Appunti per il corso di Modelli Matematici per il Marketing Management prof. D. Favaretto, a.a

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1 Appunti per il corso di Modelli Matematici per il Marketing Management prof. D. Favaretto, a.a In economia è spesso importante sapere quando una certa espressione raggiunge il suo massimo o il suo minimo (costo minimo, profitto massimo). L insieme degli strumenti matematici che permettono di affrontare questo tipo di problemi è noto come teoria dell ottimizzazione. Si distinguono problemi di ottimizzazione statica, in cui si considerano situazioni in un istante di tempo e si prescinde da qualunque variazione temporale, e problemi di ottimizzazione dinamica, in cui si considerano l evoluzione temporale delle grandezze coinvolte. I due tipi di problemi richiedono strumenti matematici differenti. Noi affronteremo solo problemi di ottimizzazione statica. Le parole chiave dell approccio che seguiremo, tipico nella disciplina nota come Ricerca Operativa, sono problema, modello e algoritmo. Il modello è una rappresentazione matematica del problema considerato. L algoritmo risolve il modello, cioè la rappresentazione matematica del problema, e quindi la soluzione fornita è la soluzione della rappresentazione matematica del problema e non del problema concreto. Può succedere che la validazione della soluzione (la soluzione fornita dall algoritmo può essere ritenuta una buona soluzione per il problema concreto?) porti a ridefinire o aggiustare il modello... (vedi figura 0) Un problema di ottimizzazione statica è un problema in cui, data una funzione f : R n R, si tratta di massimizzare o minimizzare f su un dato insieme X, X R n. La funzione f è detta funzione obiettivo, l insieme X è detto regione ammissibile e gli elementi di X sono detti soluzioni ammissibili. Se X = R n abbiamo a che fare con un problema di ottimizzazione libera, se invece X R n abbiamo a che fare con un problema di ottimizzazione vincolata (o programmazione matematica). Un generico problema di programmazione matematica si presenta come segue: max f(x) s.t.: x X oppure min f(x) s.t.: x X 1

2 Questi due problemi si possono scrivere equivalentemente: max{f(x) : x X} e min{f(x) : x X}. Tali problemi sono detti rispettivamente problema di massimizzazione e problema di minimizzazione. Una soluzione ottima del problema max{f(x) : x X} è un punto x X tale che f(x) f(y), y X. In tal caso x è anche detto punto di massimo (assoluto) per f su X e f(x) è detto massimo per f su X. Equivalentemente una soluzione ottima del problema min{f(x) : x X} è un punto x X tale che f(x) f(y), y X. In tal caso x è anche detto punto di minimo (assoluto) per f su X e f(x) è detto minimo per f su X. Ovviamente f ha massimo (minimo) assoluto su X se e solo se f(x) R ha massimo (minimo). Un punto x X si dice punto di massimo locale per f su X se f(x) f(y), y X B(x, ɛ), ɛ > 0. Un punto x X si dice punto di minimo locale per f su X se f(x) f(y), y X B(x, ɛ), ɛ > 0. Dato c R, si dice curva di livello c (o insieme di livello c) l insieme S c = {x R : f(x) = c}. 1 Alcuni risultati Non sempre un problema di ottimizzazione ha soluzione ottima. Esempio X = R +, f(x) = x, x X, f(x) = R +, supr + = +. Quindi il problema max{f(x) : x X} non ha soluzione. Esempio X = [0, 1], f(x) = x 2 + x, x X. 2

3 L equazione y = x 2 + x è l equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso. Il vertice x = 1 2 è il punto di massimo per la funzione f su X. Quindi il problema max{f(x) : x X} ha esattamente una soluzione: x = 1 2. Non sempre la soluzione ottima, se esiste, è unica. Esempio X = [ 1, 1], f(x) = x 2, x X. L equazione y = x 2 è l equazione di una parabola con la concavità rivolta verso l alto. Il vertice x = 0 è il punto di minimo per la funzione f su X. Quindi il problema min{f(x) : x X} ha esattamente una soluzione: x = 0. Invece gli estremi dell intervallo [ 1, 1], x 1 = 1 e x 2 = 1, sono punti di massimo per la funzione f su X. max{f(x) : x X} ha più di una soluzione: x 1 = 1 e x 2 = 1. Quindi il problema Ogni problema di massimo può essere rappresentato come un problema di minimo. Teorema 1 x è un punto di massimo per f su X se e solo se x è un punto di minimo per f su X. z = f(x) è un massimo per f su X se e solo se z è un minimo per f su X. Dim.: x è un punto di massimo per f su X se e solo se f(x) f(y), y X. x è un punto di minimo per f su X se e solo se f(x) f(y), y X. Poichè f(x) f(y), y X, se e solo se f(x) f(y), y X, allora la prima parte del teorema è dimostrata. La seconda parte segue dal fatto che ( f(x)) = f(x). Massimizzare la funzione f(x) equivale a massimizzare a + bf(x), a, b R, b > 0. Massimizzare la funzione f(x) equivale a minimizzare a + bf(x), a, b R, b < 0. Massimizzare la funzione f(x) equivale a massimizzare g(f(x)), con g funzione strettamente crescente. Teorema 2 Siano f : X R una funzione e g : R R una funzione strettamente crescente, cioè tale che x > y = g(x) > g(y). Allora x è un punto di massimo per f su X se e solo se x è un punto di massimo per g f su X. Dim.: 3

4 Supponiamo che x massimizzi f su X. Allora f(x) f(y), y X. Poiché g è strettamente crescente, allora g(f(x)) g(f(y)), y X, quindi x è punto di massimo anche per g f su X. Supponiamo ora che x massimizzi g f su X. Allora g(f(x)) g(f(y)), y X. Supponiamo per assurdo che x non sia punto di massimo per f; di conseguenza y X tale che f(x) < f(y ). Poiché g è strettamente crescente allora g(f(x)) < g(f(y )). Ovviamente ciò contraddice l ipotesi che x massimizzi g f su X. Quindi x è anche punto di massimo per f. 2 Alcuni esempi di problemi di ottimizzazione Massimizzazione dell utilità Un consumatore utilizza n beni in quantità non negative. Sia x i 0 il numero di unità del bene i utilizzate dal consumatore, i = 1, 2,..., n. Sia u : R n + R la funzione che esprime l utilità del consumatore proveniente dall utilizzo delle quantità x 1,..., x n dei beni 1,..., n. Sia I 0 la disponibilità economica del consumatore e sia p i 0 il costo unitario del bene i-esimo. La regione ammissibile del problema, cioè l insieme della quantità di beni che il consumatore può acquistare, è n B(p, I) = {x R n + : p x = p i x i I}. Il consumatore intende massimizzare la propria utilità, sempre restando nella regione ammissibile. Il problema da risolvere è max u(x) s.t.: x B(p, I). i=1 Minimizzazione del costo È il problema simmetrico della massimizzazione dell utilità. Dato il vettore dei prezzi p R n +, qual è la minima quantità di ciascun bene da acquistare in modo da raggiungere un livello di utilità prefissato u? La regione ammissibile è X(u) = {x R n + : u(x) u}. Il problema è min p x s.t.: x X(u). 4

5 Massimizzazione del profitto Consideriamo un azienda che produce le merci 1, 2,..., n nelle quantità x 1, x 2,..., x n, x i 0, i = 1,..., n. Il vettore x = (x 1, x 2,..., x n ) è detto piano di produzione. Sia f : R n + R la funzione che esprime il profitto che l azienda ottiene dal piano di produzione x. Supponiamo poi che le risorse disponibili per l attività produttiva dell azienda siano 1, 2,..., m nelle quantità b 1, b 2,..., b m. Sia g r : R n + R, per r = 1,..., m, la funzione che esprime quanto della risorsa r ciascun piano di produzione x richiede (g 4 (x) esprime quanto della risorsa 4, posseduta dall azienda nella quantità b 4, il piano di produzione x richiede). Supponiamo che l azienda desideri usare tutte le risorse a disposizione (forse poco realistico!) e voglia trovare il piano di produzione che, sotto queste condizioni, permetta di massimizzare il profitto. Il problema si formula nel modo seguente: max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g r (x 1, x 2,..., x n ) = b r, x i 0, i = 1, 2,..., n. 3 Diverse tipologie di problemi di ottimizzazione A seconda della struttura e delle proprietà delle funzioni in gioco si possono riconoscere diversi tipi di problemi di ottimizzazione statica. 3.1 Ottimizzazione libera Il problema max f(x) x R n, con f : R n R è un problema di ottimizzazione libera. 5

6 3.2 Programmazione classica Il problema max f(x) g(x) = b, con f : R n R, g : R n R m, b R m è un problema di programmazione classica. 3.3 Programmazione non lineare Il problema max f(x) g(x) b, x 0, con f : R n R, g : R n R m, b R m è un problema di programmazione non lineare. 3.4 Programmazione lineare Il problema max f(x) g(x) b, x 0, con f : R n R, g : R n R m, b R m e f e g funzioni lineari è un problema di programmazione lineare. Può essere formulato nel modo seguente: max c x Ax b, x 0, dove c R n e A è matrice m n. 4 Esistenza, ottimalità e unicità di una soluzione La teoria dell ottimizzazione ha principalmente due scopi: 6

7 trovare delle condizioni su f e su X che garantiscano l esistenza di soluzioni per il problema; caratterizzare l insieme delle soluzioni ottime fornendo: condizioni necessarie per l ottimalità, condizioni sufficienti per l ottimalità, condizioni che garantiscano l unicità della soluzione. Il seguente teorema (che non dimostreremo) fornisce condizioni sufficienti per l esistenza di una soluzione ottima. Teorema di Weierstrass Sia X R n un insieme compatto. Sia f : X R una funzione continua su X. Allora la funzione f ammette massimo e minimo assoluto su X, cioè x 1, x 2 X tali che f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x X. È evidente che se le condizioni del teorema di Weierstrass non sono soddisfatte, il teorema non dice nulla sull esistenza di una soluzione ottima. Esempio 1 X = R, f(x) = x 3, x X, f è continua, X non è compatto. Poiché f(x) = R, f non ha né massimo né minimo assoluti su X Esempio 2 X = R, f(x) = x 2, x X, f è continua, X non è compatto. Poiché f(x) = [0, + ), f ha minimo assoluto su X, ma non ha massimo assoluto su X. Esempio 3 { 0, se x = 1, x = 1, X = [ 1, 1], f(x) = x, se 1 < x < 1. f non è continua in x = 1 e in x = 1, X è compatto. Poiché f(x) = ( 1, 1), f non ha né massimo né minimo assoluto su X. Esempio 4 { 1, se x Q X, X = R +, f(x) = 0, altrimenti. f non è continua, X non è compatto. Tuttavia, poiché f(x) = {0, 1}, f ha sia massimo che minimo assoluti su X. Dunque, se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass allora esistono un punto di massimo e un punto di minimo assoluti. Se una o più ipotesi del teorema di Weierstrass 7

8 non sono soddisfatte, un punto di massimo e un punto di minimo possono esistere oppure no: dipende dal problema considerato. Per caratterizzare l insieme delle soluzioni ottime fornendo condizioni necessarie per l ottimalità, condizioni sufficienti per l ottimalità, condizioni che garantiscano l unicità della soluzione, è necessario distinguere tra i diversi problemi di programmazione matematica che si possono presentare. 8

9 5 Ottimizzazione libera Consideriamo il generico problema max f(x) x R n con f C 2 (R n ). Vediamo delle condizioni necessarie del primo e del secondo ordine e delle condizioni sufficienti affinché un punto x R n sia punto di massimo locale. Questo tipo di problemi, in cui le variabili decisionali possono assumere qualunque valore, si presentano raramente nella realtà: quasi sempre le variabili decisionali devono assumere valori non negativi (quantità di denaro da investire, quantità di merce ordinata,...) o interi (numero di unità da produrre, numero di persone da contattare,...) o sono soggette a vincoli particolari (vincoli di budget,...). Tuttavia i problemi vincolati sono una naturale estensione dei problemi non vincolati, e quindi questi ultimi sono problemi importanti da studiare. Prime di vedere condizioni necessarie e sufficienti per l ottimalità bisogna ricordare alcuni nozioni e risultati che saranno utili in seguito. 5.1 Classificazione di matrici quadrate Definizione La matrice A di ordine n è detta: definita positiva se x Ax > 0, x R n, x 0; definita negativa se x Ax < 0, x R n, x 0; semidefinita positiva se x Ax 0, x R n ; semidefinita negativa se x Ax 0, x R n ; indefinita se esistono x 1 e x 2 tali che x 1Ax 1 > 0 e x 2Ax 2 < 0. Data una matrice quadrata A n n si definisce minore di ordine k di A il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine k di A, ottenuta prendendo gli elementi comuni a k righe e a k colonne di A. Se le k righe e le k colonne di A hanno gli stessi indici, il minore si dice principale. Si dice infine minore principale di guida di ordine k di A, il minore di ordine k ottenuto prendendo le prime k righe e le prime k colonne di A. 9

10 Esempio Consideriamo la matrice I minori principali di guida sono: 1 (di ordine 1) det 1 0 = 0 (di ordine 2) det = 0 (di ordine 3) det(a) = 2 (di ordine 4) Gli altri minori principali sono: A = , -1, 1 (di ordine 1) det 1 1 = 2, det 1 0 = 1, det 0 0 = 0, det 0 1 = 1, det 1 0 = 1 (di ordine 2) det = 1, det = 2, det = 1 (di ordine 3) Proposizione La matrice A di ordine n è: definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida della matrice A sono positivi; definita negativa se e solo se tutti i minori principali di guida di A di ordine dispari sono negativi e se tutti i minori principali di guida di A di ordine pari sono positivi; semidefinita positiva se e solo se tutti i minori principali della matrice A sono non negativi; semidefinita negativa se e solo se tutti i minori principali di A di ordine dispari sono non positivi e se tutti i minori principali di guida di A di ordine pari sono non negativi; 10

11 indefinita in tutti gli altri casi. La matrice dell esempio precedente è indefinita. Esempio Consideriamo la matrice A = I minori principali di guida sono: 1 < 0 (di ordine 1) det 1 1 = 1 > 0 (di ordine 2) 1 2 det(a) = 2 < 0 (di ordine 3) Essa risulta definita negativa. 5.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l ottimalità Condizioni necessarie del primo ordine Se x R n è un punto di massimo (minimo) locale per f allora f(x ) = 0. Condizioni necessarie del secondo ordine Se x R n è un punto di massimo (minimo) locale per f allora la matrice hessiana della funzione f calcolata in x, H(x ), è semidefinita negativa (positiva). Condizioni sufficienti Se f(x ) = 0 e la matrice hessiana della funzione f calcolata in x, H(x ), è definita negativa (positiva) allora x R n è un punto di massimo (minimo) locale per f. Si ricorda che e H(x) = f(x) = ( f (x), f (x),..., f ) (x) x 1 x 2 x n 2 f x 2 1 (x) 2 f x 2 x 1 (x) 2 f x 1 x 2 (x)... 2 f x 2 2 (x)... 2 f x 1 x n (x) 2 f x 2 x n (x) f x n x 1 (x) 2 f x n x 2 (x)... 2 f x 2 n (x) 11

12 5.3 Esercizi Si verifichi che 1) f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2 ha (0, 0) come punto di massimo assoluto. 2) f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = (x 1 1) 4 + (x 2 + 3) 2 4 ha (1, 3) come punto di minimo assoluto. 3) f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = (x 1 2) 2 x 2 2 ha i punti sulle rette x 1 = 2 e x 2 = 0 come punti di massimo assoluto. 4) f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = 2x x 1 x 2 2 6x 1 ha punto di massimo ( 1, 0) e punto di minimo (1, 0). 5) f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 1(x 1 x 2 ) ha i punti dell insieme {(0, x 2 ) : x 2 > 0} come punti di massimo relativo e i punti dell insieme {(0, x 2 ) : x 2 < 0} come punti di minimo relativo. 12

13 6 Programmazione classica Un problema di programmazione matematica si dice di programmazione classica se la regione ammissibile X è completamente descritta da un insieme di uguaglianze: X = {x R n : g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,..., g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m }. Il problema di massimizzazione si presenta nella forma: max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m. oppure, in modo compatto, max f(x) g(x) = b, dove x = (x 1, x 2,..., x n ), b = (b 1, b 2,..., b m ), g(x) = (g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x)). Il problema di massimizzazione del profitto che abbiamo presentato prima, a meno dei vincoli di non negatività, è un problema di programmazione classica. Supponiamo che la funzione obiettivo f(x) e che le funzioni di vincolo g i (x), i = 1,..., m, siano continue e abbiano derivate parziali prime continue e che il numero n delle variabili decisionali sia superiore al numero m dei vincoli. La differenza n m rappresenta il numero di gradi di libertà del problema. Dato che in un problema di programmazione classica compaiono m vincoli di uguaglianza g i (x) = b i, i = 1,..., m, si può cercare di usare tali equazioni per scrivere m variabili (supponiamo le prime m) in funzione delle altre n m: x 1 = ϕ 1 (x m+1,..., x n ), x 2 = ϕ 2 (x m+1,..., x n ),... x m = ϕ m (x m+1,..., x n ) 13

14 ed eliminare dalla funzione obiettivo tali m variabili. Si ottiene così un problema di ottimizzazione non vincolata: max{f(ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ m, x m+1,..., x n )} = max{h(x m+1,..., x n )}, dove la funzione h è stata ottenuta dalla funzione f utilizzando gli m vincoli del problema vincolato per eliminare le prime m variabili. Se le ipotesi del teorema della funzione implicita sono verificate, allora tale eliminazione può essere eseguita. Teorema del Dini (o della funzione implicita) per funzioni in due variabili Sia g : A R, A R 2 aperto. Supponiamo che g e g x 2 siano continue in A; nel punto x = (x 1, x 2 ) risulti g(x) = 0 e g x 2 (x) 0. Allora esistono un intorno I di x 1 e un unica funzione ϕ : I R, continua in I, tale che ϕ(x 1 ) = x 2 e inoltre g(x 1, ϕ(x 1 )) = 0 per ogni x 1 I. Se poi g x 1 ha derivate parziali continue in A, allora ϕ è derivabile e vale la formula per ogni x 1 I. ϕ (x 1 ) = g x 1 (x 1, ϕ(x 1 )) g x 2 (x 1, ϕ(x 1 )) Purtroppo tale teorema è solo un teorema di esistenza e non offre indicazioni su come ottenere tale eliminazione. In alcuni casi questa è evidente, in altri invece no. Esempio 1 Risolvere min {x 2 1 x x 3 )} x 1 + x 2 = 10, 3x 2 x 3 = 4. Nel primo vincolo si può esplicitare x 1 in funzione di x 2 : x 1 = ϕ 1 (x 2 ) = 10 x 2. 14

15 Nel secondo vincolo si può esplicitare x 3 in funzione di x 2 : x 3 = ϕ 2 (x 2 ) = 3x 2 4. Sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene: min{f(x)} = min{f(ϕ 1, x 2, ϕ 2 )} = min{h(x 2 )} = min{(10 x 2 ) 2 x (3x 2 4)}. A questo punto è evidente che il minimo della funzione h, se esiste, può essere facilmente determinato. Esempio 2 Risolvere il problema max/min {x 1 x 2 x 2 1 x } x 1 + x 2 1 = 0. Nel vincolo si può esplicitare x 2 in funzione di x 1 : x 2 = ϕ(x 1 ) = x Sostituiamo x 2 = ϕ(x 1 ) in f(x 1, x 2 ): h(x 1 ) := f(x 1, ϕ(x 1 )) = x 1 ( x 1 + 1) x 2 1 ( x 1 + 1) = = x x 1 x 2 1 x x = = 3x x Troviamo max/min {h(x 1 )} x 1 R. h(x 1 ) = 3x x è l equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso: è inferiormente illimitata = h(x 1 ) non ha minimo = f(x 1, x 2 ) non ha minimo; è superiormente limitata = x 1 = 1 2 è punto di massimo per h(x 1) = (x 1, x 2) = ( 1 2, 1 2 ) è punto di massimo assoluto per f(x 1, x 2 ). Esempio 3 (per casa) Risolvere il problema max {2x(y 1) 2 + (x 2) 2 } 3x + y = 2. 15

16 Esempio 4 Risolvere il problema max/min {(x 5) 2 + (y 3) 2 } 3x + 2y = a, a R. Nel vincolo si può esplicitare x in funzione di y: x = ϕ(y) = a 2y. Sostituiamo x = ϕ(y) in f(x, y): h(y) := f(ϕ(y), y) = (a 2y 5) 2 + (y 3) 2 = = a 2 + 4y ay + 20y 10a + y 2 6y + 9 = = 5y 2 + (14 4a)y + a 2 10a Troviamo max/min {h(y)} y R. Essendo h (y) = 10y a, si ha h (y) = 0 se e solo se y = 7 2a 5 ; h (y) > 0 se e solo se y > 7 2a 5. Di conseguenza y = 7 2a 5 è punto di minimo assoluto per h e quindi (x = a+14 5, y = 7 2a 5 ) è punto di minimo assoluto per f. La funzione h è invece superiormente illimitata e quindi tale è la funzione f. Esempio 5 Risolvere min {x 1 x 2 + x 3 } sin(x 1 )e x 1 + e x 2 log(x 2 ) = 1, x 2 sin(x 2 ) e x 3 log(x 3 ) = 2. È evidente che è impossibile esplicitare qualcuna delle variabili in funzione delle altre nei due vincoli. In questo caso si deve necessariamente ricorrere ad altri metodi. 16

17 6.1 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Per introdurre il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consideriamo dapprima il caso in cui il problema abbia due variabili (n=2) e un solo vincolo (m=1): max {f(x 1, x 2 )} g(x 1, x 2 ) = b. Siano f, g C 1 e, dato x 0 = (x 01, x 02 ) D f D g, x 0 punto interno, supponiamo che almeno una delle due derivate parziali prime della funzione g sia non nulla in x 0 ; supponiamo per esempio che g x 2 (x 0 ) 0. Per il teorema della funzione implicita esiste un intorno di x 01, I(x 01, δ), tale che x 1 I(x 01, δ) è possibile esplicitare l equazione g(x 1, x 2 ) = b in termini di x 2 in modo che si possa scrivere x 2 = ϕ(x 1 ). Dunque per ogni x 1 tale che x 1 x 01 < δ si può eliminare x 2 dalla funzione f(x 1, x 2 ). Si ottiene allora f(x 1, ϕ(x 1 )) = h(x 1 ). Se la funzione f ha un punto di massimo relativo in x 0 = (x 01, x 02 ), con g(x 0 ) = b, allora la funzione h assume un punto di massimo relativo in x 01, cioè deve esistere δ 0, δ 0 < δ, tale che x 1 I(x 01, δ 0 ) si ha h(x 1 ) = f(x 1, ϕ(x 1 )) f(x 01, ϕ(x 01 )) = h(x 01 ). Allo stesso modo, se la funzione f ha un punto di minimo relativo in x 0 = (x 01, x 02 ), con g(x 0 ) = b, allora la funzione h assume un punto di minimo relativo in x 01, cioè deve esistere δ 0, δ 0 < δ, tale che x 1 I(x 01, δ 0 ) si ha h(x 1 ) = f(x 1, ϕ(x 1 )) f(x 01, ϕ(x 01 )) = h(x 01 ). Per il teorema della funzione implicita la funzione x 2 = ϕ(x 1 ) è derivabile x 1 I(x 01, δ) e in x 01 ha derivata ϕ (x 01 ) = x 1 g x 1 (x 0 ) g x 2 (x 0 ). Quindi anche la funzione h(x 1 ) = f(x 1, ϕ(x 1 )) è derivabile in tale intorno e se x 01 è punto di massimo o di minimo, h deve avere derivata nulla in x 01 : h x 1 (x 01 ) = 0. Usando la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene In x 0 = (x 01, x 02 ): h = f + f ϕ = f f x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 h (x 01 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) x 1 x 1 x 2 17 g x 1. g x 2 g x 1 (x 0 ) g x 2 (x 0 ) = 0.

18 Inoltre è ovviamente vera la relazione Allora, posto f (x 0 ) f (x 0 ) x 2 x 2 λ = f x 2 (x 0 ) g x 2 (x 0 ), g x 2 (x 0 ) g x 2 (x 0 ) = 0. se x 0 = (x 01, x 02 ) è un punto di massimo o di minimo relativo (vincolato) per f valgono le seguenti condizioni (condizioni necessarie): f (x 0 ) λ g (x 0 ) = 0, x 1 x 1 f (x 0 ) λ g (x 0 ) = 0, x 2 x 2 g(x 0 ) = b. Tali equazioni hanno come incognite le variabili x 01, x 02, λ. Esse ovviamente valgono se sono soddisfatte le ipotesi del teorema della funzione implicita e quindi in particolare le derivate parziali della funzione di vincolo g non si annullano contemporaneamente in x 0 = (x 01, x 02 ). Tali equazioni si ricavano anche scrivendo le condizioni necessarie del primo ordine per un punto stazionario della funzione L(x 1, x 2, λ) = f(x 1, x 2 ) + λ[b g(x 1, x 2 )]. La funzione L è detta funzione Lagrangiana e la variabile λ è detta moltiplicatore di Lagrange. Quanto descritto finora può essere riassunto nella seguente proposizione. Proposizione (condizioni necessarie, 2 variabili, 1 vincolo) Consideriamo il problema max f(x 1, x 2 ) g(x 1, x 2 ) = b. Supponiamo che f, g C 1 (R 2 ). Supponiamo che x 0 R 2 sia un punto di massimo o minimo relativo per tale problema e che g x 2 (x 0 ) 0 (condizione che serve per poter applicare il teorema della funzione implicita). Si consideri la funzione Lagrangiana L(x 1, x 2, λ) = f(x 1, x 2 ) + λ[b g(x 1, x 2 )]. Allora esiste λ 0 per cui le derivate parziali prime della funzione Lagrangiana si annullano in (x 0, λ 0 ): 18

19 L (x 0, λ 0 ) = f g (x 0 ) λ 0 (x 0 ) = 0, i = 1, 2; x i x i x i L λ (x 0, λ 0 ) = b g(x 0 ) = 0. Si osservi che le condizioni che si annullino le derivate di L rispetto a λ coincidono con la condizione che sia soddisfatto il vincolo. Un problema di programmazione classica avente due variabili decisionali (n=2) e un vincolo (m=1) può essere interpretato geometricamente nel modo seguente. Rappresentiamo sul piano cartesiano Ox 1 x 2 il vincolo g(x 1, x 2 ) = b e le linee di livello della funzione obiettivo f(x 1, x 2 ). Per esempio siano f(x 1, x 2 ) = (x 1 1) 2 + (x 2 1) 2, g(x 1, x 2 ) = x x 2 2, b=4. (VEDI FIGURA 1) La funzione Lagrangiana è L(x 1, x 2, λ) = (x 1 1) 2 + (x 2 1) 2 + λ[4 x 2 1 x 2 2]. Le condizioni del primo ordine per un punto stazionario della funzione L sono le seguenti: L x 1 = 2(x 1 1) 2λx 1 = 0, L x 2 = 2(x 2 1) 2λx 2 = 0, L λ = 4 x2 1 x 2 2 = 0. Risolvendo il sistema si ottengono le seguenti due soluzioni: (x 1 = 2, x 2 = 2, λ = ) e (x 1 = 2, x 2 = 2, λ = ). La prima corrisponde al punto P 1 (che è punto di minimo) e la seconda corrisponde al punto P 2 (che è punto di massimo). Si osservi che, in corrispondenza di ciascun punto stazionario individuato, la pendenza della funzione che definisce il vincolo coincide con la pendenza della curva di livello della funzione obiettivo che passa per quel punto. Questa è immediata conseguenza della condizione f (x 0 ) f (x 0 ) x 1 x 2 g x 1 (x 0 ) g x 2 (x 0 ) = 0 da cui f x 1 (x 0 ) f x 2 (x 0 ) = g x 1 (x 0 ) g x 2 (x 0 ). 19

20 Questa condizione esprime il fatto che i vettori gradienti della funzione f e della funzione g calcolati in x 0 sono paralleli. Vediamo ora come formulare questo risultato nel caso che il problema abbia n variabili e m vincoli. Proposizione (condizioni necessarie) Siano f, g C 1. Consideriamo il problema max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m. Supponiamo che x 0 sia un punto di massimo o minimo relativo per tale problema e che la matrice formata dalle derivate parziali prime delle funzioni di vincolo calcolate in x 0 abbia rango m (condizione - condizione di qualificazione dei vincoli - che serve per poter applicare il teorema della funzione implicita). Si consideri la funzione Lagrangiana L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f(x 1,..., x n ) + m λ k [b k g k (x 1,..., x n )]. Allora esiste un vettore λ 0 = (λ 01,..., λ 0m ) per cui le derivate parziali prime della funzione Lagrangiana si annullano in (x 0, λ 0 ): L (x 0, λ 0 ) = f (x 0 ) x i x i m k=1 k=1 λ 0k g k x i (x 0 ) = 0, i = 1,..., n; L λ k (x 0, λ 0 ) = b k g k (x 0 ) = 0, k = 1,..., m. Si osservi che le condizioni che si annullino le derivate di L rispetto a λ k coincidono con le condizioni che siano soddisfatti i vincoli. Esempio Consideriamo il problema di Massimizzazione del profitto visto sopra (in cui trascuriamo i vincoli di non negatività per le variabili): max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, 20

21 g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m, dove x = (x 1,..., x n ), i = 1,..., n, è il vettore piano di produzione (x i è la quantità di merce i-esima prodotta); f : R n + R è la funzione che esprime il profitto dell azienda; b = (b 1,..., b m ) sono le quantità di risorse 1, 2,..., m disponibili per l azienda; g r : R n + R, r = 1,..., m, esprime quanto della risorsa r ciascun piano di produzione richiede. Nel formulare il problema si era fatta l ipotesi che l azienda desiderasse usare tutte le risorse a disposizione. Si era anche fatto osservare che era un ipotesi poco realistica. Supponiamo allora di non fare questa ipotesi e sia b r g r (x 1,..., x n ) la quantità che, volendo produrre (x 1,..., x n ), avanza della risorsa r (se positiva) o che l azienda deve procurarsi dall esterno (se negativa). Sia λ r il prezzo di mercato della risorsa r (quantità fissata esogenamente, per ora). Allora la quantità λ r [b r g r (x)] rappresenta la correzione da apportare al profitto volendo tener conto dell eventuale compravendita della risorsa r-esima. Il profitto corretto risulta allora L(x) = f(x) + λ 1 [b 1 g 1 (x)] λ m [b m g m (x)] = f(x) + λ [b g(x)]. Si tratta ora di massimizzare la funzione L(x), il profitto dell azienda corretto con il contributo della compravendita delle risorse, senza alcun vincolo. Supponiamo ora che il vettore dei prezzi delle risorse λ non sia fissato ma sia una variabile che sceglierà un avversario dell azienda (il mercato). Allora il profitto dell azienda corretto con il contributo della compravendita delle risorse diventa una funzione non solo di x (volumi di produzione delle merci) ma anche di λ (prezzi delle risorse): L(x, λ) = f(x) + λ [b g(x)]. Ovviamente chi sceglierà il valore dei prezzi delle risorse lo farà nel modo più sfavorevole all azienda: se l azienda ha bisogno di una risorsa il prezzo corrispondente sarà molto alto; viceversa, se l azienda ha un eccedenza di risorsa, la controparte si inventerà un prezzo di vendita negativo per le risorse che l azienda vuole vendere (una sorta di tassa di smaltimento). È evidente allora che è disincentivata ogni violazione del vincolo g(x) = b. D altra 21

22 parte, essendo L funzione affine di λ, spingendo λ r a se b r g r (x) > 0 e a + se b r g r (x) < 0, si può spingere L a. Allora è opportuno che le differenze b r g r (x) siano tutte nulle, cioè all azienda non conviene avere né avanzi né deficienze di risorse e quindi il piano di produzione che si sceglierà soddisferà i vincoli del problema originario. In pratica l azienda sceglierà x e il mercato (ostile) sceglierà in modo che il risultato per l azienda sia massimo rispetto a x e minimo rispetto a λ: min λ max L(x, λ). x Vediamo ora delle condizioni sufficienti per un punto di massimo o minimo del problema considerato. Proposizione (condizioni sufficienti) Siano f, g C 2. Consideriamo il problema max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m. Supponiamo che x 0 R n sia tale che la matrice formata dalle derivate parziali prime delle funzioni di vincolo calcolate in x 0 abbia rango m (condizione - condizione di qualificazione dei vincoli - che serve per poter applicare il teorema della funzione implicita) e tale che esiste un vettore λ 0 = (λ 01,..., λ 0m ) per cui le derivate parziali prime della funzione Lagrangiana si annullano in (x 0, λ 0 ): L x i (x 0, λ 0 ) = 0, i = 1,..., n; L λ k (x 0, λ 0 ) = 0, k = 1,..., m. Sia Ĥ(x 0, λ 0 ) la matrice Hessiana (m + n) (m + n) associata alla funzione Lagrangiana 22

23 (matrice hessiana orlata) calcolata in (x 0, λ 0 ): g 1 x 1... g 1 x n Ĥ(x 0, λ 0 ) = gm x 1... gm x n g 1 x 1... g m 2 L x 1 x L x 1 x n g1 x n... gm 2 L x n x n x L x 2 n Consideriamo i minori principali di guida di ordine k, Ĥ k (x 0, λ 0 ), per k = 2m + 1, 2m + 2,..., m + n. a) Se Ĥk(x 0, λ 0 ) hanno segno alterno a partire da sgn(ĥ2m+1(x 0, λ 0 )) = sgn(( 1) m+1, allora x 0 è punto di massimo relativo. b) Se Ĥk(x 0, λ 0 ) hanno segno uguale a sgn(( 1) m ), allora x 0 è punto di minimo relativo. Esempio Risolvere il problema max/min x 2 1x 3 2x 2 x 3 x 1 + x 3 = 3, x 2 x 3 = 2. Utilizziamo due metodi. 1) Per sostituzione Dal primo vincolo si ha x 3 = 3 x 1. Sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene: max h(x 1 ) = max x 2 1(3 x 1 ) 4, ricordando che x 3 = 3 x 1 e che x 2 x 3 = 2. I punti stazionari di h(x 1 ) = x x sono x 1 = 0 e x 1 = 2. Poiché h (0) = 6 > 0 e h (2) = 6 < 0, allora x 1 = 0 è punto di minimo relativo per h e x 1 = 2 è punto di massimo relativo per h. Attenzione che sono solo relativi, infatti lim x1 h(x 1 ) = + e lim x1 + h(x 1 ) =. Di conseguenza x = (0, 2/3, 3) è punto di minimo relativo per f e x = (2, 2, 1) è punto di massimo relativo per f. 23

24 2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Scriviamo la funzione Lagrangiana: L(x 1, x 2, x 3, λ 1, λ 2 ) = x 2 1x 3 2x 2 x 3 + λ 1 [3 x 1 x 3 ] + λ 2 [2 x 2 x 3 ]. Le condizioni necessarie sono: L = 2x 1 x 3 λ 1 = 0, x 1 L = 2x 3 λ 2 x 3 = 0, x 2 L = x 2 1 2x 2 λ 1 λ 2 x 2 = 0, x 3 L = 3 x 1 x 3 = 0, λ 1 L = 2 x 2 x 3 = 0. λ 2 Si osservi che le ultime due condizioni coincidono con i vincoli. Risolviamo il sistema di 5 equazioni in 5 incognite: λ 1 = 2x 1 x 3 x 3 (λ 2 + 2) = 0 x 2 1 2x 2 λ 1 λ 2 x 2 = 0 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 2 Poiché x 3 0 per il quinto vincolo, nel secondo deve essere λ 2 = 2: λ 1 = 2x 1 x 3 λ 2 = 2 x 2 1 2x 2 2x 1 (3 x 1 ) + 2x 2 = 0 e quindi x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 2 λ 1 = 2x 1 x 3 λ 2 = 2 3x 2 1 6x 1 = 0 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 2 Da ciò si ottengono due soluzioni: λ 1 = 0 λ 1 = 4 λ 2 = 2 λ 2 = 2 x 1 = 0 e x 1 = 2 x 3 = 3 x 3 = 1 x 2 = 2 3 x 2 = 2 24

25 Le soluzioni alle condizioni necessarie sono dunque (x, λ) = (0, 2/3, 3, 0, 2) e (x, λ) = (2, 2, 1, 4, 2). Tra queste vanno cercati i punti di minimo e massimo relativo. Analizziamo le condizioni sufficienti. Scriviamo la matrice hessiana orlata: x 3 x 2 Ĥ = 1 0 2x 3 0 2x 1 0 x λ 2 1 x 2 2x 1 2 λ 2 0 e calcoliamola nelle soluzioni alle condizioni necessarie: /3 Ĥ(0, 2/3, 3, 0, 2) = / Poiché m=2 e n=3, 2m+1=n+m e quindi va considerato un solo minore principale di guida e cioè quello di ordine 5. Esso, che è il determinante della matrice Ĥ(0, 2/3, 3, 0, 2), vale 54 > 0. Quindi sgn(ĥ5(0, 2/3, 3, 0, 2)) = sgn(( 1) m ) = +. Dunque x = (0, 2/3, 3) è punto di minimo relativo per f. Ĥ(2, 2, 1, 4, 2) = Poiché m=2 e n=3, 2m+1=n+m e quindi va considerato un solo minore principale di guida e cioè quello di ordine 5. Esso, che è il determinante della matrice Ĥ(2, 2, 1, 4, 2), vale 6 < 0. Quindi sgn(ĥ5(2, 2, 1, 4, 2)) = sgn(( 1) m+1 ) =. Dunque x = (2, 2, 1) è punto di massimo relativo per f. 6.2 Esercizi 1) Risolvere (in più modi: metodo dei moltiplicatori di Lagrange, curve di livello, per sostituzione) il seguente problema: max 2x 1 x 2 + 3x 1 x 3 25

26 x 1 + x 2 = 3 x 1 x 3 = 2 2) Risolvere (in più modi: metodo dei moltiplicatori di Lagrange, curve di livello, per sostituzione) il seguente problema: max/min x 2 y x 2 + y 2 3x + 2 = 0 3) Determinare il dominio della funzione f(x, y) = e gli eventuali estremi sulla retta y = kx, k R. x y log(1 x y ) 4) Risolvere (in più modi: metodo dei moltiplicatori di Lagrange, curve di livello, per sostituzione) il seguente problema: max/min x + y x 2 + y 2 = Significato dei moltiplicatori di Lagrange Ora ha senso chiedersi che significato hanno i moltiplicatori di Lagrange. Consideriamo il generico problema max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) = b m ed interpretiamolo, come abbiamo fatto più volte, come il problema di sfruttare le risorse a disposizione (b 1, b 2,..., b m ) in modo da massimizzare il profitto dell azienda (vedi paragrafo 6.1). Sia L(x, λ ) = f(x ) + λ [b g(x )] il valore ottimo della funzione obiettivo se le risorse a disposizione sono b = (b 1, b 2,..., b m ). Siano x (b) la politica ottima di produzione e λ (b) il vettore ottimo dei moltiplicatori di Lagrange (il vettore dei prezzi delle risorse), visti come funzioni di b. 26

27 Sia y (b) il valore ottimo della funzione obiettivo, vista come funzione del vettore delle risorse: y (b) = L(x (b), λ (b), b) = f(x (b)) + λ (b)[b g(x (b))]. È naturale chiedersi come varia il valore ottimo della funzione obiettivo al variare della disponibilità della risorse: y (b) b k = n i=1 L(x (b), λ (b), b) x i x i b k + m j=1 L(x (b), λ (b), b) λ j λ j b k + L(x (b), λ (b), b) b k Poiché (x (b), λ (b), b) è soluzione ottima del problema, esso soddisfa le condizioni necessarie e quindi annulla le derivate parziali prime della funzione Lagrangiana. L(x (b),λ (b),b) b k = λ k (b). Di conseguenza y (b) b k = λ k(b), Inoltre si ha che cioè il gradiente della funzione obiettivo ottimizzata, calcolato rispetto alla disponibilità delle risorse, coincide con il vettore dei moltiplicatori di Lagrange ottimizzati. In generale, i moltiplicatori di Lagrange esprimono come varia il valore ottimo della funzione obiettivo al variare dei termini noti dei vincoli. 27

28 7 Programmazione non lineare Un problema di programmazione matematica si dice di programmazione non lineare se la regione ammissibile X è descritta da un insieme di disuguaglianze. Il problema di massimizzazione si presenta nella forma: max f(x 1, x 2,..., x n ) g 1 (x 1, x 2,..., x n ) b 1, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) b 2,... g m (x 1, x 2,..., x n ) b m, x i 0, i = 1,..., n, oppure, in modo compatto, max f(x) g(x) b, x 0, dove x = (x 1, x 2,..., x n ), b = (b 1, b 2,..., b m ), f : R n R, g : R n R m, g(x) = (g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x)). Si osservi che la programmazione classica è un caso particolare della programmazione non lineare. Il fatto di supporre che i vincoli siano espressi tramite disuguaglianze larghe ( e non >, e non <) porta ad avere una regione ammissibile chiusa. Essa può essere limitata o non limitata. Se la regione ammissibile è chiusa e limitata, nell ipotesi che la funzione obiettivo sia continua, per il teorema di Weierstrass, un punto di massimo assoluto sicuramente esiste e può essere un punto interno o un punto di frontiera. Si cercano allora i punti di massimo interni alla regione ammissibile e i punti di massimo sulla frontiera e poi si sceglie il punto di massimo migliore : questo sarà il punto di massimo assoluto. Se invece la regione ammissibile non è limitata, non vale il teorema di Weierstrass e non si ha la certezza che un punto di massimo esista. Bisogna in questo caso, oltre che studiare 28

29 i punti interni e i punti di frontiera, anche capire l andamento della funzione obiettivo dalla parte in cui la regione ammissibile è illimitata. Esistono inoltre delle condizioni necessarie del primo ordine, note come condizioni di Kuhn Tucker. Definizione Un vincolo di disuguaglianza g i (x) b i è detto attivo nella soluzione ammissibile x se g i (x ) = b i ; in caso contrario è detto inattivo. Proposizione - Condizioni di Kuhn Tucker Consideriamo il problema e supponiamo che f, g C 1 (R n ). Sia max f(x) g(x) b, x 0, L(x, y) = f(x) + y [b g(x)] la funzione Lagrangiana associata al problema. Se x R n è soluzione ottima per il problema considerato e sono linearmente indipendenti i gradienti dei vincoli attivi in x (condizione di qualificazione dei vincoli), allora esiste y R m tale che valgano le seguenti condizioni (condizioni necessarie del primo ordine), dette condizioni di Kuhn Tucker: L x (x, y ) 0 L x (x, y ) x = 0 x 0 L y (x, y ) 0 L y (x, y ) y = 0 y 0 Si possono scrivere esplicitamente come segue: L x i = f x i m j=1 y j g j x i 0, i = 1,..., n n i=1 L x i x i = 0 x i 0, i = 1,..., n L y j = b j g j (x) 0, j = 1,..., m m j=1 y j(b j g j (x)) = 0 y j 0, j = 1,..., m Queste condizioni sono necessarie; esse sono anche sufficienti se la regione ammissibile è convessa e la funzione obiettivo è concava. 29

30 Definizione X R n si dice convesso se comunque siano dati x, y X e λ [0, 1], λx + (1 λ)y X. Definizione Siano X R n, X convesso, f : X R. f è concava (convessa) su X se f(λx + (1 λ)y) ( )λf(x) + (1 λ)f(y). Proposizione Siano X R n, X convesso, f : X R, f dotate di derivate parziali prime e seconde continue su X. f è convessa (concava) su X se e solo se la matrice hessiana associata a f è semidefinita positiva (negativa) per ogni x X; se la matrice hessiana associata a f è definita positiva (negativa) per ogni x X, allora f è strettamente convessa (concava). Terorema locale globale Consideriamo il problema max f(x) g(x) b, x 0, e supponiamo che f, g j : X R, j = 1,..., m, X R n, X convesso, f concava (convessa). Allora ogni punto di massimo (minimo) locale è anche punto di massimo (minimo) globale. 7.1 Esercizi 1) Risolvere il seguente problema di programmazione non lineare min/max f(x, y) = x 3 x(y 1) 2 x + y 2, x + y 2, y 0 30

31 (Sol.: (- 2, 0)/(2, 0)) 2) Risolvere il seguente problema di programmazione non lineare min/max x 2 2xy y 2 + y x + y 2, x 0, y 1 (Sol.: (- 1, - 1)/(3, - 1)) 7.2 Modello per la determinazione del prezzo (vedere Modello di Dobson e Kalish, in Lilien, Kotler, Murthy, Marketing Models, 1988, pag. 183) Ipotesi: 1) Il mercato è composto da diversi segmenti omogenei; 2) I clienti scelgono un solo prodotto tra i diversi prodotti offerti dall azienda; 3) La quantità acquistata non è funzione del prezzo. Il tipo di prodotto acquistato dipende dal prezzo (per es. sigarette); 4) L azienda sostiene costi fissi e variabili per la produzione (e il marketing) di ciascun prodotto. 5) L azienda è monopolista o i concorrenti non rispondono alle mosse dell azienda. Siano m il numero di segmenti di mercato, i = 1,..., m; n il numero di prodotti, j = 1,..., n; u ij il reservation price dell i esimo segmento per il j prodotto; q i il numero di individui presenti nel segmento i; c j il costo unitario di produzione del prodotto j; f j il costo fisso che l azienda sostiene se il prodotto j viene effettivamente prodotto. Il reservation price è 31

32 il prezzo minimo che un venditore si accontenta di fissare nella negoziazione; il prezzo massimo che un acquirente è disposto a pagare. Le variabili decisionali sono: p j il prezzo del prodotto; { 1, se il prodotto j è offerto y j = 0, altrimenti, { 1, se il segmento i è assegnato al prodotto j x ij = 0, altrimenti. Se un segmento non viene assegnato ad alcun prodotto, si conviene che sia assegnato al prodotto 0, con c 0 = 0, p 0 = 0, y i = 1 e u i0 = 0, i. Faremo allora partire j da 0. Il modello che prevede di determinare il prezzo ottimo di ciascun prodotto e la distribuzione ottima dei segmenti tra i diversi prodotti è il seguente: m n n max pj,y j,x ij { q i (p j c j )x ij f j y j } n x ij = 1, i, j=0 i=1 j=0 j=0 x ij y j, i, j, n (u ik p k )x ik (u ij p j )y j, i, j, k=1 p j 0, j, x ij {0, 1}, y j {0, 1}, i, j, j. (1) L obiettivo prevede la massimizzazione del profitto. Il primo vincolo assicura che ciascun segmento sia assegnato ad uno ed un solo prodotto (eventualmente il prodotto nullo). Il secondo vincolo assicura che ciascun segmento sia assegnato ad un prodotto effettivamente prodotto. Il terzo vincolo assicura che se il segmento i sceglie il prodotto k (cioè x ik = 1), allora u ik p k u ij p j, j per cui y j = 1, cioè per ogni altro prodotto disponibile; ciò significa che tra tutti i prodotti disponibili il segmento i sceglierà il prodotto k che gli permetterà di pagare un prezzo per cuila differenza tra reservation price e prezzo è più grande possibile. 32

33 I vincoli di interezza delle variabili complicano ulteriormente il modello, che è un modello di programmazione non lineare intera. Gli autori non lo risolvono in modo ottimo, ma propongono una procedura euristica per determinare una soluzione approssimata. 7.3 Politiche ottime di garanzia (vedere De Checchi, Ellero, Favaretto,..., Rapporto del Dip di Matematica Appl.,..., ) 33

34 8 Programmazione lineare La programmazione lineare (PL) è l argomento centrale, più studiato e più utilizzato dell ottimizzazione. La PL si applica a molti problemi reali che hanno una struttura lineare, ma è anche spesso un indispensabile strumento di supporto tecnico e concettuale per modelli più complessi di tipo discreto (ottimizzazione combinatoria e programmazione lineare intera). Il padre della programmazione lineare viene comunemente considerato Gorge Dantzig che per primo ideò nel 1947 un algoritmo risolutivo, l algoritmo del simplesso, anche se i primi concetti di PL sono molto più datati. Nel 1827 Fourier ha studiato come trovare soluzioni ammissibili di un sistema di disequazioni lineari e ha fornito un metodo risolutivo che ha delle analogie con il metodo del simplesso. Nel diciannovesimo secolo molti matematici hanno studiato le proprietà dei poliedri (Farkas, Gordan, Minkowski,...). Solo dopo i risultati di Dantzig però l uso della PL è diventato di dominio universale e ha segnato l inizio di una serie straordinaria di sviluppi matematici e di risultati algoritmici che hanno dato corpo ad una nuova disciplina: la Ricerca Operativa (RO). Questo sviluppo è stato possibile grazie all avvento dei calcolatori, nati più o meno negli stessi anni della RO. Due momenti particolarmente significativi successivi sono stati i seguenti: nel 1979 Khaciyan dimostrò che la PL è polinomiale e nel 1984 Karmakar inventò un algoritmo polinomiale (metodo dell ellissoide) di natura completamente diversa dall algoritmo del simplesso e con caratteristiche di efficienza tali da essergli competitivo. Attualmente, grazie alla più elevata potenza dei calcolatori e ad un forte miglioramento degli algoritmi, è possibile risolvere problemi con decine di migliaia di vincoli e centinaia di migliaia di variabili. 8.1 Esempi di problemi e modelli di programmazione lineare Piano di produzione di guadagno massimo Un azienda produce n tipi di articoli P 1, P 2,..., P n, sfruttando m risorse R 1, R 2,..., R m. Siano c j il guadagno proveniente dalla vendita di una unità di articolo P j, j = 1,..., n; b i l ammontare disponibile della risorsa R i, R i 0, i = 1,..., m; a ij l ammontare di risorsa i-esima necessaria per produrre un unità del prodotto j- esimo, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Si tratta di decidere quanto produrre di ciascun articolo rispettando la disponibilità di risorse e massimizzando il guadagno proveniente dalla vendita di tali quantità di articoli. 34

35 Indicata con x j la quantità di articolo j da produrre, j = 1,..., n, il guadagno da può essere scritto come c 1 x 1 + c 2 x c n x n, mentre il vincolo relativo alla i-esima risorsa può essere scritto come a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i. Il problema di produzione di guadagno massimo si formula allora come segue: max (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i, i = 1,..., m, x j 0, j = 1,..., n. Problema di trasporto Un articolo può essere prodotto in m origini o luoghi di produzione, P 1, P 2,..., P m, e consumato in n destinazioni o luoghi di consumo (mercati), M 1, M 2,..., M n. Siano a i la quantità di articolo prodotta nel luogo di produzione P i, i = 1,..., m; b j la quantità di articolo domandata nel luogo di consumo M j, j = 1,..., n; c ij il costo per trasportare un unità di articolo dal luogo di produzione i al luogo di consumo j, i = 1,... m, j = 1,..., n. Si tratta di determinare le quantità di articolo che conviene spedire dalle varie origini alle varie destinazioni per minimizzare il costo di trasporto complessivo, in modo da rispettare i seguenti vincoli: da ogni origine non può uscire più di quanto è ivi prodotto; in ogni destinazione deve arrivare almeno quanto ivi richiesto. Indicata con x ij la quantità di articolo da trasportare dall origine P i alla destinazione M j, i = 1,..., m, j = 1,..., n, il costo complessivo di trasporto si formula come segue: c 11 x 11 +c 12 x c 1n x 1n +c 21 x 21 +c 22 x c 2n x 2n +...+c m1 x m1 +c m2 x m c mn x mn. 35

36 I vincoli relativi alle origini sono: x i1 + x i x in a i, i = 1,..., m, mentre quelli relativi alle destinazioni sono: x 1j + x 2j x mj b j, j = 1,..., n. Il problema di trasporto in forma compatta si scrive come segue m n max c ij x ij i=1 j=1 n x ij a i, i = 1,..., m, j=1 m x ij b j, j = 1,..., n, i=1 x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Problema della dieta Si vuole individuare una dieta ammissibile di costo minimo, cioè quanto acquistare e assumere giornalmente di alcuni alimenti disponibili, di cui sono noti i prezzi e il contenuto in fattori nutritivi. Siano F 1, F 2,..., F n gli alimenti che si possono acquistare sul mercato; c j il costo unitario dell alimento F j, j = 1,..., n; Q 1, Q 2,..., Q m i fattori nutritivi; b i il quantitativo minimo necessario del fattore nutritivo Q i per una corretta alimentazione, i = 1,..., m; a ij la quantità di fattore nutritivo Q i presente in un unità di alimento F j, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Si definisce dieta un vettore x = (x 1, x 2,..., x n ) tale che x j, x j 0, rappresenta la quantità di alimento F j che viene consumata in un periodo (per es. un giorno). Affinché la dieta x = (x 1, x 2,..., x n ) sia ammissibile è necessario e sufficiente che a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i, i = 1,..., m. Si tratta di determinare, nell insieme delle diete ammissibili (se è non vuoto), una dieta ottima, cioè una dieta per cui il costo z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n 36

37 sia minimo. Riassumendo il modello si formula come segue: max c 1 x 1 + c 2 x c n x n a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i, i = 1,..., m, x j 0, j = 1,..., n. 8.2 Formulazione di un problema PL Come si è già detto, un modello di programmazione lineare (PL) è un modello di massimizzazione o minimizzazione di una funzione lineare soggetta a vincoli di uguaglianza o disuguaglianza in cui compaiono solo funzioni lineari. I modelli PL possono assumere differenti forme presentando le seguenti varianti: la funzione oggetto può essere da massimizzare o da minimizzare; alcuni vincoli possono essere sotto forma di uguaglianza, mentre altri possono presentarsi come disuguaglianza; le variabili sono generalmente vincolate alla non negatività, ma non mancano casi di variabili senza requisiti di segno e quindi potenzialmente sia positive sia negative o nulle (variabili libere). Due sono le formulazioni più utilizzate: Forma standard: min cx Ax = b, x 0; Forma canonica di minimo: min cx Ax b, x 0, di massimo: max cx 37

38 Ax b, x 0 con x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, vettore colonna, c = (c 1, c 2,..., c n ) R n, vettore riga, b = (b 1, b 2,..., b m ) R m, vettore colonna, A = [a ij ], matrice m n. Nelle forme canoniche i vincoli appaiano contrastanti rispetto alla funzione oggetto. Senza perdita di generalità, quando parleremo di forma canonica ci riferiremo sempre alla forma canonica di minimo. Si vuole far vedere ora che forma standard e forma canonica sono equivalenti e che un qualunque altro modello è riconducibile ad uno dei precedenti. (e viceversa). Basta cambiare segno: a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i a i1 x 1 a i2 x 2... a in x n b i. =. Bisogna introdurre una variabile non negativa (variabile slack): a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i a i1 x 1 + a i2 x a in x n + y i = b i, y i 0. =. Bisogna introdurre una variabile non negativa (variabile surplus): a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i a i1 x 1 + a i2 x a in x n y i = b i, y i 0. =,. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i { ai1 x 1 + a i2 x a in x n b i, a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i. Variabile non vincolata in segno Variabili non negative. x i R x i = u i v i, u i 0, v i 0. Problema di massimo Problema di minimo. max f = min( f). Nella forma standard si suppone che m < n e che il rango di A sia m, per cui le soluzioni del sistema di vincoli sono n m : un problema PL ha senso quando vi sono infinite soluzioni ammissibili, cioè la matrice dei coefficienti dei vincoli A, di caratteristica m, non sia quadrata. 38