x 2 = 1 2 dove x è la direzione di propagazione dell onda, è lo spostamento della particella del mezzo e v la velocità di propagazione dell onda.

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1 15 Onde meccaniche (29 problemi, difficoltà 93, soglia 65) Formulario Equazione delle onde di d Alembert 2 x v 2 t 2, dove x è la direzione di propagazione dell onda, è lo spostamento della particella del mezzo e v la velocità di propagazione dell onda. Velocità di un onda v 1 k, dove k e sono rispettivamente il coefficiente di comprimibilità e la densità del mezzo in cui l onda si propaga. A seconda del meccanismo di propagazione delle onde, risulta k 1/p nel caso di meccanismo isotermico e k 1/( p) nel caso adiabatico, dove p è la pressione e il coefficiente adiabatico. Equazione del raggio (x, t) f 1 (x vt) + f 2 (x + vt), dove f 1 ed f 2 rappresentano due qualsiasi funzioni di x v t e di x + v t, dette rispettivamente onda progressiva e onda regressiva, propagantisi nella direzione rispettivamente positiva e negativa dell asse x. Onda sonora piana sinusoidale (x, t) A sin 2 (x vt) + A sin 2 x t + T, A sin(k x- t + ) 501

2 dove A, ampiezza di spostamento, lunghezza d onda, pulsazione k 2, numero d onda T, periodo, costante di fase Ampiezza di pressione in un onda sonora piana sinusoidale con f frequenza dell onda. P 2 v f A, Intensità di un onda piana I 2 2 f 2 v A 2 Livello di intensità sonora L orecchio umano è sensibile a un ampio intervallo di intensità sonore, perciò si è ritenuto più comodo usare una scala logaritmica. Si definisce livello di intensità sonora di un suono di intensità I la quantità 10 lg I I 0, dove I 0 1 pw/m 2 è l intensità del più debole suono percepibile da un orecchio umano normale. Il livello di intensità sonora viene espresso in decibel (db). Potenza di un onda piana W 2 2 f 2 v A 2 S, dove S è la superficie su cui incide l onda. Interferenza A A A A1 A 2 cos, 502

3 dove A è l ampiezza risultante dalla sovrapposizione di due onde coerenti sfasate di e di ampiezze A1 e A2. In termini di intensità la precedente relazione, essendo l intensità di un onda direttamente proporzionale al quadrato dell ampiezza, si può scrivere come I I 1 + I I 1 I 2 cos. Differenza di cammino sonoro 2 Interferenza positiva A A 1 + A 2 2 n n Interferenza negativa (2n + 1) 2 A A 1 A 2 (2n + 1) 2 Battimenti 2 A sin 2 ( x f m t) cos f b t, dove se f 1 ed f 2 sono le frequenze (tra loro vicinissime) dei due suoni, f m f 1 + f 2 2, f b f 1 f 2 Equazione delle corde vibranti Coincide con l equazione delle onde di d Alembert 2 x 2 1 v 2 2 t 2, 503

4 dove la velocità di propagazione dell onda è ora espressa da v T μ, con T tensione e μ densità lineare della corda. Onde stazionarie 2 A sinkx cos t Effetto Doppler Indicando con v la velocità del suono, con v A quella dell ascoltatore e v S quella della sorgente, ecco tutti i casi di moto relativo di ascoltatore e sorgente con le formule che correlano la frequenza percepita f con quella realmente emessa dalla sorgente, f o. v + v 1. f f A 0 v v v 2. f f A 0 v v 3. f f 0 v + v S v 4. f f 0 v v S v v 5. f f A 0 v + v S v + v 6. f f A 0 v v S v v 7. f f A 0 v v S v + v 8. f f A 0 v + v S ascoltatore che si avvicina a sorgente ferma ascoltatore che si allontana da sorgente ferma sorgente che si allontana da ascoltatore fermo sorgente che si avvicina ad ascoltatore fermo ascoltatore e sorgente si allontanano ascoltatore e sorgente vanno uno incontro all'altro sorgente insegue ascoltatore ascoltatore insegue sorgente Tubi sonori in risonanza L, lunghezza del tubo Tubo aperto chiuso f n (2n + 1) v 4L 504

5 Tubo aperto aperto (o chiuso chiuso) f n nv 2L Unità di misura SI Intensità di un onda W/m 2 Coefficiente di comprimibilità Pa 1 Densità lineare kg/m Frequenza Hz Numero d onda m 1 Lunghezza d onda Periodo Ampiezza di spostamento Ampiezza di pressione Livello di intensità sonora m s m Pa db Problemi svolti Calcolare la velocità di propagazione adiabatica di un onda sonora in una miscela di gas formata da n 1 6 mol di un gas perfetto monoatomico di peso molecolare M 1 16 g/mol e da n 2 4 mol di gas perfetto biatomico con M 2 26 g/mol, entrambi a 0 C. (3) La velocità di propagazione adiabatica di un onda sonora in un gas perfetto con coefficiente adiabatico e di peso molecolare M è data da v RT M, dove ed M devono essere calcolati come medie "pesate" sul numero di moli dei costituenti la miscela, ovvero 505

6 n n 2 2 n 1 + n ,56, M n 1 M 1 + n 2 M 2 n 1 + n g mol. Si ha dunque v 1,56 8,31 273, ,8 m s Un onda sonora di frequenza f 440 Hz passa da un mezzo di densità 1 2 unità SI a pressione p 1 3 atm a un mezzo di densità 2 3 unità SI a pressione p 2 1 atm. Calcolare nei due mezzi, ipotizzando una propagazione isotermica: a) velocità di propagazione, b) lunghezza d onda, c) frequenza. (2) a) La velocità di propagazione, supponendo un meccanismo isotermico, per il quale il coefficiente di comprimibilità k vale 1/p (vedasi Problema 12.4) vale v p, perciò v 1 3 1, ,2 m s, v 2 1, ,8 m s. b), c) La frequenza è una caratteristica della sorgente, quindi non varia passando da un mezzo all altro, mentre la lunghezza d onda risulta 1 v 1 f 2 v 2 f 0,88 m, 0,42 m Una lastra di vetro di massa m 2 kg si spezza sotto l azione delle vibrazioni infrasonore di una lontana esplosione di frequenza f 10 Hz. Calcolare di quanto si flette tale lastra quando nel suo centro applichiamo una forza F 30 N. (2) 506

7 La frequenza alla quale la lastra entra in risonanza è f 1 2 k m, dove k è la costante elastica della lastra. Applicando la legge di Hooke, la flessione della lastra risulta x F k F 4 2 m f , , m 3,8 mm Un oggetto di massa m o in aria e densità o 8 g/cm 3, in un liquido di densità risulta avere una massa m 0,8 m o ; lo stesso liquido, se sottoposto a una pressione p 20 atm, riduce il proprio volume di 10 4 volte. Calcolare, ipotizzando un meccanismo di propagazione isotermico, la velocità di propagazione delle onde sonore in tale liquido. (3) Quando immergiamo l oggetto nel liquido, il suo peso apparente m g è il risultante del peso reale e della spinta di Archimede, cioè m g m o g g V, da cui possiamo ricavare la densità del liquido: m o m V m o m o 1 m o 1600 unità SI. m o m o Inoltre, per la legge di comprimibilità, il coefficiente di comprimibilità k è dato da k V Vp Pa 1. Se ipotizziamo un meccanismo di propagazione isotermico, risulta v isot 1 k , m s Una sirena di Seebeck è formata da un disco con 20 fori praticati lungo il bordo che ruota compiendo 20 giri/s. Se si indirizza sul bordo del disco un getto di aria compressa, quale sarà la frequenza del suono prodotto? (1) 507

8 La frequenza degli impulsi di compressione o di rarefazione è data dal prodotto del numero dei fori del disco per il numero di giri al secondo con cui esso ruota; e questa sarà anche la frequenza del suono prodotto. Avremo allora f 20 impulsi/giro. 20 giri/s 400 Hz Due mortai sono posti uno in posizione A, l altro in posizione B, distanti 5 km uno dall altro. Se l ascoltatore in B spara, quello in A sente il rumore 15 s dopo aver visto il fuoco; se invece spara il mortaio A, l ascoltatore in B sente il colpo 14 s dopo aver visto il fuoco. Se il vento spira nella direzione AB, calcolare: a) la velocità del suono in aria, b) quella del vento. (3) Per l ascoltatore in A la velocità del suono è V A ,3 m s. Per l ascoltatore in B, avremo invece V B ,1 m s. Dal momento che per l ascoltatore in B la velocità del suono è maggiore, si deve concludere che il vento spira verso B. Indicando la velocità del suono in aria con V e quella del vento con v, deve essere: V + v 357,1 V v 333,3, da cui, sommando le due equazioni, ricaviamo 2 V 690,4, mentre, sottraendo la seconda dalla prima, si ha e quindi 2 v 23,8 a) b) V 345,2 m/s, v 11,9 m/s. 508

9 15.7. Una corda metallica è lunga l 60 cm, ha massa m 600 mg ed è sottoposta a una tensione T 90 N. Calcolare: a) la velocità di un onda trasversale nella corda, b) la frequenza del suono fondamentale e c) della seconda armonica. (2) a) Sarà v T μ Tl m 90 0, m s. b), c) Essendo fissi gli estremi, nella corda si deve instaurare un numero intero di mezze lunghezze d onda, cioè dovrà essere l n 2 n v, 2 f n f n nv 2 l. Per n 1 abbiamo la frequenza fondamentale, mentre per n 3 abbiamo la seconda armonica, ovvero f 1 v 2 l 300 1,2 250 Hz, f 3 3v 2 l 900 1,2 750 Hz Una corda di massa m 2,8 g è tesa tra i due morsetti di una chitarra distanti l 70 cm. Calcolare: a) la tensione della corda necessaria per produrre un La (440 Hz), b) la massima velocità di propagazione dell onda nella corda in corrispondenza a tale nota. (3) a) Deve essere f n n 2 l Tl m, T 4 f 2 n lm n 2. Per f n 440 Hz, abbiamo T ,7 2, n ,8 n 2 N. Si hanno quindi vari valori di T corrispondenti ai valori di n 1,2,3..., che soddisfano tutti alla condizione richiesta: T ,8 N, T 2 379,5 N, T 3 168,6 N

10 b) La massima velocità di propagazione si ha in corrispondenza alla massima tensione che è 1517,8 N, perciò v max T 1 l m 1517,8 0,7 2, m s Calcolare la frequenza di vibrazione di un diapason che, quando la velocità del suono vale v 332 m/s, provoca la risonanza di una colonna d aria lunga l 30 cm, racchiusa in un cilindro con un estremità aperta di diametro d 4 cm. Si tenga conto che in prossimità dell imboccatura del cilindro il fronte d onda si incurva, il che equivale a considerare leggermente più lunga la colonna d aria risonante, attribuendole una lunghezza l l + +0,3 d. (3) La frequenza del diapason è espressa da f v /, dove v e sono la velocità e la lunghezza d onda del suono emesso. Trattandosi di un cilindro con un estremo aperto (quello superiore) e uno chiuso (il fondo), la lunghezza d onda di risonanza è data da 4 l. La lunghezza d onda di risonanza sarà quindi Per il nostro diapason otterremo: 4 l. e quindi 4 l 4 (l + 0,3 d) 4. (0,3 + 0, ) 1,25 m f v 332 1,25 265, 6 Hz Per determinare la velocità del suono in aria a temperatura ambiente si usa un tubo di risonanza. Un diapason di frequenza f Hz fa risuonare il tubo quando il livello dell acqua è s 0,344 m sotto un indice di riferimento, mentre un secondo diapason di frequenza f Hz produce risonanza quando l acqua si trova r 0,134 m sotto l indice di riferimento. Calcolare la velocità del suono. (2) La lunghezza di risonanza per la frequenza fondamentale di un tubo aperto a un estremo e chiuso all altro è pari a un quarto della lunghezza d onda 510

11 dell onda stazionaria. Se l è la distanza tra l estremo aperto del tubo e l indice di riferimento, deve essere dove l + s 1 4 l + r 2 4, 1 v/f 1, 2 v/f 2. Sarà quindi v l + s 4 f 1 v l + r, 4 f 2 da cui l f 2 r f 1 s f 1 f , , , 6 cm e v 4 f 1 (l + s) 800 0, m s Una vibrazione si propaga con legge oraria s(x, t) 0,2 cos(5x 20 t), dove tutte le grandezze sono in unità SI. Calcolare: a) ampiezza, b) numero d onda, c) lunghezza d onda, d) frequenza, e) costante di fase, f) velocità di propagazione, g) la massima velocità delle particelle del mezzo in direzione perpendicolare all asse x. (4) La legge oraria di un moto vibratorio si scrive solitamente nella forma pertanto s(x, t) A sin(k x- t + ), a) b) A 0,2 m, k 5 m 1, 511

12 c) d) e) /2, 2 k 6,28 5 f 2 6, ,26 m, 0,31 Hz, f) v /T f 1,26. 0,31 0,39 m/s. g) La velocità in direzione trasversale è v t ds dt 4sin(5x 20 t), il cui massimo valore (ampiezza di velocità) è v max 4 m/s Una particella oscilla lungo l asse x con legge oraria, espressa in unità SI: x 0,1 sin 6,28 t. Calcolare il valor medio della velocità in un periodo. (3) Il periodo di oscillazione è T 2 2 6,28 1 s. La velocità istantanea è v dx dt 0, 628 cos 6,28 t e il valor medio è ,628 1 vm vdt 0,628 cos 6,28 tdt cos 6,28 td(6,28 t) T 0 T 0 6,28 0 6,28 0,1 cos udu 0,1[ sin u] , Un onda monocromatica piana di ampiezza A 0,2 mm e frequenza f 600 Hz si propaga in aria a pressione p 1 atm a temperatura t 13 C. 512

13 Ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, calcolare l intensità dell onda. (3) Sappiamo che l intensità di un onda piana è dove la velocità è espressa da I 2 2 f 2 v A 2, v RT M, dove il peso molecolare dell aria vale M 29 g/mol e il coefficiente adiabatico, essendo l aria un gas biatomico, vale 7/5. Allora I 2 2 f 2 A 2 RT M 2 2 f 2 A 2 pm RT RT M 2 2 f 2 A 2 M p RT 2 9,86 3, , ,4 2, ,31 286,15 118,4 W m L ampiezza di pressione della voce umana è P 200 Pa. Calcolare l ampiezza di spostamento della membrana del timpano di una persona che percepisce una voce di frequenza media f 8 khz in aria (densità 1,29 unità SI) alla temperatura di 20 C, ipotizzando un meccanismo isotermico di propagazione del suono. (4) L ampiezza di spostamento è correlata a quella di pressione dalla relazione A Pk 2, dove k è il coefficiente di comprimibilità del mezzo. Essendo v/f e ricordando che nel meccanismo isotermico è si ha v A 1 k, P 2 fv, Per ricavare la velocità a 20 possiamo utilizzare la semplice relazione v 20 v 0 293,15 273, , ,8 m s, 513

14 perciò A P 2 fv , ,8 1, 3 8 μm Due onde sonore coerenti di frequenza f 2 khz e ampiezze A 1 10 μm e A 2 2 μm, interferiscono con sfasamento 60 in aria a 0 C. Calcolare: a) l ampiezza dell onda risultante, b) la loro differenza di cammino sonoro. (4) a) A A A A 1 A 2 cos ,5 11, m 11,1 μm. b) 2 v 2 f ; sapendo che la velocità delle onde sonore in aria a 0 C è 332 m/s e che lo sfasamento espresso in radianti vale /3, si ricava v 2 f v 6 f , 77 cm Un ciclista percorre una pista circolare nel cui centro è posto un diapason che emette un suono di frequenza f 5 khz che si propaga con velocità v 332 m/s. Se il ciclista parte dal punto A, dire per quali valori dell angolo il ciclista percepirà la massima intensità sonora, sapendo che i rebbi del diapason distano d 20 cm. (3) 514

15 Mentre il ciclista percorre la pista, le onde emesse dai rebbi gli arrivano con una differenza di cammino C1 C2 d cos. I rebbi di un diapason vibrano però in opposizione di fase, perciò la condizione di interferenza positiva è (2n +1) 2 (n ) v f, quindi cos 2 n d v f (2n +1) 0,166. I valori cercati sono quelli corrispondenti a n 0 cos 0 0, n 1 cos 1 0, n 2 cos 2 0, Una sorgente sonora emette un suono di frequenza f 150 Hz e si sta allontanando da un ascoltatore fermo con velocità v S 10 m/s dirigendosi verso una parete rigida piana. Calcolare la frequenza dei battimenti percepiti dall ascoltatore, assumendo per la velocità del suono in aria il valore 332 m/s. (3) Se v è la velocità del suono, l ascoltatore percepisce per effetto Doppler un suono di frequenza f 1 v f v + v S , 6 Hz. La parete piana di fronte alla sorgente in moto riceve il suono come se fosse un ascoltatore fermo che vede avvicinarsi la sorgente; riflette perciò un suono di frequenza f 2 v f v v S , 6 Hz. Le onde sonore emesse dalla sorgente e quelle riflesse dalla parete si sovrappongono originando battimenti di frequenza f 2 f 1 9 Hz. 515

16 Le automobili A,C,D,E si stanno avvicinando a un incrocio con velocità v 1 72 km/h, mentre B viaggia con velocità v 2 90 km/h. Se A suona il clacson con frequenza f A 400 Hz, calcolare le frequenze percepite: a) da B, b) da C, c) da E, d) da D, e) dal vigile urbano U fermo all incrocio. (4) a) B si allontana da A, mentre A la insegue, quindi, secondo la formula dell effetto Doppler [caso 7 del formulario] f B f A , 6 Hz. b), d) I due conducenti dei veicoli C e D, essendo la loro direzione di moto perpendicolare a quella di A, non sono soggetti a effetto Doppler quindi f C f D 400 Hz. c) L ascoltatore E e la sorgente A vanno uno incontro all altro, pertanto per la formula 6, f E ,3 Hz. e) La sorgente A va incontro all osservatore fermo U, quindi (caso 4) f U , 6Hz Un treno emette un fischio di frequenza f 500 Hz mentre sta viaggiando con velocità v S 50 m/s. Quali sono le frequenze percepite da un ascoltatore fermo A che vede avvicinarsi il treno e da un ascoltatore B, 516

17 anch esso fermo, che lo vede allontanarsi (il treno si muove lungo la congiungente i due ascoltatori)? Un secondo treno sorpassa il primo muovendosi con velocità v O 100 m/s. Quali sono le frequenze del fischio del primo treno percepite da un osservatore C posto sul secondo treno prima e dopo il sorpasso? (Assumere per la velocità del suono in aria il valore v 343 m/s). (4) Per effetto Doppler, l ascoltatore A percepisce una frequenza f A v f v v S ,3 Hz. L ascoltatore B percepirà invece una frequenza f B v f v + v S ,4 Hz. Quando sorgente e ascoltatore sono in moto relativo le frequenze percepite sono f C,prima v v O v v S f ,7 Hz, 293 f C,dopo v v O v + v S f ,2 Hz I motori di un jet emettono un suono di frequenza f 10 khz mentre l aereo vola orizzontalmente alla velocità v S 800 km/h. Tre persone ferme a terra ne percepiscono il suono nelle tre posizioni A, B e C. Calcolare le tre frequenze percepite. (4) È un caso di effetto Doppler con sorgente in moto e ascoltatore fermo. Tuttavia, la velocità della sorgente non è v S, ma la componente di v S nella direzione della 517

18 congiungente ascoltatore-sorgente, cioè v S cos; nella posizione A, di avvicinamento, sarà fv f A v v S cos khz; 0,5 3, 6 nella posizione B la componente v S cos è nulla, quindi la frequenza percepita sarà f. Nella posizione C, di allontanamento, abbiamo invece f C fv v + v S cos , ,79 khz Un diapason di frequenza f 380 Hz si allontana da un ascoltatore avvicinandosi a un ostacolo con velocità v S 5 m/s. Calcolare: a) la frequenza delle onde percepite dall ascoltatore, b) la frequenza delle onde che raggiungono l ascoltatore dopo essersi riflesse sull ostacolo, c) la frequenza dei battimenti prodotti (assumere per la velocità del suono in aria il valore v 332 m/s). (4) a)la frequenza percepita quando la sorgente è in moto rispetto all ascoltatore è f ' f v v ± v S. Quando il diapason si allontana dall ascoltatore avvicinandosi all ostacolo, avremo v f 1 f ,4 Hz. v + v S 337 b) Le onde riflesse dall ostacolo verranno percepite con frequenza f 2 f c) La frequenza dei battimenti sarà v v v S 327 f b f 2 f 1 11,4 Hz. 385,8 Hz Una corda tesa di massa m 30 g i cui estremi fissi distano L 60 cm vibra con frequenza fondamentale f 30 Hz e l ampiezza dei ventri è A 1,5 cm. Calcolare: a) la velocità di propagazione di un onda trasversale sulla corda; b) la tensione della corda. c) Scrivere l equazione dell onda. (3) 518

19 a) Essendo la corda fissa gli estremi, nella sua lunghezza deve essere contenuto un numero intero di mezze lunghezze d onda, perciò deve essere L n 2 nv 2 f ; la frequenza fondamentale corrisponde a n 1, quindi v 2 fl 36 m s. b) La velocità di propagazione è anche espressa da v T μ TL m, quindi T mv2 L , 6 64, 8 N. c) L equazione dell onda stazionaria instauratasi nella corda è, in unità SI: y 2 A sinkx cos t 2 A sin 2 x cos 2 ft 2 A sin 2 2L x cos 2 ft sin1,67 x cos 60 t Una corda da pianoforte lunga l 50 cm e di massa m 5 g è tesa con una tensione T 400 N. Calcolare: a) la sua frequenza fondamentale, b) il numero della più alta armonica che può percepire una persona che può udire frequenze fino a f max 10 khz. (3) a) La frequenza di una corda fissa agli estremi è data dalla formula f n nv 2 l n 2 l T μ n 2 l Tl m n 2 T ml. Per n 1 abbiamo la frequenza fondamentale f ,5 200 Hz. 519

20 b) Il numero dell armonica più alta percepibile dalla persona si ricava dalla disuguaglianza f max > n T. 200 n, 2 ml n < f max La massima armonica percepibile sarà quindi la 49-sima Un lungo tubo aperto a un estremo e chiuso all altro da un pistone mobile contiene aria (peso molecolare M 29 g/mol) a pressione p 1 atm e temperatura t 77 C. Un diapason di frequenza f 500 Hz viene fatto vibrare in corrispondenza dell estremo aperto e si ode risonanza quando il pistone dista da tale estremo rispettivamente d 1 18,0 cm, d 2 55,5 cm e d 3 93,0 cm. a) Calcolare la velocità in aria a 77 C. b) Stabilire se il meccanismo di propagazione del suono è isotermico o adiabatico. (4) a) La condizione di risonanza di un tubo sonoro aperto a un estremo e chiuso all altro è v f n (2n + 1) 4 d, da cui, sostituendo nell ordine le tre distanze date per n 0, 1 e 2, ricaviamo per la velocità i seguenti valori v 4 df 2 n d m s 2000 d m s 2000 d m s. Possiamo assumere come velocità del suono la media aritmetica dei tre valori, cioè v 367,3 m/s. b) La velocità del suono in un gas vale v 1 k, pertanto ricaviamo il coefficiente di comprimibilità 1 k v 2 RT pmv 2 8,31 350,15 1, (367,3) 2 7, Pa

21 Se il meccanismo di propagazione fosse isotermico, dovrebbe risultare k iso 1/p, mentre se fosse adiabatico dovrebbe essere k ad 1/( p), dove è il coefficiente adiabatico dell aria (trattandosi di un gas biatomico, 7/5 1,4). Dal valore trovato per k risulta che il meccanismo di propagazione è adiabatico con 1,35, quindi con buona approssimazione Un cilindro di alluminio (densità 2700 unità SI) è fissato a un filo di acciaio e la frequenza fondamentale delle onde stazionarie sul filo è f Hz. Se il cilindro viene immerso per metà in acqua (densità 1000 unità SI), quale sarà la nuova frequenza fondamentale? (3) La frequenza fondamentale delle onde stazionarie nel filo è f T ml, dove T, m ed l sono rispettivamente la tensione, la massa e la lunghezza del filo. L immersione in acqua fa modificare la tensione del filo in quanto ora sul cilindro agisce la spinta di Archimede F A operata dall acqua. Possiamo allora scrivere, indicando con T la nuova tensione del filo che la nuova frequenza fondamentale è T ' f1' f1. T Ma la tensione del filo in aria coincide col peso M g del cilindro, mentre in acqua sarà, indicando con Al e a le densità dell alluminio e dell acqua Sarà quindi T M g F A Al V g a (V/2) g. f 1 ' f 1 1 a 2 Al ,4 270,8 Hz Assumendo un intensità di riferimento I 0 10 pw/m 2, calcolare: a) il livello di intensità in db di un onda sonora di intensità I 1 1 μw/m 2, b) il livello di intensità di un onda sonora in aria avente ampiezza di pressione P 0,2 Pa. (4) 521

22 a) 10 lg I 1 I lg lg db. b) I P2 2 v 0,04 2 1, mw m 2, che, espresso in db, corrisponde a ' 10 lg lg , 8 db Due altoparlanti A e B emettono suoni di frequenza f 173 Hz uniformemente in tutte le direzioni. A emette una potenza acustica W A 800 μw, mentre quella di B è W B 1350 μw. Calcolare: a) la differenza di fase in un punto C a distanza d 1 3 m da B e d 2 4 m da A; b) l intensità in C dovuta ad A se si spegne l altoparlante B; c) l intensità in C dovuta a B se si spegne A; d) l intensità in C quando funzionano entrambi gli altoparlanti. (Si assuma per la velocità del suono il valore v 446 m/s). (5) La sovrapposizione delle due onde con la stessa frequenza nel punto C origina un fenomeno di interferenza. a) In base alla relazione tra differenza di cammino e sfasamento, tenendo conto che la differenza di cammino in C è 1 m e che v/f, otteniamo 2 f 2 v 6, rad. Le due onde nel punto C sono dunque in opposizione di fase. b) Dato che potenza emessa da A si distribuisce uniformemente su una superficie sferica di area S 2 4 d 2 2, l intensità prodotta in C dal solo altoparlante A sarà I A W A S 2 W A 2 4 d , μw m 2. c) Allo stesso modo l intensità prodotta in C dal solo altoparlante B sarà 522

23 I B W B S 1 W B 2 4 d , , 9 μw m 2. d) Applicando la formula dell interferenza I I A + I B + 2 I A I B cos con cos 1, si ricava I 4 +11, , 9 15, 9 13, 8 2,1 μw m 2. Si tratta quindi di un caso di interferenza negativa per effetto del quale nel punto C si percepisce, nonostante la sovrapposizione dei suoni dei due altoparlanti, un intensità sonora inferiore sia a quella del primo sia a quella del secondo Una finestra di superficie S 2 m 2 è aperta su una strada il cui rumore, all altezza della finestra ha un livello di intensità 60 db. Calcolare la potenza acustica che entra da tale finestra. (4) Possiamo scrivere, dalla definizione del livello di intensità sonora, lg I I 0, lg I 6, I 0 I 10 6 I W m 1 μw 2 m. 2 Essendo l area della finestra di 2 m 2, la potenza acustica entrante sarà W 2 μw Un ascoltatore si allontana con velocità costante v A 25 m/s da una sorgente; se nella direzione di moto esiste un gradiente termico costante G 0,1 C/m. Calcolare: a) a quale distanza dalla sorgente l ascoltatore non percepirà più il suono; b) quale sarà il meccanismo di propagazione del suono. La velocità del suono nel punto di partenza è v 340 m/s e la temperatura dell aria è T 290 K. (3) 523

24 a) Non essendo precisato il meccanismo di propagazione delle onde sonore, scriviamo la velocità di propagazione come v s krt M, dove k è una costante da determinare. All inizio del moto sarà v s v, mentre dopo una distanza x sarà v s ' kr(t + xg) M krt M + krxg M v 2 + v2 xg T v 1 + xg T. L ascoltatore non percepirà alcun suono quando v A > v s ', v A > v 1 + xg T, b) Per stabilire il valore di k, riprendiamo in esame l espressione di v s, inserendo il peso molecolare dell aria (M 29 g/mol) e ottenendo x > T 2 v A G 1 v 2, x > , m. k Mv s 2 RT , ,39. Essendo l aria un gas biatomico, per cui il coefficiente adiabatico vale 7/5, possiamo ritenere con ottima approssimazione che il meccanismo di propagazione del suono sia adiabatico. 524