CAPITOLO INTRODUZIONE LA LEGGE DI COULOMB PER L ELETTROSTATICA CARICA E CORRENTE ELETTRICA TENSIONE ELETTRICA 4

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1 APTOO. NTODUZONE. A EGGE D OUOMB PE EETTOSTATA. AA E OENTE EETTA 4.. ONVENZONE D SEGNO PE E OENT 4.4 TENSONE EETTA 4.4. ONVENZONE D SEGNO PE A TENSONE 5.5 ESEMPO SUE DEZON D FEMENTO 6.6 A EGGE D KHHOFF DEE OENT (K) 7.7 A EGGE D KHHOFF DEE TENSON (KT) 9.8 ONETTO D BAK BOX O BPOO NE UT EETT.8. SETA APPOPATA DEE VAAB TEMNA D UN BPOO.8. AUNE ONSDEAZON SUE VAAB TEMNA Q(T) E ϕ(t) 4.9 ONVENZON D SEGNO PE E VAAB ASSOATE N UN BPOO 5. NEATÀ E NON NEATÀ D UN BPOO 6. TEMPO-VAANZA E TEMPO-NVAANZA D UN BPOO 6

2 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca. NTODUZONE elettrostatca studa dspost elettromagnetc consderat sa sngolarmente, sa n collegamento fra d loro (sstem elettromagnetc). Esste da pù d un secolo uno schema concettuale che consente d affrontare tutt problem rguardant tal dspost. Esso è caratterzzato da un sstema d equazon dfferenzal ed è stato sstematzzato per la prma olta da James lerk Maxwell. Molto pù recentemente, è stato messo a punto un dfferente schema concettuale che, sotto opportune potes, consente lo studo n modo pù semplce d una buona parte de dspost o de sstem elettromagnetc. A tale modello è attrbuto l nome d crcuto elettrco. Pù precsamente, al modello crcutale d un dsposto elettromagnetco è dato l nome d elemento crcutale. È mportante conoscere l campo d aldtà del modello crcutale. Occorre precsare che dspost elettromagnetc sono sede d fenomen elettromagnetc che possono essere descrtt attraerso opportune grandezze fsche (grandezze elettrche). Tal grandezze possono aere arazon lente o rapde nel tempo. Se è la dmensone massma del dsposto elettromagnetco d nteresse, l tempo d transto t d un onda elettromagnetca è espresso da t c, doe c è la eloctà d propagazone nello spazo lbero (eloctà della luce). Se l tempo t è molto pccolo rspetto alla rapdtà delle arazon temporal delle grandezze elettrche che nteressano l dsposto, allora possamo modellare l dsposto elettromagnetco come elemento crcutale. n partcolare, se nel dsposto s hanno grandezze che arano perodcamente, la rapdtà d arazone può essere alutata attraerso l perodo T corrspondente alla frequenza massma f. onsderato l dsposto dremo che le arazon sono lente se T >> t. n pratca, consderata la lunghezza d onda λ corrspondente alla frequenza f ; λ m c f m ; se λ >> m s può rtenere che la propagazone della grandezza elettromagnetca aenga stantaneamente da un punto all altro del dsposto. Questo e- quale a dre che possono rteners trascurabl le dmenson spazal del dsposto e percò che esso possa essere consderato come un elemento a parametr concentrat. l dsposto è rappresentato, per comodtà, con un rettangolo, da cu emergono due o pù termnal flform. Non ha mportanza, oamente, la dmensone del rettangolo e la poszone e la lunghezza de termnal. Una connessone d element crcutal a parametr concentrat prende l nome d crcuto elettrco a parametr concentrat. problem per qual non sarà possble adottare l modello crcutale, doranno essere affrontat con metodologe general basate sulle equazon d Maxwell. Per concludere, gl obett del orso d Elettrotecnca consstono essenzalmente nel mettere a punto, prlegando gl aspett metodologc, modell crcutal d dspost real e nell llustrare le pù mportant tecnche d anals de crcut elettrc a parametr concentrat. Nel seguto, per semplctà, s tratteranno crcut omettendo l espressone a parametr concentrat. m m. A EGGE D OUOMB PE EETTOSTATA a propretà dell ambra strofnata d attrarre pagluzze ed altr corp legger, nonché quella della magnette d attrarre corp ferros, sono note fn dall antchtà. prm tentat scentfc per nquadrare fenomen elettrc n un contesto razonale sono stat fatt rcorrendo, appunto, a corp che, come l ambra, poteano essere elettrzzat per strofno. Fu propro graze all uso d tal corp che oulomb n Franca e aendsh n nghlterra, ndpendentemente, gunsero ad affermare quanto segue:

3 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca la forza che s stablsce tra due corp elettrzzat è sempre dretta secondo la congungente due corp; le azon elettrche sono talolta d tpo attratto e altre olte d tpo repulso. Tuttaa è sempre ero che: se due corp elettrzzat sono entramb attratt o entramb respnt da un terzo corpo elettrzzato, ess mostreranno tra loro un azone repulsa quando engono acnat. se nece due corp elettrzzat eserctano azon opposte su un terzo corpo elettrzzato, ess mostreranno un azone attratta quando engono acnat. Da cò consegue che esstono soltanto due tp d elettrzzazone che, conenzonalmente, sono ndcat con l segno (posto) e con l segno (negato). noltre elettrzzazon dello stesso tpo hanno effetto repulso, quelle d tpo derso hanno effetto attratto. ntenstà della forza elettrca che s stablsce tra due carche puntform a dstanza l una dall altra è data da: qq F k (.) r con q e q carche puntform. Tale espressone della forza F rappresenta la ben nota legge d oulomb. Nel sstema MKS l untà d carca è l oulomb (). Qund l alore d k è dato da: 9 9 N m k 8, Nello sluppo formale dell elettrostatca s prefersce sostture la costante k con la seguente espressone: k 4πε doe ε è detta costante delettrca del uoto ed è par a: ε 8,8544 4πk [ N m ] Successamente, fu opera d Mllkan scoprre che l elettrone possede la carca elettrca pù pccola e non ulterormente dsble: e,6 9 []

4 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tutte le carche n natura sono multple della carca elementare e. a carca elettrca non è qund da consderars un fludo contnuo, ma ha una struttura granulare o quantzzata.. AA E OENTE EETTA Dal punto d sta del comportamento elettrco dobbamo dstnguere corp n conduttor ed solant. Ne prm la carca elettrca è moble e può spostars da una poszone all altra del corpo sotto l azone d un campo elettrco: tale flusso d carche prende l nome d corrente elettrca. Ne corp solant, nece, la carca è ncolata a poszon fsse nelle qual rmane pratcamente mmoble. Defnamo ntenstà d una corrente elettrca la quanttà d carca che attraersa una sezone retta S d un conduttore nell untà d tempo: q t Se l regme d flusso è arable nel tempo, l alore stantaneo dell ntenstà d corrente dorà essere rferto ad un nterallo d tempo nfntesmo, nell ntorno dell stante consderato: q lm t t untà d msura nel sstema MKS è l Ampère (A), defnta come ntenstà d corrente corrspondente al passaggo d un oulomb n un secondo. l smbolo adottato per la corrente nelle formule è la lettera : se la corrente è costante nel tempo o se ne uole ndcare l alore massmo od effcace s utlzza l carattere mauscolo; trattando, nece, corrent arabl nel tempo s adopera l carattere mnuscolo. dq dt.. onenzone d segno per le corrent Per quanto concerne l flusso d carche n un mezzo conduttore s suole dstnguere tra corrente conenzonale e corrente effetta: la prma è stata erroneamente attrbuta al moto d carche poste e la seconda gustamente al moto d carche negate poché, quando un conduttore è sottoposto all azone d un campo elettrco, sono le carche negate a muoers. Per poter defnre unocamente la corrente non basta determnarne l ntenstà ma anche l erso d spostamento: per far cò s fssa un sstema d rfermento elettrco e s attrbusce alla corrente un segno posto se s muoe n senso concorde al rfermento e un segno negato se s muoe n senso dscorde al rfermento. A meno che non sa dersamente specfcato, c s rferrà sempre alla corrente conenzonale..4 TENSONE EETTA S consderno due armature metallche elettrcamente neutre. S ogla carcare postamente quella superore e negatamente quella nferore, come n fgura:

5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 G Fg.. A B Sarà qund necessaro separare le carche d segno opposto: poché la legge d oulomb stablsce che carche eteronme s attraggono, è necessaro collegare alle due armature una sorgente d energa (l generatore G) che fornsca l laoro suffcente alla separazone delle carche. l laoro per untà d carca è detto tensone. n altr termn, ndcata con dw l energa fornta dal generatore (espressa n Joule) e con dq la carca (n oulomb) assunta da una delle due armature, s ha che la tensone è defnta da: dw dq untà d msura delle tenson è l Volt (V). Anche n questo caso s utlzzano le lettere mnuscole se s tratta d tenson arabl nel tempo e le mauscole per le tenson costant, per alor effcac e per quell massm. S not che la tensone s manfesta tra le due armature anche se queste non sono elettrcamente collegate coè anche se, come s dce comunemente, l crcuto è aperto. S not ancora che la tensone è una grandezza defnta sempre tra due punt. Quando percò s paragoneranno la tensone d un punto con quella d un secondo, s ntende mplctamente confrontare la tensone tra l prmo punto ed un terzo punto generco d rfermento, con la tensone tra l secondo punto e lo stesso rfermento. osì, per la fgura d sopra, s dce che l armatura carca postamente è a tensone pù alta d quella carca negatamente. S osser, noltre, che se s scambano collegament della sorgente s nerte l segno della carca sulle armature; propro come nel caso della corrente s comprende, allora, che la tensone tra le due armature è una quanttà algebrca. [ V].4. onenzone d segno per la tensone Per defnre unocamente la tensone fra due termnal è necessaro stablre un rfermento assocando ad un termnale l segno ed all altro l segno : s ntende così dre che l prmo ha una tensone maggore del secondo nel senso precedentemente specfcato. a tensone fra due termnal è percò posta se la polartà assegnata rsponde alla stuazone reale, ed è negata n caso contraro. S può allora screre (con rfermento alla fg..): ( tensone al termnale ) (tensone al termnale ) a b ab ba Questa relazone edenza l carattere algebrco della tensone che può assumere alor tanto post che negat. a tensone defnta come nella suddetta relazone è detta tensone punto-punto (o nodo-nodo).

6 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Nella formula precedente, la tensone a rappresenta l laoro speso dal campo elettrco per trasportare l untà d carca posta dal punto a all nfnto, la tensone - b rappresenta, nece, l laoro speso dal campo elettrco per trasportare l untà d carca posta dall nfnto al punto b. a tensone ab, dunque, rappresenta l laoro speso dal campo elettrco per trasportare dal punto a al punto b l untà d carca posta..5 ESEMPO SUE DEZON D FEMENTO eplogando quanto detto, per stablre un sstema elettrco d rfermento, s attrbusce arbtraramente una drezone d rfermento per cascuna corrente tramte una frecca, ed una polartà d rfermento per ogn tensone tramte una coppa d segn () e (-), come mostrato n fgura per un elemento a tre termnal: Elemento a termnal Fg.. Su ogn reoforo (flo metallco conduttore d corrente elettrca) s tracca una frecca detta drezone d rfermento della corrente. Essa ha l seguente sgnfcato: se, ad esempo, n un certo stante t s ha: ( t) A cò sgnfca che all stante t una corrente d A entra nell elemento a tre termnal dal nodo. Se nece nell stante t rsultasse: ( t) 5 ma cò sgnfca che nell stante t una corrente d 5mA esce dall elemento a tre termnal attraerso l nodo. l punto fondamentale è che la drezone d rfermento della corrente, nseme al segno d (t), determna la drezone effetta del flusso d carche e- lettrche. S assegnno ora segn e a coppe d termnal, arbtraramente: tal segn ndcano la drezone d rfermento delle tenson. Se ad un certo stante t rsulta: ( t) mv cò sgnfca che all stante t la tensone elettrca del termnale è mv superore alla tensone elettrca del termnale ; se nece s ha: ( t) V cò sgnfca che all stante t la tensone elettrca del termnale è V nferore alla tensone elettrca del termnale.

7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca.6 A EGGE D KHHOFF DEE OENT (K) 7 È stato gà utlzzato ne paragraf precedent l termne nodo: esso rappresenta un punto o una rstretta zona d capactà elettrostatca trascurable n cu s ha la gunzone d due o pù conduttor flform (reofor) n un crcuto elettrco. Una legge fsca fondamentale stablsce la conserazone della carca elettrca: n nessun espermento conoscuto s è ma erfcata la creazone o la dstruzone d carca elettrca netta. a legge d Krchhoff delle corrent esprme tale legge nell ambto de crcut concentrat. E- gl stablì quanto segue: n un qualsas nodo d un crcuto non possono accumulars carche elettrche. Se, qund, n un tempo nfntesmo dt una carca dq entra n un nodo, una carca uguale dee uscrne. Per ogn nodo s può allora concludere che: la somma delle corrent n ngresso dee essere uguale stante per stante alla somma delle corrent n uscta. on rfermento alla fgura. s può screre: ( t) ( t) ( t) (.) ( t) ( t ) ( ) t Fg.. D altra parte, per quanto detto precedentemente, una corrente (t) che esce da un nodo è uguale ad una corrente (t) che entra nel nodo stesso: qund la stuazone rappresentata n fgura.4 è analoga a quella della fgura. e s può screre: t) ( t) ( t) (.) ( ( ) t ( t ) ( t) Fg..4 equazone (.), perfettamente equalente alla (.), consente d esprmere la legge d Krchhoff delle corrent come segue:

8 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca la somma algebrca delle corrent entrant n un nodo è stante per stante nulla. oè: ± ( t) k (.4) k doe l segno ale per le corrent entrant e l segno per quelle uscent dal nodo. Osseramo ancora che una corrente che entra n un nodo può essere nterpretata come una corrente d segno opposto che esce dallo stesso nodo; qund la stuazone rappresentata n fgura.5 è analoga alle due precedent: t) ( t) ( t) (.5) ( ( t) ( t) ( t) Fg..5 n questo caso la prma legge d Krchhoff s esprme come segue: la somma algebrca delle corrent uscent da un nodo è stante per stante nulla. a formulazone analtca generale è ancora quella della relazone (.4) ma nella sommatora s consderano poste le corrent uscent e negate quelle entrant. Ora, defnendo una superfce gaussana come una qualsas superfce chusa a due facce, la legge d Krchhoff per le corrent può essere così generalzzata: per ogn superfce gaussana Σ d un crcuto concentrato qualsas, n un stante arbtraro t, la somma algebrca d tutte le corrent che fuorescono dalla (o entrano nella) superfce gaussana nell stante t è uguale a zero.

9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Ad esempo: Fg..6 Applcando, allora, la K s ha (rtenendo poste le corrent uscent da una superfce): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( : Σ Σ Σ Σ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t S osser che l erso delle corrent è fssato arbtraramente allorché comnca l anals del crcuto n esame. Po, applcando la K, s ottengono delle equazon algebrche lnear omogenee a coeffcent real e costant par a,, e - le qual, una olta rsolte, fornscono alor con segno d tutte le corrent del crcuto: se una d queste rsulta essere posta sgnfca che l erso fssato per essa nel crcuto è quello esatto, altrment, se tale corrente rsulta essere negata, uol dre che s muoe n erso opposto a quello fssato nel crcuto. Quanto detto ale per tutte le corrent present nel crcuto..7 A EGGE D KHHOFF DEE TENSON (KT) S facca rfermento all esempo mostrato n fgura.7: esso rappresenta un cammno chuso ossa un percorso che nza da un nodo, passa attraerso element a due termnal, e termna nel nodo d partenza (sono state arbtraramente fssate le polartà a cap d cascun elemento ed un erso d crcolazone nel cammno). Valgono le seguent relazon (per comodtà s sottntende la dpendenza da t): Σ Σ Σ Σ 4

10 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Fg Doe con,, sono state ndcate le tenson a termnal,, e con, sono state ndcate le tenson punto-punto. Defnamo ora le tenson d lato n funzone delle tenson punto-punto come la tensone nodo-nodo tra l nodo supposto a tensone maggore () e l nodo a tensone mnore ( ): (Nota: nelle tenson a secondo membro l prmo pedce s rfersce sempre al polo posto). Fssamo un erso d percorrenza del cammno chuso. Allora la legge d Krchhoff delle tenson s può così enuncare: fssato un erso d percorrenza per un cammno chuso n un crcuto a parametr concentrat, la somma algebrca delle tenson d lato è nulla stante per stante: ± ( t) k k doe l segno errà preso se l elemento k-esmo è attraersato dal () al ( ), col segno se è attraersato dal ( ) al () oero se l erso d rfermento scelto per l lato k-esmo concorda con quello scelto per l cammno chuso. Nell esempo, n partcolare, s arà: 5 ( t) 6 ( t) 7 ( t) 8 ( t) Tale enuncato è faclmente gustfcable se s tene presente la defnzone d tensone tra due punt (ed pag. 5) e che l laoro computo dal campo elettrco per spostare l untà d carca lungo un cammno chuso è nullo essendo l campo elettrco conserato (l la-

11 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca oro per portare l untà d carca dal nodo al nodo è nullo). cordando che tale laoro s può esprmere n funzone delle tenson punto-punto, s può allora screre: ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 6 ( t) 7 ( t) 8 ( t) a legge d Krchhoff per le tenson può essere espressa n altr mod. Dato un qualsas crcuto concentrato, aente n nod, è possble sceglere arbtraramente uno d ess come nodo d rfermento per le tenson. spetto al nodo d rfermento scelto s possono defnre n- tenson (che ndcheremo con la lettera e), come llustrato n fgura: 4 4 e e k n k e n- e n kj j n- e n e n e n- n- n Fg..8 S osser che la tensone relata al nodo n è nulla essendo tale nodo quello scelto come rfermento. a KT s può allora enuncare così: per ogn crcuto concentrato connesso, scelto un nodo d rfermento qualunque, n ogn stante t, la tensone tra una generca coppa d nod k e j è par alla dfferenza delle corrspondent tenson nodal: nfatt s ha: k j ( t) e ( t) e ( t) k kj k j k n n j e k e j j Oamente s ha: j k ( t) e ( t) e ( t) ( t) (.6) j k k j Quanto detto può essere erfcato utlzzando l seguente crcuto connesso a cnque nod: e D e 4 4 e A B e T E e 5 5 Fg..9

12 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tenendo presente la defnzone d tensone punto-punto data a pagna 5, è facle mostrare che queste s possono esprmere n funzone delle tenson nodal: ( 5 ) ( 5 ) e e che è propro l applcazone della KT, nella forma sta alla pagna precedente, alla coppa d nod e : n modo analogo s possono screre le seguent sette equazon: e e e e e e 4 e 5 5 e e e e 4 e e 5 e 4 e e 4 (.7) S defnsce sequenza chusa d nod una sequenza che nza e termna con lo stesso nodo. onsderamo ad esempo la sequenza (s osser che tale sequenza non è un cammno chuso secondo la defnzone data a pagna 9); sommando le ultme tre equazon nella (.7) s ha: onsderamo po la dfferente sequenza chusa d nod (essa rappresenta anche un cammno chuso); sommando le prme 5 equazon nella (.7) ed applcando la (.6) s può screre: S può allora enuncare la KT n termn d sequenze chuse d nod: per ogn crcuto concentrato connesso, lungo una qualsas sequenza chusa d nod, n ogn - stante t, la somma delle tenson punto-punto (prese nello stesso ordne della sequenza d nod) è uguale a zero. Nota: anche la KT conduce sempre ad equazon algebrche lnear omogenee a coeffcent real e costant par a, e -..8 ONETTO D BAK BOX O BPOO NE UT EETT È stato gà detto che un sstema elettromagnetco è ottenuto collegando tra loro dspost elettromagnetc. Per analzzarlo s consdera un suo modello astratto costtuto da un nterconnessone d element crcutal che possono essere a due o pù termnal (s parla rspettamente d bpol e multpol): termnal, dett anche morsett, rappresentano la porta d accesso per l almentazone esterna e per lo scambo d energa con gl altr element crcutal. onsderamo, per l momento, solo dspost a due termnal. Poché cò che c nteressa studare non è la costtuzone fsca del componente ma

13 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca l suo comportamento elettrco con l esterno, occorrerà determnare un modello (bpolo) che meglo smul l comportamento a morsett del dsposto n esame. Per questo moto tale dsposto, n generale, è mmagnato come una scatola deale o black box ntendendo esprmere con cò l concetto che l nterno della scatola è oscuro, nel senso che quello che mporta è l comportamento elettrco e cò che s può fare connettendola ad altr element. Precsato cò, c proponamo ora d edere quale sa l elemento deale (bpolo) oero l modello crcutale che possa meglo caratterzzare l dsposto. Fssate le due arabl termnal occorre erfcare l esstenza d un legame funzonale tra le arabl termnal, oero che tutt punt d funzonamento del bpolo gaccano su una cura del pano (caratterstca) ndduato dalla coppa d arabl prescelte..8. Scelta approprata delle arabl termnal d un bpolo e due grandezze che possono essere utlzzate per caratterzzare l comportamento a morsett d un bpolo deono essere msurabl ed ndpendent tra loro. Sono faclmente msurabl la corrente (t), la tensone (t) ed noltre le seguent due grandezze: la carca: q( t) t (τ ) dτ ed l flusso: ϕ ( t) t ( τ ) dτ Doendo po essere le due grandezze ndpendent tra loro s possono aere solo seguent quattro accoppament: ) tensone-corrente: ) tensone-carca: q ) corrente-flusso: ϕ 4) carca-flusso: q ϕ Assegnato un bpolo, sorge ora l problema d stablre quale sa la coppa pù donea a defnrne la caratterstca: s tratta coè d stablre se tutt punt d funzonamento possbl per l bpolo appartengono o meno ad una cura caratterstca rappresentable nel pano o q o ϕ o nel pano q ϕ. Se tale cura caratterstca è defnta nel pano chameremo l bpolo resstore; se la cura è defnta nel pano q l bpolo s chamerà condensatore; se è defnta nel pano ϕ l bpolo s chamerà nduttore; se nfne la cura è defnta nel pano q ϕ l bpolo s chamerà memrstore (nella pratca, però, è dffcle troare una black box l cu comportamento a morsett possa essere rappresentato da un bpolo d questo tpo). l problema è ndubbamente delcato ed un esempo potrà charre l concetto. Esempo: s abba un componente racchuso n una black box ed accessble all esterno medante suo morsett. Applchamo alla black box la seguente tensone: ( t) Asn( t). Dopo una sere d msure s troa l seguente legame tra tensone e corrente:

14 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (*) d dt n questo caso sembrerebbe che c s possa rferre tanto al pano che a quello q (nfatt l andamento della corrente consente d determnare la carca): la scelta è però unoca. Proamo, nfatt, a fare rfermento al pano ; s ottene: ( t) Asn( t) ( t) Acos( t) (.8) S erfca faclmente che, mantenendo costante A e facendo arare t, punt del pano che soddsfano la (.8) s troano su una crconferenza con centro nell orgne degl ass e raggo A; basta, nfatt, eleare al quadrato entramb membr nelle due equazon della (.8) e sommare membro a membro: ( t) A sn ( t) ( t) ( t) A cos ( t) ( t) A Osseramo, però, che al arare d A punt d funzonamento del bpolo s dspongono su una crconferenza dersa: s conclude che non possamo rappresentare l dsposto n esame con un resstore perché non esste nel pano una cura che contenga tutt possbl punt d funzonamento, sto che quest sono spars n tutto l pano. Vedamo ora cosa accade nel pano q. S può screre: d q ( t) ( t) dt dt ( t) Asn( t) dt S ha dunque: q, coè al arare d t, tutt punt d funzonamento del bpolo s troano sulla ª bsettrce del pano q. D altra parte questo rmane ero anche al arare d A: possamo concludere, allora, che l bpolo che meglo smula l comportamento a morsett della black-box n esame è l condensatore, poché la cura caratterstca d tale componente è defnta nel pano q..8. Alcune consderazon sulle arabl termnal q(t) e ϕ(t) Dalla defnzone d carca data a pagna segue che: t t t q t ( ) ( τ ) dτ ( τ ) dτ ( τ ) dτ q ( τ ) dτ,con t < t (.9) t t Se l anals d un certo bpolo comnca dall stante t, l prmo ntegrale nella seconda uguaglanza della (.9) rappresenta la stora precedente del bpolo (coè prma dell stante consderato) e per questo moto è detto carca nzale. Sussste la cosddetta propretà d costanza della carca: se la forma d onda della corrente (t) la carca (t) s mantene lmtata n un nterallo chuso [ t a b ] q è una funzone contnua nell nterallo aperto ( t, ). n partcolare, per qualsas stante T tale che: t a t b t, allora

15 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 t < T < s ha: q(t ) q(t) q(t ) a t b Questo sgnfca che anche se la corrente subsce nell stante T una brusca arazone, pur rmanendo lmtata, la carca resta nece costante n un ntorno mmedato dell stante consderato. Per dmostrare tale propretà basta semplcemente sostture t T prma e t T dt po nella (.9) e sottrarre membro a membro: T (*) q( T ) q ( τ ) dτ t ( ) (***) q( T dt) q( T ) T dt (**) q( T dt) q ( τ ) dτ t T dt con t a < T < tb e t a < T dt < tb. Essendo (t) t [ ta, tb ]: ( t) M, con M lmtata n [ ] a t b T ( τ ) dτ t, s può screre: Segue che l area sottesa dalla cura (t) da T a T dt (ossa l alore dell ntegrale a secondo membro nella (***)) ale al pù M dt (n alore assoluto), che tende a zero per dt che tende a zero: cò sgnfca che q (t) è contnua per t T. onsderazon a- naloghe s possono fare per l flusso: t t t ϕ ( ) ( τ ) dτ ( τ ) dτ ( τ ) dτ ϕ ( τ ) dτ, con t t t t t < t Smlmente a quanto detto per la carca, l prmo ntegrale nella seconda uguaglanza d questa relazone prende l nome d flusso nzale. Vale, noltre, la cosddetta propretà della costanza del flusso: se la forma d onda della tensone (t) l flusso (t) t, allora s mantene lmtata n un nterallo chuso [ a t b ] ϕ è una funzone contnua nell nterallo aperto ( t, ). n partcolare, per qualsas stante T tale che a t b t a < T < t b s ha: ϕ (T ) ϕ(t) ϕ(t ) Questo sgnfca che anche se nell stante T la tensone doesse subre una brusca arazone, pur senza raggungere alor nfnt, l flusso rmane costante n un ntorno mmedato dell stante consderato..9 ONVENZON D SEGNO PE E VAAB ASSOATE N UN BPOO Nello studo de bpol è necessaro stablre una conenzone d segno per la tensone ed una per la corrente. V sono quattro possbl rferment per queste due arabl:

16 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Fg.. Fg.. Fg.. Fg.. Non è nessuna ragone partcolare che facca preferre una confgurazone alle altre. n pratca, tuttaa, c s rfersce a quella combnazone tra ers assunt per le corrent e le tenson tale che la potenza posta: p ( t) ( t) ( t) >, corrsponda ad una potenza entrante nel bpolo. prncp fondamental dell elettromagnetsmo mostrano che questa condzone è soddsfatta quando la corrente entra dal morsetto posto del bpolo (fgura.): la conenzone d segno così stablta prende l nome d conenzone degl utlzzator; a meno che non sa precsato dersamente, nel seguto s adotterà sempre questa conenzone. Accennamo ad un altra possble conenzone d segno che è detta conenzone de generator. Essa consste nel sceglere quella combnazone tra ers assunt per tenson e corrent tale che la potenza posta: p ( t) ( t) ( t) > corrsponda ad una potenza uscente dal bpolo: questa condzone sarà soddsfatta quando la corrente esce dal morsetto posto del bpolo (fgura.).. NEATÀ E NON NEATÀ D UN BPOO S ndch, n generale, con ( y, u) una coppa d arabl termnal e con y T (u) la relazone che defnsce l comportamento del bpolo, ossa la sua caratterstca. sulta: Fssat u e u, sceltoα Un Bpolo e posto : y T( u) e y T ( u ) è rsulta :(*) y T ( u u ) T ( u) T ( u neare (**) y T ( αu) αt ( u) ) y y a relazone (*) esprme la condzone d addttà mentre la relazone (**) esprme la condzone d omogenetà. Se solo una d queste due condzon non è soddsfatta l bpolo s dce non-lneare.. TEMPO-VAANZA E TEMPO-NVAANZA D UN BPOO Un bpolo s dce stazonaro o tempo-narante se la sua caratterstca non ara nel tempo. n caso contraro s dce tempo-arante o non stazonaro. Per defnre correttamente questa propretà ed analzzarne le conseguenze, bsogna ntrodurre l operatore traslazone Q che opera nel seguente modo:

17 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 se u (t) è una arable termnale del bpolo s arà: Q ( u t) ) u( t a), con a ( (.) n altr termn l operatore Q rtarda la arable u (t) d a second. on queste premesse, un bpolo s drà stazonaro se e solo se: y ( t) T ( u( t) ) e contemporaneamente: T( Q( u( t) )) Q( T( u( t) )) Q( y( t) ) y( t a) y a. Tale equazone esprme l fatto che se l segnale d ngresso u (t) d un certo bpolo è rtardato d a second; l segnale d uscta y (t) rmane narato nella sua forma d onda ma è anch esso rtardato d a second.

18 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO. ESSTO A DUE TEMNA 9. ONDENSATO 5. NDUTTO 8.4 GENEATO NDPENDENT.5 FOME D'ONDA ANONHE PE SEGNA.6 AATTEZZAZONE DE BPO DA UN PUNTO D VSTA ENEGETO 6.6. POTENZA ED ENEGA NE ESSTO 7.6. POTENZA ED ENEGA NE ONDENSATO 9.6. POTENZA ED ENEGA NEG NDUTTO 4

19 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9. ESSTO A DUE TEMNA Un bpolo l cu comportamento è defnto da una caratterstca nel pano è detto resstore; n altr termn, un elemento a due termnal sarà defnto resstore se la tensone e la corrente soddsfano la seguente relazone: {(, ) : f (, ) } Se tale equazone può essere rsolta rspetto ad come funzone ad un sol alore d, oero: g() s dce che l resstore è controllato n tensone. Se nece tale equazone può essere rsolta rspetto a come funzone ad un sol alore d, oero: h() s dce che l resstore è controllato n corrente. Esste la seguente classfcazone de resstor: a) resstor lnear tempo-narant: tal element sono dett lnear perché la loro caratterstca nel pano soddsfa le condzon d addttà ed omogenetà e sono dett tempo-narant perché la loro caratterstca non camba nel tempo (ed pagna 6). a caratterstca d un tale resstore è una retta passante per l'orgne del pano d equazone: ( t) ( t) oero, con G, s ha ( t) G ( t) (.) a (.) esprme la cosddetta legge d Ohm: la costante rappresenta la resstenza del resstore lneare e s msura n ohm (Ω) mentre G è la conduttanza e s msura n semens (S). n fgura è rappresentato l smbolo d un resstore lneare con resstenza e la caratterstca d tale resstore traccata nel pano e nel pano : O O Fg.. n defnta l resstore lneare è un caso partcolare d resstore n cu s ha: f (, ) oero f (, ) G, ossa la relazone tra tensone e corrente è espressa da funzon lnear. l sngolo numero (oero G), coè la pendenza della caratterstca rspetto all'asse delle (oero rspetto all'asse delle ), specfca completamente l resstore lneare a due termnal. Esstono, nfne,

20 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca due cas specal d resstor lnear che mertano d essere partcolarmente ctat, ossa l crcuto aperto e l cortocrcuto. Un resstore a due termnal ene defnto crcuto aperto se, e solo se, la corrente che lo attraersa è dentcamente nulla, ndpendentemente dalla tensone, coè: f (, ). a caratterstca d un crcuto aperto concde con l'asse del pano o del pano, come mostrato n fgura.: essa ha pendenza nfnta nel pano e pendenza nulla nel pano : G Fg.. Analogamente, un resstore a due termnal è defnto cortocrcuto se, e solo se, la tensone a suo cap è dentcamente nulla ndpendentemente dalla corrente che lo attraersa, ossa f (, ). a caratterstca d un cortocrcuto concde con l'asse del pano o del pano ; come mostrato n fgura.: essa ha pendenza nulla nel pano e pendenza nfnta nel pano : G Fg.. onfrontando le due fgure precedent s nota che la cura del crcuto aperto n un pano concde con la cura del cortocrcuto nell'altro pano. Per questa ragone, l crcuto aperto ene defnto come l duale del cortocrcuto e ceersa. Generalzzando al caso non lneare, s dce che un dato resstore è l duale d un altro se la sua caratterstca nel pano è rappresentata dalla stessa cura nel pano dell'altro resstore. b) resstor lnear tempo-arant: l'esempo pù comune che s può dare d un resstore lneare tempo-arante è quello d un resstore a tre morsett uno de qual costtusce un contatto moble. Se s applca una tensone tra un contatto fsso e quello moble d cu s ara nel tempo la poszone rspetto ad un certo rfermento, l legame tra tensone e corrente è dato da: ( t) ( t) ( t) oero ( t) G( t) ( t). l smbolo del resstore lneare tempo-arante è mostrato d seguto: (t) (t) (t)

21 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Fg..4 Un esempo nteressante d resstore lneare tempo-arante è quello d un nterruttore che s apre e chude perodcamente con perodo T. Nella fgura seguente se ne llustrano l smbolo, le propretà e la caratterstca nel pano : (t) S(t) (t) S(t) Aperto Aperto O huso huso t Quando l'nterruttore è chuso ( S ) la tensone è nulla e la caratterstca concde con l'asse, quando l'nterruttore è aperto ( S ) la corrente è nulla e la caratterstca concde con l'asse. Un nterruttore reale ha un comportamento leggermente derso n quanto, nece d essere un crcuto aperto o un cortocrcuto, presenta una resstenza molto bassa ma non nulla quando è chuso ed una resstenza molto alta ma fnta quando è aperto: le propretà e la caratterstca nel pano d un nterruttore reale sono rportate n fgura: (t) Pendenza / Pendenza / O t c) resstor non lnear: sono bpol la cu caratterstca nel pano non soddsfa le condzon d addttà e d omogenetà. Esamnamo alcun tra pù comun tp d resstor non lnear. Dodo a gunzone PN. l smbolo e la caratterstca sono mostrat n fgura:

22 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca A A O s B Fg..5 Applcando una tensone dretta, coè tale che la tensone n A sa maggore d quella n B, la corrente cresce con la tensone secondo la legge: q kt S e (.) doe: q è la carca dell'elettrone, k è la costante d Boltzmann, T è la temperatura assoluta n grad Keln e S è la cosddetta corrente d saturazone nersa, coè la corrente che crcola nel dodo quando esso è polarzzato nersamente (ossa quando la tensone d B è maggore d quella n A e qund < ). Dunque, nertendo la polartà della tensone a cap del dodo, la corrente assume un alore molto pccolo par a S. rescendo alor della tensone nersa, la corrente assume un alore pratcamente costante con la tensone, fn quando non s raggunge l punto d turnoer (punto A nella fgura precedente) a partre dal quale la corrente aumenta molto rapdamente a tensone costante. nfne osseramo che la relazone (.) esprme la corrente n funzone della tensone: cò sgnfca che per un arbtrara tensone la corrente è ben defnta. S dce allora che l dodo a gunzone PN è controllato n tensone. Dodo deale. Per defnzone l dodo deale è un resstore non lneare la cu caratterstca è composta da due segment d lnea retta nel pano (o nel pano ), coè l'asse negato e l'asse posto. a relazone che caratterzza l dodo deale è qund la seguente: D {(, ) :, con per < e per > } l smbolo e la sua caratterstca sono mostrat n fgura:

23 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca A O B Fg..6 Qund se l dodo è polarzzato nersamente ( < ) la corrente è nulla, oero l dodo s comporta come un crcuto aperto; se l dodo è n conduzone ( > ) la tensone è nulla, per cu s comporta come un cortocrcuto. Oamente la potenza fornta ad un dodo deale è dentcamente nulla n ogn stante: per questo moto l dodo deale rentra nella categora degl element crcutal non energetc. S not, nfne, che l dodo deale non è controllato né n tensone né n corrente. Dodo tunnel. l smbolo e la caratterstca sono mostrat n fgura: A B O Fg..7 a corrente può essere espressa n funzone della tensone così: () (.) S nota allora che assegnato un certo alore della tensone, la corrente è ben defnta: s dce, qund, che tale resstore è controllato n tensone. Dodo shokley (tubo a scarca a baglore). l smbolo e la caratterstca sono mostrat n fgura:

24 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca A B O Fg..8 a tensone può essere espressa n funzone della corrente così: () (.4) S nota allora che ad un certo alore della corrente corrsponde uno ed un solo alore della tensone: s dce, qund, che tale resstore è controllato n corrente. oncludamo osserando che resstor non lnear appena descrtt hanno una caratterstca non smmetrca rspetto all'orgne del pano ; questo comporta l fatto che nertendo la polartà de morsett la loro caratterstca camba: tal resstor sono dett non blateral. Per tale moto è mportante che l smbolo d un resstore non lneare ndch l suo orentamento e qund resstor non lnear non blateral sono generalmente rappresentat come segue: Nota: l estremtà annerta della scatola è collegata al morsetto a tensone pù bassa. Quando nece la caratterstca è smmetrca rspetto all'orgne degl ass nel pano s parla d resstor blateral che, n generale, sono rappresentat come segue:

25 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Un esempo d resstore non lneare blaterale è rappresentato dalle lampade ad ncandescenza (ed rappresentazone a snstra) la cu caratterstca è la seguente: A O B Tutt resstor lnear sono nece blateral.. ONDENSATO Un bpolo la cu carca q (t) e tensone (t) appartengono, per qualsas stante t, ad una cura del pano q è defnto condensatore: tale cura è detta caratterstca q del condensatore. Essa può essere rappresentata dall'equazone: f e ( q, ) (.5) Se tale equazone può essere rsolta rspetto a come funzone ad un sol alore d q, oero: (q) (.6) s dce che l condensatore è controllato n carca. Se nece l'equazone (.5) può essere rsolta rspetto a q come funzone ad un sol alore d, oero: q q() (.7) s dce che l condensatore è controllato n tensone. Sussste la seguente classfcazone per condensator:

26 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca a) condensator lnear tempo-narant. l loro smbolo e la loro caratterstca sono mostrat n fgura: q O Fg..9 a caratterstca d tal condensator è esprmble medante le seguent relazon: q( t) ( t) oero ( t) S q( t) (.8) a costante nella suddetta relazone è detta capactà del condensatore e s msura, esprmendo la tensone n olt e la carca n coulomb, n farad [F], mentre la costante S / è detta elastanza. legam tra le arabl crcutal tensone e corrente sono seguent: dq( t) d( t) ( t) (.9) dt dt oppure t t t t ( t) ( τ ) dτ ( τ ) dτ ( τ ) dτ ( t ) S t ( τ ) dτ (.) t con t < t Se s consdera la (.) s ossera che: per ottenere l alore della tensone al tempo t è necessaro conoscere l alore della tensone nell'stante nzale t oltre che l'andamento della corrente n tutto l'nterallo ( t, t). Per questo moto condensator sono dett element dotat d memora; n un condensatore lneare tempo-narante se la forma d'onda della corrente (t) s mantene lmtata n un nterallo chuso [ t t a, b ] allora la forma d'onda della tensone (t) a cap del condensatore è una funzone contnua nell'nterallo aperto ( t a, t b ). n partcolare, per qualsas stante T tale che t < T < s ha: a t b ( T ) ( T ) ( T )

27 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 Questa è la cosddetta propretà d contnutà della tensone del condensatore. Tale rsultato potea essere anche presto tenendo presente la (.8) e la propretà d costanza della carca a pagna : nfatt, per quest'ultma, s può screre, essendo l condensatore lneare: q ( T ) q( T ) q( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) b) condensator lnear tempo-arant. Ess sono descrtt nel pano q da una relazone d questo tpo: q( t) ( t) ( t) ; n altr termn, la pendenza della caratterstca ara nel tempo. ò s può ottenere, per esempo, modfcando la dstanza tra le armature del condensatore medante un meccansmo a camme azonato da un motore, d modo che la capactà ar secondo una prescrtta funzone del tempo (t). Un altro esempo è offerto dal condensatore ad armature mobl. n questo caso ara al arare nel tempo dell'enttà delle superfc affaccate. l legame tensone-corrente è l seguente: dq( t) d( t) d( t) ( t) ( t) ( t) dt dt dt a caratterstca d un condensatore lneare tempo-arante consste n una famgla d rette, cascuna alda per un dato stante d tempo, come mostrato n fgura: q O Fg.. c) condensator non lnear. Sono quell per cu la caratterstca nel pano q non soddsfa le condzon d addttà ed omogenetà: pertanto, tale caratterstca non è una retta passante per l'orgne degl ass nel pano q. Un esempo mportante d tal condensator è l tpo MOS (Metal Oxde Semconductor) che ha una caratterstca d questo tpo: q O Fg.. ome s può osserare, tale condensatore è controllato sa n carca sa n tensone. Per quanto rguarda, n partcolare, condensator controllat n tensone (ed la relazone (.7) a pagna ) s ha:

28 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca dq( t) dq( ( t) ) dq( ) d( t) d( t) ( t) ( ) dt dt d dt dt () è detta capactà ncrementale. S osser, nfne, che la maggor parte de condensator non lnear sono anche non blateral, ossa hanno una caratterstca non smmetrca rspetto all'orgne degl ass nel pano q : questo comporta la necesstà d dstnguere morsett a fn dell'assegnazone delle polartà. Percò tal condensator saranno rappresentat col seguente smbolo: Nota: l estremtà annerta della scatola è collegata al morsetto a tensone pù bassa. condensator non lnear e blateral sono nece rappresentat così: Oamente un condensatore lneare è anche blaterale.. NDUTTO Un bpolo l cu flusso ϕ (t) e corrente (t) appartengono, per qualsas stante t, a qualche cura del pano ϕ è defnto nduttore: tale cura è detta caratterstca ϕ dell'nduttore. Essa può essere rappresentata dall'equazone: f ( ϕ, ) (.) Se tale equazone può essere rsolta rspetto ad come funzone ad un sol alore d ϕ, oero: (ϕ) (.)

29 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 s dce che l'nduttore è controllato n flusso. Se nece l'equazone (.) può essere rsolta rspetto a ϕ come funzone ad un sol alore della corrente, oero: ϕ ϕ() (.) s dce che l'nduttore è controllato n corrente. Sussste la seguente classfcazone per gl nduttor: a) nduttor lnear tempo-narant. l loro smbolo e la loro caratterstca sono mostrat n fgura: ϕ O Fg.. a caratterstca d tal nduttor è esprmble medante le seguent relazon: ϕ ( t) ( t) oero ( t) Γ ϕ( t) (.4) a costante nella suddetta relazone è detta nduttanza e s msura n Henry (H) se ϕ è espresso n Weber (Wb) ed n Ampere (A), mentre la costante Γ s chama nduttanza recproca o nertanza. legam tra le arabl crcutal tensone e corrente sono seguent: d ( t) d( t) ( t) ϕ (.5) dt dt oppure ( t) t ( τ ) dτ t ( τ ) dτ t t ( τ ) dτ ( t t ) Γ t ( τ ) dτ (.6) Se s consdera la (.6) s ossera che: per ottenere l alore della corrente all'stante t è necessaro conoscere l alore della corrente nell'stante nzale t oltre che l'andamento della tensone n tutto l'nterallo ( t,t). Per questo moto gl nduttor sono dett element dotat d memora;

30 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca n un nduttore lneare tempo-narante, se la forma d'onda della tensone (t) s mantene lmtata n un nterallo chuso [ t, t a b ], allora la forma d'onda della corrente (t) attraerso l'nduttore è una funzone contnua nell'nterallo aperto ( t, t a b ). n partcolare, per qualsas stante τ, tale che < τ s ha: ( τ ) ( τ ) ( τ ). t a < t b Questa è la cosddetta propretà d contnutà della corrente d un nduttore. Tale rsultato potea essere anche presto tenendo presente la (.4) e la propretà d costanza del flusso a pag. 8: nfatt, per quest'ultma, possamo screre, essendo l'nduttore lneare: ϕ ( τ ) ϕ( τ ) ϕ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) b) nduttor lnear tempo-arant. Ess sono descrtt nel pano ϕ da una relazone d questo tpo: ϕ ( t) ( t) ( t) ; n altr termn, la pendenza della caratterstca ara nel tempo. ò s può ottenere, per esempo, mmagnando un nduttore come un flo conduttore aolto a spre ntorno ad un torode costtuto da un certo materale e facendo arare l numero d spre dell'aolgmento per mezzo d un contatto strscante azonato da un motore, d modo che l'nduttanza ar secondo una prescrtta funzone del tempo (t). l legame tensone-corrente è l seguente: d ( t) d( t) d( t) ( t) ϕ ( t) ( t) (.7) dt dt dt a caratterstca d un nduttore lneare tempo-arante consste n una famgla d rette, cascuna alda per un dato stante d tempo, come mostrato n fgura: ϕ O c) nduttor non lnear. Sono quell per cu la caratterstca nel pano ϕ non soddsfa le condzon d addttà ed omogenetà: pertanto tale caratterstca non è una retta passante per l'orgne degl ass. Per quanto rguarda, n partcolare, gl nduttor controllat n corrente (ed la relazone (.7) della pagna precedente) s ha: dϕ( t) dϕ( ( t)) dϕ( ) d( t) d( t) ( t) ( ) dt dt d dt dt () è detta nduttanza ncrementale. S osser, nfne, che la maggor parte degl nduttor non lnear sono anche non blateral, ossa hanno una caratterstca

31 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca non smmetrca rspetto all'orgne degl ass nel pano ϕ ; questo comporta la necesstà d dstnguere morsett a fn dell'assegnazone delle polartà. Percò tal nduttor saranno rappresentat col seguente smbolo: Nota: l estremtà annerta della scatola è collegata al morsetto a tensone pù bassa. Per gl nduttor non lnear blateral s utlzza, n generale, lo stesso smbolo della fgura precedente senza però annerre l'estremtà nferore. Gl nduttor lnear sono, oamente, blateral..4 GENEATO NDPENDENT Nella teora de crcut generator ndpendent hanno lo stesso ruolo delle forze e- sterne n meccanca: ess consentono nfatt d smulare l funzonamento delle sorgent d ecctazone present n un qualsas crcuto fsco. Per semplctà ometteremo l'aggetto ndpendente. Tal generator, dett deal perché non esstono n realtà component fsc con le caratterstche ndcate, sono d due tp: generator d tensone. Un bpolo è detto generatore d tensone se la tensone a suo morsett è sempre uguale ad un'assegnata forma d'onda s (t) ndpendentemente dal flusso d corrente che lo attraersa. e forme d'onda comunemente utlzzate comprendono l generatore d tensone contnua, n cu s (t) è par ad una costante E per ogn t, la snusode, l'onda quadra, e così a. l smbolo per un generatore d tensone con forma d'onda s (t) è mostrato n fgura., doe segn e specfcano le polartà, mentre l smbolo per un generatore d tensone contnua è mostrato n fgura.4, con E > : s (t) (t) E a sbarretta pù lunga ndca l polo posto. Fg.. Fg..4

32 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Per ogn stante t, l generatore d tensone può essere rappresentato dalla relazone: s {, ) : ( t) per < < } ( (.8) s D conseguenza, un generatore ndpendente d tensone è un resstore a due termnal. Se s ( t) cost E allora la sua caratterstca nel pano è una retta parallela all'asse : cò è llustrato nella seguente fgura. O E s Da tale fgura s ossera che l generatore d tensone è un resstore non lneare controllato n corrente. Esso è non lneare perché la lnea retta non attraersa l'orgne. Per ( t), la caratterstca concde con quella del cortocrcuto. Nella fgura d sotto è mostrato un generatore d tensone collegato ad un crcuto esterno qualsas: s (t) (t) rcuto Esterno l sgnfcato fsco della defnzone d generatore ndpendente d tensone sta nel fatto che la tensone a cap del generatore ene mantenuta uguale all'assegnata forma d'onda s (t) ndpendentemente dal crcuto esterno. a natura d quest'ultmo nfluenza soltanto l flusso d corrente attraerso l generatore. ò accade perché un generatore deale d tensone ha resstenza nterna nulla, a dfferenza d una battera reale che ha una resstenza fnta dersa da zero. s generator d corrente. Un generatore d corrente è un bpolo la cu corrente è par ad una forma d'onda assegnata (t), ndpendentemente dalla tensone a suo morsett. Un generatore ndpendente d corrente è rappresentato smbolcamente nella seguente fgura, doe la frecca ndca la drezone posta della corrente, oero s ( t) > sgnfca che la corrente attraersa l generatore dal termnale al termnale. Nella stessa fgura è mostrata anche la caratterstca - per un generatore d corrente espressa dalla relazone:

33 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca s {, ) : ( t) per < < } ( (.9) s (t) J s (t) O n termn d pano un generatore d corrente, se la sua forma d'onda è costante ed uguale a J, è rappresentato da una lnea retta parallela all'asse. Esso costtusce un resstore non lneare controllato n tensone. Per ( t), la caratterstca concde con l'asse : qund un generatore ndpendente d corrente denta un crcuto aperto (resstenza nfnta) quando la corrente è nulla. Nella seguente fgura è mostrato un generatore d corrente collegato ad un crcuto esterno arbtraro: s s (t) s rcuto Esterno l sgnfcato della defnzone d generatore d corrente è che la corrente del generatore mantene la forma d'onda s (t) assegnata mentre la tensone a suo cap è determnata dal crcuto esterno. N.B.: n realtà l generatore d tensone è un resstore non lneare con resstenza nulla ed l generatore d corrente è un resstore non lneare con resstenza d alore nfnto..5 FOME D'ONDA ANONHE PE SEGNA Vengono elencate d seguto le prncpal forme d'onda medante le qual è possble esprmere un segnale d ngresso o uscta a cap d un crcuto. Esse sono tutte funzon della arable 'tempo' t : FUNZONE OSTANTE: f ( t) k. f(t) k O t

34 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca FUNZONE SNUSODAE: f ( t) Acos( ω t ϕ). n partcolare s ha: π ω πf è detta frequenza angolare o pulsazone (T è l perodo mentre T f è la frequenza par all nerso del perodo); ϕ è la fase. FUNZONE GADNO UNTAO: se t < u ( t) se t > u(t) O t Fg..5 PUSE FUNTON (mpulso d durata fnta): P ( t) se t < se < t < se t > (t) P O Area Untara t Fg..6 È facle erfcare che l'mpulso d durata fnta s può ottenere come dfferenza d due gradn opportun: O u ( t ) t O u( t ) t O u ( t ) Oppure t O t

35 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Da questa fgura s ossera che l'mpulso d durata fnta può essere scrtto nel seguente modo: u( t) u( t ) P ( t) FUNZONE MPUSO (o d DA). Per che tende a zero, l'altezza dell'mpulso d durata fnta d fgura.6 tende ad nfnto n t ed è nulla altroe, mentre l'area sotto l'mpulso rmane narata coè par ad. n defnta un segnale llmtato s defnsce mpulso se soddsfa le seguent propretà: a) sngolare per t ε δ ( t) b) per t δ ( t ) dt per ogn ε > ε Esso ene ndcato smbolcamente come n fgura: δ (t) O t Fg..7 Dalla fgura.6 ossero che se tende a zero l'mpulso d durata fnta tende alla funzone d Drac. D'altra parte sussstono le seguent relazon: du( t) t δ ( t) lm P ( t) u( t) δ ( τ ) dτ dt (.) FUNZONE AMPA UNTAA: r( t) t u( t).

36 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca a sua rappresentazone è la seguente: S ossera che: dr( t) u( t) r( t) dt t Fg..8 u(τ ) dτ (.) Tenendo presente le relazon (.) e (.) s ha l seguente schema d passaggo da una funzone all'altra: derazone δ(t) u(t) r(t) ntegrazone.6 AATTEZZAZONE DE BPO DA UN PUNTO D VSTA ENEGETO onsderamo un qualsas bpolo n cu sa adottata la conenzone degl utlzzator per l segno della coppa d arabl tensone-corrente: (t) (t) Per quanto detto a pag. 6, con tale scelta, una potenza p( t) ( t) ( t) posta corrsponde ad una potenza entrante nel bpolo: generalmente, però, essendo la potenza un ndce d trasfermento energetco, possamo fare rfermento all'energa scambata dal bpolo con l'esterno. 'energa assocata ad un bpolo nell'nterallo d tempo nfntesmo dt può essere alutata come: dw p( t) dt. Se p è posta, essa rappresenta l'energa entrante nel bpolo. Possamo allora faclmente rcaare l'energa entrante nel t : bpolo n un nterallo d osserazone ( ),t

37 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 t ( t, t ) p( t) dt w ( t) ( t) dt (.) t t t Questa quanttà è edentemente dpendente dall'nterallo d tempo consderato; per poter però confrontare due bpol da un punto d sta energetco occorre fare rfermento ad un ndce d trasfermento che non dpenda dall'nterallo scelto. Posto t e consderando t tendente ad nfnto, s defnsce potenza meda: (, t ) w t ( t) ( t) P m lm lm t dt (.) t t t Essa può essere consderata come un ndce d trasfermento defnto d energa. N.B. Nel caso d grandezze perodche rsulta: P W T oe T è l perodo del m, T prodotto. Utlzzando la (.) e la (.) analzzeremo l comportamento e- nergetco de bpol precedentemente defnt..6. Potenza ed energa ne resstor ome gà detto n precedenza, resstor non lnear possono essere classfcat, n base alla caratterstca, n resstor controllat n tensone, controllat n corrente e controllat n tensone e corrente. Valutamo potenza stantanea P E (t), energa W ( t,t ) e potenza meda P M per cascuno d ess. esstor controllat sa n tensone sa n corrente: Q () oppure O E () Fg..9 Possamo allora screre quanto segue: p ( t) ( ( t)) ( t) ( t) ( ( t)) w ( t, t) t t t t ( t) ( ( t)) dt ( t) ( ( t)) dt P m lm t lm t t t ( t) ( ( t)) dt t ( t) ( ( t)) dt t esstor controllat n tensone: Q ()

38 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Fg. Possamo allora screre: p ( t) ( t) ( ( t)) w ( t, t ) t t ( t) ( ( t)) dt P m lm t t ( t) ( ( t)) dt t esstor controllat n corrente: Q () O Fg.. Possamo allora screre: p ( t) ( t) ( ( t)) w ( t, t ) t ( t) ( ( t)) dt m t t P lm t ( t) ( ( t)) dt t S not che, assegnato un generco stante t e qund un punto Q d coordnate ( ( t), ( t) ) sulla caratterstca, la potenza stantanea è rappresentata dalle aree rettangolar nelle fgure.9,.,.. noltre, dalle relazon precedentemente scrtte s ossera che per rcaare la potenza meda così come l'energa nell'nterallo t, ) è necessaro cono- ( t scere non solo la caratterstca nel pano del resstore ma anche l'andamento della corrente o della tensone nel tempo. a potenza meda può assumere, n generale, alor post e negat. Poché stamo supponendo d rferrc alla conenzone degl utlzzator, se la potenza meda rsulta essere posta, essa ndca che dell'energa è fornta al bpolo dal resto del crcuto ossa dell'energa sta entrando nel bpolo da suo morsett: tale energa non ene pù resttuta dal bpolo al crcuto esterno. Un caso sgnfcato è, per esempo, quello de resstor lnear per qual s può screre: p( t) ( t) ( t) ( t) G ( t) (.4)

39 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Essendo G o post, s ha che n quest resstor lnear la potenza stantanea, ed anche quella meda, saranno poste sgnfcando con cò che tal resstor non potranno cedere energa al resto del crcuto ma solo assorbrla. n conclusone dcamo che tutt que resstor, lnear o non lnear, che sono caratterzzat da una potenza stantanea maggore o uguale a zero n ogn stante t sono chamat resstor pass, n quanto possono solo assorbre energa dal crcuto esterno: è facle erfcare che n questo caso la caratterstca gace tutta nel prmo e nel terzo quadrante del pano (ass eentualmente nclus). D'altra parte, tutt que resstor per qual la potenza assume, anche se n un solo stante, un alore negato sono dett resstor att n quanto possono fornre energa al crcuto esterno (per maggore charezza s eda la defnzone d passtà d un elemento crcuto fornta d seguto al paragrafo.6.4). onsderamo, ad esempo, l caso d un generatore deale d tensone la cu caratterstca è nel pano : O O l tratto d caratterstca stuato nel secondo o quarto quadrante corrsponde a punt d funzonamento per qual p ( t) <, ossa l generatore eroga potenza; mentre l tratto d caratterstca nel prmo o terzo quadrante corrsponde a punt d funzonamento per qual questo bpolo s comporta come un utlzzatore perfetto assorbendo energa da morsett. Un dscorso analogo ale per l generatore d corrente..6. Potenza ed energa ne condensator Anche per condensator non lnear ale la seguente classfcazone n base al tpo d caratterstca: condensator controllat n tensone, controllat n carca e controllat n tensone e carca. Prendamo n esame, n partcolare, gl ultm due: q q q( t ) q( t ) ( q) q q( ) q( t ) (q) O q( t ) O Fg..

40 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Per tal condensator, controllat nella carca, la potenza stantanea può essere scrtta come: p ( t) ( t) ( q( t)) e qund l'energa utlzzata nell'nterallo t, ) è ottenble come: ( t t t dq( t) q( t ) w ( t, t) ( t) ( t) dt ( q( t)) dt ( q) dq (.5) t t q( t ) dt Nel caso partcolare d un condensatore lneare, per l quale s può screre:, la relazone (.5) denta: ( ) q w [ q ( t ) q ( t )] [ ( t ) ( t )] q( t ) t, t) qdq (.6) q( t ) ( Queste due relazon mostrano che l'energa assorbta nell'nterallo t, ) è par all'a- ( t rea traccata nella fgura. della pagna precedente: n altr termn per determnare l'energa sono necessare e suffcent le seguent nformazon: la caratterstca q, l alore della carca all'stante t, l alore della carca all'stante t. 'energa non dpende, qund, né dalla forma d'onda della tensone né dalla forma d'onda della carca coè non dpendono dalla funzone del tempo. Se alor della carca n t e t concdono allora l'energa scambata n questo nterallo d tempo è nulla. nfne, se s consdera la potenza meda n un condensatore controllato nella carca s ha: w (, ( ) ) q t t P m lm lm ( q) dq (.7) t t t t q() Tale lmte è analtcamente ndetermnato ma da un punto d sta fsco è par a zero n quanto la carca q(t) è sempre lmtata n alore e qund l'area sottesa dalla cura (q) n fgura. è sempre fnta (ossa l alore dell'ntegrale che compare nella relazone (.7) è fnto): poché la quanttà t tende a zero ne segue che anche l alore del lmte, nelle potes suddette, sarà nullo. S conclude percò che la potenza meda d un condensatore controllato nella carca è zero: n altr termn, un condensatore controllato nella carca non dsspa energa. nfatt l'energa che entra n un tale bpolo ene accumulata e può essere eentualmente resttuta al resto del crcuto: per questo moto s dce che l condensatore è un elemento conserato. Un dscorso analogo ale per condensator controllat n tensone ma essendo pù complesso non lo tratteremo.

41 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4.6. Potenza ed energa negl nduttor Anche per gl nduttor non lnear ale la seguente classfcazone n base al tpo d caratterstca: nduttor controllat n corrente, controllat nel flusso e controllat n corrente e flusso. Prendamo n esame, n partcolare, gl ultm due: ϕ ϕ ϕ ( t ) ϕ ( t ) ϕ ϕ( ) ( ϕ) ϕ ( t ) (ϕ) O ϕ ( t ) O Fg.. Per tal nduttor controllat n flusso la potenza stantanea può essere scrtta come: p ( t) ( t) ( t) ( t) ( ϕ( t)) (.8) D conseguenza, l'energa utlzzata nell'nterallo t, ) ale: w ( t, t ) t ( t dϕ( t) ϕ ( t ) ϕ ( ϕ) dϕ (.9) ( t ) dt ϕ ( t) ( t) dt ( ( t)) dt t Se l'nduttore è lneare e qund: ( ) ϕ w t t, s ha: [ ϕ ( t ) ( t )] [ ( t ) ( t )] t t, t) d ϕ ϕ ϕ (.) t ( a relazone (.9) edenza che l'energa n goco nell'nterallo t, ) è par all'area ( t mostrata n fgura.: noltre s deduce che per alutare tale energa sono necessare e suffcent le seguent tre nformazon: la caratterstca nel pano ϕ, l alore del flusso concatenato nell'stante t e l alore del flusso concatenato nell'stante t. a potenza meda per un nduttore controllato nel flusso ale: p m w (, t ) lm lm t t t ϕ ( t ) t ϕ ( t ) ( ϕ ) dϕ Anche n questo caso, l alore d tale lmte è analtcamente ndetermnato ma da un punto d sta fsco lo s può rtenere nullo poché l'ntegrale arà scuramente un alore fnto (n quanto la funzone ϕ (t) assume alor lmtat n qualsas stante e percò l'area mostrata n fgura. è scuramente fnta) e la quanttà t tende a zero. n conclusone, la potenza meda per un nduttore controllato nel flusso è nulla: coè tal nduttor possono assorbre energa senza dssparla ma, eentualmente, la resttusco-

42 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca no al resto del crcuto. Per questo moto sono dett anch'ess element conserat. Un dscorso analogo ale anche per gl nduttor controllat n corrente, ma essendo pù complesso non lo tratteremo..6.4 Passtà ed atttà a defnzone d passtà ed atttà d un elemento crcutale è relata alla capactà d fornre energa dell elemento stesso. onsderato un bpolo e assunta per la tensone e la corrente a suo morsett la conenzone dell utlzzatore esso è detto passo se per tutte le possbl coppe tensonecorrente (t), (t) a suo termnal, l energa n esso mmagazznata è non negata, per ogn stante d tempo t (la defnzone è estendble anche ad element a pù morsett). n termn matematc questo può essere espresso dalla condzone (.): (, t ) w(, t ) ( t) ( t) dt t t w (.) doe l termne w(, t ) ndca l energa mmagazznata nel bpolo all stante t, supponendo che l bpolo sa nzalmente scarco, questo è rappresentato dal consderare come stante nzale per l calcolo dell energa t -. n altre parole, affnché un bpolo sa passo dee accadere che, comunque s scelga l stante d tempo t, l energa complessamente mmagazznata n esso dee essere maggore o al pù uguale a zero. a dstnzone fra l energa mmagazznata nel bpolo fno all stante t e quella mmagazznata da questo stante n po c fa comprendere che può accadere che c sa un nterallo d tempo nel quale l bpolo consderato può fornre energa, ma questa non potrà essere superore a quella che gl è stata fornta dall esterno n altro nterallo d tempo, che nel nostro caso è fssato tra ]-, t ], un e- sempo d un tale comportamento s può aere con condensator che possono assorbre energa, ma che possono anche fornrla al resto del crcuto, ess sono comunque e- lement pass poché non possono ma fornre un energa superore a quella che hanno rceuto n precedenza. Oamente per la defnzone d passtà d un elemento la (.) dee alere qualsas sa l stante d tempo t. Un elemento crcutale s dce atto se esso non è passo. Percò sarà atto un elemento per l quale accade che non è erfcata la (.) anche per un solo stante o per una sola coppa tensone corrente a suo morsett. nfne un bpolo s dce strettamente passo se per tutte le possbl coppe tensone-corrente (t), (t) non nulle a suo termnal, l energa n esso mmagazznata è sempre maggore d zero. A questo punto è mmedato comprendere come ad esempo un condensatore sa un elemento passo, nfatt rcordando la (.6) w, t) qdq [ q ( t ) q ( t )] [ ( t ) ( t )] q( t ) ( t q( t ) e consderando che la (.) può essere scrtta come: ( t ) w(, t ) w( t, t ) w (.),

43 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 se s consdera l condensatore scarco n t s ha w, t ), e (t ), per cu la (.) ( s rduce a: w (, t ) ( t) che è sempre era se è maggore d zero, l che accade sempre se s consderano degl element dscret (capactà negate possono essere ottenute con opportun crcut elettronc). Notamo, nfne, come un resstore non-lneare possa essere atto. onsderamo l resstore non lneare la cu caratterstca è data da: (t) (t) (t) e calcolamo l energa da esso assorbta tra due generc stant d tempo t e t, attraerso la (.) essa è data da: w t t t ( ) ( ) t, (, ) ( ) ( ) ( ) t t t w t t t t dt e e e e consderando che w(, t ) s nota che per t >ln (.5) e t ln (.5) ottenamo w(, t) <. Vene così confermato l rsultato gà esposto a pagna 6 per cu un resstore lneare o no è passo se e solo se la sua caratterstca gace tutta nel prmo e nel terzo quadrante del pano ncludendo anche gl ass. onene charre l concetto d sorgente ed utlzzatore. Oamente daremo l nome d sorgente a quel dsposto che, nell stante consderato, sta fornendo energa al resto del crcuto. Edentemente nddueremo come utlzzatore un dsposto che, n un determnato stante d tempo, rcee energa.

44 44 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO. BPO EQUVAENT 4. OEGAMENTO N SEE D ESSTO 4. OEGAMENTO N PAAEO D ESSTO 49.4 OEGAMENTO SEE-PAAEO D ESSTO 56.5 TASFOMAZONE D UN TANGOO D ESSTENZE N UNA STEA D ESSTENZE EQUVAENTE A TANGOO 6.6 ONNESSONE N SEE E PAAEO D ONDENSATO NEA 75.7 ONNESSONE N SEE E PAAEO D NDUTTO NEA 6.8 ESEMP D UT EQUVAENT 65

45 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 45. BPO EQUVAENT

46 46 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca onsderamo due generc bpol: Ess s dranno equalent se, stante per stante, le loro arabl termnal assumono rspettamente lo stesso alore, coè s ha: (t) (t), (t) (t), t t Ossero che nella defnzone data non c'è nessun rfermento alla natura de bpol: s parla, nfatt, d equalenza agl effett estern. Quanto detto per bpol può essere esteso anche a crcut. onsderamo, per l momento, crcut ne qual gl scamb energetc con l'esterno aengono medante due termnal che rappresentano la 'porta' del crcuto: la tensone e la corrente su tal termnal prendono l nome d arabl d porta. Tal crcut s dranno equalent se, stante per stante, le arabl d porta corrspondent assumono lo stesso alore, coè: (t) (t) e (t) (t), t

47 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 47 Defnamo caratterstca d'ngresso d un crcuto (detta anche DP o Drng Pont haracterstc) l legame funzonale tra le grandezze d porta tensone e corrente. l nome dera dall'osserazone che la caratterstca é costtuta da punt su cu s porta a laorare l crcuto una olta che sa stato ecctato. Possamo allora affermare che due crcut sono equalent se hanno la stessa DP. Ne prossm paragraf edremo come rcaare la caratterstca d'ngresso d crcut costtut da resstor a due termnal collegat n sere o n parallelo o n sere-parallelo: tal crcut engono defnt breemente crcut monoporta resst.. OEGAMENTO N SEE D ESSTO S consder l crcuto d fg.. n cu due resstor non lnear sono collegat al nodo ; nod e sono conness al resto del crcuto denotato con N. Guardando erso destra da nod e s ha un crcuto formato dal collegamento n sere d due resstor non lnear; a fn present, la natura del crcuto N è rrleante. S uole ottenere la caratterstca d'ngresso del crcuto con tensone d porta e corrente d porta. S supponga che entramb resstor sano controllat n corrente, coè: ( ) e ( ) (.) Esse costtuscono le caratterstche de resstor. Successamente applchamo la K a nod e ottenendo: ) ) da cu segue : (.)

48 48 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Applcando po la KT alla sequenza chusa d nod --- s ha: (.) ombnando ora le equazon (.),(.) e (.) s può screre: () () (.4) che rappresenta la caratterstca - del crcuto n esame. Essa defnsce la caratterstca d'ngresso d un resstore controllato n corrente d caratterstca: () (.5a) n cu rsulta: () () () (.5b) n defnta l crcuto ressto monoporta costtuto da due resstor non lnear controllat n corrente e collegat n sere è equalente ad un resstore non lneare con caratterstca data dalle equazon (.5a) e (.5b). Un esempo partcolare del caso appena dscusso s ha collegando n sere un resstore lneare ed un generatore deale d tensone contnua, che possono entramb essere consderat come resstor controllat n corrente.

49 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 49 e equazon caratterstche de due component sono: E e (.6) ome nel caso precedente, applcando la K a nod e s ottene: (.7a) mentre applcando la KT alla sequenza chusa d nod --- s ha: (.7b) che, per le equazon (.6), s può screre: E (*). n altr termn, l crcuto monoporta costtuto dal collegamento n sere d un resstore lneare e d un generatore deale d tensone contnua è equalente ad un resstore non

50 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca lneare con caratterstca data dalla (*) e rappresentata n fg..5: l monoporta appena esamnato è l modello d una battera reale con resstenza nterna. onsderamo ora una battera collegata n sere ad un dodo deale: poché un dodo deale non è un resstore controllato n corrente, non possamo sommare drettamente le tenson come ne due cas precedent. a battera è controllata sa n tensone sa n corrente: E. l dodo deale, nece, non è controllato né n tensone né n corrente; tuttaa, ossero che: ) con ) con > <

51 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 onsdero, allora, ndpendentemente, cascun segmento della caratterstca del dodo deale: ) ponendo > la tensone a morsett del dodo deale è nulla; qund possamo screre quanto segue:.k...k.t. E E (*) cordando, dunque, la lmtazone posta, la caratterstca d'ngresso del bpolo sarà così rappresentata: ) Ponendo, nece, < s ha una corrente nulla a morsett del dodo e s può screre quanto segue:.k...k.t. E (Nota: essendo < allora è scuramente mnore d E). n questo caso la caratterstca

52 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca del bpolo è così rappresentata: Mettendo nseme le fgure.7 e.8 s ottene la caratterstca d'ngresso del bpolo n esame: onsderamo ora l caso d n generator deal d tensone collegat n sere come n fgura: Poché generator d tensone possono essere consderat come resstor controllat n corrente, non s dee far altro che sommarne le tenson per ottenere un bpolo equalente. nfatt, applcando la K s ottene, come ne cas precedent:... n.

53 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Mentre applcando la KT alla sequenza chusa d nod --..-n- s ha:... n s s... sn s con s n k sk (.8) n defnta, l crcuto n esame è equalente ad un solo generatore deale d tensone la cu tensone è par alla somma algebrca delle n tenson de generator collegat n sere, come espresso nella (.8). onsderamo ora l caso d n generator deal d corrente collegat n sere, come mostrato n fgura: Dalla K s rcaa n modo analogo a cas precedent:... n s s... sn s (.9) Questa relazone mostra che gl n generator ndpendent d corrente deono aere tutt la stessa corrente, coè l collegamento n sere d tal generator ha senso solo se le corrent sono tutte ugual (altrment errebbe olata la K) e qund l bpolo equalente è un generatore d corrente con caratterstca s.

54 54 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca onsderamo l caso d n resstor lnear collegat n sere: S può screre noltre:.k...k.t.... n... n (.) Mettendo nseme le relazon (.) e quelle d lato s ottene:

55 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 55.. n (.. n ) con n k k (.) n conclusone, l crcuto n esame è equalente ad un solo resstore lneare con resstenza par alla somma delle resstenze de resstor collegat n sere. noltre, tenendo conto delle caratterstche, della K e della (.) coè /, possamo screre: k k k k k n p k p, K..n (.) Tale relazone è nota come regola del parttore d tensone. onsderamo, nfne, l seguente crcuto costtuto da un resstore lneare ed uno non lneare controllato n tensone e collegat tra loro n sere e le cu caratterstche sono mostrate n fgura:

56 56 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca e caratterstche per due resstor sono: e ( ) (*) Poché non è possble rsolere l problema analtcamente, come ne cas precedent, n quanto l secondo resstore non è controllato n corrente posso pensare d rsolerlo grafcamente sommando punto per punto le due tenson e, come n fgura: Ottengo così la caratterstca d'ngresso del crcuto n esame nel pano -. Osseramo che la caratterstca rsultante non è controllata né n tensone né n corrente.

57 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 57 eplogo del collegamento n sere. concett chae mpegat per ottenere la caratterstca d'ngresso d un bpolo formato dal collegamento n sere d resstor a due termnal sono: ) la K mpone che tutte le corrent che attraersano component sano ugual alla corrente d porta; ) la KT rchede l'uguaglanza tra la tensone d porta e la somma delle tenson a termnal de resstor; ) se cascun resstore è controllato n corrente, la caratterstca rsultante del crcuto è quella d un resstore ancora controllato n corrente.. ollegamento n parallelo d resstor S consder l crcuto d fg..5 n cu due resstor non lnear sono collegat n parallelo ne nod e al resto del crcuto denotato con N: A fn present la natura del crcuto N è rrleante. S uole ottenere la caratterstca d'ngresso del crcuto con tensone d porta e corrente d porta. S supponga che entramb resstor sano controllat n tensone, coè: ( ) e ( ) (.) Esse costtuscono le caratterstche. Applcando la KT alla coppa d nod - s ha:

58 58 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (.4) Successamente applchamo la K al nodo ottenendo: (.5) ombnando ora le equazon (.),(.4) e (.5) s può screre: () () (.6) che rappresenta la caratterstca - del crcuto n esame. Essa afferma che la caratterstca d'ngresso del crcuto è ancora quella d un resstore controllato n tensone: (). (.6a) n cu rsulta: () () () (.6b) n defnta un crcuto ressto costtuto da due resstor non lnear controllat n tensone e collegat n parallelo è equalente ad un resstore non lneare con caratterstca data dalle equazon (.6a) e (.6b). Un esempo partcolare del caso appena dscusso s ha collegando n parallelo un resstore lneare ed un generatore deale d corrente costante, che possono entramb essere consderat come resstor controllat n

59 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 59 tensone. e equazon d lato sono: s e G (.7) ome nel caso precedente, applcando la KT alla coppa d nod - s ottene: (.7a) mentre applcando la K al nodo s ha: (.7b) che, per le equazon (.7) e (.7a), s può screre come: s G (*) n altr termn, l crcuto costtuto dal collegamento n parallelo d un resstore lneare e d un generatore deale d corrente costante è equalente ad un resstore non lneare con caratterstca data dalla (*) e rappresentata n fg..7.

60 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca feramoc a tale esempo per charre ulterormente l concetto d bpolo equalente. S rcord che due crcut resst monoporta sono dett equalent se hanno le stesse caratterstche d'ngresso. Posto '/G moltplco entramb membr dell'equazone (*) precedente ed ottengo: ' 'G ' ' ' s s Posto E'' s, l'equazone precedente s può screre: ' E' (.8) Tale equazone può essere rappresentata dal collegamento n sere d un resstore lneare d resstenza ' con un generatore ndpendente d tensone E' dspost come n fgura: ome s può faclmente osserare, la caratterstca sopra rportata concde esattamente con quella mostrata n fg..7 e qund l crcuto d fg..6a e quello d fg..6 sono equalent. onsderamo ora l collegamento n parallelo d un resstore lneare con

61 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 un generatore ndpendente d corrente ed un dodo deale come mostrato n fg..8: poché un dodo deale non è un resstore controllato n tensone, non possamo sommare drettamente le corrent come ne due cas precedent. S not che la caratterstca del dodo deale nella fgura d sopra con l dodo nertto è l'mmagne speculare rspetto all'orgne d quella rappresentata n fg..6. l dodo deale non è controllato né n tensone né n corrente; tuttaa, ossero che: ) d ) d con con d d > < onsdero, allora, ndpendentemente cascun segmento della caratterstca del dodo deale: ) ponendo d> la corrente a morsett del dodo deale è nulla; qund possamo screre quanto segue:.k.t..k.. d d G s G s (*) cordando, dunque, la lmtazone posta, la caratterstca d'ngresso del crcuto sarà una semretta con pendenza G che ha orgne nel punto d coordnate (, s): ) Ponendo, nece, d < s ha una tensone nulla a morsett del dodo e s può screre quanto segue:

62 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca.K.T. d.k.. d G s d s d (**) (Nota: essendo d < allora è scuramente mnore d s). n questo caso la caratterstca del crcuto è così rappresentata: Mettendo nseme le fgure.9 e. s ottene la caratterstca d'ngresso del crcuto n esame: (Nota: confrontando tale fgura con fg..9 s ossera che le due caratterstche sono smmetrche rspetto alla bsettrce del prmo e terzo quadrante se s conene d porre E s e G ).

63 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 onsderamo ora l caso d n generator deal d tensone collegat n parallelo come n fgura: Applcando la KT s ottene, come ne cas precedent:... n s s... sn. s (.9) Da cò segue che per collegare n parallelo n generator ndpendent d tensone è necessaro che ess abbano tutt la stessa tensone, altrment s olerebbe la KT. l crcuto n esame e' equalente ad un generatore d tensone d caratterstca s. onsderamo ora l caso d n generator deal d corrente collegat n parallelo, come mostrato n fgura: Dalla K s rcaa n modo analogo a cas precedent:

64 64 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca... n s s... sn s con s n sk k (.) Da cò s deduce che l crcuto n esame è equalente ad un solo generatore ndpendente d corrente attraersato a suo morsett da una corrente par alla somma delle corrent degl n generator n parallelo. onsderamo l caso d n resstor lnear collegat n parallelo: S può screre noltre:.k.t.... n.k..... n (.) Mettendo nseme le relazon (.) e quelle d lato s ottene:.. n (G G.. G n ) G con G G n k k (.) n conclusone, l crcuto n esame è equalente ad un solo resstore lneare con conduttanza G par alla somma delle conduttanze de resstor collegat n parallelo. noltre, tenendo conto delle relazon d lato, della KT e della (.) coè /G, possamo screre:

65 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 65 k G k k Gk G k G n G p k G p, K..n (.) Tale relazone è nota come regola del parttore d corrente. eplogo del collegamento n parallelo. concett chae mpegat per ottenere la caratterstca d'ngresso d un bpolo formato dal collegamento n parallelo d resstor a due termnal sono: ) la KT mpone l'uguaglanza d tutte le tenson a termnal de component; ) la K rchede che la corrente d porta sa uguale alla somma delle corrent che attraersano resstor; ) se cascun resstore è controllato n tensone, la caratterstca rsultante del crcuto è quella d un resstore ancora controllato n tensone. Enuncamo ora l concetto d DUATÀ. E' nteressante confrontare due nsem d equazon: dalla (.) alla (.5) per l collegamento n sere e dalla (.) alla (.6) per l collegamento n parallelo: se sosttuamo tra loro ed n un nseme d equazon s ottene esattamente l'altro nseme. n maggor dettaglo, rdsegnamo due crcut del collegamento n sere e n parallelo d due resstor non lnear ed ndchamol, rspettamente, con N e N':

66 66 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca nnanztutto, s not che scambando recprocamente tutte le e le n un'equazone, s ottene l'altra. ò tuttaa rchede che le funzon: ( ), ( ) e ( ), ( ) sano rspettamente dentche. Successamente s confrontno le equazon (.) e (.) con le equazon (.4) e (.5): mentre l'equazone (.) rappresenta la K applcata al collegamento n sere de due resstor non lnear n N, l'equazone (.4) rappresenta la KT applcata al collegamento n parallelo de due resstor non lnear n N'; analogamente l'equazone (.) è la KT espressa dalla somma delle due tenson e n N, mentre l'equazone (.5) è la K espressa dalla somma delle due corrent n N'. nfne le equazon (.5a) e (.5b) specfcano la caratterstca d'ngresso del bpolo ottenuto dal collegamento n sere d due resstor non lnear controllat n corrente come quella d un solo resstore non lneare ancora controllato n corrente, mentre le equazon (.6a) e (.6b) specfcano la caratterstca d'ngresso d un bpolo ottenuto dal collegamento n parallelo d due resstor non lnear controllat n tensone come quella d un resstore non lneare ancora controllato n tensone. Nella seguente tabella sono elencat due nsem d termn S e S' ncontrat e che engono defnt dual uno rspetto all'altro. n partcolare, le arabl, le relazon, parametr e le legg della prma colonna sono dual d quell della seconda colonna relat alla stessa rga. mpegando tal termn s può defnre un crcuto duale: Due crcut N e N' sono defnt dual l'uno rspetto all'altro se le equazon che descrono l crcuto N sono dentche a quelle che descrono l crcuto N', dopo aer sosttuto per N ogn termne n S col corrspondente termne duale n S'. Successamente s estenderà l'nseme de termn dual, man mano che c s addentrerà ne dettagl della teora de crcut.

67 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 67 S S Tensone d lato esstore controllato n corrente esstenza rcuto aperto Generatore d tensone ndpendente onnessone sere KT Tensone d porta orrente d lato esstore controllato n tensone onduttanza ortocrcuto Generatore d corrente ndpendente onnessone n parallelo K orrente d porta Tabella S può, nfne, faclmente erfcare che se due crcut sono dual le loro caratterstche d'ngresso nel pano - sono smmetrche rspetto alla bsettrce del prmo e terzo quadrante: s confrontno, ad esempo, la fgura (.5) con la fgura (.7) e la fgura (.9) con la fgura (.)..4 ollegamento sere-parallelo d resstor Estendamo ora concett ntrodott ne precedent due paragraf a collegament sereparallelo d resstor a due termnal. Prendamo n esame due esemp:

68 68 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ) s consder l seguente crcuto n cu due resstor non lnear n parallelo sono collegat n sere ad un terzo resstore non lneare, come mostrato n fgura: l problema consste nel determnare l resstore costtuente l bpolo equalente. Applcheremo l metodo della rduzone progressa a partre dalla destra del crcuto: occorre qund determnare dapprma l bpolo equalente del collegamento n parallelo de due resstor e, come mostrato n fgura. Supponamo che due resstor non lnear sano entramb controllat n tensone: algono allora le seguent relazon: (.K.T. :.K.. : ) p p e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p (.4) Dunque due resstor n parallelo sono equalent ad un unco resstore non lneare ancora controllato n tensone defnto da: p p ( p) con p( p) ( p) ( p)

69 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 69 l crcuto nzale ene allora così rdotto: l passo successo è l'ottenmento del collegamento n sere de due resstor rmast. S assuma che la caratterstca d sa controllata n corrente e specfcata da: ( ) (*) Per poter procedere al collegamento n sere occorre che anche l'altro resstore sa controllato n corrente (altrment sarà necessaro rcorrere al metodo grafco): cò rchede d calcolare la seguente funzone nersa: p p ( p ) p ( p ) (**) A questo punto, utlzzando la (*) e (**), s può screre:.k..: p (.5).K.T.: p ( ) ( ) () () p p p n conclusone, l crcuto nzale è equalente ad un solo resstore non lneare controllato n corrente e defnto da: () con () () p() (.6)

70 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Nel presente problema, un passo fondamentale consste nella determnazone della funzone nersa: s tratta qund d stablre se tale nersa esste. n caso negato la caratterstca non può essere scrtta come nella (.6) perché non c'è controllo n corrente. Un semplce crtero che garantsce l'esstenza dell'nersa è che la caratterstca - sa monotona strettamente crescente. Qualora questo non doesse erfcars la caratterstca del bpolo llustrato n fg..5 potrà essere sempre rappresentata parametrcamente nel seguente modo: p( p ) () p ) S consder ora l crcuto mostrato n fgura costtuto da 5 resstor lnear collegat n sere-parallelo (sono anche scrtte le caratterstche per cascuno d ess): ome nel caso precedente, occorre determnare l bpolo equalente al crcuto assegnato e per far cò nzeremo a rdurre tale crcuto a partre dall'estremtà destra, come mostrato nella fgura d sopra. due resstor d conduttanze, rspettamente, G e G sono collegat n parallelo e qund s può screre per ess: G.K.T. :.K.. : e p p G G con G G (G, G G ) p D conseguenza possamo sostture tal due resstor con un unco resstore defnto da: G con G G G p p p p

71 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 l crcuto denta: onsdero ora due resstor collegat n sere nel nodo. Per ess s può screre: s p p p p s p s p p p p p ) ( :.K.T. :.K.. G con e Dunque due resstor collegat n sere possono essere sosttut da un solo resstore defnto da: p s s s s con l crcuto allora denta: Per due resstor collegat n parallelo s può screre:

72 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 q s 4 s s 4 4 s 4 q s 4 q s s s s s ) G (G G G :.K.. :.K.T. G con G e G Tal due resstor possono qund essere sosttut da un solo resstore defnto da: s 4 q q q q G G G con G l crcuto allora ene ulterormente semplfcato come segue: Per due resstor collegat n sere al nodo algono le seguent relazon: ) ( :.K.. :.K.T. G con e q 5 q q 5 5 q 5 q 5 q q q q q Possamo qund concludere che l bpolo equalente del crcuto monoporta d partenza è costtuto da un unco resstore lneare defnto dalla caratterstca: 5 q con

73 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca.5 Trasformazone d un trangolo d resstenze n una stella d resstenze equalente al trangolo 7 S prenda n esame la fg..: n fg..a è rappresentato un trangolo d resstenze mentre n fg..b è rappresentata una stella d resstenze. S uole determnare la stella d resstenze equalente agl effett estern al trangolo. S not che se nel trangolo fsso una certa coppa d morsett, per esempo la coppa -, edo la resstenza, compresa tra quest due morsett, n parallelo con la sere costtuta dalle due resstenze e ; consderazon analoghe algono per le altre due coppe d morsett - e -. Se ora s consdera la stella d resstenze e la coppa d morsett -, la resstenza sta da questa coppa é par alla sere d e. Analoghe consderazon s possono fare per le coppe - e -. a stella e l trangolo sono fra loro equalent se rsulta che, comunque s scelga una coppa d morsett nel trangolo, l resstore sto da tale coppa dee concdere con l resstore nella stella sto dalla corrspondente coppa d morsett( naturalmente ale anche l dscorso nerso a partre dalla stella): n altr termn, deono aere la stessa D.P.. resstor st dalla stessa coppa d morsett nelle due confgurazon, a trangolo e a stella. Allora per la coppa d morsett - s può screre: (,( )) ) P Analogamente, per la coppa d morsett - screremo: (,( )) ) P

74 74 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Ed nfne, per la coppa d morsett -, s ha: (,( )) ) P (Nota: l smbolo P ndca l collegamento n parallelo). Tenendo presente che nel collegamento n parallelo la conduttanza equalente è par alla somma delle conduttanze n parallelo e che nel collegamento n sere la resstenza equalente è par alla somma delle resstenze n sere, le relazon ),) e ) possono essere scrtte nel seguente modo: ( ( ( ) ) ) () () ().7 Questo rappresenta un sstema d tre equazon nelle tre ncognte,,. Nelle.7, sottraendo dalla ) la ) s ottene: (*) Sommando ora la ) alla (*) s ha: (**) Sosttusco la (**) nella ) ed ottengo:

75 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 75 (* * *) nfne, sosttusco la (***) nella ) e s ha: (* * **) eplogando, s può screre: ome s può osserare da quest'ultma relazone, la resstenza del raggo della stella che conerge n un certo nodo n è par al prodotto delle resstenze nel trangolo che conergono nello stesso nodo n dso la somma d tutte le resstenze del trangolo. Se nece è nota la confgurazone a stella e s uole rcaare l trangolo equalente s procede n modo analogo sosttuendo le conduttanze alle resstenze (graze alla propretà d dualtà). S rcaano allora le conduttanze per l trangolo n funzone delle conduttanze nella stella come segue: G G GG G G G G GG G G G G GG G G.6 onnessone n sere e parallelo d condensator lnear

76 76 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca onsderamo l seguente crcuto monoporta formato da n condensator lnear collegat n sere. S uole determnare la sua D.P..: Per cascun condensatore algono le seguent relazon: k k ( t ) k ( t ) k d k ( t ), dt t ( τ ) dτ con k,,...,n (Nota : S k con k,,..., n k k k ( τ ) dτ k ) k t k (*) ( τ ) dτ (**) k ( ) S k t k ( τ ) dτ, Essendo l collegamento n sere, s può screre:.k.. :.K.T. : (t) (t) (t)... (t) (t) n (t) (t) k k k n n k () Sk n k t k ( τ ) dττ, (.8) Ossero che per t s ha nella (.8): () k () ( t) () S n k t e qund, ( τ ) dτ, tenendo presente la K, la (.8) denta doe s è posto S k n S k (.9) :

77 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 77 Possamo allora concludere che l crcuto monoporta nzale è equalente ad un solo condensatore lneare con tensone nzale ed elastanza date rspettamente da: () n () e S k S k k k n onsderamo ora l seguente crcuto n cu c sono n condensator lnear collegat n parallelo: Anche n questo caso per cascun condensatore algono le relazon (*) e (**) scrtte alla pagna precedente. D'altra parte rsulta quanto segue:.k.t.: Per t s ha : (t) (t) (t)... (t), t. () () ()... () n n Da cò s conclude che se gl n condensator lnear sono collegat n parallelo, le loro tenson nzal deono essere necessaramente ugual altrment sarebbe olata la KT. Se tale condzone è soddsfatta s può ancora screre, tenendo conto della KT:.K.. : con (t) n k n k k k (t) (*). n k k d k(t) dt n k k d(t) d(t), dt dt Questa relazone esprme l fatto che, nell'potes che le tenson nzal de condensator sano tutte ugual tra loro e par ad un certo alore o, l crcuto nzale sarà allora equalente ad un solo condensatore lneare con tensone nzale sempre par a o e capactà data dalla (*).

78 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 78.7 onnessone n sere e parallelo d nduttor lnear onsderamo l seguente crcuto monoporta formato da n nduttor lnear collegat n parallelo. S uole determnare la sua D.P... Per cascun nduttore algono le seguent relazon: (**) ) : (Nota,,...,n con k, ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( (*),,...,n con k, ) ( ) ( k k t k k k t k k k k t k k k k k k d d d d t dt t d t Γ Γ τ τ τ τ τ τ τ τ Essendo l collegamento n parallelo, s può screre: (.), ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( :... ) (... ) ( ) ( ) ( :... Γ n k t k k n k n k k k n d t t t K t t t t T K τ τ Ossero che per t s ha nella (.):

79 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 79 ( ) n k k ( ) ( t ) ( ) Γ t e qund, tenendo presente la KT, la (.) denta : ( τ ) dτ, doe s è posto Γ k n Γ k (.) Possamo allora concludere che l crcuto monoporta nzale è equalente ad un solo nduttore lneare con corrente nzale ed nduttanza recproca date rspettamente da: () n () e Γ k k k n Γ k onsderamo ora l seguente crcuto n cu c sono n nduttor lnear collegat n sere: Anche n questo caso per cascun nduttore algono le relazon (*) e (**) scrtte precedentemente per l collegamento n parallelo. D'altra parte rsulta quanto segue:.k.. : (t) (t) (t)... (t), t. Per t s ha : () () ()... () n n Da cò s conclude che se gl n nduttor lnear sono collegat n sere, le loro corrent - nzal deono essere necessaramente ugual altrment sarebbe olata la K. Se tale condzone è soddsfatta s può ancora screre, tenendo conto della K:

80 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca.K.T. : con (t) n k k n k (t) (*). k n k k d k(t) dt n k k d(t) d(t), dt dt Questa relazone esprme l fatto che, nell'potes che le corrent nzal degl nduttor sano tutte ugual tra loro e par ad un certo alore, l crcuto nzale sarà allora e- qualente ad un solo nduttore lneare con corrente nzale sempre par a ed nduttanza data dalla (*)..8 Esemp d crcut equalent Supponamo d aere un crcuto monoporta costtuto da un solo condensatore lneare d capactà carco, coè con una tensone nzale non nulla, come mostrato n fgura:

81 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 Per l condensatore algono le seguent relazon: d ( t ) ( t ) dt ( t ) t ( τ ) dτ c ( ) t (.) ( τ ) dτ (.) l prmo addendo della (.) rappresenta, come sappamo, la tensone nzale nel condensatore ed essendo un termne costante possamo ndcarlo con V o. Mentre l secondo addendo della (.) può essere nterpretato come la tensone che s arebbe a morsett del condensatore se esso fosse nzalmente scarco, coè con tensone nzale nulla; se ndco tale termne con c(t) la (.) denta: (t) V c (t) (.4) Questa equazone è suscettble della seguente nterpretazone crcutale. onsdero l crcuto mostrato n fgura: Valgono, dunque, queste relazon:

82 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 (*) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.:.. ) ( ) ( ) (.:.. ) ( ) ( e t c c g c g t c c g d V t V t t t K T t t t K d t V τ τ τ τ onfrontando la relazone (*) con la (.4) possamo concludere che un condensatore lneare d capactà e con tensone nzale dersa da zero è equalente ad un crcuto monoporta costtuto dal collegamento n sere d un generatore d tensone costante par alla tensone nzale del condensatore con un condensatore lneare aente la stessa capactà ma con tensone nzale nulla. Supponamo ora d aere un crcuto monoporta costtuto da un solo nduttore lneare d nduttanza carco, coè con una corrente nzale non nulla, come mostrato n fgura: Per l'nduttore algono le seguent relazon: (.6) ) ( ) ( ) ( ) ( (.5) ) ( ) ( t t d d t dt t d t τ τ τ τ l prmo addendo della (.6) rappresenta, come sappamo, la corrente nzale nell'nduttore ed essendo un termne costante possamo ndcarlo con o. Mentre l secondo addendo della (.6) può essere nterpretato come la corrente che s arebbe a morsett dell'nduttore se esso fosse nzalmente scarco, coè con corrente nzale nulla; se ndco tale termne con (t) la (.6) denta:

83 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 (.7) (t) (t) Questa equazone è suscettble della seguente nterpretazone crcutale. onsdero l crcuto mostrato n fgura: Valgono, dunque, queste relazon: (*) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.:.. ) ( ) ( ) (.:.. ) ( ) ( e t p p t p d t t t t K t t t K T d t τ τ τ τ onfrontando la relazone (*) con la (.7) possamo concludere che un nduttore lneare d nduttanza e con corrente nzale dersa da zero è equalente ad un crcuto monoporta costtuto dal collegamento n parallelo d un generatore d corrente costante par alla corrente nzale dell'nduttore con un nduttore lneare aente la stessa nduttanza ma con corrente nzale nulla.

84 84 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO 4 4. DETEMNAZONE DE PUNT D AVOO: METODO DEA AATTESTA D AO NEAZZAZONE A TATT ESSTO ONAV E ONVESS SNTES DEA AATTESTA DE DODO TUNNE ANAS PE PO SEGNA

85 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca DETEMNAZONE DE PUNT D AVOO: METODO DEA AATTESTA D AO Assegnato un crcuto qualunque s è nteressat a determnarne una soluzone medante la quale sa po possble rcaare tutte le tenson e corrent d lato. Per alcun crcut la soluzone è unca: ad esempo, s può dmostrare che cò è ero nel caso d un crcuto formato da resstor lnear tempo-narant a due termnal e un generatore ndpendente d corrente o d tensone costant. Per altr crcut può esstere un'unca soluzone, soluzon multple o addrttura nessuna soluzone: cò accade, n partcolare, per

86 86 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca crcut con component non lnear. e soluzon s possono rcaare con metod analtc, numerc e grafc. Precsamo che un crcuto sarà defnto lneare se contene solo element crcutal lnear e generator ndpendent. E' mportante capre l ruolo solto da tal generator: ess sono consderat come ngress per l crcuto e d conseguenza la soluzone è consderata come rsposta a tal ngress. e soluzon per un crcuto con ngress n contnua (coè con generator ndpendent costant) sono defnte punt d laoro: l termne anals n contnua s rfersce alla determnazone de punt d laoro. Un metodo frequentemente utlzzato per l'anals n contnua d crcut resst è detto metodo della caratterstca d carco o OAD NE. Per applcarlo occorre che: ) l crcuto ressto abba sorgent ndpendent costant ) sa possble ndduare due sezon del crcuto con una porta n comune Vedamo n cosa consste l metodo. Assegnato un qualsas crcuto ressto, s ndduno n esso due sezon collegate tra loro medante una sola porta, come mostrato n fgura: Ogn sezone è costtuta da un'nterconnessone d resstor: non s fa alcuna potes sulla lneartà degl element crcutal present n cascuna sezone che, qund, possono essere anche non lnear. Attrbuamo alla sezone A l nome d carco: è consglable che l carco abba una caratterstca alla porta d facle determnazone e rappresentazone nel pano -; per questo moto, se possble, s fa n modo d racchudere nel carco gl element crcutal lnear e generator d tensone o corrente (necessaramente costant per l'potes d laoro n contnua). S assuma che due monoporta A e B sano specfcat dalle seguent caratterstche d'ngresso n termn della propra tensone e corrente d porta: fa (a, a ) e f (, ) b b b (4.) Occorre ora screre soltanto le equazon relate alle legg d Krchhoff per defnre l'nterconnessone d porta a due nod e :

87 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 87.K.T. a b (4.).K.. b - a (4.) Posto ora: b a e a b (4.4) le due equazon (4.) s possono screre n termn d ed come: fa(, ) fb(,) (4.5) e soluzon d tale sstema rappresentano punt d laoro cercat. Grafcamente l punto o punt d laoro cercat sono dat dall'ntersezone delle due cure nel pano - rappresentate delle due equazon. a caratterstca alla porta del carco f a(,-) prende l nome d caratterstca d carco: essa s ottene rbaltando la caratterstca d'ngresso del monoporta A rspetto all'asse delle tenson. Vedamo subto alcun esemp: ) s consder l seguente crcuto ressto: Valgono le seguent relazon:

88 88 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca a J.K.T. :.K.. : e b b a G b a b (*) (**) S ottene allora l sstema d due equazon nelle ncognte e che rsolto fornsce la soluzone del crcuto: J G P J G, J (* * *) l crcuto ammette qund un unco punto d laoro,che abbamo ndcato con P, che fornsce la corrente e la tensone alla porta - medante le qual è facle po rcaare le corrent e le tenson d lato sfruttando le relazon (*) e (**): l crcuto è qund completamente rsolto. Grafcamente s ha: (S not che la 'load lne' è smmetrca della caratterstca d'ngresso del carco rspetto all'asse delle tenson.)

89 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 89 ) S consder l seguente crcuto: portando nel pano - la caratterstca del dodo tunnel e quella del generatore d corrente rbaltata rspetto all'asse delle tenson (come presto dal sstema 4.5) s ha: Dal grafco s ossera che se l generatore ha una corrente l cu alore è compreso tra J e J l crcuto n esame arà tre punt d laoro dstnt. ) S consder l seguente crcuto:

90 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca portando nel pano - la caratterstca del dodo reale polarzzato nersamente e quella del generatore d corrente rbaltata rspetto all'asse delle tenson (come presto dal sstema 4.5) s ha: Dal grafco s ossera che se l generatore ha una corrente l cu alore è superore a J s l crcuto n esame non arà alcun punto d laoro. 4) S consder l seguente crcuto: S può screre quanto segue: a a E fb( b, b ) : D.P.. del carco : D.P.. del bpolo collegato al carco. Effettuando le sosttuzon (4.4) d pag. 7 s ottene:

91 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 E fb(,) (*) Supponendo d conoscere la rappresentazone grafca nel pano - del dodo reale polarzzato drettamente, l punto d laoro del crcuto n esame ene rcaato come ntersezone d tale cura con la retta d carco la cu equazone è la prma nel sstema (*) appena scrtto: 5) S consder, nfne, l seguente crcuto: (Nota: per comodtà non sono state scrtte le tenson d lato, che comunque n seguto s ndcheranno con la lettera seguta dallo stesso pedce della corrente d lato corrspondente.)

92 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca a caratterstca d'ngresso del carco è faclmente determnable: a 7a E (*) a caratterstca d'ngresso del monoporta collegato al carco s rcaa dopo aer effettuato le seguent sosttuzon equalent:

93 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Qund la caratterstca del monoporta collegato al carco è: b e b (**) Applcando ora le sosttuzon (4.4) d pag.7 alla (*) e (**) s ha: 7 E e ee P e 7, e E 7 P (,) Qund l crcuto ha un solo punto d laoro P le cu coordnate (,) sono state rcaate: ora, n funzone d tal alor, è possble ottenere tutte le corrent e tenson d lato. n partcolare per resstor che s troano nel bpolo collegato al carco algono le seguent relazon: ( ' s noltre : ' s ' s ' ( ( Dal crcuto d fg. 4.4 s ha : Dal crcuto d fg. 4. s ha : (da cu s ottene : ( ( (da cu s ottene : 6 s 6 6 ' s Dal crcuto d fg. 4. s ha : ' (da cu s ottene : ' Dal crcuto d fg. 4. s ha : ' ' p 4 s s 6 p 5 ' e s p s e ' s e 4 p 6 5 p ' p s s s (4.7) p ' ' p 5 p s p p (4.8) ' (4.6) p ' s (4.) (4.) p (4.) s (4.) (4.9) Osserando, nfne, l crcuto d fg. 4. s rcaa: G G G G G G parttore d corrente al parallelo tra e

94 94 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4. NEAZZAZONE A TATT l metodo della lnearzzazone a tratt è molto utle nello studo d crcut con resstor non lnear. aratterstche nel pano - non lnear possono essere approssmate con segment n modo tale da poterne faclmente determnare la rappresentazone analtca. Verranno ora presentat due modell deal 'lnear a tratt' utlzzat come element base per la sntes d modell pù compless. 4. ESSTO ONAV E ONVESS Sussste, n generale, la seguente defnzone: una funzone f(x) s dce concaa se comunque s fssno due alor della arable ndpendente x e un numero reale a compreso tra e (nclus) rsult: [ ax ( a) x ] af( x ) ( a) f( x ), x, x e a f n altr termn, l tratto d cura relato alla funzone f(x) nell'nterallo [x,x ] dee troars al d sotto della secante la cura ne punt d ascssa x e x. Se nella relazone precedente s sosttusce l segno d mnore o uguale con quello d maggore o uguale s ottene la defnzone d funzone conessa. S defnsce resstore concao un bpolo la cu caratterstca nel pano - è mostrata n fgura nseme alla sua rappresentazone crcutale:

95 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 95 S ossera allora che l resstore concao è controllato n tensone ed è ndduato completamente da due parametr: G ossa la pendenza della semretta rspetto all'asse della tensone, E che è detta tensone d break. E' facle erfcare che la rappresentazone analtca della caratterstca d un resstore concao è data da: G [( E) E ] (*) nfatt, consderamo la seguente fgura doe è dagrammata, nel caso (a), la funzone (G/)(-E) e, nel caso (b), la stessa funzone ma consderata nel suo alore assoluto; fssando l alore d tensone e sommando alor d corrente corrspondent per le due funzon s ottene propro la caratterstca d un resstore concao con tensone d break par ad E e conduttanza par a G: S può noltre faclmente erfcare che un crcuto equalente a tale resstore concao

96 96 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca è quello rappresentato d seguto: Tale equalenza sussste, però, solo nel caso n cu sa G>. nfatt se rsulta G< la caratterstca del resstore concao denta: e come possamo osserare è ancora controllata n tensone. Se nece nel crcuto d fg. 4.7 l resstore ha una conduttanza G< allora la sua caratterstca d'ngresso sarà la seguente: e come s ossera tale caratterstca, oltre ad essere dersa da quella d fg. 4.8, non è neanche controllata n tensone. S defnsce, nece, resstore conesso un bpolo la cu caratterstca nel pano - è mostrata n fgura nseme alla sua rappresentazone crcutale:

97 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 97 S ossera allora che l resstore conesso è controllato n corrente ed è ndduato completamente da due parametr: ossa la pendenza della semretta rspetto all'asse della corrente, J che è detta corrente d break. E' facle erfcare che la rappresentazone analtca della caratterstca d un resstore conesso è data da: [( J) J ] (**) nfatt, consderamo la seguente fgura doe è dagrammata, nel caso (a), la funzone (/)(-J) e, nel caso (b), la stessa funzone ma consderata nel suo alore assoluto; fssando l alore d corrente e sommando alor d tensone corrspondent per le due funzon s ottene propro la caratterstca d un resstore conesso con corrente d break par ad J e resstenza par a : S può faclmente erfcare che un crcuto equalente ad un resstore conesso è l seguente:

98 98 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tale equalenza sussste, però, solo nel caso n cu sa >. nfatt se rsulta < la caratterstca del resstore conesso denta: e come possamo osserare è ancora controllata n corrente. Se nece nel crcuto d fg. 4. l resstore ha una resstenza < allora la sua caratterstca d'ngresso sarà la seguente: e come s ossera tale caratterstca, oltre ad essere dersa da quella d fg. 4., non è neanche controllata n corrente.

99 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Sntes della caratterstca del dodo tunnel n generale, l processo d sntes consste nell'esamnare una caratterstca assegnata e rcaare da essa un modello crcutale costtuto da determnat element collegat n modo opportuno e tale che la sua caratterstca d'ngresso concda propro con la caratterstca assegnata: s tratta, qund, del processo nerso dell'anals d un crcuto nel quale s cerca, nece, d determnare la caratterstca d'ngresso del crcuto n esame. onsderamo, come esempo, la sntes della caratterstca del dodo tunnel: essa è mostrata nella fgura seguente nseme alla sua rappresentazone lnearzzata a tratt: Dalla fgura s ossera che è possble ndduare tre camp, o regon, d funzonamento, cascuno caratterzzato dalla pendenza del segmento d approssmazone, che sarà nota a pror nseme alle due tenson E e E : regone : G G regone : G G regone : G G a b c per E per E E per > E

100 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Allora, partendo da snstra erso destra, possamo decomporre la caratterstca lnearzzata nella somma d tre component, come mostrato n fg. 4.5: una retta passante per l'orgne con pendenza G ; la caratterstca d un resstore concao con tensone d break par a E e pendenza negata par a G ; la caratterstca d un resstore concao con tensone d break par a E e pendenza posta par a G : n tal modo possamo affermare che un crcuto aente una D.P.. smle alla caratterstca lnearzzata del dodo tunnel è l seguente: Perché esso corrsponda esattamente alla caratterstca lnearzzata del dodo tunnel, parametr deono edentemente soddsfare le seguent relazon: regone regone regone : G : G : G G G G a G G b G c solto tale sstema d tre equazon n tre ncognte s ottene: G G G G G a G b c G G a b

101 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Possamo, noltre, faclmente rcaare la rappresentazone analtca della D.P.. del crcuto d fg. 4.6 (uguale a quella della caratterstca lnearzzata del dodo tunnel) osserando che tre resstor sono collegat n parallelo e qund è suffcente sommare le tre corrent come presto dalla.k.. : ( ) [ ] ( ) [ ] (*) E G E G G G G E G E G da cu s ottene : E E G, E E G, G a relazone appena ottenuta può pors nella forma: ( ) (**) E b E b a a e relazon precedent possono essere faclmente estese al caso n cu la caratterstca lnearzzata posseda n punt d break. S può, nfatt, screre: n E c b a doe E rappresentano le tenson d break e coeffcent a,b e c anno opportunatamente determnat n funzone delle pendenze de ar tratt della caratterstca. 4.5 ANAS PE PO SEGNA anals d crcut ne qual sano nsert element non lnear è puttosto complessa. Una tecnca partcolare, d grande mportanza nel campo dell ngegnera, che consente d rsolere questo tpo d crcut, è l anals per pccol segnal d un sstema non lneare. Questa è un anals d arazone del punto d laoro n seguto all applcazone d un nuoo segnale. Per llustrare concett dell anals per pccol segnal faccamo rfermento ad un semplce crcuto.

102 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S consder l crcuto mostrato n fgura: S supponga che esso sa progettato n modo tale da aere un unco punto d laoro P e precsamente esso s tro nel tratto d cura n cu la pendenza è negata, come mostrato d seguto: l crcuto d fg. 4.7 è detto crcuto d polarzzazone perché porta l dodo tunnel a funzonare n uno specfco punto d laoro. Alla tensone costante E d polarzzazone s può sorapporre una tensone tempo-arante s(t), che nel crcuto d fg. 4.9 è fornta dal generatore d tensone s(t), e che soddsf la condzone ( ) t s << E per qualunque t, ossa stamo supponendo che la tensone tempo arante sa n alore assoluto molto pù pccola della tensone d polarzzazone E n ogn stante d tempo.

103 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Ad esempo s(t) può essere una snusode la cu ampezza è molto pù pccola del alore E della tensone d polarzzazone. n altre parole la tensone s(t) rappresenta l segnale processato dal crcuto quando l dodo è portato nella condzone d funzonamento ndduata dal punto P. n conseguenza dell applcazone del segnale s(t) s hanno degl scostament dal punto d laoro nzale, l problema che oglamo rsolere è alutare la tensone d(t) e la corrente d(t) per l dodo n questa condzone. E' nteressante, qund, edere come possa essere calcolato l nuoo punto d laoro n cu s porta l sstema. Al arare della forma d'onda s (t) nel tempo, possamo pensare che la load lne s spost parallelamente a sé stessa, poché adesso la tensone che determna la load-lne è data da E s (t). n questo modo l nuoo punto d laoro può essere ottenuto grafcamente come ntersezone della caratterstca del dodo tunnel con la lnea d carco 'moble', ndduando l punto Q come nuoo punto d laoro: S può procedere analtcamente come segue. Supponamo che la caratterstca del dodo tunnel sa esprmble n questo modo: d g( d ) (4.4) Dal crcuto d fg.4.7 s rcaa po la seguente relazone: E d essendo : d d E d E d (4.5)

104 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Per defnzone d punto d laoro, e precsamente essendo questo un punto comune alla caratterstca del dodo tunnel ed alla retta d carco, s ha che le sue coordnate deono essere tal da soddsfare entrambe le relazon (4.4) e (4.5), coè: Posto : p p g P ( ) p E (, ) p p p s ha : d d p p (4.6) (4.7) Ora, n seguto all'nsermento del generatore s(t) che ene detto generatore d pccolo segnale, s arà uno scostamento dal punto d laoro nzale P tale da portare l sstema n un nuoo punto d laoro Q le cu coordnate possono essere così scrtte: V p p ( ) con (4.8) Q V, (Nota: e rappresentano le arazon, rspettamente, d corrente e d tensone). Esamnando l crcuto d fg.4.9 s ossera che: d d g ( ) d E essendo : d (t) s d E (4.9) (t) s d E (t) s d (4.) Per quanto detto prma, l nuoo punto d laoro dee soddsfare entrambe le relazon (4.9) e (4.): Posto : g V ( ) Q V, s ha : d V ( V) ( p ) g( p ) (4.) E (t) ( ) E (t) ( ) (4.) s p d s p Effettuando ora lo sluppo n sere d Taylor della funzone g(.) d punto nzale p e fermandos a prm due termn essendo success trascurabl (nfatt, per l'potes d pccolo segnale, lo scostamento della tensone dalla tensone del punto d laoro P è pccolo e denta trascurable per potenze maggor o ugual alla seconda), la relazone (4.) denta:

105 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 ( p ) g g ( ) g( ) (4.) p p p D'altra parte, tenendo presente la relazone (4.6), s ha nella (4.): g g' r' p con r' g' (4.4) a quanttà determnata dalla derata calcolata nel punto d laoro P ed ndcata con g' è detta conduttanza per pccol segnal del dodo nell'ntorno del punto d laoro P, mentre l suo nerso r' è detta resstenza per pccol segnal del dodo nell'ntorno del punto d laoro P. A questo punto, tenendo presente le relazon (4.7) e (4.4), possamo screre la relazone (4.) come segue: p (t) s E (t) r' s ( ) p (t) (**) s Tale equazone può essere consderata rappresentata del seguente crcuto detto crcuto equalente per pccol segnal ntorno al punto d laoro P; s tratta d un crcuto lneare poché due resstor sono lnear, nfatt r' ha alore costante come : Edentemente, s rcaa:

106 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca s(t) s(t) e r' r' r' r' e, qund, le coordnate del nuoo punto d laoro Q sono : V p p s(t) r' e r' p p s(t) r' S not che la resstenza r', nel caso partcolare n esame, è negata coscché nel crcuto d fg. 4. è presente un resstore lneare atto. Qund, attraerso l crcuto d fg. 4. s può rcaare molto faclmente l alore delle arazon d tensone e corrente ntrodotte dal generatore d pccolo segnale rspetto al punto d laoro orgnaro e po, attraerso queste, alutare la tensone d(t) e la corrente d(t) per l dodo n questa nuoa condzone d funzonamento. nfne notamo che geometrcamente, l'approssmazone contenuta nell'equazone (4.) corrsponde alla sosttuzone della caratterstca non lneare del dodo con la tangente ad essa nel punto d laoro nzale P. Tale approssmazone sarà tanto pù alda quanto pù la tangente s acna alla cura rappresentante la caratterstca del dodo tunnel e qund quanto pù è 'pccolo' l segnale s(t). S comprende ora, qund, cosa s ntende per pccolo segnale, nel senso che l approssmazone fatta è alda fno a che s può confondere la tangente nel punto P con la caratterstca del dodo tunnel e coè fno a che l errore che s commette con questo tpo d approssmazone è tollerable per l crcuto che d olta n olta s prenderà n esame. segnale s(t) s potrà prendere tanto pù grande quanto pù la caratterstca del dodo sarà suffcentemente cna alla tangente nel punto d laoro da rentrare ne lmt d errore accettabl.

107 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 APTOO 5 5. EEMENT A PÙ TEMNA 8 5. ESEMPO D ESSTOE BPOTA 5 5. APPESENTAZONE GEOMETA DE BPOTA ESSTV E SGNFATO FSO DE PAAMET DEE AATTESTHE GENEATO POTAT NEA GATO NDUTTO BPOTA 5.7 TASFOMATOE DEAE ONDENSATO BPOTA 46

108 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5. EEMENT A PÙ TEMNA Gl element crcutal che rappresentano modell astratt d dspost fsc a pù termnal sono chamat, n generale, multpol. Un elemento ad n morsett s chamerà n- polo e qund s aranno de trpol, quadrpol etc. a seconda che termnal accessbl sano tre, quattro etc. Anche per dspost a pù termnal, così come abbamo fatto per quell a due termnal, non c nteresserà analzzare da un punto d sta fsco o costrutto la loro struttura nterna bensì c nteresserà conoscere l comportamento elettrco d tal dspost con l'esterno, ossa l loro comportamento a morsett. A tal fne è pù comodo sostture l dsposto fsco multtermnale con un suo modello astrat-

109 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 to, coè un multpolo, aente a morsett lo stesso comportamento elettrco del dsposto n esame. A questo punto, così come nel caso de bpol, occorre defnre le arabl termnal medante le qual sa possble descrere l comportamento a morsett d un multpolo e determnare una relazone funzonale che le legh tra loro e che, se raffgurata nello spazo ndduato da tal arabl, determn l luogo geometrco contenente tutt punt d funzonamento del multpolo: tale relazone funzonale è detta caratterstca del multpolo. Per quanto rguarda la scelta delle arabl termnal, esse deono soddsfare le seguent due propretà: ) deono essere msurabl; ) deono essere ndpendent tra loro. onsderamo allora, per semplctà, un trpolo e sceglamo come arabl termnal la tensone e la corrente che scuramente soddsfano la prma propretà; possamo defnre tre tenson e tre corrent come mostrato n fgura: Se applchamo la KT alla sequenza chusa d nod --- s ha: (5.) Questo sgnfca che solo due tenson sono fra loro ndpendent perché, note queste due, l'altra può essere rcaata dalla relazone (5.). Analogamente se applchamo la K alla superfce gaussana tratteggata s ha: (5.)

110 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Questo sgnfca che solo due corrent sono fra loro ndpendent perché, note queste due, l'altra può essere rcaata dalla relazone (5.). n defnta occorreranno solo due tenson e due corrent (o, come edremo fra poco, due coppe d arabl termnal opportune) per descrere l comportamento a morsett del trpolo consderato. Generalzzando, per un n-pol, serranno n- coppe d arabl termnal. Se assumamo un morsetto come rfermento, possamo ndduare come (n-) corrent ndpendent quelle assocate (entrant) agl altr morsett. Allo scopo d rappresentare n modo concso solo le corrent ndpendent conene ntrodurre un ettore ad n- component, defnto come segue: [,,..., n-] T l ettore prende l nome d "corrente del multpolo". Analogamente, se j ed l sono due morsett del multpolo ders da quello d rfermento, la legge d Krchhoff per le tenson pone: jl j l doe con k (k,,...,n-) s é ndcata la tensone del nodo k rspetto al nodo d rfermento. Tutte le possbl tenson fra coppe d morsett possono essere qund espresse n termn delle tenson k, fra l k-esmo morsetto ed l morsetto d rfermento. Per un n-polo, queste tenson sono n- e defnscono l ettore "tensone del multpolo": [,,..., n-] T Una grandezza fsca mportantssma é la potenza elettromagnetca p entrante nel multpolo. Questa potenza esste perché scuramente nel multpolo hanno luogo fenomen energetc; p, noltre, arà carattere conserato. ome gà per l bpolo, s dmostra che la potenza elettromagnetca p entrante n un multpolo é: p... n- n- T, doe T ndca un ettore rga. on le stesse conezon d segno utlzzate per l calcolo

111 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca delle precedent quanttà, la quanttà - T s chamerà potenza uscente dal multpolo. Oltre a tensone e corrente che defnscono un n-polo ressto, s possono sceglere come arabl termnal anche tensone e carca oppure corrente e flusso, n tal modo s otterranno n-pol capact o ndutt, rspettamente. Un gran numero d multpol hanno un numero par d morsett organzzat a coppe n modo tale che la corrente entrante n un morsetto é uguale alla corrente uscente dall'altro. Ogn coppa d morsett per le qual é alda tale propretà costtusce una "porta". n n n' ' ' n. fg. 5. bs n fg. 5. bs é rportata un generco multporta con n porte. Su ogn porta s possono defnre una tensone ed una corrente. Se non ndcato dersamente, le conenzon d segno che s utlzzano sulle porte sono quelle degl utlzzator. e corrent d porta ndduano anche tutte le corrent a morsett del multpolo. S prest, però, attenzone al fatto che le tenson d porta non consentono d determnare le tenson present tra un morsetto d una porta ed un morsetto d un'altra porta. Tuttaa, poché nella pratca queste tenson non nteressano, s può rtenere che le arabl d porta ndduno tutte le grandezze elettrche relate al multporta. S not che non é detto che un N-polo (anche se N é par) possa essere rcondotto ad un n-porta (n N/), mentre è scuramente ero l contraro. n realtà, quando tutt gl N morsett (N par) sono, a coppe, chus su bpol, morsett del multpolo s presentano organzzat n porte. n questo caso s parla d n-porta non ntrnseco, n quanto l funzonamento da multporta é garantto solo dalla partcolare confgurazone de collegament con l'esterno (se le connesson cambano, non è detto che l multpolo s comport ancora da multporta). S defnscono, nece, multporta ntrnsec que multpol che sempre funzonano come

112 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca multporta, comunque morsett sano collegat con l'esterno (od eentualmente tra d loro). S not, nfne, che, come gà detto, n alcun cas é possble consderare per un multpolo un morsetto come rfermento. Quando tale dsposto é connesso all'esterno attraerso bpol collegat tra cascun morsetto e quello d rfermento, s ottengono comunque delle porte, cascuna defnta dalla tensone tra la coppa d morsett e la corrente entrante nel morsetto. n tal caso s parlerà d multporta con termnale comune (o grounded). Per esempo, possamo consderare nel trpolo d fg. 5. un nodo come rfermento (per esempo l nodo ) e dsegnare qund l trpolo n questo modo: Possamo allora ntrodurre le arabl e, ed. Possamo anche pensare d sostture l nodo d rfermento con un collegamento non ressto (reoforo) ottenendo così: Possamo allora schematzzare un trpolo nel seguente modo: Questa rappresentazone charsce per quale moto un trpolo può anche essere defnto come elemento bporta o doppo bpolo. S dmostra, nfne, che per defnre completamente l comportamento elettrco d un multpolo a suo morsett occorrono N- relazon funzonal tra le N- coppe d arabl termnal scelte:

113 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca f(x, x,..., xn, y, y,..., y n) f(x, x,..., xn, y, y,..., y n)... fn(x, x,..., xn, y, y,..., yn) (5.) (Nota: con x e y ndchamo le due arabl termnal che possono essere scelte tra le seguent coppe: - tensone, corrente; - tensone, carca; - corrente, flusso ). Per un doppo bpolo o bporta saranno suffcent solo due relazon funzonal tra le due coppe d arabl termnal scelte: f(x, x, y, y ) f(x, x, y, y ) (5.4) e relazon (5.) e (5.4) rappresentano rspettamente la caratterstca d un multpolo e d un trpolo: n partcolare, la caratterstca d un trpolo descre una superfce bdmensonale nello spazo a quattro dmenson ndduato dalle quattro arabl termnal scelte per defnre l trpolo stesso. Oamente se sono erfcate partcolar condzon sulle (5.4), oero se le relazon sono lnear allora é possble screre le (5.4) nella forma: y y f (x f (x,x,x ) ) (5.4 bs) n seguto consdereremo solo dopp bpol ma quanto dremo è faclmente estendble anche a multporta. Sussste ora la seguente dstnzone nell'ambto de dopp bpol: se la caratterstca d un bporta o doppo bpolo è espressa da due relazon funzonal d questo tpo:

114 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 (5.5) ),,, ( f ),,, ( f allora s parlerà d resstore bporta o doppo bpolo ressto. se la caratterstca d un bporta o doppo bpolo è espressa da due relazon funzonal d questo tpo: (5.6) ) q, q,, ( f ) q, q,, ( f allora s parlerà d condensatore bporta. se la caratterstca d un bporta o doppo bpolo è espressa da due relazon funzonal d questo tpo: (5.7) ) ( ) (,,,,,, ϕ ϕ ϕ ϕ f f allora s parlerà d nduttore bporta. Prma d passare all'esame de resstor bporta osseramo che, quando c s occupa d dopp bpol, spesso è necessaro dstnguere le porte, per cu una d esse è defnta 'porta ' mentre l'altra 'porta ' come mostrato n fg. 5.4: per tradzone, con 'porta ' c s rfersce spesso alla porta d'ngresso e con 'porta ' alla porta d uscta.

115 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 5. ESEMPO D ESSTOE BPOTA S consder un doppo bpolo ressto costtuto da tre resstor lnear come mostrato n fg. 5.5; s applchno al doppo bpolo due generator ndpendent d corrente come ndcato: Valgono le seguent relazon: elazon d lato :.K..: nodo : nodo : nodo :.K.T.: sequenza chusa d nod : sequenza chusa d nod : ombnando nseme tutte queste relazon s ottene: ( ( ) ) che possono essere rscrtte nel seguente modo:

116 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 (*) ) ( ) ( Per quanto detto nel paragrafo precedente, la (*) rappresenta la caratterstca del resstore bporta n esame. n termn del ettore tensone d porta e del ettore corrente d porta possamo porre le equazon precedent n forma matrcale come: (5.8) n cu: (5.8a) è defnta matrce d resstenza del doppo bpolo ressto lneare. l resstore è lneare n quanto l ettore delle tenson è espresso come funzone lneare del ettore delle corrent. 'equazone (5.8) fornsce la rappresentazone controllata n corrente del resstore bporta lneare poché le tenson sono espresse come funzon delle corrent, ossa le corrent sono le arabl ndpendent mentre le tenson sono quelle dpendent. Naturalmente esste anche la rappresentazone controllata n tensone: (5.9a) det() con G (5.9) G a matrce G è defnta matrce d conduttanza del doppo bpolo ressto lneare. Oltre alle due rappresentazon appena ntrodotte, ne esstono altre quattro che caratte-

117 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 rzzano l doppo bpolo ressto tramte quattro arabl scalar,,, e due equazon. e se possbl rappresentazon d un resstore bporta sono d seguto rassunte: ) Tpo rappresentazone : Varabl ndpendent :, Varabl dpendent : Equazon scalar : Equazone ettorale : ) Tpo rappresentazone : Varabl dpendent : Equazon scalar : Equazone ettorale :, Varabl ndpendent :, r r r r, controllata n corrente. controllata n tensone. g g g g G ) Tpo rappresentazone : Varabl dpendent : Equazon scalar : Equazone ettorale : brda. Varabl ndpendent :,, h h h h H

118 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4) Tpo rappresentazone : brda. Varabl ndpendent : Varabl dpendent : h' h' Equazon scalar : h' h' Equazone ettorale : H' 5) Tpo rappresentazone : trasmssone. Varabl ndpendent : Varabl dpendent : t t Equazon scalar : t t Equazone ettorale : T 6) Tpo rappresentazone : trasmssone. Varabl ndpendent : Varabl dpendent : t' t' Equazon scalar : t' t' Equazone ettorale : T',,,,,, Analogamente a quanto accade per le prme due rappresentazon s ha, nell'potes che H e T sano non sngolar: H' H e T' T H e H' sono defnte matrc brde, essendo le arabl dpendent una tensone ed una corrente e così pure le arabl ndpendent. Gl stess parametr hanno natura dersa: h è dmensonalmente un resstenza, h una conduttanza, h ed h sono parametr admensonal. T e T' sono defnte matrc d trasmssone poché mettono n relazone le arabl corrspondent ad una porta con quelle corrspondent all'altra ed l doppo bpolo s comporta da mezzo d trasmssone. E' facle rcaare le relazon che consentono d passare da un tpo d rappresentazone ad un altro fra 6 possbl. A ttolo d'esempo, edamo come passare alla rappresentazone brda nota la rappresentazone controllata n corrente: s tratta coè d esprmere la matrce H n funzone degl element della matrce. ome s può osserare dalle relazon scrtte precedentemente, la rappresentazone brda rchede d esprmere e n funzone d e ; allora è suffcente, nella seconda equazone della rappresentazone controllata n corrente, rcaare n funzone d e, e sostture nella prma equazone come segue:

119 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r H r r r r r r r r r Osseramo, nfne, che non é detto che un resstore bporta lneare ammetta tutte e se le rappresentazon precedentemente consderate. Vedremo n seguto che sono resstor che ne ammettono solo alcune. 5. APPESENTAZONE GEOMETA DE BPOTA ESSTV E SGNFATO FSO DE PAAMET DEE AATTESTHE appresentazone controllata n corrente. E' stato defnto l resstore lneare a due termnal come quello aente per caratterstca una lnea retta passante per l'orgne nel pano -. Per dopp bpol resst s hanno quattro arabl e due equazon, oero la rappresentazone controllata n corrente è: r r r r (5.) Queste due equazon ndduano una superfce bdmensonale nello spazo a quattro dmenson ndduato dalle quattro arabl,,,. Naturalmente cò è dffcle da sualzzare. omunque se s consdera un'equazone per olta è possble fornre una rappresentazone tramte due famgle d rette negl approprat pan -. S consder l traccamento, nel pano - delle lnee rette: r r (*)

120 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca doe è consderato come parametro arable a cu sono assegnat successamente pù alor:,±,±,... l rsultato è una famgla d lnee rette con pendenza uguale a /r come mostrato n fgura a): Analogamente n fgura b) sono traccate, nel pano -, le rette : r r (**) n cu s è mpegato come parametro. Queste due famgle d lnee rette parallele defnscono la rappresentazone controllata n corrente del doppo bpolo ressto lneare descrtto dalle (5.). Dalla prma delle equazon (5.), s possono dare le seguent nterpretazon fsche: r e r (5.)

121 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca r è defnta resstenza d'ngresso alla porta quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto aperto, mentre r è defnta resstenza d trasfermento nersa quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto aperto. n fgura sono mostrate le nterpretazon fsche d quest due parametr: l prmo de due parametr rappresenta la resstenza alla porta quando questa ene almentata da un generatore d corrente par a mantenendo la porta n crcuto a- perto, mentre l secondo parametro è l rapporto tra la tensone alla porta, mantenuta n crcuto aperto, e la corrente alla porta almentata da un generatore d corrente par a ( da quanto detto, s ossera che nelle espresson 5. l denomnatore de due rapport ndca l'almentazone ad una delle due porte ). n modo analogo, dalla seconda equazone delle (5.) s ha: r e r (5.) l prmo parametro nella relazone (5.) prende l nome d resstenza d trasfermento dretta quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto aperto, mentre l secondo parametro è detto resstenza d'ngresso alla porta quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto aperto. e nterpretazon fsche d quest due parametr sono le seguent: (Nota: dalle defnzon date possamo concludere che s parla d resstenza d trasfermento dretta o nersa a seconda che sa almentata la porta o la porta ).

122 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca appresentazone controllata n tensone. E' semplce, per mezzo d una trattazone duale, fornre le corrspondent nterpretazon per la rappresentazone controllata n tensone: g g g g (5.) Dalla prma equazone s può screre: g e g (5.4) l prmo parametro nella relazone (5.4) prende l nome d conduttanza d'ngresso alla porta quando la porta è mantenuta n cortocrcuto, mentre l secondo parametro è detto conduttanza d trasfermento nersa quando la porta è mantenuta n cortocrcuto. Analogamente dalla seconda equazone delle (5.) s ha: g e g (5.5) l prmo parametro nella relazone (5.5) prende l nome d conduttanza d trasfermento dretta quando la porta è mantenuta n cortocrcuto, mentre l secondo parametro è detto conduttanza d'ngresso alla porta quando la porta è mantenuta n cortocrcuto. Per cascuno de quattro parametr s hanno qund le seguent nterpretazon fsche:

123 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ome s ossera dalla fgura, le conduttanze d ngresso ad una porta sono l rapporto tra la corrente e la tensone relate a quella porta quando l'altra porta è mantenuta n cortocrcuto; mentre s parla d conduttanza d trasfermento dretta o nersa a seconda che sa almentata la porta o la porta ( n questo caso l'almentazone è rappresentata da un generatore d tensone). appresentazone brda. e due equazon per la rappresentazone brda sono: h h h h (5.6) Seguendo la stessa trattazone de due cas precedent s può screre: h h e e h h (5.7) (5.8) Nella relazone (5.7) l prmo parametro prende l nome d resstenza d'ngresso alla porta quando la porta è n cortocrcuto, mentre l secondo parametro è detto rapporto d trasfermento d tensone nerso quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto a- perto. Nella relazone (5.8) l prmo parametro prende l nome d rapporto d trasfermento d corrente dretto quando la porta è n cortocrcuto, mentre l secondo parametro è detto conduttanza d'ngresso alla porta quando la porta è mantenuta nella condzone d crcuto aperto. Seguono ora, per cascuno de quattro parametr, le nterpretazon fsche:

124 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Per la rappresentazone brda algono consderazon analoghe. appresentazone trasmssone. e due equazon della rappresentazone trasmssone

125 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 sono: t t t t (5.9) Dalla prma equazone delle (5.9) s può screre: t (5.) a sua nterpretazone fsca sarebbe la seguente: Tale nterpretazone, tuttaa, non ha senso da un punto d sta fsco perché, sebbene un generatore d tensone ammette, n generale, qualsas alore d corrente e qund anche quella nulla (s tenga presente, nfatt, la sua caratterstca nel pano -), cò rmane ero solo se s consdera l generatore come un elemento crcutale a sé stante coè non collegato ad un qualsas altro elemento: n tal caso l generatore non può essere attraersato da una corrente nulla. e stesse concluson algono per tutt gl altr parametr della rappresentazone trasmssone e anche per quell della rappresentazone trasmssone. 5.4 GENEATO POTAT NEA Snora s sono ncontrat generator d tensone e d corrente ndpendent: quest sono utlzzat come ngress d un crcuto. Ora ntrodurremo altr tp d generator dett plotat o controllat, o dpendent. Sono quest de bporta resst lnear e temponarant (deal) e sono estremamente utl per l modellamento crcutale d dspost-

126 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca fsc. É tpco, ad esempo, rappresentare una retroazone n un dsposto fsco con un generatore plotato nel suo modello crcutale. Un generatore plotato è un resstore bporta costtuto da due lat: un lato prmaro che può essere un crcuto aperto od un cortocrcuto, ed un lato secondaro che può essere un generatore d corrente o d tensone dpendente; noltre, la forma d'onda della tensone o della corrente nel lato secondaro è plotata (controllata) dalla tensone o dalla corrente nel lato prmaro. Qund esstono quattro tp d generator plotat a seconda che l lato prmaro sa un crcuto aperto o un cortocrcuto e a seconda che nel lato secondaro c sa un generatore d corrente o d tensone. quattro tp d generator plotat sono mostrat n fgura: Ess sono l generatore d tensone plotato n corrente (VS), l generatore d corrente plotato n tensone (VS), l generatore d corrente plotato n corrente (S), l generatore d tensone plotato n tensone (VVS). S not che generator plotat sono denotat con un smbolo a forma d rombo per dstnguerl da generator ndpendent. Essendo de resstor bporta, cascun generatore plotato è caratterzzato da due equazon lnear:

127 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 m m m m VVS : 4) S : ) g g VS : ) r r VS : ) µ µ α α ome s ossera dalle relazon appena scrtte, la prma è una rappresentazone controllata n corrente, la seconda controllata n tensone, la terza è una rappresentazone brda mentre la quarta è una rappresentazone brda. Valgono noltre le seguent defnzon: rapporto d trasfermento d tensone rapporto d trasfermento d corrente transconduttanza transresstenza g r m m µ α Tal grandezze sono tutte costant, qund quattro generator plotat costtuscono dopp bpol resst lnear tempo-narant. S osser, nfne, quanto segue: la rappresentazone che caratterzza l generatore VS, come gà detto, è controllata n corrente ma la matrce d resstenza è sngolare e percò la sua nersa non esste; è anche facle dmostrare che non esste alcuna delle rappresentazon brde. S possono fare analoghe consderazon per gl altr tre generator plotat. Analogamente s può dmostrare che anche gl altr tre generator plotat non ammettono tutte le rappresentazon de bporta resst. rcut equalent del doppo bpolo ressto lneare. generator plotat sono mpegat per ottenere rappresentazon crcutal equalent de dopp bpol resst. S consder, ad esempo, la rappresentazone controllata n corrente d un resstore bporta lneare:

128 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca r r r r (*) (**) 'equazone (*) esprme un equlbro d tenson, qund può essere nterpretata come l collegamento n sere d un resstore lneare d resstenza r con un generatore d tensone plotato dalla corrente alla porta ; analogamente l'equazone (**) può essere nterpretata come l collegamento n sere d un resstore lneare d resstenza r con un generatore d tensone plotato dalla corrente alla porta. Qund l doppo bpolo n esame può essere rappresentato con l seguente crcuto equalente: (Questa rappresentazone equalente d un resstore bporta è molto utlzzata nell'anals d un crcuto medante l metodo delle magle). Supponamo ora che del resstore bporta sa nota la rappresentazone controllata n tensone: g g g g (*) (**) 'equazone (*) esprme un equlbro d corrent, qund può essere nterpretata come l collegamento n parallelo d un resstore lneare d conduttanza g con un generatore d corrente plotato dalla tensone alla porta ; analogamente l'equazone (**) può essere nterpretata come l collegamento n parallelo d un resstore lneare d conduttanza g con un generatore d corrente plotato dalla tensone alla porta. Qund l doppo bpolo n esame può essere rappresentato con l seguente crcuto equalente:

129 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 (Questa rappresentazone equalente d un resstore bporta è molto utlzzata nell'anals d un crcuto medante l metodo nodale).supponamo ora che del resstore bporta sa nota la rappresentazone brda : h h h h (*) (**) 'equazone (*) esprme un equlbro d tenson, qund può essere nterpretata come l collegamento n sere d un resstore lneare d resstenza h con un generatore d tensone plotato dalla tensone alla porta. 'equazone (**) esprme, nece, un equlbro d corrent e qund può essere nterpretata come l collegamento n parallelo d un resstore lneare d conduttanza h con un generatore d corrente plotato dalla corrente alla porta. Qund l doppo bpolo n esame può essere rappresentato con l seguente crcuto equalente: Per la rappresentazone brda s segue un procedmento analogo. 5.5 GATO l gratore è un doppo bpolo ressto lneare tempo-narante defnto dalle seguent equazon: G G (5.) (5.)

130 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca doe la costante G è detta conduttanza d grazone. n forma ettorale s ha la rappresentazone controllata n tensone: G G (5.) l smbolo per un gratore è mostrato n fgura: l gratore gode delle seguent propretà: ) è un elemento non energetco, coè la potenza fornta al doppo bpolo è dentcamente nulla n ogn stante. nfatt la potenza entrante nel doppo bpolo ale: (t) p(t) (t) (t) (t) (t) (t)(t) G ( G (t)) ) se s collega alla porta d un gratore un resstore lneare d resstenza, la porta s comporta come un resstore lneare d resstenza par a: G G con G

131 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca nfatt algono le seguent relazon: Tenendo conto anche delle relazon (5.) e (5.) s può screre: G G G G G G G G G G G l che conferma quanto detto prma; ) se s collega alla porta d un gratore un condensatore d capactà espressa n Farad, la porta s comporta come un nduttore d nduttanza espressa n Henry par a: doe G è l rapporto d grazone. G nfatt algono le seguent relazon: Tenendo conto anche delle relazon (5.) e (5.) s può screre:

132 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca d G G G dt d G dt G d dt l che conferma quanto detto sopra. Altrettanto faclmente s può dmostrare che se collega alla porta un nduttore d nduttanza [H], la porta s comporta come un condensatore d capactà G [F]. Se G arò n ngresso un nduttore d nduttanza [H] oero un condensatore d capactà [F]. 4) se s collega alla porta d un gratore un resstore non lneare controllato n corrente, la porta s comporta come un resstore non lneare controllato n tensone. Valgono, nfatt, le seguent relazon: Ponendo, per comodtà, GS e tenendo conto delle relazon (5.) e (5.) s può screre: G f( ) f( ) f(g) f() l che conferma quanto detto sopra. Altrettanto faclmente s può dmostrare che se s collega alla porta d un gratore un resstore non lneare controllato n tensone, la porta s comporta come un resstore non lneare controllato n corrente. 5.6 NDUTTO BPOTA

133 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Abbamo gà defnto un nduttore bporta come un elemento la cu caratterstca è e- spressa dalle seguent due equazon: fa(, fb(,, ϕ, ϕ ), ϕ, ϕ ) ercheremo ora d rcaare legam funzonal tra le due coppe d corrent e fluss partendo da un partcolare caso fsco. A tale scopo consderamo un torode ntorno a cu sa dsposto un aolgmento costtuto da N spre d materale conduttore, come mostrato n fgura: terremo, noltre, soddsfatte le seguent potes d laoro: l toro dee aere una sezone retta S costante e crcolare; l toro e' costtuto da materale con permeabltà magnetca µ costante; le spre dell'aolgmento deono essere dsposte n modo serrato tra loro e a smmetra radale, coè ogn pano che seca radalmente l toro dee contenere solo due spre; l toro dee aere una struttura flforme, ossa dee rsultare: d d Tutte queste potes garantscono che le lnee d flusso del campo magnetco generato dalla corrente che ene fatta scorrere nell'aolgmento sano contenute all'nterno del torode; tale campo magnetco sarà dretto tangenzalmente ad ogn crconferenza con centro n O e con dametro compreso tra d e d (l erso del ettore campo magnetco

134 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca dpenderà dal erso d scorrmento della corrente e può essere determnato con la regola della mano destra) ed noltre sarà costante n modulo lungo tutto l torode, aendo supposto che quest'ultmo abba una struttura flforme. onsdero, allora, un cammno medo (come mostrato n fgura) d dametro: d d d e applco l teorema d Ampere a tale cammno chuso, ottenendo: N H dl N Hπ d N H πd (5.4) oe H rappresenta l campo magnetco douto ad mentre N rappresenta l numero d concatenament d con. Posso allora rcaare l campo nduzone magnetca come segue: µ N B µ H πd (5.5) e qund l'espressone del flusso del campo magnetco generato dalla corrente e concatenato ad una generca spra dell'aolgmento d sezone S. Tale flusso, nella generca sezone S del toro, arrà: µ S ϕ B ds B S πd N S che possamo screre come: µ S ϕ ΛN con Λ (5.6) πd ( Λ è detta permeanza mentre è la rluttanza magnetca ) Ponamo ora un secondo aolgmento sul torode ( n fgura è dsegnato separato dal

135 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 prmo ma n realtà due aolgment sono da consderars sorappost): n manera analoga a quanto fatto per l prmo aolgmento, otterremo che l flusso del campo magnetco generato dalla corrente attraerso una generca sezone S del torode è par a: ϕ Λ N (5.7) (Nota: tale flusso ene calcolato consderando uncamente l secondo aolgmento). mmagnamo ora d far passare una corrente dersa da zero nel prmo aolgmento e d mantenere l secondo aolgmento n condzone d crcuto aperto; possamo così rcaare l flusso del campo magnetco generato dalla corrente e concatenato, rspettamente, al prmo e al secondo aolgmento come segue: Φ Φ N ϕ ΛN N ϕ ΛN N (5.8) mmagnamo ora d far passare una corrente dersa da zero nel secondo aolgmento e d mantenere l prmo aolgmento n condzone d crcuto aperto; possamo così rcaare l flusso del campo magnetco generato dalla corrente e concatenato, rspettamente, al prmo e al secondo aolgmento come segue: Φ Φ N ϕ ΛN N N ϕ ΛN (5.9) mmagnamo ora d far passare una corrente dersa da zero nel prmo aolgmento ed una corrente dersa da zero nel secondo aolgmento; possamo così rcaare

136 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca l flusso del campo magnetco generato dalla corrente e dalla corrente concatenato, rspettamente, al prmo e al secondo aolgmento come segue: Φ Φ Φ Φ Φ Φ ΛN ΛN N ΛN N ΛN (5.) Abbamo applcato l prncpo d sorapposzone: cò è possble n quanto l sstema studato è lneare. Facendo ora le seguent poszon: ΛN ΛN M ΛN N : autonduttanza del prmo aolgmento; : autonduttanza del secondo aolgmento; : mutua nduttanza; l sstema (5.) s può screre come: Φ M (5.), e n forma matrcale : Φ M Φ M Φ Φ M ome s può osserare, le due equazon (5.) rappresentano la caratterstca d un nduttore bporta; la matrce è detta matrce nduttanza. a rappresentazone crcutale d un nduttore bporta è la seguente:

137 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 S rcaano faclmente le relazon tra tenson e corrent d porta: dφ dt dφ dt d d M dt dt d d M dt dt medante le qual s può ottenere la seguente nterpretazone crcutale equalente d un nduttore bporta: Oppure, supponendo che due nduttor accoppat sano nzalmente scarch (coè con corrente nzale nulla), s può screre: det( ) M t ( τ ) dτ M Γ t Γ ( τ ) dτ t Γ ( τ ) dτ Γ t ( τ ) dτ doe s è posto: Γ Γ Γ, con Γ Γ Γ Γ Γ det() det() M det()

138 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca oe Γ ndca la matrce delle nertanze. Medante queste relazon ottenamo, nece, la seguente ulterore nterpretazone crcutale equalente d un nduttore bporta: Prendamo ora n esame l'nduttore bporta da un punto d sta energetco. Supponamo che all'stante t le corrent su due nduttor accoppat sano nulle, coè: () e () Dalle relazon (5.) che esprmono la caratterstca d un nduttore bporta, s ottene: Φ () e Φ () Essendo null fluss, assumamo questa condzone come quella cu corrsponde energa magnetca mmagazznata dal bporta (all'stante t) uguale a zero. A partre da questa condzone rcaamo ora l'energa fornta all'nduttore bporta n un nterallo d tempo nfntesmo dt: p(t) (t) dw(t) p(t)dt dw(t) d( (t) (t) (t) M (t) (t)dt ) d(m (t) (t)dt (t)dφ (t) ) dw d (t)dφ (t) M ntegrando quest'ultma relazone tra gl estrem e t e tenendo presente che, per po-

139 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 tes, l'energa magnetca nell'stante è nulla, s può screre: w(t) M (5.) a relazone (5.) esprme l'energa fornta all'nduttore bporta nell'stante t: osseramo che tale energa fornta all'nduttore è esattamente par a quella mmagazznata dallo stesso nduttore bporta ed è sempre una quanttà maggore o al massmo uguale a zero, perché non essendoc nell'nduttore bporta altr morsett (escludendo, oamente, le coppe d termnal che defnscono le due porte) attraerso qual esso possa scambare energa con sstem nteragent n manera reersble, né generator, s arà che tale energa potrà, al lmte, essere resttuta completamente al resto del crcuto collegato all'nduttore bporta (n tal caso: W(t)) ma quest'ultmo non potrà ma cedere all'esterno una quanttà d energa superore a quella che rcee. D conseguenza, osserando che l'espressone (5.) può essere posta n forma matrcale come segue: M W M [ ] T se ne deduce che l'energa magnetca mmagazznata dall'nduttore può essere consderata una forma quadratca semdefnta posta e qund tutt mnor prncpal estratt della matrce rsulteranno essere non negat, ossa: Det ( ) M M (5.) Dall'ultma relazone, s ossera che la mutua nduttanza M può assumere anche alor negat e qund sorge l problema d determnare l segno d M. Prma d far cò, è opportuno ntrodurre l seguente parametro: M k M k con k (5.4)

140 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca k è detto coeffcente d accoppamento: se è uguale a zero due nduttor non sono accoppat, se è uguale a l'accoppamento è perfetto ed M assume l suo alore massmo. Per quanto rguarda ora la determnazone del segno d M è possble erfcare che tale segno dpende dal senso d aolgmento delle spre ntorno al materale magnetco. onsderamo, ad esempo, l torode rappresentato n fg. 5. e supponamo, per comodtà, che le corrent ne due aolgment sano costant (s tenga presente che quanto dremo ora s basa sull'potes mplcta d far rfermento alla conenzone degl utlzzator): ome s può erfcare applcando la regola della mano destra, l flusso del campo magnetco generato dalla corrente del prmo aolgmento è dretto n senso oraro e poché anche l flusso del campo magnetco generato dalla corrente nel secondo aolgmento ha la stessa drezone, possamo concludere che quest'ultmo rafforza l prmo. Se nece nertamo l erso della corrente sul secondo aolgmento, coè consderamo una corrente sempre entrante ma par a -, l flusso del campo magnetco generato da tale corrente sarà dretto n senso antoraro e qund s oppone al flusso del campo magnetco generato dalla corrente nel prmo aolgmento. S può allora rtenere che l'energa magnetca nel prmo caso sarà maggore d quella nel secondo caso, coè: )W( )W( W(, ), ), ) > W(, M ) M M > M Edentemente, affnché quest'ultma relazone sa soddsfatta M dee essere posto. mmagnamo ora d cambare l senso del secondo aolgmento, come mostrato n fgura:

141 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 ome s può erfcare applcando la regola della mano destra, l flusso del campo magnetco generato dalla corrente del prmo aolgmento è dretto n senso oraro mentre l flusso del campo magnetco generato dalla corrente nel secondo aolgmento è dretto n senso antoraro; possamo, qund, concludere che quest'ultmo s oppone al prmo. Se nece nertamo l erso della corrente sul secondo aolgmento, coè consderamo una corrente sempre entrante ma par a -, l flusso del campo magnetco generato da tale corrente sarà dretto n senso oraro e percò rafforza l flusso del campo magnetco generato dalla corrente nel prmo aolgmento. S può allora rtenere che l'energa magnetca nel secondo caso sarà maggore d quella nel prmo caso, coè: )W(, ) M )W(, ) W(, ) > W(, ) - M > M M Edentemente, affnché quest'ultma relazone sa soddsfatta M dee essere negato. Abbamo così erfcato che effettamente l segno d M dpende dal senso d aolgmento delle spre ntorno al materale magnetco. n pratca s tene conto del senso d aolgmento delle spre contrassegnando una delle estremtà d cascun aolgmento. Vene po utlzzata la seguente conenzone: se le corrent ne due nduttor accoppat entrano o escono contemporaneamente da due contrassegn allora s arà M>: Se nece la corrente n un nduttore entra (esce) e la corrente del secondo nduttore accoppato esce (entra) dal contrassegno, sarà M<:

142 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca nduttor a tre porte. a generalzzazone d quanto detto snora al caso d un nduttore a tre porte (o anche ad n porte) è banale. Esso sarà costtuto da tre aolgment sorappost (che comunque dsegneremo separatamente) come mostrato n fgura: a sua caratterstca può essere posta n forma matrcale come segue: Φ Φ Φ M M M M M M (5.5) n questo caso per determnare l segno de tre coeffcent d mutua nduttanza bsognerà osserare l'andamento delle corrent sulle tre porte prese due a due, ossa applcare la suddetta conenzone alle porte e per troare l segno d M, alle porte e per troare l segno d M e alle porte e per troare l segno d M.

143 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca TASFOMATOE DEAE Un dsposto fsco molto mportante è l trasformatore reale, che ene generalmente utlzzato per arare opportunamente tensone e corrente n uscta rspetto alla tensone e corrente n ngresso a partà d potenza trasmessa. Per studarlo s fa rfermento ad un suo modello astratto che chameremo trasformatore deale e che s basa su queste potes semplfcate: ) non c sono fluss dspers; ) non c sono perdte ( n partcolare, non c sono corrent parasste né perdte per steres ed noltre due aolgment aranno resstenza nulla); ) l materale magnetco è costtuto da una permeabltà nfnta e la sua struttura sa flforme. Per le potes fatte, possamo rtenere che le lnee d flusso del campo magnetco generato dalle corrent ne due aolgment sano contenute tutte all'nterno della struttura e che tale campo sa costante lungo ogn cammno chuso scelto all'nterno d tale struttura. noltre, non essendoc fluss dspers, possamo rtenere che l flusso del campo magnetco rsultante attraerso una generca sezone S del trasformatore deale sa costante per ogn sezone. S può screre allora: Φ Φ N ϕ : flusso totale concatenato al prmo aolgmento N ϕ : flusso totale concatenato al secondo aolgmento Tenendo po presente che le resstenze de due aolgment sono nulle (e qund non s hanno su d ess cadute d tensone) s ottene:

144 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 44 (5.6) n N N dt d N dt d dt d N dt d Φ Φ ϕ ϕ n è detto rapporto d trasformazone ed edentemente può essere un numero maggore o mnore d. Se ora applco l teorema d Ampere al cammno medo Γ d lunghezza ottengo: rluttanza magnetca. S con (5.7), N N N N S N N S BS N N H S S che posso screre come :, N N H N N dl H µ ϕ ϕ µ µ µ µ D'altra parte, essendo per potes µ nfnta, s ha: (5.8) n N N N N le equazon (5.6) e (5.8) defnscono l comportamento del trasformatore deale. Notate che mettendo nseme la (5.6) e (5.8) s ottene: (5.9) n n n n Medante la (5.9) s ottene la seguente nterpretazone crcutale equalente del trasformatore deale: n n e relazon (5.9) defnscono la rappresentazone brda d un resstore bporta: que-

145 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 45 sto, dunque, c consente d consderare un trasformatore deale come un partcolare resstore bporta (s osser che è possble rcaare la rappresentazone brda e le due trasmsson ma non la rappresentazone controllata n corrente né quella controllata n tensone). l smbolo crcutale d un trasformatore deale è: l trasformatore deale gode delle seguent propretà: ) così come l gratore, è un elemento non energetco oero e' trasparente rspetto alla potenza; nfatt s ha: (t) p(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) n ( n (t)) ) se colleghamo alla porta un resstore d resstenza, la porta s comporta come un resstore d resstenza par a: n doe n è l rapporto d trasformazone nfatt, tenendo conto delle (5.9) e delle relazon scrtte sopra, s ha:

146 46 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ( ) n( n ) n n n n n l che conferma quanto detto; ) se colleghamo alla porta un resstore d resstenza, la porta s comporta come un resstore d resstenza par a: n doe n è l rapporto d trasformazone nfatt, tenendo conto delle (5.9) e delle relazon scrtte sopra, s ha: ( ) n n n n n n n l che conferma quanto detto. 5.8 ONDENSATO BPOTA Sono element deal a tre termnal la cu caratterstca è esprmble medante le seguent due equazon: f(,,q,q ) f(,,q,q )

147 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 47 Dato l loro scarso utlzzo non c soffermeremo ulterormente su d ess.

148 48 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO 6 6. ANAS DE UT NEA TEMPO-NVAANT DNAM POBEMA DEA VAUTAZONE DEE ONDZON NZA ONDZON FNA NEG EEMENT UT DE SEONDO ODNE APPOO A UT ON METODO DEE VAAB D STATO SPOSTA A'MPUSO 6.7 METODO GENEAE PE A DETEMNAZONE D UN MPUSO D TENSONE O D OENTE N UN UTO 4

149 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ANAS DE UT NEA TEMPO-NVAANT DNAM onsderamo un qualsas crcuto lneare (nel quale coè sano present element lnear e generator ndpendent), tempo-narante e dnamco (n cu, coè, sa presente almeno un condensatore o un nduttore). Supponamo, per comodtà (ma tale potes non è restrtta), che c sa un solo ngresso, ad esempo un generatore d tensone o d corrente, la cu forma d'onda, supposta lmtata con le sue derate, sarà ndcata con x(t), mentre ndchamo con y(t) una qualsas rsposta del crcuto all'ngresso consderato (sono rsposte del crcuto, ad es., tutte le corrent e tenson d lato). Se l crcuto soddsfa le suddette caratterstche, ossa è un crcuto d-

150 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca namco, lneare e tempo-narante, allora tra l'ngresso x(t) scelto e la rsposta y(t) consderata sussste una relazone d questo tpo: n n m d y(t) d y(t) dy(t) d x(t) a a... an any(t) b... b n n m dt dt dt dt m x(t) (6.) S tratta d un'equazone dfferenzale d ordne n lneare e a coeffcent costant: l secondo membro nell'equazone (6.) rappresenta l termne noto. a lneartà d tale e- quazone dfferenzale rflette l fatto che stamo consderando un crcuto lneare mentre la presenza d coeffcent costant nell'equazone è connesso alla tempo-naranza del crcuto n esame. ordne dell equazone dfferenzale (6.) dpende dall ordne del crcuto per cu essa è scrtta. nfatt, se l crcuto è d ordne n anche l equazone (6.) sarà d ordne n. Un crcuto dnamco s defnsce d ordne n se esso contene n element crcutal conserat ndpendent. Un elemento conserato è detto ndpendente se la arable che ene usata per e- sprmere l energa che è contenuta n esso non può essere ottenuta come combnazone lneare delle corrspondent arabl d alcun degl element conserat dello stesso present nel crcuto. Per fssare le dee se s consdera un condensatore esso sarà ndpendente se la sua tensone non può essere espressa da una combnazone lneare delle tenson d tutt o d alcun degl altr condensator present nel crcuto n esame. E facle comprendere che cò aene se esste una magla fatta tutta d condensator oppure d condensator e generator d tensone (magla capacta). n modo duale un nduttore sarà ndpendente se la sua corrente non può essere espressa da una combnazone lneare delle corrent d tutt o d alcun degl altr nduttor present nel crcuto n esame. Anche n questo caso s comprende subto che la condzone perché pù nduttor sano dpendent è che c sa una equazone che legh le corrent degl nduttor, questo accade se nel crcuto esste un nseme d taglo (ed cap. V par. 7.) costtuto solo da nduttor e/o generator d corrente (nseme d taglo ndutto). n altre parole s può dre che se nel crcuto è possble ndduare una gaussana che tagl solo lat del crcuto costtut da nduttor ed al pù generator d corrente, la legge d equlbro delle corrent che s può screre a questa gaussana costtusce un ncolo per le corrent degl nduttor, mplcando che cascuno d ess può essere consderato non ndpendente rspetto agl altr. n rtù d queste consderazon s può affermare che l ordne d un crcuto dnamco (n) può essere ndduato dalla dfferenza tra l numero totale degl element conserat (c) present nel crcuto sottratto del numero d magle ndpendent (m c) che contengono solo condensator e/o generator d tensone e del numero d nsem d taglo ndpendent ( t) che contengono solo nduttor e/o generator d corrente, n c - m c t.

151 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Ad esempo l ordne del crcuto seguente è, nfatt, l numero degl element conserat è c 5, l numero d magle costtute da condensator e generator d tensone è m c (s può screre l equazone c c, n questo caso la magla è costtuta da sol condensator ed è pra d generator d tensone), mentre l numero d nsem d taglo costtut da generator d corrente ed nduttor è t (s può screre l equazone J ). 'ntegrale generale dell'equazone (6.) è esprmble come segue: y(t) y (t) h y (t) s (6.) doe y h(t) è l'ntegrale dell'equazone omogenea assocata all'equazone (6.) mentre y s(t) è l'ntegrale partcolare dell'equazone completa. Per rcaare y h(t) s consdera, come ben noto, l'equazone caratterstca relata all'omogenea assocata all'equazone (6.); tale equazone caratterstca è un'equazone algebrca d grado n ed ammette percò n soluzon che ndcheremo con s, s,..., s n e che chameremo autoalor o frequenze natural del crcuto. Nel caso partcolare n cu tal frequenze natural sano dstnte, l'ntegrale dell'equazone omogenea y h(t) è dato da: y (t) k e h s t s t ke... k snt ne (*) e costant k possono essere determnate una olta note le n condzon nzal del crcuto n esame. Per quanto rguarda l'ntegrale partcolare y s(t) (che può essere determnato, ad esempo, con l metodo de 'coeffcent ndetermnat') è possble dmostrare che, essendo l'equazone dfferenzale lneare e a coeffcent costant, tale funzone

152 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca y s(t) sarà dello stesso tpo dell'ngresso x(t), coè se l'ngresso è una funzone costante tale sarà anche la funzone y s(t); se l'ngresso è una funzone snusodale tale sarà anche la funzone y s(t), ecc. Damo ora la seguente defnzone: un crcuto dnamco lneare e tempo-narante è detto asntotcamente stable se tutte le sue frequenze natural hanno una parte reale negata (ossa gaccono nel sempano snstro aperto del pano complesso). n tal caso s erfca che: lm y h(t) e lm y(t) ys(t) t t (6.) Per tale moto y h (t) è detta rsposta transtora mentre y s (t) è detta rsposta a regme (steady state). Da quanto detto appare edente che fscamente la rsposta è effetto d due cause: le condzon nzal e l'ngresso. Ne crcut lnear tempo-narant e asntotcamente stabl al trascorrere del tempo l transtoro s esaursce e rmane solo la rsposta a regme. Tale rsposta arà una forma d'onda strettamente legata a quella dell'ngresso. Se l'ngresso non è presente e sono present le condzon nzal, allora y(t) concde con y h(t) e la rsposta è detta a ngresso zero. Esemp d crcut lnear tempo-narant del prmo ordne. ) Scarca d un nduttore. S consder l crcuto n fgura, supposto n condzon d regme: Quando l'nterruttore s troa nella poszone, l generatore d tensone costante è collegato alla sere formata dal resstore e dall'nduttore a qual element eroga energa. Supponamo che all'stante t l'nterruttore enga portato nella poszone : n tal modo l generatore d tensone sarà escluso dal crcuto ma comunque l crcuto è sede d corrent che crcoleranno graze all'energa mmagazznata nell'nduttore sno all'stante t, quando era n funzone l generatore d tensone. proponamo d determnare l'andamento nel tempo della corrente sull'nduttore. Valgono allora le seguent relazon:

153 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 elazon d lato :.K.. :.K.T. : d dt (6.5) (6.6) (6.4) Posto: la (6.6) s scre come : d d dt dt (6.7) a relazone (6.7) rappresenta l'equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant del prmo ordne relata al crcuto n esame: come possamo osserare s tratta d u- n'equazone omogenea (nfatt l termne noto è nullo) n accordo col fatto che nel crcuto non sono present ngress. Per rcaare l'ntegrale generale dell'equazone (6.7) rsolamo l'equazone caratterstca ad essa assocata: s s (6.8) S not che / ha dmenson par a [s - ] coè ha le dmenson della frequenza. Da qu dera l'uso della denomnazone d frequenza naturale. l crcuto ha, dunque, una sola frequenza naturale data dalla (6.8) e, come s ossera, s tratta d un alore reale e negato: conseguentemente l crcuto n esame è asntotcamente stable. n conclusone: (t) h(t) k e t (6.9) Per determnare l alore della costante K occorre troare una condzone nzale e precsamente l alore della corrente (t) nell'stante ossa nell'stante mmedatamente successo a t. Per far cò comnceremo analzzando l crcuto negl stant precedent a t ed n partcolare cercheremo d calcolare l alore della corrente (t) nell'-

154 54 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca stante -. Per t< l crcuto è così rappresentato: Tenendo presente quanto detto alla pagna precedente, essendo l crcuto asntotcamente stable aremo che, a regme, le corrent d lato (ma pure tutte le tenson d lato) deono segure l'ngresso e poché l generatore d tensone è costante anch'esse saranno tal, coè costant. Ottenamo, allora, quanto segue:.k.. :.K.T. : d dt d dt g (6.) E (6.), essendo costante. (6.) (6.) coè l'nduttore s comporta come un cortocrcuto. Dunque, la (6.) s scre: E E (6.4) da cu possamo concludere che: (_) (_) (_) E (6.5) A questo punto, poché nell'stante t s ha a cap dell'nduttore una arazone d tensone stantanea ma comunque lmtata (essendo l generatore d tensone costante), sfruttando l prncpo della contnutà della corrente su un nduttore (par..) possamo affermare che: (_) ( ) () E (6.6) Possamo allora rcaare defntamente l'ntegrale generale dell'equazone (6.7) come segue:

155 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 55 (t) h(t) k e E () t (t) E e t (6.7) a quanttà / ha le dmenson d un tempo (nfatt, a parte l segno, è par al recproco della frequenza naturale s) ed è detta costante d tempo: ene ndcata con T s. a relazone (6.7) rappresenta l'andamento nel tempo della corrente a cap dell'nduttore (ed anche d quella a cap del resstore sto che sono ugual per la.k..); possamo ora faclmente rcaare le tenson d lato che sono date da: (t) (t) E e (t) t d(t) (t) E e dt t (6.8) (6.9) e relazon (6.7)-(6.8)-(6.9) possono essere così dagrammate: E' facle erfcare che l punto P ottenuto dall'ntersezone con l'asse de temp delle tangent alle tre cure rspettamente ne punt d coordnate (,E/), (,E) e (,-E) ha un'ascssa esattamente par alla costante d tempo T s/. Osseramo, noltre, quanto segue: sno a quando t<, coè prma che l'nterruttore pass nella poszone, l'nduttore ha mmagazznato un'energa magnetca par a: [ )] ( E

156 56 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca la quale, nel momento n cu l'nterruttore ene chuso portandolo nella poszone, sarà a poco a poco dsspata nel resstore: tale scambo energetco s manfesta con la presenza d una corrente. a eloctà d dsspazone dell'energa magnetca è regolata propro dalla costante d tempo: se aumenta allora l'energa mmagazznata nell'nduttore aumenterà (a partà d ) e qund ene mpegato pù tempo affnché essa s dssp completamente nel resstore (nfatt T s/ sarà maggore). Vceersa, se dmnusce sempre a partà d dmnurà l'energa mmagazznata nell'nduttore e qund anche l tempo necessaro affnché essa s dssp completamente nel resstore. onsderazon analoghe s possono fare aumentando o dmnuendo a partà d. Se '> aremo che T s dmnusce con conseguente dmnuzone del tempo mpegato perché l'energa accumulata nell'nduttore s dssp sul resstore, mentre se ''< a- remo che T s aumenta con conseguente aumento del tempo mpegato perché l'energa accumulata nell'nduttore s dssp sul resstore. Faccamo un'ultma consderazone: posto E/ calcolamo l alore della corrente (t) n un stante t par propro alla costante d tempo T s; s ottene, rcordando che e,78: (Ts ) e Ts ( e ).7 coè dopo una costante d tempo la corrente (t) s rduce a crca l 7% della corrente - nzale. Vedamo cosa succede dopo quattro costant d tempo: (4Ts ) e 4Ts 4 ( e ). coè dopo quattro costant d tempo la corrente (t) s rduce al % crca della corrente nzale. Tenendo presente, però, che con un comune strumento d msura s commette un errore d crca l % sulla rleazone del alore esatto, s può concludere che, anche se teorcamente l regme transtoro ha durata nfnta (perché, n teora, la corrente (t) s esaursce completamente solo per t che tende ad nfnto), n realtà dopo t4t s non s è pù n grado d apprezzare n manera attendble l alore della grandezza. Pertanto, s può rtenere che l transtoro abba una durata d crca quattro costant d tempo. T s, nella pratca, può assumere alor che anno da qualche µs alle frazon d secondo.

157 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 57 ) Scarca d un condensatore. S consder l crcuto n fgura: Quando l'nterruttore s troa nella poszone, l generatore d tensone costante è collegato alla sere formata dal resstore e dal condensatore a qual element eroga energa. Supponamo che all'stante t l'nterruttore enga portato nella poszone : n tal modo l generatore d tensone sarà escluso dal crcuto ma comunque è presente una corrente che crcola graze all'energa mmagazznata nel condensatore sno all'stante t, quando era n funzone l generatore d tensone. proponamo d determnare l'andamento della tensone sul condensatore. Valgono allora le seguent relazon: elazon d lato :.K.. :.K.T. : d dt (6.) (6.) (6.) Posto: la (6.) s scre come : d dt d dt (6.) a relazone (6.) rappresenta l'equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant del prmo ordne relata al crcuto n esame: come possamo osserare s tratta d u- n'equazone omogenea (nfatt l termne noto è nullo) n accordo col fatto che nel crcuto non c sono ngress. Per rcaare l'ntegrale generale dell'equazone (6.) rsolamo l'equazone caratterstca ad essa assocata: s s (6.4)

158 58 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca l crcuto ha, dunque, una sola frequenza naturale data dalla (6.4) e, come s ossera, s tratta d un alore reale e negato: cò consente d affermare che l crcuto n esame è asntotcamente stable. n conclusone: (t) h(t) k e t (6.5) Per determnare l alore della costante K occorre troare una condzone nzale e precsamente l alore della tensone (t) nell'stante ossa nell'stante mmedatamente successo a t. Per far cò comnceremo analzzando l crcuto negl stant precedent a t ed n partcolare cercheremo d calcolare l alore della tensone (t) nell'stante -. Per t< l crcuto è così rappresentato: Tenendo presente quanto detto precedentemente, essendo l crcuto asntotcamente stable aremo che, a regme, le tenson d lato (ma pure tutte le corrent d lato) deono segure l'ngresso e poché l generatore d tensone è costante anch'esse saranno tal, coè costant. Ottenamo, allora, quanto segue: Posto.K.. :.K.T. : V cost. s ha : g d dt E (6.6) (6.7) dv, essendo V costante dt (6.8) e qund ( ), l condensatore s comporta n questo caso come un crcuto aperto. Dunque, la (6.7) s scre:

159 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 59 E V E (6.9) da cu possamo concludere che: (_) (_) V E (6.) A questo punto, poché nell'stante t s ha a cap del condensatore una arazone d corrente stantanea ma comunque lmtata (essendo l generatore d tensone costante), sfruttando l prncpo della contnutà della tensone su un condensatore lneare e tempo narante (ed paragrafo.) possamo affermare che: (_) ( ) () V E (6.) Possamo allora rcaare defntamente l'ntegrale generale dell'equazone (6.) come segue: (t) h(t) k e () V E t (t) E e t (6.) a quanttà ha le dmenson d un tempo (nfatt, a parte l segno, è par al recproco della frequenza naturale s) ed è detta costante d tempo: ene ndcata con T s. a relazone (6.) rappresenta l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore; possamo ora faclmente rcaare le altre grandezze d lato che sono date da: (t) (t) (t) E e (t) d(t) dt t (t) (t) E e t (6.) (6.4) e relazon (6.), (6.) e (6.4) possono essere così dagrammate:

160 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca E' facle erfcare che l punto P ottenuto dall'ntersezone con l'asse de temp delle tangent alle tre cure rspettamente ne punt d coordnate (,-E/), (,E) e (,-E) ha un'ascssa esattamente par alla costante d tempo T s. Osseramo, noltre, quanto segue: sno a quando t<, coè prma che l'nterruttore pass nella poszone, l condensatore ha mmagazznato un'energa elettrca par a: V ( [ )] E la quale, nel momento n cu l'nterruttore ene chuso portandolo nella poszone, sarà a poco a poco dsspata nel resstore: tale scambo energetco aene medante passaggo d corrente. a eloctà d dsspazone dell'energa elettrca è regolata propro dalla costante d tempo: se aumenta allora l'energa mmagazznata nel condensatore aumenterà (a partà d ) e qund ene mpegato pù tempo affnché essa s dssp completamente nel resstore (nfatt T s sarà maggore). Vceersa, se dmnusce, sempre a partà d, dmnurà l'energa mmagazznata nel condensatore e qund anche l tempo necessaro affnché essa s dssp completamente nel resstore. Valgono anche le stesse consderazon fatte nel caso della scarca d un nduttore a proposto della durata reale del regme transtoro. ) arca d un nduttore. Da grafc che rportano l'andamento nel tempo delle corrent e tenson d lato, sa nel caso della scarca d un nduttore sa n quello della scarca d un condensatore, s ossera che, per t tendente ad nfnto, tal grandezze tendono tutte a zero: questo è n accordo col fatto che, essendo due crcut esamnat asntotcamente stabl, a regme (coè per t che tende ad nfnto), tutte le uscte del crcuto (ossa corrent e tenson d lato) deono segure l'ngresso e poché questo è nullo (nfatt l generatore d tensone ene escluso, n entramb process d scarca, dal resto del crcuto all'stante t) s arà che anche le uscte saranno tutte nulle. noltre ne due cas precedent, essendo

161 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 nullo l'ngresso, la causa d una eoluzone dnamca delle tenson e delle corrent era rappresentata esclusamente dalle condzon nzal, rspettamente, sull'nduttore e sul condensatore. onsdereremo ora un caso n cu nel crcuto sa presente un ngresso non nullo. S prenda n esame l seguente crcuto: Per t<, quando l'nterruttore s troa nella poszone, l crcuto è completamente - nerte: nfatt, essendo escluso l generatore d tensone dal resto del crcuto, non s ha alcuna crcolazone d corrente. D conseguenza è lecto supporre che: ( ) (*) D'altra parte, nell'stante t quando l tasto del commutatore ene portato nella poszone, l crcuto denta sede d corrente graze all'nsermento del generatore d tensone costante. n partcolare, a cap dell'nduttore s arà una arazone stantanea ma comunque lmtata della tensone: sfruttando, allora, l prncpo d contnutà della corrente su un nduttore (ed par..) possamo screre: ( ) ( ) () (**) Proponamoc ora d determnare l'andamento della corrente sull'nduttore per t>. Valgono le seguent relazon:

162 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca elazon d lato :.K.. :.K.T. : g g E d dt (6.7) (6.6) (6.8) Posto ora: la (6.8) s può screre come : d d E E dt dt (6.9) 'espressone (6.9) rappresenta l'equazone dfferenzale del prmo ordne lneare a coeffcent costant assocata al crcuto n esame: s tratta, edentemente, d un'equazone completa l cu termne noto è una costante, n accordo col fatto che è presente nel crcuto un ngresso costtuto dal generatore d tensone costante. D conseguenza, l'ntegrale generale della (6.9) sarà d questo tpo: (t) h (t) (t) s (6.4) 'ntegrale partcolare s(t) dee segure l'ngresso (essendo l crcuto lneare e temponarante) e poché quest'ultmo è costante tale sarà anche s(t). Posso porre allora: s(t)a e per determnare l alore d A è suffcente sostture s(t) nell'equazone (6.9): da A E A E A dt E (6.4) Qund ottengo: s(t)e/. Per troare po h(t) deo rsolere l'equazone omogenea assocata all'equazone (6.9) che è data da: d dt (6.4)

163 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 Dall'equazone caratterstca relata alla (6.4) s rcaa faclmente l'unca frequenza naturale del crcuto par a: s -/ (s not che è negata, qund l crcuto è asntotcamente stable) e da questa s ottene po l'ntegrale generale dell'equazone omogenea dato da: h(t) k e t (6.4) Per rcaare l alore della costante k sfrutteremo la condzone nzale (**) come segue: (t) h(t) s(t) k e ( ) ( ) t E () k E k E (6.44) n defnta, l'ntegrale generale dell'equazone (6.9) denta: (t) E e t (t) (t) (6.45) Possamo faclmente rcaare anche l'andamento nel tempo della tensone a cap dell'nduttore e del resstore come segue: (t) (t) (t) E e d (t) d(t) (t) E e dt dt t t (6.46) (6.47) oero g- E-EEe -(/)t da cu Ee -(/)t.

164 64 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca portamo ora su opportun dagramm le funzon espresse dalle relazon (6.45), (6.46) e (6.47) come segue: Dal prmo grafco s ossera l'andamento della corrente (t) nel tempo: per t tendente ad nfnto essa tende al alore costante E/ n accordo col fatto che, essendo l crcuto asntotcamente stable, a regme ogn uscta dee segure l'ngresso che n questo caso è propro un generatore d tensone costante. onsderazon analoghe algono per gl altr due grafc: n partcolare, dal terzo grafco notamo, che per t tendente ad nfnto, la tensone a cap dell'nduttore tende a zero: questo rsultato è n perfetto accordo con quanto accadea nel processo d scarca d un nduttore, una olta raggunta una condzone d regme stazonaro per t< (l'nduttore s comporta come un cortocrcuto). 4) arca d un condensatore.

165 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 65 S prenda n esame l seguente crcuto: Per t<, quando l'nterruttore s troa nella poszone, l crcuto è completamente nerte: nfatt, essendo escluso l generatore d tensone dal resto del crcuto, non s ha alcuna crcolazone d corrente. D conseguenza è lecto supporre che: ( ) (*) D'altra parte, nell'stante t quando l'nterruttore ene portato nella poszone, l crcuto denta sede d corrente graze all'nsermento del generatore d tensone costante. n partcolare, a cap del condensatore s arà una arazone stantanea ma comunque lmtata della corrente: sfruttando, allora, l prncpo d contnutà della tensone su un condensatore (ed par..) possamo screre: ( ) ( ) () (**) Proponamoc ora d determnare l'andamento della tensone sul condensatore per t>. Valgono le seguent relazon:

166 66 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca elazon d lato :.K.. :.K.T. : g g E d dt (6.49) (6.5) (6.48) Posto ora: la (6.5) s può screre come : E E d E dt (6.5) 'espressone (6.5) rappresenta l'equazone dfferenzale del prmo ordne lneare a coeffcent costant assocata al crcuto n esame: s tratta, edentemente, d un'equazone completa l cu termne noto è una costante, n accordo col fatto che è presente nel crcuto un ngresso costtuto dal generatore d tensone costante. D conseguenza, l'ntegrale generale della (6.5) sarà d questo tpo: (t) h (t) (t) s (6.5) 'ntegrale partcolare s(t) dee segure l'ngresso (essendo l crcuto lneare e temponarante) e pochè quest'ultmo è costante tale sarà anche s(t). Posso porre allora: s(t)a e per determnare l alore d A è suffcente sostture s(t) nell'equazone (6.5): da A E A E dt (6.5) Qund ottengo: s(t)e. Per troare po h(t) deo rsolere l'equazone omogenea assocata all'equazone (6.5) che è data da:

167 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 67 d d dt dt (6.54) Dall'equazone caratterstca relata alla (6.54) s rcaa faclmente l'unca frequenza naturale del crcuto par a: s -/ (s not che è negata, qund l crcuto è asntotcamente stable) e da questa s ottene po l'ntegrale generale dell'equazone omogenea dato da: h(t) k e t (6.55) Per rcaare l alore della costante k sfrutteremo la condzone nzale (**) come segue: (t) h(t) s(t) k e ( ) ( ) t E () k E k E (6.56) n defnta, l'ntegrale generale dell'equazone (6.5) denta: (t) E e t (t) (6.57) Possamo faclmente rcaare anche l'andamento nel tempo della tensone a cap del resstore e della corrente a cap del condensatore e del resstore come segue: d(t) d(t) (t) dt dt (t) (t) (t) E e E e t t (t) (6.59) (6.58) portamo ora su opportun dagramm le funzon espresse dalle relazon (6.57)- (6.58) e (6.59) come segue:

168 68 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Dal prmo grafco s ossera l'andamento della corrente sul condensatore (uguale a quella sul resstore) nel tempo: per t tendente ad nfnto essa tende a zero n accordo con quanto accadea nel processo d scarca d un condensatore, una olta raggunta una condzone d regme stazonaro per t<. Mentre dal terzo grafco s ossera l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore e s nota che essa tende al alore costante E per t tendente ad nfnto: questo è n accordo col fatto che, essendo l crcuto asntotcamente stable, a regme ogn uscta dee segure l'ngresso che n questo caso è propro un generatore d tensone costante. Negl esemp consderat snora abbamo sto che nserendo o dsnserendo all'stante t l generatore d tensone dal resto del crcuto s ene a creare un regme dnamco. Vedremo ora come questo stesso rsultato può essere ottenuto modfcando parametr struttural d un crcuto e mantenendo, però, narata la sorgente. S facca rfermento al crcuto mostrato n f-

169 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 69 gura: Per t<, quando l'nterruttore è solleato, l resstore con resstenza è collegato al resto del crcuto nel quale s nstaura, sno all'stante mmedatamente precedente a t, un regme stazonaro n cu ogn corrente o tensone d lato assume un alore costante, n accordo col fatto che, essendo l crcuto asntotcamente stable (come erfcheremo fra poco), ogn uscta dee segure l'ngresso (che n questo caso è rappresentato propro da un generatore d tensone costante). All'stante t l'nterruttore ene abbassato escludendo, n tal modo, l secondo resstore dal resto del crcuto: questa arazone strutturale del crcuto produce, come ora ossereremo, un regme dnamco. Proponamoc d determnare come rsposta del crcuto l'andamento nel tempo della corrente a cap dell'nduttore: per far cò rcaamo prma la condzone nzale, ossa l alore della corrente sull'nduttore nell'stante t -. Possamo screre le seguent relazon: g E elazon d lato : d dt.k.. :.K.T. : g g (6.6) (6.6) (6.6) Tenendo presente quanto detto prma e coè che per t< l crcuto raggunge un regme stazonaro, possamo porre: d cost. da cu segue : dt (6.6) Allora la (6.6) denta: E E E (6.64) n defnta s ottene che:

170 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ( ) E (*) Abbassando l'nterruttore nell'stante t s arà una arazone stantanea d tensone a cap dell'nduttore ma comunque lmtata (essendo lmtato l generatore d tensone); nocando, allora, l prncpo d contnutà della corrente su un nduttore (ed pag. 9) possamo screre: ( ) ( ) E (**) Esamnando ora l crcuto per t> e tenendo presente che l secondo resstore ene sosttuto da un corto crcuto (qund: ), applcando la KT s ha: d g E dt doe s è posto : (6.65) 'equazone (6.65) rappresenta l'equazone dfferenzale del prmo ordne lneare e a coeffcent costant assocata al crcuto n esame: s tratta d un'equazone completa n accordo col fatto che nel crcuto è presente un ngresso. 'ntegrale generale è dato da: (t) h (t) s (t) Essendo l crcuto lneare e tempo-narante, l'ntegrale partcolare s(t) dee segure l'ngresso e poché quest'ultmo è propro un generatore d tensone costante ne segue che anche s(t) sarà costante; posso porre allora: s(t)a. l alore della costante A s determna sosttuendo s(t) nell'equazone (6.65) come segue: da A E A E A dt E Per quanto rguarda, nece, l'ntegrale generale dell'equazone omogenea assocata all'equazone (6.65) esso s rcaa n modo analogo a quanto fatto ne cas precedent una

171 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 olta calcolata l'unca frequenza naturale del crcuto par a: s - / (l fatto che sa negata c garantsce che l crcuto n esame è asntotcamente stable): t e k (t) h l alore della costante k s rcaa sfruttando la condzone nzale (**) ed ottenendo così: ( ) E k E k E () E ) ( E t e k (t) n conclusone, l'ntegrale generale dell'equazone (6.65) sarà: (6.66) t e E (t) Possamo rappresentare l'andamento d (t) nel tempo come segue: Poché la corrente ara nel tempo possamo affermare che effettamente nel crcuto s ene a creare un regme dnamco n seguto alla arazone parametrca apportata. n generale, comunque, non è detto che cò debba accadere: nfatt se nel crcuto precedente sosttuamo l'nduttore con un condensatore è facle erfcare che la arazone parametrca apportata sul secondo resstore non crea nessun regme dnamco e la tensone a cap del condensatore rmane costante nel tempo e par ad E, coè alla tensone

172 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca del generatore. 5) rcuto con ngresso d tpo snusodale. Sa dato l seguente crcuto: Supponamo che la forma d'onda del generatore d corrente sa d questo tpo: (t) cos ϕ ( ω t ) (6.67) Per t<, n regme stazonaro, l generatore d corrente è n corto perché l'nterruttore è abbassato e qund rsulta: c( -). Voglamo determnare l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore per t>. Poché quando ene aperto l'nterruttore nell'stante t s ha una arazone stantanea ma comunque lmtata della corrente sul condensatore ( perché è costante e l coseno è una funzone lmtata), nocando l prncpo d contnutà della tensone su un condensatore, s può screre: ( ) ( ) (*) Per t> algono po le seguent relazon:

173 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 d elazon d lato : dt g.k.t. :.K.. : d dt g Posto ora : g d (t) cos dt (6.68) (6.69) (6.7) la (6.7) s scre come : ( ω t ϕ ) (6.7) a relazone (6.7) rappresenta l'equazone dfferenzale assocata al crcuto n esame. l suo ntegrale generale sarà d questo tpo: (t) h (t) (t) s Essendo l crcuto lneare e tempo-narante, l'ntegrale partcolare s(t) dee segure l'ngresso e poché quest'ultmo è d tpo snusodale tale sarà anche la funzone s(t) che arà la stessa pulsazone ω dell'ngresso: (t) V cos s s ( ω t ϕ ) s Per determnare alor dell'ampezza e della costante d fase occorre sostture s(t) nell'equazone (6.7), ottenendo: ds(t) s(t) dt V ωsen s V ( ωt ϕ ) s ( ωt ϕ ) cos( ωt ϕ ) cos( ωt ϕ ) s ω[ sen( ωt) cosϕ cos( ωt) senϕ ] [ cos( ωt) cosϕ sen( ωt) senϕ ] s s cos s V, da cu s ottene : V [ cos( ωt) cosϕ sen( ωt) senϕ ] (6.7) s s s s Applcando ora l prncpo d'denttà a due membr dell'equazone (6.7) s rcaa l

174 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 74 seguente sstema d due equazon n due ncognte: (6.7) sen sen V cos V cos cos V sen V s s s s s s s s ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω Per rcaare V s possamo quadrare entramb membr n cascuna equazone e po sommare membro a membro ottenendo: (6.74) V V V s o s s ω ω Per rcaare, nece, l'angolo d fase basta ddere membro a membro le due equazon del sstema (6.7) ottenendo: ( ) ( ) ( ) ( ) (6.75) arctg arctg tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan cos sen sen cos s s s s s s s s s s s s s ω ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω A questo punto l'ntegrale partcolare dell'equazone (6.7) è completamente defnto; per quanto rguarda, nece, l'ntegrale generale dell'equazone omogenea assocata, esso è dato da: t e k (t) h

175 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 75 Per determnare l alore della costante k utlzzamo la condzone nzale sta alla pagna precedente, ottenendo: (t) k e () t Vscos ( ωt ϕ ) s () k V cosϕ k V cosϕ s s s s 'ntegrale generale dell'equazone (6.7) è allora: t (t) V cos e s ϕ s Vscos ( ωt ϕ ) (6.76) s appresentando (t) n funzone del tempo s ha: ome s può osserare dal grafco, a regme la rsposta (t) tende all'ntegrale partcolare s(t), essendo l crcuto asntotcamente stable. Osseramo, nfne, quanto segue: snora, negl esemp fatt, per nserre o dsnserre delle sorgent come generator d tensone o d corrente costant sono stat utlzzat degl nterruttor che enano abbassat o solleat all'stante t. Gl stess rsultat, però, possono essere ottenut usando de generator permanentemente nsert nel crcuto ma che s basano su forme

176 76 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca d'onda a gradno. Ad esempo, consderando l crcuto relato alla carca d un nduttore, esso può essere così realzzato: sulta, noltre: (t) s, t < Eu(t) E, t > Utlzzando tale forma d'onda è come se s nsersse un generatore d tensone costante e par ad E a partre dall'stante t. Naturalmente, tenendo presente che l'uscta dee comunque segure l'ngresso, poché l crcuto è asntotcamente stable, aremo che la corrente a cap dell'nduttore sarà così espressa: (t) Eu(t) (t) e t Qualora s olesse nserre l generatore d tensone costante E a partre da un generco stante t o s dorà utlzzare n ngresso la seguente forma d'onda: (t) Eu(t t s, t < t ) E, t > t n tal caso, sfruttando le propretà d lneartà e tempo-naranza del crcuto, possamo esprmere la rsposta (ossa la corrente a cap dell'nduttore) come segue: (t) Eu(t t (t) ) e ( t t ) 6. POBEMA DEA VAUTAZONE DEE ONDZON NZA sono molte ragon che gustfcano l nostro studo delle condzon nzal. a pù mportante, a questo punto, è che le condzon nzal deono essere note per poter alutare le costant arbtrare che compaono nell'ntegrale generale d un'equazone

177 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 77 dfferenzale. antagg che s ottengono da tale conoscenza sono: nformazon sul comportamento degl element del crcuto nell'stante n cu s agsce sull'nterruttore (per esempo, per nserre o dsnserre una sorgente); nformazon sul alore nzale della derata prma o delle derate successe d una certa rsposta, utl per preedere l'andamento della stessa rsposta e poter così erfcare che sa corrspondenza con la soluzone ottenuta matematcamente. e condzon nzal n un crcuto dpendono dalla stora passata del crcuto negl stant precedent a t e dalla struttura del crcuto negl stant success a t, dopo che s è agto sull'nterruttore. Possamo ottenere nformazon relate alla stora passata del crcuto solo facendo rfermento agl element dotat d memora, coè condensator e gl nduttor: per quanto rguarda condensator c nteresserà conoscere la tensone a loro morsett nell'stante t - mentre, per gl nduttor, c nteresserà conoscere l alore della corrente a loro morsett nello stesso stante d tempo. Nell'stante t potranno apparre nel crcuto ders alor d corrente e tensone n seguto alla tensone nzale sul condensatore o alla corrente nzale sull'nduttore o, ancora, a causa della natura delle sorgent d tensone o corrente che engono utlzzate. l problema della alutazone delle condzon nzal consste nel alutare tutte le tenson e corrent e loro derate nell'stante t. E' possble stablre un'equalenza tra alcun element crcutal n termn d condzon nzal; edamo come: a) l ESSTOE: n un resstore deale, la corrente e la tensone sono legat tra loro dalla legge d Ohm:. Da cò s ence che se la corrente attraerso un resstore ara stantaneamente, la tensone a cap del resstore segue tale arazone d corrente secondo un fattore d proporzone par a ; s arà una stuazone analoga se a cap del resstore s applca una arazone stantanea d tensone. D conseguenza, se n un crcuto è presente, nell'stante t -, un resstore esso rmarrà narato nel crcuto equalente relato all'stante t, come mostrato n fgura: b) ' NDUTTOE: supponamo d aere un nduttore nzalmente scarco, come mostrato n fgura:

178 78 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Se nell'stante t, quando ene abbassato l'nterruttore, almentamo con una sorgente d tensone lmtata l'nduttore allora, come abbamo gà sto negl esemp precedent, s può affermare che: ( ) e qund l'elemento equalente ad un nduttore scarco per t è rappresentato da un crcuto aperto: Se l'nduttore, nell'stante t -, è carco ossa è percorso da una corrente costante, possamo applcare quanto detto per l'nduttore scarco nel seguente modo: n defnta, un nduttore percorso nzalmente da una corrente costante o è equalente nell'stante t ad un generatore d corrente par propro a o. c) l ONDENSATOE: supponamo d aere un condensatore nzalmente scarco, come mostrato n fgura:

179 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 79 Se nell'stante t, quando ene solleato l'nterruttore, almentamo con una sorgente d corrente lmtata l condensatore allora, come abbamo gà sto negl esemp precedent, s può affermare che: ( ) Qund l'elemento equalente ad un condensatore scarco per t è rappresentato da un cortocrcuto: Se l condensatore, nell'stante t -, è carco ossa ha a suo cap una tensone costante V o, possamo applcare quanto detto per l condensatore scarco nel seguente modo: n defnta, un condensatore che ha nzalmente una tensone costante V o è equalente nell'stante t ad un generatore d tensone par propro a V o. badamo che le corrspondenze ndcate algono esclusamente per la alutazone delle condzon -

180 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca nzal e per arazon lmtate d tenson e corrente, rspettamente. Applchamo ora le equalenze appena rcaate al seguente esempo: Voglamo alutare, ad esempo, ( ) ed ( ). Supponamo, per comodtà, che l condensatore e l'nduttore sano nzalmente scarch, coè: ( ) e ( ) Possamo faclmente rcaare l crcuto equalente a quello d fg. 6.7 per t come segue: n questo modo s ottengono banalmente alor d tenson e corrent per t : ( ) ( ) E ( ) E ( )

181 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 Se l condensatore e l'nduttore fossero nzalmente carch sarebbe suffcente sostture, nel crcuto equalente a t, rspettamente, l cortocrcuto con un generatore d tensone costante par alla tensone nzale sul condensatore ed l crcuto aperto con un generatore d corrente costante par alla corrente nzale sull'nduttore e rcaare d conseguenza tutte le condzon nzal. Tuttaa, c sono due eccezon a quanto detto snora: le precedent equalenze per t perdono d sgnfcato quando c sono cammn chus (magle) contenent condensator e generator d tensone o quando n un nodo conergono nduttor e generator d corrente. onsderamo allora quest due cas. S supponga s studare l seguente crcuto: Se doessmo applcare le equalenze per t ste alla pagna precedente doremmo sostture due condensator nzalmente scarch con due cortocrcut e cò sgnfca supporre che: ( ) e ( ) Ma è facle erfcare che questo non è n accordo con la.k.t. nfatt posso screre: (t) (t) (t) E, t. n partcolare, per t ( ) ( ) ( ) E g g s ha : Da quest'ultma relazone s deduce, edentemente, che: ( ) ( ) e ( ) ( )

182 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tal arazon stantanee d tensone a cap d cascun condensatore possono essere gustfcate dal fatto che nel momento n cu ene abbassato l'nterruttore, nell'stante t, s genera un mpulso d corrente: essendo tale corrente llmtata non è pù possble rcorrere alle equalenze mostrate n fg. 6.5 n quanto esse algono solo nel caso n cu c sa a cap del condensatore una corrente lmtata. D'altra parte, tale mpulso d corrente, che è lo stesso su entramb condensator, essendo quest ultm collegat n sere, nell'esempo consderato, farà accumulare sulle armature d cascun condensatore una stessa carca q par a: q (t)dt con q ( ) e (t) (t) (t). q ( ) S può screre dunque : Questa carca non può assumere alor arbtrar ma solo quello per cu è soddsfatta la.k.t. e coè tale che: q q E q E Possamo ora rcaare defntamente le condzon nzal come segue: ( ) e ( E ) E Una stuazone analoga s ene a creare anche nel caso n cu due condensator (o an-

183 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 che uno solo d ess) sano nzalmente carch, come mostrato n fgura: (Nota: s mmagn che la tensone nzale su condensator sa determnata da eentual sorgent collegate a due condensator sno all'stante t le qual non sono state traccate per non appesantre troppo l dsegno). Applcando le equalenze per t bsognerà sostture due condensator carch con due generator d tensone costant e par, rspettamente, alle tenson nzal su due condensator, per cu l crcuto d fg. 6. denta: Dalla fgura s ossera che, applcando la.k.t. relatamente all'stante t s ha: V V E, la quale relazone non è soddsfatta n generale essendo arbtrare le tenson nzal su due condensator. Allora bsogna concludere che: ( ) ( ) e ( ) ( ) e queste arazon stantanee d tensone a cap d cascun condensatore possono essere gustfcate dal fatto che nel momento n cu ene abbassato l'nterruttore, nell'stante t, s genera un mpulso d corrente: essendo tale corrente llmtata non è pù possble rcorrere alle equalenze mostrate n fg. 6.6 n quanto esse algono solo nel caso n cu c sa a cap del condensatore una corrente lmtata. D'altra parte, tale mpulso d corrente, che è lo stesso su entramb condensator, essendo quest ultm collegat n sere, farà accumulare sulle armature d cascun condensatore una stessa carca q par a: q ( (t)dt con ) ( ) q ( ) ( ) e analogamente (t) (t) (t). (t)dt V q q ( ) ( ) V oero : S può screre dunque : q

184 84 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S not che n questo caso, l'mpulso d corrente sarà douto alla presenza de tre generator d tensone. Questa carca non può assumere alor arbtrar ma solo quello per cu è soddsfatta la.k.t. relatamente all'stante t e coè tale che: ( ) ( ) V q V q E V V E q Possamo ora rcaare defntamente le condzon nzal come segue: ( ) E V V e ( V ) V E V V Osseramo, nfne, che per etare l'mpulso d corrente è suffcente collegare n sere a condensator un resstore n modo da lmtare la corrente. onsderamo ora l secondo caso e coè quello n cu essta un nodo nel quale conergono nduttor e generator d corrente. Ad esempo, s prenda n esame l seguente crcuto: Se doessmo applcare le equalenze per t mostrate n fg. 6. doremmo sostture due nduttor nzalmente scarch con due crcut apert e cò sgnfca supporre che: ( ) e ( ) Ma è facle erfcare che questo non è n accordo con la.k.. nfatt posso screre:

185 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 85 (t) (t) (t) J, t. n partcolare, per t s ha : ( ) ( ) ( ) J g g Da quest'ultma relazone s deduce, edentemente, che: ( ) ( ) e ( ) ( ) Tale arazone stantanea d corrente a cap d cascun nduttore può essere gustfcata dal fatto che nel momento n cu ene solleato l'nterruttore, nell'stante t, s genera un mpulso d tensone: essendo tale tensone llmtata non è pù possble rcorrere alle equalenze mostrate n fg. 6. n quanto esse algono solo nel caso n cu c sa a cap dell'nduttore una tensone lmtata. D'altra parte, tale mpulso d tensone, che è lo stesso su entramb gl nduttor essendo quest ultm collegat n parallelo, orgnerà su cascun nduttore uno stesso flusso ϕ par a: ϕ (t)dt ϕ ( ) con e (t) (t) (t). ϕ ( ) S può screre dunque : Questo flusso non può assumere alor arbtrar ma solo quello per cu è soddsfatta la.k.. e coè tale che: ϕ ϕ J ϕ J Possamo ora rcaare defntamente le condzon nzal come segue: ( J ) e ( ) J

186 86 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Una stuazone analoga s ene a creare anche nel caso n cu due nduttor (o anche uno solo d ess) sano nzalmente carch, come mostrato n fgura: (Nota: s mmagn che la corrente nzale sugl nduttor sa determnata da eentual sorgent collegate a due nduttor sno all'stante t le qual non sono state traccate per non appesantre troppo l dsegno). Applcando le equalenze per t bsognerà sostture due nduttor carch con due generator d corrente costant e par, rspettamente, alle corrent nzal su due nduttor, per cu l crcuto d fg. 6. denta: Dalla fgura s ossera che, applcando la.k.. relatamente all'stante t s ha: J J J, la quale relazone non è era n generale essendo arbtrare le corrent nzal su due nduttor. Allora bsogna concludere che: ( ) ( ) e ( ) ( ) e queste arazon stantanee d corrente a cap d cascun nduttore possono essere gustfcate dal fatto che nel momento n cu ene solleato l'nterruttore, nell'stante t, s genera un m-

187 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 87 pulso d tensone: essendo tale tensone llmtata non è pù possble rcorrere alle equalenze mostrate n fg. 6.4 n quanto esse algono solo nel caso n cu c sa a cap dell'nduttore una tensone lmtata. D'altra parte, tale mpulso d tensone, che è lo stesso su entramb gl nduttor, essendo quest ultm collegat n parallelo, darà orgne su cascun nduttore ad uno stesso flusso ϕ par a: ϕ (t)dt con (t) (t) (t). ϕ ϕ ( ) ( ) J e S può screre dunque : ϕ ϕ ( ) ( ) J a tensone V sarà douta questa olta ad un generatore d corrente equalente che dera dalla somma algebrca d J, J e J. Questo flusso non può assumere alor arbtrar ma solo quello per cu è soddsfatta la.k.. relatamente all'stante t e coè tale che: ( ϕ ) ( ) J J J ϕ ϕ J J J Possamo ora rcaare defntamente le condzon nzal come segue: ( ) J J J e ( J ) J J J J Osseramo, nfne, che per etare l'mpulso d tensone è suffcente collegare n parallelo agl nduttor un resstore n modo da lmtare la tensone.

188 88 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6. ONDZON FNA NEG EEMENT Anche per determnare le condzon fnal negl element, ossa quelle corrspondent ad un stante t nfnto quando coè ene raggunta una condzone d regme stazonaro, è possble sfruttare le seguent equalenze le qual s basano tutte sull'potes che le corrent e le tenson sano costant:

189 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 89 Queste equalenze possono essere sfruttate, per esempo, per determnare alor d tensone e corrente nell'stante t - purché nel crcuto s nstaur, per t<, un regme stazonaro. 6.4 UT DE SEONDO ODNE S consder l seguente crcuto:

190 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S not che non c sono ngress e le condzon nzal sono assegnate come dat del problema. S uole determnare: (t), t. Valgono le seguent relazon: elazon d lato :.K.T. :.K.. : G d dt d dt, con G (6.78) (6.79) (6.77) Utlzzando le relazon (6.77) e (6.78) possamo screre la (6.79) come segue: d G dt d d G dt dt d G dt d dt G d dt (6.8) a (6.8) rappresenta l'equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant del secondo ordne relata al crcuto n esame: s ossera che essa è omogenea n accordo col fatto che gl ngress sono null. Ponamo ora: α ω G : fattore d smorzamento : pulsazone d rsonanza Vedremo che quest due parametr caratterzzano l comportamento dnamco del crcuto, oero l tpo d rsposta. 'equazone (6.8) s può rscrere come:

191 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 d dt d α ωo dt (6.8) Per rsolere tale equazone dfferenzale c serranno due condzon nzal relate alla corrente sull'nduttore; la prma è assegnata: ( ) J (*) a seconda s rcaa sfruttando la relazone d lato sull'nduttore: d (t) (t) (t) d ( ) ( ) V dt dt (**) A questo punto per determnare l'ntegrale generale dell'equazone(6.8) occorre rsolere l'equazone caratterstca ad essa assocata: s s o αs ω, α ± α ω che ammette le seguent radc : o E' necessaro ora dstnguere quest quattro cas possbl: ) α>ω condzone d sorasmorzamento n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono entrambe real e dstnte ed noltre sono entrambe negate per cu l crcuto è asntotcamente stable. 'ntegrale generale dell'equazone (6.8) sarà: (t) h (t) k e s t k st e (6.8)

192 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Per troare l alore delle due costant sfruttamo le condzon nzal (*) e (**) ottenendo: J s V s s k e J s V s s k che rsolto dà :, s k s k V dt ) ( d k k J ) ( Sosttuendo tal alor nella (6.8) e dagrammando n funzone del tempo s ottene un andamento d questo tpo: ome s ossera dal grafco, a regme, la corrente sull'nduttore tende ad annullars n accordo col fatto che, essendo l crcuto lneare, tempo-narante e asntotcamente stable, ogn rsposta dee segure l'ngresso che n questo caso è nullo. ò ale anche per tutte le corrent e tenson d lato l cu andamento nel tempo può essere faclmente rcaato sfruttando le relazon d lato. ) αω condzone d smorzamento crtco n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono entrambe real e concdent nel alore -α; poché, noltre, tale alore è negato aremo che l crcuto è asntotcamente stable. 'ntegrale generale dell'equazone (6.8) è dato da: ( ) (6.8) t k k t e t te k t e k (t) α α α

193 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Per troare l alore delle due costant sfruttamo le condzon nzal (*) e (**) ottenendo: ( ) J k d (, che rsolto dà : ) V αk k dt V k J e k αj Sosttuendo tal alor nella (6.8) e dagrammando n funzone del tempo s ottene un andamento che è smle a quello del caso precedente ma lo smorzamento aene n modo pù lento. ) α<ω condzone d sottosmorzamento n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono complesse e conugate (poché la loro parte reale è negata l crcuto è asntotcamente stable). S pone: ωd ωo α e qund : s α ± jω d

194 94 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca caamo ora l'ntegrale generale della (6.8) come segue: (t) ke α (t) e t α (t) e t st k k e t e k t e [ k( cos( ωdt) jsen( ωdt) ) k ( cos( ωdt) jsen( ωdt) )] [(k k )cos( ω t) j(k k )sen( ω t) ] st e α d jωdt e α jωdt d cordamo che, essendo le radc s ed s complesse e conugate, anche loro resdu k e k sono compless e conugat (ed fg. 6.8a) m k a jb k a jb ρ a ϕ x b k e x k fg. 6.8a Pertanto s arà: k k a ρcosϕ k k jb jρsenϕ conseguentemente s ottene:

195 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 95 j(k k ) - ρsenϕ e andando a sostture s ha: (t) ρe-αt(cosϕcosω dt - senϕsenω dt) oero: (t) ke-αt cos(ω dt ϕ) (6.84) aendo posto k ρ. Per troare l alore delle costant k e ϕ s utlzzano le condzon nzal (*) e (**) ottenendo: ( ) J kcosϕ d ( ) V αkcosϕ kωdsenϕ dt V ϕ arctg Jωd α ωd e che rsolto dà : J J k cosϕ V cosarctg Jωd α ωd Sosttuendo tal alor nella (6.84) e dagrammando n funzone del tempo s ottene un andamento oscllatoro con ampezza decrescente. mnm e massm gaccono sulle due esponenzal che costtuscono l'nluppo della rsposta (ed fg. 6.9):

196 96 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4) α condzone d perdte nulle n tal caso s ha: ω ω e s ± jω d ome s ossera le due frequenze natural sono complesse e conugate ma la loro parte reale è nulla, coè sono dsposte sull'asse mmagnaro del pano complesso: ne segue che l crcuto non è asntotcamente stable. 'andamento nel tempo della corrente sull'nduttore s rcaa dalle relazon ottenute nel caso precedente ponendo α e ω dω : (t) kcos ω ( t ϕ) (6.85) con: V ϕ arctg Jω e J J k cosϕ V cosarctg Jω

197 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 97 ome s ossera dalla relazone (6.85) la corrente sull'nduttore ha un andamento snusodale nel tempo e qund non s annulla al tendere d t ad nfnto (nfatt l crcuto non è asntotcamente stable aendos una oscllazone permanente). Da un punto d sta fsco, accade che nel crcuto s può rtenere nulla la conduttanza G e qund l condensatore e l'nduttore s scambano cendeolmente l'energa accumulata per t<. onsderamo ora lo stesso crcuto nell'potes, però, che c sa un ngresso derso da zero; s uole determnare l'andamento nel tempo della corrente sull'nduttore: Per t< l generatore d corrente è escluso dal resto del crcuto e percò s può screre: ( ) e ( ) Poché nell'stante t, quando ene modfcata la poszone degl nterruttor, s ha una arazone stantanea ma lmtata d corrente a cap del condensatore possamo rtenere che (applcando le equalenze per t ): ( ) ( ) e ( ) ( ) (*) Valgono ora le seguent relazon: G, con G d dt elazon d lato : (6.86) d dt g J.K.T. : (6.87).K.. : J g (6.88)

198 98 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Utlzzando le relazon (6.86) e (6.87) possamo screre la (6.88) come segue: d G dt d d G dt dt J G J d dt d dt G d dt J J (6.89) a (6.89) rappresenta l'equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant del secondo ordne relata al crcuto n esame: s ossera che essa ha un termne noto costante n accordo col fatto che è presente n ngresso un generatore d corrente costante. Ponamo ora: α ω G : fattore d smorzamento : pulsazone d rsonanza Allora l'equazone (6.89) s scre come: d dt d α ωo ωo J dt (6.9) Per rsolere tale equazone dfferenzale c serranno due condzon nzal relate alla corrente sull'nduttore; la prma è assegnata: ( ) a seconda s rcaa sfruttando la relazone d lato sull'nduttore: d (t) (t) (t) d ( dt dt ) ( )

199 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 99 A questo punto l'ntegrale generale dell'equazone (6.9) è dato da: (t) (t) h s (t) (6.9) Essendo l crcuto lneare e tempo-narante l'ntegrale partcolare dee segure l'ngresso e qund sarà anch'esso costante: s (t) cost. A Per determnare l alore d A s sosttusce l'ntegrale partcolare nell'equazone (6.9) e s ottene: o o ω A ω J A J Ora per rcaare l'ntegrale generale dell'equazone (6.9) bsogna prma calcolare l'ntegrale generale dell'equazone omogenea ad essa assocata che concde, come s può osserare, con quella esamnata nel caso precedente relatamente al crcuto con ngresso nullo. 'equazone caratterstca è la seguente: s s o αs ω, α ± α ω che ammette le seguent radc : o E' necessaro ora dstnguere quattro cas st prma: ) α > ω : condzone d sorasmorzamento.

200 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono entrambe real e dstnte ed noltre sono entrambe negate per cu l crcuto è asntotcamente stable. 'ntegrale generale dell'equazone (6.9) sarà: s t s t (t) (t) s(t) k e k e J h (6.9) Per troare l alore delle due costant sfruttamo le condzon nzal gà rcaate ottenendo: ( ) k k J d (, che rsolto dà : ) k s k s dt sj sj k e k s s s s Sosttuendo tal alor nella (6.9) e dagrammando n funzone del tempo s ottene un andamento d questo tpo: ome s ossera dal grafco, a regme, la corrente sull'nduttore tende al alore costante J n accordo col fatto che, essendo l crcuto lneare, tempo-narante e asntotcamente stable, ogn rsposta dee segure l'ngresso che n questo caso è un generatore d corrente costante. ò ale anche per tutte le corrent e tenson d lato l cu andamento

201 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca nel tempo può essere faclmente rcaato sfruttando le relazon d lato. ) α ω : condzone d smorzamento crtco. n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono entrambe real e concdent nel alore -α; poché, noltre, tale alore è negato aremo che l crcuto è asntotcamente stable. 'ntegrale generale dell'equazone (6.8) è dato da: αt α (t) k e k te t α J e t ( k k t) J (6.9) Per troare l alore delle due costant sfruttamo le condzon nzal gà rcaate ottenendo: ( ) k J d ( ) αk k dt k J e k αj, che rsolto dà : ) α < ω : condzone d sottosmorzamento. n tal caso le due frequenze natural del crcuto sono complesse e conugate (poché la loro parte reale è negata l crcuto è asntotcamente stable). S pone: ω d ω o α e qund : s α ± jω d Tal alor possono essere rappresentat nel pano complesso come segue:

202 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Possamo screre dunque: s t s t (t) (t) s(t) k e k e J h (6.94) Essendo le frequenze natural s ed s complesse e conugate, tal saranno anche corrspondent resdu. Sulla base de rsultat ottenut per l caso sottosmorzato ad ngresso nullo, potremo allora screre: (t) ke-αt cos(ω dt ϕ) J (6.95) doe, oamente, k e ϕ doranno essere rcaate utlzzando le condzon nzal. Essendo: otterremo: d dt ( t) αt kαe cos αt ( ω t ϕ ) ke ω sen( ω t ϕ) d d d ( ) kcosϕ J d dt oero: ( ) kαcosϕ kω senϕ d ϕ arctg α ω d e -J -J k cosϕ α cos arctg ωd

203 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Dagrammando n funzone del tempo s ottene un andamento d questo tpo: 4) α : condzone d perdte nulle. ω ω e s ± jω d ome s ossera le due frequenze natural del crcuto sono complesse e conugate e hanno una parte reale nulla, coè sono dsposte sull'asse mmagnaro del pano complesso: qund l crcuto non è asntotcamente stable. 'andamento nel tempo della corrente sull'nduttore s rcaa dalla relazone troata nel caso precedente ponendo però ω dω,α e ϕ: (t) Jcos ω ( t) J (6.96) Tale funzone ha un andamento d tpo snusodale e qund la corrente sull'nduttore non s annulla per t tendente ad nfnto. Defnamo ora l seguente parametro: ω : α Q fattore d qualtá o d rsonanza parallelo Ne due crcut appena esamnat Q è detto fattore d qualtà parallelo e ale:

204 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ω Q α G G Daremo n seguto un'nterpretazone fsca d tale parametro. É facle dmostrare che é possble utlzzare l fattore d qualtà per classfcare le quattro condzon d funzonamento appena esamnate. n partcolare: Q < : condzone d sorasmorzamento. Q : condzone d smorzamento crtco. Q > : condzone d sottosmorzamento. Q : condzone d perdte nulle. onsdereremo ora altr due esemp d rsposta n ngresso nullo e rsposta con ngresso derso da zero nel caso però d un collegamento d tpo sere. Verranno rportate solo le relazon fondamental senza llustrare l procedmento d calcolo essendo questo smle a quello solto ne cas precedent. S prenda n esame l seguente crcuto: Voglamo determnare l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore. ombnando le seguent relazon:

205 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5.K.T..K.. dt d dt d s determna l'equazone dfferenzale del secondo ordne lneare a coeffcent costant relata al crcuto n esame: ) ( ) ( dt ) ( d E ) ( e con dt d dt d o ω α ω α e frequenze natural del crcuto sono le due radc dell'equazone caratterstca e coè: o s ω α α ± S dstnguono seguent quattro cas: ( ) t t Ee (t) s condzone d smorzamento crtco. : ) s s Es k e s s Es k con t e k t e k (t) condzone d sorasmorzamento. : ) s s α α ω α ω α α >

206 6 ) α < ω s α ± jω (t) ke s (t) E cos : condzone d sottosmorzamento. cos ( ω t) con ( ω t ϕ ) 4) α : condzone d perdte nulle. d αt ω ω d d ± jω ω d o ω α con ϕ arctg α ω d e k Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca E cosϕ onsderamo ora l caso analogo ma con un ngresso derso da zero: Voglamo determnare l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore. ombnando le seguent relazon: g E d dt d dt.k...k.t. E s determna l'equazone dfferenzale del secondo ordne lneare a coeffcent costant relata al crcuto n esame:

207 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 d dt d α dt ( ) d( ) dt o ω ( ) o ω E ( ) con α e ω 'ntegrale generale della suddetta equazone s scre come: (t) (t) s(t) con s(t) cost. E h e frequenze natural del crcuto sono le due radc dell'equazone caratterstca e coè: s α ± α ω o S dstnguono seguent quattro cas: ) α > ω : condzone d sorasmorzamento. s Es t s k e t (t) k e E con k s s ) α ω : condzone d smorzamento crtco. α s (t) Ee t α α αete t E e k Es s s ) α < ω s α ± jω (t) ke t cos s (t) E cos : condzone d sottosmorzamento. con ( ω t ϕ ) 4) α : condzone d perdte nulle. ω ω d α d ± jω ( ω t) E d ω d E o ω α ϕ α con ϕ arctg ω d e E k cosϕ Per due crcut appena esamnat possamo defnre un fattore d qualtà o fattore d

208 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca rsonanza sere: ω Q α 6.5 APPOO A UT ON METODO DEE VAAB D STATO onsderamo l seguente crcuto del secondo ordne d cu sano gà assegnate le condzon nzal: Dalla conoscenza della corrente nzale sull'nduttore e della tensone nzale sul condensatore coè, n altr termn, dalla conoscenza del contenuto energetco mmagazznato nell'nduttore e nel condensatore sno all'stante t, è stato possble rcaare (ed paragrafo 6.4) l'andamento d tutte le tenson e corrent d lato, ossa qualsas rsposta del crcuto, non solo nell'stante nzale t ma anche n quell success, coè per t>. Possamo allora, sulla base d questa osserazone, generalzzare la procedura come segue: supponamo che n un crcuto dnamco sano present p accumulator (condensator o nduttor, ossa element n grado d mmagazznare energa) e che sa possble ndduare p arabl (una per ogn accumulatore) le qual c consentano d conoscere l contenuto energetco dell'accumulatore a cu sono rspettamente assocate n ogn stante t>. Tal arabl sono dette arabl d stato e le ndcheremo con:

209 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 x (t), x (t),..., x p (t) x(t) x (t) mentre l ettore : x(t) è detto ettore d stato.... xp(t) (Nota: n generale le arabl d stato "fsche" conene che sano scelte n modo tale che l loro quadrato sa proporzonale al contenuto energetco dell'accumulatore a cu sono assocate: per questo moto s scegle la tensone per condensator e la corrente per gl nduttor). Possamo a questo punto dare la defnzone d stato d un crcuto: n assenza d ngress, esso rappresenta l numero mnmo d arabl d stato (ossa le arabl scelte deono essere fra loro ndpendent) la cu conoscenza n un stante nzale t m permette d rcaare le stesse arabl anche n quell success a quello nzale; se nel crcuto sono present degl ngress, lo stato del crcuto ene defnto allo stesso modo aggungendo, però, che è necessaro conoscere gl ngress non solo nell'stante nzale ma anche n quell relat all'nterallo d osserazone consderato. Mostreremo con l'auto d esemp che medante l'uso delle arabl d stato s perene alla scrttura d un sstema d equazon dfferenzal del prmo ordne la cu soluzone porta alla conoscenza dell'andamento nel tempo delle stesse arabl d stato che consente d rcaare, successamente, l'andamento nel tempo d tutte le corrent e tenson d lato come combnazon lnear delle arabl d stato. l metodo delle arabl d stato ene frequentemente utlzzato perché consente una facle mplementazone al calcolatore e s presta, n partcolare, per l'anals d que crcut la cu soluzone porterebbe alla scrttura d un'equazone dfferenzale d ordne eleato: con l metodo delle arabl d stato, nece, s perene ad un sstema d n equazon dfferenzal tutte del prmo ordne. l metodo è po partcolarmente utle per la soluzone de crcut non lnear. Vedamo ora d applcare l metodo delle arabl d stato al crcuto d fg. 6.4: sceglamo come arabl d stato la corrente sull'nduttore e la tensone sul condensatore; s tratta d rcaare due equazon dfferenzal del prmo ordne che conolgano tal arabl. Sussstono le seguent relazon: G con d elazon d lato : dt d dt.k.t. :.K.. : G (6.97) (6.98) (6.99) (6.) (6.)

210 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ombnando le equazon (6.99) e (6.) s ottene: d dt (*) Mentre la seconda equazone dfferenzale è data da: d dt G G d dt G (**) d dt S ottene allora l seguente sstema d due equazon dfferenzal del prmo ordne: d dt d dt G (6.) alle qual a assocato lo stato nzale: () ; c()v. Posto ora: x (t) (t) e x(t) (t) possamo screre l sstema (6.) n forma matrcale come segue: x x x Ax x Gx x con x ettore delle derate prme e x (6.) x x x ettore d stato.

211 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Al sstema (6.) anno po aggunte le condzon nzal: x( ) J x( ) V x J V ( ) x con x (6.4) a soluzone, n forma matrcale, del sstema (6.) è la seguente: x(t) e At x, doe e At è detta matrce d transzone d stato. Tale soluzone è detta rsposta lbera del crcuto perché non c sono ngress e, come s può osserare, essa dpende esclusamente dalle condzon nzal nel crcuto. Possamo esprmere la soluzone del sstema (6.) senza rcorrere alla matrce d transzone d stato ma serendos degl autoalor della matrce A. n generale, gl autoalor d una matrce A, che ndcheremo col smbolo s, s ottengono come soluzone della seguente equazone: det[a-s], doe è la matrce dentca. Nel nostro caso s ha: s det[a s] det G s Nota. E' facle erfcare che gl autoalor della matrce A concdono con le frequenze natural precedentemente calcolate (ed par. 6.4). nfatt: det[a s] s G s G posto α e ω s ha: s αs ω

212 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca da cu s ottene: s/ α ± α ω che concdono con le frequenze natural del crcuto. Supponamo che due autoalor ottenut sano tra loro dstnt. Una olta determnat gl autoalor della matrce A, bsogna calcolare gl autoettor ad ess assocat. Nel nostro caso, se ndchamo tal autoettor con: η η η e η η η ess sono ettor non null che soddsfano la seguente equazone matrcale: Aη s η (A s ) η con, (*) Per l'equazone matrcale (*) denta: sη η G η s η Tenendo presente che bsogna escludere la soluzone banale d tale sstema omogeneo d due equazon n quanto gl autoettor sono sempre ders dal ettore nullo ed osserando che l sstema ammette nfnte soluzon, possamo screre dalla prma e- quazone: η η s del tpo : ( β, s β ). η η η s, da cu segue che le soluzon del sstema sono tutte Posto allora β ottengo come soluzone:

213 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca n modo del tutto analogo s ottene: η η η s A questo punto, aendo supposto che gl autoalor sano dstnt, s può screre la soluzone del sstema (6.), coè l ettore d stato, come segue: s ( k e t s t ) η ( k e ) (6.5) x(t) η l alore delle costant k e k s rcaa utlzzando lo stato nzale; s può po erfcare la perfetta corrspondenza tra queste rsposte (ossa la corrente sull'nduttore e la tensone sul condensatore) rcaate con l metodo delle arabl d stato e le stesse rcaate n precedenza. onsderamo ora l caso n cu l'ngresso non sa nullo (supporremo, comunque, che esso sa noto n tutto l'nterallo d osserazone e non solo nell'stante nzale). S prenda n esame l seguente crcuto: S tenga presente che cascuno de due nterruttor dspost n parallelo, quando è abbassato, sere per escludere completamente dal resto del crcuto l generatore d corrente ad esso corrspondente. e condzon nzal s rcaano osserando l crcuto equalente a t - n condzon d regme stazonaro e tenendo presente che nell'stante t s ha una arazone stantanea ma lmtata d corrente sul condensatore e d tensone sull'nduttore:

214 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca onsderamo come arabl d stato, al solto, la corrente sull'nduttore e la tensone sul condensatore. Valgono le seguent relazon: g J s G elazon d lato : d dt d dt.k.. : J.K.T. : s (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) (6.) (6.) Tenendo conto della (6.) s possono screre la (6.9) e la (6.) come segue: d dt d dt G Js (6.) Posto ora: x (t) (t) e x(t) (t)

215 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 possamo screre l sstema (6.) n forma matrcale come segue: x x x J s G x x Ax Bu (6.) con x x x ettore delle derate prme e x x x ettore d stato. noltre B mentre u é scalare e par a J s Al sstema (6.) anno po aggunte le condzon nzal: ( ) J x x( ) J x ( ) x con x (6.4) l ettore d stato x(t) può essere così determnato: x Ax Bu(t) e dt e d At ( e x(t) ) At x(t) x x(t) e At x e e t e At t At Bu(t) Aτ A(tτ ) ( x Ax) e qund ntegrando tra e t s ha : Bu( τ )dτ Bu( τ )dτ e At Bu(t) (6.5)

216 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca l prmo addendo a secondo membro dell'equazone (6.5) rappresenta la rsposta naturale del crcuto perché dpende solo dalle condzon nzal, mentre l secondo addendo rappresenta la rsposta forzata del crcuto perché dpende solo dagl ngress (nel caso n esame l'ngresso è unco ed è costtuto dal generatore d corrente costante). S tenga presente che la rsposta lbera e quella forzata non deono essere confuse con la rsposta transtora e quella a regme. onsderamo ora l crcuto sere mostrato n fgura; algono consderazon analoghe a quelle fatte fnora: Al solto, scegleremo come arabl d stato la tensone sul condensatore e la corrente sull'nduttore. S può screre: g E elazon d lato : d dt d dt.k.t. : E.K.. : (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) (6.) (6.) Tenendo conto della (6.) s possono screre la (6.8) e la (6.) come segue:

217 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 (6.) dt d E dt d Posto ora: (t) (t) x e (t) (t) x possamo screre l sstema (6.) n forma matrcale come segue: stato. ettore d x ettore delle derate prme e con (6.) Bu Ax E x x x x x x x x x x E é scalare e par a u mentre B noltre Al sstema (6.) anno po aggunte le condzon nzal: ( ) (6.4) x ) ( x ) ( x l crcuto presenterà allora solo la rsposta forzata (coè quella dpendente dall'ngresso essendo nulle le condzon nzal) che è esprmble come (ed pagna precedente):

218 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca t x(t) e A( tτ ) Bu( τ )dτ (6.5) onsderamo, nfne, un ultmo esempo dal quale sarà edente come sa dffcle, per crcut leggermente pù compless d quell esamnat fnora, determnare le equazon dfferenzal che conolgono le arabl d stato. S facca rfermento al crcuto mostrato n fgura: e relazon d lato sono: g E d dt d dt (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) (6.) Applcando la.k.. s ottene: (6.) (6.) Mentre applcando la.k.t. a due percors chus edenzat s ha: E E (6.) (6.4)

219 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Dalle relazon (6.7),(6.) e (6.) posso screre: ( ) (6.5) Dunque la relazone (6.) s scre come: d E dt (*) Mentre, tenendo presente la relazone (6.), possamo screre la relazone (6.4) come segue: d E dt (**) ordnando le relazon (*) e (**) s ottene l sstema d due equazon dfferenzal del prmo ordne aente come ncognte le arabl d stato scelte: d E dt d dt E (6.6) Posto ora:

220 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (t) (t) x e (t) (t) x possamo screre l sstema (6.6) n forma matrcale come segue: stato. ettore d x x x ettore delle derate prme e con (6.7) Bu Ax E x x x x x x x x E é scalare e par a u mentre B noltre Nel sstema (6.6) anno po aggunte le condzon nzal: ( ) (6.8) x ) ( x ) ( x l crcuto presenterà allora solo la rsposta forzata (coè quella dpendente dall'ngresso essendo nulle le condzon nzal) che è esprmble come: ( ) t t A (6.9) )d Bu( e x(t) τ τ τ Nota: abbamo sto fnora due metod che c consentono d descrere la dnamca d un crcuto, l prmo medante una sola equazone dfferenzale scalare d ordne n (generalmente n è uguale a ) l secondo medante un sstema d n equazon dfferenzal del prmo ordne. due metod sono comunque equalent ed è sempre possble passare dal sstema d equazon dfferenzal all'equazone dfferenzale scalare ad esso assocata (l passaggo nerso è possble ma rchede l'ntroduzone delle cosddette arabl d fase). Ad esempo, nel caso n cu n s ha:

221 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca x x a a x x a a x x u u (*) (**) derando la prma equazone rspetto al tempo s ottene: x ax ax x e sosttuendo la (*) e la (**) s ha: ( a x a x u ) a ( a x a x u ) (***) x a u Possamo rscrere la (***) come segue: ( a aa ) x ax ( a a ) au au x u Dalla (*) s rcaa però: a x x ax u che sosttuta nella relazone precedente dà: ( a a ) x ( x a x u )( a a ) a u a u x u a ( a ) x ( a a a a ) x a u a u x a u

222 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Quest'ultma relazone rappresenta l'equazone dfferenzale del secondo ordne assocata al sstema d due equazon dfferenzal n esame. 6.6 SPOSTA A'MPUSO Nel seguente paragrafo analzzeremo tre metod attraerso qual sarà possble determnare la rsposta d un crcuto ad un ngresso rappresentato da una corrente o tensone mpulsa; per comodtà, consdereremo solo crcut dnamc del prmo ordne, oamente lnear e tempo-narant. Ad esempo, s prenda n esame l crcuto mo-

223 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca strato n fgura: 'ngresso è costtuto da un generatore d corrente mpulsa. S uole determnare l'andamento nel tempo della tensone sul condensatore. Possamo utlzzare seguent tre metod: ) Metodo per approssmazone: esso consste nel sostture l generatore d corrente mpulso con un generatore d corrente la cu forma d'onda è rappresentata da un mpulso d durata fnta; una olta calcolata la rsposta del crcuto a tale ngresso possamo faclmente determnare la rsposta all'mpulso facendo tendere a zero l'nterallo d tempo durante l quale è applcato l segnale. 'mpulso d durata fnta ha l seguente andamento nel tempo: Da un punto d sta qualtato possamo affermare quanto segue: per t< l'ngresso è nullo, la tensone nzale sul condensatore è nulla e qund l crcuto è completamente nerte. Nell'stante t s ha una arazone stantanea, ma comunque lmtata, d corrente a cap del condensatore la cu tensone rmane, qund, costante e par al alore che aea nell'stante t - coè zero; n altr termn, nell'stante t l condensatore s comporta come un cortocrcuto. D conseguenza, la corrente del generatore scorre e- sclusamente nel condensatore proocando, gradualmente, l'nstaurars d una certa carca sulle sue armature; questo a sua olta, determna un progresso aumento della tensone sul condensatore e qund anche sul resstore, sto che due element sono n parallelo. n tal modo, però, la corrente fornta dal generatore passa anche attraerso l resstore e percò la tensone sul condensatore aumenterà sempre pù lentamente. nfne, a partre dall'stante t, ene escluso l generatore d corrente e qund comnca l processo d scarca del condensatore: coè aremo crcolazone d corrente sno a quando s esaursce l'energa elettrca mmagazznata nel condensatore sno all'stante t. ntutamente, l'andamento nel tempo della tensone a cap del condensatore può essere così schematzzato:

224 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Analzzamo ora l crcuto da un punto analtco; applcando la.k.. ottenamo la seguente equazone: (t) d(t) (t) (t) s(t) p (t) dt (t) d(t) d(t) (t) p (t) p dt dt (t) (6.4) E' necessaro dstnguere seguent due nterall d tempo: per t d dt ], [ la (6.4) denta : (*) 'ntegrale generale d questa equazone è dato da: (t) (t) h s (t) 'ntegrale partcolare è costante, essendo tale l'ngresso, e può essere rcaato nel seguente modo: A posto : A (t) h s (t) A cost. e sosttuendo nella (*) s ha : (t) s s (t). (t) ke t S ottene allora :

225 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 l alore della costante k s rcaa mponendo la condzone nzale: ( ) k k n defnta s ottene: (t) e t per t ], [ (**) Tenendo presente che per rcaare la rsposta all'mpulso doremo far tendere a zero, è lecto consderare molto pccolo e qund, essendo anche t <, è possble sluppare n sere la seguente quanttà: e t t t 6 t... t D conseguenza s ottene: (t) t t, per t ], [ (6.4) Questo può essere nterpretato come l contrbuto alla tensone sul condensatore nel caso d ngresso derso da zero e stato nullo. S not che la pendenza dell'andamento della tensone sul condensatore, nell'nterallo ], [, è / : tale alore è molto grande poché è molto pccolo. Se ora consderamo, nece, gl stant d tempo per t> possamo rcaare l contrbuto alla tensone sul condensatore nel caso d ngresso nullo e stato derso da zero come ntegrale generale della seguente equazone dfferenzale: d dt (*), per t >

226 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tenendo conto che la precedente equazone ale solo per stant d tempo success all'stante t, l suo ntegrale generale sarà esprmble medante una relazone d questo tpo: (t) h (t) ke (t ) u(t ) Per troare l alore della costante k sfrutteremo la seguente condzone nzale: ( ) ( ) ( ) e a prma uguaglanza dera dal fatto che la tensone sul condensatore non presenta dscontnutà stantanee poché la corrente rmane sempre lmtata. Sluppamo n sere la seguente quanttà: e 6... D conseguenza s ottene: ( ), e qund s ha : ( k ) n defnta, l'ntegrale generale della (*) è dato da: (t) h (t) e (t ) u(t ) (6.4) oncludendo, la tensone sul condensatore, quando n ngresso è presente un mpulso d durata fnta, è data da:

227 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 t per t [, ] (t) (t ) ( 6. 4) e per t > Per rcaare la tensone sul condensatore quando n ngresso è presente un mpulso è suffcente far tendere a zero ottenendo: allora : allora : (t) (t) essendo t e entramb nfntesm del prmo ordne e t u(t) Osserando che la prma d queste due relazon corrsponde esattamente al alore che la seconda d esse assume per t s ha che: (t) e t u(t) (6.44) ntutamente, possamo mmagnare l'mpulso come costtuto da un fronte d salta e da uno d dscesa: durante l prmo s ha una arazone stantanea della tensone sul condensatore sno al alore / a cu segue, nel fronte d dscesa, l processo d scarca dello stesso condensatore douto sa alla scomparsa dell'mpulso sa alla presenza dell'elemento ressto. ) Metodo d derazone: esso consste nel calcolare la rsposta del crcuto (n questo caso la tensone sul condensatore) quando n ngresso è presente un gradno untaro; una olta calcolata tale rsposta, dcamola s(t), sarà suffcente derarla rspetto al tempo per ottenere la stessa rsposta del crcuto ma con un ngresso rappresentato da una corrente mpulsa (cò è ero se s tene presente che l'mpulso è rcaable derando rspetto al tempo l gradno e che l crcuto è lneare e tempo-narante). Allora, supponendo che l'ngresso sa un gradno, l'equazone dfferenzale assocata al crcuto è la seguente:

228 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca d dt c c u(t) (6.45) l cu ntegrale generale è del tpo: t c (t) ke u(t) s (t) 'ntegrale partcolare dee segure l'ngresso ed essendo questo costante possamo porre: S (t) A cost che sosttuta nella (6.45) dà: A u(t) (t) A S Per rcaare po l alore della costante k occorre mporre la condzone nzale e coè: ( ) k u(t) k e qund l ntegrale generale della (6.45) s scre come: (t) s(t) e t u(t) Da quanto detto, la rsposta del crcuto all'mpulso, dcamola h(t), sarà espressa come:

229 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 h(t) ds(t) e dt δ (t) e t t u(t) (6.47) l prmo addendo a secondo membro della (6.47) è nullo n quanto, per t derso da zero, s annulla l'mpulso mentre, per t, s annulla la quanttà tra parentes. n conclusone, la rsposta del crcuto all'mpulso è data da: h(t) e t u(t) (6.48) (Nota: s osser l'analoga con la relazone (6.44)). ) Metodo dell'equlbro delle funzon sngolar. 'equazone dfferenzale assocata al crcuto d fg. quando n ngresso è presente un mpulso è la seguente: d dt δ (t) (6.49) Poché l secondo membro d tale equazone dfferenzale è sempre nullo per t derso da zero, l'ntegrale generale della (6.49) concde con quello dell'equazone omogenea assocata, coè: (t) ke t u(t) (*) Per determnare l alore della costante k basta sostture la (*) nella relazone (6.49) come segue: ke k t e t u(t) ke δ (t) δ (t) t δ (t) (**) k e t u(t) δ (t)

230 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Osserando ora che l prmo membro della (**) ha alore non nullo solo per t uguale a zero (n quanto per t derso da zero l'mpulso s annulla), possamo screre la suddetta relazone come segue: kδ (t) δ (t) k e qund : (t) e t u(t) S nota che tale rsultato concde con quell determnat ne due cas precedent. S consder ora l seguente crcuto: S uole determnare l'andamento nel tempo della corrente (t). Analzzamo prma l crcuto da un punto d sta qualtato: per t< l crcuto è completamente nerte n quanto sa l'ngresso sa la tensone nzale sul condensatore sono nulle. Nell'stante t ene applcato l'mpulso d tensone: ntutamente tale mpulso può stablrs a cap del resstore o a cap del condensatore o d entramb. n realtà, è facle dmostrare che l'mpulso d tensone agsce solo a cap del resstore perché nell'stante t l condensatore contnua a comportars come un cortocrcuto: nfatt, la tensone sul condensatore può subre una arazone stantanea solo se su d esso agsce un mpulso d corrente e non d tensone come n questo caso. D'altra parte, se a cap del resstore, nell'stante t, s stablsce un mpulso d tensone questo determnerà una corrente mpulsa par a: (t)δ(t)/. Questa corrente è la stessa che scorre anche nel condensatore determnando così una arazone stantanea d tensone data da: ( ) ( ) (t)dt (t)dt δ (*)

231 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Essendo tale tensone posta, n t, le armature del condensatore saranno polarzzate come ndcato n fg. 6.4 e qund c sarà una corrente (t) che scorre n erso antoraro, coè n erso opposto alla corrente (t); allora, per t> l crcuto denta: Edentemente la corrente (t) può essere rcaata come segue (basta rsolere l'equazone dfferenzale assocata al crcuto per t>): (t) ke t u(t) l alore della costante k s rcaa mponendo la condzone nzale: ( ) ( ) ( ) k (t) e δ (t) δ (t) e qund : (t) (t) e t u(t) (*) t u(t) l prmo addendo a secondo membro della (*) rappresenta l contrbuto alla rsposta (t) a stato nullo ed ngresso derso da zero mentre l secondo addendo rappresenta l contrbuto alla rsposta (t) ad ngresso nullo e stato derso da zero (s tenga presente che quest'ultmo ale solo per t>). Vedamo ora d rcaare lo stesso rsultato per a analtca usando l metodo dell'equlbro delle funzon sngolar. Applcando la.k.t. al crcuto d fg. 6.4 s ottene: t (t) ( τ )dτ δ (t) d(t) δ '(t) (t) dt (6.5), (6.5) da cu derando s ottene :

232 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Note: nella relazone (6.5) s tenga presente che la tensone nzale sul condensatore è stata supposta nulla; nella relazone (6.5) compare, a secondo membro, la derata prma dell'mpulso che, generalmente, prende l nome d doppetto. D seguto sono ndcate le propretà che lo defnscono: ε δ '(t) t e δ '(t)dt δ (t) ε > ε Da quanto detto s deduce che l secondo membro dell'equazone (6.5) è sempre nullo per t derso da zero e, qund, l'ntegrale generale della (6.5) concde con quello dell'equazone omogenea assocata, coè: (t) ke t u(t) n realtà, la rsposta appena determnata non è completa e questo lo s deduce dal fatto che sosttuendo tale espressone nell'equazone (6.5) non è possble equlbrare l doppetto che compare a secondo membro. Quando s presentano stuazon d questo genere basta semplcemente aggungere alla rsposta dell'equazone omogenea assocata tant termn d tpo mpulso quant sono necessar per equlbrare la derata dell'mpulso (eentualmente anche d ordne superore al prmo) che compare nell'equazone dfferenzale completa. Nel caso n esame, allora, la rsposta (t) sarà scrtta come: (t) ke t u(t) Aδ (t) Per rcaare l alore delle costant k e A basta sostture la precedente espressone nell'equazone (6.5) ottenendo:

233 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ke k t e t u(t) ke δ (t) Aδ '(t) t δ (t) Aδ '(t) A δ (t) δ '(t) k e (**) t u(t) A δ (t) δ '(t) Osserando ora che l prmo addendo nel prmo membro della (**) ha alore non nullo solo per t uguale a zero (n quanto per t derso da zero l'mpulso s annulla), possamo screre la suddetta relazone come segue: A kδ (t) Aδ '(t) δ (t) δ '(t), A k k A A da cu s rcaa : n defnta, s ottene: (t) e t δ u(t) (t) (S not l'analoga con la relazone (*) alla pagna precedente). Osseramo, nfne, quanto segue: l'anals qualtata del crcuto d fg. 6.4 può essere solta anche n modo dfferente da quello seguto precedentemente e coè basandos sul cosddetto prncpo d non amplfcazone della tensone e della corrente: esso afferma che: n un crcuto dnamco lneare, eentualmente anche tempo-arante, se l'almentazone è douta solo a generator ndpendent costant o a condzon nzal non nulle sugl element conserat, allora n nessun lato del crcuto s può aere un alore d tensone o corrente superore a quello dell'almentazone. Allora, tenendo presente cò e prendendo n esame l crcuto d fg. 6.4, possamo affermare che l'mpulso d tensone n ngresso non può applcars a cap del condensa-

234 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca tore perché, n tal caso, s arebbe sul condensatore un doppetto d corrente che, a sua olta, s stablrebbe a cap del resstore orgnando un doppetto d tensone: questo, però, è n contrasto col suddetto prncpo d non amplfcazone e qund possamo concludere che l'mpulso d tensone n ngresso s applca a cap del resstore. 'anals qualtata procede po n modo analogo a quanto fatto n precedenza. 6.7 METODO GENEAE PE A DETEMNAZONE D UN MPUSO D TENSONE O D OENTE N UN UTO Da ar esemp trattat ne paragraf precedent possamo concludere che, n generale, le arabl d stato d un crcuto, ossa le tenson su condensator e le corrent sugl nduttor, possono subre arazon stantanee n t se s erfcano le seguent due condzon: nel crcuto sono present generator ndpendent con forme d'onda mpulse oppure nel crcuto stesso s orgnano corrent mpulse (sostenute da generator d tensone) o tenson mpulse (sostenute da generator d corrente). E' facle erfcare che condzone necessara affnché cò aenga è che s formno nel crcuto, a partre dall'stante t, magle costtute solo da generator d tensone e condensator o nsem d taglo costtut solo da generator d corrente ed nduttor. onsderamo a ttolo d esempo l seguente crcuto:

235 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Se s suppone che l crcuto sa n condzone d regme, possamo faclmente rcaare le condzon nzal sugl element conserat esamnando l crcuto equalente per t - : Esamnamo ora l crcuto d fg con lo scopo d stablre se può crears un mpulso d corrente: se cò fosse ero a cap d cascun nduttore s arebbe un doppetto d tensone ma questo sarebbe n contrasto col prncpo d non amplfcazone enuncato nel paragrafo precedente; - noltre, se crcolasse un mpulso d corrente, a cap d ogn resstore aremmo un mpulso d tensone e cò sarebbe ancora n contrasto col suddetto prncpo. n defnta, a fn dell'mpulso d corrente, sa gl nduttor sa resstor s comportano come crcut apert (naturalmente questo ale anche per generator ndpendent d corrente costant) mentre rmangono nalterat solo generator ndpendent d tensone ed condensator. Però, affnché tale mpulso d corrente possa scorrere nel crcuto è necessaro che condensator ed generator d tensone formno una magla: questa è, qund, condzone necessara affnché nel crcuto s form un mpulso d corrente; denta anche condzone suffcente se la somma algebrca delle tenson de generator ndpendent e delle tenson nzal su condensator è dersa da zero. n tal caso, nfatt, bsogna ammettere l'esstenza d un mpulso d corrente che facca arare stantaneamente n t le tenson nzal su condensator n modo che sa sempre soddsfatta la.k.t. applcata alla magla (ed pag. 6-7). Ad esempo, l crcuto equalente a quello d fg a fn dell'mpulso d corrente è l seguente:

236 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca che possamo così semplfcare: (Nota: due condensator n fg. a sono entramb scarch e qund s comportano come cortocrcut). Essendo la tensone s dersa da zero, s arà un mpulso d corrente sostenuto da tale tensone e dretto come mostrato n fg. b), e coè dal morsetto posto a quello negato, che farà depostare una stessa carca q sulle armature de due condensator n modo tale che: q q E E q (t)dt δ δ δ _ q E Qund : δ δ E Osserando ora l crcuto d fg. a) possamo screre: ( ) ( ) ( ) δ ( ) δ E δ E E E Sono state così rcaate le tenson nzal su due condensator nel crcuto n esame. E' possble ora solgere un dscorso duale per quanto rguarda la determnazone delle corrent nzal su due nduttor present nel crcuto. Esamnamo l crcuto d fg.6.44 con lo scopo d stablre se può crears un mpulso d tensone: se cò fosse ero a cap d cascun condensatore s arebbe un doppetto d corrente che crcolerebbe anche ne resstor determnando, a loro cap, de doppett d tensone; ma questo sarebbe n contrasto col prncpo d non amplfcazone enuncato nel paragrafo precedente. n defnta, a fn dell'mpulso d tensone, sa condensator sa resstor s comportano come cortocrcut (naturalmente questo ale anche per generator ndpendent d tensone costant) mentre rmangono nalterat solo generator nd-

237 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 pendent d corrente e gl nduttor. Però, affnché tale mpulso d tensone possa sussstere nel crcuto è necessaro che gl nduttor ed generator d corrente formno un nseme d taglo, ossa conergano n un unco nodo: questa è, qund, condzone necessara affnché nel crcuto s form un mpulso d tensone; denta anche condzone suffcente se la somma algebrca delle corrent de generator ndpendent e delle corrent nzal sugl nduttor è dersa da zero. n tal caso, nfatt, bsogna ammettere l'esstenza d un mpulso d tensone che facca arare stantaneamente n t le corrent nzal sugl nduttor n modo che sa sempre soddsfatta la.k.. applcata all'nseme d taglo. Ad esempo, l crcuto equalente a quello d fg a fn dell'mpulso d tensone è l seguente: che possamo così semplfcare: (Nota: due nduttor n fg. a sono entramb scarch e qund s comportano come crcut apert; n fg. b ess sono stat collegat a massa n quanto la tensone a nod e è la stessa). Essendo la corrente E/ dersa da zero, s arà un mpulso d tensone sostenuto da tale corrente e dretto come mostrato n fg. b) che orgnerà uno stesso flusso ϕ su due nduttor n modo tale che: E ϕ ϕ E (t)dt δ δ ϕ δ _ ϕ E Qund : δ δ E

238 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Osserando ora l crcuto d fg. a) possamo screre: ( ) ( ) ( ) δ ( ) δ E E E δ E Sono state così rcaate le corrent nzal su due nduttor nel crcuto n esame.

239 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 APTOO 7 7. ANAS DE UT OMPESS 4 7. GAF, ABE, NSEM D TAGO E MAGE FONDAMENTA 4 7. MATE D NDENZA TEOEMA D TEEGEN METODO GENEAE PE A EA DEE EQUAZON D UN UT N TEMN D VAAB D STATO 57

240 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7. ANAS DE UT OMPESS Un qualsas crcuto costtuto esclusamente da component lnear e da generator ndpendent è detto crcuto lneare. metod che ora ntrodurremo per l'anals de crcut compless o ret algono sa per crcut lnear che non lnear. Supponamo, per l momento, d consderare crcut costtut da sol bpol. E' opportuno, noltre, precsare l sgnfcato d alcun termn: per lato d un crcuto ntendamo ogn sngolo bpolo presente nel crcuto. Un nodo è nece un punto che congunge almeno due lat del crcuto: n partcolare, l grado d un nodo è l numero d lat che conergono nel nodo. Una magla è un cammno chuso d lat del crcuto che gode delle seguent propretà: suo lat deono essere attraersat una sola olta e cascun nodo ncontrato lungo l cammno dee connettere esattamente due lat del cammno chuso. o studo d un qualsas crcuto comporta la determnazone d tutte le corrent e tenson d lato: gl strument a dsposzone sono le relazon d lato, che sono equazon fra loro ndpendent ed n numero par a lat del crcuto n esame, le equazon d equlbro delle corrent, che s rcaano applcando la.k.. a nod del crcuto o a determnate superfc gaussane e le equazon d equlbro delle tenson, che s rcaano applcando la.k.t. alle magle del crcuto. Se l crcuto n esame ha b lat occorre determnare b ncognte che sono tutte le corrent e tenson d lato: serono allora b equazon n tal ncognte lnearmente ndpendent. Una metà d esse è fornta propro dalle relazon d lato; le altre b equazon anno rcercate tra quelle d equlbro delle corrent e quelle d equlbro delle tenson. Osseramo, anztutto, che le equazon rcaate applcando la.k.. e la.k.t. non tengono conto della natura de bpol che costtuscono l crcuto ma d come quest sono conness tra loro ossa, n altr termn, della topologa del crcuto. D conseguenza, agl effett dell'applcazone delle legg d Krchhoff posso pensare d sostture un generco bpolo con un segmento orentato, che chameremo semplcemente lato, compreso tra due ertc d estremtà che chameremo, ancora per semplctà, nod:

241 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 a frecca sul lato k denota l erso della corrente nel bpolo ad esso assocato mentre s conene che l nodo, nel lato k, posto dalla parte della coda della frecca corrsponde al nodo nel bpolo a tensone maggore. Se ogn elemento a due termnal è sosttuto da un segmento orentato, l'nseme d segment così ottenut, conness allo stesso modo n cu sono collegat gl element del crcuto d partenza, costtuscono l grafo orentato o, semplcemente, l dgrafo assocato al crcuto n esame. n fgura è dato un esempo d costruzone d un grafo orentato assocato a un crcuto. S not che segment orentat sono stat numerat per stablre la corrspondenza con gl element del crcuto cu s rferscono. ertc del grafo corrspondono a nod del crcuto con dentca numerazone. a cosa nteressante è che s possono applcare le legg d Krchhoff drettamente sulla base del grafo orentato. Applcando, nfatt, la.k.. a quattro nod del grafo orentato (consderando poste le corrent uscent) s ha: nodo : nodo : nodo : nodo 4 : E' possble erfcare mmedatamente che queste quattro equazon non sono fra loro ndpendent. a loro somma è, nfatt, nulla. Analogamente, applchamo la.k.t. ad alcune magle del grafo (consderando come erso d percorrenza delle magle quello oraro) e s ha: magla : magla : magla : magla : magla :

242 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Anche queste equazon non sono tutte ndpendent come s può erfcare osserando che la quarta d esse è ottenuta dalla somma delle prme tre e la qunta è combnazone delle prme due. Gl esemp consderat edenzano la necesstà d mettere a punto una procedura sstematca che consenta d conoscere quante e qual sono, tra le equazon d equlbro delle corrent e delle tenson, quelle ndpendent. sulta essere d grande auto a tale scopo l'ntroduzone d alcune nozon relate alla teora de graf orentat. Nel seguto ometteremo, per semplctà, la parola orentato e parleremo semplcemente d grafo. 7. GAF, ABE, NSEM D TAGO E MAGE FONDAMENTA S defnsce grafo un nseme d lat e nod con la propretà che cascuna estremtà d ogn lato dee termnare n un nodo. Un nodo solato è un grafo (degenere). Dato un grafo G, s defnsce sub-grafo d G ogn sottonseme d lat e nod d G dspost nello stesso modo del grafo d partenza. n partcolare, un sub-grafo può essere ottenuto rmuoendo dal grafo nzale de lat e/o de nod. S tenga presente che rmuoere un lato non sgnfca rmuoere anche nod termnal del lato stesso ma sgnfca cancellare l segmento che unsce nod, lascando nod. Per esempo, l sub-grafo d fg. b) è ottenuto rmuoendo lat, e 6 dal grafo d fg. a) : Un grafo s dce connesso se, comunque s scelga una coppa d nod, esste almeno un cammno lungo lat del grafo che congunga due nod (per conenzone un nodo solato è un grafo connesso). Se un grafo non è connesso esso sarà costtuto da almeno due part separate. noltre, un grafo connesso s drà completo se comunque s scelga un nodo questo è collegato a tutt gl altr nod del grafo medante un solo lato (oamente un grafo completo è anche connesso): un esempo d grafo completo è quello mostrato n fg. a). S defnsce albero d un grafo G connesso un sub-grafo d G che soddsf le seguent condzon: dee essere connesso; dee contenere tutt nod d G; non dee contenere magle.

243 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 Nel caso del grafo d fg. a) esemp d alber sono: lat d un albero sono dett ram mentre lat del grafo d partenza che non fanno parte dell'albero sono dett corde e formano l coalbero (nella fgura precedente le corde sono tratteggate). Nel caso n cu l grafo d partenza sa completo n esso s possono ndduare n n- alber, doe n ndca l numero d nod del grafo. Sussste l seguente: Teorema Dato un grafo connesso con n nod e b lat, ogn albero del grafo arà esattamente n- ram e qund ogn coalbero arà b-n corde. Defnzone d nseme d taglo: dato un grafo connesso, un suo nseme d taglo è un nseme d lat del grafo stesso tal che: (a) la rmozone dal grafo nzale d tutt lat dell'nseme d taglo conduce ad un subgrafo costtuto da esattamente due part separate (coè non connesso); (b) la rmozone dal grafo nzale d tutt lat dell'nseme d taglo tranne uno qualsas conduce ad un subgrafo ancora connesso. Per ndduare gl nsem d taglo s possono utlzzare le superfc gaussane: lat del grafo taglat dalla superfce una sola olta costtuscono un nseme d taglo. Se, ad esempo, consderamo nuoamente l grafo d fg. a), quello che s ottene rmuoendo lat attraersat rspettamente dalle due superfc gaussane ndcate è mostrato d seguto:

244 44 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Poché n entramb cas sono soddsfatte le condzon mposte nella defnzone data alla pagna precedente possamo concludere che gl nsem d lat {6,,5} e {6,,4,5} formano due nsem d taglo. Osseramo ancora che l'nseme d lat {6,,5,} non rappresenta un nseme d taglo perché non è soddsfatta la condzone (b) nella defnzone data: nfatt rmuoendo tutt lat dell'nseme tranne l lato non s ottene un grafo connesso. E' oo che lat che ncdono un nodo costtuscono un nseme d taglo. Basta consderare, nfatt, la gaussana che crconda l nodo. S supponga, a questo punto, d sceglere un albero arbtraro n un grafo connesso assegnato: s ndduno po gl nsem d taglo tal che ognuno d ess sa formato da corde e da un solo ramo d'albero (quest'ultmo, peraltro, dee essere caratterstco d un solo nseme d taglo, coè non dee essere contenuto negl altr nsem d taglo troat): quest sono dett nsem d taglo fondamental relat all'albero scelto. Ad esempo, per l'albero mostrato n fgura s ha: Edentemente, gl nsem d taglo fondamental relat ad un albero n un grafo connesso sono par al numero d ram dell'albero, coè n- (doe n è l numero d nod). Defnzone d magla fondamentale: dato un grafo connesso e scelto un albero, una magla fondamentale è costtuta da una sola corda del coalbero e da tant ram dell'albero quant sono necessar per completarla. Ad esempo, per l'albero mostrato n fgura s ha: (Nota: numer sottolneat ndduano le corde caratterstche della corrspondente

245 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 45 magla fondamentale). Edentemente, le magle fondamental relate ad un albero n un grafo connesso sono par al numero delle corde del coalbero, coè b-n (doe b è l numero d lat ed n è l numero d nod). Enuncamo ora seguent due teorem d noteole mportanza. Teorema Dato un crcuto a cu sa assocato un grafo connesso con n nod e b lat, l numero delle equazon d equlbro delle corrent fra loro ndpendent è par a n-. Dm.: la tes può essere asserta dmostrando queste due affermazon: ) l numero d equazon d equlbro delle corrent lnearmente ndpendent è al massmo n-; ) l numero d equazon d equlbro delle corrent lnearmente ndpendent è al mnmo n-. onsderamo, ad es., l seguente grafo connesso (l dscorso ha comunque aldtà generale): Applco la.k.. a cascun nodo del grafo ottenendo così n equazon (nel caso partcolare n4) d equlbro che esprmono de ncol tra le corrent d lato. E' facle però erfcare che tal n equazon sono fra loro dpendent: basta, nfatt, sommarle membro a membro per ottenere un'denttà del tpo:. ò s può dedurre dal fatto che, consderando una generca coppa d nod del grafo, come quella mostrata n fg. b alla pagna precedente, la corrente d lato k rsulta essere uscente dal nodo ed entrante nel nodo j: d conseguenza, nelle due equazon d Krchhoff delle corrent, una relata al nodo e l'altra relata al nodo j, tale corrente d lato comparrà con segn oppost e qund s annullerà quando le due equazon erranno sommate; consderazon analoghe algono per tutte le corrent d lato e cò conferma quanto appena detto. Tuttaa, n generale, è possble screre equazon d equlbro per le corrent consderando delle superfc gaussane che attraersano l grafo n esame: anche n questo caso, però, le equazon che s ottengono rsultano essere fra loro dpendent per l fatto che una qualsas equazone d equlbro per le corrent rcaata facendo rfermento ad una superfce gaussana s può sempre ottenere come somma delle equazon derant dall'applcazone della.k.. a nod racchus nella gaussana n esame.

246 46 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Ad esempo, per l grafo d fg. a alla pagna precedente, possamo applcare la.k.. alla superfce gaussana traccata e a nod e ottenendo: Σ : ( ) ( ) : : ( Nota : s sono scelte poste le corrent entrant ) S ossera allora che la prma delle equazon precedent è ottenble dalla somma delle ultme due n accordo con quanto appena detto. Da tutto cò s può concludere che l numero d equazon d equlbro per le corrent fra loro ndpendent è al massmo n- (perché n d queste equazon sono scuramente fra loro dpendent). a prma affermazone è così dmostrata; per dmostrare la seconda, basta osserare che, scelto un qualsas albero nel grafo n esame, ed ndduato n esso gl nsem d taglo fondamental (che sono n numero par a n-) medante opportune superfc gaussane, le equazon d equlbro per le corrent che s ottengono applcando la.k.. a tal superfc sono scuramente fra loro ndpendent (nfatt, rcordando la defnzone d nseme d taglo fondamentale, n cascuna d tal equazon d equlbro comparrà una corrente d lato, corrspondente al ramo d'albero che nddua l'nseme d taglo fondamentale n esame, che non è presente nelle altre equazon: qund, sommando tal equazon d equlbro, non s annullano tutte le corrent, come nece accadea nel caso precedente). Poché le equazon d equlbro per le corrent che s possono screre facendo rfermento agl nsem d taglo fondamental sono propro n-, possamo concludere che le equazon d equlbro per le corrent fra loro ndpendent sono al mnmo n-. a seconda affermazone è così dmostrata e qund la tes è era. l teorema appena dmostrato non solo c ndca l numero d equazon d equlbro per le corrent fra loro ndpendent che s possono screre n un qualsas crcuto ma c dà anche nformazon su come ottenerle e coè applcando la.k.. alle superfc gaussane che ndduano gl nsem d taglo fondamental relat ad un certo albero nel grafo orentato assocato al crcuto n esame. Teorema Dato un crcuto a cu sa assocato un grafo connesso con n nod e b lat, l numero delle equazon d equlbro delle tenson fra loro ndpendent è par a b-n. Dm.: la tes può essere asserta dmostrando queste due affermazon: ) l numero d equazon d equlbro delle tenson lnearmente ndpendent è al massmo b- n; ) l numero d equazon d equlbro delle tenson lnearmente ndpendent è al mnmo b- n. Damo per era la prma affermazone e erfchamo che è era anche la seconda affermazone. ò s deduce osserando che, scelto un qualsas albero nel grafo n esame, ed ndduato n esso le magle fondamental (che sono n numero par a b-n), le equazon d equlbro per le tenson che s ottengono applcando la.k.t. a tal magle sono scuramente fra loro ndpendent (nfatt, rcordando la defnzone d magla

247 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 47 fondamentale, n cascuna d tal equazon d equlbro comparrà una tensone d lato, corrspondente alla corda del coalbero che nddua la magla fondamentale n e- same, che non è presente nelle altre equazon: qund, sommando tal equazon d e- qulbro, non s annullano tutte le tenson d lato l che conferma che queste equazon sono lnearmente ndpendent). Poché le equazon d equlbro per le tenson che s possono screre facendo rfermento alle magle fondamental sono propro b-n, possamo concludere che le equazon d equlbro per le tenson fra loro ndpendent sono al mnmo b-n. a seconda affermazone è così dmostrata e qund la tes è era. l teorema appena dmostrato non solo c ndca l numero d equazon d equlbro per le tenson fra loro ndpendent che s possono screre n un qualsas crcuto ma c dà anche nformazon su come ottenerle e coè applcando la.k.t. alle magle fondamental relate ad un certo albero nel grafo orentato assocato al crcuto n esame. n conclusone, dato un qualsas crcuto con n nod e b lat e nell'potes che l grafo orentato ad esso assocato sa connesso abbamo sto che per rsolerlo occorre determnare b ncognte che sono tutte le corrent e tenson d lato: s è detto anche che per far cò è necessaro screre un sstema d b equazon lnearmente ndpendent. Ora sappamo che, una olta scelto un qualsas albero nel grafo assocato al crcuto (s not che tale scelta conene che sa dentca sa per l'applcazone della.k.. sa per l'applcazone della.k.t.) le suddette equazon fra loro ndpendent sono date da: b equazon d lato; n- equazon d equlbro per le corrent (rcaate facendo rfermento agl nsem d taglo fondamental); b-n equazon d equlbro per le tenson (rcaate facendo rfermento alle magle fondamental). Vedamo ora alcun esemp. S consder l crcuto ressto lneare mostrato n fgura: Traccamo ora l grafo orentato assocato al crcuto e, scelto un albero, ne ndduamo gl nsem d taglo fondamental e le magle fondamental come mostrato n fgura:

248 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 48 Applchamo la.k.. alle superfc gaussane che ndduano tre nsem d taglo fondamental relat all'albero scelto (sceglamo poste le corrent uscent): : : : Σ Σ Σ Applchamo ora la.k.t. alle tre magle fondamental relate all'albero scelto (seguendo ers d percorrenza ndcat): : : 4 6 : Mettendo nseme le se equazon d lato e le se equazon appena ottenute applcando la.k.. e la.k.t. s ottene un sstema d dodc equazon n dodc ncognte che rsolto fornsce tutte le tenson e corrent d lato: n questo caso l sstema è scuramente determnato, coè ammette un'unca soluzone, n accordo con quanto detto nel paragrafo 4.. onsderamo ora un crcuto ressto non lneare: (Nota: k e x sono costant assegnate). Traccamo ora l grafo orentato assocato al crcuto e, scelto un albero, ne ndduamo gl nsem d taglo fondamental e le magle fondamental come mostrato n fgura:

249 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 49 Applchamo la.k.. alle superfc gaussane che ndduano due nsem d taglo fondamental relat all'albero scelto (sceglamo poste le corrent uscent): Σ : Σ : 4 Applchamo ora la.k.t. alle due magle fondamental relate all'albero scelto (seguendo ers d percorrenza ndcat): : 4 : 4 Mettendo nseme le quattro equazon d lato e le quattro equazon appena ottenute applcando la.k.. e la.k.t. s ottene un sstema d otto equazon n otto ncognte che rsolto fornsce tutte le tenson e corrent d lato: s tenga presente, comunque, che n generale non è detto che essta la soluzone. Nel caso appena trattato, l sstema d equazon che s ottene è non lneare a causa della presenza della funzone esponenzale e può essere rsolto utlzzando l metodo d Newton-aphson. Può essere rsolto anche con l metodo della caratterstca d carco. onsderamo ora un esempo d crcuto dnamco: Supponamo sano note le condzon nzal; algono le seguent relazon d lato:

250 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca t )d ( E dt d dt d dt d τ τ Sceglamo ora un albero nel grafo orentato assocato al crcuto: Applchamo ora la.k.. alle superfc gaussane che ndduano cnque nsem d taglo fondamental relat all'albero scelto: : : : : : Σ Σ Σ Σ Σ Applchamo po la.k.t. alle tre magle fondamental ndcate: 4 : 5 6 : : Mettendo nseme le otto equazon appena rcaate con le otto relazon d lato s ottene un sstema d tpo ntegro-dfferenzale con sedc equazon n sedc ncognte (coè tutte le corrent e tenson d lato) che può essere rsolto con opportun metod numerc tra cu quello d Eulero. a rappresentazone tramte graf orentat che abbamo snora sto per crcut con element a due termnal può essere faclmente estesa anche al caso n cu sano present nel crcuto element multtermnal. ome è stato gà messo n edenza n precedenza, n un elemento a tre termnal è possble, una olta fssato un nodo d rfermento, ndduare una coppa d tenson ed una coppa d corrent fra loro ndpendent. D conseguenza, l grafo orentato assocato ad un elemento a tre termnal sarà sempre costtuto da due lat e tre nod, come mostrato n fgura, con frec-

251 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 ce entrant nel nodo comune: (Nota: l nodo è stato scelto come rfermento). n tal modo potremo contnuare a parlare d tenson e corrent d lato anche con element a tre termnal. Oamente, per un elemento a tre termnal esstono contemporaneamente tre possbl graf orentat assocat a seconda del nodo d rfermento scelto. a generalzzazone d quanto detto ad un elemento ad n termnal è banale; nfatt, l grafo orentato assocato a tale elemento arà n- lat ed n nod come mostrato n fgura (s è scelto l nodo n come rfermento), con frecce entrant nel nodo comune: Per quanto rguarda, nece, la rappresentazone medante grafo orentato d un doppo bpolo basta semplcemente generalzzare quella d un solo bpolo, come mostrato n fgura: S ossera allora che l grafo assocato ad un doppo bpolo è costtuto da quattro nod e due lat ed è derso dal grafo assocato ad un generco elemento a quattro termnal che, nece, arà, per quanto detto prma, quattro nod e tre lat (n quanto c sono tre tenson e tre corrent d lato, mentre nel doppo bpolo aremo due tenson e due corrent d lato corrspondent alle tenson e corrent d porta). S può estendere l concetto d bporta a quello d multporta; per esempo, l grafo orentato assocato ad un trplo bporta è mostrato d seguto:

252 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Osseramo ora quanto segue: l grafo orentato assocato ad un doppo bpolo consta d due lat non conness. ò comporta che le tenson e le corrent d porta sulle are coppe d termnal non sono correlate tra loro per mot d connessone (coè topologc) ma sono accoppate a causa de fenomen fsc ntern all'elemento. D conseguenza, crcut che contengono dopp bpol o, n generale, multporta, possono aere graf orentat assocat non conness. Per etare tale problema è possble collegare le due part separate del grafo tramte un lato: n tal modo non s altera nessuna tensone o corrente d lato nel crcuto orgnale. ò s può erfcare semplcemente applcando la.k.. ad una superfce gaussana che aolga una delle due part separate nel grafo n esame e che tagl l lato k d gunzone, come mostrato n fgura: Oamente, la corrente k rsulta essere uguale a zero: ma allora l lato k s comporta come un crcuto aperto l che mplca che l comportamento del resto del crcuto non ene alterato. Ma s può fare d pù: poché le tenson sono msurate tra nod, una olta scelto un nodo d rfermento per cascuna parte separata del grafo n esame, è possble saldare nseme tal nod (che saranno entramb caratterzzat da una tensone nodale nulla) ottenendo un rfermento comune. l grafo così ottenuto è detto grafo artcolato. n defnta, possamo affermare che dato un qualsas crcuto, l grafo ad esso assocato può essere rtenuto, agl effett dell'applcazone delle legg d Krchhoff, sempre connesso. n questo modo, la trattazone fatta per crcut con element bpolar rmane ancora alda. S not che se s consdera l'nseme d lat taglato dalla gaussana che crconda l nodo d artcolazone, questo nseme non costtusce un nseme d taglo.

253 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 Ad esempo, nel caso della fgura precedente s ottene l seguente grafo artcolato sceglendo nod e 5 come nod d rfermento per cascuna parte separata: A ttolo d'esempo, consderamo l seguente crcuto contenente un resstore a tre termnal d cu è nota la caratterstca espressa medante l controllo n corrente: e altre relazon d lato sono: E Per quanto detto nelle pagne precedent, l grafo orentato assocato al crcuto è l seguente: Possamo allora screre le altre equazon che nseme alle relazon d lato consentono d determnare tutte le corrent e tenson d lato:

254 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 54 : 6 : 4-5 : : : : Σ Σ Σ (Nota: per la.k.t. l erso d percorrenza delle magle fondamental è quello antoraro). 7. MATE D NDENZA S supponga che ad un certo crcuto sa assocato l seguente grafo orentato connesso: Applchamo ora la.k.. a cascuno de quattro nod con l'potes d consderare poste le corrent uscent da un nodo: - nodo 4 : - nodo : - nodo : nodo : Queste equazon possono essere poste n forma matrcale come segue: (7.) A a a matrce A a è detta matrce d ncdenza e fornsce un'nformazone globale sulla topologa del crcuto; l ettore è l ettore delle corrent. S ossera che la matrce d ncdenza ha un numero d rghe par al numero d nod nel crcuto n esame ed un numero d colonne par al numero d lat nel crcuto; s tenga, noltre, presente che essa è

255 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 55 stata scrtta con l'potes d consderare poste le corrent uscent da ogn nodo. Se l grafo è connesso, s può faclmente rcaare la matrce d'ncdenza spezonando l grafo n esame, senza coè doer screre le equazon d equlbro delle corrent applcando la.k.. ad ogn nodo del crcuto. nfatt, l generco elemento a k della matrce d ncdenza è così defnto: nodo. lato k non tocca l se l, nodo. lato k entra nel se l, nodo. lato k esce dal se l, a k a precedente regola ale nell'potes d consderare poste le corrent uscent. Da quanto è stato detto ne paragraf precedent, le rghe della matrce d ncdenza (che sono par ad n, coè al numero d nod) sono fra loro lnearmente dpendent, perché è stato dmostrato che l numero d equazon d equlbro per le corrent fra loro ndpendent è par a n- (nell'potes n cu l grafo assocato al crcuto sa connesso). D'altra parte è possble anche erfcare che, elmnando una qualsas rga nella matrce d ncdenza, le rghe rmanent saranno fra loro lnearmente ndpendent, coè la matrce che s ottene arà rango massmo. Allora se nel crcuto n esame s scegle un nodo qualunque come rfermento (coè s attrbusce ad esso una tensone nodale nulla) la matrce che s ottene elmnando dalla matrce d ncdenza la rga corrspondente al nodo scelto prende l nome d matrce d ncdenza rdotta assocata al nodo scelto come rfermento e la s ndca semplcemente con A (s rcorda che le rghe d tale matrce sono lnearmente ndpendent). Ad esempo, nel caso del grafo d fg. 7., sceglendo come rfermento l nodo 4, s ha la seguente matrce d ncdenza rdotta: (7.) A noltre, aendo scelto l nodo 4 come rfermento, possamo esprmere le tenson d lato n funzone delle tre tenson nodal come segue (s facca sempre rfermento al grafo d fg. 7. alla pagna precedente): (7.) e M e e e e e e e e e e e e (Nota: l ettore è l ettore delle tenson d lato mentre l ettore e è l ettore delle tenson nodal). onfrontando la matrce A con la matrce M s ossera che:

256 56 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca M A T, e qund la (7.) denta : T A e (7.4) (Oamente anche la matrce M, essendo la matrce trasposta d A, sarà d rango massmo). n defnta, assegnato un qualsas crcuto l cu grafo orentato sa connesso e scelto n tale crcuto un nodo d rfermento, rcaando la matrce d ncdenza rdotta corrspondente posso faclmente screre, n forma matrcale, tutte le equazon d e- qulbro per le corrent e le tenson fra loro ndpendent come segue: A T A e (*) (**) 7.4 TEOEMA D TEEGEN S consder un crcuto arbtraro a cu sa assocato un grafo orentato connesso con b lat ed n nod. S ndch po con: (,,..., ) T b un qualsas nseme d corrent d lato che soddsfno tutt ncol mpost dalla.k.. per G e con: ( T,,..., b ) un qualsas nseme d tenson d lato che soddsfno tutt ncol mpost dalla.k.t. per G. T k k Allora rsulta che: b k (7.5) Dm.: s fss nel crcuto n esame un nodo qualsas come rfermento e s costrusca la matrce d ncdenza rdotta A corrspondente. Poché, per potes, s è supposto che l ettore e l ettore sopra ndcat soddsfno entramb ncol mpost dalla.k.. e dalla.k.t. rspettamente, possamo screre (per quanto detto nel paragrafo precedente): A T A e Sfruttando queste relazon s ottene: T T T T ( A e) e (A ) (.V.D.)

257 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 57 Osserazon: s supponga che ' e '', ' e '' sano ettor, rspettamente, d corrent e tenson alutat n stant d tempo dfferent che soddsfno le potes del teorema d Tellegen con rfermento ad uno stesso grafo. Poché l suddetto teorema non mpone alcuna condzone sull'stante d tempo n cu s alutano due ettor d tensone e corrente, possamo screre: T ' ' T ' '' T '' ' T '' '' s fss un certo stante t e s msurno tutte le tenson d lato k(t) e le corrent d lato k(t), con K,,...,b. Oamente, ettor (t) e (t) soddsfano rspettamente la.k.t. e la.k.. e qund per l teorema d Tellegen s ha: b k T k k (t) (t) (t) (t) (*) Ora, poché s mpegano le drezon d rfermento assocate relate alla conenzone degl utlzzator, l prodotto k(t)* k(t) rappresenta la potenza fornta al lato k dal resto del crcuto nell'stante t consderato; n altr termn, tale prodotto rappresenta la 'rapdtà' con cu l'energa ene ceduta al lato k, nell'stante t, dal resto del crcuto. Allora la relazone (*) ndca che la somma delle potenze fornte a sngol lat del crcuto nell'stante t è nulla. Supponamo, nfne, che l crcuto abba α generator ndpendent e supponamo d numerare lat a partre da generator ndpendent. S port, ora, nella (*) a prmo membro gl addend che s rferscono a generator: α k sk (t) sk (t) b k k α (t) (t) k (**) Possamo allora affermare che la somma delle potenze fornte da generator ndpendent é uguale alla somma delle potenze entrant n tutt gl altr lat della rete. Questo ale per ogn t. Poché la (*) e la (**) sono ere per qualsas stante t, possamo concludere che la suddetta relazone esprme la conserazone dell'energa per crcut concentrat (essa è qund, n ultma anals, una conseguenza delle legg d Krchhoff). 7.5 METODO GENEAE PE A EA DEE EQUAZON D UN UT N TEMN D VAAB D STATO l metodo che ora esamneremo è aldo per qualsas crcuto ma lo applcheremo, n partcolare, a crcut lnear tempo-narant. onsderamo, a ttolo d'esempo, l seguente crcuto:

258 58 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca n generale, pass da segure per una facle rcerca delle equazon n termn d arabl d stato sono seguent:. traccare l grafo orentato assocato al crcuto n esame;. ndduare un albero cu ram corrspondano a lat nel crcuto contenent condensator; se c sono altr ram quest deono corrspondere a lat del crcuto che contengono, nell'ordne, generator ndpendent o dpendent d tensone e resstor, non deono, comunque, essere pres come ram dell'albero lat del crcuto contenent nduttor o generator ndpendent o dpendent d corrente. Un albero sffatto è detto albero propro;. scelta delle arabl d stato; 4. applcazone della.k.. alle superfc gaussane che ndduano gl nsem d taglo fondamental cu ram caratterstc corrspondono a lat nel crcuto contenent condensator 5. applcazone della.k.t. a quelle magle fondamental dentfcate da corde contenent nduttor per l completamento della scrttura delle equazon d stato. Vedamo d applcare quest pass nel caso del crcuto precedente; l grafo orentato ad esso assocato è l seguente: A fanco è ndcato l'albero propro. e arabl d stato da determnare sono le tenson

259 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 59 su due condensator e la corrente sull'nduttore, coè: (t), (t) e (t). Applco ora la.k.. alle due superfc gaussane ndcate n fgura, come presto dal passo 4): Σ : Σ : 6 4 (7.6) (7.7) l nostro scopo è quello d screre un sstema d tre equazon dfferenzal del prmo ordne n cu le ncognte sano propro le arabl d stato scelte. Posso allora screre la (7.6) come segue: d d s6 dt dt s6 (*) Abbamo così ottenuto una delle tre equazon dfferenzal che stamo cercando. Per ottenere la seconda scramo la (7.7) come segue: d d 4 dt dt 4 (7.8) Per rcaare la corrente 4 applco la.k.t. alla magla fondamentale basata sulla corda 4 che contene l resstore (l erso d percorrenza è quello antoraro): 4 5 : s5 4 4 s5 4 (7.9) Qund la (7.8) denta: d s5 d dt 4 4 dt 4 s5 4 (**) a terza equazone dfferenzale la rcao applcando la.k.t. alla magla fondamentale basata sulla corda che contene l'nduttore (erso antoraro): 5 : d dt s5 5 (* * *) d dt s5 l sstema d tre equazon dfferenzal del prmo ordne aente come ncognte le arabl d stato scelte è allora l seguente: d s5 dt 4 4 d s6 dt d s5 dt che può essere posto n forma matrcale come segue:

260 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 s6 s5 4 4 dt d dt d dt d A tale sstema anno po aggunte le condzon nzal su due condensator e sull'nduttore che abbamo supposto essere note. E' possble dmostrare che condzone necessara e suffcente affnché essta un albero propro è che non c sano magle d sol condensator o nsem d taglo d sol nduttor.

261 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 APTOO 8 8. METODO DEO SPASE TABEAU 6 8. TEOEMA D SOVAPPOSZONE PE UT NEA ESSTV TEOEMA D THEVENN TEOEMA D NOTON UTEO OSSEVAZON SU TEOEM D THEVENN E NOTON 77

262 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8. METODO DEO SPASE TABEAU S tratta d un metodo generale per la rsoluzone d un qualsas tpo d crcuto. Ecco pass da segure per l'applcazone d tale metodo:. scelta nel crcuto assegnato del nodo d rfermento (datum node);. traccamento del grafo orentato assocato al crcuto;. scrttura n forma matrcale delle equazon d equlbro delle corrent e delle tenson medante la matrce d ncdenza rdotta relata al nodo d rfermento scelto; 4. scrttura n forma matrcale delle relazon d lato. Una olta solt tal pass s perene ad un'equazone n forma matrcale, detta equazone d tableau, che rsolta medante opportun metod matematc consente d rcaare tutte le corrent d lato, le tenson d lato e le tenson nodal. Vedamo subto un e- sempo consderando un crcuto ressto lneare e tempo-narante:

263 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 l nodo scelto come rfermento è l nodo 4; l grafo orentato assocato al crcuto è mostrato d seguto: Scramo la matrce d ncdenza rdotta relata al nodo scelto come rfermento: A da cu s ottengono le due equazon equlbro per le corrent e le tenson n forma matrcale : A (*) con A T e (**) con T [,,, 4, 5 ] T [,,,, ] e e [ e, e, e ] T 4 5 d Scramo ora le relazon d lato come segue: s g 5 Nello screre tal relazon s adottano le seguent conenzon: nelle equazon relate a generator ndpendent le forme d'onda deono essere lascate a secondo membro, preferblmente con l segno ; tutte le altre equazon d lato deono essere poste n forma omogenea e nel caso d crcut dnamc s dee etare d far comparre degl ntegral o delle frazon(e' preferble). e relazon d lato sopra scrtte possono allora essere poste n forma matrcale come segue:

264 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 64 g s o, n forma pù compatta, nel seguente modo: *) * (* (t) u (t) N (t) M s S osser che nel caso appena esamnato l ettore degl ngress è stato ndcato con u s(t). Per quanto rguarda le matrc M e N esse non dpendono dal tempo solo nel caso d crcut tempo-narant, mentre per crcut tempo-arant la relazone (***) dee essere scrtta pù esattamente come segue: **) * (* (t) u (t) N(t) (t) M(t) s n defnta, abbamo ottenuto le seguent tre equazon n forma matrcale: equazone d tableau. : (8.) u(t) W(t) T u (t) (t) e(t) N M A A u N M e A A s T s T T è detta matrce d tableau ed è una matrce quadrata d ordne par a [(n-)b]. Nel caso d crcut tempo-arant l'equazone (8.) denta: (8.) u(t) T(t)W(t) 'equazone d tableau, rsolta medante opportun metod matematc, consente d ottenere tutte le corrent e tenson d lato ed anche le tenson nodal nel crcuto n esame. onsegue banalmente da quanto detto l seguente teorema noto come: Teorema d esstenza ed unctà per crcut resst lnear tempo-narant. Un crcuto ressto lneare tempo-narante ammette un'unca soluzone se, e solo se: det[t] coè la matrce d tableau è non sngolare (e qund nertble). Teorema d esstenza ed unctà per crcut resst lnear tempo-arant. Un crcuto ressto lneare tempo-arante ammette un'unca soluzone n ogn stante se, e solo se: [ ] ) T(t det per ogn t

265 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 65 coè la matrce d tableau è non sngolare (nertble) t. Vedamo ora l'applcazone del metodo d tableau per un crcuto dnamco quale quello mostrato n fgura nseme al grafo orentato ad esso assocato: l nodo scelto come rfermento è l nodo 4; la matrce d ncdenza rdotta relata a tale nodo è la seguente: [ ] [ ] [ ] T T 5 4 T T 5 4,e,e e e e,,,, con (**) e A,,,, con (*) A : matrcale n forma le tenson e le corrent per equlbro d equazon le due cu s ottengono da A e relazon d lato sono: - s - *D *D 4 5 α 5 (con D s é ndcato l'operatore d derazone rspetto al tempo). Pongo ora n forma matrcale le precedent relazon d lato (l punto sopra la arable ndca la derazone rspetto al tempo):

266 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 66 s α n forma compatta posso screre: ( ) ( ) *) (* * u N D N M D M s n defnta, abbamo ottenuto le seguent tre equazon n forma matrcale alle qual, oamente, anno aggunte le condzon nzal, che abbamo supposto note, e coè le tenson nzal de condensator e la corrente nzale dell'nduttore: ( ) ( ) u(t) W(t) T u (t) (t) e(t) N D N M M D A A u N D N M M D e A A s T s T NOTA : ne paragraf seguent saranno enuncat e dmostrat alcun teorem general su crcut resst lnear ( s rcord che un crcuto lneare ressto può contenere, oltre a resstor lnear a due termnal e generator ndpendent d tensone o corrente, qualsas resstore lneare multtermnale o multporta come, ad esempo, trasformator deal, grator e tutt quattro tp d generator plotat lnear). Tal teorem rsultano ald se, e solo se, come edremo, l crcuto n esame è unocamente rsoluble o, n altr termn, se, e solo se, la matrce d tableau T assocata al crcuto è non sngolare (coè l suo determnante dee essere non nullo). Sebbene enuncat, per semplctà, solo per crcut tempo-narant ess rmangono ald anche per crcut tempo-arant, supponendo semplcemente che tutt parametr arno nel tempo. 8. TEOEMA D SOVAPPOSZONE PE UT NEA ESSTV Sa assegnato un crcuto ressto lneare tempo-narante arbtraro che sa unocamente rsoluble, coè dee ammettere un'unca soluzone (cò è ero se la matrce d tableau assocata a tale crcuto è non sngolare) e che contenga α generator ndpendent d tensone e β generator ndpendent d corrente le cu forme d'onda sano date da: (t) (t),..., (t), e (t) (t),..., (t), s s s s s s β α

267 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 67 n queste potes, qualsas rsposta del crcuto, coè una tensone d lato o una corrente d lato o una tensone nodale, può essere espressa come segue: y (t) H j s (t) H s (t)... Hα sα (t) K s(t) K s(t)... K β sβ (t) (8.) doe coeffcent H e K sono costant che dpendono solo da parametr crcutal relat al crcuto n esame e dalla scelta della arable d'uscta, ma non dagl ngress, coè dalle forme d'onda de generator ndpendent. Osserazone: gl addend che compaono nel secondo membro della relazone (8.) sono suscettbl d questa nterpretazone: termn del tpo y k(t) H k sk (t) possono essere consderat come la rsposta del crcuto quando tutt generator ndpendent present nel crcuto sono esclus tranne quello la cu forma d'onda è sk(t); analogamente termn del tpo y k(t)k k sk (t) possono essere consderat come la rsposta del crcuto quando tutt generator ndpendent present nel crcuto sono esclus tranne quello la cu forma d'onda è sk(t). Allora la relazone (8.) afferma che la rsposta del crcuto douta a tutt generator ndpendent present nel crcuto può essere pensata come la somma d αβ contrbut ognuno de qual rappresenta la rsposta del crcuto douta a cascun generatore ndpendente agente da solo, coè con tutt gl altr generator ndpendent d tensone sosttut da cortocrcut, e tutt gl altr generator ndpendent d corrente sosttut da crcut apert. n altr termn, possamo screre: y (t) j α k y k (t) β k y k (t) α k H k sk (t) β k K k sk (t) (8.4) DM.: poché l crcuto n esame è, n partcolare, lneare e tempo-narante possamo screre per esso la seguente equazone d tableau: T*W(t)u(t) doe la matrce T è la matrce d tableau ed è una matrce quadrata reale costante d ordne par a [(n-)b]. noltre, aendo supposto, per potes, che l crcuto ammetta un'unca soluzone possamo affermare che la matrce T è non sngolare (ed l teorema d esstenza ed unctà enuncato nel paragrafo precedente) e qund esste la sua nersa. D conseguenza l'unca soluzone del crcuto è data da: w(t) T -.u(t) (*) doe l ettore u(t) può essere così schematzzato: u(t)[ s(t)... sα (t) s(t)... sβ (t)] T n- zer b zer b-α-β lat generator generator non conten. d tensone d corrente gener.ndp.

268 68 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Nella scrttura d tale ettore u(t) s è assunto, senza perdta d generaltà, che tutt generator ndpendent present nel crcuto sano ndcat per ultm, nell'ordne sopra specfcato (per maggore charezza s può fare rfermento a due crcut esamnat nel paragrafo precedente ed osserare, n partcolare, come, tra le relazon d lato, quelle che non comportano la presenza d un termne nullo nel ettore u(t) sono soltanto le relazon che s rferscono a generator ndpendent). Ora, pochè cascun componente d w(t) s ottene, come mostra la precedente relazone (*), moltplcando la corrspondente rga della matrce nersa d T con l ettore u(t), segue che cascuna rsposta del crcuto (ossa, n altr termn, cascun elemento del ettore w(t)) è data da un'espressone della forma dell'equazone (8.). noltre, essendo la matrce nersa d T una matrce costante non comprendente alcun termne relato a generator ndpendent present nel crcuto, tal rsultano anche coeffcent H k e K k. Vedamo ora alcune applcazon del teorema d sorapposzone. S consder, ad esempo, l seguente crcuto: S oglono determnare, sfruttando l teorema d sorapposzone, la corrente e la tensone a cap del resstore d resstenza. Per far cò occorre rcaare contrbut a queste due rsposte del crcuto (coè a e ) dout, rspettamente, al solo generatore d tensone ed al solo generatore d corrente. omncamo, allora, elmnando dal crcuto l generatore d tensone (ossa lo sosttuamo con un cortocrcuto), ottenendo: Posso applcare un parttore d corrente al parallelo tra e e s ottene: G J G G con : G e qund : e G G J G (*) Abbamo così ottenuto contrbut, rspettamente, alla corrente ed alla tensone dout al solo generatore d corrente. Ora escludamo dal crcuto l generatore d corrente (coè lo sosttuamo con un crcuto aperto) ottenendo:

269 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 69 Allora posso applcare un parttore d tensone alla sere tra e ottenendo quanto segue: E e qund : E (**) Abbamo così ottenuto contrbut, rspettamente, alla tensone ed alla corrente dout al solo generatore d tensone. A questo punto possamo sfruttare l teorema d sorapposzone ed ottenere: G J G G G J G E E S consder ora l seguente crcuto: S uole alutare la corrente medante l teorema d sorapposzone. Determnamo, allora, l contrbuto a tale rsposta douto al solo generatore d tensone (ossa sosttuamo l generatore d corrente con un crcuto aperto), ottenendo:

270 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Anztutto s ha: (8.5), essendo :. Applcando po la.k.t. al cammno chuso ndcato n fgura s ha: r m r m e qund dalla(): E E r m r m (8.7) E E r m (8.6) Dobbamo ora determnare l contrbuto alla corrente douto al solo generatore d corrente e qund escludamo dal crcuto l generatore d tensone sosttuendolo con un cortocrcuto ed ottenendo: Applcando la.k.. al nodo A s ottene: J (8.8) Applcando po la.k.t. al cammno chuso ndcato n fgura s ha:

271 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 nfne, sosttuendo la (8.9) nella (8.8) s ha r m r m rm J J r m r m J r rm r J rm m : m rmj r (8.) m (8.9) n defnta, possamo screre la corrente come combnazone lneare degl ngress present nel crcuto nel seguente modo: rm rm E J rm r m (8.) (Nota: ne due esemp appena trattat s è supposto mplctamente che fosse soddsfatta l'potes presta dal teorema d sorapposzone e coè che sa unca la soluzone del crcuto: n generale, bsognerebbe erfcare cò calcolando l determnante della matrce d tableau assocata al crcuto n esame e constatando che sa derso da zero). 8. TEOEMA D THEVENN Sa assegnato un crcuto accessble da due morsett (monoporta) ressto lneare tempo-narante che sa anche ben defnto ntendendo con cò che tale crcuto non dee contenere alcun elemento accoppato, elettrcamente o non elettrcamente, con qualche arable fsca esterna al crcuto n esame (al massmo possono dpendere dalle arabl d porta). noltre, s supponga che sa soddsfatta la seguente condzone d unctà della soluzone: l crcuto che s ottene collegando un generatore d corrente con forma d'onda (t) alla porta del crcuto nzale dee ammettere un'unca soluzone per ogn alore d corrente (t). n tal potes, s ha che l crcuto monoporta assegnato è equalente al seguente crcuto mostrato n fgura: TH resstenza equalente d Theenn rappresenta la resstenza d ngresso del crcuto nzale passato, coè dopo che sano esclus tutt generator ndpendent present nel crcuto. V TH tensone alla porta quando essa è posta n crcuto aperto.

272 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (Nota: escludere generator ndpendent sgnfca sostture generator d tensone con cortocrcut e quell d corrente con crcut apert). Prma d dmostrare l teorema osseramo quanto segue:. l'mportanza fondamentale del teorema appena enuncato (e d quello che edremo nel paragrafo successo) sta nel fatto che esso consente d sostture qualsas parte d una rete che sa assmlable ad un monoporta ressto lneare con due sol element crcutal, senza nfluenzare la soluzone della restante parte del crcuto; e' mportante notare che la restante parte del crcuto può anche essere non lneare e che le due part del crcuto abbano una porta n comune.. dall'enuncato del teorema s deduce che l'equalente d Theenn d un certo crcuto monoporta lneare ressto tempo-narante esste se, e solo se, è soddsfatta la condzone d unctà della soluzone sopra esposta. n generale, occorrerebbe, qund, erfcare che la matrce d tableau del crcuto che s ottene collegando un generatore d corrente (t) alla porta del crcuto assegnato sa non sngolare, e questo dee rsultare per ogn alore d corrente (t). Poché tale erfca può essere molto laborosa è preferble stablre l'effetta esstenza dell'equalente d Theenn del crcuto n esame calcolando l alore della resstenza equalente d Theenn, coè TH. nfatt se l alore d tale resstenza è fnto scuramente esste l'equalente d Theenn del crcuto assegnato; n partcolare, nel caso lmte n cu TH allora l'equalente d Theenn concde col solo generatore d tensone V TH (ed fg. a) che, comunque, è sempre plotable n corrente. Se nece TH assume un alore nfnto allora non esste l'equalente d Theenn del crcuto n esame (dalla fg. b s ossera che collegando alla porta un generatore d corrente con forma d'onda (t) errebbe olata la.k.. per ogn alore d corrente): DM.: occorre dmostrare che due crcut rappresentat nella fgura seguente sono e- qualent:

273 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 Per far cò erfcheremo che hanno la stessa caratterstca d'ngresso o D.P.. Per l secondo crcuto mostrato n fg. 8. la D.P.. s rcaa faclmente ed è data da: (t) TH (t) TH (*) l prmo crcuto mostrato n fg. 8. rappresenta, nece, l crcuto assegnato che, per potes, dee essere ressto, lneare, tempo-narante e ben defnto: n partcolare, per la prma affermazone, esso potrà contenere, oltre che ad element resst lnear a due o pù termnal, anche generator ndpendent d tensone e corrente. Allora ndcheremo con α l numero d generator ndpendent d tensone e con β l numero d generator ndpendent d corrente present nel crcuto, come mostrato n fg.. Suppongo ora d collegare alla porta del crcuto n esame un generatore d corrente con forma d'onda (t), ottenendo l seguente crcuto: Poché sono soddsfatte tutte le potes del teorema d sorapposzone posso esprmere la rsposta (t) del crcuto n fg. 8. (coè la tensone a morsett -) come combnazone lneare degl ngress present nel crcuto, ossa: (t) K (t) K k sk(t) H Nota : mentre sk sk β k k (t) è la forma d'onda del α k sk (t) (8.) generatore d tensone k - esmo (t) è la forma d'onda del generatore d corrente k - esmo. Supponamo ora che: (t), per ogn t (condzone d crcuto aperto a morsett -). Dalla (8.) segue dunque:

274 74 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ' (t) TH β k K k sk (t) α k H k sk (t) (8.) Per rcaare, nece, l contrbuto alla tensone (t) douto al solo generatore d corrente con forma d'onda (t) occorre passare l crcuto nzale sosttuendo generator d tensone n esso present con de cortocrcut ed generator d corrente con de crcut apert; allora, dalla (8.), s ottene: (t) K (t) (t) da cu segue K (t) TH (8.4) (per come é stata defnta la resstenza d Theenn). Sosttuendo allora la (8.) e la (8.4) nella relazone (8.) s ottene: (t) TH (t) TH (**) D conseguenza, confrontando la (*) con la (**), possamo concludere che due crcut d fg. 8. alla pagna precedente hanno la stessa D.P.. e qund l teorema è dmostrato. 8.4 TEOEMA D NOTON Sa assegnato un crcuto monoporta ressto lneare tempo-narante che sa anche ben defnto ntendendo con cò che tale crcuto non dee contenere alcun elemento accoppato, elettrcamente o non elettrcamente, con qualche arable fsca esterna al crcuto n esame (al massmo possono rferrs alle arabl d porta). noltre, s supponga che sa soddsfatta la seguente condzone d unctà della soluzone: l crcuto che s ottene collegando un generatore d tensone con forma d'onda (t) alla porta del crcuto nzale dee ammettere un'unca soluzone per ogn alore d tensone (t). n tal potes, s ha che l crcuto monoporta assegnato è equalente al seguente crcuto mostrato n fgura: G N conduttanza equalente d Norton rappresenta la conduttanza d ngresso del crcuto nzale passato, coè dopo che sano esclus tutt generator ndpendent

275 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 75 present nel crcuto. N corrente d porta dretta dal morsetto al morsetto nel crcuto nzale quando quest due morsett engono post n cortocrcuto. (Nota: escludere generator ndpendent sgnfca sostture generator d tensone con cortocrcut e quell d corrente con crcut apert). Prma d dmostrare l teorema osseramo quanto segue: Osserazone: dall'enuncato s deduce che l'equalente d Norton d un certo crcuto monoporta lneare ressto tempo-narante esste se, e solo se, è soddsfatta la condzone d unctà della soluzone sopra esposta. n generale, occorrerebbe, qund, erfcare che la matrce d tableau del crcuto che s ottene collegando un generatore d tensone (t) alla porta del crcuto assegnato sa non sngolare, e questo dee rsultare per ogn alore d tensone (t). Poché tale erfca può essere molto laborosa è preferble stablre l'effetta esstenza dell'equalente d Norton del crcuto n esame calcolando l alore della conduttanza equalente d Norton, coè G N. nfatt se l alore d tale conduttanza è fnto scuramente esste l'equalente d Norton del crcuto assegnato; n partcolare, nel caso lmte n cu G N allora l'equalente d Norton concde col solo generatore d corrente (ed fg. a) che è, comunque, sempre plotable n tensone. Se nece G N assume un alore nfnto allora non esste l'equalente d Norton del crcuto n esame (dalla fg. b s ossera che collegando alla porta un generatore d tensone con forma d'onda (t) errebbe olata la.k.t. per ogn alore d tensone): DM.: occorre dmostrare che due crcut rappresentat nella fgura seguente sono e- qualent: Per far cò erfcheremo che hanno la stessa caratterstca d'ngresso o D.P.. Per l secondo crcuto mostrato n fg. 8.5 la D.P.. s rcaa faclmente ed è data da:

276 76 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (t) G N (t) N (*) l prmo crcuto mostrato n fg. 8.5 rappresenta, nece, l crcuto assegnato che, per potes, dee essere ressto, lneare, tempo-narante e ben defnto: n partcolare, per la prma affermazone, esso potrà contenere, oltre che ad element resst lnear a due o pù termnal, anche generator ndpendent d tensone e corrente. Allora ndcheremo con α l numero d generator ndpendent d tensone e con β l numero d generator ndpendent d corrente present nel crcuto, come mostrato n fg Suppongo ora d collegare alla porta del crcuto n esame un generatore d tensone con forma d'onda (t), ottenendo l seguente crcuto: Poché sono soddsfatte tutte le potes del teorema d sorapposzone posso esprmere la rsposta (t) del crcuto n fg. 8.6 (coè la corrente entrante nel morsetto ) come combnazone lneare degl ngress present nel crcuto, ossa: (t) H (t) Nota : mentre β α K k sk(t) k k sk H (t) è la forma d'onda del sk k sk (t) (8.5) generatore d tensone k - esmo (t) è la forma d'onda del generatore d corrente k - esmo. Supponamo ora che: (t), per ogn t (condzone d cortocrcuto a morsett -). Dalla (8.5) segue dunque: β (t) K (t) H (t) (8.6) N k k sk α k k sk Per rcaare, nece, l contrbuto alla corrente (t) douto al solo generatore d tensone con forma d'onda (t) occorre passare l crcuto nzale sosttuendo generator d tensone n esso present con de cortocrcut ed generator d corrente con de crcut apert; allora, dalla (8.5), s ottene: (t) (t) H (t) da cu segue: H G N (8.7) (t) (per come è stata defnta la conduttanza d Norton). Sosttuendo allora la (8.6) e la (8.7) nella relazone (8.5) s ottene:

277 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 77 (t) G N (t) N (**) D conseguenza, confrontando la (*) con la (**), possamo concludere che due crcut d fg.4 alla pagna precedente hanno la stessa D.P.. e qund l teorema è dmostrato. 8.5 UTEO OSSEVAZON SU TEOEM D THEVENN E NOTON Per quanto detto ne due paragraf precedent, un generco crcuto lneare ressto tempo-narante soddsfacente le potes preste, rspettamente, dal teorema d Theenn e Norton ammette seguent due crcut equalent come mostrato n fgura: E' possble ndduare delle relazon tra parametr caratterstc del crcuto equalente d Theenn e quell del crcuto equalente d Norton. nfatt dal crcuto d fg. b) s ha: (t) G N (t) N (*) Mentre dal crcuto d fg. c) possamo screre: (t) (t) TH TH (t) (t) TH TH TH, (t) che possamo screre come : TH (t) TH TH onfrontando quest'ultma relazone con la (*) ed mponendo la loro uguaglanza (nfatt, essendo crcut equalent tra loro deono aere la stessa D.P..), s ottene: (**) G (8.8) N N TH e TH TH (8.9) Da cò possamo concludere, tenendo presente quanto detto nel paragrafo precedente, che condzone necessara e suffcente affnché esstano entramb crcut equalent d Theenn e Norton è che la resstenza d Theenn oppure, analogamente, la conduttanza d Norton, abbano alore fnto e derso da zero; se, nece, la resstenza d Theenn fosse uguale a zero essterebbe l crcuto equalente d Theenn (costtuto dal solo generatore d tensone) ma non essterebbe l crcuto equalente d Norton

278 78 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (nfatt la conduttanza d Norton sarebbe nfnta); n modo smle, se la conduttanza d Norton fosse nulla essterebbe l crcuto equalente d Norton (costtuto dal solo generatore d corrente) ma non essterebbe l crcuto equalente d Theenn (nfatt, la resstenza d Theenn sarebbe nfnta). Vedamo ora alcun esemp (s suppone sano erfcate le potes preste da teorem d Theenn e Norton). S consder l seguente crcuto: Voglamo calcolare l'equalente d Theenn e l'equalente d Norton. Per calcolare la tensone equalente d Theenn dobbamo consderare l crcuto a uoto, coè porre: (t). n tal caso due resstor sono collegat n sere e posso, dunque, applcare un parttore d tensone come segue: TH (t) (t) (t) E Per calcolare, nece, la resstenza equalente d Theenn è suffcente consderare lo stesso crcuto ma passato, coè sosttuendo l generatore d tensone con un cortocrcuto come segue: Osserando che due resstor sono collegat n parallelo ottengo: G TH (t) (t) e qund : crcuto passo TH TH G G Per quanto rguarda, nece, l crcuto equalente d Norton, facendo sempre rfermento al crcuto d fg. 8.8, s rcaa:

279 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 79 G N (t) (t) crcuto passo G G Possamo po calcolare la corrente equalente d Norton cortocrcutando morsett e nel crcuto d fg. 8.7 come segue: S ha allora:.k.t. : E E E, da cu : N E onsderamo ora l seguente crcuto d cu s uole determnare l'equalente d Theenn: omncamo col alutare la resstenza equalente d Theenn; per far cò occorre passare l crcuto sosttuendo l generatore d tensone con un cortocrcuto:

280 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Possamo screre: TH (t) (t) crcuto passo Valgono, noltre, le seguent relazon : (t) (t) µ (t) (t) (t) µ (t) (t) (t) (t) µ (t) ( µ ) (t) (t) Sosttuendo la (8.) nella (8.) s ha : TH (*) (t) (t) crcuto passo (8.) (8.) Per calcolare, nfne, la tensone equalente d Theenn occorre consderare l crcuto nzale d fg. 8. a uoto, coè con: (t). n tal caso algono le seguent relazon: (t).k.t. : E qund : µ (t) TH E (t) (t) µ E µ (t) E µ µ ome ultmo esempo, s consder l seguente crcuto: Applcando la.k.. al nodo A s ottene: (*) Mentre, applcando la.k.t. alla magla ndcata s ha: (**) D conseguenza, la caratterstca d'ngresso d tale bpolo è costtuta da un solo punto, coè l'orgne degl ass nel pano -. Questo bpolo prende l nome d cortocrcuto rtuale e caratterzza la porta d'ngresso d un amplfcatore operazonale. Poché la caratterstca d'ngresso per bpol equalent d Theenn e Norton è costtuta da una

281 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 lnea retta, ne consegue che l'annullatore non ammette né l bpolo equalente d Theenn nè quello d Norton. nfatt, per tale bpolo, sono olate n entramb cas le condzon d unctà della soluzone preste, rspettamente, da teorem d Theenn e Norton. S osser che l'annullatore può essere plotato uncamente da un generatore d tensone da [V] o da un generatore d corrente da [A]. 8.5 TEOEMA D SOVAPPOSZONE PE UT DNAM NEA Sa assegnato un generco crcuto dnamco lneare,tempo-narante, che sa unocamente rsoluble, coè che ammetta un'unca soluzone. S supponga che n esso sano present, a partre dall'stante t, α generator ndpendent d tensone e β generator ndpendent d corrente le cu forme d'onda sano date, rspettamente, da: (t), (t),..., (t) s s sα e (t), (t),..., (t) s s sβ ndcata con y(t) una generca rsposta del crcuto (coè una corrente o tensone d lato od una tensone nodale) e nell'potes che sano nulle tutte le condzon nzal, s ha che tale rsposta può essere scrtta come somma d αβ termn ognuno de qual rappresenta l contrbuto alla rsposta y(t) douto ad ogn sngolo generatore ndpendente agente da solo nel crcuto, coè dopo che sano stat azzerat tutt gl altr generator ndpendent (oero, generator d tensone sosttut con cortocrcut ed generator d corrente sosttut con crcut apert): y(t) α k y k (t) β k y k (t) (*) doe: y k(t) rappresenta la rsposta del crcuto con condzon nzal nulle, osserata all'stante t, quando tutt generator ndpendent, tranne quello con forma d'onda sk(t), sono azzerat; y h(t) rappresenta la rsposta del crcuto con condzon nzal nulle, osserata all'stante t, quando tutt generator ndpendent, tranne quello con forma d'onda sk(t), sono azzerat. OOAO: nelle stesse potes del teorema precedente, supponendo però che le condzon nzal sano derse da zero, una qualsas rsposta y(t) del crcuto può essere scrtta come: y(t) y (t) y g(t)

282 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca doe: y g(t) rappresenta la rsposta del crcuto con condzon nzal nulle, osserata all'stante t, douta a sol generator ndpendent present nel crcuto; y (t) rappresenta la rsposta del crcuto douta alla sola presenza delle condzon nzal (escludendo, coè, tutt generator ndpendent). Tale corollaro è faclmente dmostrable se s tene presente che una condzone nzale non nulla su un condensatore equale ad un generatore d tensone n sere allo stesso condensatore ma scarco (coè con tensone nzale nulla) così come una condzone - nzale non nulla su un nduttore equale ad un generatore d corrente n parallelo allo stesso nduttore ma scarco, coè con corrente nzale nulla.

283 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 APTOO 9 9. UT N EGME SNUSODAE: GENEATÀ NOMENATUA DEE GANDEZZE SNUSODA NUME OMPESS APPESENTAZONE DEE GANDEZZE SNUSODA MEDANTE NUME OMPESS. ONETTO D FASOE METODO DE FASO O METODO SMBOO APPAZONE DE METODO DE FASO. MPEDENZA E AMMETTENZA D UN UTO EQUAZON D KHHOFF N TEMN D FASO 9.8 APPAZONE DE METODO SMBOO A UT EEMENTA 4 9. TEOEMA D BOUHEOT (ADDTVTÀ DEE POTENZE)

284 84 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9. FASAMENTO 5 9. SONANZA ED ANTSONANZA 9 9. APPAZONE DE METODO DE FASO A UT OMPESS TEOEM D THEVENN E NOTON PE UT N EGME SNUSODAE ENN SUG STUMENT D MSUA EETTODNAM UT N EGME SNUSODAE: GENEATÀ Nell'anals de crcut dnamc lnear tempo-narant con ngress lmtat è stato e- denzato come una qualsas rsposta del crcuto, coè una corrente o tensone d lato, può essere espressa, n generale, come somma d due termn nel seguente modo: y(t) y h (t) y (t) s (*)

285 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 85 doe l prmo addendo a secondo membro rappresenta l'ntegrale generale dell'equazone dfferenzale omogenea assocata all'equazone dfferenzale che goerna la dnamca del crcuto n esame, mentre l secondo addendo ne rappresenta un ntegrale partcolare; è stato anche detto che se l crcuto è lneare e tempo-narante l'ntegrale partcolare ha un andamento dello stesso tpo dell'ngresso, o degl ngress se sono pù d uno e tutt dello stesso tpo. Nel caso n cu l crcuto doesse rsultare anche asntotcamente stable allora ogn rsposta del crcuto, a regme (coè una olta esaurta la fase transtora), tende a segure l'ntegrale partcolare assumendo qund lo stesso andamento nel tempo degl ngress present nel crcuto: n queste potes, ha senso defnre y h(t) come rsposta transtora del crcuto e y s(t) come rsposta a regme. onsdereremo d'ora n aant per questo captolo solo crcut dnamc lnear temponarant ed asntotcamente stabl; per ess s possono dstnguere quattro tp d regme ntendendo con questo termne la fase successa a quella transtora: regme stazonaro: tutte le corrent e tenson d lato sono costant nel tempo (s erfca se gl ngress sono costant); regme snusodale: tutte le corrent e tenson d lato hanno un andamento nel tempo snusodale ed sofrequenzale con l'ngresso (se c sono pù ngress snusodal, quest deono aere tutt la stessa frequenza angolare); regme perodco: tutte le corrent e tenson d lato hanno un andamento perodco con lo stesso perodo dell'ngresso (se c sono pù ngress, quest deono aere tutt lo stesso perodo):y(t)y(tnt), doe T è l perodo ed n è un numero ntero; regme arable: quando non s erfca una delle precedent condzon d regme (ad esempo, nel caso n cu s abbano ngress d tpo snusodale ma con derse pulsazon). Ne paragraf success sarà affrontato lo studo de sol crcut n regme snusodale: tale scelta è stata dettata, oltre che dalla noteole frequenza con cu è possble ncontrare questo tpo d crcut nelle are applcazon pratche, anche dal fatto che l'anals d un crcuto n regme stazonaro o perodco (e talolta anche arable) può essere sempre rcondotta all'anals d un crcuto n regme snusodale. nfatt, nel prmo caso, un crcuto n regme stazonaro può sempre essere consderato come un crcuto n regme snusodale con ngress aent tutt frequenza angolare nulla; nel caso, nece, d un crcuto n regme perodco c s può rcondurre ad un regme snusodale utlzzando l prncpo d sorapposzone. A ttolo d'esempo, supponamo che l crcuto abba un solo ngresso d tpo perodco d perodo T e che questo soddsf le seguent condzon (d Drchlet):. l'ngresso x(t) dee aere un numero fnto d dscontnutà n un perodo;. dee essere una funzone monotona ne tratt d contnutà;. l alor medo dell'ngresso n un perodo dee essere fnto, coè è sempre possble troare un numero M posto tale che:

286 86 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca x t T x(t)dt T t < M n tal potes, l'ngresso s può espandere n sere d Fourer nel seguente modo: π x(t) x xcos( ω t ϕ ) xcos(ωt ϕ ) x cos(ωt ϕ )... con ω T doe x è l alore medo nel perodo, l secondo addendo prende l nome d armonca fondamentale e rmanent prendono l nome d armonche superor. A questo punto è suffcente calcolare le rsposte del crcuto a sngol ngress rappresentat dalle armonche che compaono a secondo membro della precedente espressone (che come s può osserare sono funzon snusodal tranne la prma che è costante) e rcaare la rsposta fnale del crcuto all'ngresso perodco come somma delle suddette rsposte secondo quanto presto dal teorema d sorapposzone. Prma d ntraprendere lo studo de crcut n regme snusodale seguono alcun paragraf ntrodutt e d replogo d alcune defnzon e concett utl relat a numer compless e alle grandezze snusodal. 9. NOMENATUA DEE GANDEZZE SNUSODA S dce che una generca grandezza y(t) ha un andamento perodco nel tempo se rsulta: y(t)y(tnt), doe T è l perodo ed n è un numero ntero; una grandezza perodca s dce po alternata se l suo alor medo n un perodo è nullo, coè: y t T y(t)dt T t n partcolare, sono forme d'onda perodche alternate le funzon snusodal esprmbl medante una relazone del tpo: y(t) y Mcos( ω t α ) Per una grandezza perodca alternata s defnsce alor medo n un semperodo rferto

287 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 87 alla semonda posta la quanttà: Y m T T t t y(t)dt (9.) Nel caso d una funzone snusodale con fase nulla (α) s ha: Y T T 5 t t T 4 M M m 4y y y(t)dt ymcos( t)dt ymcos( t)dt,66ym T T ω T ω t t ωt π T 4 Nota. Per rcaare l alore d t s é mposto che: π πt cos( ωt ) t ω 4π T 4 s rcord che s fa rfermento alla semonda posta (n modo da ottenere un alore derso da zero) come mostrato nella seguente fgura: S defnsce, noltre, alor effcace d una grandezza perodca alternata y(t) la quanttà:

288 88 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca t T t Y y (t)dt (**) T, doe l stante t è del tutto arbtraro data la supposta perodctà d y(t) e qund d y (t). a suddetta defnzone ale, n partcolare, anche per le grandezze snusodal. n tal caso, rsulta anztutto, per le formule d bsezone: M y (t) y ym ym cos ( ω t α) cos( ωt α) (9.) S ossera, allora, che l alor medo n un perodo del secondo addendo della (9.) è nullo trattandos d una funzone snusodale con pulsazone doppa rspetto a quella assegnata e qund sosttuendo la (9.) nella (**) s ottene: Y T t T t y M dt y M Y y M,77 y M (9.) S defnsce, nfne, fattore d forma l rapporto tra l alore effcace e l alor medo n un semperodo rferto alla semonda posta d una grandezza perodca alternata. Nel caso delle grandezze snusodal ale: K Y Y f m. (9.4) Tale alore è dstnto delle grandezze snusodal. 9. NUME OMPESS

289 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 89 Saranno ora rpres alcun utl concett relat a numer compless. Esstono derse rappresentazon per un numero complesso z. Nella notazone cartesana o rettangolare esso ene espresso come: z x jy,doe x è detta parte reale d z e s ndca con e(z), y è detta parte mmagnara d z e s ndca con m(z), mentre j è l'untà mmagnara. Tale notazone è detta cartesana n quanto suggersce d assocare al numero complesso z l punto d coordnate (x,y) nel pano complesso: a notazone trgonometrca d un numero complesso z s rcaa dalla precedente osserando che: x ρcosθ z x jy ρcosθ jρsenθ ρ(cosθ jsenθ ) y ρsenθ Nota : ρ x θ arctg y è detto modulo d z (9.5) y è detto argomento d z (s rcord d consderare y e x col loro segno). x cordando po, dalla formula d Eulero, che: e jθ z ρe cosθ jsenθ, s ha sosttuendo nella(9.5): jθ (9.6), che è detta notazone polare o, semplcemente, esponenzale. (Nota: sa nella rappresentazone polare che n quella trgonometrca l'argomento dee essere espresso n radant). Ancora pù compatta è la notazone d Stenmetz : z ρ θ

290 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca che rporta soltanto l modulo e l'argomento d z (quest'ultmo dee essere espresso n grad). Quest'ultma notazone s presta bene ogn olta che bsogna esegure prodott e rapport d numer compless. Ad esempo: Dat : z z ρ θ z z ρρ θ θ ρ θ e z z ρ θ θ ρ A ttolo d'esempo engono ora rportate le rappresentazon d alcun numer compless: z j e π j z j z j 9 e π j 4 e z j e π j 45 z j j π 4 5 z j 9 e π j 4 e 45 j π 4 5 Dmostramo, nfne, una propretà che sarà utlzzata n seguto secondo la quale, assegnato un numero complesso z, rsulta che: e[ jz ]-m[ z ] (9.7) nfatt, posto z x jy s ottene: jz jx j y jz y jx, da cu segue la (9.7). 9.4 APPESENTAZONE DEE GANDEZZE SNUSODA MEDANTE

291 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 NUME OMPESS. ONETTO D FASOE cordando dall'anals la nota formula d Eulero per la quale: e jx cosx jsenx, possamo screre n generale : cosx e e jx [ ] Allora una qualsas grandezza snusodale può essere posta nella forma: y(t) y y(t) e Y Ye M jα cos( ωt α) y M jα jωt jωt [ Ye e ] e[ Ye ] Y α e (9.9) j( ωt α ) j( ωt α ) [ e ] e[ y e ] M (9.8), doe s è posto : l numero complesso defnto dalla (9.9) prende l nome d fasore assocato alla funzone snusodale y(t) e, come s ossera, ha l modulo par al alore effcace d y(t) e l'argomento par alla fase della funzone y(t). Da quanto detto s deduce che l fasore è l'elemento che dstngue una generca grandezza snusodale da tutte le altre aent la stessa pulsazone ω. Possamo dunque affermare, e lo dmostreremo n seguto, che n un nseme d grandezze snusodal sofrequenzal (nella generca pulsazone ω) esste una corrspondenza bunoca tra ogn elemento dell'nseme, coè una funzone snusodale, e l corrspondente fasore defnto dalla (9.9): y(t) Y noltre, tenendo presente che derando rspetto al tempo, un numero qualsas d olte, una funzone snusodale s ottengono ancora funzon snusodal sofrequenzal con quella d partenza, s conclude che le derate successe d una grandezza snusodale possono essere rappresentate anch'esse con fasor la cu determnazone è abbastanza mmedata. Osseramo, nfne, che un fasore, così come un qualsas altro numero complesso, può essere rappresentato nel pano d Gauss medante un ettore, come mostrato n fgura:

292 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S not che l'asse reale funge da rfermento per le fas. Enuncamo ora, e dmostramo, seguent tre lemm: emma (neartà) 'operatore parte reale e(.) è lneare. Per dmostrare cò basta erfcare che tale operatore soddsfa le propretà d addttà ed omogenetà, ossa: z x jy e posto, s dee aere : z x jy e ( Nota : a è un numero reale qualsas ). a (*) s dmostra banalmente come segue: [ z z ] e[ z] e[ z ] [ az ] ae[ z ] (**) (*) e [ z z ] e[ ( x jy ) ( x jy )] e[ ( x x ) j( y y )] x x e[ z ] e[ z ] (.V.D.) n manera analoga s dmostra la (**): [ az ] e[ a( x jy )] e[ ax jay ] ax ae[ z ] (.V.D.) e

293 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 emma (ommutattà) 'operatore parte reale e[.] è commutato rspetto all'operazone d derazone nel tempo. n partcolare, assegnata una certa funzone snusodale y(t) posta nella forma: jωt e[ Ye ] y M cos( ωt α ) jωt [ ] d jωt ( ) Ye e Ye y ( t ) dee rsultare : d dt e dt É facle erfcare questa propretà. nfatt, d jωt d e Ye M M dt dt jα jωt jπ / jα jωt e Y ωe e e e jω Ye e ( y cos( ωt α) ) ωy ( sen( ωt α) ) ωy cos( ωt α ( π / ) ) e M jωt jωye d e dt jωt Ye Osseramo ora che: y d e dt jωt d jωt jωt [ Ye ] e ( Ye ) e[ jωye ] (t) dt coè la derata prma d y(t) è ancora una grandezza snusodale rappresentata dal fasore jωy. n pratca l fasore rappresentato d y' s ottene moltplcando per jω l fasore rappresentato d y(t). E' facle dmostrare che l fasore rappresentato d y'' s otterrà moltplcando per jω l fasore rappresentato d y'. oè derare, nell'ambto de fasor, equale a moltplcare per jω. Aremo percò: y(t) Y y (t) jωy y (t) (jω) Y ω Y y (t) (jω) Y jω Y

294 94 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca e così d seguto. E' facle dmostrare che ntegrare, nell'ambto de fasor, equale a ddere per jω. emma (Unctà) Due funzon snusodal sofrequenzal sono ugual se, e solo se, sono ugual fasor che le rappresentano. coè posto: y y ( t ) e ( t ) e jωt [ Y e ] s ha : y ( t ) y ( t ), t Y Y jωt [ Y e ] dm. ) y e [ Y ] e[ Y ] e[ Y ] e[ Y ] e[ Y ] e[ Y ] Mentre per t e ( t ) y ( t ), t. π s ottene : e ω n partcolare per t s ha : e [ jy ] e[ jy ] m[ Y ] m[ Y ] m[ Y ] m[ Y ](**) Y e π j Y e π j (*) Dalla (*) e (**) s deduce che due fasor sono ugual aendo la stessa parte reale e la stessa parte mmagnara. dm. ) e Y Y Y e jωt Y e jωt jωt jωt [ Y e ] e[ Y e ] y ( t ) y ( t ) Possamo ora enuncare l cosddetto teorema prncpale che è un'oa conseguenza de tre lemm appena st.

295 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 95 Teorema prncpale Una funzone ottenuta come combnazone lneare d funzon snusodal sofrequenzal (eentualmente, comprendente anche le loro derate) è ancora una funzone snusodale sofrequenzale con quelle d partenza. Ad esempo, posto: x( t) s( t) e jωt jωt jωt e[ Xe ] y( t) e[ Ye ] z( t) e[ Ze ], s ha : jωt jωt jωt x( t) y( t) z' ( t) e[ Xe ] e[ Ye ] e[ jωze ] jωt [ ( X Y jωz ) e ], da cu segue che s(t) e' una funzone d frequenza ω rappresent ata dal fasore S X Y jωz snusodal e 9.5 l metodo de fasor o metodo smbolco tornamo ora all'argomento prncpale d questo captolo e coè lo studo de crcut n regme snusodale. prendendo quanto detto nel prmo paragrafo, nell'potes d lneartà, tempo-naranza ed asntotca stabltà del crcuto n esame e nell'potes che le sorgent present nel crcuto sano snusodal ed sofrequenzal tra loro, s può rtenere che, a regme, tutte le tenson e corrent d lato aranno un andamento snusodale nel tempo con la stessa frequenza angolare degl ngress. D conseguenza, la rcerca delle rsposte del crcuto n esame (ossa corrent e tenson d lato), delle qual s conosce gà l tpo d funzone (snusodale) e la pulsazone (ω), s rduce alla determnazone de corrspondent alor effcac e delle fas coè, n altr termn, de fasor che rappresentano tal grandezze. E' charo che un tale tpo d rcerca, aendo come obetto la determnazone d ncognte numerche e non d funzon, dee poters effettuare attraerso la soluzone d equazon algebrche e non dfferenzal. l metodo de fasor permette, appunto, d rcaare un sstema d equazon algebrche aent come ncognte fasor rappresentat delle are grandezze d lato, rsolto l quale sono not alor effcac e fas d cascuna d queste grandezze e, qund, nel complesso, tutte le corrent

296 96 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca e tenson d lato. pass da segure sono mostrat nel seguente schema: S scrono, anztutto, le relazon d lato e le equazon d Krchhoff a alor stantane: d tal equazon samo nteressat a determnare sol ntegral partcolar, coè corrent e tenson d lato a regme. Esclusa la determnazone dretta d tal ncognte, rchedendo essa la soluzone d un sstema d equazon dfferenzal, s procede nel seguente modo: passo ) trasformazone delle equazon d Krchhoff dfferenzal n equazon d Krchhoff 'smbolche' (cò ale anche per le relazon d lato); passo ) soluzone del sstema d equazon smbolche e conseguente determnazone de fasor rappresentat delle are corrent e tenson d lato; passo ) anttrasformazone, ossa passaggo da fasor alle corrent e tenson da ess rappresentate, che sono le ere ncognte del problema. Vedremo fra poco alcune applcazon d questo metodo; per l momento, lmtamoc ad esporre qualche osserazone d carattere generale. Per quanto rguarda la fase d 'trasformazone', essa sere per dare al problema matematco un carattere puramente algebrco anzché dfferenzale. nfatt, tale processo consente d dedurre dalle equazon dfferenzal d Krchhoff un sstema d equazon algebrche lnear e a coeffcent compless n cu le ncognte sono ora fasor rappresentat delle corrent e tenson d lato. a lneartà d tale sstema rende la sua soluzone (passo del procedmento) pra d dffcoltà, a parte l maggor onere d calcolo (rspetto a sstem lnear nel campo reale) derante dalla presenza d grandezze complesse. nfne, la fase d 'anttrasformazone' è mmedata, a tal punto che spesso, restando sottntesa, non ene neppure effettuata: essa consste, nfatt, nella banale sosttuzone dell'ampezza e della

297 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 97 fase (orma note n seguto alla soluzone del suddetto sstema) d cascuna corrente e tensone d lato nell'espressone generca al fne d esplctare, n forma defnta, queste stesse grandezze. 'anals ora effettuata del metodo smbolco può far pensare che s tratt d un metodo alquanto laboroso; n realtà, edremo che la fase d 'trasformazone' conduce ad un sstema d equazon formalmente concdent con quelle d Krchhoff dscusse n regme stazonaro, salo la presenza d grandezze complesse n luogo d quelle real. ò semplfca noteolmente la tecnca operata n quanto consente d screre drettamente le equazon d Krchhoff smbolche senza doerle dedurre ogn olta per 'trasformazone' dalle equazon a alor stantane. n tal modo s eta d fatto la prma fase del procedmento e poché, come s è detto, anche la terza può essere omessa, n pratca l'applcazone del metodo s rduce alla scrttura delle e- quazon smbolche d lato e d Krchhoff ed alla loro soluzone, n modo del tutto analogo a quello seguto per crcut n regme stazonaro. 9.6 Applcazone del metodo de fasor. mpedenza e ammettenza d un crcuto Vedremo ora come applcare l metodo de fasor ad un caso abbastanza semplce che c consentrà, tuttaa, d ntrodurre delle defnzon del tutto general e che, una olta dscusso, renderà mmedata la generalzzazone ad un caso qualsas. onsderamo, dunque, l seguente crcuto monoporta almentato, attraerso morsett A e B, da una tensone snusodale (t), n pulsazone ω, espressa da: Dalle consderazon fatte ne paragraf precedent, s può affermare che a regme, ossa una olta esaurta la fase transtora, tutte le arabl d lato aranno un andamento d tpo snusodale ed anche sofrequenzale con la tensone d almentazone. Proponamoc, allora, d determnare l'andamento nel tempo, a regme, della corrente (t): per quanto detto nel paragrafo precedente cò equale a calcolare l alore effcace e la fase

298 98 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca d tale forma d'onda ossa, n altr termn, l fasore assocato alla corrente (t). Anztutto, rportamo le equazon dfferenzal che descrono la dnamca del crcuto: (t) (t) d (t) elazon d lato : (t) dt t (t) ( )d τ τ.k.. : (t) (t) (t) (t).k.t. : (t) (t) (t) (t) (t) t d(t) ( τ )dτ dt Derando rspetto al tempo quest'ultma equazone s ottene: d (t) d(t) dt dt (t) d(t) dt (9.) cordamo che samo nteressat a alutare la corrente a regme. S tratta d rcaare un ntegrale partcolare dell'equazone (9.), che rappresenta la soluzone del nostro problema. Puttosto che rsolerla drettamente utlzzamo l metodo de fasor. l prmo passo consste nella fase d trasformazone. Possamo screre: (t) (t) M M cos( ωt α ) e V cos( ωt α ) e jωt [ Ve ] (Nota: e α sono da determnare) M con V α V jωt M [ e ] con α α V α V Sosttuendo queste espresson nell'equazone (9.) s rcaa, sfruttando l lemma : e jωt jωt jωt jωt [ ( jω ) e ] e[ jωe ] e[ e ] e[ jωve ] e da cu sfruttando l lemma d lneartà s ottene : ω jω e jωt jωt e[ jωve ] (9.),

299 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 99 Per l teorema prncpale l prmo ed l secondo membro della relazone (9.) sono due funzon snusodal sofrequenzal e doendo essere ugual, per l lemma saranno ugual anche fasor che le rappresentano (per l lemma d unctà); s ottene dunque: ( jω ) jω doe : z j ω ω jωv V V j ω z ω j jω ω (9.), è detta mpedenza n ngresso del crcuto. Osseramo che la (9.) rappresenta gà l rsultato dell'operazone d 'trasformazone' n quanto essa è un'equazone algebrca lneare d prmo grado dalla quale è mmedato rcaare l'unca ncognta e coè l fasore della corrente. S not, noltre, che l'mpedenza n ngresso non è un fasore (perché non è assocato a nessuna forma d'onda) ma è semplcemente un operatore complesso defnto come l rapporto tra l fasore della tensone e quello della corrente d porta nel crcuto n esame: la sua parte reale è la resstenza del ramo d crcuto consderato mentre la sua parte mmagnara, a cu s dà l nome d reattanza, dpende, oltre che dall'nduttanza e dalla capactà del ramo n questone, anche dalla pulsazone ω d almentazone. Spesso l'mpedenza s scre nella forma: ż jx, doe: X ω ω rappresenta la reattanza sopra defnta. ('mpedenza s msura n ohm). nfne defnamo ammettenza del monoporta consderato l recproco della sua mpedenza, e qund: jx y ż jx X X G è detta conduttanza X X B è detta suscettanza. X ( S not che G ). X j X G jb, doe:

300 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca l secondo passo consste nella soluzone dell'equazone algebrca ottenuta, n questo caso la (9.), come segue: V V α V V z ( α θ ), z z θ z ω con z ω e θ arctg ω ω 'ultmo passo consste nell'anttrasformazone che s esegue faclmente come ndcato: jωt [ ] V j ( α θ ) jωt M e e e e ( ωt α θ ) ( t ) e cos z z S osser, per concludere, che l'equazone (9.) è analoga alla legge d Ohm n regme stazonaro salo l fatto che essa mette n relazone non drettamente la tensone e la corrente ma fasor rappresentat d tal grandezze; oltre a cò la costante d proporzonaltà è ora l'mpedenza che corrsponde, nell'analoga ctata, alla resstenza. Quanto s è detto gustfca la denomnazone della (9.) come legge d Ohm smbolca relata ad un generco ramo d crcuto. Applcazon d tale legge saranno llustrate nel seguto, dopo l'estensone del metodo smbolco a crcut comunque compless (ed paragrafo seguente). 9.7 Equazon d Krchhoff n termn d fasor l procedmento d trasformazone descrtto nel semplce caso del paragrafo precedente s estende n modo oo a qualsas equazone a alor stantane facente parte del sstema d equazon che descre l comportamento d un crcuto qualsas. E' nfatt mmedato rconoscere che la suddetta tecnca d trasformazone s applca, senza alcuna arante concettuale, alle equazon d Krchhoff. S supponga, ad esempo, d consderare la seguente porzone d rete n condzon d

301 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca regme snusodale: Applcando la.k.. al nodo contrassegnato s ottene: 4 (t) (t) (t) che possamo porre nella seguente forma: e jωt jωt jωt [ e ] e[ e ] e[ e ] 4 D'altra parte, sfruttando l lemma d lneartà e po quello d unctà s ottene: jωt [ ( ) e ] e, 4 4 doe, e sono fasor corrspondent, rspettamente, alle corrent (t), (t) e (t). 4 4 Data la generaltà del procedmento possamo concludere che, n regme snusodale, qualsas equazone d nodo può essere espressa drettamente n termn d fasor. Pù n generale, abbamo sto che per un generco crcuto connesso (con n nod e b lat) la.k.. afferma che: A(t) per ogn t, doe A è la matrce d ncdenza rdotta del crcuto n esame, cu element sono real. S può rpetere l precedente ragonamento e mostrare che è possble screre la.k.. drettamente n termn d fasor come segue: A, doe è l ettore colonna cu element sono fasor tano, rspettamente, le corrent d lato snusodal (t), (t),..., b (t).,..., b che rappresen - Applchamo ora la.k.t. consderando un erso oraro d percorrenza della magla: (t) (t) (t)

302 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Sfruttando ancora una olta l lemma d lneartà e quello d unctà s ottene quanto segue: e e jωt jωt jωt [ V e ] e[ V e ] e[ V e ] jωt [ ( V V V ) e ] V V V doe V, V e V, sono fasor corrspondent, rspettamente, alle tenson (t), (t) e (t). n genere, la.k.t. è espressa da: T (t) A e(t) t che n termn d fasor denta: T V A E doe E rappresenta l ettore colonna cu element sono fasor E,E,E,..., En corrspondent alle tenson nodal snusodal (rspetto al nodo scelto come rfermento), mentre V è l ettore colonna cu element sono fasor V,V,..., V b corrspondent alle tenson d lato snusodal. (S tenga presente che A T è una matrce ad element real. n defnta, l'denttà formale tra le equazon d Krchhoff n regme stazonaro e quelle smbolche per crcut n corrente alternata (coè n regme snusodale) consente d conaldare le seguent affermazon: anztutto, le equazon smbolche d Krchhoff s possono screre drettamente senza doere, ogn olta, procedere all'operazone d 'trasformazone' delle equazon dfferenzal a alor stantane. ò equale ad affermare che nel procedmento rsoluto d un crcuto n corrente alternata s può o- mettere la prma fase del procedmento stesso e, pertanto, tenendo presente che anche la fase d 'anttrasformazone' è d regola sottntesa, resta proato che l metodo s rduce alla semplce scrttura delle equazon d Krchhoff smbolche ed alla loro soluzone, n perfetta analoga con quanto s fa n corrente contnua. 'denttà formale sopra edenzata non s lmta solo a prncp d Krchhoff ma s estende oamente anche a tutte le conseguenze de prncp stess. osì, ad esempo, le regole d composzone delle resstenze n sere e parallelo, dmostrate per crcut n regme stazonaro, mantengono ntatta la loro aldtà anche n condzon d regme snusodale purché s facca rfermento alle mpedenze (o alle ammettenze). S supponga d aere un crcuto monoporta costtuto da n element collegat n sere. n regme snusodale ogn elemento e' caratterzzato da una opportuna mpedenza.

303 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Applcando le legg d Krchhoff s ha: ( ),..,n V V : tensone parttore d regola del Vale anche la con :, V V... V V V :.K.T.... :.K.. n k k n k k n n n n n z z z z z z z z z z z ( ) n,.., V corrente : parttore d regola del Vale anche la con : V, V... V... V V... :.K.. V... V V V :.K.T. n k k n k k n n n n n y y y y y y y y y y y

304 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca mangono, noltre, narate le regole d trasformazone stella- trangolo e ceersa: Trasformazone trangolo - stella : z y z y z z z z y y y y ; z ; y z Trasformazone stella - trangolo : y z z z z y y y y ; z ; y z y z z z z y y y y 9.8 APPAZONE DE METODO SMBOO A UT EEMENTA A charmento d quanto esposto ne paragraf precedent, consderamo anztutto tre semplc crcut per la soluzone d cascuno de qual è suffcente l'applcazone della legge d Ohm smbolca essendo costtut da un solo ramo. S suppone d almentare cascun ramo con la stessa tensone (t) espressa da: ( t ) V M cos( ωt ), l cu fasore corrspondente sarà espresso da : VM V V, doev è lalore effcace della funzone(t). ome s può osserare dall'espressone d (t) s è supposta nulla la fase della tensone

305 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 e, d conseguenza, l fasore rappresentato della tensone s rduce ad un numero reale: questa potes non è restrtta poché equale a porre l'orgne de temp t nell'stante n cu la tensone raggunge l suo alore massmo e cò, pur essendo arbtraro, è tuttaa lecto. n partcolare questa scelta comporta l seguente antaggo nella rappresentazone ettorale de numer compless e coè, tenendo presente che l fasore della tensone presenta solo la parte reale, ne segue che la sua rappresentazone nel pano complesso sarà quella d un ettore poggato sull'asse reale. Qund nelle rappresentazon ettoral de fasor relate agl esemp success s tralascerà d ndcare gl ass del pano d Gauss e s assumerà come rfermento propro l fasore rappresentato della tensone. D'altra parte, la mancata ndcazone del rfermento uole anche edenzare la sua nessenzaltà, coè quello che conta nella rappresentazone de ettor è l'ndcazone della poszone recproca de ettor stess non la poszone assoluta rspetto agl ass cartesan, poszone che dpende dalla scelta dell'stante t e che, come tale, è del tutto arbtrara. onsderamo allora l seguente crcuto: Essendo nota la tensone d almentazone occorre determnare l'andamento nel tempo della corrente (t): trattandos, però, d un crcuto n regme snusodale, per quanto detto nel paragrafo 9.5, basterà calcolarne l fasore corrspondente (per questo moto, d'ora n aant, ndcheremo ne ar crcut, al posto delle arabl termnal d cascun elemento, fasor ad esse assocat). Sappamo, nfatt, che la corrente arà un'espressone d questo tpo: ( t ) M cos( ωt α ), cha sarà completamente nota una olta calcolata l'ampezza faseα M, coè, n altr termn, l fasore ad essa assocato : α α Per far cò basta semplcemente esprmere n termn fasoral l'unca relazone d lato a dsposzone e coè: M e la V z r, con z r (Nota: l alore dell'mpedenza s può rcaare sa applcando l procedmento d tra-

306 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca sformazone, sa dall'espressone generale tenendo conto che s tratta d un ramo puramente ressto). S rcaa allora faclmente: V V V M V e α z r (9.) S ossera allora che per un crcuto puramente ressto la corrente è n fase con la tensone. n fgura sono stat rportat ettor della tensone e della corrente: S not che la corrente rsulta n fase con la tensone. Per rcaare, nfne, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazone d anttrasformazone come segue: jωt V VM [ e ] cos( ωt ) cos( ω ) (9.4) ( t ) e t Nella fgura è mostrato l'andamento nel tempo delle due grandezze:

307 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 onsderamo ora l seguente crcuto e seguamo un procedmento analogo a quello appena sto per determnare la corrente (t): Trasformando n termn fasoral l'unca relazone d lato a dsposzone s ottene: d( t) ( t) V jω z l, con z l ωj ω 9 dt V V V S rcaa allora : 9 (9.5), da cu segue che: z ω 9 ω M V ω π e α l S ossera allora che per un crcuto puramente ndutto la corrente è sfasata d 9 n rtardo rspetto alla tensone. Nella fgura successa è mostrata la rappresentazone ettorale de fasor assocat: Per rcaare, nfne, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazone d anttrasformazone come segue: jωt V π VM π [ e ] cos( ωt ) cos( ω ) (9.6) ( t ) e t ω ω n fgura è mostrato l'andamento nel tempo della corrente e della tensone:

308 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca n pratca la corrente raggunge l massmo con T/4 d rtardo rspetto alla tensone. onsderamo ora l seguente crcuto e seguamo un procedmento analogo a quello appena sto per determnare la corrente (t): Trasformando n termn fasoral l'unca relazone d lato a dsposzone s ottene: d( t) ( t) dt S rcaa allora : M ωv jωv y V V z c π e α c, con z y V ωv 9 ω 9 c c j 9 jω ω ω (9.7), da cu segue : S ossera allora che per un crcuto puramente capacto la corrente è sfasata d 9 n antcpo rspetto alla tensone. Nella fgura successa è mostrata la rappresentazone ettorale de fasor assocat:

309 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Per rcaare, nfne, l'andamento nel tempo della corrente basta effettuare un'operazone d anttrasformazone come segue: π π ( t ) ω V cos( ωt ) ωv cos( ωt ) M (9.8) n fgura è mostrato l'andamento nel tempo della corrente e della tensone: a corrente raggunge l massmo con T/4 d antcpo sulla tensone. onsderamo ora l seguente crcuto e seguamo un procedmento analogo a quello appena sto per determnare la corrente (t): Effettuando drettamente l'operazone d trasformazone s ottengono le seguent rela-

310 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca zon n termn d fasor: elazon d lato:.k..:.k.t.: V V S ottene allora : V z r V z l V ( z r r, con z, con z jω z ) ( jω) z, con l r l V V V z θ con z z θ z ω θ arctg z jω ( ω) Essendo θ posto ne segue che, per un crcuto ohmco-ndutto, la corrente è sfasata d θ n rtardo rspetto alla tensone. 'andamento nel tempo della corrente è l seguente: V V ( t ) cos( ωt θ ) M cos( ωt θ ) z z (Nota : θ dee essere espresso n radant). (9.9) Negl esemp snora trattat s è assunto come fasore d rfermento quello della tensone; tuttaa data l'arbtraretà con cu possamo sceglere l'orgne de temp t possamo fare n modo che essa concda con l'stante n cu la corrente raggunge l suo alore massmo: n tal modo aremo che la fase della corrente sarà nulla e qund potremo consderare come fasore d rfermento non pù quello della tensone bensì quello della corrente. l antaggo offerto da tale scelta consste nella possbltà d traccare l cosddetto dagramma delle tenson. Esso s ottene semplcemente esprmendo fasor delle are tenson d lato n funzone della corrente d porta (che ha fase nulla per potes) ed applcando po la.k.t. per rcaare la tensone d porta; ad esempo, per quanto rguarda l crcuto n esame s ha: z z e V aendo posto : z V r r z ω 9 ω 9 S rcaa dunque l seguente dagramma ettorale:

311 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Da tale dagramma s ossera che la tensone è n antcpo sulla corrente d θ e qund la corrente è n rtardo sulla tensone della stessa quanttà, come aeamo gà sto attraerso la relazone (9.9) precedente. onsderamo ora l seguente crcuto e seguamo un procedmento analogo a quello appena sto per determnare la corrente (t): Effettuando drettamente l'operazone d trasformazone s ottengono le seguent relazon n termn d fasor: < arctg z con z V z V V ottene allora: S j con, ) j ( ) ( V V V.K.T.:.K..: j con, V con, V lato: d elazon z z z z z z z z z c r c c r r r ω θ ω θ θ ω ω ω Essendo θ negato ne segue che, per un crcuto ohmco-capacto, la corrente è sfasata d θ n antcpo rspetto alla tensone.

312 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 'andamento nel tempo della corrente è l seguente: V V ( t ) cos( ωt θ ) M cos( ωt θ ) (9.9) z z (Nota : θ dee essere espresso n radant e, n questo caso, è ntrnsecamente negato). Per l dagramma delle tenson s ha: V z r z aendo posto: r e V z c z 9 9 ω ω c S rcaa dunque l seguente dagramma ettorale: Da tale dagramma s ossera che la tensone è n rtardo sulla corrente d θ e qund la corrente è n antcpo sulla tensone della stessa quanttà, come aeamo gà sto attraerso la relazone (9.9) precedente. onsderamo nfne l seguente crcuto e seguamo un procedmento analogo a quello appena sto per determnare la corrente (t):

313 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Effettuando drettamente l'operazone d trasformazone s ottengono le seguent relazon n termn d fasor: (9.) ottene allora : S arctg e con con, ) (.K.T.:.K..: con, con, con, lato: d elazon θ θ ω ω θ ω ω θ ω ω ω ω z V z V V z z j V V V V j V j V V z z z z z z z z z z z z c l r c c l l r r r Escludendo, per l momento, l caso n cu la reattanza ndutta sa par a quella capacta (è la condzone d rsonanza che edremo n seguto) gl altr due cas possbl sono: ) > θ ω ω >

314 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 Dalla (9.) segue che la corrente è n rtardo sulla tensone d θ coè nel crcuto preale l fenomeno ndutto su quello capacto. ) < < θ ω ω Dalla (9.) segue che la corrente è n antcpo sulla tensone d θ coè nel crcuto preale l fenomeno capacto su quello ndutto. Quest due rsultat possono anche essere edenzat attraerso l dagramma delle tenson: aendo posto : 9 9 V 9 9 V V l l c c r r ω ω ω ω z z z z z z

315 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 S ottene allora: 9.9 POTENZE N EGME SNUSODAE n questo paragrafo tratteremo queston energetche relate a crcut n regme snusodale: a tal fne sarà necessaro ntrodurre la defnzone d nuoe grandezze e dscutere alcune loro propretà. S facca rfermento ad un crcuto monoporta n regme snusodale almentato dalla tensone (t); sa (t) la corrente d porta: Defnamo angolo d sfasamento tra tensone e corrente la dfferenza tra la fase della tensone e quella della corrente, coè: ϕ α α (9.) Nell'potes d fase nulla per la tensone : α detto nel paragrafo precedente ) s ha che ϕ α (9.) : (potes che non è restrtta per quanto

316 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca D conseguenza la tensone e la corrente s possono esprmere nel seguente modo: ( t) V cos( ωt) e ( t) cos( ωt ϕ) ' mpedenza n ngresso è data allora da : V z M z θ M d' altra parte : (9.) V α z z θ α V V V ( α α ) ϕ α (9.4) Deducamo allora che l'angolo d sfasamento ϕ concde con l'argomento dell'mpedenza d'ngresso del crcuto monoporta. onsderando ora l'espressone (9.) della tensone e della corrente s ha: ( t ) cos( ω t ϕ ) cos( ωt )cosϕ sen( ωt )senϕ ( t ) ( t ) (9.5) M M M a r l prmo addendo nell'espressone (9.5) prende l nome d componente atta della corrente stantanea mentre l secondo addendo prende l nome d componente reatta della corrente stantanea: s ossera che la componente atta è n fase con la tensone stantanea mentre la componente reatta è sfasata d 9 n rtardo rspetto alla tensone - stantanea. a potenza stantanea s esprme sempre come prodotto della tensone e della corrente stantanea e qund: p(t) (t)(t) (t) a (t) (t) r(t) pa(t) p (t) r (9.6) Dalla relazone (9.6) s ossera che anche la potenza stantanea s può screre come somma d due termn: l prmo d ess, a cu s dà l nome d potenza stantanea atta è, per defnzone, l prodotto della tensone per la componente atta della corrente - stantanea, mentre l secondo, a cu s dà l nome d potenza stantanea reatta è, per defnzone, l prodotto della tensone per la componente reatta della corrente stantanea. e loro espresson s deducono faclmente dalla (9.5) e (9.6) come segue: p ( t ) ( t ) p a r ( t ) ( t ) a r ( t ) V ( t ) V M M M M cosϕ cos ( ωt ) V senϕ sen( ωt )cos( ωt ) M (9.7) M senϕ sen( ωt ) (9.8)

317 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 Nell'potes che - π/ < ϕ < π/ aremo che cosϕ> e P a(t). n fgura è rportato l'andamento nel tempo della potenza stantanea atta e reatta che può dedurs rspettamente come prodotto delle cure della tensone e della componente atta della corrente e come prodotto delle cure della tensone e della componente reatta della corrente:

318 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Dalla fg. 9. s ossera charamente che la potenza stantanea atta s mantene sempre non negata. ò s nterpreta fscamente affermando che essa corrsponde ad un flusso undrezonale d energa ossa che, n ogn stante, l'energa assocata alla potenza stantanea atta è fornta al crcuto senza ma 'rflure' dal crcuto erso la rete e- sterna; n altr termn, tale energa, una olta assorbta dal crcuto non può essere pù resttuta. Dalla fg. 9. s ossera, nece, che la potenza stantanea reatta è una funzone snusodale del tempo con pulsazone doppa rspetto a quella d almentazone: s deduce da cò che essa alterna ad nterall n cu è posta, nterall ugual n cu è negata e che, pertanto, l'energa ad essa assocata (corrspondente alle aree colorate n fg. 9.) flusce alternatamente dal crcuto erso la rete esterna e ceersa, n ugual msura ne due sens, coscché al termne d un qualsas numero ntero d semperod (rfert alla frequenza d almentazone) rsulta nulla l'energa complessamente scambata dal crcuto attraerso la porta n esame. Per la alutazone de fenomen energetc assocat a crcut n regme snusodale e relat ad nterall d tempo suffcentemente lungh rspetto al perodo T, occorrerà ntrodurre altre potenze oamente non pù stantanee. S defnsce, allora, potenza atta P (o potenza meda, o potenza reale) assorbta da un crcuto monoporta l alor medo n un perodo della potenza stantanea. n formule s ha: P T T T p(t)dt pa(t)dt pr(t)dt T T T T T p a (t)dt (9.9) (Nota: l'ntegrale relato alla potenza stantanea reatta è nullo n quanto s tratta del alor medo n un perodo d una funzone snusodale; lo s può erfcare sosttuendo la relazone (9.8) nell'espressone del suddetto ntegrale). Dalla relazone (9.9) s ossera, dunque, che la potenza atta può ntenders anche come alor medo n un perodo della potenza stantanea atta. Sosttuendo ora la relazone (9.7) nella (9.9) s ottene: P T V M T p ( t ) dt a T T M cosϕ dt T T V V M M M V cosϕ cos ( ωt ) dt M cosϕ P M cosϕ M T V cosϕ (9.) T dt T cos( ωt ) dt n defnta, qund, la potenza atta s può alutare come prodotto del alore effcace della tensone, del alore effcace della corrente e del coseno dell'angolo d sfasamento tra tensone e corrente; quest'ultmo fattore del prodotto è d solto ndcato come fattore d potenza. Sotto l proflo tecnco l'mportanza della potenza atta appena defnta è

319 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 legata al suo sgnfcato d alor medo: nfatt generalmente s è nteressat a conoscere l'energa assorbta (o ceduta) da un crcuto n nterall d tempo molto grand rspetto al perodo T (l quale, spesso, è ntorno a.[s] corrspondente a f5 [Hz]) e per far cò basta semplcemente moltplcare la potenza atta P per l'nterallo d tempo t che s consdera (n realtà, questa operazone è corretta solo se t è un multplo ntero d T; n caso contraro, essendo n generale t>>t, l'operazone s rtene ancora alda n quanto l'errore che s commette è molto pccolo). a potenza atta s msura n watt [W]. S defnsce potenza reatta Q assorbta da un crcuto monoporta l alor massmo della potenza stantanea reatta, coè: VM Q M senϕ Vsenϕ (9.) Sotto l proflo tecnco l'mportanza della potenza reatta Q dee rcercars nel fatto che essa è un ndce atto a rappresentare l'enttà degl scamb energetc assocat alla potenza stantanea reatta, scamb che pur non mplcando un flusso d energa defntamente assorbta (o ceduta) dal crcuto, deono tuttaa essere consderat per alcune loro conseguenze che esamneremo n seguto (ed rfasamento). a potenza reatta s msura n VA. S defnsce potenza complessa: N V, è l doe V è l fasore rappresentato della tensone mentre conugato del fasore rappresentato della corrente. Aendo supposto nulla la fase della tensone, la potenza complessa può anche scrers come segue: N V ϕ V ϕ Vcosϕ jvsenϕ P jq (9.) da cu s ossera che la parte reale della potenza complessa è propro la potenza atta mentre la parte mmagnara è la potenza reatta (l'untà d msura è VA).

320 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S defnsce, nfne, potenza apparente l modulo della potenza complessa ed è espressa da: N P Q V (9.) alcolamo, a ttolo d'esempo, le potenze assorbte da una sngola mpedenza quale quella mostrata d seguto: S può screre che: * * N V z z jx da cu segue che P e Qx (9.4) Dalla prma relazone nella (9.4) s deduce che la potenza atta assorbta da un'mpedenza dpende, per una data corrente, dalla resstenza ossa dall'unco componente n grado d assorbre defntamente l'energa senza doerla po restture attraerso morsett d almentazone; dalla seconda relazone nella (9.4) s ossera, nece, che la potenza reatta, n quanto ndce d un fenomeno d 'flusso' e 'rflusso' d energa, rsulta dpendente dalla reattanza, ossa dal componente del crcuto che è n grado d mmagazznare energa sotto forma conserata (elettrca ne condensator, magnetca negl nduttor) e che, d conseguenza, è n grado d restturla seguendo le alternanze della corrente. Sempre facendo rfermento all'mpedenza mostrata nella fgura prece-

321 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca dente nell'potes che - π/ < ϕ < π/, osseramo che se l'angolo d sfasamento ϕ tra tensone e corrente rsulta essere maggore d zero, ossa l'mpedenza è d tpo ohmcondutto (nfatt la corrente è n rtardo sulla tensone) allora la reattanza x dell'mpedenza è posta (nfatt essa è par a: x ω ) e tale sarà anche la potenza reatta; se nece l'angolo d sfasamento ϕ tra tensone e corrente è mnore d zero, ossa l'mpedenza è d tpo ohmco-capacto (nfatt la corrente è n antcpo sulla tensone) allora la reattanza x dell'mpedenza è negata (nfatt essa è par a: X -/ω ) e tale sarà anche la potenza reatta. Possamo, allora, traccare per due cas appena esamnat seguent trangol delle potenze: 9. TEOEMA D BOUHEOT (ADDTVTÀ DEE POTENZE) S consder un crcuto lneare tempo-narante n regme snusodale plotato da un certo numero d generator ndpendent, tutt snusodal d ugual pulsazone ω. Teorema d Boucherot a somma geometrca delle potenze complesse fornte da cascun generatore ndpendente al crcuto è par alla somma geometrca delle potenze complesse assorbte da tutt gl altr element del crcuto stesso.

322 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Quanto enuncato s estende oamente anche alla potenza atta e reatta. Dm. Per semplctà supporremo che nel crcuto n esame sa presente un solo generatore ndpendente e, precsamente, un generatore d corrente come mostrato n fgura nella quale abbamo numerato prma l lato contenente l generatore: Sono state assegnate le drezon d rfermento assocate a tutt lat del crcuto e s sono ndcat fasor delle tenson e corrent d lato: naturalmente prm soddsfano ncol mpost dalla.k.t. e second ncol mpost dalla.k..; n partcolare s può screre A. Poché gl element della matrce d ncdenza rdotta A sono real, se s consdera l complesso conugato della precedente equazone s ottene: A (9.5) Da questa relazone s deduce che anche fasor conugat delle corrent soddsfano la.k.. e qund, sfruttando l teorema d Tellegen, s può screre: b k V V ( b è l numero dlatnelcrcuto),da cusegue k k : b k V k k (9.6) Nella relazone (9.6) l termne che compare nel membro d snstra è la potenza complessa fornta dal generatore d corrente al crcuto, mentre la somma nel membro d destra rappresenta la somma delle potenze complesse assorbte da cascun lato del crcuto. 'estensone al caso n cu esstano pù generator ndpendent è mmedata.

323 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Un altro mportante teorema rguardante la potenza atta è l seguente. Teorema del massmo trasfermento d potenza atta S consder l crcuto n regme snusodale mostrato n fgura: a porzone d crcuto alla snstra de morsett è costtuta da un'mpedenza nota e da un generatore d tensone snusodale d cu, per comodtà, s suppone nulla la fase (tale porzone d crcuto può essere pensata come l'equalente d Theenn d un crcuto comunque complesso): s dmostra che l'mpedenza da collegare a morsett A-B affnché l generatore possa trasferre ad essa la massma potenza atta è data da... z u z s * ossa è par al conugato dell'mpedenza z s assegnata.. Dm.: s ponga z u u jx u. ndcato con l alore effcace. della corrente che attraersa l'mpedenza z u s ha che la potenza atta da essa assorbta ale P u (9.7)

324 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca D'altra parte rsulta che: Vs z z s ( da cu s ottene : P u s u u ) j(x V s s ( x s u ) u ) u V s (x s ( s x u ) u ) V s (x s (9.8) x u ) Da questa relazone s ence che la potenza atta è funzone delle due arabl u e x u: per determnare alor d tal arabl affnché la potenza atta assuma l suo alore massmo possamo osserare che ponendo: x u-x s(*) l denomnatore nella relazone (9.8) dmnusce e qund la potenza atta s acna al suo alore massmo. osì facendo, noltre, la potenza atta denta funzone della sola arable u e qund è possble rsolere l nostro problema d massmo mponendo che la derata della potenza atta rspetto a tale arable sa nulla: dp d u V s ( u s ) ( u V u s 4 s ) ( u s ) u x u u s s x s u abbamo qund troato : z z u * s u s Quando è soddsfatta questa condzone, dcamo che l carco è adattato al generatore. Sfruttando l rsultato appena ottenuto calcolamo quanto ale la massma potenza atta dsspata sull mpedenza z u come segue: svs s s V P max u 4 4 s Volendo, nece, calcolare la potenza atta fornta dal generatore, possamo sfruttare l teorema d Boucherot ottenendo:

325 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 s s V V P g (s u ) s s 4 s s l rendmento del crcuto è dato allora da: η P P max g,5 ò sgnfca che, n condzon d adattamento coè quando l generatore trasfersce sul carco la massma potenza atta, l 5% d essa ene dsspata. 9. FASAMENTO S è sto, trattando della potenza reatta, che essa è ndce d un flusso d energa dretto alternatamente dall'almentatore al crcuto e ceersa: a prma sta s potrebbe pensare che l suddetto ndce non abba alcun nteresse tecnco n quanto ad esso non è assocato alcun trasfermento d energa defnto; n realtà non è così, come a- desso dmostreremo facendo rfermento ad una stuazone pratca molto frequente. n fgura è rappresentato, n modo molto semplfcato, lo schema del sstema attraerso l quale s proede a dstrbure energa ad una determnata utenza:

326 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Esso è costtuto da un generatore d tensone snusodale G che almenta, attraerso una lnea d una certa lunghezza, un utlzzatore U che può essere costtuto da una porzone d crcuto comunque complessa. n generale la lunghezza della lnea è tale da non poter trascurare la corrspondente mpedenza coè quella douta a due conduttor d cu è formata. No, però, n questa trattazone non ne terremo conto. l dscorso s può faclmente estendere al caso d mpedenza non nulla. cordamo ora che ale la seguente relazone per una generca sezone d lnea: N V P Q e Q P tgϕ (Nota: la precedente relazone s rcaa dal trangolo delle potenze, con ϕ angolo d sfasamento tra la tensone e corrente a termnal dell utlzzatore). Possamo osserare, dunque, che rducendo l alore effcace della corrente d lnea a partà d V e P s ha una rduzone della potenza apparente assocata ad ogn sezone della lnea ed, n partcolare, alla generazone (e cò comporta un rsparmo economco essendo la potenza apparente un parametro d progettazone e dmensonamento) e una rduzone della potenza atta dsspata dall'eentuale mpedenza d lnea. Se oglamo dmnure la d lnea, a partà d P e V, occorrerà agre su Q, coè dmnure Q. D'altra parte questo comporta una rduzone dell'angolo d sfasamento ϕ e qund un aumento del fattore d potenza cosϕ dello stesso utlzzatore. S defnsce allora rfasamento una qualsas operazone atta a dmnure l'angolo d sfasamento tra tensone e corrente d lnea a partà d V e P, e qund a rdurre l alore effcace della corrente d lnea. Nel caso pù frequente n cu l'utlzzatore sa d tpo ohmco-ndutto (ϕ>), l rfasamento s realzza dsponendo n parallelo all'utlzzatore un condensatore d opportuna capactà (nel caso n cu ϕ< s dspone n parallelo un nduttore). Esamnamo le conseguenze d tale operazone. Nella fgura seguente è mostrato l dagramma ettorale de fasor rappresentat del-

327 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 la tensone e delle corrent: a presenza d un nuoo ramo nduce a consderare ora tre corrent n luogo d una sola tra le qual sussste la seguente relazone: (*) Dalla fg. b) s ossera, noltre, che essendo la corrente nel condensatore sfasata d 9 n antcpo sulla tensone, l alore effcace della corrente d lnea può essere noteolmente rdotto (e con esso gl effett negat precedentemente descrtt) con un'opportuna scelta della capactà del condensatore d rfasamento. S not che, oltre alla rduzone del alore effcace della corrente d lnea, dmnusce anche l suo angolo d sfasamento ϕ' rspetto alla tensone, angolo l cu coseno rappresenta l fattore d potenza della porzone d crcuto costtuta dal complesso utlzzatore-condensatore d rfasamento. S pone allora l seguente problema: dato un utlzzatore d cu s conoscono V,P e ϕ coè tensone, potenza atta ed angolo d sfasamento, calcolare l alore della capactà d rfasamento tale che l'angolo d sfasamento della corrente d lnea pass dal alore ϕ (quale s arebbe n assenza del condensatore) ad un prefssato alore ϕ'. Per rsolere tale problema s ossera, anztutto, che l'utlzzatore da solo assorbe una potenza reatta Q data dall'espressone: Q Ptgϕ (9.9). Mentre l complesso utlzzatore-condensatore d rfasamento assorbe una potenza atta P ed una potenza reatta Q' esprmble, tramte l teorema d Boucherot, come segue: Q QQ c (9.4) Doe Q c rappresenta oamente la potenza reatta relata al condensatore. Possamo traccare l seguente trangolo delle potenze:

328 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Anche per le potenze P e Q' sussste un legame analogo alla relazone (9.9) della pagna precedente e pertanto s ha: Q' Ptgϕ' Q Q c Ptgϕ', da cu s rcaa : Q c Ptgϕ' Q P(tgϕ' tgϕ ) (**) D'altra parte la potenza reatta Q può anche esprmers come segue : c Qc xcc c ( ωv) ωv (* * *) ω ω Dal confronto delle relazon (**) e (* * *) s ottene : P ωv ( tgϕ tgϕ' ) (9.4) che fornsce l alore d capactà rchesto. S parla d rfasamento completo quando l alore effcace della corrente d lnea assume l suo alore mnmo; cò s realzza, n corrspondenza d una certa tensone V, quando la corrente nel condensatore è tale per cu ϕ'. n tal caso la capactà del condensatore d rfasamento ale: Ptgϕ ωv (9.4) n defnta, collegando un condensatore d opportuna capactà n parallelo all'utlzzatore s arà che la potenza reatta ndutta d cu esso necessta non sarà fornta pù nteramente dall'almentazone bensì una parte sarà resa dsponble dal condensatore che assorbendo potenza reatta capacta è come se fornsse potenza reatta ndutta (generatore d potenza reatta ndutta).

329 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 9. SONANZA ED ANTSONANZA onsderamo l seguente crcuto costtuto da tre component fondamental (resstore, condensatore ed nduttore) collegat n sere tra loro ed almentato da una tensone snusodale l cu alore effcace è costante e la cu frequenza angolare ω può essere arata: Nota: abbamo preso la tensone come fasore d rfermento. S uole rcaare l'espressone del alore effcace della corrente d porta e dell'angolo d sfasamento ϕ tra tensone e corrente n funzone della pulsazone d almentazone ω. Tenendo presente che l'mpedenza n ngresso è data dall'espressone: arctg z con z j z ω ω θ ω ω θ ω ω s ottene che:

330 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca V V ( ω) (*) z V V V ω θ α ω z z θ z ω ϕ ( ω) α arctg ω (**) θ S ossera faclmente che esste un alore d ω tale da annullare la reattanza dell'mpedenza n ngresso e coè: ω ω ω ω ω (9.4) ω prende l nome d pulsazone d rsonanza. n generale, dato un crcuto monoporta, l'eentuale pulsazone d rsonanza sere la determneremo annullando la reattanza dell'mpedenza d ngresso del crcuto. Notamo, n partcolare, che n condzon d rsonanza, coè quando la pulsazone d almentazone è par alla pulsazone d rsonanza, l'mpedenza del crcuto presenta solo la parte reale ossa l alore della resstenza, l'angolo d sfasamento tra tensone e corrente d porta è nullo (d conseguenza anche la fase della corrente è nulla e percò tensone e corrente sono n fase) e l alore effcace della corrente assume l suo alore massmo par a V/: n altr termn, n condzon d rsonanza, l crcuto s comporta all'ngresso come un resstore d resstenza. Nella fgura seguente è mostrato l'andamento del alore effcace della corrente n funzone della pulsazone con Vcost.: S not che la cura, partendo da zero per ω, rtorna a zero per ω tendente ad nfnto attraerso un massmo n corrspondenza della pulsazone d rsonanza. noltre è edente che dmnuendo progressamente la resstenza l alore effcace della corrente aumenta e nel caso lmte n cu denta nfnto. Nella fgura seguente è mostrato, nece, l'andamento n funzone d ω dell'angolo d sfasamento ϕ e della reattanza n

331 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ngresso: Dalla fg. 9.4 s ossera che lo sfasamento ϕ è funzone crescente d ω e s annulla n corrspondenza della pulsazone d rsonanza. Per ω <ω rsulta qund ϕ < (ossa la corrente n antcpo sulla tensone: crcuto o- hmco-capacto) mentre per ω >ω s ha ϕ > (ossa la corrente n rtardo sulla tensone: crcuto ohmco-ndutto). Sempre dalla fg. 9.4 s ossera che per ω < ω la reattanza capacta preale su quella ndutta (cò gustfca l'antcpo della corrente sulla tensone); per ωω le due reattanze s compensano e qund, eldendos, rendono l'mpedenza z concdente con la sola resstenza ; nfne, per ω > ω la reattanza ndutta preale su quella capacta (cò gustfca l rtardo della corrente sulla tensone). Da quanto detto e andando a consderare l dagramma delle tenson, appare edente che, n condzon d rsonanza, fasor delle tenson, rspettamente, sul condensatore e sull'nduttore sono ugual ed oppost mentre loro alor effcac sono ugual. Possamo allora calcolare l seguente rapporto (ed paragrafo 6.4): V ω Q V V V doe Q é l cosddetto fattore d qualtà del crcuto rsonante sere che abbamo gà ncontrato (par. 6.4)

332 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca onsderamo ora l seguente crcuto costtuto da un condensatore ed un nduttore collegat n parallelo ed almentat da una tensone snusodale aente una certa frequenza angolare ω: proponamo d determnare l'espressone n funzone d ω del alore effcace della corrente n ngresso. Per far cò alutamo l'ammettenza n ngresso del crcuto n esame come segue: y y c l jω j y y ω y y V ( ω) ω V ω c l j ω, ω da cu s ottene : (9.44) Anche n tal caso è facle erfcare che esste un alore d ω che annulla la suscettanza dell'ammettenza d ngresso e precsamente esso è par a: ω : pulsazone d antrsonanza. n generale, olendo determnare la pulsazone d rsonanza parallelo, s aluta l'ammettenza d ngresso del crcuto monoporta e s determna l alore d ω, se esste, che annulla la suscettanza d tale ammettenza. Quando la pulsazone d almentazone è par alla pulsazone d antrsonanza s dce che l crcuto è n condzon d antrsonanza. Nel caso n esame, s ossera che, n condzon d antrsonanza, l alore effcace della corrente n ngresso è nullo; tuttaa, pur annullandos la corrente d ngresso, sono derse da zero le corrent ne due ram del parallelo, nfatt s ha:

333 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca c l jv V j V jv V j V y y ω ω Poché tal corrent sono ugual ed opposte, s può affermare che esste, n antrsonanza, una corrente d crcolazone confnata all'nterno della magla costtuta dall'nduttore e dal condensatore. 'esstenza d questa corrente che flusce permanentemente senza alcun apporto energetco dall'esterno è compatble con l prncpo d conserazone dell'energa solo n quanto s suppongono deal (ossa pr d resstenza e qund d fenomen dsspat) l ramo ndutto e quello capacto del crcuto. n tale potes, la corrente all'nterno del parallelo troa la sua gustfcazone nello scambo energetco (che perdura ndefntamente dando orgne ad un fenomeno perodco) fra l condensatore (doe l'energa s consera sotto forma d energa elettrca) e l'nduttore (doe l'energa s mmagazzna sotto forma d energa magnetca). Supponamo ora che sano present nel crcuto fenomen dsspat dout ad un resstore collegato n parallelo al condensatore e all'nduttore come mostrato n fgura: n tal caso, è facle calcolare l'ammettenza n ngresso par a: (9.45) V j G V ottene : s cu da, j G G j j y y y y y y y y l c r r l c ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ω

334 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca sulta edente, allora, che l alore della pulsazone d antrsonanza rmane lo stesso d prma ma staolta la corrente d porta, n condzon d antrsonanza, non è nulla bensì ale: GV, ed è qund n fase con la tensone. n conclusone, è possble anche n questo caso realzzare un fenomeno perodco nel parallelo condensatore-nduttore ma mentre nel caso precedente cò aena senza apporto energetco ora, nece, è necessaro fornre energa dall'esterno n modo da sopperre agl effett dsspat sul resstore. Osseramo, nfne, che essendo ugual alor effcac delle corrent, rspettamente, nell'nduttore e nel condensatore possamo calcolare l seguente rapporto (ed paragrafo 6.4): V ω Q GV G doe Q é l cosddetto fattore d qualtá parallelo (par. 6.4). A ttolo d'esempo calcolamo la pulsazone d antrsonanza del crcuto mostrato n fgura: Occorre, anztutto, determnare l'ammettenza n ngresso del crcuto e calcolare po, se esste, l alore d ω che annulla la suscettanza (con ω ndchamo la pulsazone d almentazone). Valgono le seguent relazon:

335 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 c l c c c l l l j ottene : s cu da, j j j j y y y z y z z y z ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω E' edente, allora, che l alore d ω che annulla la suscettanza è par a: ( ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 9. APPAZONE DE METODO DE FASO A UT OMPESS a rsoluzone d crcut compless n regme snusodale s effettua utlzzando le stesse tecnche ste nel captolo precedente per crcut con ngress n contnua; l'unca dfferenza sostanzale consste semplcemente nell'ntroduzone de fasor (secondo le regole ste ne paragraf precedent) al posto delle corrspondent arabl d lato.

336 6 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca S consder, a ttolo d'esempo, l seguente crcuto: Supponamo che due generator ndpendent d corrente sano sofrequenzal. Occorre, anztutto, sceglere l fasore d rfermento n modo del tutto arbtraro. Normalmente s consdera come rfermento la tensone o la corrente d un generatore ndpendente. Se, per esempo, s ha: allora sceglendo mentre sceglendo s s s8 s s s8 [ A] e 9 [ A] s come rfermento s ottene : [ A] e 6 [ A] s8 s8 come rfermento s ottene : [ A] e 6 [ A] s s8 s8 s s8 S supponga d effettuare la prma scelta. Traccamo ora l grafo orentato assocato al crcuto n esame e sceglamo un albero: S fss come erso d percorrenza delle magle fondamental quello antoraro e s consderno poste le corrent uscent dalle superfc gaussane che ndduano gl nsem d taglo fondamental. Possamo screre le seguent relazon:

337 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 Σ Σ Σ V V 8 : V V 7 : V V V 4 : V V V : V V : :.K.T. : : :.K..: A questo punto per determnare tutt fasor delle corrent e tenson d lato (e qund, medante anttrasformazone, tutte le corrent e tenson d lato) occorre utlzzare altre otto equazon che sono fornte dalle relazon d lato (n tal modo s ottene un sstema d sedc equazon n sedc ncognte che, rsolto, fornsce la rsposta del crcuto): s s V V j V V j V V ω ω E' facle anche calcolare, sfruttando l teorema d Boucherot, la potenza atta e reatta fornta da due generator d corrente: Q e P ω ω S tenga presente, nfne, quanto segue: se nel crcuto sono present generator ndpendent non sofrequenzal allora l crcuto è n regme arable. n tal caso, per determnare l'andamento nel tempo d una corrente o tensone d lato occorre sfruttare l prncpo d sorapposzone nel seguente modo: bsogna prma calcolare fasor corrspondent a tale arable d lato cascuno de qual ottenuto consderando nel crcuto, sngolarmente, ar generator ndpendent (è possble, dunque, utlzzare le regole ste snora essendo l crcuto n regme snusodale). Abbamo così rcaato un certo numero d fasor (par al numero de generator present nel crcuto) tutt assocat alla arable d lato d cu oglamo determnare l'andamento nel tempo ma ognuno de qual è stato ottenuto facendo agre nel crcuto un solo generatore alla olta: d conseguenza, poché cascuno d quest fasor dpende dalla pulsazone del sngolo generatore ndpendente a cu è assocato e poché generator non hanno tutt la stessa pulsazone, ne segue che per calcolare l'andamento nel tempo della arable d lato scelta è necessaro prma anttrasformare tal fasor e po sommare le are corrent così ottenute (sarebbe sbaglato, nece, sommare prma fasor e po anttrasformare n quanto tal fasor non s rferscono allo stesso nseme d grandezze snusodal sofrequenzal). Sempre nell'potes n cu nel crcuto sano present generator ndpendent snusodal e non sofrequenzal è possble dmostrare che:

338 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca la potenza atta fornta da tal generator è par alla somma delle potenze atte che ogn sngolo generatore fornrebbe se agsse da solo nel crcuto. a stessa cosa non è era se l crcuto è n regme snusodale oero quando nel crcuto sono present generator sofrequenzal. Vedamo ora un esempo d applcazone dell'anals d tableau ad un crcuto n regme snusodale: Sceglamo l nodo come nodo d rfermento e traccamo l grafo orentato assocato al crcuto n esame: a matrce d ncdenza rdotta assocata al crcuto e relata al nodo è data da:

339 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 [ ] [ ] [ ] T E, E E e T V,...,,V V con V, E T A V T,...,, con, A e qund s può screre : A 6 6 doe è l ettore de fasor delle corrent d lato, V è l ettore de fasor delle tenson d lato e E è l ettore de fasor delle tenson nodal. mangono ora da screre le relazon d lato: j V V V V V V j G che poste n forma matrcale dentano : V V V j j V (G /) GV s s β ω α ω α β ω ω ossa, n forma pù compatta: (*) ) ( che possamo screre come : ) ( ) ( ) ( ) ( n defnta : S ottene,. ) ( ) ( U W j T U V E j N j M A A U j N V j M E A V A U j N V j M s T s T s ω ω ω ω ω ω ω S osser che le matrc M(jω) e N(jω) s possono screre anche: M(jω) M jω M ; N(jω) N jω N doe le matrc M, M, N, ed N hanno element real. Osserate che n luogo dell'ope-

340 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ratore D, relato al caso generale de crcut dnamc, qu compare l'operatore jω. 'equazone (*) rappresenta l modello n termn d sparse tableau del crcuto n esame: rsolta, tale equazone consente d ottenere fasor d tutte le corrent e tenson d lato oltre che fasor delle tenson nodal; po, per anttrasformazone, s rcaa l'andamento nel tempo d tal arabl.possamo enuncare anche la seguente ondzone d esstenza ed unctà della soluzone: dato un crcuto dnamco n regme snusodale plotato da generator ndpendent fra loro sofrequenzal con pulsazone ω s ha che tale crcuto ammette un'unca soluzone se e solo se rsulta: det [ T ( jω) ] 9.4 Teorem d Theenn e Norton per crcut n regme snusodale teorem d Theenn e Norton st per crcut resst lnear con ngress n contnua s possono estendere n manera oa anche a crcut n regme snusodale:

341 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 'unca sostanzale dfferenza consste nel fatto che, ndcando con A l crcuto monoporta da sostture con un crcuto equalente secondo Theenn o Norton ed ndcando con B un qualsas crcuto collegato ad A medante la porta -, s ha che, mentre nel caso d crcut resst non è stata fatta alcuna potes sul crcuto B, n questo caso, essendo l crcuto A n regme snusodale, tale dee essere anche l crcuto B e cò comporta che questo crcuto sa lneare, tempo-narante ed asntotcamente stable. Supponendo, qund, che tale potes sa soddsfatta possamo enuncare l seguente teorema: un crcuto monoporta n regme snusodale, ben defnto ed unocamente rsoluble, può essere sosttuto dal crcuto equalente secondo Theenn costtuto da un'mpedenza collegata n sere ad un generatore d tensone snusodale, sofrequenzale con le forme d'onda de generator present n, n cu: ż V TH TH :mpedenza equalente d Theenn defnta n ngresso del crcuto passato (coè dopo che sano stat esclus tutt generator ndpendent present nel crcuto). :fasore del generatore d tensone equalente d Theenn la cu forma d' onda rappresenta la tensone n ngresso del crcuto nzale a uoto, coè quando la corrente d porta come mpedenza è nulla. ascando nalterate tutte le potes precedent, possamo sostture tale crcuto con l'equalente secondo Norton costtuto da un'ammettenza collegata n parallelo ad un generatore d corrente snusodale, sofrequenzale con le forme d'onda de generator present n, n cu: ẏ N N : ammettenza equalente d Norton defnta come ammettenza n ngresso del crcuto passato (coè dopo che sano stat esclus tutt generator ndpendent present nel crcuto). : fasore del generatore d corrente equalente d forma d' onda rappresenta la corrente n ngresso del crcuto nzale dretta dal morsettoal morsetto dopo aer collegato tal morsett n cortocrcuto. Norton la cu Dmostramo l teorema d Theenn (la dmostrazone per l'enuncato d Norton s solge n modo duale). Sa assegnato, allora, un crcuto generco n regme snusodale soddsfacente tutte le potes preste dal teorema e supponamo che tale crcuto contenga un certo numero d generator ndpendent sofrequenzal fra loro. S collegh alla porta d tale crcuto un'mpedenza arbtrara (cò non altera la generaltà del

342 4 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca dscorso: tale scelta è stata fatta solo per comodtà ma aremmo potuto, n generale, collegare un qualsas crcuto, anche molto complesso, purché n regme snusodale), come mostrato n fgura: Occorre, dunque, dmostrare che sosttuendo l crcuto con l crcuto equalente secondo Theenn l regme d corrent e tenson a cap dell'mpedenza rmane narato, coè a cap dell'mpedenza c sarà sempre la stessa corrente e la stessa tensone che s hanno n presenza del crcuto. Supponamo, allora, d collegare n sere all'mpedenza un generatore d tensone snusodale, sofrequenzale con le forme d'onda de generator present n, e d sceglere opportunatamente la fase ed l alore effcace della forma d'onda d tale generatore n modo che sa nullo l fasore della corrente che attraersa l'mpedenza, come mostrato n fgura:

343 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 4 Naturalmente, essendo arata la corrente che attraersa l'mpedenza sarà dersa anche la tensone a suo cap: n partcolare, essendo nulla la corrente s arà: V *. D conseguenza applcando la.k.t. alla sequenza chusa d nod s ottene: Vs V. D altra parte rsulta: V V TH per come è stata defnta la tensone equalente d Theenn. n defnta abbamo troato: V s V TH (*). Facendo ora rfermento al crcuto d fg. 9., esprmamo la corrente nell'mpedenza applcando l prncpo d sorapposzone: * ' l prmo termne ' rappresenta l contrbuto alla corrente quando nel crcuto agsce l solo generatore d tensone V, coè quando nel crcuto nzale è passato; s * mentre è l contrbuto alla corrente quando l solo generatore d tensone V s è posto a zero (s osser che è propro la corrente che attraersa l mpedenza nella condzone nzale d fg. 9.). D'altra parte rsulta anche: * * ' ', da cu s ottene la seguente rappresentazone crcutale tenendo conto del sgnfcato attrbuto alla corrente ' : n fg.b) è stata nertta la polartà del generatore d tensone n modo che l mpedenza. z sa attraersata propro dalla corrente e la tensone a suo cap sa par a V : coè l regme d corrente e tensone a cap dell mpedenza è rmasto narato rspetto alla condzone nzale mostrata n fg.9..agl effett dell'mpedenza z l crcuto rcaato lasca narate le grandezze d porta ed é qund equalente al crcuto d partenza. Osseramo, nfne, che l crcuto nzale passato sarà comunque costtuto da un certo numero d mpedenze collegate n aro modo: per cu è sempre possble, medante operazon d equalenza, sostture tale crcuto passato con una sola mpe-

344 44 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca denza che, per come è stata defnta, concde propro con l'mpedenza equalente d Theenn. n defnta, l crcuto d fg.b) denta: a tes è così dmostrata. A ttolo d'esempo proamo a determnare l crcuto equalente secondo Theenn del seguente crcuto caratterzzato dalla porta A-B: Per calcolare l'mpedenza equalente d Theenn dobbamo consderare l crcuto passo, che s ottene da quello nzale sosttuendo due generator d tensone con due cortocrcut:

345 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 45 Trasformando l trangolo -4-5 nella stella equalente ed effettuando opportune equalenze sere-parallelo, s ottene: Valgono, n partcolare, le seguent relazon: { 4 p TH s s s s p 5 s s z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z rcaa : s n defnta, Parallelo: Sere: ; ; Stella : caamo la tensone d Theenn usando l prncpo d sorapposzone e sfruttando, n parte, le operazon d equalenza appena esegute. onsderando l contrbuto del prmo generatore d tensone l crcuto denta:

346 46 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Applcando un parttore d tensone s ottene: V V s z s z s z s (*) onsderando po l contrbuto del secondo generatore d tensone l crcuto denta: Applcando un parttore d tensone s ottene: V V s z s z z s s Dunque, possamo screre: (**) V TH V V

347 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca enn sugl strument d msura elettrodnamc onsdereremo solo strument d msura elettrodnamc sa per la loro mportanza sotto l proflo tecnco sa perché quest strument possono essere usat sa n corrente contnua sa n corrente alternata. Un appareccho elettrodnamco è sostanzalmente costtuto, qualunque ne sa la funzone, da due bobne (una fssa ed una moble) e da una molla che contrasta l momento d quella moble. S faccano percorrere le due bobne da due corrent, nel funzonamento d tale strumento, ntererranno due coppe: la prma, elettromagnetca, è proporzonale al prodotto delle corrent che scorrono nelle due bobne; la seconda, elastca, è proporzonale alla deformazone della molla e qund all'angolo α d deazone dalla poszone d rposo della bobna moble. Nell'potes che le corrent nelle due bobne sano costant, s arà che la bobna moble (e con essa l'ndce dell'appareccho che le è soldale) s muoe sotto l'effetto della coppa elettromagnetca fno ad assumere quella partcolare poszone angolare per la quale s realzza l'equlbro tra la coppa elettromagnetca stessa e quella elastca ad essa opposta. n condzon d equlbro arrà la relazone: α k (*), doe e sono le corrent nelle due bobne. Da questa relazone s deduce che lo strumento msura, medante l'angolo d deazone del suo ndce, l prodotto delle corrent nelle due bobne. n regme snusodale, essendo le due corrent arabl nel tempo tale sarà anche la coppa elettromagnetca: d conseguenza, la bobna moble non s arresta, teorcamente, n una determnata poszone (come accadea nel caso precedente) ma osclla ntorno ad una poszone che sarebbe d equlbro se s applcasse una coppa costante par al alor medo n un perodo della coppa elettromagnetca stantanea. n pratca, però, l'nerza della bobna moble è suffcente, d regola, a rendere napprezzable l fenomeno oscllatoro, coscché l'ndce dell'appareccho appare fermo ed ndca l'angolo d deazone medo corrspondente, come s è detto, alla coppa elettromagnetca meda. n questo caso ale qund la relazone: α k doe ( (t) (t) ) d sfasamento e T k medo (t) (t)dt K cos θ (**) T sono alor effcac delle due corrent e θ è l' angolo dell' una rspetto all' altra : θ α α e (*) e (**) sono le formule fondamental su cu s basa l funzonamento degl stru-

348 48 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ment elettrodnamc; a partre da esse mostreremo ora come sa possble, medante opportuna dsposzone delle bobne, far sì che l'appareccho msur una corrente, una tensone o una potenza atta. Amperometro. Se s dspongono le due bobne d uno strumento elettrodnamco n sere tra loro e s nsersce lo strumento n sere con l'utlzzatore U d cu s uol msurare la corrente, l'appareccho stesso s comporta come un amperometro, ossa come un msuratore d corrente: Edentemente, rsulta: ϑ d conseguenza la (**) denta αk che mostra come la poszone dell'ndce fornsca, su una scala quadratca, l alore effcace della corrente da msurare. n corrente contnua, la poszone dell'ndce fornsce drettamente l alore della corrente. S osser, n conclusone, che un amperometro dee aere, come requsto fondamentale, un'mpedenza nterna molto pccola n modo tale da non alterare l regme delle corrent preesstente nel crcuto falsando così la msura. Voltmetro. n un oltmetro elettrodnamco le due bobne sono dsposte n sere ed - noltre l loro complesso è n sere con una resstenza d alore eleato; l'appareccho è nserto n parallelo all'utlzzatore U d cu s uole msurare la tensone a morsett:

349 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 49 ndcata con la corrente assorbta dal oltmetro, s ha : e θ e qund la (**) denta : α k. Dalla legge d Ohm smbolca s ha che la corrente V/Z è proporzonale alla tensone V e percò la precedente relazone denta: αk V doe la nuoa costante k tene conto dell mpedenza del ramo oltmetrco. Da cò s deduce che la poszone dell'ndce dell'appareccho fornsce, su scala quadratca, l alore effcace della tensone da msurare; n corrente contnua lo strumento msura l'effetto alore della tensone a cap dell'utlzzatore U. Osseramo, nfne, che un oltmetro dee aere come requsto fondamentale un'mpedenza nterna molto e- leata (a tal fne s nsersce n sere con le bobne la resstenza ) perché, se così non fosse, l oltmetro assorbrebbe una corrente d alore non trascurable e perturberebbe l regme delle corrent e delle tenson del crcuto, coscché l alore d tensone msurato non corrsponderebbe a quello effettamente preesstente nel crcuto stesso. Wattmetro. o strumento elettrodnamco atto a msurare la potenza atta assorbta da

350 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca un certo utlzzatore U è ottenuto dsponendo le bobne come n fgura: a bobna dsposta n sere con U è detta bobna amperometrca mentre la bobna dsposta n parallelo ad U è detta bobna oltmetrca. Anche n questo caso l'nserzone dello strumento non dee ntrodurre una sensble perturbazone nel crcuto e pertanto la bobna amperometrca dee essere d bassa mpedenza mentre l ramo oltmetrco dee presentare un'eleata mpedenza. Valgono, noltre, le seguent relazon: e,doe e V rappresentano alor effcac, rspettamente, della corrente nell utlzzatore e della corrente nel ramo oltmetrco. Quest'ultma, n partcolare, è proporzonale, per la legge d Ohm smbolca, alla tensone V a cap del ramo oltmetrco e, qund, la relazone (**) s scre come: α k ' V cosθ ramo oltmetrco. (* * *), doe la nuoa costante k' tene conto anche dell'mpedenza del Soffermando ora l'attenzone sull'angolo θ (angolo d sfasamento tra le corrent nelle due bobne) s ossera che esso concde con l'angolo ϕ d sfasamento tra e V a patto che s possa rtenere puramente ressta l'mpedenza del ramo oltmetrco. nfatt, n tal caso la corrente nel ramo oltmetrco è n fase con la tensone V e algono le seguent relazon: α α θ α doe α, α, α α k' V cosϕ k' P α α n defnta, la (***) denta : α α α ϕ sono gl argoment de numer compless V,,. (Nota: quest'uguaglanza è alda perchè s è supposta pccola l'mpedenza della bobna amperometrca e qund trascurable la caduta d tensone su d essa n modo da poter rtenere la tensone a cap dell'utlzzatore par a V). a precedente relazone mostra come l'ndce dello strumento fornsca, su scala lneare, la msura della potenza rchesta.

351 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5 S rcord, nfne, che nel wattmetro, la resstenza dee aere alore eleato non solo per lmtare la corrente nel ramo oltmetrco ma anche per poter trascurare la reattanza ndutta d questo stesso ramo n modo da poterlo consderare come un ramo puramente ressto con le conseguenze prma descrtte.

352 5 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO. UTEO METOD PE A SOUZONE D UT OMPESS 54.. ANAS NODAE 54.. METODO DEE MAGE O DEE OENT D OABEO 7

353 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 5

354 54 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca. Ulteror metod per la soluzone d crcut compless.. Anals nodale Tale metodo ene frequentemente utlzzato per la soluzone d crcut resst lnear e non lnear, tempo-narant e tempo-arant ma può anche essere generalzzato a crcut dnamc o a crcut n regme snusodale. Tuttaa l'anals d nodo è applcable ad una pù rstretta gamma d crcut rspetto al metodo dello sparse tableau che nece è molto generale e può essere utlzzato per qualsas tpo d crcuto: nfatt l'anals d nodo non consente lo studo d crcut che contengano anche un solo elemento non controllable n tensone. D'altra parte l'anals d nodo rentra ne cosddett metod rdott che consentono, coè, d rsolere un crcuto basandos su un sstema d e- quazon d ordne nferore rspetto al numero d arabl d rete. nfatt per un crcuto con n nod e b lat occorrerebbe un sstema d b equazon che consentsse d determnare tutte le ncognte del crcuto e coè le corrent e tenson d lato (n numero par propro a b); per d pù, nel metodo dello sparse tableau, a fronte d una maggore generaltà nell'applcazone del metodo a ar crcut, s ha anche lo santaggo d screre un numero d equazon ancora pù alto, par coè a (bn), doe n è l numero d nod ndpendent nel crcuto, n quanto le arabl da determnare non sono soltanto le corrent e tenson d lato ma anche le tenson nodal. 'anals d nodo consste, nece, nella formulazone d un sstema d n equazon che può essere posto nella seguente forma: [ Y ] [ e] [ ] (.) n s doe [ Y n ] è una matrce quadrata d ordne n ed è detta matrce delle ammettenze nodal; [ e ] è l ettore delle tenson nodal, oamente d dmensone n; [ ] è detto ettore delle sollectazon equalent n corrente cu element sono, dmensonalmente, delle corrent (anche questo ettore è d ordne n). Una olta determnate le tenson nodal medante la soluzone del suddetto sstema bsogna po rcondurs alle tenson d lato sfruttando la relazone: s [ ] [ A] T [ e] doe A è la matrce d ncdenza rdotta assocata al crcuto e, successamente, rcaare le corrent d lato nell'potes che tutt gl element del crcuto sano controllat n tensone. n questo consste l'operazone d post-processng assocata all'anals nodale. E' tuttaa necessara una fase d pre-processng consstente, sostanzalmente, nell'esprmere tutte le corrent d lato n funzone delle tenson nodal. 'anals d un crcuto medante l metodo nodale può essere condotta n modo sstematco o, per crcut

355 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 55 semplc, 'per spezone': n entramb cas s dee gungere alla formulazone dell'equazone matrcale (.) sta prma solo che, nel metodo sstematco, per fare cò, s rcorrerà alla scrttura d tutte le equazon d lato, delle.k.. e.k.t. rferte a cosddett lat classc del crcuto che defnremo fra poco, mentre nel metodo 'per spezone' s arrerà drettamente alla scrttura della (.) medante una semplce 'spezone' del crcuto secondo opportune conenzon. omncamo col descrere l'anals nodale per a sstematca. Occorre a tale scopo defnre l lato tpco d un crcuto: Esso è costtuto da un elemento collegato n sere ad un generatore d tensone con un generatore d corrente n parallelo. 'elemento ndcato con z k rappresenta un resstore d resstenza k nel caso n cu l crcuto sa ressto, un resstore, un condensatore o un nduttore nel caso d crcuto con andamento dnamco ed un'mpedenza nel caso d crcuto n regme snusodale (oamente, n tal caso tutte le arabl del crcuto saranno espresse medante fasor corrspondent). n generale, chameremo tale elemento 'passo' nel senso che non è un generatore. Naturalmente le forme d'onda de due generator present nel lato classco possono essere entrambe nulle oppure una nulla e l'altra dersa da zero: coè l lato tpco può essere costtuto dal solo elemento passo oppure dall'elemento passo n sere al generatore d tensone oppure dall'elemento passo n parallelo al generatore d corrente oppure dall'ntera struttura come mostrata n fg... n altr termn, l lato tpco mpone che nel crcuto non possono essere present generator d tensone che non abbano n sere un elemento passo o generator d corrente che non abbano n parallelo un elemento passo. Qualora nel crcuto n esame non sano soddsfatte tal condzon bsogna rcondurs ad esse medante o- perazon d V-shft e -shft: la prma consste nello spostamento d generator d tensone, la seconda nello spostamento d generator d corrente senza che engano altera-

356 56 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca te le tenson e le corrent ne lat della rete (fatta eccezone per l lato atto preso n consderazone). S supponga, ad esempo, d consderare l tratto d crcuto mostrato n fg..a: ome s ossera, l generatore d tensone non ha n sere alcun elemento passo: occorre, allora, spostarlo opportunatamente n modo tale, però, che l nuoo crcuto sa equalente a quello nzale. noltre, tenendo presente che un generatore d tensone non mpone ncol sulla corrente, effettuando lo shft del generatore d tensone bsogna fare n modo che le relazon mposte dalle.k.t. nel crcuto equalente sano ugual a quelle nel crcuto nzale. S procede, dunque, sosttuendo l generatore d tensone con un cortocrcuto; dopo d che, scelto uno de due nod tra qual è collegato l generatore d tensone, per esempo l nodo A, s 'spnge' l generatore d tensone ne lat che conergono n tale nodo, mantenendo narata la sua polartà, come mostrato n fg..b. Sembrerebbe n tal modo d perdere nformazon sulla corrente nel lato A-B: n realtà non è così perché, una olta rsolto l crcuto equalente, posso sempre determnare tale corrente applcando la.k.. al nodo B. S supponga ora d consderare l tratto d crcuto mostrato n fg..a: ome s ossera, l generatore d corrente non ha n parallelo alcun elemento passo. Occorre, allora, spostarlo opportunatamente. noltre, tenendo presente che un generatore d corrente non mpone alcun ncolo sulla tensone, effettuando lo shft del generatore d corrente bsogna fare n modo che le relazon mposte dalle.k.. del crcuto equalente sano ugual a quelle nel crcuto nzale. S procede, dunque, sosttuendo l generatore d corrente con un crcuto aperto; dopodché, s dspone n parallelo a cascun elemento appartenente ad un cammno tra A e B un generatore d corrente (con la stessa forma d'onda J) e dretto n modo tale da rspettare l ncolo mposto dal generatore d corrente n fg..a: s ottene, qund, l crcuto equalente mostrato n fg..b. Sembrerebbe n tal modo d perdere nformazon sulla tensone a cap del generatore d corrente n fg..a: n realtà non è così perché una olta rsolto l crcuto equalente s può ottenere tale tensone come dfferenza d tensone tra nod A e B nel crcuto d fg..b. n defnta, qualora l crcuto n esame non soddsf le potes preste dal metodo nodale sstematco s operano trasformazon V-shft ed -shft n modo da ottenere un crcuto equalente a quello nzale ma formato da una connessone d sol lat tpc. Quest spostament d generator possono portare a stuazon

357 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 57 partcolar qual: generator d tensone n parallelo ad un generatore d corrente generator d corrente n sere ad un generatore d tensone ma tal combnazon sono state gà studate nel captolo. n partcolare s è sto allora che: un generatore d tensone n parallelo ad un elemento è equalente ad un generatore d tensone (con la stessa forma d'onda); un generatore d corrente n sere con un elemento e' equalente ad un generatore d corrente (con la stessa forma d'onda). Precsato cò, edamo come sa possble rcaare l'equazone matrcale (.) su cu s basa l metodo nodale. Anztutto, supponamo, per comodtà, che l crcuto sa ressto e lneare, qund, l lato tpco denta: Per l generco lato k-esmo s può screre: ( E ), con G (.) k Jsk Gk k sk k k Estendendo questa relazone a tutt lat del crcuto, che supponamo sano n numero par a b, s ottene:

358 58 [ ] [ G ] ( [ ] [ E ]) [ J ] b s s (.) Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca con oo sgnfcato de smbol. noltre, algono le seguent relazon: T [ ] [ A] [ e] (.4) e [ A] [ ] (.5) Moltplcando la (.) per la matrce d ncdenza rdotta s ha: [ A] [ ] [ A] [ Gb ] [ ] [ A] [ Gb ] [ Es ] [ A] [ Js ] [ A] [ G b ] [ ] [ A] [ Gb ] [ Es ] [ A] [ Js ] T [ A] [ G b ] [ A] [ e] [ A] [ G b ] [ Es ] [ A] [ Js ] (.6) T Posto : [ Yn ] [ A] [ Gb ] [ A] e [ s ] [ A] [ Gb ] [ Es ] [ A] [ J s ] (.7) la (.6) denta : [ Y ] [ e] [ ] che concde propro con la (.). n s da cu per la (.5) s ha : e qund sfruttando la (.4): S ossera, n partcolare, che l ettore [ s] può essere consderato come somma d due ettor e coè: [ A] [ ] [ ] G b E S cu termn sono dmensonalmente delle corrent e rappresentano per ogn nodo (ndduato da una rga d A) la somma delle corrent de generator equalent secondo Norton de generator d tensone (cascuno n sere ad un elemento passo) eentualmente presente ne lat (ndduat dalle colonne d A) che conergono nel nodo n esame; [ ] [ ] A J s cu termn sono ancora delle corrent e rappresentano, per ogn nodo, la somma delle corrent de generator d corrente eentualmente present ne lat del crcuto che conergono nel nodo n esame. Per maggore charezza, facendo rfermento al generco lato tpco, proamo a determnare l'equalente secondo Norton del generatore d tensone n sere al resstore come mostrato n fgura:

359 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 59 Dunque, s può screre: k G k k J sk G k E sk (.8) Gl ultm due addend nella (.8) rappresentano, rspettamente, la forma d'onda del generatore d corrente presente nel lato k e la forma d'onda del generatore d corrente equalente secondo Norton alla sere costtuta dal generatore d tensone e dal resstore (d resstenza k) present nel lato classco. Estendendo questa osserazone a tutt lat del crcuto n esame s comprende quanto detto prma a proposto de due ettor dalla cu somma s ottene l ettore [ s]. Per quanto rguarda, nfne, segn delle corrent che compaono nel ettore [ s] ess s deducono dalla relazone (.6) e dalle conenzon adottate nel lato tpco (perché è n base a queste che s è ottenuta l'equazone matrcale (.)): ne segue che l generco elemento k-esmo del ettore [ s] s ottene come somma algebrca delle corrent entrant nel nodo k ed ntendendo come poste propro le corrent entrant. Quanto detto snora può essere faclmente esteso anche a crcut con andamento dnamco nel tempo ed a crcut n regme snusodale per qual l'equazone del modello nodale s scre, rspettamente, come:. [ Y (D)] [ e] [ ] (.9) e Yn(jω ) [ E] [ ] (.) n s s a relazone (.9) mette n edenza che nel caso d crcut dnamc alcun element della matrce delle ammettenze d nodo potranno dpendere dal smbolo D che è l'operatore d derazone rspetto al tempo. Se, nfatt, mmagnamo d sostture l resstore nel lato d fg..4 con un condensatore o con un nduttore potremo esprmere la corrente che attraersa tale lato come:

360 6 k k D D ( E ) k J nel caso del condensatore e ( E ) J nel caso dell'nduttore. k sk sk sk sk Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Se, nece, l crcuto è n regme snusodale la matrce [Y n] arà come element delle ammettenze che, n generale, sono espresse n funzone d jω (a meno che non sano puramente resste) ed al posto delle tenson nodal e delle are corrent c saranno corrspondent fasor. onsderamo, ora, a ttolo d'esempo l seguente crcuto ressto ed applchamo l metodo nodale per a sstematca: S ossera che l generatore d tensone non è n sere a nessun resstore ed l generatore d corrente non è n parallelo a nessun resstore. Occorre, qund, effettuare un'operazone d V-shft ed un'operazone d -shft. l crcuto denta:

361 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 Abbamo così ottenuto un crcuto equalente a quello nzale ma pù adatto per l'applcazone del metodo nodale. Su tale crcuto (coè quello d fg..7) s scegle un nodo come rfermento (generalmente quello d grado maggore) e s fssano de ers per le corrent su ogn lato classco. S ossera che sono present n nod ndpendent (coè nod, e ) e b6 lat. omncamo col screre la matrce d ncdenza rdotta assocata al crcuto n esame (c rferamo al grafo assocato, fg..7bs): [ ] A Per determnare la matrce delle conduttanze d lato bsogna consderare l crcuto passo e screre le relazon d lato n forma matrcale ottenendo: [ ] b G G G G G G G Possamo, qund, screre la matrce delle ammettenze nodal come: [ ] [ ] [ ] [ ] (*) G G G G G G G G G G G G A G A Y T b n

362 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 Scramo ora ettor delle sollectazon d lato: [ ] [ ] J J J e E E E s s (Nota: s attrbusce un segno posto a que generator d tensone o corrente dspost nel crcuto n modo concorde alla rappresentazone utlzzata nel lato). Ottenamo, così, l ettore delle sollectazon equalente: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (**) J E G E G J E G J J E G J A E G A s s b s Per come è fatta la matrce [ ] n Y e l ettore [ ] s possamo rcaare la seguente regola generale che c consente d ottenere l equazone su base nodo d un certo crcuto medante una semplce spezone del crcuto stesso: l'elemento dagonale d ndce nella matrce [Y n] è par alla somma d tutte le conduttanze che conergono nel nodo ; l'elemento extradagonale d ndc e j nella matrce [Y n] è par all'opposto della somma delle conduttanze comprese tra nod e j del crcuto n esame; l'elemento -esmo del ettore [ s] è par alla somma algebrca delle corrent d tutt generator che conergono nel nodo (prendendo poste le corrent entrant), sa che s tratt d generator d corrente ndpendent present nel crcuto sa che s tratt d generator d corrente ottenut da equalenze secondo Norton.

363 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 6 Per poter, qund, applcare l metodo nodale 'per spezone' è necessaro effettuare prma le e- qualenze secondo Norton d tutt generator d tensone n sere a resstor; nel caso appena esamnato s farà, dunque, rfermento al seguente crcuto equalente a quello d fg..7: Osserando tale crcuto e sfruttando le regole suddette è facle rcaare drettamente lo stesso rsultato che abbamo ottenuto per a sstematca. Qualora l crcuto nzale sa costtuto da sol resstor la matrce [G b], detta matrce delle conduttanze d lato, è oamente dagonale e qund la Y n e' smmetrca; se, nece, sono present de generator plotat essa perde tale caratterstca: edamo perché. Anztutto, se nel crcuto sono present de generator plotat quest deono essere necessaramente controllat n tensone per poter applcare l metodo nodale: noltre, generator plotat engono trattat allo stesso modo d quell ndpendent e, qund, se necessaro, subscono anch'ess o- perazon d shft. Supponamo, ad esempo, che nel crcuto sa presente un lato d questo tpo:

364 64 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca doe y è la corrente che attraersa l lato y l quale, per comodtà, supporremo sa costtuto da un solo resstore con conduttanza G y tale che: yg y y. Possamo screre, dunque: x x x x x x k kg x y y y x x x kg G x y x y, da cu s ottene : kg x G y y, con G x x Quest'ultma relazone contrburà alla scrttura della matrce G b con due termn: la conduttanza G x nel posto d rga x e colonna x e la conduttanza G y nel posto d rga x e colonna y: per questo moto, n presenza d generator plotat la matrce G b non può essere dagonale. Poché l metodo 'per spezone' sarà quello che useremo pù frequentemente edamo come deono essere trattat, con tale metodo, generator plotat facendo rfermento allo stesso crcuto dell'esempo precedente a cu, però, è stato aggunto un generatore d corrente plotato dalla tensone a cap del resstore d resstenza come mostrato n fgura: Poché le arabl del modello nodale sono le tenson d nodo bsogna esprmere la forma d'onda del generatore plotato n funzone d esse (s rcord, comunque, che per l'applcazone del metodo nodale tal generator deono essere controllabl n tensone). Nel caso n esame possamo screre: e E E e, da cu s ottene : 7 g ge ge (*)

365 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 65 (Nota: n generale, quando s esprme la forma d'onda d un generatore plotato n funzone delle tenson nodal tale operazone s effettua sempre prma d realzzare nel crcuto eentual equalenze secondo Norton, perché n tal modo s potrebbero perdere delle nformazon; nel caso n esame, allora, la suddetta relazone (*) è stata ottenuta facendo rfermento al crcuto d fg..7 e non a quello d fg..). D conseguenza, l'equazone del modello nodale denta la seguente (s rcordno le regole ctate precedentemente): [ ] [ ] [ ] J E G E G e e e G G G G G G G G G G G G e Y s n S osser come a secondo membro compaono termn funzone delle arabl del modello (la tensone nodale e ). portando a prmo membro tal espresson s ottene: J E G ge ge E G e e e G G G g G G G G G g G G G G J E G E) g(e E) g(e E G e e e G G G G G G G G G G G G Se la forma d'onda del generatore plotato fosse del tpo: 7k 5 aremmo douto esprmere la corrente del lato 5 n funzone delle tenson nodal come: 7k 5kG 5 5kG 5(e -e ) e qund l equazone del modello nodale sarebbe dentata:

366 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 66 J E G E G e e e G G G G kg G G G kg G kg G kg G G G Se nel crcuto nzale fossero present generator plotat d tensone s procede n manera analoga al caso precedente: s tenga presente, comunque, che ess deono sempre troars, nel crcuto nzale, n sere ad un resstore (o, n generale, ad un elemento passo) n modo tale da poter essere trattat allo stesso modo de generator ndpendent d tensone, coè n modo tale da poter sostture a questa sere l generatore d corrente equalente secondo Norton n parallelo allo stesso resstore. Vedamo ora u- n'applcazone del metodo nodale ad un crcuto con andamento dnamco nel tempo: omncamo osserando che l generatore d tensone plotato dee essere shftato n quanto non è n sere ad alcun elemento passo; ottenamo, allora, l seguente tratto d crcuto: Tenendo presente che la corrente che attraersa l resstore d resstenza è la stessa d quella che attraersa l generatore plotato d tensone (ed fg..a), ndcando con ' la tensone del generatore plotato, s può screre:

367 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 67 ' k k ' ' ( k ) da cu segue che la sere costtuta dal resstore e generatore plotato d tensone è equalente ad un solo resstore d resstenza par a: k ome mostrato n fg..b. l passo successo consste nella determnazone della rappresentazone controllata n tensone dell'nduttore bporta che è data, analtcamente, dalle seguent relazon (ed pagg. 9-9): (t) ΓD (t) ΓD (t), doe D Γ D (t) Γ D (t) (t) ntegrazone nel tempo, doe s sono supposte nulle le condzon nzal su due nduttor e doe algono le seguent relazon : Γ M Γ M rappresenta l'operatore d M Γ M D conseguenza, l tratto d crcuto n fg.. corrspondente all'nduttore bporta sarà sosttuto dalla seguente porzone d crcuto equalente:

368 68 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Tenendo presente, nfne, quanto detto a pag. 56, possamo sostture la sere costtuta dal generatore d tensone con forma d'onda e(t) e dal condensatore (che supponamo nzalmente scarco) con l seguente crcuto equalente: (Nota: D è l'operatore d derazone rspetto al tempo). n defnta, l crcuto d fg.. denta: (S not che è stato scelto l nodo 5 come rfermento; alor delle corrent de ar generator sono stat gà rcaat e non sono stat rportat n fg..5 per comodtà). ome ultma operazone esprmamo le seguent arabl n funzone delle tenson nodal: 4 4D e e e 4 De 4 A questo punto possamo applcare l metodo nodale 'per spezone' ottenendo, come s

369 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 69 può erfcare, la seguente equazone matrcale che rappresenta l modello su base nodo del crcuto n esame: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ De(t) De(t) e e e D k D G D D D D D D D D D D D D k e condzon nzal s ottengono faclmente. nnanztutto è conenente rappresentare le corrent nzal negl nduttor attraerso generator d corrente ndpendent (element controllat n tensone). cordando po le propretà delle arabl d stato, sarà sempre possble esprmere le tenson nodal n t come combnazone lneare delle arabl d stato e degl ngress n t. Per concludere cerchamo d dare un'nterpretazone fsca agl element che costtuscono la matrce delle ammettenze nodal. Scramo n forma estesa l'equazone matrcale del modello nodale: [ ] [ ] [ ] (*) e y... e y e y... e y... e y e y e y... e y e y e Y n n nn n n n n n n s n Anztutto, osseramo che gl element della matrce [Y n] s rferscono alla rete passa. noltre, s può screre: j k k e j e j y, rapporto tra la arable d nodo corrente entrante nel nodo e la arable d nodo tensone e j quando tutt gl altr nod nel crcuto tranne l nodo j, sono mantenut a tensone nulla.

370 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Se, per esempo, prendamo n esame l crcuto d fg..7 passato: S ha dunque: y e 5 e G e e e G e G 5 5 ( G G G ) 5 e, e qund : che concde col alore troato n precedenza. Un dscorso analogo può essere fatto per Y Per esempo: tutt gl altr element della matrce [ ] n y e e e n questo caso (corrente relata al nodo e posta se entrante) è par a: (e 4-e )G 4 -(e -e )G 5 (e -e )G 6 e nelle condzon crcutal d defnzone (e e ) s ha: y (-e G 5/e ) -G 5.

371 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 S not, nfne, come n realtà lo shft d un generatore d corrente non sa strettamente necessaro nel metodo nodale n quanto esso stesso è un elemento controllato n tensone. A tutt gl effett lo s può consderare come un lato n pù, d conduttanza nulla. Pertanto, nulla camba sa nel metodo sstematco che n quello per spezone... Metodo delle magle o delle corrent d coalbero. l metodo delle magle o delle corrent d coalbero è un metodo rdotto come quello nodale e, qund, come tale presenta gl stess antagg e santagg d quest'ultmo: coè, da una parte non può essere applcato a qualsas tpo d crcuto n quanto rchede che tutt gl element present nel crcuto sano controllabl n corrente: nfatt, e- entual generator d corrente present nel crcuto deono essere necessaramente collegat n parallelo ad un elemento passo (ntendendo con cò un elemento che non è un generatore, come, ad esempo, un resstore se l crcuto è ressto, oppure un condensatore od un nduttore se l crcuto è dnamco oppure, n generale, un'mpedenza se l crcuto è n regme snusodale) n modo tale che sa possble sostture tale parallelo con un generatore d tensone equalente secondo Theenn n sere allo stesso e- lemento passo. D'altra parte, così come l'anals nodale, anche l metodo delle magle rentra ne cosddett metod rdott n quanto s basa sulla formulazone d un sstema d (b-n) equazon (doe b è l numero d lat ed n è l numero d nod ndpendent) che può essere posto nella forma: [ z ] [ j] [ ] (**) m e s doe [ z m ] è detta matrce delle mpedenze d magla ed è una matrce quadrata d ordne par a mb-n; [ j ] è l ettore delle corrent d coalbero mentre [ e ] è l ettore delle sollectazon equalent n tensone e sono entramb d ordne mb-n. Gl ele- e sono dmensonalmente delle tenson. Vedamo ora come sa ment del ettore [ ] s possble rcaare l'equazone (**) sa per a sstematca, utlzzando coè tutte le equazon d lato e quelle derant dall'applcazone delle.k.t. e.k.., sa per 'spezone' del crcuto n esame. Naturalmente quando s utlzza l metodo sstematco bsognerà sempre fare rfermento al lato tpco gà defnto nell'anals nodale. Supponamo, allo- s

372 7 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ra, che l crcuto n esame, dopo esser stato trasformato n uno equalente medante operazon d shft (se necessare) abba un grafo orentato ad esso assocato d questo tpo: E' stato fssato un albero qualsas: lat dell'albero sono par a n e qund quell del coalbero sono par a m b-n: nel nostro caso, le corde sono tre (quelle tratteggate) e cascuna d esse nddua una magla fondamentale. S osser, noltre, che per comodtà numeramo prma le corde e po lat dell'albero. Fatto cò, s scre la cosddetta matrce delle magle, che denoteremo con [B]: essa ha un numero d rghe par al numero de lat d coalbero (m b-n) ed un numero d colonne par al numero de lat (b). suo element sono -,, e s determnano n base alla seguente regola: anztutto, per ogn magla fondamentale s fssa un erso d percorrenza che è mposto da quello scelto sul lato d coalbero che nddua la magla stessa; dopodché, fssata una magla (coè una rga della matrce [B]) s attrburà a que lat (coè colonne d [B]) che s troano nella magla n esame e sono attraersat n senso concorde a quello d percorrenza della magla, - a que lat della magla che sono attraersat n senso dscorde a quello d percorrenza della magla e a que lat che non appartengono alla magla n esame. Allora, nel nostro caso s ha: [ B ] Questa matrce c consente, dunque, d stablre qual sono lat che compongono le magle fondamental ed l erso con cu engono percors. S osser, noltre, che tale matrce [B] s può sempre sudddere n due sub-matrc, una assocata al coalbero, che è sempre untara, e l'altra assocata all'albero. Per come è stata defnta la matrce [B] ale la seguente relazone: [ ] [ ] B (.) che rappresenta propro, n forma matrcale, la.k.t. applcata alle magle fondamental. onsdero ora la matrce trasposta d [B]: edentemente, leggendo le rghe d tale matrce (ossa le colonne d [B]) posso stablre, per cascun lato del crcuto, a quale

373 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 7 magla fondamentale appartene. Tenendo presente cò, ndco con: [ j ] l ettore delle corrent d coalbero (dmensone par a b-n) e con [ ] l ettore delle corrent d lato (dmensone par a b) Edentemente s ha: j j j (.) D'altra parte ossero che cascun ramo d'albero nddua un nseme d taglo fondamentale: consderando, ad esempo, l ramo 4 nel grafo d fg..7 esso nddua l'nseme d taglo fondamentale formato da lat (4--). Applcando ora la.k.. alla superfce gaussana che nddua tale nseme d taglo ed attrbuendo un segno posto alla corrente del ramo d'albero ed a quelle corrent d corda concord con essa, s può screre: 4 j j 4 4 j j (.) Tenendo presente la (.) ed estendendo quanto detto per la (.) a tutt lat dell'albero s erfca che: [ ] [ B] T [ j] (.4) n pratca la matrce trasposta d [B] consente d esprmere le corrent d lato come combnazone lneare delle corrent d coalbero. onsderamo, nfne, l lato tpco (ed fg..) e ne damo la rappresentazone controllata n corrente: k z k ( denta : k J sk ) E (.5), che estesa a tutt lat del crcuto [ ] [ Z ] ( [ ] [ J ]) [ E ] (.6) b sk s s Premoltplcando due membr dell'equazone (.6) per la matrce [B] s ottene:

374 74 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca [ B] [ ] [ B] [ Z ] [ ] [ B] [ Z ] [ J ] [ B] [ E ] b la (.) e la (.4) s ottene : T [ B] [ Zb ] [ B] [ j] [ B] [ Zb ] [ J s ] [ B] [ Es ] [ zm ] [ j] [ es ] T doe s è posto :[ z ] [ B] [ Z ] [ B] e [ e ] [ B] [ Z ] [ J ] [ B] [ E ] m b b s s s, da cu utlzzando b s (.7), s n manera analoga a quanto sto per l metodo nodale, l ettore delle sollectazon equalent s ottene come somma d due termn e coè l ettore:[ B] [ Z b ] [ J s ] cu e- lement rappresentano, per ogn magla fondamenetale, la somma delle forme d onda de generator d tensone equalent secondo Theenn present nella magla stessa e l ettore [ B] [ E s ] cu element rappresentano, per ogn magla fondamentale, la somma de generator d tensone ndpendent present nella magla stessa. Nel metodo per 'spezone' l'equazone matrcale del modello su base magla s rcaa seguendo questa semplce regola (nel caso d un crcuto ressto senza generator plotat): l'elemento dagonale d ndce della matrce delle mpedenze d magla è par alla somma d tutte le resstenze present nella magla fondamentale -esma; l'elemento extradagonale della matrce delle mpedenze d magla d ndc e j è par alla somma algebrca delle resstenze comun alle magle -esma e j-esma (saranno consderate poste quelle resstenze che engono percorse nello stesso erso dalle corrent delle due magle n esame); l'elemento -esmo del ettore delle sollectazon equalent è par alla somma delle tenson de generator d tensone present nella magla -esma, facendo rfermento non solo a generator d tensone effettamente present nella magla ma anche a quell che s ottengono sosttuendo ad un resstore n parallelo ad un generatore d corrente l'equalente secondo Theenn costtuto dallo stesso resstore e da un generatore d tensone. Per quanto rguarda segn delle tenson d tal generator ess saranno post se spngono corrente (dal polo posto a quello negato) n erso concorde a quello d percorrenza della magla fondamentale n cu s troano (coè n erso concorde alla corrente della corda che nddua la suddetta magla); altrment saranno negat.

375 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 75 Supponendo, allora, che l crcuto a cu è assocato l grafo d fg..7 sa l seguente: possamo screre l'equazone matrcale secondo l modello delle corrent d coalbero come segue: E E j j j Se nel crcuto sono present generator plotat allora la matrce delle mpedenze d magla non sarà pù smmetrca e s procede n manera analoga a quanto sto per l'anals nodale; è oo, comunque, che tal generator plotat deono essere controllabl n corrente n modo che sa sempre possble esprmere le loro forme d'onda n funzone delle corrent d coalbero. Se, ad esempo, al posto del generatore d tensone E n fg..8 c fosse un generatore plotato con forma d onda par a k 8, occorrerà prma esprmere tale forma d onda n funzone delle corrent d coalbero come segue: k 8k 8 8-k 8 dopodché l equazone del modello su base magla denta la seguente: E j j j k

376 76 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Quanto detto per crcut resst s può anche estendere a crcut dnamc ed a quell n regme snusodale apportando le stesse modfche ste nel caso dell'anals nodale. ome ultma osserazone, cerchamo d dare un'nterpretazone fsca agl e- lement della matrce delle mpedenze d magla e per far cò scramo l'equazone matrcale (**) alla base del modello delle corrent d coalbero n forma estesa: zj z j... zm j z j z j... z j... zmj zm j... z m m [ z ] [ j] [ e ], con m b - n. m s m j mm m e e e Notamo, anztutto, che gl element della matrce delle mpedenze d magla s rferscono al crcuto passo e cascuno d ess può essere rcaato come: m z j e j j, k k j. coè come rapporto tra e, ossa la somma delle cadute d tensone lungo la magla fondamentale -esma (da non confondere con la tensone del nodo ), e j j ossa la corrente che attraersa l lato d coalbero j-esmo. Ad esempo, facendo rfermento al crcuto d fg..8 passato e tenendo presente quanto appena detto s ha:

377 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 77 ( ) j j j j j e z Qund s ha. j e j j j j D'altra parte rsulta :. j e : che concde con l alore troato n precedenza; lo stesso procedmento può essere rpetuto per tutt gl altr element della matrce delle mpedenze d magla.

378 78 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca APTOO. SSTEM TFASE : DEFNZON E POPETÀ FONDAMENTA 79. SHEMA D AMENTAZONE D UN SSTEMA TFASE 84. UTZZATO TFASE 87.4 TEOEMA D EQUVAENZA 97.5 MSUA DEA POTENZA NE SSTEM TFASE. NSEZONE AON 4.6 SSTEM TFASE ON NEUTO 44

379 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 79. SSTEM TFASE : DEFNZON E POPETÀ FONDAMENTA l trasporto e la dstrbuzone dell'energa elettrca da luogh d produzone (ossa dalle central) a luogh d utlzzazone aene n massma parte per mezzo d lnee elettrche a tre fl: tal lnee, generator che le almentano e gl utlzzator ad esse collegat formano, nel loro complesso, cosddett sstem trfase. o studo d tal sstem potrebbe essere fatto rentrare n quello gà solto nel captolo 9 n quanto sstem trfase altro non sono che partcolar crcut n regme snusodale: tuttaa, data la loro mportanza dal punto d sta tecnco, s è preferto trattarl a parte. n fgura è mostrato lo schema d prn-

380 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca cpo d una lnea trfase che collega un complesso d generazone G ad un carco (costtuto da un crcuto comunque complesso) ndcato con U: e corrent (t), (t), (t) sono dette corrent d lnea e sono tal da soddsfare, n un generco stante t, la seguente relazone ottenuta applcando la.k.. alla superfce gaussana S: (t) (t) (t) (.) onsderamo ora una generca 'sezone' della lnea (n fgura è quella ndduata da S) ntesa come ntersezone fra un pano perpendcolare alla lnea e la lnea stessa. Possamo defnre la cosddetta terna d tenson concatenate come: (t) (t) (t) A A A (t) (t) (t) A A A (t) (t) (t) (.) doe A (t), (t) A e A (t) ndcano le tenson corrspondent a tre punt della lnea appartenent alla sezone S. n altr termn, cascuna tensone concatenata rappresenta la tensone fra due conduttor d lnea n corrspondenza della sezone consderata. Naturalmente arando la sezone n esame, la terna delle tenson concatenate camba e cò a causa delle cadute d tensone sulla lnea stessa; n seguto, però, supporremo d consderare nulle tal cadute d tensone sulla lnea n modo da poter rtenere costante la terna d tenson concatenate su tutta la lnea ndpendentemente dalla sezone n esame. Sommando membro a

381 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 membro le relazon (.) s ottene: (t) (t) (t) (.) Sa la (.) sa la (.) sono equazon a alor stantane nelle qual compaono grandezze snusodal sofrequenzal; come tal, ad esse s può applcare l procedmento d trasformazone tpco del metodo smbolco (ed cap.9) gungendo così alle seguent relazon n termn fasoral: V V V (.4) Tale rappresentazone fasorale è suscettble della seguente nterpretazone geometrca nel pano complesso: precsamente, facendo rfermento alla terna d tenson concatenate, l fatto che la somma de fasor ad esse corrspondent sa nulla comporta che ettor rappresentat d tal fasor, dsegnat nel pano complesso, s dsporranno a trangolo, come mostrato n fg..a: S parla, allora, d trangolo delle tenson concatenate. E' possble anche, mantenendo fsso uno de tre ettor e traslando parallelamente a se stess gl altr due, ottenere la cosddetta stella delle tenson concatenate (che è mostrata n scala rdotta n fg..b). E' d partcolare nteresse l caso n cu alor effcac delle tre tenson concatenate sano ugual fra loro, coè: V V V V Edentemente, ne segue che l trangolo delle tenson concatenate sarà un trangolo

382 8 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca equlatero e, con rfermento alla rappresentazone a stella, s arà che cascun ettore sarà sfasato l'uno rspetto all'altro d, come mostrato n fgura: noltre, fssato V V Defnendo po l'operatore complessoα come segue: α, la terna d tenson concatenate può essere scrtta V V, V, V V come fasore d rfermento, s può screre: V V V 4, α V, αv (*) V come : V V 4 Quando s erfca questa condzone, coè quando alor effcac delle tenson concatenate sono ugual fra loro, s dce che la terna d tenson concatenate è smmetrca; nel

383 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 8 caso appena esamnato s dce anche che è una terna d tenson concatenate d sequenza dretta, questo perché se consdero un qualsas ettore della terna nella stessa sequenza con cu è scrtta nella relazone (*), tale ettore per sorappors a quello che lo precede dee ruotare d n senso posto (coè antoraro). Esste anche una terna d tenson concatenate smmetrca d sequenza nersa rportata n fgura: S può screre allora: V V V V V 4 V V V 4 da cu segue che la terna d tenson concatenate può essere scrtta come: V, V, V V, αv, α V (**) S ossera che, n questo caso, se consdero un qualsas ettore della terna nella stessa sequenza con cu è scrtta nella relazone (**), tale ettore per sorappors a quello che lo precede dee ruotare d n senso negato (coè oraro). e stesse consderazon fatte per la terna d tenson concatenate s possono anche e- stendere alla terna delle corrent d lnea per cu s può parlare d terna smmetrca delle corrent d lnea n sequenza dretta e terna smmetrca delle corrent d lnea smmetrca n sequenza nersa.

384 84 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Per entrambe s arà : screre :, α, α : sequenza dretta, α, α : sequenza nersa., e scelto l fasore e rappresentazon a trangolo d tal terne sono così raffgurate: come rfermento possamo mentre le rappresentazon a stella sono mostrate d seguto:. SHEMA D AMENTAZONE D UN SSTEMA TFASE

385 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 85 Da un punto d sta crcutale, l complesso d generazone G mostrato nello schema generale d un sstema trfase n fg. può essere rappresentato, equalentemente, da tre generator monofase dstnt le cu forme d'onda, snusodal ed sofrequenzal, hanno lo stesso alore effcace e sono sfasate l'una rspetto all'altra d : n altr termn, fasor assocat alle forme d'onda d tal generator formano una terna smmetrca n sequenza dretta. n realtà, s hanno due rappresentazon equalent del complesso d generazone G a seconda che tre generator monofase sano dspost a stella o a trangolo. onsderamo dapprma l caso n cu tre generator sano collegat 'a stella' come mostrato n fgura: Assumendo come rfermento l fasore E g E E α E E αe g g aendo affermato che E g g, E g g, E g g E g, con E g possamo screre : E g E Applcando la.k.t. s ottengono le seguent relazon: g E (*), formano una terna smmetrca n sequenza dretta. g E E E g g g E E E g g g E g α E αe α E g g αe E g g g ( α ) E ( α α ) ( α ) E g g E g Tenendo presente queste relazon e tenendo conto del fatto che E g,e g, E g formano una terna smmetrca n sequenza dretta, è facle erfcare che anche le tenson conca-

386 86 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca tenate formano una terna smmetrca n sequenza dretta: nfatt, se dsegnamo l trangolo delle tenson concatenate questo sarà scuramente equlatero, come mostrato n fgura: Ponendo : V V screre, osserando l trangolo colorato, che : V V Egcos V V E g e V E g E E g g E g (.5) E g, s può Dalla fgura precedente s ossera anche che le tenson concatenate sono n antcpo d sulle tenson de tre generator e, qund sceglendo E g come fasore d rfermento, coè ponendo: Eg E possamo screre le tenson concatenate come segue: g V V V V α V αv E E 7 E 5 g g g (.6)

387 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 87 E suffcente, percò conoscere l alore d E g per determnare la terna delle tenson concatenate. onsderamo ora l caso n cu tre generator monofase dstnt sano collegat a trangolo come mostrato n fgura: Edentemente, s può screre: V Eg V Eg V E g da cu s deduce, rcordando che E g,eg, Eg formano una terna smmetrca n sequenza dretta, che anche le tenson concatenate costtuscono una terna smmetrca n sequenza dretta. n entramb cas sopra consderat s è sto come ad una terna smmetrca d tenson del generatore trfase corrsponda (a meno delle cadute nterne) una terna smmetrca d tenson concatenate a morsett del generatore stesso e, qund (a meno delle cadute sulla lnea), una terna smmetrca d tenson concatenate n qualsas altra sezone d lnea. S conclude che la smmetra e la sequenza delle tenson concatenate dpende essenzalmente dalla smmetra e dalla sequenza delle forme d'onda del generatore trfase (essendo d solto modesta l'nfluenza delle cadute d tensone) e, poché quest'ultma è d norma realzzata, faremo d'ora n po l'potes che sstem trfase sano almentat, salo precsazone contrara, con tenson concatenate smmetrche d sequenza dretta.. UTZZATO TFASE

388 88 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Gl utlzzator (o, come s suol dre, 'carch') d una lnea trfase possono essere costtut da porzon d crcuto comunque complesse; n relazone a cò l calcolo delle corrent relate ad ess s può effettuare, note che sano le tenson concatenate d almentazone, con metod general llustrat nel captolo 9 nerente allo studo de crcut n regme snusodale. E' tuttaa opportuno soffermars su due partcolar utlzzator d uso assa frequente, costtut entramb da tre mpedenze collegate, però, n modo derso. Trangolo d mpedenze. l prmo d ess, rappresentato n fg.7, corrsponde al cosddetto trangolo d mpedenze: Supponamo sa nota la terna d tenson concatenate (smmetrca ed n sequenza dretta) che almenta l carco e supponamo sano note le mpedenze del trangolo: V V. z z o ϕ (rfermento) V V. z z ϕ. z z o ϕ V V 4 o Edentemente rsulta: V. z V. z V. z V z V z V z ϕ 4 o o ϕ ϕ (.7)

389 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 89 Note le corrent nterne al trangolo, quelle assorbte dalla lnea s determnano faclmente facendo rcorso alla.k.. applcata a nod del trangolo: (.8) S not che mentre { cò, n generale, non è ero per le corrent ne lat del trangolo. E' d partcolare nteresse l caso n cu le mpedenze che costtuscono l trangolo sano tra loro ugual, coè s abba:. z.. z z z z ϕ. n tal caso dremo che l carco è equlbrato. n partcolare, rcordando che le tenson concatenate formano una terna smmetrca n sequenza dretta, s deduce, dalle relazon (.7), che anche le corrent nterne al trangolo formano una terna smmetrca n sequenza dretta l cu alore effcace è par a: Ω V z (.9) n fgura è ndcata, nel pano complesso, la terna delle corrent nterne al trangolo (s suppone che sa ϕ>) :

390 9 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca Dalla fgura s ossera, tramte le relazon (.8), che anche la terna delle corrent d lnea è smmetrca ed n sequenza dretta. D conseguenza, posto : s rcaa faclmente che : cos Ω Ω Ω V z (.) Sempre dalla fg.8 s nota che le corrent nterne al trangolo sono sfasate d ϕ n rtardo (aendo supposto ϕ > ) rspetto alle tenson concatenate mentre le corrent d lnea sono sfasate d n rtardo rspetto alle corrent nterne al trangolo delle mpedenze. Sceglendo, dunque, s può screre: Oamente rsulta anche: V come fasore d rfermento : V Ω ( ϕ ) α e V ( ϕ ) z α V, (.) Per quanto rguarda la alutazone energetca, calcolamo la potenza complessa assorbta dal carco nel caso generale n cu esso sa squlbrato, coè le mpedenze che costtuscono l trangolo non sono tutte ugual fra loro; per l teorema d Boucherot, tale potenza può essere rcaata come somma delle potenze complesse assorbte da cascuna mpedenza del trangolo:

391 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 N N V N V P V Q V N N ϕ V ( ) ϕ V cosϕ V senϕ V V ϕ V V cosϕ V * senϕ V ( ϕ ) V ( 4 ) ϕ * cosϕ (.), da cu s ottene anche : senϕ V * (.) ( nota : V (.4) V ) (4 ϕ ) Se l carco è equlbrato rsulterà: ϕ ϕ ϕ ϕ (.) e (.4) s ottene : P V Ω cosϕ Q V da cu, rcordando che : e e Ω Ω senϕ Ω (.5) P, s ha : Q, per le qual, sosttuendo nelle precedent relazon Vcosϕ Vsenϕ (.6) (Nota: s tenga presente che ϕ è sempre l'angolo d sfasamento tra la terna delle tenson concatenate e quella delle corrent nterne al trangolo delle mpedenze; n altr termn, ϕ è l'argomento comune delle tre mpedenze che formano l trangolo n esame). Stella d mpedenze. o schema d questo tpo d utlzzatore è mostrato n fgura: Potremmo descrere l funzonamento d tale carco sfruttando le seguent relazon d Krchhoff:

392 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 perchè è combnazone lneare delle prme due equazon)., z z V non sarebbe stato corretto utlzzare come terza equazone la seguente : (Nota : (.7) z z V z z V S ossera, allora, che l sstema (.7) fornsce le corrent ncognte note che sano le tenson concatenate e le mpedenze che costtuscono la stella. Tuttaa, conene, soprattutto n sta d consderazon future, determnare le corrent d lnea per altra strada. S procede, allora, n questo modo; supponamo sa assegnata la terna d tenson concatenate smmetrca n sequenza dretta e la stella d mpedenze:... z z z z z z 4 V V V V (rfermento) V V ϕ ϕ ϕ S ntroduce una nuoa terna d tenson, dette tenson d fase, che concdono con le tenson a cap d cascuna mpedenza che costtusce la stella: punto O. è la tensone del e V sono le tenson de morsett tramte qual la stella è collegata alla lnea V, V, doe V (.8) z V V E z V V E z V V E O B A. O. O B. O A Applcando ora la.k.t. s può screre: (.9) E E z z V E E z z V E E z z V Quest'ultme relazon legano le tenson concatenate alle tenson d fase. ponamo ora l problema d rcaare le tenson d fase.

393 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 9 Dalle (.9) s deduce l'esstenza d un punto del pano complesso, tale che ettor che congungono con ertc del trangolo delle tenson concatenate sono propro le tenson d fase della stella d mpedenze consderata. D conseguenza l problema s sposta nella determnazone d tale punto, detto anche centro stella. Per far cò s rcorre al ettore spostamento del centro stella che congunge l barcentro G del trangolo delle tenson concatenate, detto centro teorco, con l punto, come mostrato n fgura: Edentemente algono le seguent relazon: E E E E' E E' E E' E (.) doe E è l ettore spostamento del centro stella e doe E ',E',E' è una partcolare terna d tenson d fase, dette anche tenson prncpal. Dalla fg.. s ossera che la terna delle tenson prncpal è smmetrca ed n sequenza dretta (come la terna delle tenson concatenate) ed è facle rcaare la terna delle tenson prncpal noto che sa l alore effcace V delle tenson concatenate; nfatt, s può screre: V E'cos E' E' E' E' E'. V E' (.), doe E' è l alore effcace delle tenson prncpal : noltre, sempre dalla fg.., s nota che la terna delle tenson prncpal è sfasata d n rtardo rspetto a quella delle tenson concatenate; dunque, tenendo conto della

394 94 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca (.) e del rfermento scelto, possamo screre: V E' E' E' α E' E' αe' (.) Aendo ottenuto le tenson prncpal, possamo ora rcaare l ettore spostamento del centro stella nel seguente modo ( Teorema d Mllman ); utlzzando le relazon (.) le corrent d lnea s possono screre come: E. z E. z E. z. y. y. y ( E' E ) ( E' E ) ( E' E )., con y., con y., con y. z. z. z (.) D'altra parte rsulta:. y... y E' y E' y E' E... y y y. ( E' E ) y ( E' E ) y ( E' E ). (.4) n defnta, noto l alore effcace delle tenson concatenate e not alor delle ammettenze che costtuscono la stella, è possble calcolare, attraerso la formula (.4), l ettore spostamento del centro stella e, qund, determnare le corrent d lnea sfruttando le relazon (.). Nel caso partcolare n cu l carco sa equlbrato, coè s abba: z z z z z ϕ y y y. y allora è facle erfcare che l ettore spostamento del centro stella è nullo; nfatt, rcordando che le tenson prncpal formano una terna smmetrca n sequenza dretta e, qund, la loro somma è nulla s ha: E y ( E' E' E' ) y D conseguenza, dalle relazon (.) s deduce che le tenson d fase engono a con-. z

395 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 95 cdere con le tenson prncpal (coè l centro stella concde propro col barcentro G del trangolo delle tenson concatenate) e, percò, le corrent d lnea formano una terna smmetrca n sequenza dretta e s possono rcaare drettamente come: ) 7 ( z V (.5) ) 5 ( z V ) ( z V z E'. z E' ϕ α ϕ α ϕ ϕ (Nota: s rcord che le tenson prncpal sono sfasate d n rtardo rspetto alle tenson concatenate). Per quanto rguarda le consderazon d tpo energetco, ponamoc nel caso d carco squlbrato e alutamo la potenza complessa fornta al carco, sfruttando l teorema d Boucherot, come potenza assorbta dalle tre mpedenze che costtuscono la stella: (.7) sen E sen E sen E Q (.6) cos E cos E cos E P s ottene : D conseguenza, d mpedenze n esame. gl argoment delle tre mpedenze che formano la stella rspettamente, sono,,, doe (*), E E E * E * E * E N N N N ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ D'altra parte, tenendo conto delle relazon (.8), la (*) s può anche screre come: (.9). z m. z m. z m Q (.8). z e. z e. z e P s ottene : D conseguenza, (**). z. z. z N *. z *. z *. z * E * E * E N N N N Nel caso d carco equlbrato s arà:

396 96 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca ϕ ϕ ϕ ϕ E E E E' E' z V z e qund s ottene, osserando le relazon (.6) e (.7): PE cosϕ Vcosϕ (.) QE senϕ Vsenϕ (.) Doe cosϕ prende l nome d fattore d potenza del carco. V (Nota: s rcord che E e che ϕ rappresenta l angolo d sfasamento tra tenson prncpal, e non quelle concatenate, e corrent assorbte dalla lnea coè, n altr termn, è l argomento comune delle tre mpedenze che formano la stella n esame). Potenza stantanea per terne smmetrche e carch equlbrat. a potenza stantanea erogata da una terna smmetrca è par a p(t) e (t)* (t) e (t)* (t) e (t)* (t) doe abbamo ndcato con e j (t) ed j(t) (j,,) la tensone e la corrente stantanea per ogn fase. Se l carco è equlbrato s ha: p(t) E M M π π 4π 4π [cosωt cos( ωt -ϕ ) cos( ωt - ) cos( ωt - -ϕ ) cos( ωt - ) cos( ωt - -ϕ )] da cu, con semplc passagg, s ottene p(t) E cosϕ P f (t) doe P f(t) è la somma d tre grandezze d pulsazone doppa, ma sfasate d o tra lo-

397 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 97 ro (potenza fluttuante). sulta, qund, P f(t) per cu: p(t) E cosϕ P coè la potenza stantanea d un sstema trfase smmetrco ed equlbrato è costante. Essa concde con la potenza meda o reale P..4 TEOEMA D EQUVAENZA Sa assegnato un utlzzatore U qualsas (ed fg..) tale che, almentato da un certo sstema d tenson concatenate assorba dalla lnea un determnato sstema d corrent V, V, V,, : Una stella d mpedenze s drà equalente all'utlzzatore U nella condzone d funzonamento assegnata quando, almentata con lo stesso sstema d tenson concatenate del carco U, rcham dalla lnea le medesme corrent del carco stesso. S not che l'equalenza dpende dalla stuazone d funzonamento consderata (caratterzzata dalle tenson concatenate e dalle corrent d lnea) coscché una stella che sa equalente ad U per un dato funzonamento, n genere non lo è pù al arare d esso. Per defnzone,

398 98 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca le mpedenze d una stella equalente deono, qund, soddsfare l seguente sstema: V V V. z. z. z. z. z. z D'altra parte, come gà detto nel paragrafo precedente, l'ultma equazone d tale sstema s ottene come combnazone delle prme due e, qund, non a consderata. Essendo le ncognte n numero superore alle equazon, l sstema ammette nfnte soluzon, una generca delle qual può essere rcaata fssando arbtraramente un'ncognta, ad esempo z, e rcaando le altre due n funzone d essa. S osser che, essendo l'ncognta che s scegle arbtrara nel modulo e nell'argomento, sono due grad d lbertà nella scelta nzale e pertanto le stelle d mpedenze equalent ad U, nel senso sopra precsato, costtuscono una duplce nfntà. Per ndduare una fra le stelle equalent ad U s può procedere anche n modo leggermente derso, dopo aer osserato che la scelta d un mpedenza, ad esempo z, equale, essendo data la corrente, alla scelta della corrspondente tensone d fase z E e, qund, del centro del sstema d tenson d fase relato alla stella equalente. Possamo, percò, affermare che ad ogn punto del pano é assocata una stella d mpedenze equalente ad U. n defnta, la scelta arbtrara d (che può fars anch'essa con una duplce nfntà d mod, trattandos d un punto del pano complesso) conduce a determnare un sstema d tenson d fase, dal quale, ddendo cascuna tensone per la corrspondente corrente (nota), s deducono le mpedenze costtuent una stella equalente ad U. a proata esstenza d una duplce nfntà d stelle d mpedenze equalent ad U, per una data stuazone d funzonamento, è l contenuto del cosddetto teorema d equalenza per sstem trfase. S osser che una stella d mpedenze che sa equalente ad un carco U nel senso appena charto, lo è certamente anche sotto l proflo energetco, ale a dre essa assorbe dalla lnea trfase le stesse potenze d U. n conseguenza d cò è possble esprmere la potenza complessa rchesta da U come somma delle potenze complesse assorbte dalle sngole mpedenze che formano una qualunque tra le nfnte stelle equalent ad U. S ha qund: * N E E E * * doe E,E, E sono le tenson a cap d una generca stella equalente e, per quanto detto precedentemente, possono ntenders come le component d un qualsas sstema d tenson d fase corrspondente ad un centro, scelto n modo del tutto arbtraro. Possamo, allora, concludere affermando che:

399 Brucol Accan Appunt d Elettrotecnca 99 la potenza complessa assorbta da un utlzzatore U n una data condzone d funzonamento è narante rspetto alla scelta della stella d mpedenze equalente ad U. Benché tale naranza sa conseguenza oa del teorema d equalenza, può essere opportuno erfcarla drettamente. A tal fne s consderno sul pano complesso due generc centr e ' e le corrspondent terne d tenson d fase, come mostrato n fgura: Edentemente s può screre: E' E Ecc' E' E Ecc' E' E E doe E cc' ha come estrem centr consderat. cc' (*), Dunque, la potenza complessa alutata facendo rfermento al centro ' è data da: * * * E' E' N ' E' ( ) mentre facendo rfermento al centro la potenza complessa è data da: * * * E E N E ( )