrambi è il sgnale u(t), mentre l uscita è la somma delle uscite dei due sistemi. Il sistema globale ha quindi le nuove matrici [ ] A 0 A = 0 A 2 B = [ ] B B 2 C = [C C 2 ] D = [0] Nel secondo caso dobbiamo inizialmente calcolare le entrate per entrambi i sottosistemi. Il primo sistema riceve in entrata u = r y 2 = C 2 x 2 +r Il sistema sul feedback riceve in entrata u 2 = y = C x 38 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

39 .20. Esercizio Esercizi - E2A Le nuove matrici del sistema sono quindi [ ] A B A = C 2 B 2 C A 2 B = [ ] B 0 C = [C 0] 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 39

40 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.2 Sistemi Viene dato il sistema rappresentato nella figura.9 con due sistemi SISO. I due sistemi sono descritti nello spazio degli stati e sono caratterizzati dalle matrici A, B e C, e da A 2,B 2, C 2 (D e D 2 sono nulle!). u(t) A,B,C Sistema K k y(t) A2,B2,C2 Sistema 2 Figura.9: Sistema dell esercizio.2. Determinare le matrici A, B, C e D del sistema globale tra entrata u(t) e uscita y(t), in funzione della matrici A, B, C, A 2, B 2, C 2 e K. 2. Determinare la funzione di trasferimento per G(s) = Y(s) U(s) A = [ ] 0 [ 0 B = ] C = [ 0] A 2 = [ ] [ 0 B 2 = ] C 2 = [ 0] K = 5 40 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

41 .2. Sistemi Esercizi - E2A Soluzione: Il primo sistema può essere scritto come e ẋ = A x +B u y = C x Le entrate dei due sistemi valgono ẋ 2 = A 2 x 2 +B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 e u = u K y y 2 = u K C x C 2 x 2 u 2 = y = C x sostituendo le entrate nei vari sistemi si ottiene [ ẋ ẋ 2 ] = [ A B K C B C 2 B2 C A 2 ] [ x x 2 ] + [ B 0 ] u(t) y = [ K C C 2 ] [ x x 2 ] Per i valori dati le matrici diventano A = B = 0 0 C = [5 0 0] 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 4

42 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace D = 0 Applicando la formula si trova la funzione di trasferimento del sistema come G(s) = C (si A) B +D = +0s+5s 2 3+4s+0s 2 +3s 3 +s 4 42 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

43 .22. Sistemi Esercizi - E2A.22 Sistemi Viene dato il sistema rappresentato nella figura.20 con due sistemi SISO. I due sistemi sono descritti nello spazio degli stati e sono caratterizzati dalle matrici A, B e C, e da A 2,B 2, C 2 (D e D 2 sono nulle!). u(t) A,B,C Sistema A2,B2,C2 Sistema 2 K k y(t) K2 k Figura.20: Sistema dell esercizio.22. Determinare le matrici A, B, C e D del sistema globale tra entrata u(t) e uscita y(t), in funzione della matrici A, B, C, A 2, B 2, C 2,K e K Determinare la funzione di trasferimento per G(s) = Y(s) U(s) A = [ ] 0 [ 0 B = ] C = [ 0] A 2 = [ ] [ 0 B 2 = ] C 2 = [ 0] 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 43

44 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace K = K 2 = 2 Soluzione: Il primo sistema può essere scritto come e ẋ = A x +B u y = C x Le entrate dei due sistemi valgono ẋ 2 = A 2 x 2 +B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 e u = u K K 2 y 2 = u K K 2 C 2 x 2 u 2 = y = C x sostituendo le entrate nei vari sistemi si ottiene [ ẋ ẋ 2 ] = [ A B K K 2 C 2 B2 C A 2 ] [ x x 2 ] + [ B 0 ] u(t) y = [ 0 K C 2 ] [ x x 2 ] Per i valori dati le matrici diventano A = B = Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

45 .22. Sistemi Esercizi - E2A C = [ ] D = 0 Applicando la formula si trova la funzione di trasferimento del sistema come G(s) = C (si A) B +D = 2 6+4s+5s 2 +3s 3 +s 4 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 45

46 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.23 Sistemi Viene dato il sistema rappresentato nella figura.2. K3 Gain2 u A,B,C Subsystem K Gain A2,B2,C2 Subsystem Add y K2 Gain Figura.2: Sistema dell esercizio.23 Determinare il sistema globale nello spazio degli stati A, B, C, D in funzione delle matrici A, B, C, A 2, B 2, C 2 e i guadagni K, K 2 e K 3. Soluzione: Il primo sistema può essere scritto come ẋ = A x +B u y = C x e il secondo come ẋ 2 = A 2 x 2 +B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 Le entrate dei due sistemi valgono u = u K 2 y 2 = u K 2 C 2 x 2 e u 2 = K y = K C x sostituendo le entrate nei vari sistemi si ottiene 46 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

47 .23. Sistemi Esercizi - E2A [ ẋ ẋ 2 ] = [ A B K 2 C 2 B2 K C A 2 ] [ x x 2 ] + [ B 0 ] u(t) y = [ 0 C 2 ] [ x x 2 ] + [ K 3 ] u(t) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 47

48 Esercizi - E2A Capitolo. Laplace.24 Sistemi Viene dato il sistema rappresentato nella figura.22. r u K Gain z A,B,C,D Subsystem2 2 y Figura.22: Sistema dell esercizio.24 Determinare il sistema globale nello spazio degli stati A, B, C, D con le due entrate r e y ed una uscita u. Consiglio: Per il calcolo sostituire la matrice B del sistema con due matrici B u e B y e la matrice D con le matrici D u e D y relative alle due entrate del sistema. Soluzione: Il primo sistema può essere scritto come ẋ = A x +B u u+b y y z = C x +D u u+d y y L entrata u può essere riscritta come u = r K z = r K C x K (D u u+d y y) che diventa (I +K D u )u = r K C x K D y y da cui si ricava u = (I +K D u ) r (I +K D u ) K C x (I +K D u ) K D y y Ora occorre solo sostituire i valori nel sistema e si ottiene ẋ = (A B u (I +K D u) K C) x+b u (I +K D u) ) r +(B y B u (I +K D u) ) K D y) y u = (I +K D u) K C x+(i +K D u) r (I +K D u) K D y y 48 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

49 Capitolo 2 Modellazione 2. Esercizio Viene dato il sistema della figura 2., formato da due masse uguali in traslazione accoppiate tramite una molla. f(t) M K M f v x (t) f v x 2 (t) Figura 2.: Sistema dell esercizio 2. Per determinare la descrizione matematica del sistema è possibile utilizzare il metodo di sovrapposizione che usate già da tempo in elettrotecnica (segui i passi,2,3 e 4 riportati di seguito).. Considerate unicamente la massa di sinistra. Disegnatela con tutte le forze che agiscono su di essa, tenendo ferma la massa 2 (x 2 (t) = 0). 2. Ora considerate la massa ferma (x (t) = 0) e aggiungete al disegno le forze dovute al movimento della massa Scrivete le equazioni differenziali che descrivono il movimento x (t), tenendo conto di tutte le forze presenti. 4. Fate ora lo stesso lavoro con la massa 2, e determinate l equazione differenziale che ne descrive il movimento. 5. Scrivete le equazioni del sistema complessivo nello spazio degli stati. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 49

50 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 6. Determinate la funzione di trasferimento tra la forza in entrata F(s) e la posizione in uscita X 2 (s). Soluzione: Nelle figure 2.2 sono rappresentate le forze che agiscono sulla massa dovute allo spostamento x (a), x2 (b) e globale (c). f(t) f v ẋ f(t) M M Kx M Kx 2 2 Mẍ Kx Mẍ Kx a) b) c) f v ẋ Figura 2.2: Forze agenti sulla massa Nelle figure 2.3 sono rappresentate le forze che agiscono sulla massa dovute allo spostamento x2 (a), x (b) e globale (c). f v ẋ 2 M M M Kx Mẍ 2 Kx Mẍ 2 Kx 2 Kx 2 a) c) b) f v ẋ 2 Figura 2.3: Forze agenti sulla massa 2 L equazione differenziale relativa al movimento della massa può essere presa direttamente dal diagramma delle forze Mẍ = f v ẋ Kx +Kx 2 +f(t) ẍ = K M x + K M x 2 f v Mẋ + M f(t) Analogamente è possibile determinare l equazione differenziale relativa alla massa 2 Mẍ 2 = f v ẋ 2 Kx 2 +Kx ẍ 2 = K M x K M x 2 f v Mẋ2 50 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

51 2.. Esercizio Esercizi - E2A Per portare il tutto ad equazioni differenziali di primo ordine effettuiamo la sostituzione di variabili seguente x (t) x 2 (t) ẋ (t) ẋ 2 (t) = x (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) Si ottiene il sistema seguento nello spazio degli stati ẋ ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 = K M K M fv 0 M K M K M 0 fv M x (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) M 0 f(t) e [ x x 2 ] = [ ] x x 2 x 3 x 4 Applicando la formula Y(s) = [ C(sI A) B +D ] U(s) Otteniamo la matrice delle funzioni di trasferimento, tra cui anche quella cercata tra f(t) e x 2 (t). X (s) X 2 (s) = Ms 2 +f v s+k s(m 2 s 3 +2Mf v s 2 +(2KM +fv 2)s+2Kf v K s(m 2 s 3 +2Mf v s 2 +(2KM +fv 2)s+2Kf v F(s) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 5

52 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 2.2 Esercizio Viene dato il processo della figura 2.4, rappresentante un carrello mosso da un motore (a sinistra) collegato con una puleggia. Il raggio dell ingranaggio del motore sulla puleggia vale r, il coefficiente di attrito del carrello vale f v (contiene anche quello del motore). L impedenza dell armatura L a è nulla. Il motore è caratterizzato dalle grandezze R a, K t e K b, mentre il suo momento di inerzia è trascurabile rispetto alla massa da muovere. 2r x(t) Motore M Figura 2.4: Sistema dell esercizio 2.2 Disegnare graficamente (con grafi di flusso o funzioni di trasferimento) le relazioni seguenti. Relazione tra forza F e spostamento X(s) secondo lo schema di figura Relazione tra momento del motore T(s) e forza F(s) secondo lo schema della figura Relazione tra le grandezze Ω(s) e U(s) secondo la figura Relazione tra la grandezza Ω(s) e X(s) secondo lo schema della figura 2.8. Rappresentare graficamente la funzione di trasferimento globale tra U(s) e X(s), e determinare la rappresentazione nello spazio degli stati del processo. Determinare in seguito la funzione di trasferimento X(s) U(s) F ẍ ẋ x Figura 2.5: Esercizio Domanda Soluzione: 52 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

53 2.2. Esercizio Esercizi - E2A T F Figura 2.6: Esercizio Domanda 2 Ω U U R I a T Figura 2.7: Esercizio Domanda 3 ẋ Ω Figura 2.8: Esercizio Domanda 4 F M ẍ s f v M Figura 2.9: Esercizio Domanda ẋ s x T r Figura 2.0: Esercizio Domanda 2 F Ω K b U U R I a K t T R Figura 2.: Esercizio Domanda 3 ẋ r Ω Figura 2.2: Esercizio Domanda 4 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 53

54 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 2.3 Esercizio Un sistema con funzione di trasferimento pari a G(s) = K s(s+α) ha la risposta ad un gradino unitario rappresentata nella figura Step Response From: U() 20 5 Amplitude To: Y() Time (sec.) Figura 2.3: Risposta al gradino unitario del sistema dell esercizio 2.3 Determinare. la risposta nel tempo del sistema in funzione dei parametri K e α 2. I valori di K e α il più preciso possibile. Soluzione: Con entrata gradino unitario, la trasformata di Laplace di Y(s) vale 54 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

55 2.3. Esercizio Esercizi - E2A Y(s) = s K s (s+α) la cui corrispondente funzione nel tempo può essere trovata tramite l antitrasformata y(t) = K α 2 + K α t+ K α 2 e α t Si puo notare come con il passare del tempo il termine esponenziale tende a zero e la funzione y(t) va a rappresentare la funzione di una retta. Pertanto è sufficiente cercare la retta che passa per i valori della risposta per t3s. Possiamo determinare la retta vedendo che essa passa per i punti t = 3,y = 8 e t = 6,y = 20, che è y lin = 4 t 4 A questo punto si può determinare il valore di e α = K α K α 2 = 4 4 = K = 4 ( α) = 4 La funzione di trasferimento risulta quindi essere G(s) = 4 s (s+) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 55

56 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 2.4 Esercizio Determinare la funzione di trasferimento del circuito con l amplificatore operazionale non invertente della figura 2.4, tenedo conto che l amplificazione A(ω) non è da considerare infinita come nei sistemi analizzati normalmente. Controllare in seguito che quando si considera A(ω) si ottiene la formula conosciuta U2 U = + R2 R + A(ω) - U (t) R R 2 U 2 (t) Figura 2.4: Circuito con amplificatore operazionale Soluzione: Le equazioni che descrivono il sistema, partendo dall uscita e costruendo tutte le grandezze dei nodi dipendenti risultano U 2 = U A(ω) U = U U R R U R = U 2 R +R 2 Il diagramma di flusso di segnali del sistema è rappresentato nella figura 2.5. La funzione di trasferimento tra U e U 2 si trova vedendo dal grafico considerando il percorso P = A(ω) 56 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

57 2.4. Esercizio Esercizi - E2A U U U 2 A(ω) U R R R+R2 Figura 2.5: Diagramma di flusso dei segnali e il loop La funzione di trasferimento è quindi R L = A(ω) R +R 2 U 2 = P = U L A(ω) +A(ω) R R +R 2 Per A(ω) la funzione tende a quella semplificata. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 57

58 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 2.5 Esercizio Determinare il valore della grandezza Z(s) di un sistema formato da un argano elettrico con motore dc che solleva una massa M come da figura 2.6 (r = 5cm, M = Kg, R a = 8Ω, L = 0, K b = 0., K t = 2, J m = 0.02,D m = 0.0). J=0, D=0 z(t) Motore dc 2r M Figura 2.6: Argano elettrico dell esercizio 2.5 Per semplificare il problema trascurate inerzia e attrito della carrucola. Soluzione: Possiamo scomporre le forze del sistema come da figura 2.7. Le equazioni meccaniche che descrivono il sistema sono M z = F Mg J m ϕ = D m ϕ+t m r F Queste funzioni più tutte le equazioni ausiliarie portano a scrivere le uguaglianze seguenti z = F M g 58 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

59 2.5. Esercizio Esercizi - E2A F F Motore dc F F z(t) T m D m 2r M Mg Figura 2.7: Scomposizione delle forze 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 59

60 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione F = T r r F = T = T m D m ϕ J m ϕ ϕ = r z T m = K t I a I a = U R a K b ϕ R a Possiamo ora costruire il grafo di flusso di segnali della figura 2.8. Come si può vedere ci sono due grandezze in entrata, la tensione al motoreeil valore della gravità g (nodi indipendenti). Dal grafo possiamo ora calcolare le due funzioni di trasferimento, quella tra l entrata U(s) e l uscita Z(s) e quella tra l entrata g e l uscita Z(s). Esiste un percorso P tra U(s) e Z(s) e un percorso P 2 tra g e Z(s). Ci sono inoltre tre loop che hanno nodi in comune L, L 2 e L 3 P = R a K t r M s 2 = 5 s 2 P 2 = s 2 L = r 2 M J m = 8 L 2 = r 2 M s D m = 4 s K b L 3 = K t = 0 r 2 M sr a s 60 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

61 2.5. Esercizio Esercizi - E2A g U Ia Tm T F z ż z Ra Kt r M s s K b Ra Dm Jm r ϕ s ϕ Figura 2.8: Grafo del sistema massa-argano 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 6

62 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione Siccome i 3 loop hanno nodi comuni la funzione di trasferimento il determinante vale L L 2 L 3 Poiché g può essere visto il Laplace come costante e quindi come valore si ottiene finalmente 9.8 s Z(s) = che porta al risultato P L s L 2 (s) L 3 (s) U(s) P L s L 2 (s) L 3 (s) s Z(s) = 5 9s 2 +4s U(s) 9.8 9s 3 +4s 2 62 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

63 2.6. Esercizio Esercizi - E2A 2.6 Esercizio Viene dato il processo della figura 2.9, rappresentante un carrello mosso da un motore collegato direttamente alle ruote anteriori. Il raggio della ruota vale r, il coefficiente di attrito del sistema vale f v (contiene anche quello del motore). L impedenza dell armatura L a è nulla. Il motore è caratterizzato dalle grandezze R a, K t e K b, mentre il suo momento di inerzia è trascurabile rispetto alla massa M del carrello. M T ϕ 2r x(t) Figura 2.9: Sistema dell esercizio 2.6 Disegnare graficamente (con grafi di flusso) le relazioni seguenti. Relazione tra forza F e spostamento X(s) secondo lo schema di figura Relazione tra momento del motore T(s) e forza F(s) secondo lo schema della figura Relazione tra le grandezze Ω(s) e U(s) secondo la figura Relazione tra la grandezza Ω(s) e X(s) secondo lo schema della figura Rappresentare graficamente con i grafi di flusso il sistema globale e determinare la funzione di trasferimento X(s) U(s) F ẍ ẋ x Figura 2.20: Esercizio Domanda Soluzione: La figura 2.28 mostra il diagramma completo del sistema. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 63

64 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione T F Figura 2.2: Esercizio Domanda 2 Ω U U R I a T Figura 2.22: Esercizio Domanda 3 ẋ Ω Figura 2.23: Esercizio Domanda 4 F M ẍ s f v M Figura 2.24: Esercizio Domanda ẋ s x T r Figura 2.25: Esercizio Domanda 2 F Ω K b R K t U U R I a T Figura 2.26: Esercizio Domanda 3 ẋ r Ω Figura 2.27: Esercizio Domanda 4 64 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

65 2.6. Esercizio Esercizi - E2A Ω R K b U U R I a K t T r F M r ẍ s f v M Figura 2.28: Esercizio Diagramma completo ẋ s x Il sistema ha un percorso e due loop. P = R a K t r M s 2 X(s) U(s) = L = f v M s L 2 = R a K t r M K t r s 2 r K b s(mr a r 2 s+r a r 2 f v +K b K t 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 65

66 Esercizi - E2A Capitolo 2. Modellazione 66 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

67 Capitolo 3 Risposta di sistemi 3. Esercizio La risposta ad un entrata gradino unitario di un sistema incognito di 3. ordine è rappresentata nella figura 3.. Determinare la funzione di trasferimento di 2. ordine che meglio approssima l andamento della risposta. Soluzione: Il valore finale della funzione tende a 0.5, mentre il valore massimo tende a C è quindi un valore di %OS = 44%. A questo %OS corrisponde un valore ξ = La durata di due periodi è di ca = 3.2s. La corrispondente frequenza di oscillazione vale quindi La corrispondente ω n vale ω σ = 2 π T = ω n = ω σ ξ 2 4 La funzione di trasferimento risultante è quindi G(s) = 8 s 2 +2s+6 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 67

68 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi Amplitude Step Response Time (sec.) Figura 3.: Risposta del processo dell esercizio Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

69 3.2. Esercizio Esercizi - E2A 3.2 Esercizio Per un processo con funzione di trasferimeto pari a G(s) = 25 s(s+2) vengono proposti due possibili regolatori, uno puramente proporzionale, l altro con una parte derivativa. I due circuiti risultanti sono rappresentati nelle figure 3.2 e 3.3. Sum K controller G(s) Processo Figura 3.2: Processo dell esercizio 3.2 con regolatore proporzionale Sum +Ks controller G(s) Processo Figura 3.3: Processo dell esercizio 3.2 con regolatore derivativo Per entrambe le configurazioni determinare il valore di K in modo che il fattore di smorzamento del sistema ad anello chiuso valga 0.5. In seguito, con questo valore di K determinare:. Tempo di salita 2. Tempo di setting 3. Tempo del primo picco 4. %OS Quali sono le differenze tra le due regolazioni? Soluzione: Determiniamo per entrambe le configurazioni la funzione di trasferimento ad anello chiuso. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 69

70 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi La funzione nella prima configurazione vale mentre nel secondo caso vale G (s) = 25K s 2 +2s+25K G 2 (s) = 25(+Ks) s 2 +(2+25K)s+25 Il fattore di smorzamento vale ξ = 0.5 per cui possiamo calcolare per entrambe le configurazioni il valore di K. Nel primo caso troviamo 2 ξ ω n = ω n = 2 ω n = 2 e Nel secondo caso troviamo 25K = ω n 2 K = ω2 n 25 = 4 25 ω 2 n = 25 ω n = 5; e quindi 2 ξ ω n = = 5 = 2+25K K = 3 25 Nel primo caso abbiamo quindi ω n = 2 e ξ = 0.5, mentre nel secondo caso abbiamo ω n2 = 5 e ξ = 0.5. Applicando le vaie formule troviamo che T r = 0.467ξ +2.97ξ2 ω n = 0.76s 70 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

71 3.2. Esercizio Esercizi - E2A T r2 = 0.467ξ +2.97ξ2 ω n2 = 0.30s T s = ln( 0.02 ) ξ 2 = 4.056s ξω n T s2 = ln( 0.02 ) ξ 2 =.62s ξω n2 T p = T p2 = π ω n ξ 2 =.84s π ω n2 ξ 2 = 0.725s %OS = %OS 2 = 00e ξπ ξ 2 = 6.3% Attenzione: essendoci uno zero supplementare in G 2 (s) i valori calcolati sono approssimazioni dei valori reali. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 7

72 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.3 Esercizio Il processo rappresentato nella figura 3.4 è composto da un loop interno con feedback Kt e uno esterno con guadagno Kb e feedback unitario. Step Sum Kb Gain Sum2 5 s 2+s+0 Transfer Fcn s Integrator Scope Kt Gain Figura 3.4: Processo dell esercizio 3.3 Determinare il valore di Kt che rende il loop interno criticamente smorzato. In seguito, con questo valore di Kt, determinare il valore di Kb in modo che il sistema complessivo oscilli e determinarne la frequenza di oscillazione. Soluzione: La funzione di trasferimento del loop interno vale G (s) = 5 s 2 +s+0+5k t Per avere un sistema criticamente smorzato occorre avere il valore di ξ =. Conseguentemente 2 ξ ω n s = ω n = 5.5 Il valore di K t può essere ora calcolato da 0+5K t = ω 2 n K = ω2 n 0 5 = 4.05 La funzione di trasferimento del sistema complessivo vale G(s) = 5 K b s 3 +s s+5 K b Il denominatore deve avere due poli immaginari e un polo reale, per cui deve valere 72 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

73 3.3. Esercizio Esercizi - E2A Un paragone di coefficienti ci fornisce (s 2 +ω 2 n )(s+p) = s3 +p s 2 +ω 2 n s+p ω2 n p = ω n = 5.5 ω 2 n p = 5 K b K b = maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 73

74 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.4 Esercizio Il diagramma a blocchi di un processo lineare è rappresentato nella figura 3.5 D(s) R(s) K Gain Ki +Ts SubSystem J.s 2 processo Y(s) K t s SubSystem Figura 3.5: Processo dell esercizio 3.4 I parametri fissi del processo sono T = 0., J = 0.0 e K i = 0. Attenzione: per risolvere questo esercizio occorre anche determinare la funzione di trasferimento tra D(s) e Y(s)! Determinare. Dato r(t) = t e D(s) = 0 determinare e in funzione dei parametri K e K t. Determinare le restrizioni per K e K t in modo che il sistema resti stabile. 2. Determinareilvaloreallostatofinitodiy(t)conr(t)=0eunsegnaledidisturbo D(s). 3. Per K t = 0.0 e r(t) = 0 determinare il valore di K che minimizza y( ) quando D(s) rappresenta un entrata di tipo gradino unitario. 4. Quale influsso ha questo valore di K sulla risposta dinamica del sistema? 5. Utilizzando il valore di K precedentemente trovato, determinare un nuovo valore per K t in modo che l equazione caratteristica del sistema abbia due poli complessi con parte reale pari a 2.5. Determinare le altre 3 radici dell equazione caratteristica. Soluzione: Possiamo trattare direttamente lo schema come un diagramma di flusso di segnale e determinare in questo modo i percorsi tra (R(s) e Y(s), come pure il percorso tra D(s) e Y(s). P = R(s) Y(s) = K K i +TsJs 74 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

75 3.4. Esercizio Esercizi - E2A Nel sistema abbiamo 2 loop P 2 = D(s) Y(s) = Js 2 e K i L = K t s +TsJs 2 L 2 = K K i +TsJs 2 Possiamo quindi determinare il valore di Y(s) in funzione delle due entrate Y(s) = KK i +st R(s)+ D(s) Js 3 T +Js 2 +K i K t s+kk i Js 3 T +Js 2 +K i K t s+kk i Con i valori dati le due funzioni di trasferimento diventano e G R = 0000 K s 3 +0 s K t s+0000 K G D = 00 (s+0) s 3 +0 s K t s+0000 K 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 75

76 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.5 Esercizio La risposta ad un impulso di Dirac di un sistema di 3. ordine, con un polo a 0 e con condizioni iniziali nulle, è rappresentata nella figura 3.6. Determinare nel modo più preciso possibile la funzione di trasferimento di questo sistema. (Attenzione: l impulso di Dirac è la derivata nel tempo della funzione gradino unitario). 0.9 Impulse Response From: U() Amplitude To: Y() Time (sec.) Figura 3.6: Risposta all impulso del sistema dell esercizio 3.5 Soluzione: Analizziamo la risposta come quella di un sistema di 2. ordine con entrata gradino, e alla fine aggiungeremo un integratore per avere quella di 3. ordine. Il valore massimo vale ca che equivale ad un %OS = 68% rispetto al valore finale y = 0.5 verso cui tende la risposta del sistema. A questo %OS corrisponde un valore di ξ = Vediamo che 6 periodi occupano un tempo pari a ca. 9s. 76 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

77 3.5. Esercizio Esercizi - E2A Quindi: T = 9 6 ω σ = 2 π T =.984 ω n = ω σ ξ 2 = 2 La funzione di trasferimento di 3. ordine che meglio approssima questa risposta vale quindi G(s) = 2 s (s s+4) 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 77

78 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.6 Esercizio Nella tabella 3. sono rappresentate 3 coppie di funzioni di trasferimento. Associare ogni coppia di funzioni a uno dei 3 grafici della tabella 3.2 che rappresentano la rispostaadungradinounitariodelleduefunzionig x (s),g 2x (s)(attenzione: evitate calcoli inutili!). a) G a (s) = 0 s 2 +2s+0 G 2a (s) = 90 s 2 +6s+90 b) G b (s) = 3 s 2 +4s+3 G 2b (s) = 40 s 2 +4s+40 c) G c (s) = 7 s 2 +2s+7 G 2c (s) = 20 s 2 +4s+20 Tabella 3.: Coppie di funzioni di trasferimento per l esercizio 3.6 Step Response Step Response Step Response.5 From: U().4 From: U().4 From: U().2.2 Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() 0.8 Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) Time (sec.) Tabella 3.2: Rappresentazioni per l esercizio 3.6 Soluzione: Andiamo a vedere la posizione dei poli di ciascuna coppia di funzioni. G a s,2 = ±3i G 2a s,2 = 3±9i 78 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

79 3.6. Esercizio Esercizi - E2A I poli sono sulla stessa diagonale, per cui i due sistemi hanno lo stesso fattore di smorzamento ξ e pertanto lo stesso %OS. La rappresentazione di queste due funzioni è quindi quella del grafico 2. G b s,2 = 2±3i G 2b s,2 = 2±6i I poli dei due sistemi hanno la parte reale uguale. I sistemi hanno quindi lo stesso valore di ξ ω n, e pertanto anche lo stesso T setting. La rappresentazione di queste due funzioni è quindi quella del grafico 3. G c s,2 = ±4i G 2c s,2 = 2±4i I poli dei due sistemi hanno la parte immaginaria uguale. I sistemi hanno quindi lo stesso valore di ω σ, e pertanto anche lo stesso tempo del primo picco T p. La rappresentazione di queste due funzioni è quindi quella del grafico. 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 79

80 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.7 Esercizio Per il sistema rappresentato nella figura 3.7 determinare i valori di K e P in modo che il %OS sia pari a 40% e il tempo del. picco equivalga a s. Con i valori trovati determinare in seguito il tempo di setting e l errore con entrata gradino unitario. R(s) K s 2+s Transfer Fcn Y(s) +Ps Subsystem Figura 3.7: Sistema dell esercizio 3.7 Soluzione: La funzione di trasferimento globale del sistema vale G(s) = K s 2 +s + K (+P s) s 2 +s = K s 2 +(K P +) s+k Al %OS dato equivale un valore di ξ = Dal tempo del. picco si ricava quindi il valore di ω n. Ne consegue che ω n = π T p ξ 2 = e K = ω 2 n = P = 2 ξ ω n K = Applicando le formule troviamo T s = 4.34s 80 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

81 3.7. Esercizio Esercizi - E2A La funzione tende al valore lim y(t) = lim s 5 G(s) = t s 0 s 5 = 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 8

82 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.8 Esercizio Determinare la funzione di trasferimento del sistema di 2. ordine che ha la risposta nel tempo rappresentata nella figura 3.8 ad un entrata di tipo gradino unitario. 0.9 Step Response From: U() Amplitude To: Y() Time (sec.) Figura 3.8: Risposta del sistema dell esercizio 3.8 Soluzione: Il valore finale verso cui tende la funzione è 0.5. Con un calcolo di proporzioni calcolo il valore del massimo dalle misure in cm sul grafico. 8.cm x = 8.722cm 0.9 da cui si ricava x = Il %OS vale quindi ( ) 00 = 67.6% 82 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

83 3.8. Esercizio Esercizi - E2A Possiamo ora dalle formule determinare il valore di ξ che vale ξ = 0.25 Analogamente calcoliamo il tempo occorrente per 5 periodi di oscillazione sul grafico 0.96cm 2s = 7.2cm x da cui si ricava x = 7.88s. Uqesto valore è relativo a 5 periodi, e possiamo quindi determinare la ω di oscillazione da ω = 2π T = 52π x = Possiamo ora determinare la frequenza naturale da ω n = ω ξ 2 = 4 La funzione di trasferimento risulta quindi essere G(s) = 8 s 2 +s+6 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 83

84 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi 3.9 Esercizio Determinare il valore di K per lo schema della figura 3.9, in modo che il sistema ad anello chiuso abbia due poli reali, di cui uno a 8. U(s) 2 s 2+5s Plant Y(s) K.s+ Controller Figura 3.9: Schema per l esercizio 3.9 Soluzione: La funzione di trasferimento totale vale G TOT = 2 s 2 +5s + 2 s 2 +5s (Ks+) = 2 s 2 +(5+2K)s+2 Se un polo si trova a 8, per avere il denominatore trovato il secondo polo deve trovarsi a 2 8 = 0.25 Ne consegue che il termine che moltiplica s al denominatore vale da cui si ricava infine 5+2K = = 8.25 K = Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

85 3.0. Esercizio Esercizi - E2A 3.0 Esercizio Determina i poli della funzione di trasferimento di 2. ordine che rispetta le specifiche della tabella 3.3. %OS = 0% T s = 0.5s %OS = 5% T p = 0.25s T s = 5s T p = 2s Tabella 3.3: Specifiche dell esercizio 3.0 Soluzione: Caso : usando la formula 3.47 otteniamo ξ = 0.59, e con la formula 3.37 si arriva al valore di ω n = Caso 2: usando le formule 3.47 e 3.49 si ottengono i valori ξ = 0.57 e ω n = Caso 3: Si tratta di risolvere un sistema di due equazioni e T p = π ω n ξ 2 = 2 Sostituendo nella seconda equazione si ottiene T s = ln(0.02 ξ 2 ) ξω n = 5 ω n = π 2 ξ 2 ξπ 5 2 ξ +ln(0.02 ξ 2 ) = maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 85

86 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi che può essere risolta tramite la calcolatrice con il comando zeros. La soluzione fornita dà un valore di ξ = che messo poi nella prima equazione ci dà il valore di ω n = Nei tre casi è poi possibile determinare i poli da p,2 = ξω n ±jω n ξ 2 86 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

87 3.. Esercizio Esercizi - E2A 3. Esercizio Determina, per un entrata gradino, il valore della resistenza che permette di avere un %OS = 20% sul condensatore, nel circuito della figura 3.0. I valori conosciuti sono L = H e C = 0 6 F. R L + C Figura 3.0: Circuito dell esercizio 3. Soluzione: La funzione di trasferimento tra la tensione in entrata e quella sul condensatore vale G(s) = R+sL+ sc sc = s 2 LC +src + Dividendo numeratore e denominatore per LC si ottiene G(s) = Sostituendo i valori conosciuti si ottiene LC s 2 + R L s+ LC G(s) = 0 6 s 2 +sr+0 6 Con un paragone di coefficienti con la funzione standard G(s) = ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n si ottiene ω n = 0 3 e ξ = maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 87

88 Esercizi - E2A Capitolo 3. Risposta di sistemi Quindi R = 2ξω n = 92Ω 88 Copyright 2007 Roberto Bucher 3 maggio 20

89 3.2. Esercizio Esercizi - E2A 3.2 Esercizio Il sistema della figura 3. è formato da un loop interno con feedback K t e da un secondo loop esterno con guadagno K b. R(s) 4(s+0.) s(s+4) Kb Gain 4 s 2+2s+0 Transfer Fcn s Integrator Y(s) Kt Gain Figura 3.: Sistema dell esercizio 3.2 Determinare il valoredi K t che portail loopinterno adessere smorzato criticamente. In seguito, con il valore trovato, determinare:. I valori di K b che mantengono il sistema asintoticamente stabile 2. Il valore di K b per cui il sistema oscilla e la frequenza naturale del sistema con questo guadagno. Soluzione: Loop interno G TOT = 4 s Kt s 2 +2s+0 = 4 s 2 +2s+0+4K t Se il sistema è smorzato criticamente significa che ξ =. Ne consegue. guardando il denominatore, che Da 2ξω n = 2 ω n = 6 ω 2 n = 36 = 0+4K t K t = 6.5 G TOT = 4 s 2 +2s+36 3 maggio 20 Copyright 2007 Roberto Bucher 89