Disuniformità con gradiente in direzione del campo ( )

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1 Disuniformità con gradiente in direzione del campo ( ) Una topologia di linee magnetiche come quelle mostrate in figura e caratterizzata da un gradiente del campo che produce una forza risultante nella direzione di B. La forza di Lorentz che compare nell equazione del moto (14-1) a causa del gradiente del campo ha una componente nelle direzione del campo: z (14.2) con : (14-3) r Dalla : si puo calcolare B r in funzione di B z. In coordinate cilindriche : z (14-4) 1

2 ossia: (14-5) Se r L è abbastanza piccolo che: Ossia Pertanto la forza e uguale a: B m = v q B (14-6) (14-7) (14-8) 2

3 Momento magnetico di una carica in moto Quando una particella entra nella struttura magnetica in cui il campo magnetico cresce, subisce una forza ritardante proporzionale alla componente del gradiente e alla quantità : (14-9) che e consistente con la definizione di momento magnetico di una spira di raggio r L percorsa da una corrente I = q Ω c /2π: (14-10) Scritta vettorialmente, la forza ritardante e pertanto : (14-11) Il momento magnetico e associato al moto di girazione nel piano perpendicolare al moto e punta in direzione di B ma in verso opposto. 3

4 Momento magnetico Un circuito piano a sezione rettangolare di area da = dx dy, percorso da una corrente I, immerso in un campo magnetico B(r) e soggetto ad una forza F avente componenti: dy z y B (14-12) dx ovvero: (14-13) e, se e il momento magnetico vettoriale del circuito x = (14-14) 4

5 Momento magnetico La forma del circuito non importa perché un circuito di forma qualunque può sempre essere scomposto in un gran numero di spire rettangolari adiacenti. Dunque le definizioni di µ : e della forza applicata F che può anche essere scritta come (14-15) (14-16) (14-17) e valida per un circuito avente una forma qualsiasi. Il fatto che µ sia sempre diretto in direzione opposta al campo, indica che il campo magnetico prodotto dal moto delle particelle del plasma si oppone sempre al campo magnetico esterno (diamagnetismo del plasma). La deriva di può essere scritta, introducendo il momento magnetico come: (14-18) 5

6 Invarianza del momemto magnetico Il momento magnetico di una particella in moto in un campo magnetico e un invariante del moto: Infatti da : (14-19) ossia : (14-20) Per la conservazione dell energia cinetica: (14-21) Sottraendo membro a membro la (14-20) e (14-21) (14-22) si ottiene: ossia (14-23) µ = cost che esprime la conservazione del momento magnetico di una particella in moto in un campo magnetico 6

7 Conservazione del momento angolare della particella La conservazione del momento magnetico riflette la conservazione del momento angolare della particella rispetto al centro di guida. Il momento L = angolare della particella rispetto al centro di = guida e per definizione (14-23) che si conserva durante il moto. = 7

8 Il campo magnetico generato da una corrente anulare a distanza molto più grande di R, è simile a quello di un dipolo magnetico con lo stesso momento. Nella figura si fa vedere che il campo magnetico creato dalle particelle sia positive che negative, che si muovono in un campo magnetico uniforme, si oppone al campo magnetico esterno all'interno del le orbite, il che equivale ad un dipolo diamagnetico. Diamagnetismo del plasma Osserviamo che la direzione di µ m non dipende dal segno della carica; infatti, se si cambia segno a q, si inverte la direzione di v. Questa è l'origine delle proprietà diamagnetiche dei plasmi 8

9 Specchio magnetico Una applicazione della costanza del momento magnetico e il sistema di confinamento a Specchio Magnetico. Riflessione Particella R B piu forte B meno forte B piu forte Una carica che si muova in direzione assiale e soggetta ad entrambe le estremità a una forza che tende a rallentare il suo moto in entrambe le direzioni. Se il campo magnetico e sufficientemente elevato, la direzione del moto si inverte. In questo caso le particelle sono confinate anche assialmente all interno della trappola magnetica che viene chiamata specchio (magnetic mirror). 9

10 Specchio magnetico Si consideri una particella con carica q che si muove in direzione parallela all asse della struttura magnetica e sia : K = la sua energia cinetica nel punto R. (14-24) Nel punto R ci sarà una riflessione del moto se la velocità parallela si annulla, ossia se: (14-25) La conservazione del momento magnetico calcolata nello stesso punto impone: (14-26) E combinando le due Ossia la condizione per ottenere una riflessione della particella nel punto R e (14-27) Condizione di specchio 10

11 Specchio magnetico Se nello spazio delle velocità si definisce un angolo di inclinazione (pitch angle) del v v z vettore velocità rispetto alla direzione del campo magnetico e evidentemente : (14-28) e se θ 0 e troppo piccolo non ci sarà riflessione ma la particella sfuggirà in direzione assiale dalla zona di confinamento. L angolo limite magnetico, (simile all angolo limite ottico) e evidentemente: θ 0 v // = r (14-29) E si potrà identificare un cono di perdita sotteso dall angolo limite 11

12 Specchio magnetico Il cono di perdita divide lo spazio delle velocità in due parti: al suo esterno le particelle sono confinate; al suo interno sono perse. Essenzialmente sono confinate le particelle ad alta velocità perpendicolare. Il flusso magnetico incluso in un orbita di girazione e dato da: (14-30) ed e pertanto costante 12

13 Invarianti adiabatici E noto in meccanica classica che un se un corpo e in moto periodico, l integrale di azione, A = pdq dove p e q sono i momenti e le coordinate generalizzate, che variano periodicamente, e invariante nel moto. Queste quantità rimangono invarianti (invarianti adiabatici) anche se il moto del sistema non e esattamente periodico purché i parametri del sistema subiscono modificazioni lente rispetto al periodo di rotazione. L esistenza di invarianti adiabatici permettono spesso di risolvere in un modo semplice complicati problemi di dinamica. I moti di particelle cariche in campi magnetici sono sempre periodici ed esistono tre invarianti adiabatici associati al loro moto. Se assumiamo che p = mvr e il momento angolare e θ l angolo di rotazione nel piano perpendicolare al campo magnetico 2 2µ B 2 mv m v pdq = mv dθ = 2πrL mv = 2π = 4π µ Ωc q = m Ω q B c m 13

14 Accelerazione di particelle nello spazio In uno specchio magnetico a simmetria assiale. (Figura 14 a) cariche che vengano iniettate nelle regioni di campo meno intenso tra le due compressioni e che abbiano angoli di iniezione al di fuori del cono di perdita, sono intrappolate tra due punti di specchio e si muovono avanti indietro tra di essi. Sono tuttavia possibili specchi magnetici in diverse geometrie in particolare in geometria di dipolo magnetico, come quello terrestre, mostrato in Figura 14 b) Figura 14 Figura 14 14

15 Anche in questo caso le linee di flusso si addensano verso i poli magnetici. Possiamo quindi pensare alle regioni polari come a due punti di specchio che danno origine a un confinamento magnetico: cariche iniettate (principalmente dal vento solare) in questo campo, al di fuori del cono di perdita, sono intrappolate tra le due regioni polari e si muovono avanti e indietro lungo le linee di flusso. Data la forma delle linee di campo, sono presenti effetti di deriva di curvatura e di gradiente, che agiscono ambedue nella direzione azimutale. Il centro di guida delle particlle pertanto, nel suo moto tra i punti di specchio, si muove anche azimutalmente intorno all asse del dipolo. Cariche di segno opposto hanno moti azimutali contrari e danno quindi origine ad una corrente di deriva intorno al dipolo. Questa configurazione è all origine delle cosiddette fasce di Van Allen, scoperte intorno alla Terra nel 1958 dalle prime sonde spaziali Explorer e Sputnik, e costituenti la magnetosfera chiusa del nostro pianeta. Nelle fasce si trovano elettroni con energie tra 40 kev e 1 MeV e protoni con energie tra 100 kev e 1 GeV, che hanno punti di specchio a latitudini intorno ai 70 e si estendono tra 1.5 e 5 volte il raggio terrestre; 15

16 Le particelle di più bassa energia sono intrappolate nelle regioni più esterne, quelle di alta energia arrivano al bordo superiore della ionosfera, intorno a qualche centinaio di km. I flussi di particelle variano tra 10 4 e 10 7 particelle cm 2 s 1. Le fasce sono formate dalla cattura di particelle cariche del vento solare che penetrano nella magnetosfera, ma anche da cariche energetiche evaporate dalla ionosfera terrestre; intense fasce di elettroni sono state osservate formarsi a seguito delle esplosioni nucleari in atmosfera. Le fasce variano irregolarmente in relazione all attività solare; le particelle delle fasce si scaricano nei punti di specchio delle regioni polari per interazioni con le particelle dell atmosfera terrestre, e sono responsabili dell attività geomagnetica e delle aurore. I moti di deriva generano la cosiddetta corrente ad anello che scorre lungo le fasce in direzione azimutale. 16

17 Meccanismi di accelerazione I voli di palloni di Hess del 1912 mostrarono che la Terra è esposta a radiazioni ionizzanti provenienti dal di fuori dell atmosfera, e quindi di origine extraterrestre. Quelli che furono chiamati raggi cosmici sono particelle cariche di alta energia, principalmente elettroni, protoni e nuclei leggeri. Lo spettro energetico dei raggi cosmici si estende dai 10 3 ai ev; tra 10 9 e i ev lo spettro segue una regolare legge di potenza (Figura. 14.7): N (E)dE E 2.66 de. L origine dei raggi cosmici è un problema ancora non risolto, sebbene oggi vi sia un consenso generale che esistano due componenti, una di origine galattica con particelle di energia fino a circa ev ed un altra di origine extragalattica che raggiunge i ev. Un indicazione che raggi cosmici siano prodotti anche in altre galassie è data dall osservazione di radiazione sincrotrone, specialmente nelle radiogalassie estese, in cui elettroni relativistici debbono essere efficientemente prodotti in modo continuo sull intera vita della sorgente. Nei nuclei delle galassie attive, quasars, blazars, ecc., la radiazione X e gamma richiedono inoltre la produzione di ioni di alta energia. 17

18 Parte di queste particelle possono sfuggire dagli oggetti e riempire lo spazio intergalattico. La presenza diffusa di particelle di alta energia appare indicare che esistano meccanismi di accelerazione di tipo universale in molte sorgenti astrofisiche. Un utile testo di riferimento per l approfondimento del problema astrofisico è stato pubblicato da Longair (High-Energy Astrophysics, 1994). E utile illustrare uno dei principali meccanismi per l accelerazione dei raggi cosmici proposto nel 1949 da Fermi e che si basa proprio sul principio di confinamento magnetico in sistemi a specchio. Fermi considerò, sulla base dei dati osservativi sul mezzo interstellare, che questo fosse composto di nuvole magnetizzate che si muovono in modo caotico, connesse tra loro da un campo magnetico medio diffuso di basso valore. Figura Particelle elettricamente cariche, elettroni e ioni, seguono traiettorie composte da moti di girazione e derive del centro di guida; in particolare possono essere intrappolate nel campo debole tra due nuvole magnetizzate dove invece il campo medio è più intenso (che quindi possono costituire sistema di confinamento magnetico cosmico) e possono essere diffuse al di fuori della bottiglia non appena acquistano un energia superiore a quella di confinamento. 18

19 Lo schema generale dell interazione è quello di una distribuzione isotropa di particelle che subiscono riflessioni a specchio con una distribuzione isotropa di nuvole magnetizzate. Nelle riflessioni è presa in considerazione anche la presenza della velocità propria U della nuvola, che può essere concorde o discorde con la velocità u della carica di massa m lungo il campo. Si consideri una singola collisione elastica tra nuvola magnetica e particella, schematizzata in figura. Si suppone che la nuvola magnetica abbia una massa infinita e pertanto che il sistema di riferimento della nuvola sia lo stesso di quello del baricentro della collisione. L energia E della particella in questo riferimento e la componente p x del suo momento parallela alla direzione della velocità U della nuvola saranno pertanto: Figura 14-11) (14-31) dove θ e l angolo tra le direzioni di p ed U dopo la collisione. Nella collisione con un ostacolo di massa infinita l energia nel centro di massa si conserva e il segno dell impulso si inverte ossia (14-32) 19

20 Nel sistema dell osservatore e invece (14-33) e pertanto la variazione di energia (14-34) dove il II termine del II membro e dominante (u >> U) ma dipende da θ, variando da un guadagno di energia per θ = 0 (head on collision) ad una perdita di energia θ = π (overtaking collision) Mediando sulla funzione di distribuzione degli angoli di collisione si ottiene per u c: (14-35) che rappresenta il guadagno medio di energia in una singola collisione alla Fermi. Per potere calcolare lo spettro dei raggi cosmici è necessaria una valutazione media della variazione di energia in funzione del tempo, e per questo e necessaria una valutazione media della distanza L fra nuvole magnetizzate. Il tempo medio tra due collisioni t = L/(u cos Φ) dove Φ è l angolo tra la velocità u e la direzione del campo magnetico. Il tempo medio (mediato su Φ) diventa < t > L/2c dove il fattore ½ è dovuto alla media sul coseno. 20

21 Il tasso di crescita diventa pertanto : de dt E < t > (14-36) Per ricavare lo spettro tipico che deriva da questo tipo di dinamica si suppone che al tempo t le particelle nell intervallo di energia traee E+ΔE sianof(e)δe; al tempo t+δt saranno state rimpiazzate da quelle che avevano al tempo t energia trae e E + ΔE dove E = E αeδt ed E + ΔE = (E + ΔE) α(e + ΔE) Δt che sonof(e )ΔE = F(E αeδt) Sviluppando in serie di Taylor per piccoli ΔE si ottiene:. Pertanto la variazione di F(E)ΔE nell intervallo di tempo t è : F ( E) E = F' (E) E' - F(E) E = e sviluppando ancora per piccoli αeδt: (14-37) (14-38) (14-39) ossia dividendo per t Ε e passando al limite per t 0: (14-40) 21

22 Se le particelle rimangono confinate nella regione delle nuvole (la Galassia nel caso specifico) per un tempo tipico τ dopo il quale vengono perdute perchè aumentando la loro energia, possono sfuggire dai punti a specchio, occorre aggiungere un termine di perdita: la cui soluzione in condizioni stazionarie, F/ t 0, è:. Questa relazione mostra che il meccanismo statistico di riflessione da parte di nuvole magnetizzate nel mezzo interstellare può generare spettri di potenza; questo è il più significativo risultato del modello proposto da Fermi. (14.41) (13.42) Vanno menzionati tuttavia alcuni punti di incertezza, pur tenendo conto della semplicità del modello. 1. α e τ debbono essere indipendenti dall energia per produrre una legge di potenza; soprattutto una costanza di τ sembra difficile da giustificare, anche se ciò può avere effetto solo sulla parte di alta energia dello spettro. 2. Per spiegare gli indici spettrali osservati occorre che ατ 1 in tutti i casi, richiesta non ovvia tenendo conto della varietà di situazioni e parametri fisici. 22

23 Nel caso dei raggi cosmici nella Galassia è stato proposto che, essendo paragonabili le densità di energia nei raggi cosmici e nella dinamica delle nuvole (equipartizione), la velocità delle nuvole si aggiusti in modo da produrreατ 1; d altra parte i valori stimati osservativamente per le due quantità non sembrano soddisfare questa richiesta del modello. 3. Il processo di collisione magnetica dev essere effettivamente molto soffice e lento per evitare che i nuclei dei raggi cosmici si frantumino. 4. Una difficoltà comune a tutti i processi di tipo stocastico è la loro intrinseca anisotropia. La collisione tra particella energetica e nuvola fornisce energia parallela al campo magnetico, per cui la riflessione risulta sempre più difficile man mano che procede l accelerazione. Per mantenere il processo serve dunque un ulteriore processo che ridistribuisca l energia isotropicamente, come ad esempio le collisioni con onde turbolente isotrope. 5. Il processo di accelerazione compete anche con le perdite energetiche che sono state trascurate. In effetti esiste un energia di soglia al di sotto della quale le particelle perdono radiativamente più rapidamente di quanto guadagnino. Pertanto non si può pensare che il meccanismo di Fermi sia sufficiente: può essere in grado di accelerare particelle che già abbiano superato l energia di soglia, per cui è richiesto un meccanismo di preaccelerazione (Fig ). 23

24 Il processo di Fermi è comunque piuttosto lento, essendo il tipico guadagno di energia proporzionale a (U/c) 2 con la velocità media delle nuvole del gas interstellare U 15 km s 1 molto piccola rispetto alla velocità della luce. Una possibilità per rendere il processo più efficiente è quella di costruire situazioni in cui tutte le collisioni siano head-on. Ciò può ad esempio avvenire nei fronti delle onde d urto ove irregolarità magnetiche su ambedue i lati del fronte possano funzionare da centri di riflessione che intrappolono particelle. Le particelle possono muoversi avanti e indietro attraverso il fronte e ad ogni passaggio subiscono collisioni head-on. In tal caso si mostra che il tasso di accelerazione de/dtdiventa proporzionale alla prima potenza del rapporto U/c, e si parla quindi di processo di Fermi del prim ordine, mentre quello stocastico precedente viene indicato come processo di Fermi del second ordine. Figura