COMPITI IN CLASSE - MATEMATICA 4B

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1 COMPITI IN CLASSE - MATEMATICA 4B Esponenziali e logaritmi 1. Enuncia la proprietà dei logaritmi che conosci, poi semplifica l espressione: log ( log 4 (. Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche: ( x+1 a 4 x + = 0 b < 5x x c 4 x 5 x > 6 d log 5 log (x+1 = 0 e log x = log f x log x 0 g (5x 7 log x 1 log 1 (x E vero che le funzioni f(x = log x e g(x = log x coincidono? 4. La Banca di Flatlandia applica un interesse composto annuo del %. Ciò significa che il capitale depositato in banca aumenta del % alla fine di ogni anno. Pentagono deposita un capitale C 0 =1000 euro in banca. (a Calcola il capitale maturato (detto montante alla fine del primo (C 1, del secondo (C, del terzo anno (C, e in generale, alla fine dell n-esimo anno (C n. (b Quanti anni devono passare perchè il montante di Pentagono ammonti a 1500 euro? (c Scrivi una formula generale che calcoli il montante alla fine dell n-esimo anno, supponendo che il capitale iniziale sia C 0 e che la banca applichi un tasso di interesse pari a i %. (d Quanti anni devono passare perchè il montante diventi il doppio del capitale iniziale, se il tasso di interesse è del 4%? (e Che tasso di interesse deve essere applicato perchè il capitale iniziale sia raddoppiato alla fine del decimo anno? 5. (006s.q9 Si consideri la seguente uguaglianza: ln(x = 4 ln(x + 1. E vero o falso che vale per ogni x reale? Fornire un esauriente spiegazione della risposta. 6. (004s.q4 Risolvere la seguente disequazione in x: (ln x ln(x. ( 5 1. Dimostra che cos 6 π =.. Semplifica la seguente espressione. ( 11 cos(60 sin 6 π = 1 + tan (x Goniometria ( ( sin(x + 1 sin(x 1 tan(495. Di un angolo si sa che tan(α = 1 e che π < α < π. (a Disegna l angolo α sulla circonferenza goniometrica. (b Determina sin(α e cos(α. (c Scrivi l equazione della retta passante per P(,4 che forma un angolo α con la direzione positiva dell asse x. 4. Traccia il grafico delle seguenti funzioni: a y = x 1 b y = sin ( x π 5. Determina le equazioni delle funzioni in figura, a partire dal loro grafico: ( π 6. Che relazione c è tra sin(x e cos x? Dimostra la tua ipotesi. 1

2 7. Traccia il grafico della funzione y = arcsin(x, specificandone dominio e codominio. (a Come è stato possibile invertire la funzione y = sin(x, anche se questa non è biiettiva? (b E vero che arcsin( 1 = 70? Giustifica brevemente la risposta. (c Calcola l inversa della funzione y = sin(x e tracciane il grafico. 8. Determina, senza l aiuto della calcolatrice, il valore dell espressione: sin (75 cos (75 9. Disegna il grafico delle seguenti funzioni: (a y = 1 x 1 (b y = ( x sin Qual è il periodo della funzione (b? 10. (* Disegna il grafico della funzione : y = sin(x 11. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni goniometriche: a cos(x π sin(x π > 0 b sin(x + 1 cos (x = 0 c (tan(x 1( sin(x (009s.q6 Sono dati un angolo α di π radianti e un angolo β di 59 gradi. Si verifichi che sono entrambi maggiori di un angolo giro e minori di due angoli giro. Si dica quale dei due è il maggiore. Si dica inoltre se è più grande il seno di α o il seno di β. 1. (006s.q Il numero delle soluzioni dell equazione sin(x cos(x = nell intervallo reale [ 0, π ] è: A 0; B ; C ; D 5. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della scelta operata. 14. (005s.q Alberto e Gianna sono chiamati a risolvere la seguente equazione: sin(x cos(x = 1 4. Alberto ottiene come soluzione gli angoli x tali che x = π kπ oppure x = 1π + kπ (k intero qualsiasi; Gianna ottiene la soluzione x = ( 1 k π 1 + k π 1 (k intero qualsiasi. E vero o falso che Alberto ha risolto correttamente e Gianna no? Fornire una risposta esauriente. 15. (005o.q9 Si calcoli, senza l aiuto della calcolatrice, il valore di ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali. sin (5 + sin (55 Trigonometria 1. Di un triangolo isoscele si sa che il coseno degli angoli alla base è uguale a 5, e che l altezza è di 4 cm. Calcola il 1 coseno dell angolo al vertice, senza l aiuto della calcolatrice. Il triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo?

3 . Mario e Luigi si trovano ad una distanza di 10 metri. Tra di loro è stato piantato un palo, che Mario vede sotto un angolo di elevazione di 0 e Luigi sotto un angolo di elevazione di 40. Determina l altezza del palo (utilizza la calcolatrice dove necessario.. Anja risiede presso il circolo polare artico, alla latitudine Nord di 66 (+66. Zwanga si trova sullo stesso meridiano di Anja, ma alla latitudine Sud di (-. Una sera, Anja vede la luna esattamente all orizzonte, mentre Zwanga la vede proprio sopra la propria testa. Sapendo che il raggio della Terra è di circa 680 km, dare una stima della distanza tra la Terra e la Luna (utilizza la calcolatrice dove necessario. 4. Di un triangolo si sa che: b = 4, c =, e γ = π. Quanti triangoli esistono con queste caratteristiche? Traccia un 6 disegno per ogni caso possibile, e determina la misura di a per uno di essi (a piacere. 5. In una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r si consideri un punto P tale che P AO = x. Siano A e B le proiezioni dei punti A e B sulla retta per P tangente alla semicirconferenza. Si esprima in funzione di x la funzione: f(x = A A + B B OP. (a Si pongano le limitazioni su x e si dimostri che f(x = cos (x + cos(x sin(x. (b Determinare per quale valore di x si ha che f(x =. 6. (014s.q5 Un osservatore posto sulla riva di un lago a 6 m sopra il livello dell acqua, vede un aereo sotto un angolo di elevazione α di 4,4 e la sua immagine riflessa sull acqua sotto un angolo di depressione β di 46,5. Si trovi l altezza dell aereo rispetto all osservatore. 7. (014o.q1 Un triangolo ha un angolo α opposto al lato a = 4, e un angolo β = 0 opposto al lato b =. Si calcoli la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α. 8. (01s.q5 Un aereo civile viaggia in volo orizzontale con velocità costante lungo una rotta che lo porta a sorvolare Venezia. Da uno squarcio nelle nuvole il comandante vede le luci della città con un angolo di depressione di 7. Tre minuti più tardi ricompaiono nuovamente le luci, questa volta però l angolo di depressione misurato è di 1. Quanti minuti saranno ancora necessari perchè l aereo venga a trovarsi esattamente sopra la città? 9. (01o.q1 Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. 10. (01s.q5 Mentre corre con una velocità costante attraverso il deserto, montando il suo fido cammello, un capo tuareg vede la cima di una grande palma e dirige direttamente verso di essa. Al primo avvistamento la cima della palma si presentava con un angolo di elevazione di 4 ; venti minuti più tardi l angolo di elevazione misura 9. Quanti minuti sono ancora necessari al tuareg per raggiungere l albero? 11. (011s.q1 Si sa che alcuni uccelli, durante la migrazione, volano ad un altezza media di 60 metri. Un ornitologa osserva uno stormo di questi volatili, mentre si allontana da lei in linea retta, con un angolo di elevazione di 0. Se un minuto più tardi tale angolo si è ridotto a 0, con che velocità si stanno spostando gli uccelli? 1. (010o.q9 Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB =, AC = e ABC ˆ = 45. Si provi altresì che se AB =, AC = e ABC ˆ = 0, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Numeri complessi 1. E dato il numero complesso z, di cui si sa che z = e arg(z = 00. Rappresenta sul piano di Gauss, utilizzando righello e goniometro: a z + i a z b 5 z. Risolvi le seguenti equazioni a z + z i = 0 b z 5 + z + i z = 0. Semplifica la seguente espressione. Scrivi il risultato in forma esponenziale, trigonometrica e algebrica. (1 i i i e i π + e i π 6 4. Determina due numeri complessi z 1 e z tali che arg(z 1 = π e z 1 z = 1 + i.

4 5. (* Determina (ad es. rappresentandoli sul piano di Gauss i numeri complessi z tali che: z R(z = 0 Geometria solida 1. Sono dati il punto P(1,1,1 e la retta r di equazioni z = 4 e x = y + 6. (a Determina l equazione del piano contenente P e r. (b Determina le coordinate della proiezione ortogonale di P su r.. Sono dati il piano π : x + y + z = 4 e la retta r : P + < v >, dove P(,,0 e v(, 0,. (a Verifica che la retta r giace sul piano π. (b Determina l equazione del piano σ parallelo a π e passante per Q(0,0,1. (c Determina l angolo formato dal piano π e dalla retta passante per P e Q.. Sono dati il punto P(1,1,1 e la retta r di equazioni x + y = e y + z =. Determina l equazione della retta passante per P e incidente e perpendicolare a r. 4. Determina le coordinate del centro e il raggio della circonferenza che si ottiene intersecando la sfera di equazione x + y + z = 9 e il piano π : x + y + z =. 5. Calcolare l equazione del piano tangente alla sfera di equazione x + y + z = 9 nel punto di ascissa x = 1 e ordinata y =. 6. Un bicchiere per cocktail ha la forma di un cono rovesciato, avente raggio di base di 5 cm e altezza 1 cm. Il bicchiere è riempito di spumante fino ad un altezza di 8 cm. (a Calcola il volume (in litri dello spumante presente nel bicchiere. (b Un frutto di forma sferica e raggio cm finisce dentro al bicchiere e si incastra tra le sue pareti. Calcola a che distanza dal vertice del bicchiere si trova il centro del frutto. (c (Calcola l altezza che raggiunge ora lo spumante. 7. Calcola il raggio della semisfera inscritta in una piramide retta a base quadrata avente altezza h = 1 cm e spigolo di base l = 10 cm (la semisfera è tangente alle facce laterali della piramide, e il suo centro appartiene alla base della piramide. 8. Un cono di altezza x è inscritto in una sfera di raggio R. Determina il volume del cono in funzione di x. 9. (014s.q7 Una scatola di forma cilindrica ha raggio r e altezza h. Se si aumenta del 5% ciascuna sua dimensione, di quanto aumenterà, in termini percentuali, il suo volume? 10. (01s.q7 Un cubo di legno di pioppo (densità ρ 1 = 0, 85 g/cm ed un tetraedro regolare di cristallo (ρ =, g/cm hanno entrambi lo spigolo l = 5 cm. Quale dei due ha la massa maggiore? 11. (01o.q4 Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. 1. (01s.q7 Un ottaedro regolare di alluminio (densità ρ =,7 g/cm, avente lo spigolo l = 5 cm, presenta all interno una cavità di forma cubica. Sapendo che la massa dell ottaedro è m = 155 g, si calcoli la lunghezza dello spigolo della cavità. 1. (01o.q7 E dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo α formato da l e da h. 14. (011s.q7 Si domanda quale rapporto bisogna stabilire tra lo spigolo dell ottaedro regolare e lo spigolo del cubo affinchè i due solidi abbiano volumi uguali. 15. (011o.q9 Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell ipotenusa. 16. (010s.q7 Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume dell ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. 17. (010o.q Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. 4

5 18. (006s.q5 Calcolare l ampiezza dell angolo diedro formato da due facce di un tetraedro regolare, espressa in gradi sessagesimali ed approssimata al primo. 19. (005o.q8 I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei solidi? 0. (004o.q Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come sta a (00o.q Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A e A e volumi V e V. Si sa che A A =. Calcolare il valore del rapporto V V. Limiti 1. Enuncia la definizione di limite di una funzione reale di variabile reale. Poi, utilizzando la definizione, calcola il limite per x tendente a 1 della funzione: { x se x 1 f(x = se x = 1. Disegna un possibile grafico di una funzione che rispetti tutte le caratteristiche indicate: D(f = R lim f(x = + lim f(x = x x +. Traccia il grafico delle funzioni definite di seguito e determina graficamente: a il loro dominio, b il loro codominio, c la suriettività, iniettività e biiettività, d eventuali simmetrie (parità e disparità, e le intersezioni con gli assi, f il segno. Infine risolvi graficamente i limiti indicati a fianco. (a f(x = π arctan(x x 1 (b f(x = 1 x x 1 (c f(x = 1 x x (d f(x = x 1 x se x 0 (e f(x = x 1 ln(1 x se x > 0 x 5 + x 1 { sin(x se x 0 (f f(x = tan(x se x > 0 x π + x se x < 0 (g f(x = 1 se x = 0 arccos(x se x > 0 + 5