RICHIAMI DI TERMODINAMICA

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1 CAPIOLO 2 RICHIAMI DI ERMODINAMICA Premessa. Dal punto d sta de blanc energetc, una macchna a fludo può essere schematzzata come un sstema termodnamco delmtato da superfc d confne d derso tpo e sede d trasformazon e scamb energetc operat su flud comprmbl o ncomprmbl che, come gà osserato, sono ettor energetc delle trasformazon. Rchamamo d seguto n modo sntetco le legg che goernano l'equlbro termodnamco d un sstema fludo e le relazon relate al trasporto ed allo scambo d massa ed energa. 2.1) Sstem termodnamc: condzon d'equlbro ed equazon d stato. Con sstema termodnamco s'ntende un nseme d punt materal nello spazo separato dal resto medante superfc d confne d dersa natura (olume d controllo). Il sstema è detto adabatco quando le superfc d confne non permettono lo scambo d energa termca con l esterno, anergco quando non è scambo d laoro con l esterno e chuso o aperto a seconda che la superfce d confne sa mpermeable o meno al flusso d matera; un sstema, chuso, anergco e adabatco è detto solato. Un sstema potrà essere, noltre, omogeneo o eterogeneo a seconda che sa costtuto da una o pù fas o sostanze chmche. Quando, n un determnato stante, le condzon nterne d un sstema solato rmangono costant, lo stesso s dce n equlbro termodnamco nel dato stante; nella termodnamca classca lo stato d equlbro d un sstema omogeneo solato è completamente ndduato dalla defnzone d tre parametr generalmente chamat arabl d stato e legat fra loro da relazon general dette equazon d stato. Le arabl d stato pù comunemente usate nello studo delle macchne sono la pressone p, la temperatura, l olume specfco, la massa olumca o denstà ρ, l'energa nterna u e l'entalpa h. Per la defnzone delle condzon d equlbro d un sstema eterogeneo sarà noltre necessaro conoscere le concentrazon e le fas de ders costtuent la mscela; un sstema eterogeneo costtuto da sostanze chmche della stessa fase può comunque essere trattato come un sstema omogeneo purché s facca rfermento a grandezze mede global e non a grandezze local. Quando lo stato d equlbro d un sstema è perturbato dall esterno e l sstema eole erso un ulterore stato d equlbro attraerso success stat ntermed che sano, a loro olta, stat d equlbro, allora le trasformazon da uno stato all'altro saranno dette trasformazon quas statche-reersbl (trasformazon nfntesme o nfntamente lente). al condzon non sono generalmente erfcate nelle macchne, doe al contraro s realzzano trasformazon molto eloc cu sono assocat effett dsspat e percò le trasformazon real sono dette anche rreersbl. Stat d'equlbro termodnamco e trasformazon quas statche reersbl sono rgorosamente rappresentabl su pan termodnamc ale a dre su pan cartesan defnt da due parametr termodnamc comunque scelt, ad esempo (p, ), (h, S) ecc.; non così, nece, per cò che concerne le trasformazon real, anche se, per ragon d utltà, è prass usuale la loro rappresentazone su un pano termodnamco medante una lnea cu punt, per quanto detto, non hanno alcun sgnfcato termodnamco. Per un sstema omogeneo, l'equazone che descre lo stato d'equlbro d un sstema può essere espressa nella forma generale: F p,ρ, ( ) = 0 (2.1) che, nel caso d flud ncomprmbl, s rduce a:

2 ρ = cost (2.2) In condzon lontane dalla saturazone, lqud real possono essere consderat con buona approssmazone flud ncomprmbl n un ampo campo d arazone della temperatura e della pressone. Per gas perfett, l'equazone d stato (2.1) assume la forma: pv = nr = m R (2.3) PM doe n = m/pm è l numero d mol, m la massa del gas contenuta nel olume V, PM l peso molecolare del gas e R = J/(kmole K) è la costante unersale de gas. Dalla (2.3) s deduce: p = R (2.4) ρ doe ρ = m/v è la denstà del gas e R = R/PM è la costante del gas (per l'ara secca PM = kg/kmole e R = 287 J/(kg K). Nella pratca, solo gas legger come l'drogeno, l'ossgeno, l'azoto, l'ara secca o gas nobl e n condzon operate lontane da quelle crtche, ale a dre a basse presson ed eleate temperature, soddsfano la (2.3) e possono, qund, essere consderat perfett nelle corrent applcazon nel campo delle macchne. Per gas che non obbedscano all'equazone de gas perfett, qual apor o gas d peso molecolare eleato, o per condzon prossme a quelle crtche, è possble utlzzare una relazone formalmente analoga alla (2.4): p = zr (2.5) ρ doe l coeffcente d comprmbltà z, che dpende dal gas, rappresenta l rapporto fra l olume specfco effetto e quello che l gas arebbe, alla stessa pressone ed alla stessa temperatura, nel comportamento d gas deale. Per un gas perfetto rsulta oamente z = 1 mentre lo scostamento d z dall untà costtusce un ndce per msurare l enttà dell effetto d gas reale. 5 Fg. 2.1 La molteplctà de comportament de gas real può essere noteolmente rdotta sulla base del prncpo degl stat corrspondent, secondo l quale sostanze derse, n stat termodnamc

3 6 caratterzzat da ugual alor delle grandezze rdotte, hanno un comportamento smle sa dal punto d sta olumetrco e sa da quello termco. In Fg. 2-1 è rportato l coeffcente d comprmbltà d alcune sostanze n funzone della pressone rdotta π=p/p c e della temperatura rdotta θ=/ c, doe con p c e c s sono rspettamente ndcate pressone crtca e temperatura crtca de gas. S può osserare che per π 0.2 e θ 1.3 s commettono error contenut consderando gas real come perfett. In alternata alla (2.5) s possono utlzzare altre e pù complesse equazon che tengono conto del olume propro delle molecole e delle forze ntermolecolar qual, ad es. quella d Van der Waals: p + a n 2 ( V nb) = nr V 2 doe a e b sono costant che dpendono dal gas. In genere, queste equazon sono rportate e parametrate n dagramm termodnamc qual ad es. l dagramma d Moller per l'acqua o per altre sostanze. 2.2) Energa nterna ed entalpa. Da un punto d sta fenomenologco, è defnta energa nterna una qualsas forma d'energa accumulable all'nterno d una sostanza e dpendente dalla struttura molecolare della matera: a una qualunque arazone della struttura molecolare (legame chmco, stato d'ecctazone delle molecole, forze d coesone, ecc.) sarà percò assocable, per defnzone, una arazone d'energa nterna che dpenderà soltanto dalla nuoa condzone d'equlbro raggunta e non dal cammno percorso (funzone d stato). Per ragon d charezza esplcata, è utle sudddere la arazone complessa d'energa nterna per untà d massa n una somma d ders possbl contrbut: du = du m + du f + du c + du p + du a + du rr (2.6) Il termne du m rappresenta la arazone d energa nterna assocata alla trasformazone d massa n energa a seguto d reazon nuclear e che non è messa n goco nelle ordnare applcazon. Il termne du c rappresenta la arazone dell'energa d coesone ed è assocata al cambamento dello stato d aggregazone delle molecole (passaggo d fase apore lqudo, lqudo soldo, ecc.). Il termne du f entra n goco ogn olta che aengano reazon chmche che trasformno un sstema chmcamente defnto da una data energa d formazone u f n un altro cu corrsponda un'altra u f.. Il quarto e qunto termne rappresentano rspettamente la arazone d'energa nterna douta ad un cambamento dello stato d polarzzazone delle molecole douto all'azone d camp magnetc e la arazone douta al cambamento dello stato d agtazone (ecctazone dello stato d moto) delle molecole. S può osserare che l mnmo lello energetco è quello n cu l'energa d agtazone è nulla e corrsponde allo stato n cu la temperatura del sstema è uguale allo zero assoluto (questa, n realtà, è la defnzone dello zero assoluto che è la temperatura cu corrsponde uno stato nullo d agtazone molecolare. L'ultmo termne du rr rappresenta, nfne, la degradazone d energa nterna per effetto delle resstenze passe che s manfesta nelle trasformazon real non quas statche reersbl. Per gas perfett, l'energa nterna è solo funzone della temperatura (legge d Joule), mentre per gas real è funzone sa della temperatura e sa della pressone. Poché le due forme u c e u a nterengono fenomenologcamente asseme, s usa ndcare semplcemente con u=u c +u a l'energa nterna (termca). S defnsce entalpa d un sstema la funzone d stato:

4 7 h = u + p ρ (2.7) che, per gas perfett, dene: h = u + R (2.8) Come per l'energa nterna, l'entalpa d un gas perfetto è funzone della sola temperatura, mentre quella d un gas reale sarà funzone sa della temperatura e sa della pressone. L'mportanza dell'entalpa nella pratca delle macchne a flusso contnuo sarà messa n edenza ne paragraf success. 2.3) Laoro e calore. E' detto laoro nterno L l'energa scambata da un generco sstema fludo e douta all'azone d forze nterne d superfce ad esso applcate. S defnsce laoro meccanco scambato con l'esterno L e (altrment detto semplcemente laoro esterno) l'energa scambata dalla massa fluda per effetto dell'azone d superfc d confne mobl o deformabl. Per un sstema che non scamba laoro con l'esterno (sstema anergco) sarà L e = 0 condzone che, come s edrà pù oltre, non mplca necessaramente L = 0. In generale, le forze che agscono su un elemento d massa fluda possono essere suddse n forze d olume e forze d superfce: le forze d olume s rducono essenzalmente al peso mg dell'elemento d massa m (con g s è ndcata l'accelerazone d gratà), mentre le forze superfcal s possono dstnguere n forze normal (forze d pressone) e forze tangenzal. Le prme operano per una dlatazone o compressone del sstema mentre le seconde laorano per uno scorrmento della superfce. Indcando con ds la superfce d contorno d un elemento nfntesmo d un generco olume d controllo dω, la forza superfcale nfntesma agente su ds sarà qund esprmble medante le relazon: df s = df n + df t = σdsn τds t = pdsn τds t (2.9) doe σ e τ sono, rspettamente, modul della componente normale (pressone) e tangenzale della rsultante degl sforz superfcal agent su ds, e n e t sono ersor, normale e tangenzale, caratterzzant la gactura d ds nello spazo. I segn " " stanno a ndcare che la pressone è dretta n senso contraro al ersore n, assunto posto se uscente dalla superfce d contorno (gl sforz normal contrastano la dlatazone), e che gl sforz scos s oppongono al momento. Per uno spostamento nfntesmo dz del barcentro della massa fluda m, nell'potes che alla scala delle macchne ndustral l'accelerazone d gratà s mantenga costante, l laoro elementare per untà d massa delle forze d olume sarà esprmble medante la relazone: dl g = g z dz = gdz = d( gz) (2.10) doe l segno " " sta a ndcare che ers d g e z sono oppost. E' consuetudne sudddere l laoro delle forze d pressone ne due contrbut: dl p = δl n +δl tr = pd dp doe con δl n s è ndcato l laoro d deformazone, con δl tr l laoro assocato al trasporto rgdo (laoro d pulsone) della massa fluda e con l olume specfco ; l smbolo δ sta ad ndcare che laor d dlatazone e d trasporto non sono funzon d stato ma dpendono dal cammno percorso e, qund, l loro dfferenzale non è un dfferenzale esatto. Per uno scorrmento relato, l laoro elementare douto agl effett scos sarà dato da: δl t = 1 dm τds t t dx = τd (2.11) Il laoro nterno δl t è trascurable per mot d flud a bassa scostà, come normalmente è nelle applcazon corrent delle macchne operant con ara o acqua.

5 8 Il laoro delle forze scose non a confuso con l'effetto dell'nterazone tra fludo e paret esterne d un condotto, comunemente detto laoro perso per attrto, n quanto, per quest'ultmo, non s tratta d laoro (la eloctà del fludo alle paret è nulla per l prncpo d aderenza) ma d un'alterazone del campo delle presson e delle sollectazon agent sul fludo. Gl effett dell'nterazone tra fludo e parete s manfestano come arazone (degradazone) d energa nterna "noble" du rr. Goa rmarcare che l laoro elementare delle forze d pressone è un dfferenzale esatto soltanto nel caso d regme d moto permanente e che tale propretà non è estendble a regm d moto aro qual quell che, normalmente, s producono nelle macchne. Analogamente a quanto fatto per l laoro, dstngueremo n calore (o energa termca) prodotto o generato all'nterno d un sstema Q e calore scambato con l'esterno Q e.; n generale s potrà screre: δq = δq +δq e (2.12) Con "calore generato all'nterno" s'ntende l calore sluppato dalla lberazone d una delle forme nobl d energa nterna a seguto d una reazone chmca, nucleare o d un passaggo d fase. Con "calore scambato con l'esterno" s'ntende l'energa scambata attraerso le paret d confne (real o deal) per effetto d una dfferenza d temperatura tra l'nterno del sstema e l'ambente esterno. Gl effett dello scambo d energa termca su parametr caratterzzant l'equlbro termodnamco d un sstema saranno dscuss pù aant, lmtandoc per ora a osserare che, per un sstema chuso e anergco, n assenza d reazon chmche e nuclear e n assenza d passagg d fase, lo scambo d energa termca con l'esterno proocherà arazon d temperatura e/o d pressone del sstema. 2.4) Calor specfc. In assenza d reazon chmche, nuclear o d passagg d fase, s defnsce calore specfco o capactà termca a olume costante l rapporto: c = δq e = du (2.13) d d Rnando alla teora cnetca de gas per un'anals pù approfondta, c lmtamo qu a rcordare che per gas perfett l calore specfco a olume costante è una funzone d stato che dpende dalla temperatura secondo relazon del tpo: c = A + B + C 2 + D 3 + (2.14) doe A, B sono costant dpendent dalla struttura della molecola. Per gas deal, calor specfc a olume costante dpendono solo dalla struttura molecolare della sostanza e precsamente algono: c = 3/2 R J/(kg K) per gas monoatomc c = 5/2 R J/(kg K) per gas batomc o polatomc a catena lneare c = 3 R J/(kg K) per gas tratomc a catena non lneare Nella realtà s comportano come deal gas monoatomc (gas nobl) o gas polatomc a basse presson e temperature eleate. Per gas real, l calore specfco c è una funzone d stato che dpende sa dalla temperatura che dalla pressone secondo relazon che possono essere scrtte nella forma: c (, p) = c 0 ( )+ Δc (, p) (2.15) doe c 0 è l calore specfco del gas corrspondente ad un olume specfco nfnto (gas perfetto), e Δc tene conto del contrbuto relato alle forze d'attrazone molecolare ed è genercamente proporzonale alla pressone ed nersamente proporzonale alla temperatura.

6 Sotto le medesme premesse pù sopra specfcate, s defnsce calore specfco o capactà termca a pressone costante l rapporto: c p = δq e = dh (2.16) d p d p Per gas perfett, tra calor specfc a pressone e a olume costante è possble rcaare la relazone: c p = dh = du d d p + dp ( ) d = c + R (2.17) nota come relazone d Mayer, dalla quale s deduce che, per un gas perfetto, l calore specfco a pressone costante dpende dalla temperatura nello stesso modo n cu dpende l calore specfco a olume costante. Introducendo l'esponente della trasformazone soentropca k = c p /c, dalla relazone d Mayer s ottene ancora: c p = k k 1 R = R (2.18) ϕ Per gas perfett k e ϕ dpenderanno dalla temperatura, mentre per gas deal sarà: k = 5/3 = 1.66 k = 7/5 = 1.4 k = 4/3 = 1.33 rspettamente per gas monoatomc, batomc e tratomc. Per gas real, s potranno screre per l c p relazon formalmente analoghe alla (2.15). Per flud d pù comune nteresse tecnco, dat relat a parametr termodnamc sono reperbl n tabelle o dagramm d orgne per lo pù spermentale, mentre per quell d cu non sano dsponbl dat s potrà fare rcorso alla legge degl stat corrspondent. A ttolo d'esempo, n fg. 2.2 sono rportat contrbut d gas reale Δc p /R n funzone della pressone e della temperatura rdotte. 9 Dalle relazon (2.13) e (2.16) sono mmedatamente deducbl le relazon che permettono l calcolo delle arazon d energa nterna e d entalpa tra un generco stato nzale ed uno fnale: f u f u = c d = c ( f ) f (2.19) h f h = c p d = c p ( f ) doe c e c p sono calor specfc med, rspettamente a olume e pressone costante, nell'nterallo d'ntegrazone Δ= f. Per lqud perfett (ncomprmbl) s defnsce un solo calore specfco, concdente con quello a olume costante; la arazone d'entalpa tra uno stato nzale ed uno fnale sarà data da: f h f h = Fg. 2.2 c d + ( p f p ) = c ( f ) + ( p f p )

7 10 Volendo rmarcare l derso peso de due termn nella relazone precedente, s può osserare che, supponendo l'acqua un lqudo perfetto con denstà par a 1000 kg/m 3, sarà necessara una arazone d pressone d crca 420 bar per produrre una arazone d temperatura par a 10 C. 2.5) Prmo prncpo della termodnamca. Per un sstema chuso e trasformazon nfntesme, l prncpo d conserazone dell'energa può essere scrtto nella forma: du t = δq δl e (2.19) n cu segn dpendono dalla conenzone d segno assunta (calore posto se entrante nel sstema e laoro posto se uscente) e doe s sono trascurate le arazon d energa cnetca e d energa potenzale gratazonale. In assenza d reazon chmche o nuclear e per trasformazon quas statche reersbl s ottene: du = δq e pd (2.20) e dalla defnzone dell'entalpa: dh = δq e + dp (2.21) Voglamo osserare che, n rtù del 1 prncpo, un sstema può scambare energa con l'esterno sotto forma d energa termca o d laoro ma, una olta che lo scambo sa aenuto, non è pù possble dstnguere "la forma" sotto cu l'energa è stata scambata, essendo comunque la arazone d energa nterna l'unco effetto fnale. Essendo l'energa nterna u una funzone d stato, dalla (2.19) per trasformazon cclche s ottene: δl e = δq e da cu l e = q e (2.22) che edenza l prncpo d equalenza dell'energa termca e dell'energa meccanca. Analogamente, per trasformazon n cu un sstema non ar l propro stato durante gl scamb d'energa meccanca e termca, s potrà screre: 2 2 δq 1 e δl 1 e = 0 (2.23) Un sstema che rcea energa meccanca dall'esterno (l e < 0) dee, qund, affnché l suo stato non camb, fornre all'esterno un'equalente quanttà d'energa termca (q e > 0). A ttolo d'esempo, consderamo una macchna adabatca per cu l cclo d laoro s possa pensare suddso nelle seguent fas: 1 a fase: asprazone alla pressone costante p 1 d una quanttà m d un generco fludo comprmble 2 a fase: compressone adabatca del fludo dalla pressone p 1 a una pressone p 2 > p 1 3 a fase: espulsone alla pressone costante p 2 della stessa quanttà m d fludo asprata La macchna e le derse fas sono rappresentate n fg. 2.3 Il laoro per untà d massa fornto dall'esterno (laoro all'asse) l e sarà dato dalla somma algebrca de sngol contrbut: fase 0-1: l 1 = p 1 1 entrante nel sstema con la massa asprata 2 2 fase 1-2: l 2 = pd = du = u 2 u 1 fatto sul sstema chuso 1 1 Fg. 2.3

8 fase 2-0: l 3 = p 2 2 uscente dal sstema con la massa espulsa. enendo conto delle conenzon d segno, s ottene: l e = l 1 l 2 + l 3 = p u 2 u 1 + p 2 2 = h 2 h 1 (2.24) I contrbut l 1 e l 3 sono laor d trasporto pù sopra rchamat e entrano n goco nella alutazone de laor scambat con l'esterno da sstem apert; come s può osserare dalla (2.24), ess sono mplctamente contenut nella arazone d'entalpa. Da quanto detto rsulta, qund, edente come l'uso dell'entalpa renda pù ageole l'anals delle macchne a flusso contnuo (sstem apert). 2.6) Secondo prncpo della termodnamca. Entropa. Secondo l 1 postulato entropco, per un qualsas sstema n condzon d'equlbro termodnamco è defnble una funzone termodnamca d stato detta entropa la cu arazone, per trasformazon reersbl, è data da: ds = δq (2.25) e dal 1 prncpo: du + pd dh dp ds = e ds = (2.26) relazon che prendono l nome rspettamente d 1 a e 2 a equazone d Gbbs. Per un sstema solato e n assenza d reazon chmche o nuclear, la arazone d entropa a seguto d una trasformazone qualsas è sempre posta e tende a zero per trasformazon reersbl: tale arazone è detta produzone d entropa o produzone entropca (2 postulato entropco). Scomponendo per comodtà d'esposzone la arazone d'entropa ne ders contrbut s potrà screre: ds = ds e + ds + ds rr doe con ds e = δq e / s è ndcata la arazone reersble d'entropa douta a scamb d calore con l'esterno, con ds = δq / la arazone reersble d'entropa per effetto d reazon chmche, nuclear o passagg d fase e con ds rr la arazone d'entropa douta alla degradazone d energa nterna per effetto delle resstenze passe. Poché per un sstema solato è δq e = 0, nel caso n cu sa anche δq = 0 s arà per l secondo postulato entropco: ds = ds rr = du rr > 0 Dall'enuncato del 2 postulato entropco dscende ancora che, se δq = 0, trasformazon adabatche deal sono anche soentropche. Essendo l'entropa una funzone d stato, è possble calcolarne la arazone per una qualsas trasformazone reale tra uno stato nzale e uno fnale, sosttuendo al processo reale un processo reersble fttzo che aenga tra gl stess stat nzal e fnal del processo reale. S consder, a ttolo d'esempo, un sstema chuso e adabatco che scamb laoro con l'esterno compendo una trasformazone rreersble. La (2.21) permetterà d determnare le condzon d'equlbro fnal caratterzzate da f,, e u f =u ± l e a seconda che l laoro sa entrante o uscente dal sstema. Consderando ora la trasformazone data come combnazone d una trasformazone socora, per la quale è l e = 0, e d un'soentropca, per la quale è Δs 2 = 0, che conduca allo stesso stato fnale della trasformazone reale; per la prma delle (2.26) s potrà screre: f du f d Δs = Δs 1 + Δs 2 = = c faclmente calcolable una olta nota la dpendenza del calore specfco dalla temperatura. 11

9 12 2.7) rasformazon poltropche. S defnsce poltropca una trasformazone quas statca-reersble n cu, lungo la trasformazone "x", è costante l calore specfco c x defnto come: c x = δq e (2.27) d x doe δq e' è l calore scambato con l'esterno lungo un elemento della poltropca. Per un'sobara sarà x = p = cost e c x = c p mentre per un'socora x==cost e c x = c. Per un'soterma è d = 0 e δq e ' 0 e c x = ± a seconda che l calore sa entrante o uscente dal sstema mentre per un'adabatca δq e' =0 e c x =0. Da quanto sopra detto s deduce che l calore specfco c x può assumere tutt alor compres tra + e. L'equazone generale delle poltropche che lega le arazon d pressone alle arazon d olume specfco può essere dedotta dalla (2.27) medante semplc passagg. enendo presente l 1 prncpo della termodnamca s otterrà: c x = du d + p d d = c + p d (2.28) d e dall'equazone d stato de gas perfett: pd + dp = Rd sosttuendo d nella (2.28)s rcaa: pd c x = c + R pd + dp da cu: R =1+ dp c x c pd e ancora: dp c x c R d p c x c enendo presente la relazone d Mayer (2.17) s ottene: dp p = c c x p d c x c = m d Integrando e tenendo presente le propretà de logartm s ottene nfne: p m = cost (2.29) doe m = (c x -c p )/(c x -c ) è l'esponente della poltropca. Per una trasformazone soterma sarà m=1, per un'sobara m=0, per un'socora m= e per un'soentropca m=c p /c =k, doe k è l'esponente dell'soentropca pù sopra rchamato. Dalla relazone (2.29) e dall'equazone d stato de gas perfett s rcaa con o passagg: m 1 = cost e 1 m p m = p = cost (2.30) doe s è operata la sosttuzone: ϕ = m 1 m 2.8) Scamb energetc lungo le trasformazon poltropche.

10 Data una generca trasformazone che eola da uno stato nzale ad uno fnale senza passagg d fase o qualsogla reazone chmca, possamo osserare che: - punt d nzo e fne trasformazone, che sono normalmente punt d'equlbro termodnamco, saranno legat dalla relazone (2.29): p m = cost - la arazone d'entalpa, essendo l'entalpa funzone d stato, per la 2 a delle (2.19) sarà data da: h f h = f c p d = c p ( f ) - l calore scambato con l'esterno lungo una poltropca che eola tra gl stess stat d'nzo e fne trasformazone per la (2.27) sarà: q e = f c x d = c x f ( ) - l laoro scambato con l'esterno lungo una poltropca che eola tra gl stess stat d'nzo e fne trasformazone sarà: l e = l e = f pd = p 1 m f m dp = p m 1 p f p f m 1 m 1 m 1 1 = R ϕ p f p ϕ per un sstema chuso (2.31) 1 per un sstema aperto (2.32) enendo presente l 1 prncpo della termodnamca e le defnzon d c p e c, la (2.31) può essere scrtta nella forma: e la (2.32) nella forma: l e = q e Δu = ( c x c )( f ) ( )( f ) l e = q e Δh = c x c p Concludamo queste note osserando che l' e e q' e concderanno rspettamente con l e e q e solo per trasformazon reersbl mentre saranno dfferent per generche trasformazon real n quanto l e e q e rsentranno degl effett delle rreersbltà. 13