13 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario È data la funzione esponenziale = 4e e +. a. Dopo aver verificato che si tratta di una funzione dispari, disegnarne il grafico Ɣ. b. Dimostrare che è invertibile, determinare la sua funzione inversa e disegnarne il grafico G. c. alcolare l area della regione del secondo quadrante delimitata da Ɣ, dall asse, dall asintoto di equazione =e dalla retta di equazione = k. Determinare k in modo che tale area sia. alcolare poi l integrale improprio con k. d. Individuare il rettangolo D di area massima che ha il vertice sull arco di Ɣ che si trova nel quarto quadrante, il lato sull asintoto di equazione = e il lato D sull asse. Determinare l ascissa del punto con un errore inferiore a 0,0. a. = e + 4e e + = e e + f( ) = e e + = e e +e = e + = f() e La funzione è dispari. D = R Interseca l asse nel punto =0, infatti e =0 e = =0,ovvero (0; 0). sintoti: ( ) e lim f() = lim e ( + + e + ) = = asintoto orizzontale a + e lim f() = = =asintoto orizzontale a LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI = e (e +) e ( e ) (e +), = 4e (e +) < 0 in tutto il dominio. La funzione è decrescente in tutto il dominio. = 4 e (e +) e (e +)e (e +) 4, = 4 e + e e (e +), = 4e (e ) (e +)

2 > 0 quando >0, allora f() ha la concavità verso l alto; < 0 quando <0, allora f() ha la concavità verso il basso. = = b. La funzione data è continua e monotòna crescente in tutto il suo dominio, ovvero biunivoca tra R e l intervallo ( ; ), che è il suo codominio. Dunque è invertibile. = e e + e + = e e ( +)= e =, con <<, + da cui + > 0 =ln + =ln con D =( ; ) e = R. + Il grafico G di tale funzione è il simmetrico di Ɣ (ovvero del grafico della funzione data e studiata nel precedente punto a) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. omunque si verificano qui di seguito le caratteristiche principali: = 4e e + LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI lim + f() =+ asintoto verticale di equazione = (a destra) lim f() =+ + asintoto verticale di equazione =(a sinistra) = + + ( + ), = 4 4 > 0 in tutto il dominio; la funzione è decrescente in tutto il dominio. = 4 (4 ) ( ), = 8 (4 ) > 0 quando <0 e < 0 quando >0.

3 c. 0 k ) ( + 4e e d =[4ln(e + )] 0 k + =4[ ln ln(e k +) ] =4ln e k +. = = = k =ln + = LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI = = 4e e + 4 ln e k + = ln e k + = e k + = e e k +=e e k =e e k = e e k =ln e e ln 0,,55 lim 4ln k e k =4ln,77. +

4 ) d. (; 4e e con >0; + = D = 4e e + ( ) = 4 4e e + = 4 e + rea di D: D = D = = 4 e + con >0 = = 4e e + = D 4 e + =4 e + e (e +) > 0 se e ( )+> 0 e ( + e ) > 0 Si devono dunque studiare il segno e gli eventuali zeri della funzione g() =e ( )+,ovvero g() =e ( + e ) e quindi, per la positività di e,è sufficiente studiare il segno e gli zeri del fattore tra parentesi: f() = + e. onfrontando il grafico della funzione = e con la retta di equazione =, si può stabilire che l equazione data ammette un unica soluzione che intuitivamente è da ritenere appartenente all intervallo [; ]. LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI = e = 4

5 La funzione che è al primo membro dell equazione è una funzione continua e derivabile, e assume valori di segno opposto agli estremi dell intervallo, p() = e > 0 e p() = + e < 0. In tali ipotesi si può affermare che l equazione ammette una soluzione in [; ]. Si può allora procedere a determinare tale soluzione, ad esempio, con il metodo di bisezione, calcolando la funzione che è al primo membro dell equazione nel punto medio degli intervalli che hanno per estremi punti in cui la funzione assume segno opposto. Il procedimento e i vari calcoli sono sintetizzati nella seguente tabella. a,0000 b,0000 Il valore cercato è dunque,8. Problema f (a) 0,679 f (b) 0,8647 m = a + b,5000 In una circonferenza di diametro =8cm è data la corda, tale che  =60. Nella semicirconferenza opposta rispetto a quella dove si trova la corda, si consideri la corda PQ =4cm, indicando con P il punto della circonferenza più vicino ad, ovvero in modo tale che P Q sia un quadrilatero convesso. a. Dimostrare che, al variare della corda PQ nel maggiore dei due archi individuati dalla corda, il quadrilatero P Q è un trapezio isoscele. b. Esprimere il perimetro di tale trapezio in funzione dell angolo ÂQ = e sia = f() tale funzione. Individuare il trapezio di perimetro massimo al variare della posizione della corda PQ nell arco considerato. c. Determinare gli eventuali trapezi P Q che siano base di una piramide retta di vertice V. alcolare l area della superficie laterale di tali piramidi, sapendo che l altezza VH è uguale alla somma delle basi di tali trapezi. d. Riferita la figura a un opportuno riferimento cartesiano ortogonale, si scriva l equazione della data circonferenza e si calcoli il volume del solido ottenuto da una rotazione completa intorno al diametro della regione piana compresa tra la corda e il minore degli archi da essa individuato. f (m) 0,769 confronto di f (m) con e > 0 0 continua,0000,5000 0,679 0,769,500 0,065 + e > 0 0 continua,500,5000 0,065 0,769,750 0, + e > 0 0 continua,500,750 0,065 0,,5 0,044 + e > 0 0 continua,500,5 0,065 0,044,8 0,006 + e < 0 0 stop LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI 5

6 a. La corda è uguale al raggio della circonferenza: infatti il triangolo è equilatero, perché è isoscele e ha un angolo alla base che misura P Quindi = PQ, essendo PQ uguale al raggio per ipotesi. Tracciata la diagonale Q, si osserva che essa forma con i lati opposti P e Q due angoli (QÂP e Q) alterni interni uguali, poiché sono angoli alla circonferenza che insistono su corde uguali. Quindi P è parallelo a Q, qualunque sia la posizione della corda PQ,e il quadrilatero P Q risulta essere un trapezio isoscele. b. QÂP =0 (angolo alla circonferenza che insiste su una corda uguale al raggio) ÂQ = con 0 <<0 (0 quando Q, 0 quando P ) Q =8sen PQ = ÂP = +0 P Q = = 0 P =8sen(0 ) Q P Q LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI P Q Perimetro del trapezio: p =4+4+8sen +8sen(0 ) =8[+sen + sen(0 )] = =8[+sen 60 cos(60 )] p =8[+ cos(60 )] Si può notare che tale perimetro è la somma tra un valore positivo con il valore del cos(60 ) e quindi assume il valore massimo quando è massimo il cos(60 ), ovvero quando, nel dominio, 60 =0, cioè =60, che corrisponde al rettangolo con la diagonale Q che coincide con il diametro. 6

7 c. In una piramide retta, il poligono di base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede dell altezza coincide con il centro di tale circonferenza. In una piramide retta le altezze delle facce laterali sono tutte uguali. La condizione di circoscrittibilità per un quadrilatero prevede che la somma di due lati opposti deve essere uguale alla somma degli altri due. Nei trapezi P Q, i lati obliqui sono entrambi uguali al raggio e quindi la loro somma misura 8 cm. nche la somma delle basi deve allora avere misura uguale a 8 cm. 8 sen +8sen(0 ) =8 sen 60 cos(60 ) = cos(60 ) = cos(60 ) = 60 = ± arc cos =60 ± 54,74 =5,6 e = 4,74. Si ottengono dunque due soluzioni, ovvero due trapezi P Q tra loro simmetrici rispetto all asse della corda. Q Q L L P LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI P L altezza delle due piramidi rette richieste misura 8 cm e il perimetro di base di ogni trapezio misura 6 cm. Essendo tra loro simmetriche hanno anche le aree delle superfici laterali uguali. P L K Q Si consideri la soluzione = 4,74. Per calcolare l altezza delle facce laterali serve la misura del raggio della circonferenza inscritta: 7

8 K = Q = 8 sen 4,74 =,6cm KĈL = [80 (0 + 4,74 )] = 7,6 LK = K tg 7,6 =,6tg7,6 =,4 cm VK = VL + LK = 64 +,0 = 8,08 cm Q P L V rea della superficie laterale di ognuna delle due piramidi: (P + PQ+ Q + ) VK = 6 8,08 = 64, 64 cm. d. Si fissa il riferimento con l origine nel centro della circonferenza, con l asse che contiene il diametro e con l unità di misura uguale a un segmento lungo cm. L equazione di tale circonferenza è: + =6. K LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI 4 T 4 L equazione dell arco è: = 6, con 4. Il volume richiesto può essere calcolato sottraendo al volume del solido generato dalla rotazione dell arco intorno all asse il volume del cono generato dalla rotazione della corda. =4 cm T = cm 8

9 π 4 ( 4 6 ) d = π (6 )d = π [6 ( = π ) =7πcm. Volume del cono = π 4 6=6π cm. Volume richiesto = (7π 6π)cm =66π cm. Questionario Sono date le funzioni = log e =( ). Disegnare i loro grafici e i loro eventuali punti d intersezione. = log D = { R >0e } = =4 =( ) D = R { =4 =( ) ( ) =4 ( ) = ± = =5 = =non accettabile, perché / Ddi = log. L unico punto d intersezione è P (5; 4). ] 4 = LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI =( ) =4 5 9

10 Dimostrare che in un pentagono regolare le diagonali sono tutte uguali e che il lato è la sezione aurea della diagonale. alcolare inoltre il rapporto tra lato e diagonale. L uguaglianza delle diagonali può essere dimostrata o ricorrendo ai criteri di uguaglianza tra triangoli o alle simmetrie (o alle rotazioni) rispetto alle quali il poligono regolare è invariante. E D I triangoli ED, D,, E, ED sono uguali per il primo criterio di uguaglianza, avendo due lati rispettivamente uguali, in quanto lati del pentagono regolare, ad esempio E = D = ED =, e gli angoli tra essi compresi uguali, in quanto angoli del pentagono regolare, ad esempio ÊD = DĈ. ppure, ricorrendo alle simmetrie assiali del pentagono regolare che hanno per assi gli assi dei lati, si può osservare che le diagonali si corrispondono a due a due in ognuna di esse e che quindi, per la proprietà transitiva, sono tutte tra loro uguali. LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI E D Si costruisce sulla diagonale D un punto F in modo tale che DF = DE. Si osserva che sono tutti tra loro uguali gli angoli E D, D, D perché insistono tutti su corde ovvero archi uguali. I triangoli D e EDF sono allora simili per il primo criterio di similitudine: infatti, essendo isosceli con l angolo al vertice uguale, hanno gli angoli rispettivamente uguali. 0

11 Vale dunque la seguente proporzione: D : DE = : EF. sserviamo, inoltre, che il triangolo EF è isoscele, perché ha due angoli uguali, ÊF = F ÂE; infatti: gli angoli di un pentagono regolare misurano tutti 08, infatti: (5 )80 :5=540 :5=08 ; E D = DÂE =6, perché ognuno è la terza parte di 08 ; F ÊD =7, perché angolo alla base di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 6 (sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 80, F ÊD = (80 6 ):=7 ); ÊF = 08 7 =6 = F ÂE. Si ottiene allora che EF = F = D DF = D DE. Indicando la diagonale e il lato del pentagono regolare rispettivamente con d e l, la precedente proporzione si può scrivere d : l = l :(d l). Si può concludere che, in un pentagono regolare, il lato è medio proporzionale tra la diagonale e la «parte rimanente», ovvero che il lato è la sezione aurea della diagonale. Dalla proporzione si ottiene: l = d(d l) l + dl d =0 l = ± 5 d, delle quali è accettabile solo + 5 Il rapporto richiesto è dunque l d = + 5 E D F 0,68. perché è positiva. LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI In un tetraedro regolare, calcolare l ampiezza di ogni diedro e quella dell angolo che uno spigolo forma con il piano di una delle facce cui non appartiene. Un tetraedro regolare è una piramide regolare e in particolare retta, quindi il piede della sua altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base

12 che, in questo caso, è un triangolo equilatero. Tale centro (incentro) è anche il baricentro e l ortocentro del triangolo. Si indichi con l lo spigolo del tetraedro regolare. Si faccia riferimento al triangolo KH, rettangolo in H, perché l altezza del tetraedro H è perpendicolare a ogni retta del piano passante per il suo piede H. Il segmento KH è della mediana K, che è anche altezza, del triangolo equilatero D. Essendo l altezza di ogni faccia l, si ha che KH = l l =. 6 Inoltre, K = l perché è altezza della faccia D per il teorema delle tre perpendicolari. D H LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI llora si ha che cos KH = KH K = l l : = 6 arc cos 70,5 Quella ottenuta è la misura dell angolo KH,che è l angolo diedro richiesto perché ottenuto dalla sezione del diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. D r H Si faccia ora riferimento al triangolo H, rettangolo in H, perché l altezza del tetraedro H è perpendicolare a ogni retta del piano passante per il suo piede H.

13 Il segmento H è della mediana, ovvero dell altezza del triangolo equilatero D. l Essendo, come già scritto sopra, l altezza di ogni faccia, si ha che H = l l =. llora cos H = H = l arc cos 54,74 :l = Quella ottenuta è la misura dell angolo H, che è l angolo richiesto perché formato dalla retta cui appartiene lo spigolo con la sua proiezione ortogonale sul piano della faccia D, alla quale tale spigolo non appartiene. 4 Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni: =tg(arc tg ); = arc tg(tg ); = arc tg + arc tg. ( = arc tg, D = R; = π ; π ) =tg, D = R { = π } + kπ, k Z ; = R =tg(arc tg ) arc tg tg(arc tg ) = =tg(arc tg ) =, D = R; = R LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI = 4 4 = arc tg(tg ) se π <<π tg arc tg(tg ) = π se π << π + π se π<< π

14 se π <<π π se π =tg(arc tg ) = << π + π se π<< π kπ se π + kπ < < π + kπ, con k Z D = R { = π } ( + kπ, k Z ; = π ; π ) = arc tg + arc tg =arctg (tg ) 4 π π 4 LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI D = R {0} arc tg = α tg α = arc tg = β tg β = tg α tg β = = α + β = π = α + β = π D = R {0} = π 4 4 4

15 5 alcolare l area della regione illimitata di piano del quarto quadrante individuata dal grafico di =ln e dagli assi e. onsiderare inoltre la regione del primo quadrante delimitata dal grafico della funzione data, dall asse e dalla retta di equazione = k e determinare il valore di k per il quale l area di tale regione è uguale a. ln d = ln d = ln + c ln d = [ ln ] ε = ε + ε ln ε ε =ln = k LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI rea richiesta = lim ( ε + ε ln ε) = lim ε 0 + k ln d = k + k ln k ε ε + ln ε ε = k + k ln k = k ln k k =0 k(ln k ) = 0, che ha come soluzioni k =0, non accettabile perché k / D,e k = e, che rappresenta il valore richiesto. 6 È data la funzione = +5. Determinare il centro di simmetria del suo grafico.

16 Sia (α; β) il centro di simmetria richiesto. Equazioni della simmetria centrale di centro : { =α σ = =β Si trasforma la funzione data mediante le equazioni di σ : { =α =β = +5 β = (α ) (α )+5 = β(α ) 0β +4α 4α + +5+α = +(β 4α) +( 4αβ 0β +4α ) 5 α ffinché la funzione ottenuta coincida con quella data deve essere: β 4α =0 β = α β = 0 5 α =5 α = 0 α = 5 4αβ 0β +4α = = 0 0=0 Il centro della simmetria richiesto è ( 5; 0). LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI 7 È data la funzione = e definita in [0; ]. Determinare l altezza h del rettangolo di base ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione. Motivare l esistenza di un punto c dell intervallo [0; ] in cui la funzione assume il valore h. = e, funzione definita in [0; ] è l ampiezza dell intervallo [0; ] rea del rettangolo: h f(0) = 0, f() = e La funzione data è continua nell intervallo di definizione, e quindi verifica le ipotesi del Teorema della media che assicura l esistenza di almeno un punto c nell intervallo [0; ] in cui f(c) = b f()d ovvero f(c) = e d. b a a 0 Dopo aver osservato che la funzione data è non negativa in [0; ], si calcola tale integrale 6

17 definito, ovvero l area del trapezoide indicato nel testo: e d = e e d = e e + c 0 e d =[e e ] 0 =e e + f(c) =ce c ce c = (e e +) ce c = (e +) ce c = e + ce c = e + (altezza richiesta) h 4,9. 8 Dopo aver dimostrato che la funzione = arc sen + π π 6 è invertibile, calcolare la derivata della sua inversa = g() nel punto = π 6. Il dominio della funzione data è [ ; ]. La sua derivata = + π è positiva nell intervallo aperto ( ; ). llora, = arc sen + π π è una funzione monotòna crescente in [ ; ] e quindi è 6 una funzione biunivoca. È dunque invertibile nel suo dominio. Sapendo che, se = g() è la funzione inversa di = f(), si ha g ( 0 )= f ( 0 ) ( π ) Si può calcolare g dopo aver calcolato l antimmagine 0 di π 6 6. = h LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI π 6 = arc sen + π π 6,ovvero arc sen = π + π. π =arcsen = π + π π 7

18 Si intuisce e si verifica che è il valore richiesto, eventualmente mediante i grafici di = arc sen e di = π + π. Infatti arc sen = π 6 e π + π = π 6 Quindi, 0 = ( ) e f = ( ) + π = + π = +π ( π ) g = 6 f ( ) = +π 9 In un urna ci sono 0 palline, 5 rosse e 5 verdi. Qual è la probabilità che estraendo tre palline due siano rosse? Se si ripete la prova 0 volte, qual è la probabilità che l evento si verifichi 6 volte? Stabilire infine se la probabilità che si verifichi l evento almeno tre volte è superiore al 90%. Se si effettua una sola estrazione, i casi possibili sono tanti quante le combinazioni delle 0 palline prese a tre a tre, ovvero ( ) 0. Il numero dei casi favorevoli è uguale al prodotto delle combinazioni delle 5 palline rosse prese a due a due per le combinazioni di quelle verdi, 5, prese a una a una, ovvero ( 5 ). LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI Se si estraggono tre palline, allora la probabilità di ottenerne due rosse e una verde è ( 5 )( 5 ) ) = = 5 =0,46 = 46%. 76 ( 0 Se si ripete il sorteggio 0 volte, allora la probabilità che l evento si verifichi 6 volte è fornita dal Teorema di ernoulli, ovvero dal prodotto delle combinazioni di 0 prove considerate 6 a 6, per la potenza con esponente 6 della probabilità che si verifichi l evento, per la potenza con esponente 4 della probabilità che non si verifichi l evento: ( 0 6 ) ( 5 76 ) 6 ( 5 76 ) 4 = (0,46) 6 (0,54) 4 =0,7 = 7%. Per rispondere all ultima domanda, conviene considerare la probabilità che si verifichi l evento contrario, ovvero la probabilità che non si verifichi mai l evento o che si verifichi una volta o che si verifichi due volte, e poi sottrarre il risultato trovato da : ( ) 0 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) p 0 + p + p = +0 + = =(0,54) 0 +4,6 (0,54) (0,46) (0,54) 8 = =(0,54) 8, =0,09 = 9%; 8

19 p = (p 0 + p + p )= 0,09 = 0,9 = 9%. La probabilità che l evento si verifichi almeno tre volte è superiore al 90%. 0 È data la funzione = definita in [; 0]. Verificare che, nonostante in tal caso non sia applicabile il Teorema di Lagrange, esiste un punto c interno all intervallo di definizione che verifica la tesi di tale teorema. La funzione data è continua in [; 0]. La derivata = ( ) non esiste nel punto =,che è interno all intervallo di definizione [; 0]. Dunque la funzione data non soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange, e quindi non si può affermare niente a proposito dell esistenza o meno di almeno un punto c interno all intervallo [; 0] per il quale si abbia: f f(0) f() (c) = 0 Se, però, impostiamo la ricerca, questa dà esito favorevole: f(0) f() = (c ) 0 f(0) = 0 = 8= LESHER EDITRE PGIN LIERMENTE FTPIILE US DIDTTI f() = = = (c ) = + = 9 (c ) = (c ) = c = c = è interno all intervallo c = c = non è interno all intervallo Dunque esiste il punto c richiesto ed è c =. 9