SCHEDULING INDICE SCHEDULING ESEMPIO INTRODUTTIVO ESEMPIO INTRODUTTIVO SCHEDULING SCHEDULING

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1 orso di Laurea Triennale in INGEGNERIA GESTIONALE Anno Accademico 2012/13 Prof. Davide GIGLIO INDIE Esempio Inroduivo Generalià sui problemi di scheduling SINGLE MAHINE SPT (shores processing ime) scheduling EDD (earlies due dae) scheduling Algorimo di Moore Algorimo di Smih FLOW-SHOP E JOB-SHOP Algorimi di Johnson DI TASK PERIODII SU SINGLE MAHINE Prioriy scheduling Timeline scheduling 1 2 Quaro ragazzi (Anna, Bruno, arla e Diego) abiano nello sesso apparameno Ogni sabao maina comprano quaro quoidiani (La Repubblica, orriere della Sera, La Sampa e Gazzea dello Spor) che ciascuno vuole leggere nel proprio ordine preferio e per la duraa che vuole Anna vuole leggere la Repubblica per 1 ora, poi il orriere per 30 minui, poi la Sampa per 2 minui e infine la Gazzea per 5 minui Bruno vuole leggere il orriere per 1 ora e 15 minui, poi la Sampa per 3 minui, poi la Repubblica per 25 minui e infine la Gazzea per 10 minui arla vuole leggere la Sampa per 5 minui, poi il orriere per 15 minui, poi la Repubblica per 10 minui e infine la Gazzea per 30 minui Diego vuole leggere la Gazzea per 1 ora e 30 minui, poi la Repubblica per 1 minuo, poi il orriere per 1 minuo e infine la Sampa per 1 minuo I ragazzi sono molo abiudinari e quindi preferiscono aspeare che un giornale si liberi piuoso che cambiare la propria sequenza preferia I ragazzi si alzano ad orari differeni e appena alzai possono e vogliono iniziare a leggere i giornali Anna si alza alle 8:30 Bruno si alza alle 8:45 arla si alza alle 8:45 Diego si alza alle 9:30 Premesso che nessuno vuole uscire prima di avere concluso la leura di ui i giornali, qual è il più preso isane di empo in cui i ragazzi possono uscire di casa? Queso è un problema di scheduling Trovare l ordine secondo cui i 4 giornali sono lei dai 4 ragazzi in modo da finire prima possibile 3 4

2 Un possibile schedule è il seguene Repubblica Anna Diego arla Bruno orriere Bruno arla Anna Diego Sampa arla Bruno Anna Diego Gazzea Diego Anna arla Bruno a cui corrisponde il seguene Diagramma di Gan Quello appena viso è uno schedule ammissibile ( feasible ) ma non necessariamene oimo Si osservi come il fao di dovere rispeare la sequenza di leura desideraa dai quaro ragazzi, fa sì che vi siano degli inervalli di empo in cui alcuni giornali non vengono lei da nessuno, anche se vi sono delle persone che non sanno leggendo e devono ancora leggere ali giornali Ad esempio, Bruno alle 11:05 non sa leggendo e vi è libera la Gazzea che lui non ha ancora leo; ma Bruno prima della Gazzea vuole leggere la Repubblica che però è occupaa; la conseguenza è che sia Bruno che la Gazzea rimangono non aivi Repubblica A D B orriere B A D Sampa Gazzea B A D D A B 8:30 9:00 10:00 11:00 12:00 11: Non ue le combinazioni sono possibili Un esempio di schedule non ammissibile è il seguene Repubblica orriere Sampa Gazzea Diego Bruno Anna arla Diego arla Bruno Anna Diego Bruno arla Anna Anna Diego arla Bruno La non ammissibilià è dovua al fao che Anna non può iniziare a leggere la Gazzea prima di avere leo gli alri re giornali (in paricolare la Repubblica che è bloccaa da Diego) e Diego non può iniziare a leggere la Repubblica prima di avere leo la Gazzea (che è bloccaa da Anna) Uno schedule migliore è il seguene Repubblica Anna Bruno arla Diego orriere Bruno arla Anna Diego Sampa arla Bruno Anna Diego Gazzea Diego Anna arla Bruno a cui corrisponde il seguene Diagramma di Gan Repubblica A B D orriere B A D Sampa Gazzea B A D D A B 8:30 9:00 10:00 11:00 12:00 11:45 7 8

3 Quello appena viso è un alro schedule ammissibile, migliore di quello viso in precedenza (infai il compleion ime è alle 11:45 invece che alle 11:51) Queso schedule è sao oenuo dopo che si è osservao che la Gazzea, che è il giornale la cui leura viene erminaa per ulima, rimaneva non lea per 6 minui, dalle 11:05 alle Inverendo l ordine di leura della Repubblica per quano riguarda Bruno e Diego è sao possibile anicipare alle 11:05 l inizio della leura della Gazzea da pare di arla, facendo quindi scomparire l inervallo di 6 minui in cui la Gazzea non veniva lea Si noi che anche in queso schedule è la leura della Gazzea che deermina il compleion ime Lo schedule appena viso è oimo? La risposa è no Uno schedule oimo è il seguene Repubblica arla Anna Bruno Diego orriere arla Bruno Anna Diego Sampa arla Bruno Anna Diego Gazzea arla Diego Bruno Anna a cui corrisponde il seguene Diagramma di Gan Repubblica A B D orriere B A D Sampa B A D Gazzea D B A 9 8:30 9:00 10:00 11:00 12:00 11:30 10 In queso schedule, a differenza dei precedeni, i 4 ragazzi non iniziano a leggere appena possibile Anna si alza alle 8:30 ma inizia a leggere il suo primo giornale (la Repubblica) alle 9:15 Bruno si alza alle 8:45 ma inizia a leggere il suo primo giornale (il orriere) alle 9:05 Diego si alza alle 9:30 ma inizia a leggere il suo primo giornale (la Gazzea) alle 9:45 Solo arlo inizia a leggere il suo primo giornale (la Sampa) appena alzao Queso ha consenio di oenere uno schedule ammissibile il cui compleion ime è alle 11:30 (migliore quindi dei precedeni) Perché si può affermare che lo schedule appena viso sia oimo? Si osservi come esso sia sao oenuo facendo si che la leura della Gazzea (che anche in precedenza era quella che deerminava il compleion ime) inizi prima, alle 9:15 invece che alle 9:45 Si facciano adesso le segueni considerazioni: La Gazzea, se lea consecuivamene dai 4 ragazzi, impegna 2 ore e 15 minui Anna può iniziare a leggere la Gazzea non prima delle 10:02 (in quano si alza alle 8:30 e legge per 92 minui i giornali che precedono la Gazzea nella sua sequenza). Se la sequenza della Gazzea inizia con Anna, il compleion ime non può essere inferiore alle 12:17 Bruno può iniziare a leggere la Gazzea non prima delle 10:28 (in quano si alza alle 8:45 e legge per 103 minui i giornali che precedono la Gazzea nella sua sequenza). Se la sequenza della Gazzea inizia con Bruno, il compleion ime non può essere inferiore alle 12:43 arlo può iniziare a leggere la Gazzea non prima delle 9:15 (in quano si alza alle 8:45 e legge per 30 minui i giornali che precedono la Gazzea nella sua sequenza). Se la sequenza della Gazzea inizia con arlo, il compleion ime non può essere inferiore alle 11:30 Diego può iniziare a leggere la Gazzea non prima delle 9:30 (che è l ora in cui si alza, essendo la Gazzea il primo giornale nella sua sequenza). Se la sequenza della Gazzea inizia con Diego, il compleion ime non può essere inferiore alle 11:45 Il compleion ime non può quindi essere inferiore alle 11:30 E l unica soluzione oima? Non è deo

4 Per deerminare la soluzione oima non è pensabile enumerare ui i possibili schedule e poi scegliere uno di quelli che hanno il compleion ime più basso on n job da eseguire su m macchine vi sono (n!) m possibili schedule Nell esempio inroduivo i job sono i ragazzi e le macchine sono i giornali da leggere Si hanno perano (4!) 4 = possibili schedule on un compuer molo rapido si porebbero analizzare ui Analizzando, ad esempio, 1000 schedule al secondo, ci vorrebbero circa 5 minui e mezzo Ma aumenando anche solo di 1 il numero di job/ragazzi si avrebbero da analizzare (5!) 4 = possibili schedule In queso caso ci vorrebbero circa 58 ore (più 2 giorni!) GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI Il problema generico di scheduling è quello definio come n m General Job-Shop Problem Job Macchine {J 1,J 2,...,J n } {,M 2,...,M m } iascun job deve essere processao da ciascuna macchina una e una sola vola Vincoli ecnologici possono specificare un ordine secondo cui i job devono essere processai dalle macchine Un caso paricolare è rappresenao dal flow-shop problem in cui i vincoli ecnologici specificano che ui i job devono visiare le macchine secondo la sessa sequenza Un operazione consise nell esecuzione di un job su una macchina L enumerazione direa non è un buon meodo di risoluzione dei problemi di scheduling o i,j Operazione della macchina i sul job j GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI Assunzioni classiche che caraerizzano i problemi di scheduling Due operazioni relaive allo sesso job non possono essere eseguie simulaneamene Le operazioni, una vola parie, non possono essere inerroe, devono essere compleae ( no preempion ) I job sono processai da ciascuna macchina, una e una sola vola Un job non può essere cancellao, deve essere porao a compleameno I empi di esecuzione dei job sulle macchine (processing ime) sono indipendeni dalla sequenza di servizio, cioè dallo schedule Ques ulima ipoesi significa che i se-up, se previsi, sono operaion-dependen e che i empi di rasferimeno ra le macchine sono non significaivi I job possono rimanere in aesa che una macchina diveni disponibile iascuna macchina può processare un solo job alla vola (le risorse sono single-server) GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI Le macchine possono essere idle Le macchine non si guasano mai e sono disponibili per uo l inervallo di empo che caraerizza il problema di scheduling I vincoli ecnologici sono noi in anicipo e non possono variare nel empo Non vi sono grandezze socasiche che caraerizzano il problema. In paricolare: Il numero di job è noo e fisso Il numero delle macchine è noo e fisso I empi di esecuzione dei job sulle macchine (processing ime) sono noi e fissi Gli isani in cui i job sono disponibili (release ime) sono noi e prefissai Tue le alre grandezze necessarie per caraerizzare un problema di scheduling sono noe e fisse 15 16

5 PARAMETRI GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI che caraerizzano i job e le macchine VALORI GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI che caraerizzano i job in relazione a un paricolare schedule r i p i,j d i Release ime (o release dae o ready ime) Processing ime Due dae W i,k W i i Waiing ime Toal waiing ime ompleion ime W i = P m k=1 W i,k i = r i + P m k=1 (W i,k + p i,j(k) ) a i Allowance a i = d i r i F i Flow ime F i = i r i L i Laeness L i = i d i T i Tardiness T i = max{ i d i, 0} = max{l i, 0} E i Earliness E i = max{d i i, 0} = max{ L i, 0} con il pedice j(k) si indica la macchina M j(k) che è la macchina che esegue la k-h operazione del job, operazione che viene perano indicaa come o i,j(k) GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI Daa una cera grandezza (oal waiing ime, compleion ime, ecc.), si considerano spesso il valore medio e il valore massimo di una ale grandezza VALORI GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI che caraerizzano le macchine in relazione a un paricolare schedule X i GRANDEZZA P I n j Idle ime I j = max i=1 p i,j VALORE MEDIO VALORE MASSIMO X =(1/n) P n i=1 X i X max = max{x 1,X 2,...,X n } VALORI relaivi a un paricolare schedule in uno specifico isane di empo N w () Numero di job in aesa (o non proni) al empo N p () Numero di job in esecuzione al empo N c () Numero di job compleai al empo N u () Numero di job ancora da compleare al empo 19 20

6 GENERALITÀ SUI PROBLEMI DI Sono valide le segueni relazioni: INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI RITERI BASATI SUL OMPLETION TIME N w () +N p () +N c () =n N w () +N p () =N u () N u (0) = n N u ( max )=0 F max max F Flow ime massimo ompleion ime massimo (makespan) Flow ime medio ompleion ime medio Essendo inolre ali valori riferii ad un paricolare isane di empo, il valore medio si può calcolare considerando l inegrale su uo l inervallo di empo che caraerizza lo schedule VALORE MEDIO N x = 1 max Z max 0 N x ()d Il makespan è il empo oale di produzione P n A vole si usano medie pesae del ipo i=1 i i e P n i=1 if i con 1, 2,..., n e 1, 2,..., n pesi opporuni (la cui somma è generalmene 1) Si raa di valori da minimizzare INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI RITERI BASATI SULLE DUE DATE Anche per quesi indicaori è possibile prendere in considerazione delle medie pesae Si raa di valori da minimizzare L L max T T max n T Laeness media Laeness massima Tardiness media Tardiness massima Numero di job ardy INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI RITERI BASATI SULL INVENTORY E SULL UTILIZZAZIONE DELLE MAHINE, I, I max sono valori da minimizzare N c N p N c N p I I max è un valore da massimizzare Numero medio di job compleai Numero medio di job in corso di esecuzione Idle ime medio Idle ime massimo 23 24

7 INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI INDIATORI REGOLARI Un indicaore R si dice regolare ( misura regolare ) se è non decrescene rispeo al compleion ime Sia R funzione dei compleion ime 1, 2,..., n. Tale misura è regolare se dai INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI Gli indicaori basai sul compleion ime (flow ime massimo e medio, compleion ime massimo e medio) e sulla due dae (laeness massima e media, ardiness massima e media, numero di job ardy) visi in precedenza sono misure regolari Non sono misure regolari gli indicaori che engono cono della earliness risula 1 apple 0 1, 2 apple 0 2,..., n apple 0 n R( 1, 2,..., n ) apple R( 0 1,0 2,...,0 n ) In praica, se si hanno due schedule nel primo dei quali i job vengono compleai non in riardo rispeo al compleameno dei job del secondo schedule, l uilizzo di una misura regolare assicura che il primo schedule non è peggiore del secondo (è quindi possibile scarare il secondo a favore del primo) INDIATORI DI PERFORMANE PER PROBLEMI DI EQUIVALENZE TRA INDIATORI Due indicaori sono equivaleni se uno schedule che è oimo per il primo è oimo anche per il secondo e viceversa LASSIFIAZIONE DEI PROBLEMI DI n/m/a/b I segueni indicaori di performance sono equivaleni:, F, W e L NUMERO DI JOB NUMERO DI MAHINE DISIPLINA DI SERVIZIO INDIATORE DI PERFORMANE Uno schedule che è oimo rispeo a L max, è anche oimo rispeo I segueni indicaori di performance sono equivaleni: max, N p e I N u e / max sono indicaori di performance equivaleni N w e W / max sono indicaori di performance equivaleni T max Disciplina di servizio (se m>1) F Flow shop (l ordine delle macchine è lo sesso per ui i job) P Permuaion flow-shop (l ordine delle macchine è lo sesso per ui i job e inolre si deve rovare uno schedule in cui l ordine di esecuzione dei job è lo sesso per ue le macchine) G General job shop (nessun vincolo ecnologico) Esempio: 6/2/F/ max 27 28

8 SINGLE MAHINE n/1/a/b Sono problemi semplici ma di un cero ineresse praico (processori nonime-sharing, impiani dedicai alla produzione di specifici iem, macchine boleneck all inerno di impiani complessi) Nei problemi di single machine scheduling si assume che ui i job da processare siano disponibili all inizio, ovvero r i =08J i,i =1,...,n Un risulao che sa alla base della risoluzione dei problemi di single machine scheduling è il seguene In un problema n/1//b, dove B è una misura regolare, esise uno schedule oimo in cui non vi sono idle ime, cioè la macchina inizia a processare i job all isane =0 e coninua senza inerruzioni fino a emporaneo = max SINGLE MAHINE La conseguenza del precedene eorema è che nei problemi n/1//b (con B misura regolare), per la deerminazione di uno schedule oimo, è sufficiene considerare i permuaion schedule Bisogna quindi rovare un permuazione di J 1,J 2,...,J n in modo che venga minimizzao l indicaore B Sia k l indice che indica la posizione di un job nella sequenza di esecuzione è perano il job che viene eseguio per k -esimo J i(k) è il processing ime del job che viene eseguio per k -esimo p i(k) è la due dae del job che viene eseguio per k -esimo d i(k) (si considereranno definizioni analoghe per le alre grandezze che caraerizzano un problemi di scheduling) SPT (SHORTEST PROESSING TIME) Si vuole minimizzare il empo medio di araversameno del sisema (flow ime medio) In un problema ale che p i(k) n/1//f n/1//f, il flow ime medio è minimizzao da una sequenza p i(1) apple p i(2) apple p i(3) apple... apple p i(n) essendo il processing ime del job che viene processao per k-esimo Uno schedule fao in queso modo prende il nome di SPT schedule Uno schedule SPT risolve in maniera oima anche i segueni problemi di scheduling: n/1//, n/1//w, n/1//l, n/1//n u, n/1//n w (cioè minimizza anche il compleion ime medio, il empo medio di aesa, la laeness media, il numero medio di job ancora da compleare e il numero medio di job in aesa) EDD (EARLIEST DUE DATE) n/1//l max Si vuole minimizzare la laeness massima In un problema n/1//l max, la laeness massima è minimizzao da una sequenza ale che d i(1) apple d i(2) apple d i(3) apple... apple d i(k) essendo la due dae del job che viene processao per k-esimo d i(k) Uno schedule fao in queso modo prende il nome di EDD schedule Uno schedule EDD risolve in maniera oima anche il problema di scheduling: n/1//t max (cioè minimizza anche la ardiness massima) 31 32

9 ALGORITMO DI MOORE n/1//n T Si vuole minimizzare il numero di job in riardo (ardy job), indipendenemene da quano sono in riardo. Tale problema è risolo dal seguene algorimo (Algorimo di Moore) ALGORITMO STEP 1 ALGORITMO DI MOORE Sequenziare i job secondo la regola EDD in modo da definire una sequenza di job (J i(1),j i(2),...,j i(n) ) ale che d i(k) apple d i(k+1) per ogni k =1, 2,...,n 1; sia essa la sequenza correne STEP 2 Trovare il primo job ardy, sia esso si rova alcun job, passare allo sep 4 STEP 3 J i(l), nella sequenza correne; se non Trovare nella sequenza (J i(1),j i(2),...,j i(l) ) il job con il più alo processing ime ed escludere esso dalla sequenza correne; riornare allo sep 2 con una sequenza correne aggiornaa (è più cora di 1 rispeo a prima) STEP 4 osruire uno schedule composo dalla sequenza correne di job seguia dai job che sono sai esclusi nelle varie ierazioni dello sep 3 (quesi ulimi possono essere messi in qualunque ordine); ale schedule è oimo SINGLE MAHINE SHEDULE OTTIMI VS. SHEDULE EFFIIENTI Nei casi precedeni è sao mosrao come sia possibile deerminare uno schedule che sia oimo rispeo un cero indicaore di performance In alcuni casi ha però senso considerare delle funzioni di coso che engano cono di più indicaori di performance (ad esempio, se si vuole penalizzare sia il compleameno in riardo dei job sia i cosi di invenory è necessario uilizzare una funzione di e F ) T max In quesi casi l obieivo è deerminare uno schedule efficiene Dai due schedule S e S 0, si dice che S 0 è efficiene rispeo gli indicaori di performance µ 1,µ 2,...,µ v se non esise uno schedule S ale che SINGLE MAHINE SHEDULE OTTIMI VS. SHEDULE EFFIIENTI Il risulao imporane è che se il coso oale è una funzione crescene nelle variabili µ 1,µ 2,...,µ v prese singolarmene, uno schedule che garanisca il coso minimo (cioè uno schedule oimo) deve essere uno schedule efficiene T max (un esempio di funzionale di coso crescene nei suoi argomeni e F è la funzione c(t max, F )=4T max +7F ) Si può quindi procedere nella ricerca di ui gli schedule efficieni e poi, sulla base della funzione di coso adoaa, scegliere quello che presena il coso minore (che sarà quindi lo schedule oimo) µ 1 apple µ 0 1 µ 2 apple µ µ v apple µ 0 v con una diseguaglianza srea in almeno un caso Si dice anche che non esise uno schedule S che domina S

10 ALGORITMO DI SMITH Si voglia deerminare uno schedule efficiene rispeo al empo medio di araversameno del sisema Fe alla ardiness massima Per oenere ale schedule si può sfruare il seguene Algorimo di Smih L algorimo di Smih consene di minimizzare il flow ime medio (che, avendo supposo nullo il release ime di ogni job, coincide con il compleion ime medio) nell ipoesi che nessun job sia ardy, ovvero che T max =0 (quindi l algorimo di Smih non rova di per sè uno schedule efficiene ma verrà sfruao per la deerminazione di esso) L algorimo di Smih si basa sul seguene eorema T max In un problema n job / 1 macchina in cui ue le due dae sono rispeae ( T max =0) esise uno schedule che minimizza F e in cui il job J P k è n l ulimo ad essere processao, P se e solo se d k i=1 p i e p k p l per n ui i job J l ali che d l i=1 p i ALGORITMO STEP 1 ALGORITMO DI SMITH Siano k = n, = P n i=1 p i e U = {J 1,J 2,...,J n } STEP 2 Trovare J i(k) in U ale che d i(k) e p i(k) p l per ui i job J l ali che STEP 3 Decremenare k di 1; decremenare della quanià p i(k) ; eliminare J i(k) da U STEP 4 d l Se ci sono ancora job da schedulare (cioè se k 1) riornare allo sep 2; alrimeni fermarsi; in ques ulimo caso, lo schedule oimo per il problema considerao è (J i(1),j i(2),...,j i(n) ) Ovviamene queso algorimo va eseguio solamene dopo avere verificao che esisa uno schedule EDD in cui T max = ALGORITMO DI SMITH Si rilassi adesso la condizione T max =0, con l obieivo di deerminare uno schedule efficiene rispeo a F e T max L algorimo di Smih può essere uilizzao in modo da minimizzare F con la condizione T max apple Bisogna innanziuo incremenare ue le due dae della quanià e poi considerare il seguene sep 2 modificao STEP 2 Trovare J i(k) in U ale che d i(k) e p i(k) p l per ui i job J l ali che d l ; se bisogna effeuare una scela per J i(k), scegliere quello che ha la due dae maggiore on ale modifica, o è impossibile cosruire uno schedule oppure lo schedule risulane è uno schedule efficiene rispeo a F e T max FLOW-SHOP E JOB-SHOP Quando il numero di macchine è maggiore di 1, si parla di scheduling in he flow-shop oppure di scheduling in he general job-shop Quesi problemi sono di gran lunga più complicai rispeo a quelli visi nel caso di single-machine scheduling. Solano per un limiao insieme di problemi esisono degli algorimi cosruivi che consenono di oenere lo schedule oimo Nel caso non siano disponibili algorimi cosruivi per risolvere un cero problema di scheduling, è necessario ricorrere a meodologie enumeraive (come la programmazione dinamica e il branch-and-bound) oppure a meodologie eurisiche che però non sono in grado di fornire la soluzione oima di un problema Anche per quesa caegoria di problemi assumeremo che ui i job da processare siano disponibili all inizio, ovvero 39 40

11 FLOW-SHOP In un flow-shop ui i job visiano le macchine nello sesso ordine (vincolo ecnologico) Esisono due risulai di caraere generale per quano riguarda i problemi di flow-shop scheduling Job J 1 J 2 J n Processing Order M 2 M 3... M m M 2 M 3... M m M 2 M 3... M m In un problema n/m/f/b, con B misura regolare, è sufficiene considerare schedule in cui vi sia la sessa sequenza di esecuzione dei job sulle prime due macchine, e M 2 FLOW-SHOP In un problema n/m/f/f max non c è bisogno di considerare gli schedule in cui vi sia una diversa sequenza di esecuzione dei job sulle ulime due macchine, M m 1 e M m onseguenza direa di quesi due eoremi è che, al fine di deerminare uno schedule oimo, nei problemi n/2/f/b (con qualsiasi B purché regolare) n/3/f/f max è possibile considerare esclusivamene i permuaion schedule Il problema n/2/f/f max può essere risolo araverso l Algorimo di Johnson ALGORITMO DI JOHNSON Si devono processare n job araverso 2 macchine, ciascun job deve visiare le macchine nella sequenza - M 2, in modo da minimizzare il empo massimo di araversameno del sisema (problema n/2/f/f max ) Avendo supposo che i release ime siano nulli, ale problema equivale a minimizzare il compleion ime massimo (makespan) L algorimo di Johnson si basa sulla seguene considerazione: dao che all inizio la macchina M 2 sarà necessariamene idle (dovendo aendere che il primo job che viene eseguio venga processao da ), è ragionevole ipoizzare che convenga iniziare a processare sulla macchina il job con il processing ime più breve su analogamene, dao che alla fine sarà idle la macchina, è ragionevole ipoizzare che l ulimo job da eseguire, sulla macchina M 2, sia il job con il processing ime più breve su M 2 ALGORITMO DI JOHNSON M2 È IDLE QUANDO SI ESEGUE IL PRIMO JOB SU M1 M1 È IDLE QUANDO SI ESEGUE L ULTIMO JOB SU M2 M 2 Sulla base di quesa considerazione (e sul fao che sia sufficiene considerare i permuaion schedule), l algorimo di Johnson deermina uno schedule oimo che consise in una permuazione di {J 1,J 2,...,J n } ale che i primi job che vengono eseguii hanno bassi processing ime su, menre gli ulimi job che vengono eseguii hanno bassi processing ime su Siano, per semplicià: a i = p i,1 M 2 Processing ime del job J i sulla macchina b i = p i,2 Processing ime del job J i sulla macchina M

12 ALGORITMO STEP 1 Siano STEP 2 Sia STEP 3 k =1 e l = n ALGORITMO DI JOHNSON U = {J 1,J 2,...,J n } la lisa dei job ancora da schedulare Trovare il valore più piccolo ra ui gli e dei job ancora da schedulare STEP 4 Se il valore più piccolo è a i, schedulare J i nella k-esima posizione della sequenza di esecuzione, ogliere J i dalla lisa dei job ancora da schedulare, incremenare k di 1, andare allo sep 6 STEP 5 b i Se il valore più piccolo è, schedulare J i nella l-esima posizione della sequenza di esecuzione, ogliere J i dalla lisa dei job ancora da schedulare, decremenare l di 1, andare allo sep 6 STEP 6 Se vi sono ancora job da schedulare ornare allo sep 3; alrimeni sop a i b i 45 ALGORITMO DI JOHNSON L algorimo di Johnson può essere adaao per risolvere il problema di scheduling n/2/g/f max (in cui non vi è più il vincolo che ciascun job deve essere processao da ue le macchine) Essendo 2 le macchine, è possibile classificare i job nel seguene modo: Tipo A: job che vengono processai solo da Tipo B: job che vengono processai solo da M 2 Tipo : job che vengono processai prima da e poi da M 2 Tipo D: job che vengono processai prima da M 2 e poi da Uno schedule oimo può essere oenuo applicando il seguene algorimo 46 ALGORITMO ALGORITMO DI JOHNSON STEP 1 Schedulare i job di ipo A in qualsiasi ordine; sia STEP 2 Schedulare i job di ipo B in qualsiasi ordine; sia STEP 3 la sequenza oenua la sequenza oenua Schedulare i job di ipo applicando l algorimo di Johnson viso in precedenza; sia la sequenza oenua STEP 4 S Schedulare i job di ipo D applicando l algorimo di Johnson viso in precedenza (facendo aenzione perché bisogna considerare M 2 come prima macchina e come seconda); sia la sequenza oenua STEP 5 Uno schedule oimo è dao dalle segueni sequenze di esecuzione M 2 S D : S! S A! S D : S D! S B! S S A S B DI TASK PERIODII SU SINGLE MAHINE Si considerino aivià (ask) che devono essere eseguie periodicamene. In queso caso, i job sono i singoli elemeni di un ask periodico, ovvero le singole esecuzioni dell aivià in quesione Essendo i ask aivai periodicamene, l obieivo è quello di eseguire i vari job all inerno di ogni periodo di aivazione; in alre parole, si ha una deadline in corrispondenza della fine di ogni periodo di aivazione Si suppone che il periodo di aivazione e il empo di esecuzione dei vari ask (quindi dei job) siano cosani ISTANTE DI ATTIVAZIONE DEADLINE a i (k) d i (k) =a i (k + 1) k-esimo JOB DEL TASK i PERIODO DI ATTIVAZIONE (k+1)-esimo JOB DEL TASK i PERIODO DI ATTIVAZIONE (k+2)-esimo JOB DEL TASK i PERIODO DI ATTIVAZIONE 47 48

13 DI TASK PERIODII SU SINGLE MAHINE I vari ask da eseguire sono indipendeni ra loro Il problema da affronare è quello di schedulare su una single machine un insieme di ask periodici in modo che ue le deadline siano soddisfae Si considerino n ask periodici caraerizzai da periodo di aivazione i e empo di esecuzione p i Il faore di uilizzazione della single machine è nx p i U = i=1 i ondizione necessaria per la schedulabilià dei ask è che sia U apple 1 Tale condizione è anche sufficiene solo per alcuni algorimi di scheduling periodico; per alri la condizione sufficiene sarà U apple U lsm, con U lsm < 1 valore che caraerizza lo specifico algorimo e che dipende anche dal numero di ask da processare ALGORITMO RATE MONOTONI PRIORITY ORDERING (RMPO) Ad ogni ask viene assegnaa una priorià inversamene proporzionale al proprio periodo di aivazione La priorià viene uilizzaa per schedulare i ask mediane un meccanismo di preempion Ad ogni aivazione di un nuovo job di un ask, si aggiorna la coda dei job proni e si manda in esecuzione quello caraerizzao dalla maggiore priorià TASK 1 TASK 2 TASK 3 DEL TASK 1 SUL TASK 2 DEL TASK 1 SUL TASK 3 DEL TASK 3 SUL TASK 2 DEL TASK 1 SUL TASK 3 U lsm < 1 i 49 i 50 ALGORITMO RATE MONOTONI PRIORITY ORDERING (RMPO) L algorimo RMPO è un algorimo saico: la priorià dei diversi ask è assegnaa a priori e rimane ale per ua la duraa del funzionameno del sisema L algorimo RMPO è oimo nel campo dello scheduling di processi periodici con assegnazione saica delle priorià Queso significa anche che se un insieme di ask periodici non sono schedulabili ramie l algorimo RMPO, allora non esise nessun alro algorimo di ipo saico che riesca a risolvere lo sesso problema di scheduling La schedulabilià di ask periodici araverso l algorimo RMPO è garania per uilizzazioni inferiori al valore massimo U lsm = n(2 1/n 1) 1 ln ALGORITMO EARLIEST DEADLINE FIRST (EDF) È un algorimo basao su un assegnazione dinamica della priorià In ogni isane viene schedulao il job la cui deadline è più imminene È un algorimo inrinsecamene preempive Non appena viene aivao un job caraerizzao da una deadline più sringene rispeo al job in esecuzione, il job in esecuzione viene bloccao per iniziare l esecuzione del job appena aivao TASK 1 TASK 2 TASK 3 DEL TASK 1 SUL TASK 2 DEL TASK 1 SUL TASK 2 Ulsm = n(2 1/n i 1) 51 i 52

14 ALGORITMO EARLIEST DEADLINE FIRST (EDF) EDF vs RMPO L algorimo EDF è un algorimo dinamico: la priorià dei diversi ask è assegnaa dinamicamene sulla base della propria deadline assolua L algorimo deve ricalcolare la priorià dei ask ad ogni aivazione TASK 1 Applicazione dell algorimo RMPO L algorimo EDF è oimo nel campo dello scheduling di processi periodici con assegnazione dinamica delle priorià Queso significa anche che se un insieme di ask periodici non sono schedulabili ramie l algorimo EDF, allora non esise nessun alro algorimo di ipo dinamico che riesca a risolvere lo sesso problema di scheduling Dao un insieme di ask periodici, la loro schedulabilià araverso l algorimo EDF è garania se il faore di uilizzo è minore o uguale a 1 L algorimo EDF offre quindi garanzie di schedulazione maggiori rispeo all algorimo RMPO; ques ulimo è però più semplice da implemenare essendo un algorimo saico TASK 2 TASK 3 TASK 1 TASK 2 TASK 3 DEL TASK 3 SUL TASK 2 DEL TASK 1 SUL TASK 3 DEADLINE DEL TASK 2 NON RISPETTATA Applicazione dell algorimo EDF Ulsm = n(2 1/n i 1) 53 Ulsm = n(2 1/n i 1) 54 EDF vs RMPO L algorimo EDF può essere uilizzao nello scheduling di processi non necessariamene periodici non essendo la priorià influenzaa dalla periodicià (l algorimo RMPO invece no) Sono possibili esensioni ai due algorimi visi in cui si considera una deadline relaiva che non coincide con l isane di aivazione L algorimo DMPO (Deadline Monoonic Prioriy Ordering) è un algorimo saico (oimo) in cui la priorià di ogni ask è assegnaa in maniera saica ed è inversamene proporzionale alla deadline relaiva ISTANTE DI ATTIVAZIONE a i (k) k-esimo JOB DEL TASK i FINESTRA DI ESEGUIBILITÀ DEL JOB DEADLINE d i (k) (k+1)-esimo JOB DEL TASK i FINESTRA DI ESEGUIBILITÀ DEL JOB (k+2)-esimo JOB DEL TASK i FINESTRA DI ESEGUIBILITÀ DEL JOB TIMELINE Approccio molo uilizzao (sisemi miliari, sisemi aeronauici, conrollo del raffico aereo) in quano non prevede alcun meccanismo di preempion Si basa sulla suddivisione dell asse emporale in inervalli di empo uguali (ime slices) da assegnare in maniera opporuna per l esecuzione dei vari ask/job Minor ycle: massimo comune divisore di ui i periodi di aivazione Major ycle: minimo comune muliplo di ui i periodi di aivazione La duraa di un ime slice viene presa pari al minor cycle e, all inerno di queso inervallo, vengono schedulai in modo arbirario i job di ui i ask Il major cycle è il periodo dopo il quale la schedulazione si ripee in maniera sempre idenica L unica ipoesi necessaria è che il processing ime di ogni job sia minore del minor cycle (queso per eviare la preempion) Ulsm = n(2 1/n i 1) 55 Ulsm = n(2 1/n i 1) 56

15 TIMELINE TASK 1 TASK 2 TASK 3 MINOR. MINOR. MINOR. MINOR. MINOR. MINOR. MINOR. MINOR. MAJOR YLE MAJOR YLE Ulsm = n(2 1/n i 1) E una meodologia esremamene semplice da implemenare e fornisce uno schedule ripeiivo Lo sudio della schedulabilià può essere effeuao a priori sulla base dei empi di esecuzione assegnai ai vari ime slice Il principale svanaggio è che una minima modifica delle caraerisiche dei ask da schedulare rende necessaria una complea rivisiazione della soluzione adoaa: è perano molo uilizzao in quei casi in cui i empi di aivazione e quelli di processing sono noi a priori e difficilmene soggei a variazioni 57