1. Profili introduttivi

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1 Parte Prima I soggetti Capitolo Primo Le situazioni giuridiche soggettive del diritto amministrativo Sommario: 1. Profili introduttivi I diritti soggettivi Gli interessi legittimi Interessi semplici e interessi di fatto Gli interessi superindividuali: interessi collettivi e interessi diffusi Le azioni collettive (class action). 1. Profili introduttivi Ogni relazione fra due o più soggetti, prevista e regolata dal diritto, si definisce rapporto giuridico. Si tratta di una relazione fra parti: da un lato, il soggetto attivo titolare di una posizione di vantaggio (diritto soggettivo, diritto potestativo, interesse legittimo), dall altro il soggetto passivo titolare di una situazione soggettiva passiva (obbligo, dovere, onere, soggezione). Le posizioni che un soggetto assume nell ambito di un dato rapporto giuridico prendono il nome di situazioni giuridiche soggettive. Come si diceva, le situazioni soggettive possono essere: attive, quando attribuiscono una posizione favorevole al soggetto che ne è titolare, legittimando la prevalenza del titolare nei confronti di quello di altri soggetti (diritto soggettivo; diritto potestativo; potere e potestà; interesse legittimo); passive, quando consistono in posizioni sfavorevoli per il titolare e prevedono la subordinazione del proprio interesse rispetto a quello di altri soggetti (obbligo, dovere, onere e soggezione). Il concetto di situazione giuridica va tenuto distinto da quello di status. La situazione giuridica attiene a specifici rapporti mentre lo status si riferisce ad una condizione da cui derivano un complesso di situazioni giuridiche, attive e passive. Per status si intende la posizione di un soggetto rispetto ad un determinato gruppo (così, ad esempio, l appartenenza ad una famiglia conferisce al soggetto uno status, ossia un complesso di diritti ed obblighi riconducibili a tale condizione). Ogni soggetto di diritto rappresenta un centro unitario di imputazione di situazioni giuridiche. La capacità giuridica, che si acquista al momento della nascita, è l attitudine di un soggetto ad essere titolare di rapporti giuridici, cioè di diritti ed obblighi. Dalla capacità giuridica si distingue la

2 68 Libro II: Nozioni di diritto amministrativo - Parte I: I soggetti capacità di agire (si acquista al raggiungimento dei diciotto anni), che è l attitudine del soggetto a compiere atti idonei a costituire, modificare o estinguere la propria situazione giuridica. 2. I diritti soggettivi A) Definizione Secondo la definizione tradizionale, il diritto soggettivo è quella posizione giuridica soggettiva di vantaggio che l ordinamento giuridico conferisce ad un soggetto, riconoscendogli determinate utilità in ordine ad un bene, nonché la tutela degli interessi afferenti al bene stesso, in modo pieno ed immediato. Per quanto riguarda la tutela dei diritti soggettivi, in particolare, va detto che normalmente è rimessa al giudice ordinario e solo in casi tassativamente previsti (cd. giurisdizione esclusiva) al giudice amministrativo. B) Classificazione Nell ambito dei diritti soggettivi si distingue: il diritto soggettivo perfetto, ogni qualvolta una norma cd. di relazione, rivolta a disciplinare comportamenti intersoggettivi, attribuisca ad un soggetto un potere diretto ed immediato per la realizzazione di un proprio interesse cui corrisponde necessariamente un obbligo facente capo a soggetti determinati ovvero alla collettività. L elemento caratterizzante tali diritti sta, dunque, nella correlazione con uno o più obblighi altrui, e nella immediatezza e pienezza della tutela accordata dall ordinamento; il diritto condizionato, qualora l esercizio di esso è sottoposto a condizione che può essere risolutiva o sospensiva. Si tratta evidentemente di ipotesi in cui l ordinamento consente, a determinate condizioni, il sacrificio o la limitazione di un diritto del singolo a vantaggio della collettività (si pensi, ad esempio, all esproprio di un terreno appartenente ad un singolo per costruirvi un autostrada). Due sono le figure di diritti condizionati: a) diritti sospensivamente condizionati (diritti in attesa di espansione per SANDULLI), il cui esercizio è inizialmente limitato da un ostacolo giuridico, per la cui rimozione è necessario un provvedimento amministrativo che consenta al diritto di espandersi ed acquistare la sua pienezza. È il caso del diritto di costruire sul proprio fondo, per il cui esercizio occorre il rilascio della concessione edilizia o quello del diritto all esercizio della professione, per il cui espletamento occorre l iscrizione nel relativo albo; b) diritti risolutivamente condizionati (cd. fenomeno dell affievolimento dei diritti) che si hanno qualora il diritto, di fronte alla potestà riconosciuta alla P.A. di incidere su di esso, affievolisce ad interesse legittimo.

3 Capitolo I: Le situazioni giuridiche soggettive del diritto amministrativo 69 La P.A., infatti, nel perseguimento dei suoi fini pubblici, può essere ostacolata da diritti di privati; in questi casi la legge può attribuirle il potere di sacrificare tali diritti individuali a vantaggio dell interesse collettivo, per cui i diritti stessi, davanti a tale potere, affievoliscono ad interessi legittimi. Per alcuni la «teoria della degradazione» o dell affievolimento, sul piano sostanziale è inaccettabile in toto, in quanto il «diritto, a fronte dell esercizio del potere amministrativo, non degrada in alcunché»: non si pone come situazione soggettiva di diritto ma come interesse legittimo (Cerulli Irelli). 3. Gli interessi legittimi L interesse legittimo è una situazione giuridica soggettiva individuale che ha trovato riconoscimento nel nostro ordinamento con la L. 5992/1889, istitutiva della IV sezione del Consiglio di Stato, quale giudice di quegli interessi sostanziali diversi dai diritti soggettivi che fino ad allora erano rimasti del tutto sforniti di tutela. Di interesse legittimo si occupano espressamente anche tre norme della Costituzione, gli artt. 24, 103 e 113, tese appunto a riconoscere a tali interessi piena dignità e tutela, ma in realtà nessuna di esse, né altra norma positiva, si occupa di fornire una definizione di interesse legittimo. Tale espressione si deve alla dottrina, la quale si è subito preoccupata di individuarne la portata, al fine di riconoscere agli interessi legittimi piena autonomia rispetto ai diritti soggettivi. In particolare, l interesse legittimo si «definisce come la situazione soggettiva di vantaggio, costituita dalla protezione giuridica di interessi finali che si attua non direttamente ed autonomamente, ma attraverso la protezione indissolubile ed immediata di un altro interesse del soggetto, meramente strumentale, alla legittimità dell atto amministrativo e soltanto nei limiti della realizzazione di tale interesse strumentale» (CASETTA). Mentre il diritto soggettivo è una posizione autonoma, perché compiutamente configurata dalla stessa previsione di legge, e dunque spettante ad una persona sulla base di un titolo che può avere la natura più varia, ma che non dipende da una pubblica amministrazione (sono proprietario di una casa perché l ho comprata o ereditata), l interesse legittimo si esprime in termini di posizione inautonoma in quanto l utilità sperata cui tende l interesse del privato dipende dalla intermediazione provvedimentale dell amministrazione pubblica (PALMA). L interesse legittimo è necessariamente correlato all esercizio del potere amministrativo, come disciplinato dalla norma cd. di azione: il provvedimento amministrativo subentra comunque come oggetto di un aspirazione (domanda di concessione di suolo pubblico per installarvi un edicola) o come oggetto di una ripulsa (impugnazione del decreto di espropriazione). Si pensi, ad esempio, al caso dell espropriato (ovvero il terzo danneggiato destinatario del decreto ablatorio) che ricorre innanzi al giudice amministrativo lamentando l illegittimità dell iter procedimentale (ovvero le violazioni delle norme che disciplinano il potere espropriativo) nell intento di ottenere l annullamento del provvedimento di espropriazione e mantenere il godimento del suo fondo. L interesse a ristabilire la legalità dell azione amministrativa (interesse pubblico primario) è

4 70 Libro II: Nozioni di diritto amministrativo - Parte I: I soggetti strumentalizzato alla tutela dell interesse legittimo sostanziale del ricorrente (personale, qualificato e differenziato) di conservare l utilità economica del fondo. Da ciò deriva che l interesse legittimo, diversamente da quanto sostenuto dai fautori della teoria processualistica, assume, al pari del diritto soggettivo, una valenza sostanziale. Alla luce della riforma introdotta dalla L. 15/2005 e, in particolare, con l inserzione dell art. 21octies nella L. 241/1990, è stata ulteriormente riconfermata la natura sostanziale dell interesse legittimo, nel senso che esso si correla ad un interesse materiale del titolare ad un bene della vita. Dalla lettura del precitato articolo si evince, infatti, che la lesione dell interesse legittimo intanto può dirsi esistente, in quanto la violazione delle regole nella quale la P.A. è incorsa, abbia pregiudicato la possibilità di realizzazione dell interesse materiale. Si può, pertanto, concludere che tale situazione soggettiva sostanziale di vantaggio conferisce al suo titolare specifici poteri: di reazione (ricorsi amministrativi e giurisdizionali) e, prima ancora, di partecipazione al procedimento amministrativo che lo riguarda. Una distinzione che spesso viene utilizzata dalla dottrina e dalla giurisprudenza è quella fra interessi legittimi pretensivi e interessi legittimi oppositivi. I primi si sostanziano in una pretesa del cittadino a che l amministrazione adotti un determinato comportamento (es.: l interesse legittimo ad ottenere un provvedimento ampliativo della sfera giuridica dell interessato); gli interessi oppositivi invece legittimano l interessato ad opporsi a provvedimenti per lui potenzialmente pregiudizievoli, e si atteggiano come diritti assoluti (es.: interesse a che l amministrazione non emani un ordine di demolizione di un edificio). 4. Interessi semplici e interessi di fatto Mentre l interesse legittimo è la pretesa a che la P.A. eserciti in conformità della legge i suoi poteri discrezionali o vincolati, l interesse semplice è, invece, la pretesa a che la P.A., nell esercizio del suo potere discrezionale, si attenga a quei criteri di opportunità e di convenienza riguardanti il cd. merito amministrativo, e che sono tutelati dalle norme non giuridiche di azione (cd. norme di buona amministrazione). Tali interessi, a differenza di quelli legittimi, non ricevono alcuna tutela (neppure occasionale, indiretta), se non a livello amministrativo; essi, infatti, possono esser fatti valere solo con i ricorsi gerarchici: per questo motivo si chiamano anche interessi amministrativamente protetti. Gli interessi di fatto sono quegli interessi, non qualificati né differenziati, a che la P.A. osservi i doveri giuridici posti a suo carico ed a vantaggio della collettività non soggettivizzata. Tali interessi sono del tutto irrilevanti per il diritto e non ricevono alcuna tutela; essi, in pratica, non sono interessi giuridici. Esempi di interessi di fatto possono essere l interesse a che le strade siano ben mantenute, ben illuminate etc.: l unica garanzia posta a tutela di tali interessi è data dall obbligo di «buona amministrazione» che grava sulla P.A. I privati possono con reclami far rilevare queste mancanze; trattasi, però, di mere denunce di cui la P.A. può non tenere conto alcuno.

5 Capitolo I: Le situazioni giuridiche soggettive del diritto amministrativo 71 Solo in casi eccezionali (es.: azioni popolari) i cittadini, uti singuli, possono esperire azioni a tutela di interessi di fatto. Così, ad esempio, ciascun cittadino (non solo chi sia stato leso nel proprio diritto all iscrizione nelle liste elettorali), purché elettore, può esperire ricorso (cd. azione popolare) contro i risultati delle operazioni di revisione delle liste. 5. Gli interessi superindividuali: interessi collettivi e interessi diffusi A) Inquadramento Gli interessi superindividuali sono quelli che superano la dimensione «personale» e fanno capo ad una ben determinata collettività di individui, come associazioni culturali, partiti, comitati di cittadini etc. Esempi tipici di detti interessi sono l interesse alla salute, alla tutela e salubrità dell ambiente etc. In tale ampia gamma, si distingue tradizionalmente tra: a) interessi diffusi, sono quelli comuni a individui di una formazione sociale non organizzata e non individuabile autonomamente; b) interessi collettivi, che sono, invece, quelli che fanno capo ad un ente esponenziale di un gruppo non occasionale, della più varia natura giuridica (es.: ordini professionali, associazioni private riconosciute, associazioni di fatto), ma autonomamente individuabile. L interesse collettivo è: differenziato, in quanto fa capo ad un soggetto individuato e cioè una «organizzazione di tipo associativo» che si distingue tanto dalla collettività che dai singoli partecipanti; da ciò consegue che la lesione dell interesse collettivo legittima al ricorso solo l organizzazione e non i singoli che di essa fanno parte; qualificato: nel senso che è previsto e considerato, sia pure indirettamente, dal diritto oggettivo. In particolare, il titolo qualificante può essere il più vario (es.: lo stabile collegamento territoriale, l interesse alla salubrità ambientale). B) La tutela procedimentale La tutela di interessi collettivi in sede amministrativa riguarda il procedimento di formazione dell atto amministrativo attraverso la concreta partecipazione procedimentale dei portatori di dette forme di interessi. Infatti, nell ordinamento italiano, ancor prima della consacrazione ad opera della L. 241/1990, della regola del giusto procedimento alla stregua di regola generale dell azione amministrativa, erano presenti molte ipotesi in cui la norma attribuiva il potere di presentare «osservazioni, deduzioni, proposte» a soggetti estranei alla P.A. procedente.

6 72 Libro II: Nozioni di diritto amministrativo - Parte I: I soggetti Il principio del contraddittorio procedimentale, e segnatamente della legittimazione partecipativa dei portatori di interessi collettivi, è stato sancito dall art. 8 D.Lgs. 267/2000 che ha espressamente disposto che negli Statuti delle Province e dei Comuni devono essere previste procedure per l ammissione di istanze, petizioni e proposte di cittadini singoli o associati dirette a promuovere interventi per la migliore tutela di interessi collettivi, e dalla L , n. 241, che all art. 9 ha previsto la facoltà dei «portatori di interessi diffusi costituiti in associazioni o comitati» di intervenire nei procedimenti amministrativi relativi ad atti da cui possa loro derivare un pregiudizio. Il criterio della partecipazione procedimentale rappresenta, quindi, una fonte normativa generale della legittimazione procedimentale dei portatori di interessi diffusi costituiti in associazioni e comitati. C) La tutela giurisdizionale Secondo le regole generali, l interesse a ricorrere deve essere personale ed individuale. Molte perplessità sono, perciò, sorte in ordine alla ammissibilità di una tutela giurisdizionale di interessi collettivi (privi per definizione di queste caratteristiche), su istanza di singoli soggetti che di tali interessi si facciano portatori. La giurisprudenza, già da tempo, ha accolto una nozione di interesse legittimo più aperta alle nuove istanze sociali e l individuazione di elementi di differenziazione anche nelle posizioni soggettive metaindividuali, se facenti capo ad un ente esponenziale rappresentativo. Il principio individualistico ha subìto un attenuazione soprattutto nella materia ambientale e della tutela del consumatore. In particolare, il problema della legittimazione ad agire è stato superato in tali settori, in virtù di due importanti provvedimenti: il Codice dell ambiente (D.Lgs. 152/2006, come modificato dal D.Lgs , n. 4 e dal D.Lgs , n. 128), secondo cui le organizzazioni non governative che promuovono la protezione dell ambiente sono riconosciute e legittimate ad agire o nel caso in cui possano essere colpite da danno ambientale o nel caso in cui vantino un interesse alla partecipazione al procedimento di predisposizione delle misure per evitarlo; il Codice del consumatore (D.Lgs. 206/2005), in base al quale sono riconosciuti e garantiti i diritti e gli interessi individuali e collettivi dei consumatori e degli utenti, ne è promossa la tutela in sede nazionale e locale, anche in forma collettiva e associativa e sono favorite le iniziative rivolte a perseguire tali finalità, anche attraverso la disciplina dei rapporti tra le associazioni dei consumatori e degli utenti (vedi infra). 6. Le azioni collettive (class action) A) L azione collettiva civilistica L azione di classe (cd. class action) è un azione collettiva condotta da uno o più soggetti che richiedono il risarcimento del danno non solo a loro nome, ma per tutta la «classe», ossia per tutti coloro che hanno subito il medesimo illecito. Si tratta di un innovazione introdotta dalla L. 244/2004 (legge finanziaria 2008), che ha inserito l art. 140bis nel D.Lgs. 206/2005 (come da ultimo mod. dal D.L , n. 1), recante il Codice del consumo.

7 Capitolo I: Le situazioni giuridiche soggettive del diritto amministrativo 73 L attuale disciplina, in vigore dal 1 gennaio 2010, dispone che attraverso la class action sono tutelabili: a) i diritti contrattuali di una pluralità di consumatori e utenti che versano nei confronti di una stessa impresa in situazione identica, inclusi i diritti relativi a contratti stipulati ai sensi degli artt e 1342 del codice civile; b) i diritti del tutto omogenei spettanti ai consumatori finali di un determinato prodotto nei confronti del relativo produttore, anche a prescindere da un diretto rapporto contrattuale; c) i diritti del tutto omogenei al ristoro del pregiudizio derivante agli stessi consumatori e utenti da pratiche commerciali scorrette o da comportamenti anticoncorrenziali. Nelle dette ipotesi, ciascun componente della classe, anche mediante associazioni cui dà mandato o comitati cui partecipa, può agire per l accertamento della responsabilità e per la condanna al risarcimento del danno e alle restituzioni. B) L azione collettiva contro la P.A. Un regime speciale, in materia di azione collettiva dei consumatori nei confronti delle pubbliche amministrazioni è stato dettato dal D.Lgs , n. 198, emanato in attuazione dell art. 4 della L. 15/2009 (cd. legge Brunetta). Tale azione collettiva funge da strumento di controllo giudiziale, quindi esterno all apparato amministrativo, sulla qualità, tempestività ed economicità dei servizi pubblici resi alla collettività dei cittadini. Secondo l impostazione del D.Lgs. 198/2009, tale azione è esperibile, dinanzi al G.A. in sede di giurisdizione esclusiva sia da singoli cittadini che da associazioni, in caso di lesione di interessi giuridicamente rilevanti per una pluralità di utenti (interessi omogenei), derivante da inefficienze del servizio pubblico, come il mancato rispetto dei tempi previsti o degli standard di qualità o la mancata emanazione di atti amministrativi generali obbligatori non aventi contenuto normativo. Sotto il profilo soggettivo, la class action è esercitabile nei confronti sia delle P.A. (eccetto autorità amministrative indipendenti, Presidenza del Consiglio, organi costituzionali) che dei concessionari dei servizi pubblici (ad es.: Trenitalia, Autostrade, Rai). La più importante differenza tra l azione contro la P.A. e quella civilistica ex art. 140bis del Codice del consumo è data dalla impossibilità, in merito alla prima, di avanzare pretese risarcitorie, essendo lo strumento volto esclusivamente ad ottenere il ripristino del «corretto svolgimento della funzione o la corretta erogazione di un servizio». La sentenza di accoglimento contiene l ordine alla P.A. di adempiere entro un congruo termine. Laddove la P.A. non adempia all ordine giudiziale, sarà possibile ricorrere al giudice amministrativo per l ottemperanza dello stesso.

8 Sezione 2 Test logico-matematici Capitolo Quarto Abilità di calcolo I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici: si tratta di semplici domande inerenti le operazioni aritmetiche e alcune caratteristiche dei numeri interi e dei numeri razionali (1). Prima di cimentarti con i test proposti, potrebbe giovarti l analisi delle nozioni di teoria schematizzate nelle note seguenti. Numeri primi: sono numeri naturali divisibili solamente per 1 e per se stessi (a differenza dei numeri composti: ad esempio 10 è un numero composto perché oltre ad essere divisibile per 1 e per se stesso, è divisibile anche per 2 e per 5). I numeri primi che si incontrano più frequentemente sono: Dalla definizione di numero primo sono esclusi i numeri 0 e 1: lo zero perché è divisibile per tutti i numeri ma non per se stesso (0 : 0 è una forma indeterminata); l esclusione del numero 1 è giustificata dal fatto che l unico divisore è se stesso. Pertanto, lo zero e l uno non si considerano né numeri primi né numeri composti. Criteri di divisibilità: sono regole che permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro; le più importanti sono: divisibilità per 2: un numero è divisibile per 2 se è pari, cioè se la sua ultima cifra è 0 o 2 o 4 o 6 o 8 (ad esempio, 470 è divisibile per 2 perché è un numero pari, mentre 19 non è divisibile per 2 perché non è un numero pari); (1) Per le definizioni di numero intero e numero razionale, consulta il capitolo inerente l aritmetica e l algebra.

9 496 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 (2); Esempio n. 1 Il numero è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è: = 12 e 12 è divisibile per 3. divisibilità per 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono due zeri oppure formano un numero multiplo di 4 (3). Esempio n. 2 I numeri 200, 196 e 226 sono divisibili per 4? Il numero 200 è divisibile per 4 perché termina con 2 zeri. Il numero 196 è divisibile per 4 perché la penultima cifra è dispari e l ultima è 6. Il numero 226 non è divisibile per 4 perché le ultime due cifre, 26, non sono un multiplo di 4 (n.b.: i multipli di 4 sono i termini della tabellina del 4, continuandola, anche, oltre 40, ovvero 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ). Divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5. Esempio n. 3 I numeri 350, 501, 875 sono divisibili per 5? 350 è divisibile per 5 perché finisce con lo zero. 501 non è divisibile per 5 perché non finisce né con lo zero, né con il è divisibile per 5 perché finisce con il 5. Divisibilità per 6: un numero è divisibile per 6 se è pari e se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3; Esempio n. 4 I numeri 324 e 63 sono divisibili per 6? 324 è divisibile per 6 perché è un numero pari e la somma delle cifre è un multiplo di 3 ( = 9). 63 non è divisibile per 6 perché, nonostante la somma delle cifre dia un multiplo di 3 (6 + 3 = 9), non è un numero pari. (2) Questo criterio si può applicare successivamente alla somma delle cifre, fino ad avere un numero costituito da una sola cifra: se quest ultima cifra è 3, 6 o 9 il numero è divisibile per 3, altrimenti non lo è. Ad esempio, sommando le cifre di ottieni: = 58; sommando, poi, le cifre di 58 ottieni: = 13; sommando, infine, le cifre di 13 ottieni: = 4. Poiché da questa sequenza di operazioni non hai ottenuto né 3, né 6, né 9, ma il risultato è stato 4, allora puoi concludere che il numero non è divisibile per 3. (3) In base ad un criterio alternativo, ma equivalente a quello esposto, un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono tali che la sua penultima è dispari e l ultima è 2 oppure 6, oppure la sua penultima cifra è pari e l ultima è lo 0, oppure il 4, oppure l 8.

10 Capitolo IV: Abilità di calcolo 497 Divisibilità per 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 (4); Esempio n. 5 I numeri 918 e sono divisibili per 9? 918 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è = 18, e 18 è un multiplo di 9. Il numero non è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è = 10, e 10 non è un multiplo di 9. Divisibilità per 10, 100, : un numero è divisibile per 10, 100, 1000,... se termina, rispettivamente, con uno, due, tre zeri, Esempio n. 6 Sono divisibili per 10 i numeri 340, 1230, perché finiscono con almeno uno zero; sono divisibili per i numeri , perché finiscono con almeno 4 zeri, etc. Divisibilità per 11: un numero è divisibile per 11 se, quando si sommano, a partire da destra (cifra delle unità), le cifre di posto dispari e le cifre di posto pari e si fa la differenza di queste somme, il risultato è 0 oppure 11 oppure un multiplo (5) di 11. Esempio n. 7 I numeri e sono divisibili per 11? Per verificare se il numero è divisibile per 11 devi eseguire la somma delle cifre di posto dispari (ovvero la prima cifra, il 9, + la terza cifra, il 7, + ), che è = 25, e la somma delle cifre di posto pari (ovvero la seconda cifra, il 4, + la quarta cifra, il 6, + ), che è = 14. La differenza tra le due somme calcolate è = 11: quindi il numero è divisibile per 11. Per verificare se il numero è divisibile per 11 devi eseguire la somma delle cifre di posto dispari, che è = 10, e la somma delle cifre di posto pari, che è = 7. La differenza 10 7 = 3 non dà per risultato né 0, né 11, né un multiplo di 11: quindi il numero non è divisibile per 11. Divisibilità per 25: un numero è divisibile per 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra del numero o quando le ultime due cifre sono due o più zeri (in altri termini, un numero è divisibile per 25 quando termina con 25, 50, 75, oppure con 00). (4) Questo criterio si può applicare successivamente fino a ottenere un numero di una cifra: se questa ultima cifra è 9 il numero è divisibile per 9 altrimenti non lo è. (5) Un criterio alternativo è quello di sottrarre l ultima cifra al numero formato dalle altre; se si ottiene 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11. Ad esempio, Il numero 352 è divisibile per 11: infatti, per il criterio appena esposto la differenza 35 2 = 33 e 33 è un multiplo di 11 (i primi multipli di 11 sono 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

11 498 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II Esempio n. 8 I numeri 2350, 4375 e sono divisibili per 25? Si, perché 2350 termina con 50 e 50 è un multiplo di 25; 4375 termina con 75 e 75 è un multiplo di 25; termina con due zeri. Quadrati perfetti: si definiscono quadrati perfetti i numeri ottenuti dal prodotto di un numero naturale per se stesso, ovvero, se il numero è n, il suo quadrato è n n. I quadrati che si incontrano più frequentemente sono elencati nella tabella seguente. Numero naturale Quadrato Numero naturale Quadrato Cubi perfetti: si definiscono cubi perfetti i numeri ottenuti dal prodotto di un numero naturale moltiplicato per se stesso 3 volte, ovvero, se il numero è n, il suo cubo è n n n. I cubi che si incontrano più frequentemente sono elencati nella tabella seguente. Numero naturale Cubo Espressione aritmetica: è una successione di operazioni aritmetiche il cui ordine di esecuzione è stabilito da alcune regole e dall uso di parentesi. Le operazioni di un espressione vanno eseguite rispettando un ordine di precedenza prefissato. Si è stabilito che: 1. in assenza di parentesi, moltiplicazione e divisione si eseguono prima dell addizione e della sottrazione. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente;

12 Capitolo IV: Abilità di calcolo in assenza di parentesi, moltiplicazione e divisione si eseguono nell ordine in cui si presentano. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente; 3. in presenza di parentesi si procede dalle parentesi più interne alle parentesi più esterne. Le parentesi si utilizzano a coppia, procedendo dall interno verso l esterno, le tonde ( ), le quadre [ ], e le graffe {}. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente;

13 500 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II 4. in presenza di potenze, si calcolano prima le potenze e, quando è possibile, per agevolare i calcoli, si applicano le proprietà delle potenze (6). Ricorda, infine, che il prodotto tra due numeri negativi dà come risultato un numero positivo, mentre il prodotto tra un numero positivo ed un numero negativo dà come risultato un numero negativo. Test n. 1 (Tempo: 14 minuti) 1) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A) 2 o D) 4 B) 3 o E) Nessuno 2) La corretta riduzione ai minimi termini di è: A) 1 6 o D) 12 B) 6 o E) 1 C) 12 3) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono cubi perfetti. A) 3 o D) 4 B) 2 o E) Tutti 4) Quale, tra le seguenti, è la differenza tra i numeri 2,61 e 0,032? A) 2,588 o D) 2,589 B) 2,579 o E) 2,578 C) 2, (6) Se non ricordi le proprietà delle potenze, consulta il capitolo inerente l aritmetica e l algebra.

14 Capitolo IV: Abilità di calcolo 501 5) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A) 1 o D) 4 B) 3 o E) Nessuno C) 2 6) 36 è il risultato di: A) 180 : 6 o D) 816 : 18 B) 144 : 4 o E) 490 : 14 C) 422 : 14 7) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono numeri primi. A) 4 o D) 2 B) 1 o E) Tutti C) 3 8) Per quali numeri risulta divisibile 1250? A) Solo per 10 B) È divisibile solo per 2 e per 5 C) È divisibile solo per 2 per 5 e per 10 D) Nessuno E) Nessuna delle risposte indicate è corretta 9) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono numeri primi. A) 3 o D) 4 B) 2 o E) Nessuno 10) Qual è il resto della divisione intera 58 : 11? A) 1 o D) 7 B) 3 o E) 9 C) 5 11) Quanti sono i numeri primi compresi tra 7 e 31 (7 e 31 inclusi, se primi)? A) 5 o D) 4 B) 7 o E) 8 C) 6

15 502 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II 12) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A) 4 o D) 2 B) 3 o E) Tutti 13) Qual è il risultato della differenza 0,64 0,032? A) 0,96 o D) 0,608 B) 0,672 o E) 0,32 C) 0,598 14) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono cubi perfetti. A) 3 o D) 4 B) 2 o E) Tutti 15) Qual è il resto della divisione intera 314 : 5? A) 3 o D) 2 B) 4 o E) 0 16) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A) 4 o D) 2 B) 3 o E) Tutti 17) Qual è il prodotto di ( 18) ( 3)? A) 54 o D) 21 B) 15 o E) +21 C) ) Qual è il resto della divisione intera 351 : 7? A) 1 o D) 7 B) 3 o E) 0 C) 5

16 Capitolo IV: Abilità di calcolo ) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono cubi perfetti. A) 2 o D) 4 B) 3 o E) Nessuno 20) Il risultato di ( 3) ( 4) ( 5) è: A) +12 o D) 48 B) 60 o E) +48 C) 12 21) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono cubi perfetti. A) 2 o D) 4 B) 3 o E) Nessuno 22) Quale, tra le seguenti, è la differenza tra i numeri 2,19 e 0,051? A) 2,149 o D) 1,78 B) 2,139 o E) 2,148,68 23) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A) 2 o D) 4 B) 3 o E) Nessuno 24) Qual è il resto della divisione intera 410 : 6? A) 0 o D) 3 B) 1 o E) 4 C) 2 25) Il prodotto 45,23 64,85 è uguale a: A) 2.933,1654 o D) 2.833,1655 B) 2.833,1658 o E) 2.933,1655 C) 2.933,1658

17 504 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II Risposte 1) Risposta esatta: B Sono 361, 49 e ) Risposta esatta: A 24 Sia numeratore che denominatore sono numeri pari, quindi sono divisibili per 2: 144 = Anche 12 e 72 sono numeri pari, quindi: = 6. Puoi continuare a semplificare, dividen- 36 do numeratore e denominatore per 2: 3) Risposta esatta: E 4) Risposta esatta: E 6 36 = e 18 sono divisibili per 3, quindi: 3 18 = 1 6. Prova a svolgere il calcolo, aggiungendo a 2,61 uno zero dopo l 1 (nei numeri decimali, aggiungendo degli zeri a destra dell ultima cifra decimale, non viene modificato il valore del numero), come mostrato di seguito: 2,610 0,032 = 5) Risposta esatta: E 6) Risposta esatta: B 7) Risposta esatta: A 2, non è un numero primo perché è divisibile per 3: sommandone le cifre, infatti, ottieni = 12 e 12 è un multiplo di 3. 8) Risposta esatta: E 1250 è divisibile per 2 (infatti è un numero pari), per 5 (infatti termina con 0), per 10 (infatti termina con almeno uno zero), per 25 (infatti termina con 50), etc. 9) Risposta esatta: A 49 è divisibile per 7 (49, infatti, è il quadrato di 7), mentre 87 è divisibile per 3 (se sommi le cifre di 87 ottieni = 15 e 15 è un multiplo di 3). 10) Risposta esatta: B Pensa al multiplo di 11 immediatamente più piccolo di 58, ovvero 55. Chiediti: quante unità ci sono tra 55 e 58? La risposta è 3 e 3 è il resto della divisione tra 58 e 11 (in alternativa al metodo esposto, dovresti svolgere la divisione).

18 Capitolo IV: Abilità di calcolo ) Risposta esatta: E Sono: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ) Risposta esatta: A 89 è un numero primo, mentre i restanti sono quadrati perfetti (289 è il quadrato di 17, 1089 è il quadrato di 33, 529 è il quadrato di 23, 729 è il quadrato di 27). 13) Risposta esatta: D Prova a svolgere il calcolo, aggiungendo a 0,64 uno zero dopo il 4, come mostrato di seguito: 0,640 0,032 = 14) Risposta esatta: A Sono 1.331, 343 e ) Risposta esatta: B 0,608 Pensa al multiplo di 5 immediatamente più piccolo di 314, ovvero 310. Chiediti: quante unità ci sono tra 310 e 314? La risposta è 4 e 4 è il resto della divisione tra 314 e 5 (in alternativa al metodo esposto, dovresti svolgere la divisione). 16) Risposta esatta: E 676 è il quadrato di ) Risposta esatta: C Il prodotto di due numeri negativi dà come risultato un numero positivo: poiché 18 3 = 54, il risultato è ) Risposta esatta: A Pensa al multiplo di 7 immediatamente più piccolo di 351, ovvero 350 (se 35 è un multiplo di 7, anche = 350 è un multiplo di 7). Chiediti: quante unità ci sono tra 351 e 350? La risposta è 1 e 1 è il resto della divisione tra 351 e 7 (in alternativa al metodo esposto, dovresti svolgere la divisione). 19) Risposta esatta: A Sono 1 e 8. 20) Risposta esatta: B Per determinare il segno della moltiplicazione devi contare i fattori negativi: se sono dispari (come in questo caso) il risultato è negativo, se sono pari (ovvero se sono 2, oppure se sono 4, etc.) il risultato è positivo. Poiché = 60, il risultato dell espressione proposta è 60.

19 506 Libro V: Capacità critico-verbali e logico-matematiche - Sez. II 21) Risposta esatta: A Sono 1 e ) Risposta esatta: B Prova a svolgere il calcolo, aggiungendo a 2,19 uno zero dopo il 9 (nei numeri decimali, aggiungendo degli zeri a destra dell ultima cifra decimale, non viene modificato il valore del numero), come mostrato di seguito: 2,190 0,051 = 23) Risposta esatta: D Sono (quadrato di 32) e ,139 24) Risposta esatta: C Pensa al multiplo di 6 immediatamente più piccolo di 410, ovvero 408 (408 è un multiplo di 6 perché è un numero pari e sommando le cifre, ovvero = 12, si ottiene un multiplo di 3). Chiediti: quante unità ci sono tra 410 e 408? La risposta è 2 e 2 è il resto della divisione tra 410 e 6 (in alternativa al metodo esposto, dovresti svolgere la divisione). 25) Risposta esatta: E Ricorda che, quando si esegue un prodotto (ma lo stesso vale per l addizione e la sottrazione) l ultima cifra a destra del risultato è la prima che ottieni svolgendo il calcolo. Nell esempio proposto, moltiplicando 45,23 e 64,85, la prima operazione che dovresti svolgere è 3 5, che dà come risultato 15, costituito da 1 decina e 5 unità: 1 lo riporti, per utilizzarlo nel secondo passaggio, il 5, invece, lo ritroverai come ultima cifra del risultato. Questa osservazione ti consente di escludere immediatamente le opzioni A, B e C perché nessuna di queste ha come ultima cifra il 5 (in alcuni quiz, questa osservazione ti consente di arrivare immediatamente alla soluzione, senza nemmeno svolgere il calcolo). In questo caso, però, comunque avresti un dubbio tra due opzioni, la D e la E e, per essere certo di rispondere correttamente, devi svolgere l operazione nella sua interezza, come mostrato di seguito.