Esercizi sugli ingranaggi

Транскрипт

1 Esercizi sugli ingranaggi 1. Profili di inviluppo (applicazione) I profili delle ruote dentate sono ottenibili come profili di inviluppo dell utensile dentiera che li genera. Due profili, curve nel piano o superfici nello spazio, si dicono coniugati per inviluppo se, durante il loro moto relativo, si mantengono tangenti tra loro e dunque la velocità relativa nel punto di contatto è ortogonale alla normale comune ai due profili. Sfruttando questa proprietà, attraverso l equazione di mesh (ingranamento), è possibile ottenere il profilo del fianco di un dente e dimostrare che esso è un evolvente di circonferenza, se il fianco della dentiera è rettilineo. y yf x " O1 O1P " R y1 O1O O#Of OP P!1! xf R! Figura 1: Moto relativo dentiera- ruota In Figura 1 è rappresentato uno schema del processo di taglio tramite dentiera e sono individuati tre sistemi di riferimento: il sistema fisso Ofxfyf; il sistema mobile solidale con la dentiera O1x1y1, che trasla rispetto al sistema fisso con velocità ωr; il sistema mobile solidale con la ruota Oxy, che ruota con velocità angolare. La curva σ1 è il profilo inviluppante e coincide con il fianco ω φ dell utensile, la curva σ è il profilo inviluppato, cioè il fianco della ruota tagliata, fin dove esiste materiale da tagliare (circonferenza di testa della ruota). La circonferenza di raggio R e la retta individuata con x1, ad essa tangente, sono le primitive del moto. Per determinare il profilo σ occorre: 1. definire il profilo inviluppante σ1 in funzione di un ascissa curvilinea s;. definire il moto relativo di O1x1y1 rispetto a Oxy; 3. descrivere la traiettoria di un generico punto di σ1 nel riferimento solidale alla ruota Oxy (questo, al variare di s, origina una famiglia di curve parametrizzate in φ); 1 1

2 4. risolvere l equazione di mesh, che definisce, per ogni valore del parametro del moto φ, quale o quali punti di σ1 (individuati dai rispettivi s) sono coniugati con σ. Il profilo inviluppante σ1 ha la seguente equazione parametrica: σ 1 : O 1 P ssin( α ) i 1 + s cos( α ) j 1 ( 1 ) dove α è l angolo di pressione di taglio, cioè l inclinazione del tagliente. La trasformazione di coordinate per passare da O1x1y1 a Oxy si può determinare proiettando i versori degli assi: i cos φ j sin φ ( ) i sin( φ) j ( ) i + cos( φ) j da cui segue, combinando le due relazioni: ; i j 1 j i 1 ( ) i 1 sin φ j 1 cos φ ( ) i cos( φ) j ( ) i sin( φ) j Definiamo anche il vettore OO1 necessario al cambiamento di coordinate: ( 3 ) O 1 Rφi 1 + Rj 1 ( 4 ) Per cui il generico punto P di σ1 ha la seguente traiettoria rispetto al sistema solidale alla ruota Oxy: O 1 P ssin( α ) i 1 + s cos( α ) j 1 P O 1 + O 1 P Rφi 1 + Rj 1 + ssin( α ) i 1 + s cos( α ) j 1 ( Rφ + ssin( α )) i 1 + ( R + s cos( α )) j 1 Rφ sin( φ) ssin( α )sin( φ) + Rcos( φ) + s cos( α )cos( φ) + Rφ cos( φ) ssin( α )cos( φ) Rsin( φ) s cos( α )sin( φ) ( Rφ sin( φ) + Rcos( φ) + s cos( α + φ) ) i + + Rφ cos( φ) Rsin( φ) ssin( α + φ) ( ) i + ( ) j ( ) j Occorre ora determinare la velocità relativa di P nel sistema : ( 5 ) v P1 v P1 v P d dt O 1 ω P ω Ri 1 i 1 0 Rφ + ssin α ( ) j 1 0 R + s cos α ( ) k 1 ω 0 ( 6 ) ( ) i 1 + ω ( Rφ ssin( α )) j ω s cos( α )

3 L equazione di mesh è la seguente: v P1 ( φ) n P1 s ( ) 0 ( 7 ) dove n P1 è un vettore normale al profilo σ1 nel punto P. Tale vettore vale: n P1 ( s) cos α ( ) i 1 sin( α ) j 1 ( 8 ) in cui si vede che, per la forma rettilinea di σ1, il vettore normale non dipende da s. L equazione di mesh diventa dunque: s cos ( α ) Rφ sin α ( ) + ssin ( α ) 0 s Rφ sin( α ) ( 9 ) Si è dunque individuata una condizione che permette di ridurre la famiglia di curve espressa dalla ( 5 ) in un unica curva, che è il profilo inviluppato σ1; sostituendo si ha: σ 1 : ( ( ) + Rcos( φ) + Rφ sin( α )cos( α + φ) ) i + ( ) Rsin( φ) Rφ sin( α )sin( α + φ) Q Rφ sin φ ( ) j ( 10 ) + Rφ cos φ dove Q è un generico punto appartenente a σ. Si noti che questa curva è unica poiché l equazione di mesh, per il problema affrontato, è lineare e dunque ha un unica soluzione: questo non è vero in generale, così come esistono delle condizioni di regolarità del profilo per applicare l equazione di mesh che non vengono approfondite in questa sede Figura : Taglio del fianco di un dente per inviluppo In Figura è rappresentato il processo di taglio per inviluppo e il profilo risultante: la curva blu è il profilo del tagliente σ1, raffigurato per φ0, la curva verde è la circonferenza primitiva (di taglio), le curve rosse sono trocoidi e sono 3

4 le traiettorie di alcuni punti di σ1, la curva nera è il profilo inviluppato σ. Si nota che la curva σ1 ha una singolarità in corrispondenza della circonferenza di base (non rappresentata): esistono quindi due rami dell evolvente, uno solo dei quali, individuato dalla presenza del materiale da asportare, viene effettivamente realizzato sulla ruota. La curva σ, inoltre, è un profilo teorico di inviluppo: solo un arco di essa viene effettivamente tagliato dall utensile. Tale arco è delimitato dalla circonferenza di testa della ruota e dall intersezione con la traiettoria dell estremità della dentiera più vicina alla ruota, nell ipotesi di assenza di raccordo di fondo della dentiera. Tale traiettoria, raffigurata in rosso più spesso, è effettivamente parte del profilo del dente e, nel caso in esame, si raccorda con continuità all arco di evolvente (nero). Quando questa continuità non c è, si ha il fenomeno del sottotaglio. Nel seguito si riporta il listato Matlab con il quale si può ottenere la Figura. function involute() clear all close all clc % Define parameters R1.; alpha0*pi/180; npos10; sveclinspace(-0.1,0.1,npos); phi-pi/4:0.01:pi/4; figure hold on axis equal theta0:0.01:*pi; plot(r*cos(theta),r*sin(theta),'g') % Plotting the rack [x,y]r(r,alpha,0,svec); plot(x,y,'b','linewidth',) % Plotting rack trajectories (trochoidal) for i1:npos [x,y]r(r,alpha,phi,svec(i)); plot(x,y,'r') end % Plotting the involute [x,y]rinvolute(r,alpha,phi) plot(x,y,'k','linewidth',) % Plotting the fillet trochoid (thick) [x,y]r(r,alpha,phi,svec(1)); plot(x,y,'r','linewidth',) end % function [x,y]r(r,alpha,phi,s) xr*phi.*sin(phi)+r*cos(phi)+s.*cos(alpha+phi); yr*phi.*cos(phi)-r*sin(phi)-s.*sin(alpha+phi); end 4

5 % function [x,y]rinvolute(r,alpha,phi) xr*phi.*sin(phi)+r.*cos(phi)+r.*phi.*sin(alpha).*cos(alpha+phi); yr*phi.*cos(phi)-r.*sin(phi)-r.*phi.*sin(alpha).*sin(alpha+phi); end. Ruote modulari Si vuole trasmettere una coppia di 150 Nm tra due alberi paralleli e distanti 136 mm. Trovare una coppia di ruote normali a denti diritti di modulo 4 mm che realizzi un rapporto di trasmissione 1:3. Quale sarà la coppia all albero lento? Se l ingranaggio funziona da riduttore e la velocità all albero di ingresso è di 5000 RPM, trovare la velocità dell albero di uscita e la potenza trasmessa. Soluzione Figura 3: Schema dell ingranaggio Lo schema della trasmissione sarà come in Figura 3: i due alberi sono paralleli e vincolati al carter mediante i cuscinetti rappresentati in figura. La loro distanza è a136 mm. L albero s1 trasmette la coppia T1150Nm all albero s, sul quale deve essere applicata una forza resistente T. Se il rapporto di trasmissione è 1:3, allora coppia e velocità angolare dell albero s si trovano come segue: n τn RPM RPM 3 T 1 τ T Nm 450Nm 1 3 ( 11 ) La relazione per il calcolo della velocità dell albero, in quanto relazione cinematica, è valida sempre, quella per il calcolo della coppia è valida a patto di trascurare la potenza perduta. Sempre in questa ipotesi vale il teorema di 5

6 conservazione dell energia meccanica e la potenza uscente è uguale alla potenza entrante, cioè: P IN T 1 150Nmπ kW P OUT T ω 1 τ T 1τ T 1 ( 1 ) Individuiamo ora una coppia di ruote in grado di realizzare il rapporto di trasmissione prescritto. Tale rapporto, in funzione del numero dei denti, vale: τ ω z ( 13 ) da cui segue che il rotismo si comporta da riduttore di velocità se il numero di denti della ruota 1 (pignone) è minore del numero di denti della ruota. Questa condizione di funzionamento è la più comune, in quanto sia nei motori elettrici che nei motori endotermici la potenza motrice è erogata a velocità elevate e coppie ridotte, mentre l utilizzatore richiede prevalentemente coppie elevate. Per ruote normali, il raggio della circonferenza primitiva Rp può essere espresso in funzione del modulo e del numero di denti: R p mz Mediante la ( 14 ) si può esprimere l interasse a come: ( 14 ) a R p1 + R p m ( z + ) ( 15 ) Che messa a sistema con la ( 13 ) fornisce la soluzione del problema: a m ( τz + z ) z a m( τ + 1) 136mm 4mm τz ( 16 ) In questo caso, la combinazione dei dati del problema ha prodotto numeri interi sia per z1 che per z; più in generale non è possibile realizzare sempre con esattezza un dato rapporto di trasmissione, e dunque ci si limita a cercare un rapporto ci trasmissione che sia prossimo ad esso e a realizzare correzioni di dentatura se è necessario portare la coppia a lavorare a gioco nullo (o assegnato) alla distanza corrispondente all interasse di progetto. Si ricorda che, per le proprietà dei profili a evolvente e la cinematica dell ingranamento, anche allontanando le ruote rispetto all interasse nominale si mantiene costante nel tempo il rapporto di trasmissione, condizione indispensabile per una trasmissione il più possibile morbida della potenza. 6

7 3. Ruote corrette Sulla stessa coppia di alberi dell esercizio precedente deve essere calettata una seconda coppia di ruote, in modo da realizzare una ulteriore riduzione di 1:4. Trovare una coppia di ruote normali a denti diritti di modulo 4 mm e angolo di pressione pari a 0 che realizzi un rapporto il più possibile vicino a quello richiesto. Trovare una coppia di ruote che realizzi esattamente il rapporto 1:4. Calcolare una combinazione di correzioni che realizzi la condizione di gioco nullo. Qual è il rapporto di riduzione complessivo del rotismo? Soluzione Figura 4: Schema del riduttore Le equazioni da verificare sono ancora le ( 16 ): z 4 a m( τ + 1) 136mm 4mm τz ( 17 ) da cui si verifica che non esiste una coppia di ruote normali che realizzi esattamente il rapporto di progetto. In figura, indichiamo con a l interasse di montaggio che si vuole realizzare. Verifichiamo che la coppia abbia interasse di taglio aa : a m + z 4 ( ) 4mm ( ) 136mm a' ( 18 ) quindi la è una coppia di ruote normali accettabile, a patto di accettare un rapporto di trasmissione τ34 pari a: 7

8 τ ( 19 ) cioè un errore del 5% sul rapporto di trasmissione. Se invece si vuole realizzare esattamente il rapporto 1:4, la coppia di ruote più vicina alle condizioni ( 17 ) è la Per essa, l interasse nominale sarebbe: ( ) 4mm ( ) 140mm ( 0 ) a m + z 4 che è maggiore dell interasse effettivo, dunque il gioco sarà negativo (interferenza). Se si vuole realizzare la condizione di gioco nullo, occorrerà introdurre una combinazione di correzioni x1 e x tale che: inv α acos α ( ) inv( α ) tan( α ) x + x 3 4 ( ) a'cos( α ') + z 4 ( 1 ) dove tutte le grandezze indicate con apice si riferiscono alle condizioni di lavoro e la funzione inv è definita come segue: inv( α ) tan( α ) α ( ) Dalla seconda delle ( 1 ) ricaviamo l angolo di pressione di lavoro: cos ( α ) a a' cos( α ) m ( + z ) 1 a' cos( α ) 4mm 1 π ( ) cos 0 136mm ( 3 ) da cui segue l angolo di pressione di lavoro: α arccos( ) ( 4 ) Dunque dalla prima delle ( 1 ) segue la somma di correzioni: ( x 3 + x 4 ) z + 4 tan( α ) inv ( α ) inv( α ) tan 0 π inv π 180 inv 0 π ( 5 ) 180 Ipotizzando di ripartire equamente le correzioni, si ottiene: v 3 v 4 x 3 + x 4 m mm 1.76mm ( 6 ) Il rapporto di trasmissione complessivo del rotismo sarà: 8

9 τ ω 4 ω 4 ω 3 ω 4 ω ω 3 ω 3 z 4 z ( 7 ) in cui si è fatto uso dell uguaglianza ω3ω poiché le due ruote sono sullo stesso albero. Si vede che il rapporto di trasmissione del treno di ingranaggi è il prodotto dei rapporti di trasmissione. 4. Sintesi di un rotismo epicicloidale Si richiede di dimensionare un rotismo planetario che realizzi un rapporto di trasmissione di 1/4 e nel quale l albero di ingresso e l albero di uscita abbiano lo stesso verso di rotazione. Soluzione Si ipotizza di utilizzare un rotismo planetario a 4 satelliti come in Figura 5. Figura 5: Catena cinematica di rotismo planetario con 4 pianeti Come primo passo, facciamo riferimento al rotismo ordinario realizzabile con la catena cinematica individuata. Esso è rappresentato in Figura 6: il portasatelliti 4 è bloccato, mentre il solare 1, i pianeti e la corona sono liberi di ruotare. Si ricorda che il rotismo è ordinario quando tutti gli assi di rotazione sono fissi. 9

10 Figura 6: Rotismo ordinario equivalente Il rapporto di trasmissione τ0 per il rotismo in figura è definibile in funzione del numero di denti procedendo come segue: τ 0 ω 3 ω 3 ω ω τ 3 τ 1 z z ( 8 ) in cui si sono introdotti i rapporti d ingranaggio τ1,τ13. Per studiare rotismi epicicloidali facendo uso della formula di Willis, tuttavia, è necessario considerare τ0 come quantità con segno. Per questo motivo, poiché dall analisi della Figura 6 risulta che ω1 e ω3 sono discordi, occorre assumere: τ 0 ω 3 ( 9 ) Figura 7: Rotismo planetario con corona bloccata Considerando ora uno dei possibili rotismi epicicloidali ottenibili dalla catena cinematica in Figura 5, quello avente la corona bloccata, si nota che gli assi di rotazione dei satelliti sono ora liberi di ruotare intorno al centro del solare. L albero di ingresso è il solare 1, l albero di uscita è il porta satelliti 4. Il rapporto di trasmissione τ si può dunque definire come: τ ω 4 ( 30 ) Ponendo un sistema di riferimento sul porta satelliti 4, è possibile ridefinire il rapporto di trasmissione del rotismo ordinario già visto in precedenza come: τ 0 ω 3R R ω 3 ω 4 ω 4 ( 31 ) dove le ω1 e ω3 ora sono nel riferimento solidale con la corona. La formula di Willis ( 31 ) deve essere ora trasformata per introdurre il rapporto di trasmissione τ del rotismo epicicloidale. Dividiamo dunque numeratore e denominatore per ω1 e ricordiamo che ω30 perché la corona è bloccata. 10

11 τ 0 ω 4 1 ω 4 τ τ ( 3 ) Si è quindi ottenuto il valore di τ0 tale da garantire il τ richiesto dal progetto. Combinando la ( 3 ) con la ( 9 ) si ottiene una relazione tra i numeri di denti di solare e corona, ( 33 ) che è la prima relazione per il dimensionamento. Rimane ora da determinare il numero di denti del pianeta : per fare ciò occorre imporre la condizione di montaggio del satellite, cioè che il raggio primitivo (di lavoro) della corona sia pari alla somma del raggio primitivo del solare e del diametro del satellite: R' p3 R' p1 + R' p ( 34 ) Se si ipotizza di lavorare con ruote normali e a gioco nullo, il raggio primitivo di lavoro coincide con il raggio primitivo, e questo può essere espresso in funzione del numero di denti nel modo seguente: p πm p π R p z R p mz ( 35 ) da cui segue la ( 34 ) espressa in funzione del numero di denti: + z ( 36 ) che è la seconda relazione di progetto. Occorre ora imporre che i pianeti possano essere montati equispaziati angolarmente l uno rispetto all altro. Questa condizione è verificata se la somma del numero di denti del solare e della corona è un multiplo del numero dei pianeti: + 4k, k ( 37 ) che è la terza relazione di progetto. La combinazione di numeri di denti z1, z, z3 deve dunque risolvere il seguente sistema: 3 + z + 4k, k ( 38 ) in cui si nota però che la prima condizione, valida per il rapporto τ1/4, verifica anche la terza, per cui essa è ridondante nel caso in esame. Occorre infine che la combinazione di numeri di denti scelta rispetti la condizione di non interferenza 11

12 di ingranamento e di taglio. A titolo di esempio, imponiamo solo la condizione di non interferenza di taglio, che per un valore dell angolo dei pressione di 0 impone un numero minimo di denti pari a 17. Assumendo tale valore per il solare, si ha: 17 z ( 39 ) Discutiamo ora la direzione delle velocità angolari relative indicate in Figura 7. Nel punto di contatto C tra le circonferenze primitive di corona e satellite, la velocità assoluta del satellite è zero, perché la corona è fissa. La velocità assoluta di C, mettendo un sistema di riferimento solidale con il satellite, può essere scritta come una velocità di trascinamento: v C v Ct + v Cr v Ct v O + ω C ω 4 O 1 + ω C ( 40 ) poiché tale velocità deve essere nulla, si ha: v C 0 ω 4 O 1 ω C ( 41 ) da cui si ricava che la velocità angolare del porta satelliti ha direzione contraria a quella del satellite e quindi concorde con quella del satellite. Lo stesso risultato poteva ottenersi mettendo un riferimento traslante in O e scrivendo la corrispondente velocità relativa di C. Questa osservazione permette anche di calcolare la velocità angolare del satellite ω. A questo scopo, è opportuno ottenere preliminarmente il rapporto τ in funzione del numero dei denti, risolvendo la ( 3 ): τ τ 0 τ ( ) z + z ( 4 ) dove si è anche introdotta la ( 33 ) e la relazione geometrica ( 36 ). A questo punto è sufficiente riscrivere la ( 41 ) in forma scalare, risolvere in ω: e sostituire con il valore di τ trovato. ω 4 O 1 ω C ω ω 4 O 1 C ω 4 R p1 + R p R p τ + z z τ z + 1 z + z z z + z z z 17 1 ( 43 ) 1

13 Si noti che si sarebbe potuto evitare il calcolo di τ in funzione del numero di denti, poiché esso è un dato del problema e vale ¼, tuttavia la formula ottenuta avrebbe avuto validità meno generale. Vediamo ora cosa si otterrebbe bloccando il solare invece della corona. Il rotismo sarebbe ancora un rotismo epicicloidale, perché gli assi dei pianeti sono liberi, l albero d ingresso potrebbe essere il portasatelliti 4 e l uscita la corona 3. Figura 8: Rotismo planetario con solare bloccato Il rapporto di trasmissione è definito come: τ ω 4 ω 3 ( 44 ) dove il segno meno si giustifica poiché le velocità di ingresso e uscita sono discordi. Per provarlo si può procedere come nel caso precedente, imponendo che la velocità del punto C appartenente al pianeta sia zero: v C ω 4 O 1 + ω C 0 ω 3 O 1 ω C ( 45 ) da cui la velocità angolare di satellite e porta satelliti devono essere discordi. Nell applicare le formula di Willis, occorre imporre ω30: τ 0 ω 3R ω 3 ω 4 ω 4 3 ω 4 ω 3 τ 1 1 R ω 4 ω 4 ω τ 1 5 ( 46 ) ω 3 4 dunque il problema è impossibile, in quanto τ0 è negativo per la ( 9 ). Supponiamo di assumere 3 come albero di ingresso e 4 come uscita, il rapporto di trasmissione, il rapporto di trasmissione sarà: da cui segue, applicando la formula di Willis: τ ω 3 ω 4 ( 47 ) 13

14 ω 3 τ 0 ω ω ω 4 1 τ ω ( 48 ) e il problema è analogamente impossibile. 14