2 Incontro: Le regole nell insegnamento della matema6ca

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1 Sarzana 6 marzo Incontro: Le regole nell insegnamento della matema6ca Rose8a Zan Dipar6mento di Matema6ca, Università di Pisa zan@dm.unipi.it

2 L altra volta

3 Le nostre domande Cosa vuol dire visione della matematica ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare? Cosa si intende per regole? Perché nelle I.N. una visione della matematica ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare è considerata negativa? Da cosa proviene una visione di quel tipo? Da quali esperienze? Da quali pratiche? Come si può prevenire / scardinare tale visione?

4 Far comprendere agli allievi: REGOLA SOCIO-MATEMATICA CONVENZIONE DEFINIZIONE TEOREMA richiede strategie didattiche diverse!

5 La parola regola : Non permette di cogliere la diversità dei perché (regola socio-matematica, convenzione, definizione, teorema) Ma soprattutto insegnare regole : Trasforma i problemi in esercizi, in quanto si individua per ogni situazione cosa deve fare l allievo Impedisce di vedere la rete di relazioni che caratterizza la matematica

6 La geometria a me non piace perché bisogna ricordarsi tutte le formule, calcolarle, disegnare la figura, metterci la base e l altezza, insomma bisogna ricordarsi tutto. (Alessandro, 5 a primaria) ( ) si applica la memoria a ricordare regole e formule che, a volte, servono nella vita. (Giovanni, 5 a primaria)

7 Un giorno c era l interrogazione delle regole fatte a scuola il giorno prima e nonostante che avevo studiato alcune cose non me le ricordavo e così ci ho preso buono. (Sara, 5 a primaria) Inoltre in questi anni, che la matematica sta diventando un po complicata non riesco a ricordare tutte le regole e tutte le altre cose perfettamente. (Martina, 5 a primaria)

8 Il mio rapporto con la matematica è molto peggiorato perché bisogna ricordarci le regole e come si svolgono gli esercizi. (Michele, 2 a secondaria di 1 grado) La visione della matematica come insieme di regole da ricordare influisce sull atteggiamento che l allievo costruisce verso la disciplina.

9 La cosa proprio che non sopporto della matematica sono il PESO-NETTO, PESO LORDO e TARA, perché a me non mi sono mai piaciute le regole. (Caterina, 5 a primaria) Non mi piace tantissimo, prima di tutto perchè devo imparare tutte le regole. (Davide, 1 a secondaria di 1 grado)

10 LE VOCI DEGLI ALLIEVI ricordare si deve, bisogna,

11 La matematica è un dovere che bisogna sempre rispettare e fare. (Alice, 4 a primaria) A me fanno un po di confusione tutte le regole che bisogna rispettare. (Claudio, 5 a primaria)

12 Non mi piace perché ci sono un mare di regole che per fare un operazione piccina picciò: devi dividere un numero per l altro, devi togliere il numero che c era prima e così via. Poi se ti dimentichi una regola sono guai! Non solo sbagli tutto ma ti prendi pure una predica dalla professoressa. (Eleonora, 1 a secondaria di 1 grado)

13 Di recente abbiamo affrontato l argomento sulle frazioni, sono abbastanza complicate, devi semplificare, per le moltiplicazioni, non ne parliamo che è meglio, si devono semplificare il numeratore con il denominatore dell altra frazioni, la divisione la si deve transformare in moltiplicazione, l addizione e la sottrazione si possono svolgere normalmente solo quando hanno il denominatore uguale se no si trova il m.c.m. (Francesco, 1 a secondaria di 1 grado)

14 I FATTI REGOLE RAGIONARE RICORDARE RIFLETTERE AGIRE

15 Conseguenze 1. Cosa succede di fronte a una situazione che non è affrontabile con una regola cioè di fronte a un problema? INVALSI OCSE PISA GARE, GIOCHI MATEMATICI

16 Passi (INVALSI 2008, 5a primaria) Maria, Renato e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula. Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28. Chi ha il passo più lungo?

17 Conseguenze 2 Cosa succede se l allievo è convinto di non ricordare la regola giusta per quella situazione?

18 Alessandro Trovare l area di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 126 cm, e l altezza è 3/4 della base. e non conclude a questo punto non so, cioè non mi ricordo bene le formule

19 Nicola 7x 2 < 7 I.: Perché invece di ricordarti cosa devi fare, non provi a risolverla da solo? N.: La matematica è fatta di regole ben precise che vanno seguite, non ci si può inventare nulla. I problemi si risolvono seguendo quelle regole e io, ora, non mi ricordo come si risolvono le disequazioni.

20 Il successo in matematica Per aver successo: bisogna rispettare le regole sociomatematiche studiare e memorizzare le altre regole Chi trasgredisce viene considerato un allievo di basso rendimento / livello si convincerà di essere inadeguato poi magari fa bene alle gare, all INVALSI, in compiti non standard

21 La matematica è una materia in cui bisogna riflettere molto e capire perché esiste quella regola. (Marco, 5 a primaria)

22 Due approcci diversi INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti che le originano ignorando i perché di tali fatti spesso ignorando anche le relazioni fra: regole e fatti regole INSEGNARE I FATTI e come utilizzarli in vista di un obiettivo à costruire competenze COME?

23 Teoremi, definizioni, convenzioni Non nascono improvvisamente, da sé E all interno di un problema che il matematico affronta che: nascono definizioni per indicare oggetti matematici significativi nascono delle intuizioni su quello che può accadere: le congetture solo successivamente si cerca di dimostrare tali congetture, che quindi diventano teoremi

24 I processi tipici della matematica la razionalità matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

25 Le Indicazioni Nazionali condividono questa visione

26 I processi tipici della Gradualmente, matematica stimolato dalla guida AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE dell insegnante e dalla discussione con i pari, l alunno imparerà ad affrontare con fiducia la e determinazione razionalità matematica situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive. CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico Produce argomentazioni in base alle conoscenze DEFINIRE teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione). Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta.

27 l alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche PORSI AFFRONTARE RISOLVERE P R O B L E M I Di estrema importanza è lo sviluppo di un adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi

28 I problemi nella pratica didattica Se l apprendimento della matematica ha qualcosa a che fare con la scoperta matematica, bisogna dare allo studente qualche opportunità di fare problemi nei quali egli prima congettura e poi dimostra alcuni fatti matematici di un livello adeguato. [Polya, 1954].

29 PORSI AFFRONTARE RISOLVERE P R O B L E M I? AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

30 I LIBRI DI TESTO Tipologia di problemi: - si risolvono applicando regole o schemi risolutivi spiegati in precedenza - spesso raggruppati per capitoli - spesso con il risultato

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32 I LIBRI DI TESTO Tipologia di problemi: - si risolvono applicando regole o schemi risolutivi spiegati in precedenza - spesso raggruppati per capitoli - spesso con il risultato LA PRATICA IN CASSE Modalità d uso: - prima si danno le conoscenze e le strategie necessarie - si fa vedere su esempi come si procede - poi si propongono compiti dello stesso tipo problemi o esercizi?

33 - non c è una procedura da applicare per raggiungere l obiettivo - l errore va messo nel conto - è necessario tempo: per riflettere, per esplorare, per congetturare - permette di lavorare su abilità, conoscenze, competenze - c è una procedura da applicare per raggiungere l obiettivo - l errore è indicatore di un applicazione scorretta della procedura - il tempo è quello dell esecuzione della procedura - permette di lavorare su conoscenze e abilità problemi o esercizi?

34 - non c è una procedura da applicare per raggiungere l obiettivo - l errore va messo nel conto - è necessario tempo: per riflettere, per esplorare, per congetturare - permette di lavorare su abilità, conoscenze, competenze Deve adeguarsi problemi o esercizi? LA PRATICA IN CASSE Modalità d uso: - prima si danno le conoscenze e le strategie necessarie - si fa vedere su esempi come si procede - poi si propongono compiti dello stesso tipo

35 - non c è una procedura da applicare per raggiungere l obiettivo - l errore va messo nel conto - è necessario tempo: per riflettere, per esplorare, per congetturare - permette di lavorare su abilità, conoscenze, competenze E importante poter contare su dei buoni problemi problemi o esercizi? I LIBRI DI TESTO Tipologia di problemi: - si risolvono applicando regole o schemi risolutivi spiegati in precedenza - spesso raggruppati per capitoli - spesso con il risultato

36 - non c è una procedura da applicare per raggiungere l obiettivo - l errore va messo nel conto - è necessario tempo: per riflettere, per esplorare, per congetturare - permette di lavorare su abilità, conoscenze, competenze E importante poter contare su dei buoni problemi Possibili fonti: - prove INVALSI - attività m@tabel - attività PQM - gare e giochi: Ø Rally Matematico Transalpino problemi o esercizi? Ø Matematica senza frontiere -

37 Gare e giochi: link Giochi Bocconi (archivio) Kangourou Matematica senza frontiere Rally Matematico Transalpino (RMT) (si trovano le prove dalla 10 a alla 22 a edizione)

38 Un esempio di attività articolata: Esplorare, congetturare e argomentare con la tavola pitagorica

39 I processi tipici della matematica la razionalità matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

40 I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

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42 Alcune domande- stimolo Cosa ti aspetti: saranno di più i pari o i dispari? Perché? Controlla: evidenzia i pari sulla tua tavola. Sono di più i pari o i dispari? Perché?

43 Numeri divisibili per 2 (pari)

44 Alcune domande- stimolo Cosa ti aspetti: saranno di più i pari o i dispari? Perché? Controlla: evidenzia i pari sulla tua tavola. Sono di più i pari o i dispari? Perché? x PARI DISPARI PARI PARI PARI DISPARI PARI DISPARI E nel caso della somma?

45 Evidenzia nella tua tavola i numeri: divisibili per 3 divisibili per 5 divisibili per 7 Cosa osservi?

46 Numeri divisibili per 3

47 Numeri divisibili per 5

48 Numeri divisibili per 7

49 Cosa ti aspetti che succeda se fai la stessa cosa con 4? Controlla.

50 Numeri divisibili per 4

51 Cosa ti aspetti che succeda se fai la stessa cosa con 4? Controlla. Come mai succede questo?

52 Numeri divisibili per 6

53 Numeri divisibili per 8

54 Numeri divisibili per 9

55 Numeri divisibili per 4 Ci sono più numeri divisibili per 4 o più numeri pari? Perché? Può capitare che un prodotto sia multiplo di 4 anche se nessuno dei fattori è multiplo di 4? Perché? Tutti i multipli di 4 sono pari? Perché? Tutti i numeri pari sono multipli di 4? E vero o falso? Il prodotto di due numeri naturali è pari se almeno uno dei fattori è pari.

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57 = 7x9 80= 8x10 70= 7x10 72= 8x9 63 x 80 = 7x9x8x10 70x72=7x10x8x

58 Si può dimostrare in generale? a a+1 a (b+1) (a+1) b b ab (a+1)b b+1 a(b+1) (a+1)(b+1) ab(a+1)(b+1)

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60 I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE ARGOMENTARE DIMOSTRARE

61 I processi tipici della matematica la razionalità matematica AFFRONTARE PROBLEMI ESPLORARE CONGETTURARE DEFINIRE ARGOMENTARE DIMOSTRARE il linguaggio matematico

62 I processi tipici della matematica AFFRONTARE PROBLEMI DEFINIRE

63 Una definizione è essenzialmente una abbreviazione: un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a determinate definizioni Esempio: le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel punto medio di entrambe, provare ad enunciarlo senza usare le parole: diagonali, parallelogrammi e rette parallele se le rette che contengono i lati opposti di un quadrilatero non hanno punti in comune, allora i due segmenti che congiungono ciascun vertice di quel quadrilatero con il vertice opposto si incontrano in un punto che divide ciascuno di essi in due parti congruenti

64 0. Quando / cosa si definisce? Oggetti che siano significativi dal punto di vista matematico. ALTEZZA??? Numeri divisibili per 2 à NUMERI PARI Numeri divisibili per 7 à???

65 à La significatività, soprattutto a livello di scuola di base, è costruita all interno dell ambiente classe. à Esempi di definizioni poco significative dal punto di vista matematico e didattico: Frazioni apparenti Equazioni spurie

66 1. Forma linguistica Non sempre permette di riconoscere una definizione Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3. Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.

67 2. I termini usati devono essere noti Un quadrilatero è un poligono con 4 lati. Devo PRIMA aver definito poligono e lati

68 In particolare non ci dev essere circolarità I numeri naturali sono i numeri interi positivi. I numeri interi sono i numeri naturali positivi e negativi.

69 Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d obbligo Azione: il risultato dell agire Agire: ciò che risulta in una azione Esempio di Luciano Coen e Achille C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002

70 In matematica ci sono oggetti non definiti esplicitamente Insieme Numero naturale Punto, Retta, Piano Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI Per 2 punti passa una e una sola retta

71 3. Deve individuare univocamente l oggetto La circonferenza è una linea curva chiusa.

72 Vale in un contesto che spesso rimane implicito Tangente a una curva: retta che interseca la curva in un solo punto

73 Vale in un contesto che spesso rimane implicito Un numero pari è un numero divisibile per 2 4 3???

74 Non deve dipendere da aspetti non strutturali Un numero irrazionale è un numero con la radice 25 Un numero pari è un numero che finisce per 0, 2, 4, 6, 8 10 in base tre

75 4. Non è una descrizione Un martello è uno strumento che serve per piantare i chiodi; ha un manico di legno e una parte di metallo, che Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari,

76 Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari,

77 Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza Si coglie l importanza di questo quando si fa matematica, ad esempio quando si dimostra Dal punto di vista didattico può essere opportuno in alcuni casi non essere così minimali. Esempio: definireste i rettangoli come quadrilateri con 3 angoli retti? In ogni caso una stessa definizione si può dare in modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si dice primo se ha esattamente due divisori, oppure se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso

78 La ricerca didattica sulle definizioni

79 Dopo aver visto la definizione e gli esempi fatti dall insegnante, l allievo si costruisce una di tale definizione immagine mentale ed è a tale immagine mentale che ricorre quando deve risolvere problemi ecc. DEFINIZIONE IMMAGINE MENTALE

80 DEFINIZIONE Altezza: E il segmento che esce da un vertice ed è perpendicolare al lato opposto IMMAGINE MENTALE è verticale

81 Come non dare definizioni L'altezza del triangolo è la distanza di un vertice dal lato opposto Retta: insieme consecutivo e infinito di punti aventi sempre la stessa direzione. Piano: insieme continuo e infinito di rette. Un equazione non è altro che una forma abbreviata di annotazione dei dati di un problema