FAI MATEMATICA. PREPARATI ALL ESAME 44 Esercitazioni per la prova d esame. Aggiornamenti e ulteriori materiali seieditrice.

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1 LUISA BISCIONE ANTONIO BISCIONE AOLO ADOLINO AI MATEMATICA LEGGI OSSEVA ALICA EAATI ALL ESAME 44 Esercitazioni er la rova d esame Aggiornamenti e ulteriori materiali seieditrice.com/fai-matematica SOCIETÀ EDITICE INTENAZIONALE - TOINO

2 Coordinamento editoriale: Giancarlo Quadri edazione, imaginazione e disegni tecnici: BaMa srl, Vario d Adda (MI) Coordinamento tecnico: Michele omonio rogetto grafico: aotema+ Coertina: iergiusee Anselmo Gli autori ringraziano il reside Mario Briscione er il contributo di conoscenza ed eserienza che ha messo a disosizione nella realizzazione dell oera. e by SEI - Società Editrice Internazionale - Torino rima edizione: 2015 istama Tutti i diritti sono riservati. È vietata la riroduzione dell oera o di arti di essa con qualsiasi mezzo, comresa stama, coia fotostatica, microfilm e memorizzazione elettronica, se non esressamente autorizzata er iscritto. Le fotocoie er uso ersonale del lettore ossono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro agamento alla SIAE del comenso revisto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 arile 1941 n Le fotocoie effettuate er finalità di carattere rofessionale, economico o commerciale o comunque er uso diverso da quello ersonale ossono essere effettuate a seguito di secifica autorizzazione rilasciata da CLEAedi, Centro Licenze e Autorizzazioni er le iroduzioni Editoriali, Corso di orta omana 108, Milano, autorizzazioni@clearedi.org e sito web L Editore dichiara la roria disonibilità a regolarizzare errori di attribuzione o eventuali omissioni sui detentori di diritto di coyright non otuti reerire. Stama: Vincenzo Bona - Torino

3 INDICE Dai Criteri orientativi e modalità er le rove d Esame di Stato del rimo ciclo 4 icordiamo concetti e formule collegati al rogramma di Scienze 4 1) temeratura; 2) forza; 3) velocità; 4) ressione; 5) eso secifico; 6) leve; 7) iano inclinato; 8) lavoro; 9) legge di Ohm; 10) otenza elettrica Esercitazioni di rearazione alla rova d esame Esercitazione 1 11 Esercitazione 2 11 Esercitazione 3 12 Esercitazione 4 12 Esercitazione 5 13 Esercitazione 6 13 Esercitazione 7 14 Esercitazione 8 14 Esercitazione 9 15 Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione Esercitazione

4 La rova scritta di matematica Dai Criteri orientativi e modalità er le rove d Esame di Stato del rimo ciclo La rova scritta di Matematica ed elementi di Scienze e Tecnologia deve tendere a verificare le caacità e le abilità essenziali individuate dal curricolo di studi. La rova uò essere articolata su iù quesiti, che non comortino soluzioni diendenti l una dall altra er evitare che la loro rogressione blocchi l esecuzione della rova stessa. Nel risetto dell autonomia delle scuole, i quesiti otranno toccare asetti numerici, geometrici e tecnologici, senza eraltro trascurare nozioni elementari nel camo della statistica e della robabilità. Uno dei quesiti otrà riguardare gli asetti matematici di una situazione avente attinenza con attività svolte dagli allievi nel corso del triennio nel camo delle scienze serimentali. La commissione deciderà se e quali strumenti di calcolo otranno essere consentiti, dandone reventiva comunicazione ai candidati. Alla luce di quanto revisto dalla normativa, ricordiamo innanzitutto concetti e formule che raresentano gli esemi iù significativi della Matematica alicata alle Scienze e all Educazione tecnica e successivamente resentiamo una serie di esercitazioni la cui risoluzione costituisce uno dei modi iù efficaci er reararsi a tale rova. icordiamo concetti e formule collegati al rogramma di Scienze 1) La temeratura (t) di un coro è la grandezza che fornisce la misura dello stato termico di un coro indicando quantitativamente e in maniera oggettiva le sensazioni di caldo e di freddo. I termometri sono gli strumenti con cui si definisce e si misura la temeratura di un coro. Le scale utilizzate er misurare la temeratura sono: la scala Celsius o centrigrada, che va da 0 gradi a 100 gradi; la scala éaumur, che va da 0 gradi a 80 gradi; la scala ahrenheit, che va da 32 gradi a 212 gradi. er assare da una scala all altra si utilizzano le roorzioni seguenti: a. 100 t C 80 t b. 100 t C 180 (t 32) c. 80 t 180 (t 32) temeratura dei vaori dell acqua bollente temeratura del ghiaccio fondente ESEMI: a): C t t = 32 b): t t = = 104 c) t t = = 104 4

5 Concetti e formule di scienze Nel Sistema Internazionale di misura (SI) viene usata la scala Kelvin (o assoluta), nella quale il unto zero è stato fissato a un valore corrisondente a 273,14 C. Quando un coro raggiunge questa temeratura, le articelle che lo costituiscono sono ferme e, quindi, l energia cinetica è nulla. Di conseguenza, è nulla anche la quantità di calore e, in queste condizioni, non è iù ossibile sottrarre calore alle articelle, cioè non è iù ossibile andare al di sotto di questa temeratura che, rorio er questo motivo, viene chiamata zero assoluto. isetto alle altre scale termometriche, la scala Kelvin esrime misure solo ositive. er assare dalla scala Celsius alla scala Kelvin e viceversa si usano le seguenti relazioni, dove il valore 273,14 viene arossimato a 273: t C = T K T K 273 = t C 2) Si definisce forza la causa che vince l inerzia di un coro e roduce una variazione del suo stato di quiete o di moto. Gli elementi er definire una forza sono quattro: il unto di alicazione: è quel unto del coro sul quale la forza agisce; la direzione: è la linea retta lungo la quale la forza agisce; il verso: è quello indicato dalla freccia; l intensità: è la misura numerica della forza. Le unità di misura usate er misurare una forza sono: il kilogrammo-eso (kg ) e il newton (N). Un kg equivale al eso di un coro che ha la massa di 1 kg e corrisonde a 9,8 N. Se a un coro sono alicate due o iù forze, che si chiamano forze comonenti, è ossibile trovare una forza che, da sola, roduce lo stesso effetto delle forze comonenti. Questa forza unica si chiama risultante. Dunque, si definisce risultante di due o iù forze quell unica forza che roduce gli stessi effetti delle forze comonenti. L oerazione che ermette di trovare la risultante di due o iù forze si definisce comosizione di forze. er comodità, nel rendere in esame i vari casi di comosizioni delle forze, saranno considerate solo due forze. Innanzitutto si considera il caso in cui le due forze 1 e 2 hanno lo stesso unto di alicazione e la stessa direzione: a. se hanno lo stesso verso, la risultante è una forza che ha lo stesso unto di alicazione, la stessa direzione e lo stesso verso delle comonenti e er intensità la somma delle intensità; ESEMIO: unto di alicazione direzione verso intensità 2 1 = b. se hanno verso oosto, la risultante è una forza che ha lo stesso unto di alicazione e la stessa direzione delle comonenti, ha il verso della forza maggiore e er intensità la differenza delle intensità delle comonenti; 5

6 La rova scritta di matematica ESEMIO: 1 2 = 2 1 c. se le due forze hanno la stessa intensità, ma verso oosto, la risultante è nulla e si dice che le due forze sono in equilibrio. ESEMIO: se due forze hanno lo stesso unto di alicazione, ma direzioni diverse, cioè formano un angolo, esse si dicono concorrenti. La risultante di due forze concorrenti è una forza alicata allo stesso unto, che ha la direzione, il verso e l intensità della diagonale del arallelogramma avente come lati consecutivi i vettori delle forze comonenti. risultante comonente comonente ESEMIO: 1 12 kg 2 16 kg ; = + = kg = 2 1 = kg = 400 kg = 20 kg 1 2 Le due forze 1 e 2 formano un angolo di 90 e la risultante forma con il vettore corrisondente alla forza maggiore un angolo di 30. Se si conosce l intensità della risultante, è ossibile calcolare l intensità delle comonenti alicando le note regole relative ai triangoli rettangoli con angoli di 30 e 60. ESEMIO: 8kg 1 8 kg 4 kg 2 2 = 0, 866 = 8 kg 0, 866 = 6, 928 kg ) Si definisce velocità (v) di un coro il raorto tra lo sazio ercorso s e il temo imiegato a ercorrerlo t; in formula: s v t 6

7 Concetti e formule di scienze L unità di misura della velocità è il m/s oure il km/h. s s v t Da v si ricavano t s t v Se si one s y, t x e v 30 m/s, l equazione del moto è y 30 x. Un coro si muove di moto rettilineo uniforme quando la sua velocità è costante, cioè quando ercorre sazi uguali in temi uguali e la traiettoria è una linea retta. Il moto di un coro è circolare uniforme se il coro ercorre a velocità costante una traiettoria corrisondente a una circonferenza. 4) Si definisce ressione () esercitata da un coro su una suerficie di aoggio, il raorto tra il eso del coro e la sua suerficie di aoggio S; in formula: S L unità di misura della ressione nel SI ESEMIO: è il N/m 2, detto ascal (a). Sono in uso anche il kilogrammo-eso su metro quadrato (kg /m 2 ) oure il grammo eso su 2 centimetro quadrato (g /cm 2 ). Da si ricavano S S S 5) Si definisce eso secifico (s) di una sostanza il raorto tra il suo eso e il suo volume V. La formula relativa è: s V Il eso secifico si esrime in Mg /m 3, kg /dm 3 oure g /cm 3. Da s si ricavano V V s V s ESEMIO: - s t v 630 km 90 7 h km/h S 72, kg g g/c 2 2 cm cm ESEMIO: 3 3 s 25, g /cm 3 3 = V s = 200 cm 2, 5 g /cm = 500 g 6) La leva è la macchina semlice iù comune e anche la iù imortante. È formata da un asta rigida, che uò girare intorno a un unto fisso, detto fulcro. Le forze che sollecitano la leva sono due: la resistenza, cioè il eso del coro che si vuole sostare, e la otenza, cioè la forza che bisogna alicare er vincere la resistenza. iassumendo, le arti fondamentali di una leva sono: il fulcro, che è il unto fisso della leva; la otenza ; 7 m 2

8 La rova scritta di matematica la resistenza ; il braccio della otenza b, cioè la distanza della otenza dal fulcro; il braccio della resistenza b r, cioè la distanza della resistenza dal fulcro. A seconda della osizione del fulcro risetto alla otenza e alla resistenza si hanno tre tii di leva: la leva di rimo genere, nella quale il fulcro si trova tra la otenza e la resistenza, e er questo viene anche detta interfulcrata; b b r la leva di secondo genere, nella quale la resistenza si trova tra la otenza e il fulcro, detta anche interresistente; b b r la leva di terzo genere, nella quale la otenza si trova tra la resistenza e il fulcro, detta anche interotente. Affinché una leva sia in equilibrio, la otenza e la resistenza devono essere inversamente roorzionali ai risettivi bracci: : b : b oure b = b r La regola generale relativa alle leve uò essere così sintetizzata: quando si utilizza una leva, quanto iù lungo è il braccio della otenza risetto a quello della resistenza, tanto minore è lo sforzo necessario er vincere la resistenza. Allora una leva è vantaggiosa se la lunghezza del braccio della otenza è maggiore di quella del braccio della resistenza. Al contrario, è svantaggiosa se la lunghezza del braccio della otenza è minore di quella del braccio della resistenza. Da queste considerazioni si ricava che: la leva di rimo genere uò essere vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente a seconda del unto in cui si trova il fulcro risetto alla otenza e alla resistenza; la leva di secondo genere è semre vantaggiosa erché il braccio della otenza è semre maggiore del braccio della resistenza; la leva di terzo genere è semre svantaggiosa erché il braccio della otenza è semre minore del braccio della resistenza. ESEMI: 120 kg b r 10 cm b = 60 cm 10 cm = 50 cm = 50 = 120 kg 10 cm kg = = 24 kg 50 cm 50 r b r b 7) Il iano inclinato è costituito da un iano che forma un certo angolo con il iano orizzontale. Su questo iano si muove un coro con attrito ridotto al minimo. Il iano inclinato è utile er sollevare un coro esante; infatti con esso viene imiegata una forza minore di quella che occorrerebbe er elevare verticalmente a un altezza uguale lo stesso coro. Sono esemi di iano inclinato le scale, alcune strade di montagna, le funivie e le seggiovie. 8

9 Concetti e formule di scienze Un iano inclinato uò essere raresentato in sezione con un triangolo rettangolo: l iotenusa raresenta la lunghezza del iano e viene indicata con, la sua altezza h è raresentata dal cateto verticale e la sua base b dal cateto orizzontale. Se sul iano inclinato, considerato molto liscio e dunque raticamente senza attrito, viene messo un coro di eso, esso tende a scorrere lungo il iano. G C Osserviamo che la forza eso uò essere scomosta nelle N h forze comonenti: arallela al iano e N a esso erendicolare. H I La comonente erendicolare N esercita una ressione sul A b B iano, ma non influenza il movimento del coro rorio erché è equilibrata dal iano stesso. La forza che rovoca il movimento, detta anche forza attiva, è quella arallela alla direzione del iano e cioè. I due triangoli ABC e GHI sono simili erché sono ambedue triangoli rettangoli e hanno gli angoli acuti ACB e GIH congruenti in quanto i lati dell angolo ACB sono aralleli ai lati dell angolo GIH e dunque formano angoli congruenti. Allora i due triangoli hanno i lati corrisondenti in roorzione e si uò scrivere: e scambiando i medi: h h Si uò concludere che, quando un coro si muove su un iano inclinato, il raorto tra la forza attiva che rovoca il moto e la forza eso è uguale al raorto tra l altezza del iano e la sua lunghezza. ESEMI: : h: : : 45 A b C h B = kg m m = 18 kg : : 650 = kg m m = kg 9

10 La rova scritta di matematica Ogni iano inclinato è caratterizzato dalla endenza, che viene indicata con una ercentuale. er esemio, se l inclinazione di un iano è del 12%, significa che si aragona il iano considerato a un iano che ha 12 come altezza e 100 come base. Quanto minore è la endenza di un iano inclinato, tanto iù esso è vantaggioso. 8) Il lavoro meccanico è una grandezza roorzionale alla forza alicata e allo sostamento s lungo il quale la forza agisce: L s L unità di misura del lavoro è il joule (J). 1 J corrisonde al lavoro che comie una forza di 1 N quando sosta di 1 m il suo unto di alicazione. 9) Le grandezze fondamentali collegate a un circuito elettrico sono: la tensione o differenza di otenziale alicata agli estremi del circuito; si indica con V e si misura in volt (V); l intensità di corrente, cioè la quantità di corrente che assa nella sezione di un conduttore nell unità di temo; si indica con I e si misura in amere (A); la resistenza che incontra la corrente elettrica; si indica con e si misura in ohm (W). Queste tre grandezze sono legate tra loro dalla formula V I, relazione che viene chiamata rima legge di Ohm (o semlicemente legge di Ohm), dal nome del matematico tedesco G.S. Ohm che la ottenne serimentalmente. Matematicamente la legge di Ohm si enuncia nel seguente modo: in un circuito elettrico a arità di tensione, la resistenza e l intensità di corrente sono inversamente roorzionali. Da V I si ricavano V I V I 10) La quantità di lavoro che uò essere fornita nell unità di temo dalla corrente elettrica si definisce otenza elettrica. La otenza si indica con e si misura in watt (W); essa è uguale al rodotto della differenza di otenziale er l intensità di corrente: I V oure, dalla legge di Ohm: 2 I V 2 = = ESEMIO: - L = s = ( 24 9, 8) N 3 m= 705, 6 J g ESEMIO: V I 220 V Ω, A icordiamo che 1 kw (kilowatt) 10 3 W. Se moltilichiamo la otenza er il temo, otteniamo l energia, che si indica con Wh (wattora) e che corrisonde a 1 W er secondi (s). 10 V I

11 La rova scritta di matematica ESECITAZIONI DI EAAZIONE ALLA OVA D ESAME - sommativi Esercitazione 1 1 Cubo, eso secifico, lavoro er costruire un cubo di marmo il cui eso secifico è 2,7 g /cm 3 che occui un volume di cm 3, calcola: - 2 aralleleiedo, grafici cartesiani Considera l insieme dei aralleleiedi aventi il volume di 48 cm 3. A b - h h A b h x A b y y x Esercitazione 2 1 Cubo L area della suerficie laterale di un cubo è di 49 dm 2. Calcola: 2 ] 3 ] 2 Disequazioni isolvi la seguente disequazione in e raresentane graficamente le soluzioni x > 2x x > Geometria analitica issa un sistema di assi cartesiani Oxy, assumi come unità di misura 1 cm e disegna il oligono avente er vertici i unti: 3 Statistica È stata effettuata un indagine tra gli alunni di un Istituto tecnico ed è stato scelto un camione di 300 unità ari al 25% dell intera oolazione di studenti. Del camione fanno arte gli alunni delle 5 classi con le seguenti ercentuali: 1 4 Calcola: - 4 Esressioni letterali Trova il valore numerico della seguente esressione letterale: {[( a+ b) ( 2a c+ b):( c 3b) + a]:( 5a+ 2b)} 3 1 a= ; b = 2; c = A( 3; 2); B( 4; 2); C( 1; 2); D( 3; 2) 5 4 = Calcola il erimetro e l area del oligono ottenuto, saendo che il disegno è raresentato in scala 1:10. 2 ] 4 Legge di Ohm In un aarecchio elettrico funzionante a 220 V la resistenza uò essere variata a iacere da 20 a 100 ohm di 20 in 20. y x y x - Oxy 11

12 La rova scritta di matematica Esercitazione teorema di Euclide, cono In un triangolo rettangolo le roiezioni dei cateti sull iotenusa misurano 25,2 cm e 44,8 cm. Calcola: 2 ] 3 ] 2 robabilità Da un mazzo di carte da cinquantadue ne viene estratta una. Calcola la robabilità che la carta estratta sia: 3 Equazioni Calcola il numero che sommato ai suoi 3 4 di 8. e diminuito di 3 dà come risultato il suo trilo diminuito 4 Lavoro Scrivi la relazione che lega le grandezze fisiche: lavoro, forza, sostamento. a. - b. y x Esercitazione 4 1 Cilindro equilatero Quando un cilindro si dice equilatero? Scrivi le formule relative a un cilindro equilatero e risolvi il seguente roblema: Un cilindro equilatero ha l altezza che misura 8 cm. Calcola l area della suerficie totale e il volume. 2 3 ] 2 Equazioni isolvi il seguente roblema imostando un equazione: Il doio di un numero diminuito dei suoi 3 corrisonde al suo trilo aggiunto a ] 3 robabilità Considera l estrazione dei numeri della tombola. Calcola la robabilità che: 4 Lavoro Scrivi la relazione esistente tra lavoro, forza e sostamento e risondi alla seguente domanda. Quale lavoro comie una forza er sollevare erendicolarmente un coro di 50 kg all altezza di 2 m? 12