[ dbm] = (3 " 0,2 # 50 " 3) dbm = "10 dbm

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1 Esercizi di comunicazioni ottiche (SNR, Q, BER) Es. ) Consideriamo il caso di una linea in fibra ottica lunga 50 km con attenuazione di 0, db/km e dispersione cromatica compensata mediante un modulo di fibra compensatrice (DCM) che attenua 3 db. Supponiamo di avere una trasmissione STM-64 (ovvero con cadenza di circa 0 Gb/s) alla lunghezza d onda di 550 nm, con modulazione binaria d intensità di formato NRZ-OOK. La potenza trasmessa in corrispondenza dei bit è pari a mw (ovvero 3 dbm), mentre si annulla in corrispondenza dei bit 0. Il ricevitore è costituito da un fotodiodo PIN (efficienza 0,8) seguito da un circuito elettrico di amplificazione. Il ricevitore in questione è caratterizzato da una banda elettrica bilatera B m 0 GHz e da una corrente equivalente di rumore (NEC) di 8 pa/ Hz, definita su banda unilatera. Vogliamo determinare il valore di SNR elettrico dopo il ricevitore, il parametro di qualità Q di tale sistema di comunicazione ed il tasso di errore sul bit (BER, bit error rate). La potenza ottica di segnale (bit ) al ricevitore in dbm vale: P s [ dbm] (3 0, # 50 3) dbm 0 dbm Tenendo conto che P s { [ ]} [ dbm] 0 log 0 P s mw si ottiene in milliwatt: P s P s [ dbm] 0 [ mw] 0 mw 0 mw 0 4 W La potenza al ricevitore, dopo l attenuazione del tratto di fibra di 50 km, è quindi di 00 µw. L SNR è valutato come SNR SNR QL + NEC e #P s

2 cioè SNR P s h# $ B m $ + NEC e $ h# P s Calcoliamoci dapprima l SNR al limite quantico. Tenendo presente che l energia di un fotone alla lunghezza d onda di 550 nm è pari a 0,8 ev, si ottiene SNR QL h# P s $ che corrisponde a 48 db. 0,8 B m 0,8$,6 $0 %9 $0%4 $0 %0 6,5$0 4 Si ottiene poi un count-rate di segnale P s # h$ P s 0,8 0,8%,6 %0 &9 %0&4 6,5%0 4 s & ed un count-rate equivalente di rumore elettrico NEC e NEC % $ ' # e & 8(0 ) % $ ' s -,56 (0 6 s -. #,4(,6 (0 )9 & Il rumore elettrico (quantificato dalla NEC) è dominante sul rumore shot e l SNR vale: SNR SNR QL, ,50 4 6,50 4, che corrisponde a circa 34 db.

3 Valgono poi con buona approssimazione le relazioni Q SNR SNR 4Q Il parametro Q vale quindi Q,4 #03 4,5 ATTENZIONE: in tutte le espressioni precedenti abbiamo calcolato l SNR considerando la potenza ottica in corrispondenza del bit (che è il doppio della potenza ottica media). Si può poi determinare il BER a partire dal parametro Q utilizzando la seguente espressione: BER Q # exp % $ Q ( ' * & ) Tipicamente si considera accettabile un BER minore o uguale a 0-9, che corrisponde ad un parametro Q maggiore o uguale a circa 6. Nel caso poi di modulazione OOK-NRZ e rivelazione diretta con rumore termico dominante (come in questo esercizio) un Q uguale a 6 corrisponde ad un SNR di 44 (cioè,6 db). Si ha poi un BER minore o uguale a 0 - nel caso di un parametro Q maggiore o uguale a circa 7, ovvero un SNR di 96 (cioè,9 db). In questo sistema di comunicazioni ottiche su 50 km, con rivelazione diretta mediante fotodiodo PIN, il parametro Q che si ottiene è molto grande, quindi siamo praticamente in condizioni error-free. 3

4 NOTA: nel caso di ricevitore costituito da una resistenza di carico R L in parallelo al fotodiodo, si avrebbe una corrente equivalente di rumore pari alla radice quadrata della densità (unilatera) dello spettro di corrente del rumore Johnson di R L NEC R,T 4 B T R L Considerando poi R L 50 Ω, a temperatura ambiente, si otterrebbe NEC R,T 4 B T R L 4 # 5 mev 50 $ #0%3 #,6 #0-9 A Hz 8 pa Hz 4

5 Es. ) Supponiamo ora di aggiungere al sistema di comunicazioni ottiche precedente un ulteriore tratto di fibra di 50 km, ottenendo una lunghezza complessiva di collegamento pari a 00 km. La dispersione cromatica dell intero collegamento è compensata con un modulo di fibra compensatrice con un attenuazione totale di 6 db. Si calcolino SNR, Q e BER in questo caso. Rispetto a prima abbiamo una perdita aggiuntiva di (0, ) db 3 db cioè la potenza ricevuta si riduce di un fattore 0. Essendo il rumore elettrico dominante già nel caso precedente di collegamento lungo 50 km, risulta che l SNR diminuisce di circa 6 db, essendo in tal caso l SNR direttamente proporzionale al quadrato della potenza ricevuta. Quindi l SNR elettrico al ricevitore dopo 00 km è uguale a circa 8 db (cioè circa 6). Più precisamente risulta: SNR 6, , In questo caso l SNR è basso ed infatti abbiamo Q SNR 6,,4 BER,4 # exp % ' & $,4 ( * 0,5 ) cioè un inaccettabile tasso di errore. 5

6 Es. 3) Per migliorare le prestazioni del sistema di comunicazioni ottiche descritto nell esercizio precedente, si sostituisca il fotodiodo PIN con un fotodiodo a valanga (APD) di guadagno medio g 7, fattore di merito F ed efficienza η 0,8. Il circuito elettrico del ricevitore posto a valle del fotodiodo APD rimane inalterato, quindi il ricevitore ha la stessa NEC dell esercizio precedente. Si calcolino SNR, Q e BER. Valutiamo l SNR come SNR SNR QL F + NEC g e #P s Tenendo conto dei risultati dell esercizio precedente, abbiamo SNR 6, , 56 cioè 4 db, con un guadagno di circa 6 db grazie all APD al posto del PIN. Il rumore elettrico è prevalente sul rumore shot, anche se quest ultimo non è del tutto trascurabile. In generale sostituendo il PIN con l APD risulta che SNR shot (rapporto segnale / rumore shot) è diviso per F SNR el (rapporto segnale / rumore elettrico) è moltiplicato per L impiego dell APD al posto del PIN migliora l SNR quando il rumore elettrico è prevalente sul rumore shot, mentre lo peggiora quando è dominante il rumore shot. Il massimo miglioramento dell SNR (di un fattore g ) si ha quando il rumore termico è dominante. Nel nostro caso si ha un miglioramento dell SNR di un fattore 56 / 6, 4 che è un po inferiore a g 49 poiché per effetto dell APD il rumore shot non è più trascurabile rispetto al rumore elettrico, anche se minore. Il parametro Q può essere valutato con l espressione approssimata per rumore elettrico dominante: g 6

7 Q SNR 56 8 ed il BER vale circa BER 8 # exp % $ 8 ( ' * 6 +0 $6 & ) Vediamo ora di calcolare il valore esatto di Q: Q µ µ 0 # + # 0 # shot µ s + # el + # el Il numero medio di fotoelettroni generati dal ricevitore in un tempo T o (B m ), tenendo conto del fattore moltiplicativo g 7, risulta: µ s g P s g SNR QL 7 # 6,5#04 B m 0,9 #0 4 La varianza del numero di fotoelettroni dovuta al rumore shot è: shot g SNR QL F g SNR QL F g µ s e quindi la deviazione standard è shot F g µ s # 7 #,9 #0 4 5,5#0 La deviazione standard del numero di fotoelettroni dovuta al rumore termico è: el NEC e B m,4 #0 3 Il parametro Q è quindi Q, ,

8 Questo valore esatto è leggermente maggiore del valore approssimato di Q (uguale a 8) calcolato prima, essendo il rumore shot piccolo rispetto al rumore termico, ma non trascurabile. Quindi la stima di Q usata trascurando il rumore shot è approssimata per difetto (cioè conservativa in termini di prestazioni di sistema). Il BER calcolato a partire dal Q esatto è poi minore di quello calcolato a partire dal Q approssimato: BER 8,4 # exp % ' $ 8,4 & ( * +0 $7 ) 8

9 Es. 4) Si calcolino ora SNR, Q e BER assumendo un sistema di comunicazione ottiche del tipo precedente, con la sola modifica di aumentare il bit-rate a 40 Gb/s (trasmissione STM-56) e di conseguenza la banda del ricevitore (assumendo una banda elettrica bilatera B m 40 GHz). L aumento di banda del ricevitore comporta un incremento di egual misura sia del rumore shot, sia del rumore elettrico (essendo entrambi rumori bianchi filtrati dal ricevitore). Tenendo conto dell espressione SNR SNR QL F + NEC g e #P s #P s B m F + NEC g e #P s si vede come l SNR sia inversamente proporzionale alla banda B m. Pertanto l aumento di un fattore 4 della banda del ricevitore (passando da 0 Gb/s a 40 Gb/s) comporta di dover dividere per 4 l SNR trovato prima: SNR e quindi Q SNR 64 4 ed il BER vale circa BER 4 # exp % $ 4 ( ' * 3,3+0 $5 & ) Il BER trovato è abbastanza alto, anche se con un buon codice di correzione d errore (FEC) è possibile ottenere prestazioni praticamente error-free. Infatti i FEC attuali sono in grado di correggere un BER pre-fec di 0 3, con una ridondanza del 7%, ottenendo un BER post-fec minore di

10 Es. 5) Si consideri ora di aggiungere al sistema di comunicazioni ottiche dell esercizio 3 un ulteriore tratto di fibra di 00 km, aumentando anche di 6 db la perdita legata alla fibra per la compensazione di dispersione, in modo da avere una lunghezza complessiva del collegamento pari a 00 km. Si calcoli l SNR elettrico al ricevitore. Il collegamento da 00 km presenta una perdita aggiuntiva, rispetto al caso da 00 km, pari a (0, ) db 6 db cioè la potenza ricevuta si riduce di un fattore 400. Sapendo che l SNR nel caso di rivelazione diretta con rumore termico dominante è direttamente proporzionale al quadrato della potenza ottica di segnale, abbiamo una diminuzione dell SNR di 5 db, ottenendo un valore bassissimo SNR (4 # 6) db - 8 db che significa una potenza elettrica di rumore quasi 3 ordini di grandezza superiore alla potenza elettrica del segnale ricevuto, rendendo impossibile la ricezione dei dati. 0

11 Es. 6) Per cercare di ottenere un BER minore di 0-9 dopo 00 km, si consideri un collegamento composto da due tratte di 00 km di fibra (coefficiente di attenuazione 0, db/km) con alla fine di ognuna un modulo di fibra compensatrice della dispersione con perdita 6 db ed un amplificatore ottico di guadagno 6 db, che compensa esattamente l attenuazione di singola tratta, e fattore d inversione di popolazione n,5. La trasmissione è sempre NRZ-OOK con bit-rate 0 Gb/s e sp potenza trasmessa sui bit uguale a 3 dbm. L ASE è poi depolarizzato ed è filtrato otticamente al ricevitore con uno spettro idealmente rettangolare di banda B o 30 GHz. La potenza ottica di segnale, in corrispondenza dei bit, all ingresso dell ultimo amplificatore ottico è di -3 dbm, cioè P r mw 0,5#0 mw 5#0 6 W Quindi l SNR al limite quantico prima dell ultimo amplificatore ottico (considerando un efficienza quantica unitaria) è [ SNR QL ] P r r h B m 5#0 $6 0,8#,6 #0 $9 0$0 3,9 #0 3 Quest ultimo amplificatore introduce un rumore dovuto all ASE, generando in uscita un numero ( G ) n sp di fotoni di ASE per modo, che vengono rivelati dal fotodiodo in aggiunta a quelli di segnale. Anche il primo amplificatore genera alla propria uscita un numero ( G ) n sp di fotoni di ASE per modo. Siccome per ogni tratta l attenuazione della fibra è compensata esattamente dall amplificazione finale della tratta, risulta che il numero di fotoni di ASE del primo amplificatore che arrivano al fotodiodo è proprio uguale al numero di fotoni di ASE del secondo amplificatore. Quindi, ai fini dell SNR, il nostro collegamento composto da due tratte amplificate otticamente è equivalente ad avere una sola tratta amplificata, pur di raddoppiare il fattore n sp dell amplificatore ottico finale. Si ottiene: [ SNR SNR QL] r 3,9 #03 # n sp 6 6,5#0

12 che corrisponde a 8 db. Questo SNR è molto elevato e vediamo se garantisce un BER inferiore a 0-9 o addirittura inferiore a 0 -. Nel caso di rivelazione diretta in presenza di amplificatori ottici, con rumore dominante dovuto all ASE, vale la seguente relazione tra SNR e Q: SNR Q + M # Q Grazie a quest ultima espressione è possibile ricavare l SNR richiesto per avere un dato Q e quindi un dato BER. Ad esempio per avere BER 0-9, ovvero Q 6, deve essere, a seconda del numero di modi: M SNR 4,0 44,5 4 48,0 6 50,7 0 55,0 Nel nostro caso di ASE depolarizzato (quindi modi di polarizzazione) il numero totale di modi del rumore ASE è: M B! B m 30 GHz! 0 GHz o 6 Quindi ci vuole un SNR maggiore di 5 per avere BER minore di 0-9. Per avere BER minore di 0 -, ovvero Q maggiore di 7, deve essere SNR > Q + M Q , In questo esercizio abbiamo trovato SNR 650 e quindi il BER è decisamente minore di 0 -.

13 Es. 7) Si determini ora, nel caso sempre di trasmissione OOK-NRZ a 0 Gb/s con 0 dbm di potenza trasmessa per i bit, la massima distanza raggiungibile per avere BER 0-9. Si ipotizzi di avere un collegamento composto da una serie di tratte in fibra lunghe 00 km, con amplificatori ottici alla fine della tratta di guadagno 6 db (in modo da compensare esattamente l attenuazione di tratta, che comprende anche il modulo di fibra compensatrice della dispersione) e fattore d inversione di popolazione n sp. L ASE è poi depolarizzato ed è filtrato otticamente dopo ogni amplificatore con uno spettro idealmente rettangolare di banda B o 5 GHz. La potenza a fine tratta, all ingresso di ogni amplificatore ottico, in corrispondenza dei bit vale -6 dbm, cioè: P r mw 0,5#0 mw,5#0 6 W Detto K il numero di tratte, per calcolare l SNR possiamo considerare il nostro sistema equivalente ad avere una sola tratta con amplificatore ottico finale di fattore d inversione di popolazione pari a K n. Si ottiene [ SNR QL ] P r r h # B m,5#0 $6 0,8#,6 #0 $9 0$0,95#0 3 e l SNR elettrico al ricevitore vale, considerando dominante il rumore di battimento segnale-ase per i bit ed il rumore di battimento ASE-ASE per i bit 0: sp [ SNR SNR QL] r,95#03 K # n sp 4K Il numero di modi è poi 0,49 #03 K M B! B m 5 GHz! 0 GHz o 5 Tenendo conto della relazione 3

14 SNR Q + M # Q risulta che per avere BER 0-9, ovvero Q 6, deve essere SNR lim 49 Quindi il numero massimo di tratte per garantire questo SNR è K max 0, ,49 03 SNR lim 49 0 La massima distanza raggiungibile è infine L max 0 00 km 000 km 4

15 Es. 8) Si determini ora la massima distanza raggiungibile per avere BER 0-9 con un sistema amplificato multitratta come nell esercizio precedente con l unica modifica di ridurre la lunghezza di tratta a 50 km (e quindi attenuazione di 3 db per ogni tratta). La riduzione di 3 db dell attenuazione di tratta, cioè un fattore 0, comporta l aumento di un fattore 0 del numero massimo di tratte. La lunghezza di tratta ora è di 50 km, cioè dimezzata rispetto a prima e quindi l aumento della distanza massima è di un fattore 0/ 0 rispetto a prima, ottenendo una massima distanza raggiungibile di 0000 km (adeguata per i collegamenti sottomarini transoceanici). K max L max K max 50 km km 0000 km 5

16 Es. 9) Nel caso di collegamento in fibra di 00 km (attenuazione 0, db/km), con modulazione binaria d intensità di formato OOK-NRZ a 0 Gb/s e potenza trasmessa di 0 dbm per i bit, si consideri una rivelazione coerente omodina. L oscillatore locale ha una potenza di 3 dbm. Si valuti SNR, Q e BER nel caso sia di fotodiodo PIN (con η 0,7) che APD (con η 0,7, g 7 e F ). In entrambi il circuito elettrico a valle dei fotodiodi ha una corrente equivalente di rumore NEC 4 pa/ Hz, definita su banda unilatera. In generale l SNR per rivelazione coerente omodina vale SNR SNR omodino QL F + NEC e g #P l dove P l #P l ( h$ ) è il count-rate dell oscillatore locale. Inoltre compare l SNR al limite quantico per rivelazione coerente omodina, che è il quadruplo dell SNR per rivelazione diretta: SNR omodino QL 4P s # 4$P s B m h% # B m Il parametro Q è poi Q SNR Possiamo ora risolvere il nostro esercizio. L SNR al limite quantico è SNR omodino QL 4P s h# Si ha poi B m 4 $ 0,7 $0%7 0,8$,6 $0 %9 $0%0 8 P l #P l 0,7 % %0&3 h$ 0,8%,6 %0 &9 s&,09 %0 6 s & 6

17 e nel caso di fotodiodo PIN n J NEC 4 0 # $ ' & ) s - 3,5 0 6 s - e %,4,6 0 #9 ( Risulta che il rumore termico è più forte del rumore shot dell oscillatore locale. L SNR ed il parametro Q valgono rispettivamente SNR 8 + 3,5,09 8 4,3 5 Q 0,5 5 3,6 Il BER vale quindi, nel caso di fotodiodo PIN BER 3,6 # exp % $ 3,6 ( ' * +0 $4 & ) Vediamo ora che cosa succede sostituendo il PIN con l APD. Il guadagno dell APD riduce il peso del rumore termico, però bisogna tener conto del parametro di merito F dell APD. Si ottiene SNR 8 F + g 3,5 8 +, ,5,09 8,07 05 Con l APD migliora l SNR e diventa dominante il rumore shot dell oscillatore locale. Si ha poi Q 0,5 06 5, BER 5, # exp % ' $ 5, & ( * +0 $7 ) Il BER è diminuito con l APD, ma è ancora maggiore di 0-9. Per migliorare ulteriormente le prestazioni del sistema si può pensare di aumentare la potenza dell oscillatore locale. Questo aumento di potenza ridurrebbe il peso del rumore termico. Nel caso di fotodiodo PIN ci si 7

18 avvicinerebbe al limite quantico (depresso dall efficienza del fotodiodo). Invece nel caso di fotodiodo APD ci si avvicinerebbe al limite quantico depresso però da /F (oltre che dall efficienza del fotodiodo). Quindi per potenze sufficientemente alte di oscillatore locale le prestazioni migliori si ottengono con il fotodiodo PIN. 8

19 Es. 0) Si aumenti la potenza dell oscillatore locale di 0 db rispetto all esercizio precedente, portandola quindi a 3 dbm. Si determinino i nuovi valori di SNR, Q e BER, sia con fotodiodo PIN che APD. Nel caso di fotodiodo PIN: SNR 8 + 3,5 0, ,3 65 L aumento della potenza di oscillatore locale ha reso il rumore termico inferiore al rumore shot dell oscillatore locale e l SNR è migliorato apprezzabilmente. Si ottiene poi: Q 0,5 65 6,4 BER 6,4 # exp % ' $ 6,4 & ( * 7 +0 $ ) Il BER ora è diventato minore di 0-9. Nel caso di fotodiodo APD: SNR ,5 0,09 Q 0,5 09 5, BER 5, # exp % ' $ 5, & 8 ( * 9 +0 $8 ),0 09 e quindi il BER è di poco maggiore di 0-9. Poiché nel caso di APD il rumore shot dell oscillatore locale era già dominante con una potenza di oscillatore locale di 3 dbm, l aumento di tale potenza lascia praticamente inalterate le prestazioni del sistema. Inoltre l aumento della potenza di oscillatore locale a 3 dbm rende nel caso di fotodiodo PIN il rumore shot di oscillatore prevalente sul rumore termico. Tenendo poi conto che nel caso di APD il rumore shot è 9

20 maggiore rispetto al PIN (a causa del parametro di merito) si capisce perché le prestazioni migliori si ottengano ora con il PIN. 0