Probabilità condizionata e indipendenza stocastica

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1 Capitolo 3 Probabilità condizionata e indipendenza stocastica 3.1 Considerazioniintroduttive Abbiamo trattato, finora, soltanto di probabilità di eventi che possono risultare Veri o Falsi. Tuttavia, il calcolo delle probabilità si occupa, per soddisfare esigenze applicative concrete, anche di eventi il cui campo di possibilità è limitato da qualche specifica condizione. Si parla, allora, di eventi condizionati o subordinati. Per esempio, relativamenteaunapartitadicalciochevedràimpegnatelesquadreaeb,sipuòscommettere sullavittoriadi A[ricevendounasommadidenaroprestabilitase Avinceeperdendola postase Anonvince:perdeopareggia],masipuòscommetteresullavittoriadi Anell ipotesichelapartitasichiudaconlavittoriadiunadellesquadreincampo.dunque l evento vittoria di A viene subordinato alla condizione che una delle due squadre vinca. Di conseguenza, lo scommettitore incassa se A vince, perde se vince B, mentre vede annullatalascommessanelcasolapartitanonterminiconlavittoriadiunadelledue squadre. Si noti la differenza rispetto alla situazione precedente della scommessa sulla vittoria di A. Una situazione concettualmente analoga si presenta con riferimento al cosiddetto processo di apprendimento dall esperienza quando si debba valutare la probabilità di una certa ipotesi H subordinatamente al fatto che un determinato esperimento abbia un certoesito,fattoespressoasuavoltadauneventoe.sitrattadivalutarelaprobabilità di H condizionatamente a un ipotetico incremento d informazione espresso dall evento 35

2 36CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA E. Siano E, H,con E,eventicontenutiinunaclasse Cdipartidi Ωcheincludaanche l intersezione E H. Ciò è automaticamente soddisfatto se C è un algebra. L evento H condizionato da E (detto anche evento H subordinato a E ) si può rappresentare, come nella Figura 3.1, restringendo(come accennato all inizio del paragrafo) le possibilità all insieme dei casi elementari che costituiscono E e, quindi, considerando successo [rispettivamente, insuccesso] il presentarsi di un caso elementare contenuto in H E [rispettivamente, il presentarsi di un caso elementare contenuto in E \ H]. Si usa indicare l evento H condizionato da E col simbolo H E. Sinotichevale H E = H E Eovvero,ilgenericoeventocondizionato H Esipuò scrivere in forma irriducibile come H E E. Figura 3.1: L evento H condizionato da E è vero nella zona punteggiata, falso in quella sfumata, indeterminato nella zona bianca. Veniamo a fare qualche osservazione preliminare sulla valutazione della probabilità di H E. Supponiamocheunindividuogiudichi P(E) = 0,90laprobabilitàchesiverifichi Ee P(H E) = 0,60laprobabilitàchesiverifichi Hnell ipotesiche Esiavero. Possiamo reinterpretare questo sistema di valutazione così: l individuo in questione si impegnaapagare0,60euronelcasosiverifichi E,perricevere1eurosesiverifica H E;pervincere0,60euronelcasosiverifichi Esiimpegnaapagare0,60 0,90=0,54 euro. In definitiva, pagando 0,54 euro, il nostro giocatore acquista il diritto a ricevere 1 eurosesiverificanosimultaneamente Hed E;quindi,0,54sipuòriguardarecomeuna valutazionedellaprobabilitàdi H Ecoerenteconivaloridi P(H E)eP(E). Questo punto di vista sarebbe in accordo con quanto suggerito dalla precedente immagine geometrica. Poiché, considerare H E significa concentrare l attenzione ai punti contenuti in E(zona sfumata per l insuccesso, punteggiata per il successo), allora la probabilità di

3 3.2. PRINCIPIO DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE E TEOREMA DI BAYES 37 Evavistacomenuovaunitàdimisura,ovvero: P(H E) = P(H E)/P(E),equivalente a 0,60 = P(H E)/0, Principio delle probabilità composte e teorema di Bayes Nell impostazione assiomatica di Kolmogorov, la probabilità di H E[nelle condizioni dichiarate nella sezione precedente] viene definita, coerentemente alle osservazioni già svolte, come un numero P(H E) che soddisfa la relazione P(H E)P(E) = P(H E) (3.1) ossia il principio delle probabilità composte. Quando P(E) 0,(3.1) determina la probabilità di P(H E), prolungando Pda Ca C {H E}. P(H E) = P(H E)/P(E), Aquestopuntosiponeinevidenzache,perunevento Efissatoinun algebra Ccon P(E) > 0,lafunzione H P(H E) (H C) èunamisuradiprobabilitàsu C. Infatti,(1) P(H E) = P(H E)/P(E) 0;(2)se H appartieneacecontiene E,allora P(H E) = P(H E)/P(E) = P(E)/P(E) = 1,dacui, inparticolare P(Ω E) = 1;(3)se A 1,A 2,...e n 1 A n appartengonoa C,congli A i adue a due incompatibili, allora P( n 1 A n E) = 1 P(E) P(E ( n 1A n )) = 1 P(E) P( n 1(E A n )) = 1 P(E) P(E A n ) n 1 = 1 P(E) P(E A n) = P(A n E) n 1 n 1 In molti casi, praticamente significativi come quello dei procedimenti di apprendimento (l induzione statistica ne sarebbe esempio tipico), si suppongono assegnate le probabilità: P(E H)delrisultatosperimentaledatal ipotesi H, P(E H c )delrisultatosperimentaledata H c, P(H) dell ipotesi(probabilità iniziale)

4 38CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA e si procede alla determinazione di P(H E)(probabilità finale). Allora, dalla definizione di P(E H),cioè P(E H)P(H) = P(H E), segue P(E H)P(H) = P(H E)P(E) ovvero P(H E) = P(E H)P(H) P(E) che fornisce l espressione più elementare del teorema di Bayes. se P(E) 0 (3.2) Infatti, con considerazioni semplici è possibile generalizzare questo teorema a partizioninumerabilidiipotesi. Sidicechelafamigliadieventi {H n : n 1}èuna partizionedellospazio Ωdeicasielementarise H n perogni n, H n H m = se n m, n 1 H n = Ω.Quindi,perogni(misuradi)probabilità P,vale 1 = P(Ω) = P n 1H n = n 1P(H n ). Inoltre, per ogni evento E vale E = E n 1H n = n 1(E H n ) (proprietàdistributiva). Quindi,risultandoglieventi E H n, n 1,adueadueincompatibili,siha[disintegrazionedellaprobabilitàdi Esu (H n ) n 1 ] P(E) = n 1P(E H n ). (3.3) Se in un problema sono assegnate le probabilità P(E H n ), n 1[n P(E H n )èdettaverosimiglianzadelleipotesi H n,dato E], P(H n ), n 1[n P(H n )èdettadistribuzioneiniziale], si può determinare P(E) notando che(3.3) e il principio delle probabilità composte implicano P(E) = n 1P(E H n )P(H n ) e,perilteorema ristretto dibayes(3.2),apattoche P(E)siastrettamentepositiva,si perviene alla forma classica dello stesso teorema P(H n E) = P(E H n )P(H n ) n 1 P(E H n)p(h n ) (n 1). (3.4)

5 3.2. PRINCIPIO DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE E TEOREMA DI BAYES Alcuniesempi Concludiamo il paragrafo con qualche esempio nel quale si applicano i concetti e le regole di calcolo esposti in precedenza. Poker Sicalcolilaprobabilitàdirealizzare,inunadatamanodipoker,unascalareale [lamanochecomprende10,j,q,k,adellostessoseme],nell ipotesichetuttele manipossibiliabbianolastessaprobabilità.ilnumerodellemanipossibiliè ( 52 5) ; quindidenotatocon Ωl insiemedellemanipossibiliecon ωlamanogenerica,si ha ( ) 52 P(ω) = 1/. 5 Indicatocon Rl evento lamanoèunascalareale,sivedeche Rèformatoda4 elementidi Ωe,quindi, ( ) 52 P(R) = 4/. 5 Poniamo ora che il mazziere scopra l ultima carta della tua mano(la quinta); valuta la probabilità di realizzare scala reale accettando la carta scoperta che, supponiamo,èl assodicuori. Sedenotiamocon Cl evento laquintacartachetisi distribuisce è l asso di cuori, l evento di cui si chiede di valutare la probabilità è l evento condizionato R C. Il numero delle mani con la caratteristica di avere l asso di cuori in quinta posizione(o una carta qualunque fissata in una data posizione) è ( 51 4) e,pertanto, e, perciò, P(C) = ( ) ( ) / 4 5 P(R C) = P(R C) P(C) = ( P(R C)/ ( 51 4 ))( ) Inoltre, R Ccontieneunsolocasoelementare:lascalarealedicuori.Pertanto, P(R C) = ( 52 1e,diconseguenza, 5) ( ) 51 P(R C) = 1/ 4 = 13 5 P(R).

6 40CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA Probabilità di essere imbrogliati Un industria automobilistica fabbrica uno stesso modellointrediversistabilimenti: A, B, C. Sistimache Aproduce N A modelli, B produce N B modelliec produce N C modelli, rispettivamenteconuna frazione p A, p B, p C didifettosi. Seacquisti,pressounconcessionario,unesemplare del modello, qual è la probabilità di trovarlo difettoso? Si possono formulare tre ipotesi, circa la provenienza dell esemplare, che formano una partizione di Ω: H 1 = l esemplareprovienedallostabilimento A ; H 2 = l esemplareprovienedallo stabilimento B ; H 3 = l esemplareprovienedallostabilimento C. Indicatocon D l evento l esemplare acquistato è difettoso, si ha P(D H 1 ) = p A, P(D H 2 ) = p B, P(D H 3 ) = p C. Inoltre,èragionevolevalutarele P(H i )nelmodoseguente P(H 1 ) = N A N, Quindi, P(H 2) = N B N, P(H 3) = N C N, (N := N A +N B +N C ) N A P(D) = P(D H 1 )+P(D H 2 )+P(D H 3 ) = p A N +p N B B N +p N C C N. Ora, nell ipotesi che il modello acquistato sia difettoso, calcola la probabilità che provenga, rispettivamente, da A, B, C: P(H i D) = 1 P(D) P(H i D) = 1 P(D) p A N A N per i = 1 p B N B N per i = 2 p C N C N per i = 3 Test clinico Si considera un test clinico ideato per rivelare una malattia rara che si presenta in un caso su Il test è abbastanza affidabile: per un individuo affetto rivela la presenza della malattia con probabilità 0,95; per un individuo non affetto segnala la malattia(sbagliando, dunque) con probabilità 0,005. Calcolare la probabilità che un individuo, per il quale il test è positivo, sia affetto dalla malattia in questione. Consideriamo gli eventi: M = l individuo è affetto dalla malattia ; R= iltestèpositivo ;dobbiamovalutare P(M R),sapendoche P(R M) = 0.95, P(R M c ) = 0,005, P(M) = 0,00001.Allora. P(R M)P(M) P(M R) = P(R M)P(M)+P(R M c )P(M c ) 0,95 0,00001 = 0,95 0, , = 0,

7 3.2. PRINCIPIO DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE E TEOREMA DI BAYES 41 Ancoraidadi... Unacoppiadidadiequilibrativienelanciatainaria.Nell ipotesiche lafacciapresentatadalprimodadosia3,qualèlaprobabilitàcheilpunteggio totale superi 6? Detto Ω lo spazio dei casi elementari(l insieme delle coppie ordinate (i, j) con i=punteggio del primo dado e j=punteggio del secondo dado), si ha Ω = 36. Indichiamocon El eventochesiverificase i = 3econ F l evento {(i,j) Ω : 3+j > 6}.Laprobabilitàrichiestaè P(F E) = P(F E)/P(E). Mettendo a frutto la condizione espressa sui dadi, sarà ragionevole ritenere uguale a1/36laprobabilitàdiognicasoelementare.quindi: P(E) = 6/36,P(F E) = 3/36 e, di conseguenza, P(F E) = 3/6 = 1/2. Sesso dei figli Si considerano le famiglie con due figli. Questi ultimi, classificati in ordinedinascitaeinbasealsesso,dannoluogoallepossibilitàseguenti: {MM,MF, F M, F F}. Nell ipotesi che le quattro possibilità siano ugualmente probabili, si chiede di calcolare la probabilità che i figli siano entrambi maschi, nell ipotesi che almenounosiamaschio.siha P(MM MM MF FM) = 1/4 3/4 = 1 3. [Si badi, non 1/2] Calcolare la probabilità che i figli siano entrambi maschi nell ipotesi che il più giovane sia maschio: P(MM MM MF) = 1/4 2/4 = 1 2. Urne Si considerano due urne contenenti palline colorate. La prima contiene 3 palline bianchee2rosse,lasecondacontiene3pallinebianchee4rosse. Siestraeuna pallinaacasodallaprimaurnaelasiriponenellaseconda;quindisiestraeuna pallinaacasodallasecondaurnaesichiededivalutarecheessasiarossa. Indichiamocon R 2 quest ultimoevento,econ B 1 e R 1,rispettivamente,l estrazione dibiancaedirossadallaprimaurna.allora, P(R 2 ) = P(R 2 B 1 )+P(R 2 R 1 ) = P(R 2 B 1 )P(B 1 )+P(R 2 R 1 )P(R 1 ) = =

8 42CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA 3.3 Correlazione fra eventi e indipendenza stocastica Nel confronto fra P(H E) e P(H) potrebbe presentarsi una delle circostanze seguenti: (i) P(H E) > P(H), (ii) P(H E) < P(H), (iii) P(H E) = P(H). La(iii)dicecheassumerelaveritàdi E nonhaalcunainfluenzasullaprobabilità di H; sidiceallorache H nondipendestocasticamenteda E. Analogamente,la(i) [rispettivamente, la(ii)] dice che assumere la verità di E fa aumentare[rispettivamente, fa diminuire] la probabilità di H; quindi, si dice che H dipende positivamente [rispettivemente, negativamente] da E. Ricordando le relazioni fondamentali P(E H) = P(E H)P(H) = P(H E)P(E) (3.5) siscoprechelavaliditàdi(iii)implica P(E H) = P(H)P(E) (3.6) e,se P(H) 0,anchelavaliditàdi P(E H) = P(E) (3.7) (Enondipendestocasticamenteda H).Da(3.6)segue(iii)quando P(E) > 0.Glieventi E, H si dicono(mutuamente o reciprocamente) stocasticamente indipendenti quando vale (3.6). Questa è una delle proprietà più interessanti per gli sviluppi della teoria delle probabilità.sinotichesitrattadiunaproprietàdi P,nondeglieventi,adispettodella dizione.[n.b.: Non si confonda l indipendenza stocastica di E ed H con la loro eventuale incompatibilità. Gli eventi E,H possono essere indipendenti e non incompatibili, quando P(E H) = P(E)P(H)conP(E H) > 0.Alcontrario,glieventiEedHincompatibilicon P(E) > 0eP(H) > 0nonpossono,ovviamente,essereindipendenti,perché P(E H) = 0.] Se Ee Hsonostocasticamenteindipendenti,alloraanche Ee H c sonostocasticamenteindipendenti(quindi,anche(e c, H c )e(e c, H)).Infatti, P(E H c ) = P(E) P(E H) = P(E) P(E)P(H) [perla(3.6)] = P(E){1 P(H)} = P(E)P(H c ). Quandosihanno neventi E 1,...,E n,con n 2,essisidiconostocasticamenteindipendentiselosonoadueadue,atreatre,ecc.;piùprecisamente,quandoperogni

9 3.3. CORRELAZIONE FRA EVENTI E INDIPENDENZA STOCASTICA 43 k = 2,...,neperognisottoinsieme {j 1,...,j k }di {1,...,n}vale P(E j1 E jk ) = P(E j1 ) P(E jk ). Sidimostrafacilmentechese E 1,...,E n sonoindipendenti,risultanoindipendentiancheglieventiei c 1,...,Ei c k,e i1,...,e in k perogni{i 1,...,i k } {1,...,n}e{j 1,...,j n k } = {1,...,n}\{i 1,...,i k }. Comemostrailcasoseguente,nonbastal indipendenzaadueadueperavere,ad esempio,quellaatreatre. Siestraeunapallinadaun urnachenecontiene4: una bianca, una rossa, una verde, una bleu. Si scommette avendo diritto a scegliere due colori,etreindividuiscommettonoscegliendo:ilprimobiancoorosso(e 1 ),ilsecondo biancooverde(e 2 ),ilterzobiancoobleu(e 3 ).Selaprobabilitàdiciascuncoloreè1/4, allora: P(E 1 ) = P(E 2 ) = P(E 3 ) = 1/2, P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 3 ) = P(E 2 E 3 ) = 1/4 = P(E i )P(E j ) (i j). Cosìglieventi E 1, E 2, E 3 sonoadueadueindipendenti:laprobabilitàcheunafissata coppia di scommettitori vinca è data dal prodotto delle probabilità che il singolo vinca. Invece P(E 1 E 2 E 3 ) = 1/4 P(E 1 )P(E 2 )P(E 3 ). È interessante notare il fatto seguente: Data la probabilità di ciascuno di n eventi indipendenti, si può determinare la probabilità di ogni altro evento che ne dipenda logicamente.(per la nozione di dipendenza logica, vedere Sezione 1.2 ed Esempio 1.2.2) Infatti,sipuòincominciareconl osservazionechesee 1,...,E n sonoglineventidati, alloraognieventoechenedipendalogicamenteèunionedeicostituenti E i1 E ik Ej c 1 Ej c n k.allora,sfruttandol additivitàdellaprobabilitàeilfattocheicostituenti sonoadueadueincompatibili,siha P(E) = P(E i1 E ik E c j 1 E c j n k ) conlasommaestesaagliindici {i 1,...,i k } {1,...,n}percui E i1 E ik E c j 1 E c j n k E. Se vale l ipotesi di indipendenza, posto p j = P(E j ), q j = P(E c j ) = 1 p j (j = 1,...,n),

10 44CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA siha,inpiù, P(E i1 E ik E c j 1 E c j n k ) = p i1 p ik q j1 q jn k eanchelaprobabilitàdi Edipendesoltantodaivaloridi p j e q j assegnati.adesempio, laprobabilitàchenessunodeglieventi E i siverifichiè ω 0 = q 1 q n La probabilità che se ne verifichi esattamente uno è ω 1 = i q 1 q i 1 p i q i+1 q n = ω 0 i p i q i (se q i > 0 perogni i) come si può dedurre anche dalla formula generale(1.4) quando si assuma l indipendenza stocasticadegli A i. La probabilità che se ne verifichino esattamente due è ω 2 = 1 i<j n = ω 0 1 i<j n q 1 q i 1 p i q i+1 q j 1 p j q j+1 q n p i p j q i q j (seogni q i 0) elaprobabilitàcheseneverifichinoesattamente kè seogni q i 0. ω k = 1 i 1< <i k n = ω 0 1 i 1< <i k n q 1 q i1 1 p i1 q i1+1 q ik 1 p ik q ik +1 q n (3.8) p i1 p ik q i1 q ik (3.9) Ancora la distribuzione binomiale Seglieventi E 1,...,E n,oltreadesserestocasticamenteindipendenti,sonougualmente probabili[p(e i ) = peq i = 1 pperogni i],alloralaprobabilità ω k cheseneverifichino esattamente k si deduce da(3.8) come segue ω k = 1 i 1< <i k n p k q n k = ( ) n p k q n k k perché il numero degli addendi è uguale a quello dei sottoinsiemi, di k elementi, dell insieme {1,..., n}. Confrontando questo risultato con la definizione di distribuzione binomiale data nel Sottoparagrafo 2.2.2, si conclude che per n eventi indipendenti e con probabilità costante p, il numero aleatorio di quelli che si verificano ha distribuzione binomiale di parametro (n, p).

11 3.3. CORRELAZIONE FRA EVENTI E INDIPENDENZA STOCASTICA Successioni di eventi indipendenti e, ancora, distribuzione binomiale negativa Glieventidiunasuccessione E 1,E 2,...sidiconoindipendentise,perogni n, E 1,...,E n formanouna n-upladieventistocasticamenteindipendenti. Siadunque (E n ) n 1 una successione di eventi indipendenti, di probabilità costante uguale a p. Qual è la probabilità che l n-esimo successo si verifichi in corrispondenza alla prova(n + r)-esima? Tale probabilitàènullase r < 0. Per r 0,l eventocheinteressasiverificaseesolosesi verifica E n+r,efraiprimi (n+r 1)eventiseneverificanoesattamente (n 1)[evento chedenotiamocon G(n+r 1,n 1)].Allora,dall indipendenzasuppostaseguechela probabilitàrichiestaèp(g(n+r 1,n 1))P(E n+r )con P(E n+r ) = pe,perilrisultato contenutonelprecedentesottoparagrafo,p(g(n+r 1,n 1)) = ( ) n+r 1 n 1 p n 1 q r.quindi, indicando con ξ l istante(intero) in cui si ha l n-esimo successo, si ottiene ( ) n+r 1 P{ξ = n+r} = p n (1 p) r (r = 0,1,2,...) r ovvero, ξ ha la distribuzione binomiale negativa. Cf., ancora una volta, il Sottoparagrafo Indipendenzacondizionata Datiglieventi A, B, C,sidiceche AeBsonocondizionatamenteindipendentidato C se P(A B C) = P(A C)P(B C). Piùingenerale,consideratalaprobabilità A P(A C),con Avariabileinunaalgebra dieventieccontenutonellastessaalgebra,seglieventi H 1,...,H n (appartenentialla stessa algebra) sono indipendenti rispetto alla distribuzione P( C), allora si dicono condizionatamente indipendenti dato C. Presentiamo una semplice applicazione di questo concetto. Testimonianza Si considera un tribunale che sta indagando sopra un evento E[per esempio, l eventualità che un certo delitto accaduto sia stato commesso da una certa specifica persona]. Lacortesiavvaledellatestimonianzadidueindividui,diciamoIeII,lecuitestimonianzeessaritieneindipendenticondizionatamentesiaaEsiaaE c.lacorteèanche ingradodivalutarelaprobabilitàdellaveridicitàdelleduetestimonianze;diciamo p 1 e

12 46CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA p 2,rispettivamenteperIeII.Indicatacon plaprobabilitàchelacorteassegnaae,si calcolino la probabilità: di EsubordinatamentealfattocheIeIIaccusinol indagato; di EsubordinatamentealfattocheIaccusieIInonaccusil indagato. Perrispondere,indichiamocon E 1 [rispettivamente,e 2 ]l eventocorrispondentealla affermazione da parte di I[rispettivamente, II] che E è accaduto. Si tratta di calcolare P(E E 1 E 2 )ep(e E 1 E2 c).siha: P(E E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 E)P(E) = P(E 1 E)P(E 2 E)P(E) [perl indipendenzacondizionatadelletestimonianze] = p 1 p 2 p e P(E E 1 E c 2 ) = P(E 1 E c 2 E)P(E) = P(E 1 E)P(E c 2 E)P(E) = p 1 (1 p 2 ) p P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 E)+P(E 1 E 2 E c ) = p 1 p 2 p+p(e 1 E 2 E c ) (1 p) = p 1 p 2 p+(1 p 1 )(1 p 2 )(1 p) P(E 1 E c 2 ) = P(E 1 E c 2 E)+P(E 1 E c 2 Ec ) = p 1 (1 p 2 ) p+p(e 1 E c 2 Ec )P(E c ) = p 1 (1 p 2 ) p+(1 p 1 ) p 2 (1 p) P(E E 1 E 2 ) = P(E E 1 E c 2 ) = p 1 p 2 p p 1 p 2 p+(1 p 1 )(1 p 2 )(1 p) p 1 (1 p 2 ) p p 1 (1 p 2 ) p+(1 p 1 ) p 2 (1 p). 3.4 Osservazionicomplementari In molti libri di probabilità, passa sotto il nome di paradosso del progioniero il seguente problema. Tre individui sono stati imprigionati senza processo. Tenuto presente che ci troviamo in un paese governato da un signore spietato, il carceriere comunica loro la notiziachequestosignorehadeciso,inmododeltuttoarbitrario,diliberarneunoedi mandareamorteglialtridue. Aggiunge,inoltre,cheglièfattodivietodirivelarea chiunquelafine,determinatadalsignore. IndicaticonA,BeCitreprigionieri,sisa cheachiedealcarcerierediindicargli insegretodaglialtri unodeiduecondannati

13 3.4. OSSERVAZIONI COMPLEMENTARI 47 (diversodaa,perlaregolatestérichiamata),echeilcarceriereglirispondeb.sichiede di esprimere la probabilità che A attribuisce alla propria condanna a morte. A ben guardare, qui non ci troviamo di fronte a un problema di probabilità condizionata. Infatti, A è in possesso dell informazione che B è condannato. Il significato di un qualunque evento condizionato a tale eventualità(la condanna di B) sarebbe invece, come più volte specificato, quello di un evento esaminato sotto l ipotesi che B sia condannato quando l ipotesi è ancora incerta. Ora, dopo che A ha avuto l informazione del carceriere,lospaziodeglieventielementariè: {H B H A HC c,h B HA c H C},dove H I denotachel individuoiècondannatoamorte.aquestopunto,sivedecheaècondannato se e solo se si verifica la prima eventualità. Quindi, la probabilità richiesta è esattamente la probabilità di detta eventualità e, quindi, un qualunque numero compresotra0e1;fissatalavalutazione α,ilsuocomplementoa1, 1 α,èlaprobabilità di H B HA c H C.Laprobabilitàrichiestaè1/2,incondizionidisimmetria. Invece, se A intende valutare la probabilità di essere condannato nell ipotesi che B siacondannato[manongliènotosequestosiaveroofalso],alloradeveapprestarsia calcolarep(h A H B ).Lospaziodeicasielementariè: {H B H A HC c,h B HA c H C,HB c H A H C }esupponiamocheessiabbianorispettivamenteprobabilità p 1, p 2, p 3 con p i 0 (i = 1,2,3)e p 1 +p 2 +p 3 = 1.Siha: P(H A H B ) = P(H A H B H c C ) = p 1 [perché H A H B H C èimpossibile] P(H B ) = P(H A H B )+P(H c A H B ) = p 1 +P(H c A H B H C ) = p 1 +p 2 equindi,se p 1 +p 2 > 0 (p 3 1)otteniamo [=1/2se p 1 = p 2 ;2/3se p 1 = 2p 2,ecc.]. P(H A H B ) = p 1 p 1 +p 2 A questo punto del discorso, la situazione dovrebbe apparire paradossale solo a coloro che, mischiando un po i ragionamenti, che(come si doveva) abbiamo tenuti distinti, non sanno farsi una ragione del fatto che siano ammissibili valutazioni diverse. La risposta èunivoca,nellaprimaimpostazione,sesifissa αe,nellaseconda,sesifissano p 1 e p 2.Corrispondendoastatidiinformazionediversi,nonsipuòescludere(anzi,sarebbe naturaleattendersi)undivariofra αep 1 o 1 αep 2.

14 48CAPITOLO 3. PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA Concludiamo con una osservazione sulla valutazione di probabilità in spazi finiti, con casi elementari ugualmente probabili(simmetria), in relazione all ipotesi di indipendenza stocastica. Ritorniamo al Paragrafo 1.4(Estrazioni da un urna) considerando la famigliadieventi {E 1,...,E m },dove E i èl eventocheèveroseesolosenella i-esima estrazionesiosservapallinabianca (i = 1,...,m). Cisisoffermasulcasoincuile estrazioni sono con restituzione. Se gli eventi hanno probabilità costante= r/n[perché l urnacontienerpallebiancheen r = spallenere]esonoconsideraticomeindipendenti[perché la composizione dell urna è nota in corrispondenza a ogni estrazione], allora possiamoapplicarelaformuladiω k,nelsottoparagrafo3.3.1,perottenerelaprobabilità che si verifichino h di detti eventi[in altre parole: si estraggono h palle bianche]: ( ) m (r ) h ( 1 r ) m h h n n la stessa espressione trovata nel Capitolo I, sulla base di considerazioni di simmetria e a prescindere da considerazioni di indipendenza stocastica. Lo studente mediti sul guadagno, sul piano concettuale e dal punto di vista delle applicazioni, conseguito con l introduzione del concetto di indipendenza stocastica.