Dal campione alla popolazione

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1 Dal campione alla popolazione Monica Marabelli 20 Novembre 2015

2 L inferenza statistica La statistica si occupa di studiare le unitá/individui appartenenti alla popolazione statistica. Spesso, peró, non é possibile studiare l intera popolazione, quindi ci si limita a studiarne un campione. Si definisce campione casuale un sottoinsieme della popolazione. L inferenza statistica é quella parte della statistica che si occupa di stimare i parametri della popolazione per mezzo dei corrispettivi parametri campionari.

3 Il campione Per ciascun campione casuale si possono calcolare le stime puntuali che possono essere usate per stimare i parametri della popolazione. Ad esempio se vogliamo studiare l altezza media degli studenti che frequentano l universitá, possiamo studiarne un campione. Leggiamo i dati nel file altezza_campione.txt. setwd ("Y:/STATISTICA") survey <- read.table (file="altezza_campione.txt", header=true, sep="\t", dec=".")

4 Vediamo le prime 6 osservazioni e quali variabili sono riportate head(survey) Height NA In R i valori mancanti sono indicati con il simbolo NA. dim(survey) [1] 237 1

5 Calcoliamo la media del campione e la usiamo come stima del corrispondente parametro nella popolazione. Tuttavia, non per tutti gli studenti abbiamo l altezza: dobbiamo escludere i valori mancanti (NA). Usiamo quindi la funzione mean con il parametro na.rm=true. mean(survey$height, na.rm=true) # ignora i valori mancanti [1] Quindi una stima puntuale della media dell altezza degli studenti é cm.

6 In alternativa possiamo prima creare un vettore senza gli NA e poi calcolare la media sul nuovo vettore. height_clean <- na.omit(survey$height) sample_mean <- mean(height_clean) sample_mean [1]

7 L intervallo di confidenza A questo punto dobbiamo valutare l accuratezza della nostra stima. Lo facciamo calcolando l intervallo di confidenza. Di solito gli intervalli di confidenza si calcolano al 95%. Si ha cioé il 95% di probabilitá che la media della popolazione stia in questo intervallo.

8 Se la deviazione standard della popolazione é nota Assumiamo che la deviazione standard della popolazione (σ) sia conosciuta e sia La formula da utilizzare é la seguente: mean ± z σ n

9 Calcoliamo l errore standard della media ( σ n ) n <- length(height_clean) n [1] 209 sigma < # deviazione standard nella popolazione standard_error <- sigma/sqrt(n) standard_error [1]

10 Il valore critico z Un intervallo di confidenza al 95% significa che in ciascuna delle due code lasciamo il 2.5%. Il valore critico z é 1.96, che corrisponde al 97.5 esimo percentile.

11 Il valore critico z Se non ricordiamo il valore critico z possiamo calcolarlo con R. La funzione qnorm ci restituisce il quantile di una probabilitá p. v <- qnorm(p=0.975, mean=0, sd=1) v [1] 1.96

12 Calcoliamo l intervallo di confidenza Calcoliamo prima il margine di errore (z σ n ) e <- 1.96*standard_error e [1] Calcoliamo infine l intervallo di confidenza sample_mean + c(-e,e) [1]

13 In conclusione: Assumendo che la deviazione standard dell altezza nella popolazione sia 9.48 cm, il margine d errore sulla media dell altezza degli studenti é 1.29 cm. La media dell altezza é cm; l intervallo di confidenza al 95% va da a cm.

14 Esercizio 1 In un campione di 11 uomini estratti a caso da una data popolazione sono stati rilevati i seguenti valori di colesterolo (mg/100ml): 265, 208, 361, 143, 310, 252, 239, 225, 184, 220, 332. Assumendo che il livello di colesterolo abbia distribuzione normale con σ = 65 mg/100ml, si vuole determinare l intervallo di confidenza al 99% per il valor medio del colesterolo nella popolazione di riferimento.

15 Soluzione esercizio 1 Inseriamo i dati in un vettore colesterolo <- c(265, 208, 361, 143, 310, 252, 239, 225, 184, 220, 332) Calcoliamo la media del colesterolo media <- mean(colesterolo) media [1] 249

16 Soluzione esercizio 1 Calcoliamo l errore standard della media n <- length(colesterolo) n [1] 11 sigma <- 65 standard_error <- sigma/sqrt(n) standard_error [1]

17 Soluzione esercizio 1 Calcoliamo il valore critico z per un intervallo di confidenza al 99% v <- qnorm(p=0.995, mean=0, sd=1) v [1] Calcoliamo il margine di errore (z σ n ) e <- 2.58*standard_error e [1]

18 Soluzione esercizio 1 Calcoliamo quindi l intervallo di confidenza al 99% media + c(-e, e) [1] Quindi la media del livello di colesterolo é 249; l intervallo di confidenza al 99% per la media é (198.44, ).

19 Se la deviaz. standard della popolazione NON é nota Spesso la deviazione standard della popolazione non é conosciuta. In questo caso l intervallo di confidenza sulla media é calcolato nel modo seguente: s mean ± t n

20 Esempio Si vuole stimare la pressione arteriosa (PAS) di maschi di etá tra i 45 e i 64 anni. E stata misurata la PAS a 36 uomini nella fascia di etá di interesse selezionati a caso a partire dalla lista dei pazienti di un medico di base. Calcolare l intervallo di confidenza al 95% della PAS.

21 Leggiamo i dati nel file pas.txt pressione <- read.table(file="pas.txt", header=t, sep="\t", dec=".") attach(pressione)

22 colnames(pressione) [1] "PAS" Calcoliamo la media e la deviazione standard del campione sample_mean <- mean(pas) sample_mean [1] sample_dev.st <- sd(pas) sample_dev.st [1]

23 Calcoliamo la numerositá del campione n <- length(pas) n [1] 36 Calcoliamo l errore standard ( s n ) err_st <- sample_dev.st / sqrt(n) err_st [1]

24 Calcoliamo il valore critico t v_critico <- qt(0.975, df=n-1) v_critico [1] Calcoliamo il margine d errore (t s n ) e <- v_critico*err_st e [1]

25 Calcoliamo l intervallo di confidenza sample_mean + c(-e,e) [1]

26 Esercizio 2 Si supponga di disporre di un campione di 16 valori e di aver ottenuto una media campionaria x = 3 e una varianza campionaria s 2 = 4. Calcolare l intervallo di confidenza al 95%.

27 Soluzione esercizio 2 Definiamo i dati che abbiamo media <- 3 dev.st <- sqrt(4) n <- 16 Calcoliamo l errore standard ( s n ) err_st <- dev.st / sqrt(n) err_st [1] 0.5

28 Calcoliamo il valore critico t (95% IC) v_critico <- qt(0.975, df=n-1) v_critico [1] Calcoliamo il margine d errore (t s n ) e <- v_critico*err_st e [1]

29 Calcoliamo l intervallo di confidenza media + c(-e,e) [1]