Insegnare la simmetria

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1 Insegnare la simmetria Renato Betti Politecnico di Milano Sunto: La simmetria delle figure piane viene usata per introdurre in modo significativo molte nozioni di interesse matematico. Parole chiave: simmetria, isometria, rotazione, traslazione, riflessione, glissoriflessione, strutture algebriche, gruppo. 1 La simmetria è legata alla bellezza delle figure 2

2 La vera bellezza e` una deliberata, parziale rottura di simmetria (proverbio Zen) Saqqara, 25 secolo a.c. 3 Variazioni sul tema del sole Periodo neolitico 4

3 I teoremi di Talete - Ogni diametro divide il cerchio in parti di uguale area - Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali - Angoli opposti al vertice sono uguali - Angoli inscritti in una semicirconferenza sono uguali 5 I solidi platonici 6

4 Il problema matematico della simmetria Discutere: cercare un linguaggio che permetta di esprimere gli elementi fondamentali della simmetria e le loro relazioni...nononono... r r2mg 7 Riconoscere: essere in grado di confrontare due modelli

5 Classificare: determinare tutti i possibili modelli di simmetria e i criteri che permettono la loro organizzazione 9 Quanta simmetria ha una figura? {id, ρ π, σ 1, σ 2 } {id, ρ π/2, ρ π, ρ 3π/2 } 10

6 Per ottenere una misura della simmetria non è sufficiente contare il numero di isometrie che portano la figura in sé. Bisogna anche tener conto di come si compongono e della loro parità. I numeri misurano dimensioni, i gruppi misurano la simmetria. 11 Classificazione delle isometrie piane Teorema: le uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. Le traslazioni e le rotazioni non alterano la orientazione delle figure (sono pari, o destrorse), le riflessioni e le glissoriflessioni sono isometrie dispari, o sinistrorse. 12

7 Identità: Traslazione:.. Rotazione: Riflessione: Glissoriflessione: Isometrie destrorse: Isometrie sinistrorse: 14

8 Il principio del caleidoscopio ogni gruppo di isometrie piane è il gruppo di simmetria di una figura 15 Definizione: un gruppo G di isometrie piane è detto discreto se per ogni punto A del piano esiste un cerchio di centro A e (raggio r A ) in cui non sono contenuti altri punti dell orbita di A: {g(a) g є A} 16

9 Teorema (del punto fisso): Un gruppo discreto di isometrie piane è finito se e solo se ha almeno un punto fisso. Se non è finito contiene almeno una traslazione. 17 I gruppi diedrali D n (gruppi di simmetria dei poligoni regolari). D 1 ={σ σ 2 =id }.. D 2 ={σ, ρ σ 2 =ρ 2 =id, ρσ=σρ} 18

10 D 3 ={σ, ρ σ 2 =ρ 3 =id, ρ 2 σ=σρ} D 4 ={σ, ρ σ 2 =ρ 4 =id, ρ 3 σ=σρ}... D n ={σ, ρ σ 2 =ρ n =id, ρ n-1 σ=σρ} 19 I gruppi ciclici C n C 1 ={id} C 2 ={ρ ρ 2 =id} C 3 ={ρ ρ 3 =id} C 4 ={ρ ρ 4 =id} 20

11 Teorema di Leonardo: Ogni gruppo di rosoni ha almeno un punto fisso ed è un gruppo diedrale oppure ciclico finito Bramante, pianta originale di S. Pietro 21 Rosoni Maya Egitto pre-dinastico Periodo ionico 22

12 Gruppi di rosoni C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 23 I gruppi dei fregi r1 r2 r1m...papapapa......nononon......mamama... r2mm...hohoho... r2mg

13 r11g... E E E E... r11m...okokok Alcuni fregi del paleolitico 26

14 Classificazione dei fregi rotazioni? no si no no glissorifl.? no rifl. vert.? si rifl. orizz.? rifl. orizz.? r1m no si si si rifl. vert.? no si r11m r2 r2mg r2mm r1 r11g 27 I gruppi dei mosaici y x 28

15 Restrizione cristallografica : le rotazioni dei mosaici possono avere ordine 1, 2, 3, 4 oppure 6 (ma non 5) 29 I gruppi cristallografici piani P1 Pg Rotaz. π/6? Rifles.? no no si Rotaz. π/2? P6 P6m no si no no no no Glissorifl.? Rifles.? Rotaz. π? Rotaz. 2π/3? Rifles.? si si si Glissorifl.? Rifles.? si si no Assi per Rifles.? P4 centri? no si no no si no si Assi per Pm Cm Glissorifl.? centri? P3 Centri di P4g P4m rotaz.? no si no Centri di P2 Pg4 Pmg rotaz.? no no si Cmm Pmm P31m P3m1 30

16 I gruppi cristallografici piani o gruppi dei mosaici o gruppi di carte da parati o arabeschi Egitto Egitto Egitto Cnosso 31 32

17 La simmetria nel modello di geometria iperbolica (secondo Escher) 33 Bibliografia Weil H. (1962) La simmetria, Feltrinelli, Milano Caglioti G. (1983) Simmetrie infrante, nella scienza e nell arte, Clup, Milano Dedò M. (1999) Forme. Simmetria e topologia, Zanichelli, Bologna Jablan S.V. (1995) Theory of Symmetry and Ornaments, Mat. Institut, Beograd Martin G.E. (1982) Transformation geometry. An introduction to symmetry, Springer, Berlin-Heidelberg- New York Armstrong M.A. (1988) Groups and symmetry, Springer, Berlin-Heidelberg-New York Lockwood E.H., Macmillan R.H. (1978) Geometric symmetry, Cambridge Un. Press, Cambridge 34