A quale ambito della fisica ci si riferisce con le parole cinematica scalare?

Transcript

1 Capiolo Cineaica scalare 1. Posizione e leura di orologio A quale abio della fisica ci si riferisce con le parole cineaica scalare? Meccanica è il noe generico della disciplina che sudia l equilibrio ed il ovieno; con il erine cineaica si inende invece quel rao della eccanica che si occupa di forulare una descrizione aeaica del oo dei corpi. In cineaica il oo viene solaene rasforao in equazioni, senza ineressarsi delle azioni che lo hanno prodoo. La parola scalare indica invece che ue le grandezze fisiche rilevani possono essere espresse servendosi solo di nueri con segno: nel prossio capiolo vedreo che quesa seplice siuazione si conrappone alla cineaica veoriale, dove i nueri andranno affiancai con inforazioni geoeriche. Seguendo lo schea inrodoo da Galileo, procedereo per gradi, cioè scoporreo il fenoeno che vogliao sudiare, - il oo dei corpi -, nei suoi cosiueni eleenari, separando ciò che è essenziale da ciò che invece è accessorio. Iaginereo il odello più seplice possibile per un oggeo che si uove e ci concenrereo su di esso, riservandoci poi di aggiungere uleriori livelli di coplicazione solo quando avreo copreso appieno queso prio livello. La condizione più eleenare in cui possiao porci è quella di prescindere dalla fora e dalle diensioni, ed assuere che il corpo in ovieno possa considerarsi coe se fosse un puno. Ci riferireo a quesa seplificazione coe al odello di puno aeriale o di paricella. Cosa significa essere piccolo oppure essere grande? Per puno aeriale non si inende un oggeo piccolo. I erini piccolo e grande hanno significao solaene se vengono inesi coe confrono. Ogni vola che si legge la parola piccolo bisogna sepre chiedersi rispeo a quale scala si sa facendo riferieno: una forica è piccola rispeo ad un uoo a grande rispeo ad un baerio, il pianea Terra è grande ripeo ad una ela a piccolo rispeo al Sole, il quale è a sua vola piccolo rispeo all inera Galassia. 1

2 Si dice puno aeriale un oggeo che può considerarsi piccolo rispeo alla scala delle lunghezze coinvole nel suo oo. Quindi un uoo può essere considerao un puno aeriale solo se si sposa per ragii di lunghezza olo aggiore della scala delle sue diensioni, viceversa non poreo prescindere dalle inforazioni sulla sua fora ed esensione. Il pianea Mare è senz alro un puno aeriale quando sudiao il oo di rivoluzione dei corpi celesi aorno al Sole, a non lo è più quando dobbiao farvi aerrare una sonda. I baeri non sono ceraene puni aeriale per i biologi che ne analizzano la sruura inerna. Le selle vengono considerae alla sregua di paricelle da quegli asronoi che sudiano il ovieno delle sruure su grande scala all inerno della nosra galassia, e così via. Quali inforazioni occorrono per descrivere il oo di una paricella? L insiee delle posizioni nello spazio occupae da una paricella P che si uove è deo raieoria. P s 3.5 P s 0 s.8 Per sudiare il oo di P dobbiao iaginare che queso abbia già descrio la sua raieoria e figurarcela coe una linea nello spazio, una sora binario sul quale P scorre. Adesso occorrono due inforazioni, una spaziale ed una eporale, ed a ale scopo inrodurreo due opporune grandezze fisiche. In che odo possiao associare al puno un inforazione spaziale? La grandezza fisica che ci dà l inforazione spaziale si oiene sabilendo sulla raieoria sessa una posizione di riferieno, e scegliendo di orienarla, indipendeneene dal senso del oo di P, in uno dei due possibili versi di percorrenza. Chiaiao posizione di P il nuero s che esprie la lunghezza 1 (con segno) della porzione di raieoria da percorrere per arrivare parendo dal riferieno fino al puno. Assegnereo alla posizione un segno posiivo quando per andare dal riferieno al puno ci si deve sposare nel verso della raieoria, segno negaivo se ci si deve sposare conro di esso. Ad esepio s 3.5 vuol dire che per arrivare dalla posizione di riferieno a P si devono percorrere 3.5 nel verso da noi scelo per la raieoria, s.8 significa invece che parendo dal riferieno per giungere in P si devono fare.8 in verso conrario all orienaeno della raieoria. E iporane soolineare che il valore di s non rappresena lo spazio realene percorso da P, a è la disanza da una posizione geoerica arbiraria sabilia da noi, dove addiriura il puno P porebbe non essere ai sao. In che odo possiao associare al puno un inforazione eporale? La grandezza fisica che ci dà l inforazione eporale si oiene associando ad ogni posizione di P una siulanea leura di orologio, che espria il epo rascorso a parire da un isane zero di riferieno da noi scelo. Assegnereo alle leure di orologio un segno posiivo quando indicano un oeno successivo all isane zero, ad esepio. s vorrà dire. s dopo l isane zero. Il segno negaivo sarà per le leure di orologio che indicano epi precendeni l isane zero, quindi.3 s significa.3 s pria dell isane zero. In generale l isane zero e la 1 Possiao iaginare di isurare quesa lunghezza conando il nuero di giri di una roellina che scorra lungo la raieoria.

3 posizione di riferieno sono indipendeni, cioè P può anche rovarsi ad esepio in s.3 alla leura di orologio 0 s, uavia in oli dei casi che esainereo risulerà coodo usare coe posizione di riferieno proprio quella che il puno occupa all isane zero. Per quano epo un puno in oo occupa una posizione? Un puno che si uove con coninuià occupa ciascuna posizione per zero secondi: in alri erini una leura di orologio non va inesa coe un inervallo eporale olo piccolo, a coe un isane di duraa nulla. La grandezza s è una posizione isananea, il luogo dove il puno si rova a passare alla corrispondene leura di orologio. Che legae esise fra la posizione e la leura di orologio? Alla coppia di nueri ( s, ) si assegna un noe coplessivo, quello di eveno, in quano si raa di valori senz alro legai fra loro. Ad ogni leura di orologio infai corrisponde l unica posizione s che P occupa in quell isane. Queso viene espresso dicendo che s è funzione di, ed usando la noazione: s( ) che si legge s di. Quindi scrivereo ad esepio s(3.5 s) 3 (e leggereo s di 3.5 secondi uguale 3 eri) inendendo che alla leura di orologio 3.5 s la posizione era 3. Nel caso di un oo generico i valori di s corrispondeni ad ogni epo possono essere oenui solo raie isure e riporai in abelle. Tuavia esisono anche condizioni di oo, per cui si può avere una espressione aeaica delle posizioni in funzione dei epi, ad esepio s( ) 3, che pereono, noa una qualsiasi leura di orologio, di risalire alla posizione corrispondene. Una ale equazione viene dea legge oraria. Esepio 1 Per un puno P in ovieno si rilevano le posizioni in abella nella colonna a desra, alle leure di orologio nella colonna a sinisra. Si dica se, fra le leure di orologio 1 e, P si è coplessivaene avvicinao od allonanao dalla posizione di riferieno, e se è avanzao nel verso di orienaeno della raieoria oppure conro di esso. Si ripea l esercizio fra le leure di orologio e 3, e fra 3 e. epi posizioni.5 s s s s. 3.5 s s s s 1.5 Fra 1 e la posizione diinuisce, passando da s1 3. ad s. quindi P si è osso conro il verso di orienaeno, avvicinandosi nel coplesso alla posizione di riferieno. Fra e 3 la posizione diinuisce, quindi P si è osso coplessivaene ancora conro il verso di orienaeno, però la variabile s è passaa da un valore posiivo s. ad uno negaivo s3 1. il cui valore esprie una disanza più piccola dalla posizione di riferieno, quindi P si è nel coplesso avvicinao ad essa. Fra 3 e la posizione auena, quindi P si è coplessivaene osso nel verso di orienaeno, però ora la variabile s è passaa da negaiva ( s3 1. ) a posiiva ( s 1.5 ) ed il suo ulio valore esprie una aggiore disanza dalla posizione di riferieno, quindi P si è nel coplesso allonanao da essa. 3

4 s s( 1) s( ) Esepio Con riferieno alla abella dell esercizio precedene, si può dire che la differenza s s rappresena la lunghezza del ragio coplessivaene percorso da P fra le 1 leure di orologio 1, e la differenza 1 il epo coplessivaene rascorso? [R: vedi in fondo] Esepio 3 Si ha una paricella che segue la legge oraria s( ) (unià SI). Si dica (1) a quale leura di orologio la paricella passa nella posizione di riferieno, () qual è la disanza dalla posizione di riferieno all isane zero, (3) la lunghezza della arco di raieoria copreso fra le posizioni occupae agli isani s e 7.0 s. (1) La posizione di riferieno corrisponde ad un valore zero per la posizione, quindi dobbiao rovare il valore di che soddisfa la condizione: s( ) ( 5.0 /.0) s.5 s e quindi ha occupao la posizione di riferieno.5 s pria dell isane zero. () La disanza dalla posizione di riferieno all isane zero è sepliceene il valore della grandezza s quando 0 s : s(0 s ) ( ) 5.0 (3) La differenza fra le posizioni finale s( ) ed iniziale s( 1), (evenualene presa con segno posiivo) rappresena la lunghezza della porzione di raieoria copresa: s( ) ( ) 19 s( ) ( ) 1 s( ) s( ) (19 1) 3 1 Qual è il significao della differenza fra i valori di due posizioni? Per espriere la differenza fra il valore che una cera grandezza fisica assue alla fine di un processo e quello che aveva all inizio si usa coe sibolo la leera greca Dela aiuscola. In generale quindi: grandezza valore finale valore iniziale In queso caso la differenza fra il valori di s all isane e quello in 1 si scrive: 1 s s( ) s( ) 1 Il segno di s è posiivo quando nel coplesso la paricella si è sposaa in avani e quindi s( ) s( 1), negaivo se si è sposaa indiero e quindi s( ) s( 1). Il valore assoluo s( ) e quella iniziale ed s( 1). s esprie la disanza lungo la raieoria, fra la posizione finale E bene rifleere sul fao che in generale, quesa lunghezza non coincide: Per valore assoluo di un nuero inendiao il nuero sesso preso sepre con segno posiivo, ad esepio 3 3, 7 7.

5 con la disanza percorsa dalla paricella, la quale nel epo che va da 1 a può aver viaggiao avani ed indiero ripassando su quella pare di raieoria anche più vole; con la lunghezza del pezzo di riaieoria effeivaene percorso nel epo che va da 1 a : si pensi al caso in cui la paricella, dopo aver viaggiao orna al puno iniziale, quindi s( ) s( 1). In al caso si avrebbe s 0, indipendeneene da quano spazio ha percorso. Qual è il significao della differenza fra i valori di due leure di orologio? La differenza fra una leura di orologio ed un alra ad essa precedene 1 rappresena sepre, invece, la duraa coplessiva del epo rascorso fra quesi due isani: 1 s s( 1) s s( 1) s( ) s( ) ed in quano differenza fra un epo successivo ed uno precedene, per definizione risula in ogni caso 0. La grandezza è chiaaa inervallo eporale. E possibile visualizzare una legge oraria? La legge oraria può essere visualizzaa su di un piano caresiano ( s, ) coe quello in figura, riporando le leure di orologio sull asse orizzonale, e le posizioni s su quello vericale. L andaeno del grafico della legge oraria non ha nulla a che vedere con la fora della raieoria, a dice solo coe cabia la posizione lungo la raieoria, e quesa può essere una rea opppure una qualunque curva, una circonferenza e così via. I epi sull asse orizzonale crescono a ano a ano che il oo procede, ed il il oo della paricella va leo sull asse vericale. Menre la variabile avanza verso desra, la coordinaa sull asse vericale, cioè la disanza dalla posizione di riferieno, può crescere o diinuire. Per capire il ipo di oo con cui si ha a che fare è uile parire da un puno e posizionare il dio sull asse vericale, in corrispondenza della sua proiezione. Al crescere del epo si fa poi scivolare il dio su e giù in conseguenza dello sposaeno della proiezione del puno. Ad esepio parendo con il dio dalla proiezione di A sull asse vericale, enre il epo scorre fino alla leura di orologio in D, il nosro dio scivola sull asse avvicinandosi all origine, poi se ne allonana di nuovo fino alla proiezione del puno B, e dopo risale su fino ad E, rovandosi ancora nell origine. Alcune caraerisiche del grafico della legge oraria ci pereono di dedurre inforazioni sul oo. In paricolare: Quando la coordinaa s auena (coe fra gli isani C e A, oppure fra B ed E) il oo è nel verso posiivo della raieoria, cioè in avani; quando s diinuisce il oo è conro l orienaeno della raieoria, cioè indiero (coe fra i epi A ed E). un assio od un inio (coe A e B) sono degli isani in cui la paricella invere la direzione del oo. A sinisra un assio infai l ordinaa cresce, e quindi il puno si uove in avani, a desra decresce, e quindi il puno si uove indiero. Fra quesi due andaeni deve esisere un isane in cui si fera. le inersezioni (C, D, E) con l asse orizzonale sono isani in cui la paricella passa per la posizione di riferieno l inersezione (F) con l asse vericale è la posizione occupaa all isane zero s A F C D E B 5

6 s[ ] [ s] s[ ] [ s] s[ ] [ s] s[ ] [ s] s[ ] [ s] Esepio Si consideri il oo il cui andaeno orario è riporao in figura. Si dica: (1) se fra gli isani s e 5 s il puno sa andando in avani o procede indiero; () se esisono degli isani in cui il puno si fera; (3) se esisono degli isani in cui il puno si rova nella posizione di riferieno; () se esisono degli isani fra i quali il puno procede indiero; (5) quano è lungo il pezzo di raieoria percorso fra gli isani 1 s e 5.5 s ; (7) quano vale la posizione all isane zero [R: vedi in fondo] Esepio 5 Il grafico orario qui a lao descrive il oo di una paricella fra l isane s e l isane 8 s. (1) Si descriva a parole quello che accade e si riproduca il oo con un dio lungo il bordo del avolo; () si dica quano è lunga la porzione di raieoria in cui il puno si uove in queso nel lasso di epo raffigurao; (3) si dica quano è lungo il ragio effeivaene seguio dal puno. [R: vedi in fondo] Esepio Relaivaene al grafico orario a fianco, che rappresena l andaeno di un oo fra i epi 0 s e 9 s, (1) si descriva a parole il oo della paricella e lo si riproduca con un dio lungo il bordo del avolo; () si calcoli s fra gli isani iniziale e finale rappresenai, e si dica se la paricella ipegna un arco di raieoria aggiore o inore di ale valore; (3) si dica per quani secondi coplessivi la paricella procede in avani e per quani indiero; () se esisono dei epi in cui passa per la posizione di riferieno; (5) per quani secondi si rova ad essere più disane di dalla posizione di riferieno. [R: vedi in fondo] Esepio Si dica se è possibile che una legge oraria abbia l andaeno riporao dalla curva rossa in figura. [R: vedi in fondo] Esepio 7 Lungo una sessa raieoria si uovono due paricelle. Dopo averne descrio a parole il oo, corrispondene agli andaeni orari raffigurai in verde ed in arrone fra 0 s e 7 s, si dica (1) cosa accade negli isani in cui i loro grafici si inersecano; () quale delle due paricelle ipegna un arco di raieoria più lungo; (3) per quale delle due si ha un aggiore valore assoluo del s coplessivo. [R: vedi in fondo]

7 . Velocià scalare edia Proponiaoci ora di cosruire una nuova grandezza fisica che, a parire dalle due inrodoe sinora, la leura di orologio e la posizione s, perea di espriere quano rapidaene una paricella si sa uovendo lungo la sua raieoria. A ale scopo consideriao due leure di orologio 1 e, con successiva a 1. Esainiao il rapporo dove al nueraore figura la disanza lungo la raieoria s s( ) s( 1) fra le due posizioni assune a ali epi, ed a denoinaore l inervallo eporale 1 : s Coe ui i rappori fra grandezze fisiche, anche queso deve essere inerpreao coe il quaniaivo del nueraore associao ad una unià del denoinaore: rappresena quindi quani eri dell arco di raieoria che separa le posizioni iniziale e finale, possono essere associai ad 1 secondo di epo rascorso. Le sue diensioni fisiche si oengono osservando in quale relazione esso si rova con le grandezze fondaenali del SI da cui dipende: s LT 1 e quindi si isura in eri al secondo. Quale significao hanno il segno ed il valore di ale rapporo? Il segno di quesa frazione è lo sesso che ha il nueraore, viso che per definizione sappiao che è 0. Quindi avreo un s / posiivo, se coplessivaene la paricella si è poraa in avani, negaivo se coplessivaene si è poraa indiero lungo la raieoria. A pari duraa di, il valore assoluo di s / è un nuero ano più grande quano più è lungo l arco di raieoria che separa le posizioni finale ed iniziale. Percorrere un rao più lungo nello sesso inervallo significa uoversi più rapidaene, quindi la grandezza s / coniene queso ipo di inforazione. Esepio 8 Considerare il oo descrio in abella e valuare il rapporo s / fra gli isani 1 e, fra gli isani e 3, fra gli isani 3 e, ed infine fra gli isani 1 e 5. Inerpreare quindi i risulai oenui. In base alla definizione daa risula: s.5 3. /s 0.35 /s s.8.5 /s 0.8 /s epi posizioni.0 s s s s.5.5 s s s s s s

8 s /s 7.9 /s s /s 0.0 /s 9..0 I risulai conengono inforazioni sia nel loro segno che nel loro valore assoluo. Nell inervallo 1- il segno negaivo ci dice che la paricella nel coplesso si è sposaa indiero, enre nell inervallo -3 il segno posiivo ci dice invece che è avanzaa, ed inolre che lo ha fao più rapidaene che nel prio inervallo. Infai, enre in 1- ad ogni secondo rascorso possiao associare 0.35 dell arco di raieoria che separa le posizioni iniziale e finale, in -3 possiao associare ad un secondo un rao più lungo cioè 0.8. Nell inervallo 3- il puno è sao ancora più rapido viso che risulano 7.9 di sposaeno in ogni secondo, a il verso di sposaeno è sao conro l orienaeno della raieoria, coe aesa il segno negaivo di s /. Infine, le inforazioni che s / ci dà coplessivaene fra 1 e 5 sono di assenza oale di sposaeno, coe aesa il valore nullo rovao, dovuo al fao che la posizione finale coincide ocn quella iniziale. Queso non significa che il puno non si sia osso, a che il suo oo non ha avuo effei sulla coordinaa di posizione. Coe si vede il rapporo esainao isura bene la rapidià ed il verso con i quali coplessivaene cabia la coordinaa di posizione in un dao inervallo eporale. Per quesi oivi è saa invenaa una grandezza fisica pari a ale rapporo, ed il noe che per essa si è scelo è velocià scalare edia. 51 Definizione operaiva di velocià scalare edia 3 si osservano due eveni qualsiasi ( 1, s 1) e (, s ), con 1, e si calcola la differenza s s s1 fra le loro posizioni e la duraa dell inervallo 1 che li separa. Diciao velocià scalare edia fra 1 e il rapporo: v s C è differenza fra s / e ciò che colloquialene si inende per velocià? E bene rendersi cono che la velocià scalare edia non coincide con ciò che nel linguaggio di ui i giorni chiaiao velocià. Couneene con la parola velocià inendiao il rapporo fra la lunghezza di un percorso ed il epo che è servio a percorrerlo, indipendeneene dal fao che queso ragio sia sao seguio in avani od indiero rispeo ad un verso sabilio. La velocià così definia è un nuero sepre posiivo, e risula nullo solo se il puno riane fero. Viceversa la velocià scalare edia è posiiva per ovieni in avani, negaiva per ovieni indiero ed addiriura può risulare nulla anche nel caso in cui la paricella si è sposaa, a poi è ornaa al puno di parenza. 3 Quesa definizione operaiva necessia di quaro isure diree per averne una indirea di velocià. Nella realà si usano ecniche differeni: ad esepio il achiero delle auo uilizza l effeo eleroagneico della velocià. La definizione operaiva qui proposa vale coe schea di principio. 8

9 Coe si passa da eri al secondo a kiloeri all ora e viceversa? E necessario calcolare a quani eri al secondo corrisponde un kiloero all ora ed a quani kiloeri all ora corrisponde un ero al secondo. Abbiao: k/h /s 300 s 3 10 k 1 /s 3.00 k/h (1/ 300) h Esepio 9 Si dica che cosa isura il rapporo, reciproco della velocià scalare edia. s Si raa del nuero di secondi che possiao associare ad 1 ero dell arco di raieoria che separa la posizione finale da quella iniziale. Esepio 10 Una paricella si uove lungo una raieoria curva secondo la legge oraria 3 s( ) Se ne calcoli la velocià scalare edia fra gli isani 1.50 s e.0 s specificando se essa si è ossa coplessivaene avani oppure indiero. [R: 9 /s ] Esepio 11 Una biciclea percorre 500 in 0 inui esai e poi alri 1500 in 1 inui esai. Qual è la sua velocià scalare edia in eri al secondo? ed in kiloenri all ora? [R:.083 /s, k/h ] Esepio 1 Un auoobile viaggia da una cià A verso una cià B, parendo alle ore 1 e 15 inui e giungendo a desinazione alle ore 1 e 5 inui. Il conachiloeri segnava 000 k al oeno della parenza e 00 k nell isane di arrivo. Possiao dire che v 0 k /1800 s? [R: no] Qual è il significao grafico della velocià scalare edia? Nel piano dove abbiao iparao a riporare l andaeno orario, cioè con l asse dei epi orizzonale e l asse delle posizioni vericale, il significao geoerico del rapporo s / è quello di isurare l incilinazione della rea che unisce la posizione iniziale ( 1, s 1) e quella finale (, s ). Per inclinazione inendiao una inforazione sull angolo che ale rea fora con la direzione parallela a quella dei epi. Coe si vede, viene a crearsi un riangolo reangolo di cui s / è il rapporo fra il caeo opposo ad e quello adiacene: più è grande è queso rapporo, aggiore risula. La divisione s / ci infora su quani sono i eri s di coplessivo avanzaeno (od arreraeno) della posizione, che si possono associare ad un secondo dell inervallo rascorso. Perano la velocià scalare edia non dice nulla sul deaglio di ciò che avviene fra 1 e, a sosiuisce grossolanaene una rea alla curva che rappresena l andaeno vero di s( ) : aggiore è il rapporo s / aggiore è l angolo di pendenza per ale rea. s s 1 s 1 s 9

10 Quale significao geoerco ha il segno della velocià edia? Quando al crescere del epo cresce la posizione diciao quindi che la velocià edia è posiiva e che ha pendenza posiiva la rea che la rappresena; quando invece, al crescere del epo diinuisce la posizione, diciao che la velocià edia è negaiva, e negaiva sarà anche la pendenza della rea. Esainiao le coppie di posizioni A e B, C e D, E ed F nel grafico della legge oraria qui di seguio, ue oenue auenando di 1 s l isane iniziale. s v 0 D s E s 1s v F 0 A B C s 1s 1s s B Coe si vede, allo sesso increeno di un secondo, corrisponde una salia s sull asse delle posizioni olo aggiore fra C e D che non fra A e B, quindi una aggiore velocià edia. Nell inervallo fra E ed F invece si ha sf se da cui s s 0 e quindi la velocià edia risula negaiva: 0. Nell arco di raieoria corrispondene il puno si sarà dunque ediaene osso procedendo conro il verso scelo coe posiivo. Aenzione però che la velocià edia ci infora solo sullo sposaeno coplessivo: all inerno dell inervallo consideao, isane per isane la posizione può in ogni caso sia crescere che diinuire indipendeneene dal segno finale della velocià edia. Si riflea sul deaglio di ciò che accade uovendosi da A ad F, un rao a cui corrisponde velocià scalare edia posiiva. A A B C C Esepio 13 La velocià scalare edia è aggiore fra A e B, fra B e C oppure fra A e C? Coe si vede, la pendenza della rea AB è posiiva e senz alro superiore a quella della rea AC, quindi si ha che la velocià scalare edia di AB è aggiore della velocià edia di BC. La pendenza della rea BC è invece negaiva (al crescere del epo diinuisce la posizione) quindi sarà negaiva la corrispondene velocià edia di AC. v 1 s / v s / Coe si calcola la velocià scalare edia su più ragii di pari lunghezza? Poniao che un auo percorra a velocià scalare edia v 1 la pria eà di un ragio lungo s, ed a velocià scalare edia v la seconda eà. Indichiao con 1 la duraa della pria eà di percorso, e con la duraa della seconda eà: s / 1 v1 s / v 10

11 osserviao che il epo di peranenza in ciascuna eà è ano aggiore quano più piccola è la velocià. Sosiuendo nella definizione di v : s s 1 v 1 s / s / v1 v v v La relazione oenua si dice edia aronica dei valori v 1 e v. Prendendo i reciproci di abo i ebri si ha una fora più facile da ricordare : v v v 1 Il risulao espresso da quesa forula dice che v, la velocià scalare edia v per l inero percorso non è la edia arieica di v 1 e v a sarà ano più vicina a quello dei due valori che viene assuno per un epo più lungo, e cioè il inore, che figurando a denoinaore nella forula, pesa di più. Coe si calcola la velocià scalare edia su più inervalli della sessa duraa? Se percorriao un ragio andando a velocià scalare edia v 1 per la pria eà del epo oale e a velocià scalare edia v per la seconda eà del epo oale, risula: s1 v1 s v e la velocià scalare edia v per l inero percorso viene: v 1 s 1 v s v s1 s v1( /) v( /) 1 ( 1 ) v v cioè proprio la edia arieica di v 1 e v, in quano a differenza del caso precedene i due valori vengono assuni per la sessa duraa di epo 5. Esepio 1 Un auoobile percorre un ragio procedendo con velocià scalare edia 0 /s per la pria eà del percorso e con velocià scalare edia 0 /s per la seconda eà del percorso. La velocià scalare edia coplessiva è Esepio /s? Un uoo si reca in auobus al lavoro, prendendolo dopo aver cainao per un quaro d ora sino ad una feraa a 5.00 k dal porone di casa sua. Sapendo che il epo che gli occorre per giungere alla feraa a piedi, è lo sesso che ipiega In generale dividendo un ragio in n rai uguali, e percorriao ciascuno di essi ad una differene velocià scalare edia, la v oale è la loro edia aronica: v (... ) n v 1 v vn 5 In generale dividendo un epo in n inervalli uguali e percorrendo ciascuno ad una differene velocià scalare edia, la v oale è la loro edia arieica: 1 v n ( v1 v... vn ) 11

12 s[ ] [ s] l auobus fino all ufficio, e che i due ragii sono il secondo doppio del prio, si rovi la velocià scalare edia del viaggio. Esepio 1 Relaivaene al grafico orario qui a lao si calcoli la velocià scalare edia fra 1 1 s e 1 s, fra e 3 9 s, e fra 1 e 3. 1

13 Soluzioni Esepio La differenza s s1 non è la disanza coplessivaene percorsa da P, che si è osso avani ed indiero ed ha anche scavalcao quese due posizioni, coe si capisce osservando i valori ineredi. Si raa invece della lunghezza del pezzo di raieoria che separa la posizione iniziale e quella finale. La differenza 1 è invece proprio il epo coplessivaene rascorso fra le due leure di orologio. Esepio (1) Fra s e 5 s la coordinaa di posizione cresce al crescere del epo quindi il puno procede in avani. () Il puno si fera isananeaene nel inio a circa 1 s e nel assio a circa 5.5 s. (3) Nei re isani in cui l andaeno orario aglia l asse delle ascisse (circa 0.5 s,.5 s, 9 s ), il puno sa passando per la posizione di riferieno. () In base alla pare di andaeno raffiguraa nel grafico, il puno sa procedendo indiero per ui i epi precendeni 1 s, e per ui i epi successivi a 5.5 s. (5) Da una leura sul grafico si ha che a 1 s risula approssiaivaene s 1 e che a 5.5 s risula approssiaivaene s 5. Il rao percorso fra quesi isani è quindi lungo: 5 ( 1 ) Esepio 5 (1) la paricella si rova nella posizione s (cioè due eri indiero rispeo alla posizione di riferieno) quando sull orologio si legge s (cioè due secondi pria dell isane scelo coe zero). Essa procede in avani scavalcando la posizione di riferieno all isane 1 s e passando per la posizione s all isane zero. Quando sull orologio si legge 1 s la paricella si arresa nella posizione s e vi riane fino all isane 5 s. In quel oeno orna indiero, passando per la posizione di riferieno quando l orologio segna 7 s. () il oo della paricella si svolge uo fra le posizioni s ed s, quindi la porzione di raieoria ipegnaa è lunga s ( ). (3) la paricella percorre pria in avani e poi indiero lo spazio fra le posizioni s ed s quindi ha copero una disanza pari a s 1. Esepio Il grafico proposo non può essere l andaeno di una legge oraria dao che se scegliao un epo esso vi associa due diverse posizioni rendendo ipossibile sabilire dove si rova la paricella. s[ ] [ s] s[ ] s? s? s[ ] [ s] [ s] Esepio 7 La paricella corrispondene alla raieoria verde pare da una posizione s ed indiereggia cosaneene, raggiungendo la posizione di riferieno quando l orologio segna 7 s. La paricella arrone occupa la posizione di riferieno 1

14 s[ ] [ s] all isane zero, procede in avani fino a quando l orologio segna 3 s ed in quell isane si rova in s e poi invere direzione di arcia raggiungendo la posizione di riferieno a s, scavalvandola per porarsi in s quando 7 s. (1) Ai epi in cui i grafici si inersecano le paricelle occupano la sessa posizione sulla raieoria; () il oo della paricella verde si svolge fra s 0 ed s, quindi ipegna un arco lungo, il oo della paricella arrone è invece fra s ed s e copre un arco aggiore, lungo 8 ; (3) per la paricella verde si ha s 0, per la paricella arrone s 8, quindi il vaore assoluo dello sposaeno è aggiore per ques ulia. Esepio 10 Abbiao: 3 s1 s(.50 s ) 3.0 (.50).0 (.50) s s(.0 s ) 3.0 (.0).0 (.0).0 91 s s s1 91 ( 8.5) 83 1 (.0.50) s 1.70 s ed applicando la forula per la velocià scalare edia si oiene: s 83 v /s 9 /s 1.70 ed il valore negaivo infora che la paricella si è nel coplesso ossa indiero lungo la raieoria. Esepio 11 Risula: s ( ) 000 (00 10) s 190 s v v s 000 /s.083 /s /s k/h 300 s Esepio 1 Menre si ha senz alro 30 in 1800 s, la differenza fra le due leure del conachiloeri non corrisponde alla differenza delle due posizioni lungo la raieoria, cioè può essere che s 0 k. Infai non sappiao se l auoobile ha viaggiao sepre per dei rai avani ed indiero. In queso caso si avrebbe s 0 k.