MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI. Algebra 1. laboratorio e complementi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

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1 MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI Agebra 1 aboratorio e compementi Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

2 ISBN Edizione Direzione Editoriae: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Stampa: L.E.G.O. S.p.A. - Vicenza L'editore si impegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. I materiae iustrativo proviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disposizione degi aventi diritto non potuti reperire. I presente voume eá conforme ae disposizioni ministeriai in merito ae norme tecniche di compiazione. Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. Si ringrazia a prof.ssa Cara Mezani per a coaborazione editoriae. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge aprie 1941 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Miano 01, e-mai segreteria@aidro.org e sito web Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 41 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (05) Fax (05) Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Tema Introduzione a'uso dei software 1. Derive 4. Exce 7 1: Gi insiemi 1. Gi insiemi con Derive 1 ë Matematica e storia Gi sviuppi dea teoria degi insiemi 17 ë Gare di Matematica 18 ë Matematica e reataá 19 : La ogica 1. La ogica con Derive 0. La ogica con Exce ë Matematica e storia Daa ogica aa ogica fuzzy: gi insiemi cambiano faccia 4 ë Gare di Matematica 7 ë Matematica e reataá 9 : Insiemi e reazioni 1. Le funzioni con Derive 1. Le reazioni con Exce ë Gare di Matematica 4 ë Matematica e reataá 4 ë AttivitaÁ di recupero 1. Gi insiemi 6. La ogica 4. Insiemi e reazioni 47 ë Verifica de recupero 5 ë Math inengish 55 Tema 1: Operazioni e insiemi numerici 1. Le espressioni numeriche con Derive 57 ë Matematica e storia Aa conquista dei numeri 60 I numeri primi, a crittografia e atro 64 ë Gare di Matematica 67 ë Matematica e reataá 70 : I sistemi di numerazione 1. I cambiamenti di base con Derive 71. I cambiamenti di base con Exce 7 ë Gare di Matematica 76 ë Matematica e reataá 76 ë AttivitaÁ di recupero 1. Operazioni e insiemi numerici 78. I sistemi di numerazione 86 ë Verifica de recupero 88 ë Math inengish 91 Tema 1: Monomi e poinomi 1. Monomi e poinomi con Derive 9. I poinomi con Exce 94 ë Matematica e storia Gi sviuppi de'agebra 98 ë Gare di Matematica 101 ë Matematica e reataá 10 : La fattorizzazione dei poinomi 1. La scomposizione con Derive 104 ë Gare di Matematica 106 ë Matematica e reataá 106 : Le frazioni agebriche 1. Le frazioni agebriche con Derive 109 ë Gare di Matematica 111 ë Matematica e reataá 11 ë AttivitaÁ di recupero 1. Monomi e poinomi 114. La fattorizzazione dei poinomi 16. Le frazioni agebriche 1 ë Verifica de recupero 16 ë Math inengish 19 Tema 1: Le equazioni 1. Le equazioni con Derive 140. Le equazioni con Exce 141 ë Matematica e storia Le equazioni ed i metodo dea fasa posizione 14 I probemi di Tartagia 14 ë Gare di Matematica 145 ë Matematica e reataá 146 : Le disequazioni 1. Le disequazioni con Derive 148. Le disequazioni con Exce 149 ë Gare di Matematica 15 ë Matematica e reataá 15 ë AttivitaÁ di recupero 1. Le equazioni 154. Le disequazioni 160 ë Verifica de recupero 167 ë Math inengish 169 Tema 1: La statistica descrittiva 1. La statistica con Exce 171 ë Matematica e storia Perche nasce e come si sviuppa a statistica 175 ë Matematica e reataá 177 ë AttivitaÁ di recupero 1. La statistica descrittiva 179 ë Verifica de recupero 186 ë Math inengish 187 ë Giochiamo cona matematica 188 IN DI CE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

4 PREMESSA Introduzione a'uso dei software 1. DERIVE L'ambiente di avoro Derive eá un software di matematica che consente di eseguire cacoi numerici, agebrici, simboici e di natura piuá compessa, tracciare grafici in due e tre dimensioni esportabii in diversi formati. Useremo questo software per comprendere megio acuni concetti e per sviuppare e veocizzare acune procedure di cacoo. I riferimenti ai menu e ai comandi, cosõá come e immagini, si riferiscono aa versione 6 in ingua itaiana;precedenti versioni possono presentare acune differenze nea disposizione dei comandi o nea grafica. A'avvio de programma o schermo appare come nea seguente videata riga de titoo riga di menu riga dee icone finestra di Agebra riga di stato riga di inserimento tabee dei simboi 4 INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 In esso distinguiamo: a riga de titoo che riporta i nome de programma (Derive 6) con 'indicazione dea finestra di avoro (ne nostro caso Agebra 1) a riga di menu a Barra degi strumenti con e icone che rappresentano i principai comandi di Derive un'ampia finestra di avoro (quea di Agebra) a riga di stato dove compaiono i messaggi dea guida a riga di inserimento dee espressioni con acuni pusanti di utiitaá a tabea dei simboi con e ettere greche sua sinistra e dei simboi matematici sua destra. Ne'angoo in ato a destra dea riga di menu ci sono i tre pusanti comuni a tutti i software che usano i sistema operativo Windows e che, ne'ordine, rappresentano: i pusante di riduzione ad icona con i quae si abbandona temporaneamente i avoro in corso con a possibiitaá di riprendero in seguito i pusante di riduzione/ingrandimento dea finestra di avoro i pusante di chiusura dea finestra di avoro. Gi stessi pusanti si trovano sua destra dea riga de titoo ed agiscono in modo anaogo su'ambiente di Derive consentendo a riduzione ad icona, a riduzione/ingrandimento, a chiusura de programma. Un comando di Derive si attiva ciccando con i tasto sinistro de mouse su'icona corrispondente oppure scegiendoo da proprio menu. Per indicare quest'utima possibiitaá scriveremo in successione prima i menu e poi i comando separandoi con una barra. Per esempio per indicare che si deve seezionare i comando Espressione da menu Crea scriveremo Crea/Espressione Impareremo man mano ad usare i vari comandi ne corso dee nostre esercitazioni. Come inserire un'espressione In ambiente Derive, con i termine Espressione si intende quaunque tipo di scrittura che possa essere inserita nea finestra di Agebra. I testo di un'espressione va scritto nea riga di inserimento, a cui si accede con un sempice cic de mouse, oppure tramite i comando Crea/Espressione oppure ancora attraverso 'icona. Otre ai caratteri dea tastiera, ne testo di un'espressione si possono inserire anche simboi speciai, quai e parentesi, i simboi di operazione e di reazione, i segni dei numeri, acune costanti particoari come, scegiendoi con un cic de mouse daa tabea dei simboi matematici. Per essere inserito nea finestra di Agebra, i testo digitato deve poi essere confermato;ci sono diverse modaitaá di conferma: mediante i tasto INVIO oppure i pusante che si trova sua sinistra dea riga di inserimento: in questo caso viene inserito i testo digitato; mediante i pusante Sempifica : in questo caso 'espressione viene sempificata e non vi eá piuá traccia de testo originae; mediante i pusante Crea e sempifica : nea finestra di Agebra sono visibii in una prima riga i testo de'espressione e in una seconda 'espressione sempificata. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE 5

6 I successivi due pusanti Approssima e Crea e approssima agiscono ao stesso modo dei precedenti approssimando peroá i vaori de'espressione. L'utimo pusante cancea 'intera espressione daa riga di inserimento. Proviamo per esempio a digitare nea riga di inserimento 'espressione: 4 7 =5 (per a motipicazione i carattere da tastiera eá *, oppure daa tabea dei simboi eá i punto di motipicazione;per a divisione i simboo eá in entrambi i casi a barra). Ecco queo che si ottiene usando in sequenza i vari pusanti. Come correggere un errore di scrittura PuoÁ capitare che, durante a digitazione di un'espressione, si commettano degi errori di sintassi che non consentono poi di operare in modo corretto. La correzione di un errore eá sempicissima: se 'errore avviene in fase di scrittura de'espressione (siamo nea fase di inserimento), Derive indica con un messaggio a tipoogia de'errore ed in questo caso basta tornare co cursore a punto giusto e modificare se ci accorgiamo de'errore quando 'espressione eá giaá stata scritta nea finestra di Agebra, bisogna procedere cosõá: - seezionare con i mouse a riga che contiene 'espressione da correggere in modo da rendera attiva (a riga attiva eá sempre quea evidenziata in coore) e attivare i comando Modifica/Espressione, oppure ciccare su di essa con i tasto destro de mouse e seezionare Modifica - 'espressione viene immediatamente riscritta nea riga di inserimento: si puoá procedere adesso aa correzione de testo e confermare poi con i pusante di invio o i tasto INVIO. 6 INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 Come eiminare e righe nea finestra di Agebra Se si vuoe eiminare una riga in particoare basta seezionara e poi usare i tasto CANC oppure 'icona Cancea oggetto (i comando eá seezionabie anche da menu Modifica). Se si vuoe canceare una serie di righe successive basta seezionare tutte con i metodo de trascinamento (ciccare sua prima riga e, tenendo premuto i tasto sinistro de mouse, coprire e atre) e poi usare o stesso comando. L'utima canceazione fatta puoá essere recuperata con i comando Modifica/Annua canceazione seezionabie daa riga dei menu.. EXCEL Uno dei software sicuramente piuá usati oggi eá i fogio eettronico;in questo testo impareremo ad usare Exce nea sua versione 007. Le figure che si riferiscono a finestre particoari o parti de fogio di avoro possono differire in quache particoare se si usa una versione diversa, ma i principi di funzionamento sono gi stessi. Per chi usasse ancora a versione 00 indicheremo fra parentesi in carattere bu i corrispondente comando in quea versione. Avviato Exce con un doppio cic sua sua icona, o schermo de computer appare come nea figura che segue nea quae distinguiamo acune parti. panneo di controo fogio di avoro riga di stato n I panneo di controo con a barra di accesso rapido in ato a sinistra, a riga dei menu (Home, Inserisci, ecc.), i gruppi con e icone degi strumenti corrispondenti a menu attivo in que momento, a riga con a barra dee formue. Ciascun menu puoá essere personaizzato ciccando su di esso con i tasto destro de mouse e scegiendo i comando Personaizza. Nea barra di accesso rapido conviene avere a disposizione 'icona di savataggio e di apertura dei fie ; se questi comandi non fossero presenti, conviene aggiungeri. n I fogio di avoro, che puoá essere paragonato ad un fogio a quadretti ne quae si possono scrivere frasi, eseguire cacoi, fare disegni. Ogni "quadretto" di questo fogio si chiama cea;ogni cea eá individuata da Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE 7

8 un indirizzo, composto da una ettera che indica a coonna e da un numero che indica a riga sua quae essa si trova. L'indicazione de'indirizzo di una cea attiva (cioeá una cea nea quae si possono immettere dati o formue) si trova scritto ne panneo di controo a sinistra dea barra dee formue;ne disegno a cea attiva eá A1 (coonna A, riga 1). Si puoá passare da una cea a'atra ne fogio di avoro spostandosi con i tasti freccia o piuá sempicemente con un cic de mouse. Un fogio di avoro eá moto grande (i numeri di riga sono progressivi da 1 a piuá di 65 mia, e indicazioni dee coonne partono da A a Z e poi usano una doppia ettera: AA, AB, AC e cosõá via fino a IV) e o schermo de computer ne puoá contenere soo una piccoa parte;per accedere a parti non visibii suo schermo occorre far scorrere i fogio con i tasti freccia (oppure piuá rapidamente con Pag# e Pag");per tornare aa cea A1 da quasiasi punto basta usare i tasti CTRL+HOME mentre premendo sempicemente Home si torna nea casea iniziae dea riga in cui ci si trova. La parte visibie de fogio di avoro eá deimitata in basso da una riga che indica qua eá i fogio su cui si sta avorando (fogio1, fogio, fogio) e daa barra di scorrimento orizzontae, sua destra daa barra di scorrimento verticae. n Dopo i fogio di avoro troviamo a riga di stato che contiene informazioni suo stato de fogio di avoro;in genere, quando si trova i messaggio Pronto significa che a cea attiva in que momento eá pronta a ricevere dati o formue. Ne'angoo in ato a destra troviamo poi ancora i pusanti di riduzione ad icona, di riduzione e ingrandimento, di chiusura de avoro e nea parte centrae deo schermo (sempre in ato) i nome dea cartea di avoro (i nome di defaut eá carten, essendo n un numero progressivo). Per capire quai sono e funzioni di un fogio eettronico, ti proponiamo una sempice esercitazione introduttiva. Per darti e indicazioni di come procedere, scriveremo a sinistra i riferimento dea cea attiva e a destra i dato da inserire;per esempio per indicare che nea cea A1 devi inserire i numero 5, scriveremo: A1: 5 Tieni presente poi che: n per inserire un dato devi rendere attiva a cea ciccando su di essa (o muovendoti con i tasti freccia), digitare i dato e confermare con invio oppure ciccando su un'atra cea; n per correggere un dato giaá immesso devi ciccare sua cea da correggere, ciccare sua parte destra dea barra dea formua (õá eá scritto i contenuto dea cea) e fare e tue correzioni; n per canceare i contenuto di una cea devi ciccare sua cea e premere i tasto CANC. Esercitazione 1. Come inserire dati e formue Dati due numeri vogiamo cacoare a oro somma, differenza, prodotto e quoziente. Procedi inserendo i dati come indicato (osserva ne frattempo a parte destra dea barra dea formua che visuaizza queo che stai inserendo): A1: Primo numero A: Secondo numero PuoÁ darsi che queste due frasi, che in terminoogia informatica si dicono stringhe (una stringa eá un quaunque insieme di caratteri che possono essere ettere, numeri o caratteri speciai), occupino anche a casea vicina percheâ sono troppo unghe per essere contenute in una soa cea;possiamo aora decidere di immettere gi atri dati nea coonna C che eá ibera, oppure possiamo aargare a coonna A in modo da rendera sufficientemente ampia. Per variare a arghezza di una coonna si puoá agire in due modi: n ciccando sua riga di confine fra a coonna da aargare (o stringere) e a successiva (ne nostro caso fra A e B) e trascinando i mouse fino a raggiungere a arghezza desiderata (osserva che i puntatore su video cambia forma); 8 INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 n ciccando su'intestazione dea coonna (ne nostro caso A), da menu Home scegiere i gruppo Cee e poi a casea Formato;da questa seezionare Larghezza coonne e indicare a arghezza desiderata (nea versione 00 eá i percorso Formato / Coonne / Larghezza). Dopo aver adeguato a arghezza dea coonna A a testo scritto, immettiamo i due numeri nea coonna B. B1: 1 B: 8 I dati da noi proposti sono soo indicativi, se vuoi puoi inserire due numeri a tua sceta. Nea coonna C scriveremo e intestazioni dei risutati. C1: Somma C: Differenza C: Prodotto C4: Quoziente Nea coonna D chiederemo ad Exce di cacoare i risutati dee varie operazioni. Per fare cioá dovremo immettere dee formue. Una formua in Exce inizia sempre con i simboo ˆ seguito da'indicazione dee operazioni da compiere sue cee;ecco quindi queo che si deve immettere, confermando ogni espressione con i tasto INVIO: D1: = B1 B D: = B1 B D: = B1 B (i simboo di motipicazione eá 'asterisco) Una rifessione a parte va fatta per a divisione;sappiamo infatti che non si puoá cacoare i quoziente fra due numeri quando i divisore eá zero. Dobbiamo aora usare una funzione di seezione che cacoa i quoziente se i secondo numero, queo in B, eá diverso da zero, mentre invia un messaggio che indica che a divisione non eá possibie se tae numero eá zero. Una funzione di seezione eá un comando che consente di scegiere fra due possibii aternative a seconda che venga o meno verificata una certa condizione ed in Exce ha a seguente struttura =SE (proposizione; istruzione_vero; istruzione_faso) che significa: se a proposizione indicata eá vera esegui a prima istruzione scritta, se eá fasa esegui a seconda. Aora nea cea D4 dovremo inserire a seguente formua D4: = SE (B< >0;B1 / B;"divisione impossibie") che significa: se B eá diverso da 0, aora esegui B1 / B (cioeá cacoa i quoziente), atrimenti scrivi a stringa divisione impossibie. Osserviamo che diverso si indica con i simboo < > e che a stringa deve essere racchiusa fra doppi apici. Con i dati assegnati, nea cea D4 vi eá i vaore 1,5;prova a variare i dato nea cea B facendogi assumere ora vaore zero: Exce aggiorna automaticamente i fogio e ricacoa tutte e formue inserite con i nuovi dati;questa vota in D4 c'eá i messaggio che a divisione eá impossibie. Come memorizzare una cartea di avoro Terminata 'esercitazione, bisogna savare a cartea in un fie;basta ciccare su'icona con i dischetto posta ne'angoo superiore di sinistra deo schermo (nea versione 00, in aternativa, segui i percorso Fie / Sava). Quando si esegue questo comando per a prima vota, si apre una finestra, detta di diaogo, in cui sono eencate a directory corrente (in ato) e e directory figie (ne riquadro piuá grande), ed in cui si chiede i nome da dare a fie. Se si desidera memorizzare i fie nea directory corrente, basta assegnare i nome e confermare con i pusante Sava, se si desidera cambiare directory basta seezionare i nuovo percorso muovendosi ne'abero dee directory che puoi visuaizzare ciccando su triangoino messo sua destra de nome di quea corrente. Sava dunque i tuo primo avoro in un fie cui puoi dare nome ESER1. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE 9

10 Per chiudere a cartea, rimanendo in ambiente Exce devi ciccare su pusante di chiusura de fogio. Per chiudere a sessione di avoro, e quindi uscire da Exce devi ciccare su pusante di chiusura de programma. Esercitazione. Come copiare dati e formue: i riferimenti assouti e reativi Apriamo a cartea di avoro preparata nea precedente esercitazione ciccando su'icona Apri che eá raffigurata da una carteetta aperta che si trova nea barra di accesso rapido. La finestra di diaogo che in questo modo si apre eá simie a quea de comando Sava;dopo aver aperto a directory in cui hai memorizzato i fie ESER1 basta fare un doppio cic su nome de fie oppure ciccare una vota soa e poi usare i pusante Apri. In questo modo i fogio di avoro con a prima esercitazione eá disponibie su video. Nea parte inferiore de fogio trovi una riga con una numerazione progressiva: fogio1, fogio, fogio;vi eá infatti a possibiitaá di usare fogi diversi, indipendenti fra oro, ne'ambito dea stessa cartea. Ciccando su fogio ottieni un nuovo fogio di avoro su cui poter predisporre a seconda esercitazione. Una dee operazioni che si compiono con maggior frequenza su un fogio eettronico eá quea dea copiatura e deo spostamento dei contenuti dee cee. Per imparare a compiere queste operazioni, immaginiamo a seguente situazione. Un'azienda che produce eettrodomestici, si serve di tre venditori per a commerciaizzazione dei propri prodotti. Aa fine di ogni mese viene preparato un prospetto come queo che trovi aa fine de'esercitazione ne quae si indicano e quantitaá vendute di ogni eettrodomestico (per sempificare ne abbiamo indicati soo tre tipi), e e provvigioni dei venditori. Per reaizzare i fogio predisponi iniziamente o schema con e soe indicazioni di base come nea figura seguente. A B C D E F 1 MERCE PREZZO UNITARIO SCONTO PREZZO SCONTATO Aspirapovere 450 8% Ferri da stiro 10 10% 4 Robot da cucina 0 5% 5 6 VENDITORE PERC. PROVV. 7 Aberti,5% 8 Bianchi,% 9 Coombo,8% VENDITORE MERCE QUANTITA' IMP. VENDITE PROVVIGIONI TOT. PROV. 1 Aberti Aspirapovere Ferri da stiro Robot da cucina Bianchi Aspirapovere Ferri da stiro Robot da cucina Coombo Aspirapovere Ferri da stiro Robot da cucina 18 1 Tot. vend. aspirap. 4 Tot. vend. ferri 5 Tot. vend. robot 6 TOT. VENDITE 10 INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 Ae cee da C a C4 e da B7 a B9 devi dare i formato percentuae utiizzando 'icona (Stie percentuae) che si trova ne menu Home, gruppo Numeri. Nee cee ricorda che per avere ad esempio 8% devi avere precedentemente inserito 0,08 (nea versione 00 trovi a stessa icona). Riempiamo ora a rimanente parte de fogio. Per cacoare i prezzo scontato occorre inserire una formua nee cee da D a D4;poiche a formua eá a stessa, possiamo inserira una soa vota nea cea D e copiara poi sue rimanenti: D: = B (100% C) Una nota sua scrittura dee formue: per inserire i riferimento ad un cea puoi anche ciccare su di essa;per esempio, nea formua precedente, per inserire B puoi ciccare sua cea B, per inserire C puoi ciccare su C. Per copiare a formua dea cea D nee due sottostanti si puoá procedere in due modi: n seezionare a cea da copiare (D) ciccare su'icona Copia da menu Home, gruppo Appunti seezionare e cee di destinazione dea copia trascinando i mouse (D e D4) ciccare su'icona Incoa dao stesso menu (Nea versione 00 e icone di Copia e Incoa sono e stesse, i comandi corrispondenti sono Modifica / Copia e Modifica / Incoa) n seezionare a cea da copiare (D) puntare i mouse ne quadratino in basso a destra dea seezione (i puntatore cambia forma) premere i tasto sinistro de mouse e trascinaro fino a ricoprire 'area di destinazione dea copia, ne nostro caso e cee D e D4, e riasciare i pusante de mouse. Questa seconda modaitaá non puoá evidentemente essere usata se a zona di destinazione dea copia non eá contigua aa cea da copiare. Se ora osservi e formue copiate ti accorgerai che a struttura dea formua eá rimasta a stessa, mentre i riferimento ae cee eá cambiato;tutte e vote che si copia una formua in un'atra cea i riferimento di riga e di coonna si spostano di tante unitaá quante sono quee di cui ci si eá spostati nea copia. Ne nostro caso, i riferimento di coonna eá rimasto o stesso (non ci siamo spostati ungo e coonne), queo di riga eá aumentato di una unitaá ad ogni spostamento (ci siamo spostati verso i basso di una e poi di due casee). Quando questo accade si dice che a formua ha un riferimento di tipo reativo. Continuiamo 'esercitazione e cacoiamo 'importo dee vendite;per faro dobbiamo motipicare ciascuna quantitaá per i prezzo de'eettrodomestico che si trova nea coonna dei prezzi scontati. Le formue da inserire sono e seguenti: D1: = C1 D a formua va poi copiata nee due cee sottostanti D15: = C15 D a formua va poi copiata nee due cee sottostanti D18: = C18 D a formua va poi copiata nee due cee sottostanti Cacoiamo e provvigioni. La formua eá sempice: basta motipicare 'importo dee vendite di ciascun eettrodomestico per a percentuae di ciascun venditore. Attenzione peroá, i riferimento aa percentuae eá fisso, non deve cambiare quando copiamo a formua, deve cioeá essere un riferimento di tipo assouto. Per indicare che a riga e/o a coonna di una cea devono rimanere fissi durante una copia, basta far precedere i nome dea riga e/o dea coonna da carattere doaro. Le formue da inserire sono dunque e seguenti: E1: = D1 $B$7 a formua va poi copiata nee due cee sottostanti E15: = D15 $B$8 a formua va poi copiata nee due cee sottostanti E18: = D18 $B$9 a formua va poi copiata nee due cee sottostanti Cacoiamo i totai dee provvigioni per ogni venditore. Per faro ci serviremo di una funzione di somma che ha a seguente sintassi: SOMMA(cea1;cea;...;cea n) se e cee da sommare sono separate SOMMA(cea1 : cea n) se e cee formano un intervao continuo Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE 11

12 Ne nostro caso dobbiamo inserire e seguenti formue: F14: =SOMMA(E1:E14) per sommare e cee da E1 a E14 F17: =SOMMA(E15:E17) per sommare e cee da E15 a E17 F0: =SOMMA(E18:E0) per sommare e cee da E18 a E0 Nee formue, 'indicazione de'intervao di cee da sommare puoá anche essere immesso seezionando a zona con i mouse;inotre, se e cee da sommare sono sua stessa riga oppure sua stessa coonna, si puoá usare a funzione di somma automatica presente ne gruppo Modifica de menu Home. Prova ad usare questa funzione per trovare a somma dee provvigioni. I totae degi aspirapoveri venduti si trova invece sommando cee separate;basta aora inserire a formua B: =C1+C15+C18 oppure =SOMMA(C1;C15;C18) e copiara nee due cee sottostanti. Se hai eseguito correttamento i avoro, i fogio deve apparire come indicato di seguito. In esso abbiamo inserito dei coori di sfondo in acune cee per evidenziare dee parti, abbiamo usato a centratura dee stringhe per scrivere i testo ne centro dea cea ed i carattere grassetto per marcare acuni risutati. Tutte queste operazioni si eseguono daa riga dee icone seezionando prima con i mouse e cee su cui agire. Per esempio, per inserire degi sfondi coorati devi seezionare e cee da coorare, agire su'icona scegiere i coore desiderato. Ricorda di savare a cartea con 'icona. de gruppo Carattere e andare a A B C D E F 1 MERCE PREZZO UNITARIO SCONTO PREZZO SCONTATO Aspirapovere 450 8% 414 Ferri da stiro 10 10% Robot da cucina 0 5% VENDITORE PERC. PROVV. 7 Aberti,5% 8 Bianchi,% 9 Coombo,8% VENDITORE MERCE QUANTITA' IMP. VENDITE PROVVIGIONI TOT. PROV. 1 Aberti Aspirapovere ,6 1 Ferri da stiro , 14 Robot da cucina ,80 15 Bianchi Aspirapovere ,87 16 Ferri da stiro ,04 17 Robot da cucina , ,06 18 Coombo Aspirapovere ,8 19 Ferri da stiro ,504 0 Robot da cucina , ,97 1 TOT. PROVV. 1916,8 Tot. vend. aspirap Tot. vend. ferri Tot. vend. robot 9 6 TOT. VENDITE INTRODUZIONE ALL'USO DEI SOFTWARE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 CAPITOLO 1 Gi insiemi 1. GLI INSIEMI CON DERIVE Come creare un insieme I modo piuá sempice per creare un insieme con Derive eá queo di eencare i suoi eementi racchiudendoi a'interno di una coppia di parentesi graffe. Per esempio, per costruire 'insieme dee vocai, nea riga di inserimento scriviamo cosõá (e parentesi graffe si possono seezionare daa tabea dei simboi matematici): fa, e, i, o, ug e poi confermiamo con INVIO. L'insieme vuoto viene rappresentato da una coppia di parentesi graffe vuota. Appica a stessa procedura per inserire: - 'insieme dee prime cinque ettere de'afabeto - 'insieme dee consonanti de'afabeto itaiano. La finestra di Agebra contiene a questo punto tre righe di espressione. Se gi eementi di un insieme numerico seguono una regoa particoare, per esempio sono numeri naturai compresi tra 4 e 10, oppure sono i mutipi di minori di 0, oppure ancora sono i numeri pari minori o uguai a 16, 'eenco puoá essere generato in modo automatico: - 'espressione f4, :::, 10g genera 'insieme f4, 5, 6, 7, 8, 9, 10g - 'espressione f0,, :::, 0g genera 'insieme f0,, 6, 1, 15, 18g - 'espressione f, 4, :::, 16g genera 'insieme f, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16g Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI 1

14 In sostanza: se vengono indicati soo i primo e 'utimo termine si genera a successione dei numeri interi compresi fra i due termini; se vengono indicati i primi due termini, viene cacoata a oro differenza d e tutti i numeri successivi vengono generati aggiungendo ogni vota d a numero precedente. Attenzione peroá : quando si scrive 'espressione che genera 'insieme, non si deve usare i tasto INVIO, ma i pusante di sempificazione. In ogni caso, per avere 'eenco ordinato degi eementi de'insieme, basta usare i comando Sempifica/Base (icona dea Barra degi strumenti). Come assegnare un insieme a una variabie EÁ spesso comodo riferirsi a un insieme indicando i suo nome piuttosto che a riga in cui eá inserito; occorre aora assegnare 'insieme ad una variabie. Vediamo subito un esempio; se scriviamo (nea riga di inserimento): A :ˆ f1,, g abbiamo assegnato aa variabie A 'insieme f1,, g B :ˆ #1 abbiamo assegnato aa variabie B 'insieme descritto nea riga 1 cioeá, se ci riferiamo aa figura precedente, queo dee vocai. Con questa scrittura 'espressione a destra de simboo :ˆ viene assegnata aa variabie i cui nome eá scritto a sinistra. Dopo questi assegnamenti, tutte e vote che dovremo riferirci a'insieme f1,, g potremo scrivere A, tutte e vote che vorremo riferirci a'insieme dea riga 1 potremo scrivere B. Come operare con gi insiemi Con Derive possiamo anche eseguire e principai operazioni con gi insiemi usando i corrispondenti operatori seezionati daa tabea dei simboi matematici: [ per 'unione \ per 'intersezione n per 'insieme differenza per i prodotto cartesiano Supponiamo che, a questo punto de'esercitazione, a tua finestra di Agebra contenga i seguenti insiemi: #1: fa, e, i, o, ug #: fa, b, c, d, eg #: fb, c, d, f, g, h,, m, n, p, q, r, s, t, v, zg #4: f, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10g #5: f0,, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 7, 0,, 6, 9, 4, 45, 48g #6: f0,, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0g Se cosõá non fosse puoi canceare e righe in piuá seezionandoe con i mouse e ciccando su'icona Cancea ( )oppure premendo i tasto CANC dea tastiera. Ti indichiamo di seguito e espressioni da scrivere nea riga di inserimento per eseguire e operazioni indicate: 14 Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

15 unione fra 'insieme dee vocai (riga #1)e queo dee consonanti (riga #): #1 [ # ˆ intersezione fra 'insieme dei mutipi di minori di 50 (riga #5)e queo dei numeri pari minori o uguai a 0 (riga #6): #5 \ #6 ˆ differenza fra 'insieme dee prime cinque ettere de'afabeto (riga #)e queo dee vocai (riga #1): # n #1 ˆ prodotto cartesiano fra 'insieme dee vocai (riga #1)e 'insieme dee prime cinque ettere de'afabeto (riga #): #1 # ˆ I simboo di uguagianza posto aa fine di ogni formua indica a Derive che, otre a riportare 'operazione nea finestra di Agebra cosõá come eá stata scritta, deve anche sempificara, cioeá dare i risutato. Puoi ottenere a stessa cosa non scrivendo 'uguae a termine dea formua e usando prima i tasto INVIO e poi 'icona di sempificazione. Le coppie de prodotto cartesiano vengono rappresentate a'interno di una coppia di parentesi quadre. Atre due funzioni che operano sugi insiemi sono: power_set(x) dove X indica i nome de'insieme o a riga in cui eá inserito; questa funzione cacoa 'insieme dee parti di X power_set(x, n) cacoa tutti i sottoinsiemi di X che hanno n eementi. Per esempio, sempre riferendoci aa situazione descritta prima: power_set(#1) restituisce 'insieme dee parti de'insieme dee vocai; power_set(#1, 4) restituisce i suoi sottoinsiemi che hanno 4 eementi. ESERCIZI 1. Costruisci i seguenti insiemi: A dei numeri dispari minori di 0 B dei numeri pari minori o uguai a 0 C dei mutipi di minori di 5 D dei mutipi di 4 minori di 5.. Riferendoti agi insiemi creati a precedente esercizio, cacoa: a. A [ B b. A \ B c. A [ B \ C d. B \ C [ D. Costruisci gi insiemi A dei numeri naturai minori o uguai a 10, B dei numeri pari minori di 15, C dei numeri dispari compresi fra 4 e 0 e assegna ciascuno di essi aa variabie corrispondente a oro nome. Cacoa poi: A [ B A[ C A\ B B\ C A[ B [ C A B A C Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI 15

16 4. Riferendoti agi insiemi A, B e C de precedente esercizio, cacoa: a. A C e trova 'insieme dee parti; b. A B e trova i sottoinsiemi che hanno eementi. 5. Costruisci i due insiemi A dei numeri pari minori di 7, B dee prime tre ettere de'afabeto; cacoa poi i prodotto cartesiano A B. 6. Trova 'insieme dee parti de'insieme A ˆfa, b, cg. 7. Servendoti di un opportuno comando di Derive, trova e paroe di due ettere, anche prive di significato, che si possono formare con e ettere de'insieme D ˆ fa, b, e, r, o, pg. 8. Aa fine de'anno scoastico, nea prima A acuni studenti hanno avuto a sospensione de giudizio percheâ insufficienti in acune materie; indicandoi con i numero progressivo de registro di casse, risuta che: - 'insieme degi studenti insufficienti in Matematica eá formato dagi studenti, 6, 7, 1, 18,, 5 - 'insieme degi studenti insufficienti in Ingese eá formato dagi studenti 1, 6, 8, 18,, 5 - 'insieme degi studenti insufficienti in Itaiano eá formato dagi studenti, 7, 18, 0 - 'insieme degi studenti insufficienti in Storia eá formato dagi studenti, 1 - non ci sono insufficienze in atre materie. Costruisci gi insiemi A, B, C, D di questi studenti e, operando opportunamente con essi, determina: a. quanti hanno avuto una soa materia b. quanti hanno avuto due materie c. quanti tre materie d. se ci sono studenti che hanno avuto quattro materie. 9. Se a casse de precedente esercizio eá composta da 7 studenti, cacoa: a. quanti non hanno avuto 'insufficienza in Matematica e quai sono b. quanti non hanno avuto insufficienze e quai sono c. quanti non hanno avuto 'insufficienza in Ingese e quai sono. 10. Sempre riferendoti agi insiemi de'esercizio n. 8, dovendo interrogare gi studenti insufficienti in Matematica a coppie, in quanti e quai modi eá possibie formare e coppie? 16 Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

17 Matematica e storia Gi sviuppi dea teoria degi insiemi L'uomo ha usato i concetto di insieme,pur senza rendersene conto,fin da'antichitaá,tanto che ancora oggi i non esperti di matematica se ne servono a iveo intuitivo. Pensa a pastore che para de suo gregge considerandoo un'unica entitaá; a'insegnante che si rivoge agi studenti dea sua casse come ad un unico soggetto; a poitico che in un comizio para aa patea come ad un gruppo,formato sõá da tanti eementi,ma che si possono considerare come un tutt'uno. Nonostante questo concetto sia stato utiizzato da'uomo giaá dai tempi antichi,bisogna arrivare fino a secoo scorso per trovare riferimenti ad una teoria organica. Per primo Georg Cantor ( ), matematico tedesco di origine russa,fornõá,intorno a 1870,una trattazione sistematica dea teoria degi insiemi e sotanto ne 1895 cercoá di precisare questo concetto ne'opera I contributi a una fondazione dea teoria transfinita degi insiemi. In quest'opera si egge: «Per insieme intendiamo una riunione M,in un tutto,di determinati e ben distinti oggetti m dea nostra intuizione e de nostro pensiero (i quai vengono chiamati gi "eementi" di M)». Per Cantor,a natura degi eementi degi insiemi con cui si opera non ha importanza; i modo di eseguire una operazione fra insiemi non varia sia che gi eementi degi insiemi considerati siano automobii,pesci,numeri o figure geometriche. Sono e eggi dee operazioni a caratterizzare 'insieme risutato,non a natura degi eementi su cui si opera. Questo fatto ci fa intuire come a teoria degi insiemi abbia avuto una portata unificante per i vari rami dea matematica. Ad esempio,mediante questa teoria,'operazione di addizione fra numeri puoá essere ricondotta a regoe piuá generai che comprendono anche «'addizione» fra figure geometriche. Inotre a teoria degi insiemi eá aa base deo sviuppo di importanti parti dea matematica de nostro secoo,quai a ogica,di cui quest'anno studierai i primi eementi. Gi studi di Cantor diedero origine aa cosiddetta teoria ingenua degi insiemi,che peroá non era priva di contraddizioni. Esaminiamo,ad esempio,i seguente paradosso. Consideriamo 'insieme degi uomini di un viaggio che non si fanno a barba da soi,ma se a fanno fare da'unico barbiere esistente in que viaggio. barbiere appartiene a'insieme oppure no? Se vi appartenesse non si raderebbe da soo,ma si farebbe radere da barbiere,cioeá da se stesso; quindi in reataá egi si rade da soo,cioeá non appartiene a'insieme. Ma se egi non appartiene a'insieme,cioeá se si rade da soo,in ogni caso,essendo barbiere,si fa radere da barbiere. Quindi i barbiere appartiene e non appartiene neo stesso tempo a'insieme. Una contraddizione! I primo a porre in evidenza e contraddizioni dea teoria ingenua degi insiemi fu i matematico e fiosofo ingese Bertrand Russe ( ),in una famosa ettera che egi scrisse ne 190 a coega tedesco Gottob Frege. La scoperta dea "antinomia di Russe" (di cui i "paradosso de barbiere" costituisce un esempio) e di atre contraddizioni anaoghe pose in crisi non soo a teoria insiemistica,ma tutta a vasta parte dea matematica,che da essa derivava acuni concetti fondamentai. ComincioÁ cosõá i cosiddetto "periodo dea crisi dei fondamenti" dea matematica. Esso fu superato grazie a studi successivi che imitavano e precisavano i criteri di comprensione di un eemento in un insieme. In particoare,fu sviuppata agi inizi de nostro secoo,ad opera di Ernst Zermeo ( ) e di atri studiosi,una nuova teoria detta assiomatica, che superava e contraddizioni dea teoria ingenua e che eá ancora oggi attuae. Bertrand Russe Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI 17

18 1 In un gruppo di 100 persone, 70 parano ingese, 45 spagnoo, sia ingese che spagnoo.quante di oro non parano neâ ingese neâ spagnoo? a. 8 b. 5 c. 0 d. 55 e. 77 a: Š Ad una competizione internazionae partecipano 600 ragazzi provenienti da 100 paesi diversi e da ogni nazione provengono 6 ragazzi.i giorno prima dea gara si organizza un rinfresco in un enorme saone a cui partecipano tutti i concorrenti.ciascuno fa a conoscenza di tutti gi atri (ad eccezione dei suoi connazionai che conosce giaá) stringendo oro a mano.quante sono e strette di mano? a b c d e b: Š Tra i 00 aunni di una scuoa, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e 150 hanno partecipato ad una gara di fisica.quanti studenti hanno partecipato ad entrambe e gare? a. 70 b. 80 c. 10 d. 10 e. non eá possibie determinarne i numero in base ai dati de probema. e: Š 4 Nea casse di Jacob ci sono 7 aunni.tutti tranne ui si sono iscritti ad ameno una dee attivitaá proposte daa scuoa i unedõá pomeriggio (musica) e i mercoedõá pomeriggio (sport): 15 aunni fanno musica e 18 fanno sport.quanti aunni frequentano entrambe e attivitaá (musica e sport)? [7] 5 Abbiamo svoto una piccoa inchiesta tra 100 concorrenti dei "Campionati Internazionai di Giochi Matematici", chiedendo se conoscevano i francese o 'ingese.risutato: 70 di oro sapevano 'ingese, 45 i francese e sia i francese che 'ingese.quanti di oro non conoscevano neâ i francese neâ 'ingese? [8] 6 Quando Settimo e Ottavia si sono sposati, ciascuno di oro aveva giaá dei figi dai matrimoni precedenti. Dopo quache anno, nea oro famigia si contano 8 bambini.settimo eá i padre di 6 di oro, Ottavia a mamma di 5 di oro.quanti figi aveva Settimo prima de suo matrimonio con Ottavia? [Settimo: ; Ottavia: ] 7 In una scuoa i 60% degi studenti eá di sesso maschie, i 90% eá minorenne ed i 60% ha i capei castani. Quae dee seguenti affermazioni eá sicuramente vera? a. C'eÁ ameno una ragazza maggiorenne. b. C'eÁ ameno una ragazza con i capei castani. c. C'eÁ ameno un ragazzo minorenne e castano. d. Non ci sono ragazzi maggiorenni e castani. e. C'eÁ ameno un ragazzo biondo. c: Š 8 Aa fine di una conferenza su vaore dei giochi matematici, tutti stringono a mano a tutti.insomma, un gran numero di strette di mano.se ne sono contate compessivamente ben 66.Quante persone avevano assistito aa conferenza? [1] 9 Nando ha disegnato tre circonferenze (come nea figura) e ha notato che esse deimitano sette regioni.in tre di queste ha scritto i numeri 1,, 6.A questo punto Nando si chiede se eá possibie coocare nee atre quattro regioni i numeri, 4, 5, 7 (scritti ciascuno una e una soa vota) in modo che a somma dei numeri coocati a'interno di ogni disco sia sempre a stessa.aiuta Nando a terminare i suo gioco Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

19 Le eezioni degi organi scoastici A scuoa si sono appena svote e eezioni dei rappresentanti di casse.in una casse si erano candidati quattro studenti: Coombo Angeica, Russo Eeonora, Ferri Fabrizio e Rusconi Fabio. I due scrutatori, che hanno eseguito o spogio dei voti, hanno dovuto dichiarare nue 6 schede. Considerando comunque compessivamente tutti i voti, sia quei vaidi che quei nui, sono risutati i seguenti conteggi: Eeonora eá stata votata da 1 studenti Angeica da 6 Fabio da 11 Fabrizio da studenti hanno votato sia per Angeica che per Eeonora 1 studente per Angeica e Fabio 1 per Eeonora e Fabrizio per Angeica e Fabrizio nessuno ha votato contemporaneamente per Eeonora e Fabio. Rispondi adesso ae domande. 1 Chi eá stato eetto rappresentante di casse e con quanti voti vaidi? Considerando soo i voti vaidi, c'eá quacuno che non ha avuto preferenze? Ci sono state schede nue che portavano come preferenze Fabio e Fabrizio? 4 Se tutti quei che hanno votato per Angeica avessero trasferito i oro voto a Fabrizio, a situazione sarebbe cambiata? 5 Se tutti erano presenti aa votazione, quanti studenti ci sono nea casse? 1 Eeonora: 9 voti; Fabio: 10 voti Fabrizio no 4 no 5 6 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: GLI INSIEMI 19

20 CAPITOLO La ogica 1. LA LOGICA CON DERIVE Con Derive eá possibie vautare i vaore di veritaá di una proposizione costruendo a sua tavoa di veritaá. Per scrivere una proposizione si possono usare i connettivi ogici per esteso oppure i oro simboi ogici (daa tabea dei simboi matematici) secondo a seguente corrispondenza: operazione connettivo simboo ogico negazione not : congiunzione and ^ disgiunzione incusiva or _ disgiunzione escusiva xor non esiste i simboo impicazione imp! doppia impicazione iff non esiste i simboo La precedenza dee operazioni eá indicata da'uso dee parentesi,che possono essere soo tonde,eventuamente nidificate (cioeá una dentro 'atra); non si possono usare parentesi quadre o graffe percheâ queste hanno atri significati (e graffe per esempio si usano per rappresentare gi insiemi). In assenza di parentesi e operazioni hanno come ordine di precedenza quea indicata in tabea: prima viene eseguita a negazione,poi a congiunzione,poi a disgiunzione incusiva e cosõá via. Per esempio,per rappresentare con Derive 'espressione ogica a _ b! c si puoá scrivere in uno dei seguenti modi: not a or b imp c oppure : a _ b! c senza usare parentesi percheâ a precedenza dee operazioni eá giaá quea indicata. Comunque venga scritta nea riga di inserimento,derive inserisce in ogni caso 'espressione nea finestra di Agebra con a seconda modaitaá. Le due espressioni a! b _ c $ a e a! b _ c $ a hanno invece due significati diversi (prova a costruire e rispettive tavoe di veritaá ) percheâ a prima esegue ne'ordine prima a disgiunzione e poi e due impicazioni; essa equivae cioeá a a! b_ c $a. Per costruire una tavoa di veritaá si usa a funzione truth_tabe a, b,:::, proposizione1, proposizione,:::: {z } {z } eenco proposizioni proposizioni da vautare 0 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

21 dove nea prima parte vi eá 'eenco dee proposizioni coinvote,nea seconda ci sono e proposizioni da vautare, eventuamente anche piuá di una. Per esempio,per vautare a precedente espressione,che coinvoge e tre proposizioni a, b, c si scrive cosõá: truth_tabe a, b, c, : a _ b! c Una vota sempificata (icona di sempificazione oppure comando Sempifica/Base) otteniamo a corrispondente tavoa di veritaá come indicato nea videata seguente. Derive daá anche a possibiitaá di seguire passo passo a vautazione di un'espressione,e quindi anche a costruzione di una tavoa di veritaá,mediante i comando Sempifica/Visuaizza passaggi,oppure 'icona 'espressione. Inserisci truth_tabe a, b, c, a ^:b _c e cicca su questa icona. Neo sviuppo dea tavoa di veritaá,ne'utima coonna,vi eá 'attribuzione dei vaori true e fase ae singoe proposizioni a, b e c: Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : LA LOGICA 1

22 Per esempio nea prima riga eggi: a b c a ^:b _c true true true (true ^ fase) _ true cioeá eá stato attribuito true ad a, fase a : b e true a c. Ciccando successivamente su'icona di sempificazione (quea con 'uguae) ottieni o sviuppo finae dea tavoa. Questa possibiitaá eá utie per controare o svogimento dei tuoi esercizi e vedere dove hai commesso eventuai errori.. LA LOGICA CON EXCEL Date e proposizioni a e b,vogiamo costruire e tavoe di veritaá dee seguenti proposizioni composte a _ b a _ b a ^ b Exce possiede acune funzioni ogiche che corrispondono ai connettivi che abbiamo studiato in questo capitoo; esse sono: n = VERO ( ) restituisce i vaore VERO n = FALSO ( ) restituisce i vaore FALSO n = NON (a) restituisce i vaore di veritaá dea proposizione a n =E(a; b) restituisce i vaore di veritaá dea proposizione a ^ b n =O(a; b) restituisce i vaore di veritaá dea proposizione a _ b Le prime due funzioni servono a far scrivere un vaore di veritaá in una cea; nee atre tre funzioni osserva come i connettivi vengono posti davanti ae proposizioni coinvote. Con queste funzioni possiamo costruire a tavoa di veritaá di quaunque proposizione. Apriamo dunque un nuovo fogio di avoro e prepariamo i prospetto dea tavoa scrivendo e due proposizioni a e b nea prima riga ed i oro possibii vaori di veritaá nee rispettive coonne A1: a B1: b A: = VERO ( ) B: = FALSO ( ) Competa da soo a tavoa scrivendo due vaori VERO e due vaori FALSO nea prima coonna,un vaore VERO ed un vaore FALSO aternati nea seconda (puoi usare e funzioni di Copia e Incoa). Scrivi adesso nee cee C1,D1,E1 e proposizioni da vautare come indicato nea figura di seguito. Per determinare i vaore di veritaá di queste tre proposizioni,dobbiamo usare e formue ogiche di Exce in questo modo: C: =O(NON(A);B) per vautare a prima proposizione D: =NON(O(A;B)) per vautare a seconda proposizione E: =E(A;NON(B)) per vautare a terza proposizione Copia adesso e tre formue nee rispettive coonne; quea che abbiamo ottenuto eá a oro tavoa di veritaá. A B C D E F 1 a b non a _b non a _ b a ^ non b VERO FALSO FALSO FALSO VERO VERO VERO VERO FALSO FALSO 4 FALSO FALSO VERO VERO FALSO 5 FALSO VERO VERO FALSO FALSO 6 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

23 Prova ora da soo a costruire suo stesso fogio o su fogio successivo e tavoe di veritaá di queste proposizioni a _ b ^ c a ^ b _ c Ricorda che con tre proposizioni si hanno 8 casi possibii; se hai scritto correttamente e formue,aa fine troverai un fogio di avoro come i seguente. A B C D E F 1 a b c a _ b ^ non c a ^ non b _ c VERO VERO VERO VERO FALSO VERO VERO FALSO VERO FALSO 4 VERO FALSO VERO VERO FALSO 5 VERO FALSO FALSO VERO VERO 6 FALSO VERO VERO FALSO FALSO 7 FALSO VERO FALSO VERO FALSO 8 FALSO FALSO VERO FALSO FALSO 9 FALSO FALSO FALSO FALSO FALSO 10 Esercizi Considerate e proposizioni a, b, c, costruisci e tavoe di veritaá dee seguenti espressioni ogiche. 1. a _ b! c ^ a. a! b _ c. a ^ b _ c 4. a ^ b _ a _ b 5. a _ b 7. c! a _ b 8. b ^ c ^ c 6. a! b ^ b! c! a 9. b ^ c _ a ^ b 10. Costruendo e reative tavoe di veritaá e confrontandoe,verifica e proprietaá dee operazioni con e proposizioni soffermandoti in particoare sue eggi di De Morgan. Costruendo a tavoa di veritaá dee proposizioni ai due membri, stabiisci se e seguenti uguagianze sono equivaenze ogiche. 11. a ^ b _ c ˆ a _ b ^ c 1. a $ b ˆ a _ b ^ a _ b 1. a _ b ˆ a ^ b _ a ^ b Costruisci e tavoe di veritaá dee seguenti espressioni ogiche e usae per verificare a correttezza degi schemi di ragionamento a cui si riferiscono. 14. a! b ^ b ˆ) a modus toens 15. a! b ^ b ˆ) a deduzione per assurdo Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : LA LOGICA

24 Matematica e storia Daa ogica aa ogica fuzzy: gi insiemi cambiano faccia La ogica cassica La teoria cassica degi insiemi nasce con Georg Cantor ( ), matematico tedesco di origine russa che, intorno a 1895, nea sua opera I contributi a una fondazione dea teoria transfinita degi insiemi scrive: «Per insieme intendiamo una riunione M, in un tutto, di determinati e ben distinti oggetti m dea nostra intuizione e de nostro pensiero, i quai vengono chiamati gi 'eementi' di M». Per Cantor a natura degi eementi degi insiemi con cui si opera non ha importanza edi modo di eseguire un'operazione fra insiemi non cambia sia che gi eementi siano numeri, animai o piante; sono e eggi dee operazioni a caratterizzare 'insieme risutato, non a natura degi eementi su cui si opera. Nei primi anni de '900 a teoria degi insiemi di Cantor venne profondamente scossa daa scoperta di acuni paradossi, dei quai queo de barbiere, formuato da Bertrand Russe ( ), di cui abbiamo giaá parato nea scheda suo sviuppo dea teoria degi insiemi, eá sicuramente i piuá famoso. Paradossi come questo misero in crisi i fondamenti dea matematica e ridussero a sua struttura ogica in condizioni disastrose. Si cercoá aora di seguire a strada assiomatica che ne campo dea geometria aveva giaá risoto moti probemi ogici; i primo a seguire questo percorso fu Ernst Zermeo ( ), che, insieme a Fraenke ( ), sviuppoá una teoria assiomatica degi insiemi. Ad oggi non sono ancora state trovate contraddizioni a questa teoria, ma non si eá ancora riusciti a dimostrare che non ve ne siano, cioeá che essa sia coerente. In ogni caso, a teoria degi insiemi, come abbiamo anche visto nea trattazione di questo argomento, si basa su una ogica a due vaori, vero o faso, a stessa ogica nata con Aristotee (84- a.c.) ne'antica Grecia e che ha infuenzato i pensiero umano per duemia anni. Durante tutto i Medioevo, infatti, e fino a Cinquecento, a ogica rimase chiusa entro i confini segnati da Aristotee e considerata discipina umanistica, egata aa fiosofia e a'arte retorica piuá che aa scienza. Fu soo ne generae risvegio dea scienza e dea tecnica che caratterizzoá i Seicento, i Settecento, e poi ancora piuá intensamente i periodo dea rivouzione industriae, che si cercoá di coegare a ogica tradizionae ao sviuppo e ai metodi dea matematica moderna. Da que momento a ogica, che proprio per i suo connubio con a matematica prese a chiamarsi ogica matematica, compõá rapidi progressi che continuano tuttora. Un passo decisivo fu compiuto quando, nea seconda metaá de XVII secoo, Gottfried Leibnitz ( ), fiosofo e matematico tedesco, mise in riievo 'ambiguitaá che caratterizza i inguaggio parato e intuõá un modo per superara. Egi sosteneva che «e ingue parate, bencheâ utii per i pensiero discorsivo, sono soggette ad innumerevoi ambiguitaá di significato e non possono offrire i vantaggi de cacoo per scoprire gi errori di deduzione». Pertanto si potrebbe «inventare un afabeto dei pensieri umani e daa combinazione dee ettere di questo afabeto e da'anaisi dee paroe formate con esso,... scoprire ed esaminare ogni cosa». La sua idea fu dunque quea di costruire uno strumento inguistico universae, che egi chiamava Characteristica universais consistente in un inguaggio artificiae i cui simboi potessero condurre ad anaizzare quasiasi probema in modo da arrivare a concusioni certe. «In questo modo», egi diceva, «quando sorge una controversia tra due fiosofi,...basteraá prendere in mano e penne e cacoare». L'entusiasmo di Leibnitz per una matematizzazione de inguaggio non deve stupire: era quea un'epoca in cui, sotto a pressione di grandi eventi storici e nuove scoperte tecnoogiche che preparavano a rivouzione industriae, si verificava una fioritura di studi scientifici e di esperienze tecniche. Era nata in questo periodo, quasi in risposta ae nuove esigenze di conoscenza, anche a geometria anaitica (che studierai piuá avanti) adopera de matema- 4 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

25 tico e fiosofo francese Rene Descartes, piuá noto con i nome di Cartesio ( ), i quae aveva eaborato una interpretazione dea geometria mediante 'appicazione de'agebra. Leibnitz peroá non portoá mai a compimento i suo progetto di un inguaggio simboico universae assoutamente esatto. Fu soo un secoo e mezzo piuá tardi che i matematico ingese George Booe ( ) pose e basi autentiche de cacoo ogico. Booe sosteneva che in quasiasi ragionamento occorre porre attenzione ae premesse, tradure in simboi e da queste dedurre, mediante 'appicazione di regoe scientifiche, e concusioni che derivano da tai premesse. Non eá dunque rievante indagare se e premesse sono vere o fase, ma soo chiedersi quai possono essere e concusioni che possiamo trarre correttamente dae premesse stesse. La ogica formae, cosõá chiamata da Booe percheâ basata sui simboi e non sui contenuti specifici, avraá poi con Bertrand Russe ( ), Giuseppe Peano ( ) e Friedrich Frege ( ) un uteriore sviuppo. A'opera poi di John Venn ( ), ceebre ogico ingese, si deve a rappresentazione grafica di ragionamenti ogici: i diagrammi di Euero-Venn di cui hai giaá avuto modo di apprezzare 'utiitaá. I nome dato a questa modaitaá di rappresentazione grafica de cacoo ogico eá dovuto a fatto che Venn costruõá questi schemi sempificando e perfezionando quei che erano giaá stati usati da un atro matematico, Euero, nea seconda metaá de Settecento. La ogica fuzzy La ogica bivaente, come abbiamo studiato, si basa su due principi fondamentai: i principio di non contraddizione eiprincipio de terzo escuso. Ma una ogica di questo tipo ha spesso poco a che fare con i nostro modo di pensare; discutendo con gi amici ci capita frequentemente di essere o non essere d'accordo su acune affermazioni circa 'appartenenza o meno di una persona ad un insieme: se diciamo che Luisa eá una ragazza inteigente troveremo persone che sono assoutamente d'accordo con noi, persone che sono quasi d'accordo, persone che sono d'accordo soo in parte, persone che non sono d'accordo per niente. Aora Luisa fa parte o no de'insieme dee ragazze inteigenti? In effetti abbiamo detto che i predicato "essere inteigenti" non identifica un insieme, ameno non ne senso dato a questo termine da Cantor prima e da Zermeo poi, a meno di precisare un criterio che definisca senza possibiitaá di equivoco che cosa si intende per "ragazza inteigente". Ma prendiamo un atro esempio: i predicato «essere giovani» non consente di stabiire se una persona appartiene o meno a'insieme dee persone giovani a meno di fissare che "giovane" significa, per esempio, avere un'etaá minore di 0 anni; ma siamo proprio sicuri che una persona di anni non sia giovane? Probabimente se a mettiamo vicina aduna di 9 anni non ci accorgiamo nemmeno dea differenza. I difetto principae di una ogica bivaente eá queo di annuare a ricchezza semantica di un inguaggio naturae; aora non si puoá creare una ogica che, in quache modo, possa tener conto di questo? Una risposta a questo probema eá stata data di recente, intorno agi anni '70, dagi studi de prof. Lofti Zadeh, preside de dipartimento di Ingegneria Eettronica de'universitaá di Berkey, che riprese un avoro precedente di un fisico, Max Back, e d i un ogico, Jan Luckasiewicz. Egi chiamoá ogica fuzzy (termine angosassone che significa sfumato, approssimativo), a ogica nea quae non c'eá un confine netto fra gi oggetti che appartengono o non appartengono adun insieme, percheâ adogni oggetto eá associato un grado di appartenenza variabie fra 0 e 1, dove 0 significa che 'oggetto non appartiene a'insieme, 1 significa che appartiene, i vaori intermedi indicano dee appartenenze parziai. Insiemi di questo tipo sono detti insiemi fuzzy. Lofti Zadeh (a destra) e o scienziato Jack Y. Yang Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : LA LOGICA 5

26 Se ragioniamo in questi termini, a ogica cassica rientra come caso particoare dea ogica fuzzy quando tutti gi eementi di un insieme fuzzy hanno grado di appartenenza 1 e tutti gi atri grado 0. Se riprendiamo 'enunciato «essere giovani», possiamo dire che minore eá 'etaá di una persona, maggiore saraá i suo grado di appartenenza a'insieme fuzzy: per esempio, Lucia che ha 15 anni avraá un indice pari a 0,9, Anna che ne ha 5 o avraá pari a 0,7, Marco che ha 40 anni o avraá pari a 0,4, Lucio che di anni ne ha 70 avraá un indice pari a 0,1 e cosõá via (figura 1). Figura 1 Questo significa che 'appartenenza o a non appartenenza di un eemento ad un insieme fuzzy sono graduai e questo puoá rappresentare in modo abbastanza soddisfacente i pensiero umano. Ma anche a ogica fuzzy non eá esente da critiche percheá acuni ritengono che sia una probabiitaá mascherata. Bisogna peroá sottoineare che i grado di appartenenza non ha niente a che vedere con a casuaitaá come accade per i vaori probabiistici; dire che «Luisa appartiene a'insieme dee persone inteigenti con un grado di appartenenza pari a 0,8» non significa che a probabiitaá che Luisa sia inteigente eá uguae a 0,8, ma che a sua appartenenza a'insieme eá naturamente egata a'imprecisione associata a concetto di inteigenza edeá percioá graduae, da un minimo di 0 ad un massimo di 1. Invece, dire che «a'80% Luisa si sposeraá entro mesi» eá una vautazione probabiistica, basata su una ogica bivaente, percheâ ocisi sposa o non ci si sposa. Le appicazioni dea ogica fuzzy La ogica fuzzy si riferisce a concetti che non hanno confini precisi, come essere bei, essere giovani, essere amici, essere simpatici; essa trova appicazioni in moti campi, soprattutto quei egati aa produzione di beni inteigenti, in grado di reagire agi stimoi esterni. E' i campo in cui spazia a cosiddetta inteigenza artificiae, con a programmazione di sistemi esperti in grado di risovere un probema come o risoverebbe un essere umano. Attuamente sono soprattutto i Paesi Orientai come i Giappone che si stanno muovendo verso a progettazione di prodotti di normae utiizzo che hanno un comportamento inteigente basato sua ogica fuzzy: dai condizionatori, ae automobii, dae avatrici in grado di programmarsi sua base de tipo di acqua e sporco che devono trattare, ae macchine fotografiche. Occorre peroá dire che i mondo scientifico, soprattutto occidentae, eá ancora piuttosto scettico sua vaiditaá di questa teoria, sostanziamente percheâ a maggior parte dei probemi trattati con una ogica fuzzy possono essere affrontati anche con strumenti matematici piuá tradizionai. Inotre 'output di una quaunque macchina "inteigente" deve necessariamente essere preciso; per esempio, un regoatore di temperatura fuzzy puoá ricevere input non precisi de tipo «fa cado» oppure «fa moto cado» e decidere in base a questi input di abbassare a temperatura. La strumentazione eettronica preposta aa regoazione deve peroá rendere preciso 'output stabiendo che a temperatura ambiente dovraá essere regoata a o C, e questo non eá un ragionamento di tipo fuzzy. Comunque si sviupperanno e cose, queo che eá certo eá che a matematica ha aperto nuove strade aa ricerca, strade irte di difficotaá, di piccoi successi e di faimenti, ma comunque strade che marciano diritte verso i progresso. 6 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

27 1 Sia A un insieme di interi positivi. Utiizzando i fatto che tra e seguenti cinque affermazioni una ed una soa eá corretta, determinaa. a. Ogni eemento di A eá mutipo di, di 4, di 5 e di 6. b. Ogni eemento di A eá un quadrato perfetto pari. c. Ogni eemento di A eá mutipo di 4. d. Ogni eemento di A eá mutipo di 6 e di 8. e. Ogni eemento di A eá mutipo di 8 o di 1. c. Š Tra i componenti di una certa famigia si sa che "ameno un maschio non eá tifoso de'inter" e che non eá vero che "ameno un maschio non eá maggiorenne". Si puoá dedurre che in quea famigia: a. ameno un maggiorenne eá tifoso de'inter; b. nessun maggiorenne eá tifoso de'inter; c. ameno un maggiorenne non eá tifoso de'inter; d. ameno un tifoso de'inter non eá maggiorenne; e. tutti i tifosi de'inter sono maggiorenni. c. Š Si consideri a seguente frase: "Tutte e vote che ho preso 'ombreo non eá piovuto". Quae dee seguenti eá a negazione dea precedente? a. Quando esco con 'ombreo piove. b. Tutti i giorni in cui esco senza ombreo piove. c. Ameno una vota sono uscito con 'ombreo ed eá piovuto. d. Tutti i giorni in cui non piove esco con 'ombreo. e. Tutti i giorni in cui eá piovuto sono uscito con 'ombreo. c. Š 4 Se a e b sono due numeri interi positivi tai che a ˆ b, quae dee seguenti concusioni eá corretta? a. a b eá mutipo di 5 b. a b eá dispari c. a b eá pari ma non eá mutipo di 4 d. a oppure b eá dispari e. nessuna dee risposte precedenti eá corretta. a.š 5 Acuni matematici hanno studiato i numeri naturai "speciai" (di cui ignoriamo a definizione) ed hanno dimostrato i teoremi sotto eencati. Uno di essi impica tutti gi atri. Quae? a. Ci sono infiniti numeri dispari che non sono speciai. b. Ci sono infiniti numeri dispari ed infiniti numeri pari che non sono speciai. c. Per ogni numero speciae s c'eá un numero naturae n non speciae tae che n > s. d. C'eÁ soo un numero finito di numeri speciai dispari. e. Un numero speciae non puoá avere piuá di 1000 cifre. e. Š 6 Ne registrare e dichiarazioni dei tre imputati ad un processo, i canceiere eá stato piuttosto trascurato e da verbae risuta quanto segue: Caro: i copevoe eá...ario Dario: i copevoe eá Dario Mario: i copevoe eá...ario Sapendo che i copevoe ha mentito e ameno uno degi innocenti ha detto a veritaá, che cosa si puoá concudere? a. I copevoe eá Dario. b. Non si puoá determinare i copevoe. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : LA LOGICA 7

28 c. Caro ha accusato Dario. d. Mario ha accusato Dario. e. Mario ha accusato Mario. d. Š 7 Quae dee seguenti espressioni eá equivaente a'affermazione: Fra tutti gi insegnanti, soo quei con un coniuge ricco possiedono un'auto di usso a. Se una persona possiede un'auto di usso, aora essa eá un insegnante o ha un coniuge ricco. b. Se una persona eá insegnante e ha un coniuge ricco, aora essa possiede un'auto di usso. c. Se una persona eá insegnante e possiede un'auto di usso, aora essa ha un coniuge ricco. d. Se una persona ha un'auto di usso, aora essa eá un insegnante e ha un coniuge ricco. e. Se una persona ha un coniuge ricco, aora essa eá un insegnante e possiede un'auto di usso. b. Š 8 In questo rettangoo c'eá esattamente una affermazione fasa. In questo rettangoo ci sono esattamente due affermazioni fase. In questo rettangoo ci sono esattamente tre affermazioni fase. In questo rettangoo ci sono esattamente quattro affermazioni fase. Quante affermazioni vere ci sono ne rettangoo? a. 0 b. 1 c. d. e. 4. b. Š 9 Ogni anno, a momento de pagamento dee tasse, 'utente fa una dichiarazione reativa a'anno in corso. Se a dichiarazione eá vera, deve pagare e tasse; se eá fasa, non e paga. Un giovane matematico, che ritiene i sistema iniquo, trova i modo di boccaro, con una dee seguenti dichiarazioni: quae? a. I pesci vivono in acqua. b. Io vivo in acqua. c. I pesci non pagano e tasse. d. Io non pago e tasse. e. Io pago e tasse. d. Š 10 Consideriamo e quattro affermazioni seguenti: Manuea ha un cane e un gatto. Manuea non ha neâ un cane neâ un gatto. Se Manuea ha un cane, aora ha anche un gatto. Manuea non ha un cane, ma ha un gatto. Quante di esse, a massimo, possono essere fase contemporaneamente? a. 0 b. 1 c. d. e. 4. e. Š 11 Ieri non ho fatto coazione e sono andato a scuoa, mentre 'atro ieri ho fatto coazione e sono andato a scuoa. Quai dee frasi seguenti posso pronunciare senza essere bugiardo? a. Quando faccio coazione non vado mai a scuoa. b. Tutte e vote che vado a scuoa non faccio coazione. c. Ogni vota che vado a scuoa faccio coazione. d. Tavota vado a scuoa senza fare coazione. e. Quando non faccio coazione non vado mai a scuoa. d. Š 1 Tre esporatori vengono catturati. I capo dea tribuá che i ha catturati mostra oro cinque cappei (tre bianchi e due neri), dicendo: "Vi saranno posti su capo tre di questi cappei. Ognuno di voi potraá vedere i cappei degi atri, ma non i proprio. Chi di voi indovineraá i coore de proprio cappeo avraá sava a vita, gi atri saranno giustiziati". Tre dei cinque cappei vengono poi posti su capo degi esporatori. I primo di essi dichiara: "I mio cappeo eá nero". I secondo dichiara successivamente: "Anche i mio cappeo eá nero". A questo punto i terzo dichiara: "Io conosco con assouta certezza i coore de mio cappeo. Esso eá...". Di quae coore eá i cappeo e percheâ? biancoš 8 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

29 Le gare di matematica La tua casse ha deciso di partecipare ae gare di matematica che si svogono ogni anno ne mese di novembre. I quesiti che vengono proposti sono di soito diversi dai probemi che si affrontano e si risovono a scuoa, anche se gi strumenti matematici che servono sono proprio quei che a scuoa si imparano. Questi probemi spesso sono di carattere ogico, a vote bisogna usare anche un po' di comune buon senso e naturamente occorre fare un po' di aenamento per poter affrontare a prova ne migiore dei modi. Mettiti aa prova e risovi i quesiti che ti proponiamo. Ogni risposta corretta vae 5 punti, ogni risposta sbagiata vae 0 punti e ogni risposta non data vae 1 punto. I tempo a disposizione eádi un'ora. 1 Una umaca si trova in un pozzo profondo 10 metri. Durante i giorno risae i pozzo di 1 di metro, ma 7 durante a notte scivoa verso i basso di 1 di metro. Dopo quanti giorni a umaca riesce a raggiungere a 9 cima de pozzo? a. 16 b. 15 c. 1 d. 00 e. non o raggiunge mai Una vope in fuga eá 50 passi davanti a un cane che a insegue. Mentre i cane percorre un tratto di 9 passi, a vope ne percorre uno di 6 passi. Dopo quanti passi i cane raggiunge a vope? a. 100 passi dea vope b. 150 passi dea vope c. 50 passi dea vope d. 10 passi dea vope e. non a raggiunge mai Su un autobus ci sono venti bambini ciascuno dei quai ha tre zaini nei quai sono contenuti tre gatti e tre pappagai aduti. Ogni gatto ha 4 zampe e ogni pappagao ne ha due. I gatti aduti hanno ciascuno tre gattini e i pappagai aduti hanno ciascuno tre pappagaini. Fra zampe e gambe, quante ce ne sono su'autobus? a. 80 b. 40 c. 40 d. 460 e Una corda eá unga 8 metri; ogni giorno, a partire da LunedõÁ, se ne tagiano metri, tranne a Domenica, giorno ne quae si esegue un tagio a mattino e uno aa sera. In quae giorno si finisce di tagiare a corda? a. Sabato b. MartedõÁ dea settimana successiva c. Domenica d. Sabato dea settimana successiva e. VenerdõÁ dea settimana successiva 5 Fra Genova e a Sardegna esiste un regoare servizio di battei che impiega 8 ore per compiere i tragitto Genova-Obia e ogni ora, sia di giorno che di notte, parte un batteo sia da Genova che da Obia. Supposto che i servizio sia regoare e funzioni da tempo, uno dei battei partiti da Genova (o, che eá o stesso, da Obia) quanti atri battei de servizio incontreraá su percorso? a. 0 b. 16 c. 1 d. 15 e. 9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : LA LOGICA 9

30 6 Lisippo chiese a pastore Numidio quante pecore possedesse; i pastore rispose: "Non o so esattamente, ma se e conto per gruppi di due, di tre, di quattro, di cinque e di sei ne avanza sempre una, mentre se e conto per gruppi di sette non ne avanza nessuna." Lisippo subito rispose: "Aora Numidio tu hai... pecore." Sai dire quante sono e pecore di Numidio? a. 75 b. 71 c. 686 d. 701 e Sono un eone di bronzo su bordo di una fontana; due getti zampiano dai miei occhi, un atro daa mia goa, un atro da una mia zampa. In due giorni i mio occhio destro riempie a vasca; i mio occhio sinistro a riempie in tre e a mia zampa in quattro. Per riempira bastano sei ore deo zampio dea mia goa. Se tutti i getti dei miei occhi, dea mia goa e dea zampa spiano acqua insieme, in quante ore riempiono a vasca? a b. 4 c. 5 1 d. 8 e In una scuoa i 60% degi studenti eá di sesso maschie, i 90% eá minorenne ed i 60% ha i capei castani. Quae dee seguenti affermazioni eá necessariamente vera? a. C'eÁ ameno una ragazza maggiorenne. b. C'eÁ ameno una ragazza con i capei castani. c. C'eÁ ameno un ragazzo minorenne e castano. d. Non ci sono ragazzi minorenni e castani. e. C'eÁ ameno un ragazzo biondo. 9 La principessa mangia tre frutti a giorno: una pera, una mea ed un kiwi; ma a mattino non vuoe a pera e a pranzo non vuoe neâ a pera neâ i kiwi. Cosa mangia a coazione, pranzo e cena a principessa? a. mea, pera, kiwi b. kiwi, pera, mea c. kiwi, mea, pera d. pera, mea, kiwi e. mea, kiwi, pera 10 Un gruppo di ragazzi ha trovato una mappa di un tesoro sepoto che raffigura 6 isoe con queste caratteristiche: isoa A : ha e pame isoa B : ha un vucano isoa C : ha e pame ed un vucano, eá a piuá grande isoa D : ha e pame isoa E : ha e pame ed eá a piuá piccoa isoa F : non ha neâ pame neâ vucani. I pirata ha anche asciato un messaggio: «L'isoa de tesoro non eá a piuá grande, non ha vucani, non eá a piuá piccoa, non ha e pame. Io sono un gran bugiardo ed una soa dee mie affermazioni eá vera». Qua eá 'isoa de tesoro? a. a A oppure a F b. a F c. a D d. a B oppure a E e. a C 1 c. a. d. 4 e. 5 b. 6 b. 7 a. 8 c. 9 c. 10 e. 0 Tema 1 - Cap. : LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

31 CAPITOLO Insiemi e reazioni 1. LE FUNZIONI CON DERIVE Abbiamo visto che una funzione che ega fra oro eementi di insiemi numerici puoá spesso essere scritta nea forma y ˆ f x dove f x eá 'espressione che genera i numero y una vota che eá noto x. Possiamo costruire dee funzioni di questo tipo con Derive usando i comando Crea/Definisci funzione. Si apre in questo modo una finestra di diaogo nea quae si deve inserire: i nome dea funzione ed i suoi argomenti nea riga superiore I nome dea funzione eá un nome sceto da noi e normamente esso ricorda o scopo dea funzione; per esempio, se a funzione cacoa i quadrato di un numero conviene usare i nome "quadrato", ma tae sceta eá de tutto personae. Gi argomenti sono i nomi dee variabii indipendenti dea funzione e si eencano a'interno di una coppia di parentesi tonde. Le funzioni che abbiamo visto finora avevano una soa variabie indipendente, di soito indicata con x, ma una funzione puoá avere piuá variabii se 'insieme in cui eá definita eá dato da prodotto cartesiano di piuá insiemi; per esempio, 'area di un rettangoo eá funzione dee sue dimensioni a e b, i voume di un paraeepipedo eá funzione dee sue dimensioni a, b e c. Per rappresentare queste tre funzioni dobbiamo scrivere cosõá: - quadrato x quadrato eá i nome dea funzione, x eá a variabie - area a, b area eá i nome dea funzione, a e b sono e variabii - voume a, b, c voume eá i nome dea funzione, a, b e c sono e variabii a definizione nea parte sottostante La definizione eá proprio 'espressione f che, date e variabii indipendenti, permette di cacoare quea dipendente. Reativamente ae tre funzioni precedenti, in questa zona dobbiamo scrivere rispettivamente cosõá: - x^ per rappresentare i quadrato di x - ab per i cacoo de'area - abc per i cacoo de voume. Una vota data a conferma con i pusante OK nea finestra di agebra troviamo scritto rispettivamente nei tre casi: #1: quadrato x :ˆ x #: area a, b :ˆ a b #: voume a, b, c :ˆ a b c Se ricordi a precedente esercitazione con Derive, i simboo :ˆ eá i simboo di assegnamento; con i comando Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : INSIEMI E RELAZIONI 1

32 Crea/Definisci funzione abbiamo quindi assegnato aa variabie i cui nome eá indicato sua sinistra 'espressione scritta sua destra. Questa operazione puoá essere fatta digitando direttamente 'istruzione di assegnamento nea riga di inserimento. Una vota scritta 'espressione di una funzione, si possono cacoare i suoi vaori attribuendone acuni ae variabii indipendenti; per esempio, se nea riga di inserimento scrivi adesso: quadrato cacoi i vaore de'espressione x quando x vae. Le modaitaá di sempificazione sono e stesse viste nea precedente esercitazione: se premi INVIO, nea finestra di Agebra compare 'espressione non vautata, cioeá trovi scritto quadrato se cicchi su pusante ˆ, nea finestra di Agebra compare i vaore de'espressione, cioeá 4 se scrivi quadrato ˆe poi premi INVIO, compaiono sia 'espressione che i suo vaore, cioeá quadrato ˆ4 Anaogamente, per e atre due funzioni: area, 5 ˆ15 a vae, b vae 5, viene cacoato 5 voume 4,, 6 ˆ 48 a vae 4, b vae, c vae 6, viene cacoato 4 6. LE RELAZIONI CON EXCEL Sia A ˆ fa, c, p, r, mg e sia R a reazione definita da'enunciato aperto p : «x precede y ne'eenco afabetico», con x, y A; vogiamo rappresentare R mediante una tabea a doppia entrata. Prepariamo a tabea inserendo gi eementi de'insieme nee cee da A ad A6 e da B1 a F1. In ogni cea di questa tabea, che ricopre a zona da B a F6, inseriamo i simboo 1 se 'eemento etto sua riga eá in reazione con 'eemento etto sua coonna, atrimenti i simboo 0. Dobbiamo quindi usare a funzione di seezione SE nea cea B e ricopiare poi a formua nea zona individuata: B: ˆ SE $A {z } < B$1 ; 1 enunciato p {z} p vero ; 0 {z} p faso Notiamo i riferimento assouto aa coonna de primo eemento e aa riga de secondo; quando si ricopia a formua dobbiamo infatti essere certi che i confronto avvenga sempre sui vaori dea coonna A, che deve quindi essere fissata, e dea riga 1, che deve anch'essa essere fissata. In questo modo, per esempio: ± a formua nea cea C confronta ancora 'eemento A (i riferimento di coonna eá fisso, queo di riga non eá aumentato) con 'eemento C1 (i riferimento di riga eá aumentato di un posto, queo di coonna eá fisso) ± a formua nea cea B confronta 'eemento A (riferimento di coonna fisso, riferimento di riga aumenta di 1) con 'eemento B1 (i riferimento di coonna non cambia, queo di riga eá fisso) ecosõá via. La tabea dea reazione eá in questo modo competata. Da menu Home, gruppo Carattere, possiamo mettere un fondino coorato aa tabea ciccando su'icona Coore riempimento, dopo aver seezionato e cee interessate da'operazione. Vogiamo adesso fare in modo che i simboi 1, che rappresentano e coppie di eementi che sono in reazione fra oro, vengano in quache modo evidenziati cosõá da essere piuá facimente individuabii nea tabea. Sempre da menu Home, gruppo Stii, apriamo a casea dea Formattazione condizionae e, fra gi eementi proposti, scegiamo Regoa di evidenziazione cee e poi Uguae a (nea versione 00 i percorso eá Formato/ Formattazione condizionae}); si apre una finestra di diaogo nea quae: ± inseriamo i vaore 1 nea cea di sinistra ± scegiamo e caratteristiche de testo fra quee proposte, eventuamente personaizzando i formato. Tema 1 - Cap. : INSIEMI E RELAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

33 Ne'iustrazione de fogio che segue abbiamo sceto di evidenziare i testo in rosso. A B C D E F 1 a c p r m a c p r m Esercizi Dopo aver costruito e funzioni indicate, cacoa quanto richiesto usando Derive. 1. f x ˆ x 1 cacoa f f 0 f f 1. g x ˆ 1 x 1 cacoa g g 0 g 1 g 1. h x ˆ x x cacoa h 1 h 1 h 1 h 0 4. k x, y ˆ x xy cacoa k 1, 1 k 0, k, 0 k, Usando Exce costruisci e tabee dee seguenti reazioni, definite daa proposizione aperta p fra gi insiemi A e B. 5. A ˆ f1,,, 4, 5g B ˆ f,, 5, 6, 7, 9g p : «x y > 10», con x A, y B 6. A ˆ f,, 0, 1g B ˆ f 4, 1,, 6g p : «x > y», con x A, y B 7. A ˆ B ˆ f1,,, 4, 5, 9, 16, 5g p : «y ˆ x», con x, y A 8. A ˆ B ˆ fa Z j 10 < x < 4g p : «y ˆ x 1», con x, y A 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : INSIEMI E RELAZIONI

34 1 Nea mia nuova scuoa ci sono tre cassi: quea dea maestra Cara, quea dea maestra Miena e quea de maestro Marco. Nee tre cassi ci sono i grandi, i medi e i piccoi. Imedi non hanno i maestro Marco. La maestra Miena insegna a degi aunni piuá giovani di quei dea maestra Cara. La maestra Cara, a sua vota, insegna a degi aunni piuá grandi di quei de maestro Marco. Assegna ogni insegnante aa sua casse. [Marco insegna nea casse dei piccoi; Miena in quea dei medi; Cara in quea dei grandi] Angeo, Desiderio, Matteo e Renato possiedono ciascuno una bicicetta di una marca diversa (Ataa, Bianchi, Legnano, Turbo). Oggi hanno deciso di fare una passeggiata, usando ciascuno non a propria bicicetta ma quea di uno dei tre amici. Matteo ha usato a bicicetta di Desiderio. Quea di Renato eá stata presa da "padrone" dea Bianchi. La Legnano eá stata usata da "padrone" dea bicicetta usata da Angeo. La Bianchi, invece, eá stata presa da "padrone" dea bicicetta usata da Matteo. Infine, sua Turbo pedaa i "padrone" dea Legnano. Su che bicicetta ha pedaato Matteo? [Turbo] In una famigia, ognuno dei figi puoá dichiarare di avere ameno un frateo e una sorea. Quanti figi ci sono, a minimo, in questa famigia? [4 figi] Un'assembea di casse: a gita scoastica Un giorno come un atro a scuoa. Aa terza ora, concessione de Prof. di Matematica, c'eá assembea di casse; ordine de giorno: gita scoastica. La scuoa, come eá sua abitudine, propone a studenti e docenti un pacchetto di mete, con 'indicazione dei costi e dei periodi in cui eá piuá conveniente programmare a gita. Eeonora e Fabio, i due rappresentanti dea casse, richiamano 'attenzione dei propri compagni. Eeonora: "Ragazzi dobbiamo decidere dove andare in gita scoastica quest'anno". Un compagno: "Io non vogio andare neá a visitare un museo e neanche a visitare tutte e chiese di una cittaá!". Fabio: "Tanto mica puoi andare dove vuoi, c'abbiamo da scegiere fra e proposte che stanno ne pacchetto". Eeonora: "Ve e eggiamo tutte cosõá poi ci dite che cosa preferite. Dunque, ci sono e gite a'estero di cinque giorni che vanno a Parigi, Londra, Berino, Barceona, Bruxees. Poi ci sono quee da tre giorni che stanno in Itaia e vanno a Firenze, Roma, Venezia e Miano. Quee di un giorno sono su ago di Garda Sirmione e quea roba õá, a Boogna, a Torino a Museo Egizio, su ago di Como e i uoghi Manzoniani". Fabio: "Si peroá noi quee a'estero non e possiamo fare percheâ vanno soo quei daa terza in poi; ci tocca scegiere quacosa in Itaia". Un compagno: "Andiamo a Venezia che non ci sono mai stato e facciamo anche un giro sua gondoa". Eeonora: "Prima di tutto dobbiamo decidere se fare quea di tre giorni o di un giorno soo, percheâ i costi sono diversi; e poi bisogna guardare anche i periodo. A Firenze si va a metaá Marzo e costa E 80,aRomasivaaiprimidiAprieecostaE00, a Venezia costa E 90 e si va pure in Aprie ma aa fine, a Miano costa E 65esivaafineMarzo". 4 Tema 1 - Cap. : INSIEMI E RELAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

35 Fabio: "Quee di un giorno costano meno, vanno tutte da un minimo di E 0 a un massimo di E 45, dipende da cosa si va a vedere. Poi ci sono anche e gite con e attivitaá sportive: si va tre giorni a fare trekking in Svizzera a metaá Aprie e costa E 180, oppure si va a sciare, sempre tre giorni a Febbraio, e costa E 50 compresi gi ski-pass, se peroá vuoi i maestro di sci devi pagare E 15 a'ora, ma questi sono extra da preventivo". Un compagno: "Facciamo cosõá, scegiamo una meta di tre giorni e una di un giorno che ci piacciono, poi chiediamo a casa se ci danno i sodi per quea di tre e vediamo". Eeonora: "Dobbiamo anche vedere se c'eá quache Prof. che ci accompagna per tre giorni. Io 'ho giaá chiesto aa Prof. di Itaiano e a quea di Ingese e hanno detto forse; eventuamente c'eá anche i Prof. di Educazione Fisica". Fabio: "Va bene, votiamo per a gita di tre giorni. Ee, tu conta e scrivi aa avagna cosõá poi confrontiamo. Chi vuoe andare a...". L'assembea prosegue con a votazione; dove andranno i ragazzi dea casse non ci eá dato di sapero, neâ se faranno a gita di tre giorni o se si dovranno accontentare di quea di un soo giorno. Tu peroá puoi rispondere ae domande che seguono appicando i concetti che hai imparato in questo capitoo. 1 In base a quae reazione si puoá organizzare i pacchetto gite per raggruppare in base aa durata? Verificato che si tratta di una reazione di equivaenza, quai sono gi eementi che appartengono a ciascuna casse di equivaenza? Considerato i sottoinsieme dee gite di tre giorni, quae reazione occorre introdurre per fare una sceta in base ai costi? Di che tipo di reazione si tratta? In base aa risposta che hai dato a precedente esercizio, eá possibie stabiire un ordinamento degi eementi de'insieme dee gite di tre giorni? 4 L'insieme dee gite di tre giorni si puoá ordinare anche in base a periodo di reaizzazione; qua eá a reazione che permette di fare questo tipo di ordinamento? Qua eá 'ordinamento indotto da questa reazione? 5 Considerate e gite di un giorno, e informazioni che sono state date aa casse dai due rappresentanti sono sufficienti per poter stabiire un ordinamento in base ai costi o in base ai periodi? a. Se hai risposto di si, indica qua eá 'ordinamento indotto. b. Se hai risposto di no, stabiisci quai sono e informazioni che devono essere acquisite. 1 R : «a gita x ha a stessa durata dea gita y» R : «a gita x ha un costo minore dea gita y»; reazione d'ordine stretto trekking, sciare, Miano, Firenze, Venezia, Roma 4 sciare, Firenze, Miano, Roma, trekking, Venezia 5 no Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. : INSIEMI E RELAZIONI 5

36 Cap 1. GLI INSIEMI Rivedi a teoria I concetto di insieme Affinche un raggruppamento di oggetti possa essere considerato un insieme deve esistere una proprietaá caratteristica in base aa quae sia possibie stabiire se un eemento quaunque appartiene o no a que raggruppamento. Per questo motivo: formano un insieme: - i numeri naturai mutipi di - gi abitanti dea cittaá di Torino - gi studenti dea tua scuoa sufficienti in matematica ao scrutinio de primo quadrimestre non formano un insieme: - gi studenti bravi dea tua scuoa - i cibi piuá gustosi dea cucina tradizionae itaiana - i ibri piuá interessanti dea bibioteca dea tua cittaá. Gi insiemi si indicano con e ettere maiuscoe de'afabeto; gi oggetti che ne fanno parte si chiamano eementi e si indicano in forma generae con e ettere minuscoe. Se un insieme non ha eementi si dice che eá vuoto e si scrive: 1 oppure f g. Se gi eementi di un insieme non si possono eencare tutti si dice che 'insieme eá infinito. La rappresentazione di un insieme Consideriamo 'insieme A dei numeri interi compresi tra e, estremi incusi; possiamo rappresentare questo insieme: per eencazione, scrivendo tutti i suoi eementi: A ˆ f, 1, 0, 1,, g mediante un diagramma di Euero-Venn: mediante a proprietaá caratteristica indicando anche 'eventuae insieme ambiente da cui provengono i suoi eementi: A ˆ fx Z j x g In questo caso 'insieme ambiente eá 'insieme Z dei numeri interi. 6 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

37 Fai gi esercizi 1 Indica quai dee seguenti proposizioni individua un insieme: a. i numeri naturai divisori di 16 b. i computer de aboratorio di informatica dea tua scuoa c. e poesie piuá bee che si studiano a scuoa d. gi studenti presenti a scuoa i 5 Dicembre e. gi amici piuá in gamba che hai f. i medicinai prodotti da una particoare casa farmaceutica. [a., b., d., f.] Rappresenta gi insiemi che seguono nee tre modaitaá possibii. a. I numeri naturai minori di 7. b. Le ettere dea paroa "cassapanca". c. I punti cardinai. d. Gi insegnanti dea tua casse. L'insieme A dei numeri interi maggiori di 5 eá un insieme infinito; non essendo possibie fare un eenco competo dei suoi eementi, i modo migiore di rappresentaro eá queo di usare a proprietaá caratteristica: A ˆ fx Z j x > 5g Rappresenta gi insiemi che seguono scegiendo e modaitaá che ritieni piuá adatte a seconda dee carattistiche de'insieme stesso. a. I numeri naturai maggiori di 100. b. I numeri interi compresi fra 1 6 e 1. c. Le frazioni comprese fra 1 e. d. Le ettere dea paroa "babbo". 4 Sono dati gi insiemi A ˆ fx j x eá una vocae dea paroa cigiag e B ˆ fx j x eá una vocae dea paroa fiag; rappresentai per eencazione e con un diagramma di Euero-Venn. Che cosa puoi dire di questi insiemi? A ˆ BŠ 5 Dati gi insiemi A ˆf1,, 9g e B ˆfx N j x eá divisore di 9g stabiisci se eá A 6ˆ B oppure A ˆ B. Rivedi a teoria I sottoinsiemi di un insieme Se prendiamo acuni eementi di un insieme A e con essi formiamo un atro insieme B, diciamo che B eá sottoinsieme di A e scriviamo B A, dove i simboo si egge "eá contenuto". Per esempio, se de'insieme A ˆ fx N j 5 x 1g consideriamo soo i numeri che sono pari, abbiamo formato 'insieme B ˆ f6, 8, 10, 1g che eá un sottoinsieme di A. La rappresentazione con un diagramma di Euero- Venn iustra con chiarezza i significato di questo concetto. In particoare si para di sottoinsieme proprio quando B eá formato da acuni eementi di A ma non da tutti, come ne precedente esempio. Ogni insieme A ha poi due sottoinsiemi impropri: 'insieme A stesso e 'insieme 1. Le operazioni con gi insiemi Con gi eementi di due insiemi A e B se ne possono costruire atri: se andiamo a scegiere gi eementi che stanno sia in A che in B, cioeá gi eementi che appartengono contemporaneamente ai due insiemi, abbiamo costruito un insieme C che eá 'intersezione fra A e B : C ˆ A \ B Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 7

38 se prendiamo tutti gi eementi che stanno in A e aggiungiamo tutti quei che stanno in B, prendendo una vota soa quei che sono in comune, abbiamo costruito un insieme D che eá 'unione fra A e B : D ˆ A [ B se prendiamo gi eementi di A ed eiminiamo quei che stanno anche in B abbiamo costruito un insieme E che eá a differenza fra A e B : E ˆ A B In particoare, se B eá un sottoinsieme di A, 'insieme differenza rappresenta i compementare di B rispetto ad A. Per esempio, se A ˆ fx j x eá una ettera dea paroa chiaveg, cioeá A ˆ fa, c, e, h, i, vg,eb ˆ fx j x eá una ettera dea paroa ghiacciog, cioeá B ˆ fa, c, g, h, i, og, abbiamo che: A \ B ˆ fa, c, h, ig A [ B ˆ fa, c, e, g, h, i, o, vg A B ˆ fe, vg B A ˆ fg, og Come si nota in questo esempio, i diagramma di Euero-Venn evidenzia subito quai sono gi eementi de'unione, de'intersezione e dea differenza. Fai gi esercizi 6 ESERCIZIO GUIDA Siano A ˆ fx j x eá una vocaeg e B ˆ fx j x eá una vocae dea paroa mammag. Che reazione si puoá stabiire fra i due insiemi? Daa rappresentazione mediante un diagramma di Euero-Venn puoi subito dedurre che B eá un sottoinsieme proprio di A e quindi scrivere che... 7 Siano A ˆ fx j x eá una vocaeg e B ˆ fx j x eá una vocae dea paroa aiuoeg. Che reazione si puoá stabiire fra i due insiemi? A ˆ BŠ 8 Date e seguenti coppie di insiemi, stabiisci quae dei due eá sottoinsieme de'atro, aiutandoti eventuamente con un diagramma di Euero-Venn: a. A ˆf1,,, 4g B ˆf1, g b. C ˆfa, b, c, d, eg D ˆfa, eg c. E ˆfx j x eá una cittaá dea Spagna} F ˆfx j x eá una cittaá d'europa} d. G ˆfx j x eá una squadra di cacio itaiana} H ˆfx j x eá una squadra di cacio itaiana di serie A} [a. B A; b. D C; c. E F; d. H G ] 8 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

39 9 Considera e seguenti coppie di insiemi e stabiisci quando B eá sottoinsieme di A e se si tratta di un sottoinsieme proprio o improprio: a. A ˆfx Z j 4 < x < 0g B ˆf,, 1g [B ˆ A, improprio] b. A ˆfx N j x eá divisore di 0} B ˆfx N j x eá un numero primo minore di 0} c. A ˆfx j x eá un giorno dea settimana} B ˆfx j x eá un giorno dea settimana che inizia per t } [B ˆ 1, improprio] d. A ˆfx N j x eá un numero pari minore di 0} B ˆf, 4, 6, 8g [B A, proprio] e. A ˆfx N j x eá un numero dispari minore di 10} B ˆf1,, 5, 7, 9g [B ˆ A, improprio] f. A ˆfx Z j 5 < x < 7g B ˆfx Z j < x < 4g [B A, proprio] g. A ˆfx Z j 7 < x < 1g B ˆfx Z j < x < 0g [B A, proprio] 10 ESERCIZIO GUIDA Siano A ˆ fx Z j 6 x < g e B ˆ fx Z j x 8g; troviamo A \ B. Rappresentiamo i due insiemi su una retta Quindi: A \ B ˆ fx Z j x 1g. 11 Trova 'intersezione fra gi insiemi A ˆ fx N j x eá un numero pari minore di 0g e B ˆ fx N j x eá un numero dispari minore di 15g; che tipo di insieme hai ottenuto? 1Š 1 Determina 'intersezione dee seguenti coppie di insiemi: a. A ˆf0,, 6, 11, 1g B ˆf 4, 6, 10, 15g f6gš b. A ˆfx N j 7 < x < 1g B ˆfx N j 9 < x < 15g f10; 11gŠ c. A ˆfx N j 16 < x < 15g B ˆfx N j 54 < x < 15g fx N j 54 < x < 15gŠ d. A ˆfx N j x < 100g B ˆfx N j 4 < x < 50g BŠ 1 ESERCIZIO GUIDA Dati gi insiemi A ˆf,, 4, 5, 6g e B ˆf1,, 4, 7, 8, 1g, vogiamo cacoare a oro unione. Dobbiamo prendere tutti gi eementi di A e tutti gi eementi di B senza ripetere quei comuni; quindi: A [ B ˆf,, 4, 5, 6 {z } eementi di A, 1,7,8,1 g {z } eementi di B senza a ripetizione di e 4 14 Dopo aver stabiito che reazione c'eá fra gi insiemi A ˆ f 1, 4, 8g e B ˆ f 1,, 4, 5, 8, 10g, determina a oro unione. BŠ 15 Determina 'unione fra e seguenti coppie di insiemi: a. A ˆfx N j 7 < x < 1g B ˆfx N j < x < 10g fx N j < x < 1gŠ b. A ˆfx j x eá una ettera dea paroa "massaia"} B ˆfx j x eá una vocae dea paroa "mamma"} A ˆfa, i, m, sgš c. A ˆfx j x un numero pari minore di 1} B ˆfx N j x < 10g fx N j x 10gŠ d. A ˆfx N j x eá a metaá di 5} B ˆf, 4, 5, 8, 10g BŠ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 9

40 16 Siano A ˆ fx N j < x 10g e B ˆ fx N j 5 x < 15g; dopo aver rappresentato i due insiemi per eencazione e mediante un diagramma di Venn, cacoa A [ B e A \ B dando a rappresentazione di questi due insiemi sia per eencazione che mediante a proprietaá caratteristica. [A [ B ˆfx N j < x < 15g, A \ B ˆfx N j 5 x 10g] 17 Dati gi insiemi A ˆ fx N j x < 10g, B ˆ fx N j x < 10 ^ x e parig, C ˆ fx N j 5 < x < 15g, cacoa A \ C, A [ B, A [ B \ C. [A \ C ˆ fx N j 6 x 9g; A [ B ˆ A; A [ B \ C ˆ A] 18 ESERCIZIO GUIDA Considerati gi insiemi A ˆ fx N j x 6g e B ˆ fx N j 4 x 8g, cacoiamo A B e B A. Per cacoare A B dobbiamo prendere gi eementi di A che non stanno anche in B, quindi A B ˆ, f g. Per cacoare B A dobbiamo prendere gi eementi di B che non stanno anche in A, quindi B A ˆ 7, 8 f g. Poiche abbiamo trovato due insiemi diversi, possiamo concudere che a differenza fra insiemi non eá commutativa. 19 Dati gi insiemi A ˆfx j x eá un numero pari minore di 7} e B ˆfx N j 7 < x 1g, cacoiamo A B e B A. A B ˆ A; B A ˆ BŠ 0 ESERCIZIO GUIDA Dati gi insiemi A ˆfx j x eá un numero pari minore di 5} e B ˆf0,, 4, 6, 8g, cacoa B A. A eá un sottoinsieme proprio di B, quindi... In questo caso particoare, 'insieme B A si dice anche compementare di A rispetto a B e si indica soitamente con i simboo A B oppure C B A. 1 Determina gi insiemi A B e B A nei seguenti casi: a. A ˆf, 4, 6, 8g e B ˆf4, 5, 6, 7, 8g A B ˆfg, B A ˆf5, 7gŠ b. A ˆf1,,, 4g e B ˆf5, 6, 7, 8g A B ˆ A, B A ˆ BŠ c. A ˆf1,, g e B ˆf1,,, 4, 5, 6, 7, 8g A B ˆ 1, B A ˆf4, 5, 6, 7, 8gŠ In quae di questi casi puoi parare di insieme compementare? ESERCIZIO GUIDA Da un'indagine su consumo aimentare condotta su un campione di 156 persone tutte hanno dichiarato di mangiare pasta oppure riso; di queste, 18 mangiano sia a pasta che i riso. Se 11 persone hanno dichiarato di mangiare pasta ma mai riso, quante non mangiano mai pasta e quante compessivamente mangiano riso? [c.] 40 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

41 Rappresentiamo a situazione mediante un diagramma di Euero-Venn. Indichiamo con P 'insieme dee persone che mangiano pasta e con R queo dee persone che mangiano riso; poicheâ ci sono persone che mangiano sia pasta che riso, i due insiemi si intersecano ed i numero di eementi de'intersezione eá 18; inotre 11 eá i numero di persone che appartengono a P R (persone che mangiano pasta ma non riso). Di conseguenza, e persone che appartengono a'insieme R P sono ˆ 186. Possiamo adesso rispondere ae domande: non mangiano mai pasta 186 persone mangiano riso compessivamente ˆ 144 persone. In un gruppo di 40 ragazzi, 1 hanno a patente soo per a moto, 15 soo per 'auto e 5 compessivamente hanno a patente per 'auto. Quanti ragazzi hanno a patente sia per a moto che per 'auto e quanti non hanno nessun tipo di patente? 10; Š Rivedi a teoria I prodotto cartesiano Se si accoppiano gi eementi a di un insieme A agi eementi b di un insieme B si costruisce un nuovo insieme i cui eementi sono e coppie ordinate a, b. Tae insieme eá i prodotto cartesiano di A e B esi indica con i simboo A B. Per esempio se A ˆ f1,, g e B ˆ fa, bg, aora A B eá 'insieme: 1, a,, a,, a, 1, b,, b,, b Per rappresentare i prodotto cartesiano fra due insiemi si puoá usare: i diagramma cartesiano a tabea a doppia entrata a rappresentazione sagittae Fai gi esercizi 4 ESERCIZIO GUIDA Ad una festa, a padrona di casa ha preparato tre regai da assegnare a sorte fra i 6 invitati. Ci chiediamo come possono essere distribuiti i regai fra i convenuti. Indichiamo con 1,, i regai preparati e con A, B, C, D, E, F gi invitati, abbiamo cioeá gi insiemi R ˆf1,, g e S ˆfA, B, C, D, E, Fg. Abbiamo visto che probemi di questo tipo si risovono considerando i prodotto cartesiano fra i due insiemi, cioeá 'insieme dee coppie ordinate che si ottengono abbinando ogni eemento de primo insieme con ogni eemento de secondo. Ne nostro caso dobbiamo cacoare R S. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 41

42 Le modaitaá piuá usate per rappresentare i prodotto cartesiano sono i diagramma cartesiano e a tabea a doppia entrata, che in questo caso sono e seguenti: Non eá consigiabie invece usare a rappresentazione sagittae che risuterebbe confusa; in aternativa si puoá invece costruire un abero che, con i possibii percorsi, individui e coppie. 5 Tre naufraghi sbarcano su un'isoa deserta e trovano una pama con noci di cocco: una piccoa, una media e una un po'piuá grande. Sapendo che nessuno di oro si impadronisce di tutte e tre e noci, in quanti modi se e possono distribuire? 6 Esegui i prodotto cartesiano A B dei seguenti insiemi e rappresentao nei modi che ritieni piuá opportuni. a. A ˆfPaoa, Martag B ˆfMario, Lorenzo, Carog b. A ˆ fa, b, cg B ˆ fx, y, w, jg c. A ˆfx N jx g B ˆfx Z j < x < 1g Cap. LA LOGICA Rivedi a teoria Le proposizioni Chiamiamo proposizione una frase di senso compiuto per a quae ha senso chiedersi se eá vera o se eá fasa. Non fanno parte quindi dee proposizioni tutte quee frasi che rappresentano domande, comandi, escamazioni, proposizioni indecidibii come per esempio a frase «gi angei voano in cieo»; infatti, visto che non si eá mai dimostrata 'esistenza degi angei, non si puoá nemmeno dire se eá vero o faso che voano in cieo. Sono invece proposizioni frasi come e seguenti: a: «L'arcipeago dee Madive si trova ne'oceano Pacifico» proposizione Vera b: «Luciano Pavarotti era un cantante pop» proposizione Fasa c: «1 eá una frazione» proposizione Vera 4 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

43 Le proposizioni devono rispettare due principi fondamentai: i principio di non contraddizione: una proposizione non puoá essere contemporaneamente vera e fasa; i principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa, non esistono atre possibiitaá. Le operazioni con e proposizioni In una proposizione distinguiamo un predicato verbae ed eventuamente acuni argomenti: «Anna eá amica di Marta» ha come predicato essere amici e come argomenti Anna e Marta Una proposizione che contiene un soo predicato verbae eá una proposizione atomica; piuá proposizioni atomiche formano una proposizione moecoare. Le proposizioni moecoari si ottengono mediante operazioni sue proposizioni atomiche che usano come operatori i connettivi ogici. Possiamo riassumere e caratteristiche di ogni operazione nea tabea che segue: OPERAZIONE CONNETTIVO OPERA SU SIMBOLO LOGICO EFFETTO negazione non una soa proposizione a a cambia i vaore di veritaá di a congiunzione e due proposizioni a e b ^ a ^ b eá V soo se entrambe e proposizioni sono vere disgiunzione incusiva o due proposizioni a e b _ a _ b eá V se ameno una dee due proposizioni eá V disgiunzione escusiva o... o due proposizioni a e b _ a _ b eá V soo se una proposizione eá V e 'atra eá F impicazione se... aora due proposizioni a e b! a! b eá F soo se a eá Veb eá F; a eá a premessa, b eá a conseguenza coimpicazione se e soo se due proposizioni a e b $ a $ b eá V soo se a e b hanno o stesso vaore di veritaá In particoare, poi, quando una proposizione moecoare eá vera quaunque sia i vaore di veritaá dee proposizioni che a compongono, si dice che eá una tautoogia; quando eá sempre fasa si dice che eá una contraddizione. Fai gi esercizi 1 Indica quai dee seguenti frasi sono proposizioni. a: «I gatto abbaia» b: «I maghi e e streghe esistono» c: «Ne Medioevo si credeva a'esistenza dei maghi e dee streghe» d: «14 6 ˆ 9» e: «I carattere di una persona dipende da suo segno zodiacae». a, c, dš Individua i predicati dee seguenti proposizioni e stabiisci quai sono atomiche e quai sono moecoari: a: «Lucia frequenta a prima iceo scientifico e studia due ingue straniere» b: «5 ˆ 7» c: «Mio frateo suona a chitarra e tiene spesso dei concerti» d: «5 eá un numero positivo, ma eá negativo». Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 4

44 ESERCIZIO GUIDA Costruiamo e negazioni dee seguenti proposizioni e determiniamo i oro vaore di veritaá: a: «4eÁ un numero dispari» b: «1 eá un numero primo» c: «Lucia ha due fratei» d: «Marco frequenta i primo anno di scuoa superiore». I modo piuá sempice di negare una proposizione eá queo di porre i connettivo non davanti a verbo; ne caso dea prima proposizione: a: «4 non eá un numero dispari» e poicheá a eá V, a eá F Continua con e atre. 4 Date e proposizioni p seguenti, stabiisci quai proposizioni p sono espresse in modo corretto: a. p : «Marco ha vinto a partita a scacchi con Giuio» p 1 : «Marco non ha vinto a partita a scacchi con Giuio» p : «Marco ha perso a partita a scacchi con Giuio» b. p : «Andrea eá stato eiminato ne torneo di tennis» p 1 : «Non eá vero che Andrea eá stato eiminato ne torneo di tennis» p : «Andrea non eá stato eiminato ne torneo di tennis» c. p : «I triangoo ABC eá isoscee» p 1 : «I triangoo ABC eá scaeno» p : «I triangoo ABC non eá isoscee» a: p 1 ; b: p 1, p ; c: p Š 5 Seguendo 'esempio, costruisci e proposizioni a ^ b, a _ b e a _ b e determina i oro vaore di veritaá: a: «7eÁ un numero primo» (V) b: «7eÁ un numero pari» (F) a ^ b: «7eÁ un numero primo ed eá pari» eá una proposizione F a _ b: «7eÁ un numero primo oppure eá pari» eá una proposizione V a _ b: «o7eá un numero primo oppure eá pari» eá una proposizione V a. a: «8eÁ un numero pari» b: «8eÁ una potenza di» [V, V, F] b. a: «1 eá un mutipo di» b: «4 eá un mutipo di» [V, V, F] c. a: «Piero Angea eá un giornaista scientifico» b: «Simona Ventura eá una baerina cassica» [F, V, V] d. a: «Abert Einstein era un musicista» b: «Chopin era un fisico» [F, F, F] e. a: «I quadrati sono dei quadriateri» b: «I quadrati hanno gi angoi retti». [V, V, F] 6 Seguendo 'esempio, costruisci e proposizioni a! b e a $ b e determina i oro vaore di veritaá: a: «9eÁ mutipo di» (F) b: «9eÁ dispari» (V) a! b: «se 9 eá mutipo di aora eá dispari» eá una proposizione V a $ b: «9eÁ mutipo di se e soo se eá dispari» eá una proposizione F a. a: «10 eá maggiore di 4» b: «4eÁ minore di 6» [V, V] b. a: «Roma eá a capitae d'itaia» b: «Parigi eá a capitae dea Spagna» [F, F] c. a: «Ceopatra era regina d'egitto» b: «Nerone era un imperatore Romano» [V, V] d. a: «Un rombo ha i ati tutti congruenti fra oro» b: «Un quadrato eá anche un rombo» [V, V] e. a: «4eÁ un numero primo» b: «4eÁ un quadrato perfetto». [V, F] 7 ESERCIZIO GUIDA I vaore di veritaá di una proposizione moecoare dipende dai vaori di veritaá dee proposizioni atomiche che a formano; se non si conoscono a priori questi vaori, si deve costruire una tavoa di veritaá 44 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

45 che tenga conto di tutte e possibii combinazioni. Se e proposizioni atomiche sono n, i casi che si possono presentare sono sempre n. Costruiamo a tavoa di veritaá dea proposizione a _ b! c ^ a che, essendo composta dae tre proposizioni a, b, c, ha ˆ 8 casi possibii. a b c b a _ b c ^ a a _ b! c ^ a V V V F V V V V V F F V F F V F V V V V V V F F V V F F F V V F F F V F V F F F F V F F V V V F F F F F V V F F 8 Costruisci a tavoe di veritaá dee seguenti proposizioni: a. a ^ b _ a b. a _ b ^ a c. b! a ^ c ^ bš d. a ^ b _ b ^ c 9 Costruisci a tavoe di veritaá dee seguenti proposizioni indicando se si tratta di tautoogie o di contraddizioni: a. a! b _ b [tautoogia] b. a _ b ^ b c. a! b _ b! a [contraddizione] [tautoogia] Rivedi a teoria Gi enunciati aperti Un enunciato aperto eá un predicato che ha degi argomenti che sono variabii; in questo caso, accanto a nome de'enunciato si indica anche queo dea variabie racchiuso fra parentesi rotonde. Ad esempio: a x : «x eá un numero pari» b x, y : «x eá iscritto nea scuoa y» Ne primo enunciato aperto i vaori da attribuire a x per fara diventare una proposizione sono numeri naturai; nea seconda x deve essere sceto in un insieme di ragazzi, y in un insieme di scuoe. L'insieme dei vaori fra cui scegiere queo da attribuire aa variabie eá i dominio de'enunciato aperto. Fra i vaori de dominio ci sono poi quei che rendono vera una proposizione e ci sono quei che a rendono fasa; ad esempio, rende fasa a proposizione a, 8 a rende vera. I sottoinsieme de dominio formato dagi eementi che rendono vera una proposizione eá 'insieme di veritaá dea proposizione. Per esempio, se consideriamo 'enunciato aperto p x : «x eá un mutipo dispari di 5», possiamo dire che: i suo dominio eá 'insieme dei numeri dispari i suo insieme di veritaá eá A ˆf5, 15, 5, 5, ::::g. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 45

46 Le operazioni con gi enunciati Fra gi enunciati aperti si possono eseguire e stesse operazioni che si eseguono con e proposizioni; se ax e bx sono due enunciati aperti nea stessa variabie x, rispettivamente con insiemi di veritaá A e B, queo che si ottiene daa oro combinazione con i connettivi eá un nuovo enunciato aperto i cui insieme di veritaá si ottiene con e seguenti regoe. OPERAZIONE LOGICA negazione: ax congiunzione: ax ^ bx disgiunzione: ax _ bx INSIEME DI VERITAÁ A A \ B A [ B I quantificatori Un predicato esprime in genere una proprietaá reativa agi eementi di un insieme; questa proprietaá puoá essere vera soo per acuni eementi de'insieme, oppure per tutti. Per esempio, se in un insieme A di persone consideriamo i predicato p : «essere coega di Vaeria», puoá darsi che tutti gi eementi di A soddisfino p, oppure che soo quacuno o soddisfi. Per distinguere i due casi si usano i quantificatori: i quantificatore universae, i cui simboo ogico eá 8, esprime i fatto che p eá vero per tutti gi eementi de'insieme; i quantificatore esistenziae, i cui simboo ogico eá 9, esprime i fatto che c'eá ameno un eemento de'insieme che soddisfa p. CosõÁse vogiamo dire che tutte e persone di A sono coeghe di Vaeria scriviamo: 8x A : x eá coega di Vaeria. Se vogiamo dire che in A c'eá ameno un coega di Vaeria scriviamo: 9x A : x eá coega di Vaeria. Fai gi esercizi 10 Determina dominio e insieme di veritaá dei seguenti enunciati aperti: a. ax :«x eá un numero razionae minore di 9» b. ax :«x eá un divisore di 0» c. ax :«x eá un piota di Formua 1» d. ax :«x eá un quadriatero» e. ax :«x eá un mese di 0 giorni» 11 Trova i vaore di veritaá dea congiunzione e dea disgiunzione dei seguenti enunciati aperti: a. ax :«x eá amico di Lucia» bx :«x eá amico di Giovanni» b. ax :«x eá una cittaá dea Lombardia» b x :«x eá una cittaá de Sud Itaia» c. ax :«x eá un numero intero maggiore di» bx :«x eá un numero intero minore di 5» d. ax :«x eá un dipendente statae» b x :«x eá un insegnante» 1 Riscrivi in simboi usando i quantificatore adatto. a. Esistono numeri razionai che sono negativi. b. Non tutti i numeri naturai sono primi. c. Tutti i miei amici sono simpatici. d. Acuni triangoi sono isoscei. e. Tutti i mutipi di 9 sono anche mutipi di. 46 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

47 Cap. INSIEMI E RELAZIONI Rivedi a teoria Le reazioni Un predicato puoá mettere in reazione acuni eementi x di un insieme A con acuni eementi y di un insieme B. Per esempio, se A eá un insieme di persone e B eá un insieme di cani, i predicato px, y :«x eá i padrone di y» mette in reazione e persone di A con i cani di B. Non eá peroá detto che tutte e persone che sono in A abbiano un cane; quindi non tutti gi eementi di A sono in reazione con quache eemento di B. In generae se i predicato p eá soddisfatto da una coppia x, y si dice che x eá in reazione con y esi scrive x R y; de'eemento y si dice che eá 'immagine di x e de'eemento x si dice che eá a controimmagine di y. Per esempio, se A eá un insieme di persone, B eá un insieme di professioni e px, y :«x esercita a professione y», possiamo dire che: poicheâ p Brad Pitt, attore eá Vera, aora Brad Pitt eá in reazione con attore; poicheâ p Dan Brown, scrittore eá Vera, aora Dan Brown eá in reazione con scrittore; poicheâ p Vaentino Rossi, cantante eá Fasa, aora Vaentino Rossi non eá in reazione con cantante. L'insieme degi eementi di A che sono egati daa reazione R a quache eemento di B eá un sottoinsieme, proprio o improprio di A, che rappresenta i dominio dea reazione (eá 'insieme dee controimmagini); 'insieme degi eementi di B che sono immagine di quache eemento di A eá un sottoinsieme, proprio o improprio di B, che rappresenta i codominio dea reazione (eá 'insieme dee immagini). La rappresentazione di una reazione Una reazione si puoá rappresentare: per eencazione indicando tutte e coppie che sono in reazione fra oro; mediante una rappresentazione sagittae, coegando con un arco orientato gi eementi che formano e coppie; mediante una rappresentazione cartesiana; mediante una tabea a doppia entrata. Per esempio, a reazione R definita da predicato px, y :«x eá a quarta parte di y» fra 'insieme A ˆ f1,,, 4, 5g e 'insieme B ˆ f10, 1, 14, 16, 18, 0g si puoá rappresentare in uno quasiasi dei seguenti modi: per eencazione scrivendo e coppie tai che i primo numero sia a quarta parte de secondo, andando a prendere i primo numero in A ed i secondo in B; e coppie ordinate sono e seguenti, 1 4, 16 5, 0 mediante rappresentazione sagittae Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 47

48 mediante rappresentazione cartesiana mediante tabea a doppia entrata Le reazioni in un insieme Quando una reazione eá definita neo stesso insieme, cioeá quando A coincide con B, aora, otre ae modaitaá di rappresentazione che abbiamo visto ne'esercizio precedente, si puoá usare anche un grafo. Ad esempio sia A ˆfx Z j 5 x g e sia p x, y : «x eá i successivo di y». Basta rappresentare 'insieme A e coegare gi eementi che sono in reazione fra oro con degi archi, orientati da primo eemento a secondo come indicato in figura. Fai gi esercizi Rappresenta nei modi che conosci e seguenti reazioni definite fra gi insiemi A e B; individua poi dominio e codominio dea reazione. 1 A ˆftriangoo, quadrato, rettangoo, pentagonog B ˆf1,,, 4, 5, 6, 7g p x, y : «x ha un numero di ati uguae a y», con x A e y B. D ˆ A, C ˆf, 4, 5gŠ A ˆfx j x eá un giorno dea settimana} B ˆfy j y eá una consonante de'afabeto itaiano} p x, y : «x inizia per y». D ˆ A, C ˆfd, g,, m, s, vgš A ˆfx N j x 0g a reazione eá definita in A daa proposizione aperta p x, y : «x eá mutipo di y». D ˆ A, C ˆ AŠ 4 A ˆf 7, 4,,, 6, 8g B ˆf 6, 5,,, 7g p x, y : «x eá 'opposto di y», con x A e y B. D ˆf 7,,, 6g, C ˆf 6,,, 7gŠ 5 A ˆf1,, 7g B ˆf, 4, 6, 8, 10g p x, y : «y ˆ x 1», con x A e y B. D ˆ A, C ˆf, 4, 8gŠ 6 Osserva e seguenti figure e risai a una proposizione aperta che individua e reazioni assegnate. a. b. c. 48 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

49 7 Cinque studenti di una scuoa partecipano ad una gara matematica composta da 1 quesiti. Per organizzare a comunicazione dei risutati degi eaborati, i docente che i corregge decide di indicare con S 'insieme degi studenti e con Q 'insieme dei quesiti: S ˆfAmerio, Bianchi, Coombo, Dotti, Evaig Q ˆf1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1g e di considerare poi a reazione definita daa proposizione aperta p x, y : «x ha risposto correttamente aa domanda y». I diagramma cartesiano dea reazione eá a ato. Indica 'insieme dee immagini di Amerio, 'insieme dee immagini di Dotti, 'insieme dee controimmagini di 6, 'insieme dee controimmagini di 10. Rispondi poi ae seguenti domande: a. quanti studenti hanno risposto correttamente a piuá di 8 domande b. quanti studenti hanno risposto correttamente aa domanda 1 c. quanti studenti hanno risposto correttamente ae prime 5 domande. [a. tre (Amerio, Coombo, Evai); b. due (Coombo, Dotti); c. due (Amerio, Coombo)] Rivedi a teoria Le proprietaá dee reazioni in un insieme Se una reazione eá definita in uno stesso insieme A, si possono mettere in evidenza acune proprietaá: rifessiva: 8x A x R x antirifessiva: 8x A x 6R x simmetrica: 8x, y A x R y! y R x antisimmetrica: 8x, y A x R y! y 6R x se x 6ˆ y transitiva: 8x, y, z A x R y ^ y R z!x R z Per esempio, a reazione definita in N daa proposizione aperta p x, y : «x eá mutipo di y» eá: rifessiva percheâ ogni numero naturae eá mutipo di seâ stesso (ad esempio i numero eá mutipo di, i numero 5 eá mutipo di 5 e cosõá via) se eá rifessiva non eá antirifessiva non eá simmetrica percheâ se un numero a eá mutipo di un numero b, non capita mai i contrario se i due numeri sono diversi (ad esempio 1 eá mutipo di, ma non eá mutipo di 1) eá antisimmetrica per e motivazioni esposte a punto precedente eá transitiva percheâ se un numero a eá mutipo di un numero b e b eá mutipo di un numero c, anche a eá mutipo di c (ad esempio 54 eá mutipo di 18, 18 eá mutipo di 6, 54 eá mutipo di 6). Le reazioni di equivaenza Una reazione eá di equivaenza se gode dee proprietaá rifessiva, simmetrica e transitiva. Una reazione di questo tipo permette di ripartire gi eementi di un insieme in tanti sottoinsiemi che hanno e seguenti caratteristiche: nessun sottoinsieme eá vuoto sono a due a due disgiunti a oro unione riproduce 'insieme dato. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 49

50 Una reazione di equivaenza consente cioeá di fare una partizione di un insieme; i sottoinsiemi cosõá costruiti si dicono cassi di equivaenza. Ad esempio, consideriamo ne'insieme N a reazione definita daa proposizione aperta p x, y : «x ha o stesso numero di cifre di y»; si tratta di una reazione di equivaenza che consente di ripartire gi eementi di N nei seguenti sottoinsiemi: A 1 dei numeri composti da una soa cifra, A dei numeri composti da due cifre, A dei numeri composti da tre cifre e cosõá via. Le reazioni d'ordine Una reazione eá d'ordine se gode ameno dee proprietaá antisimmetrica e transitiva; se poi a reazione eá anche rifessiva si para di reazione d'ordine argo, seeá antirifessiva si para di reazione d'ordine stretto. Per esempio a reazione definita da p x, y : «x ha perimetro minore di y» ne'insieme dei poigoni di un piano eá antisimmetrica e transitiva ed in piuá eá anche antirifessiva; eá quindi una reazione d'ordine stretto. Fai gi esercizi 8 Individua e proprietaá di cui godono e seguenti reazioni: a. p x, y : «x eá opposto di y» inz 0 b. p x, y : «x ha o stesso perimetro di y» ne'insieme dei poigoni di un piano c. p x, y : «x eá parente di y» in un insieme di persone. [a. AR, S; b. R, S, T; c. R, S] 9 Stabiisci quai fra e seguenti reazioni sono di equivaenza e quai di ordine: a. p x, y : «x eá nea stessa provincia di y» ne'insieme dei comuni d'itaia b. p x, y : «x abita neo stesso paazzo di y» ne'insieme dee famigie di un quartiere c. p x, y : «x ha un motorino di ciindrata piuá grande di y» in un insieme di persone d. p x, y : «x gioca con y» in un insieme di persone che partecipano ao stesso torneo di tennis. [equivaenza: a., b.; ordine: c.] 10 Riprendi e reazioni di equivaenza che hai individuato ne'esercizio precedente e costruisci e reative cassi di equivaenza. 11 Sia A ˆfuva, tu, fiume, tino, tavoig e sia R :«x ha piuá ettere di y» con x, y A. Verificato che si tratta di una reazione d'ordine, scrivi 'insieme A in modo ordinato. Rivedi a teoria Reazioni fra due insieme: e funzioni Se una reazione fra due insiemi A e B eá caratterizzata da fatto che ad ogni eemento di A viene associato un soo eemento di B e non piuá di uno, si dice che a reazione eá una funzione. AffincheÁ si possa parare di funzione deve quindi accadere che: tutti gi eementi di A, nessuno escuso, abbiano una immagine in B; ogni eemento di A abbia una soa immagine in B. Non deve invece accadere che: ci siano eementi di A che non hanno immagini in B; ci siano eementi di A che hanno piuá di una immagine in B. Di una reazione che eá una funzione si dice anche che eá una corrispondenza univoca. 50 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

51 Esempi di funzioni si trovano piuá frequentemente di quanto si possa pensare; aprendo un giornae troviamo: a corrispondenza fra e capitai europee e e temperature rievate in un particoare giorno: Londra Parigi Mosca Begrado Atene Roma Madrid a corrispondenza fra i giorni dea settimana e e quotazioni de Doaro nei confronti de'euro: unedõá martedõá mercoedõá giovedõá venerdõá 1,1 1, 1,9 1, 1,5 e numerosi atri esempi ancora. Le funzioni fra insiemi numerici Una funzione puoá essere espressa da una reazione di tipo agebrico fra e variabii x e y quando gi insiemi A e B sono di tipo numerico. Per esempio: y ˆ x 1 esprime a funzione che ad ogni numero x associa i numero x 1 ed eá f 1 ˆ 1 1 ˆ f ˆ 1 ˆ 10 y ˆ x 4 esprime a funzione che ad ogni numero x associa i numero x 4 ed eá f ˆ 1 4 ˆ 0 f ˆ 1 4 ˆ 15 5 f 4 f 0 ˆ 0 1 ˆ 1 ˆ 5 4 ˆ 9 4 Fai gi esercizi 1 Stabiisci quai, fra e reazioni che hanno i seguenti grafici, rappresentano dee funzioni: a. b. c. d. [a., c.] 1 Indica quai fra e seguenti reazioni sono funzioni a. «x eá i successivo di y» con x, y N b. «x eá i quadrato di y» conx, y R c. «x eá i cubo di y» conx, y R d. «x eá i ibro di matematica di y» con x fibrig e y fstudentig. [a., c., d.] 14 Data a funzione y ˆ x 1 x cacoa a. f 1, b. f, c. f 1, d. f 1. a: ; b: 1 c: ; d: 15 Considerate e funzioni f x ˆ x 1eg x ˆ 1, cacoa i vaore dee seguenti espressioni: x a. f 1 f g 1 g f 1 g 1 g b. f 0 g 1 c. f a. 0; b. 1 f g 1 8 ; c Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 51

52 Verifica de recupero 1 Stabiisci quai fra e seguenti rappresentazioni de'insieme dei numeri interi compresi fra e 7 (estremi escusi) sono esatte: a. A ˆf,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7g b. A ˆf, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7g c. A ˆf, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6g d. A ˆfx Z j < x < 7g e. A ˆfx Z j x 7g f. A ˆfx Z j x < 7g 0,5 punti Rappresenta per eencazione i seguenti insiemi a. A ˆfx Z j 5 < x g b. B ˆfx j x eá una ettera dea paroa "paa"} c. C ˆfx j x eá un divisore di 9} d. D ˆfx j x eá un mese de'anno che ha 7 giorni} 1 punto Dato 'insieme A ˆfx j x eá un divisore di 15}, indica se fra i seguenti insiemi vi sono sottoinsiemi di A, specificando se sono propri o impropri: B ˆf1,, g C ˆ 1 D ˆf, 5g E ˆf1,, 5, 10g F ˆf1,, 5, 15g 0,5 punti 4 Sono dati gi insiemi A ˆfx N j x eá un divisore pari di 0} e B ˆfx N j x eá un divisore di 10}: L'insieme A [ B eá: a. f1,, 4, 5, 10, 0g b. f, 4, 5, 10g c. f1,, 10g d. atro L'insieme A \ B eá: a. f, 5g b. fg c. f, 10g d. atro 1 punto 5 Dati gi insiemi A ˆfx N j 0 x 50g e B ˆfx N j 0 < x 54g, indica quae fra i seguenti eá 'insieme A B: a. A B ˆfx N j 0 x 0g b. A B ˆfx N j 50 < x 54g c. A B ˆfx N j 0 < x 50g d. A B ˆfx N j 0 x < 0g 0,5 punti 6 Sia C 'insieme degi aunni di una casse di una certa scuoa, P 'insieme degi aunni di quea scuoa che hanno un computer, Q 'insieme degi aunni di quea casse che hanno un computer. Supposto che ci siano atri studenti dea scuoa che hanno un computer otre a quei dea casse considerata, costruisci i diagramma di Euero-Venn reativo a questi insiemi e stabiisci poi se sono vere o fase e seguenti scritture: a. C \ P ˆ Q b. Q P c. P [ Q ˆ P d. Q C e. C P ˆ Q 1 punto 7 Sia A un insieme di 1 persone. In quanti modi possono sautarsi con una stretta di mano queste persone? a. 144 b. 1 c. 66 d. 1 0,5 punti 5 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

53 8 Date e seguenti tavoe di veritaá, inserisci i connettivo appropriato: a. a b a...b b. a b a...b c. a b a...b d. V V V V V F V V V V F V V F V V F F F V V F V V F V V F F F F F F F F V a b a...b V V V V F F F V F F F V 0,5 punti 9 Date e proposizioni a (V), b (F), c (F) e d (V), determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni composte: a. a! b _ c b. a ^ b _ c ^ d c. c ^ b ^ a! b d. a $ b _ d Š ^ c 0,5 punti 10 Costruisci a tavoa di veritaá dee seguenti proposizioni a. a ^ a _ b b. a ^ c $ b 1 punto 11 Sia p x, y : «x ha o stesso numero di ettere di y» definita ne'insieme A ˆ {casa, cane, adro, aievo, pane, carro, mattone}. a. Rappresenta a reazione con un grafo. b. Determina e proprietaá di cui gode. 1 punto 1 Individua quai fra e seguenti reazioni sono di equivaenza e quai d'ordine: a. p x, y : «x ha o stesso voume di y», ne'insieme dei soidi deo spazio b. p x, y : «x ha ottenuto votazione inferiore a y a'esame di Stato», ne'insieme degi studenti de quinto anno di una scuoa media superiore c. p x, y : «x ha a stessa capacitaá di memoria di y», ne'insieme dei computer. 1,5 punti 1 Stabiisci quai dee seguenti reazioni sono funzioni: a. a corrispondenza che ad ogni quadro de museo de Louvre associa 'artista che o ha dipinto b. a corrispondenza che ad ogni ingresso di un paazzo di una strada associa i numero civico c. a corrispondenza che ad ogni ateta associa a federazione sportiva cui appartiene d. a corrispondenza che ad ogni computer associa i software instaati. 0,5 punti Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 5

54 Souzioni 1 c.; f. a. A ˆf 4,,, 1, 0, 1, g; b. B ˆfp, a, g; c. C ˆf1,, 9g; d. D ˆfg B non eá sottoinsieme; C improprio; D proprio; E non eá sottoinsieme; F improprio 4 a.; c. 5 a. 6 a. V; b. F; c. V; d. V; e. F 7 c. 8 a. disgiunzione incusiva, _; b. disgiunzione escusiva, _; c. impicazione,!; d. coimpicazione, $ 9 a. V; b. V; c. V; d. F 10 a. a b b a _ b a ^ a _ b b. V V F V V V F V V V F V F F F F F V V F a b c a a ^ c a ^ c $ b V V V F F F V V F F F F V F V F F V V F F F F V F V V V V V F V F V F F F F V V V F F F F V F V 11 a. b. R, S, T 1 a. equivaenza; b. ordine; c. equivaenza 1 a. si; b. si; c. si; d. no Esercizio Punteggio Vautazione in decimi 54 Tema 1 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

55 Gi esercizi proposti in questa rubrica concusiva de'area provengono da gare di Matematica internazionai e da esami finai, opportunamente adattati, in varie scuoe dei Paesi di ingua angosassone. domain equivaence reation mutipe property ordered pair member range dominio reazione di equivaenza mutipo proprietaá coppia ordinata di eementi codominio refexive reation set symmetric subset transitive rifessiva reazione insieme simmetrica sottoinsieme transitiva 1 Let U ˆ f1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9g be the universa set. Let S ˆ f1,,, 4, 5, 6g and T ˆ f6, 7, 8, 9g. Find each of the foowing numbers. a. How many subsets does U have? b. Give an exampe of a 5-eements subset. c. If A is a subset of U, give an exampe of A so that A \ S has 4 eements with 6 as a member and one that does not have 6 as a member. d. If B is a subset of U, give an exampe of B so that B \ T has eements with 8 as a member and one that does not have 8 as a member. Let A ˆ f1,,, 4g. a. Find a reation R on A that has exacty ordered pair members and is both symmetric and antisymmetric. b. Find an equivaence reation R on A that has exacty 10 eements. c. Find a transitive, non-refexive, non-symmetric, non-antisymmetric reation R on A that has exacty 6 eements. Let Z denote the set of a integers. Define R on Z by xr y if x y is a mutipe of 5 (note that 0 is a mutipe of 5). Which of the foowing properties does R satisfy? Give reasons for each answer. a. refexivity b. symmetry c. transitivity d. antisymmetry e. Is R an equivaence reation? 4 Some A that are B are not C that are D. A A are C. Say which of the foowing concusions foow from the given premises and which do not. a. Some A that are D are C that are B. b. Some C are not D. c. Some B are not C. d. Some A are D. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - MATH IN ENGLISH 55

56 5 A A are B. A C are D. Some C are not B. Say which of the foowing concusions foow from the given premises and which do not. a. A A are D. b. Some D are not A. c. A A are C. 6 Whie seecting candy for students in his cass, Stefan must choose between gummy candy and icorice nibs. Gummy candy packets come in three sizes, whie packets of icorice nibs come in two. If he chooses gummy candy, he must seect either gummy bears, gummy worms, or gummy dinos. If he chooses icorice nibs, he must choose between red and back. How many choices does he have? 7 According to a New York Times report on the 16 top-performing restaurant chains, 11 serve breakfast, 11 serve beer, and 10 have fu tabe service. A 16 offered at east one of these services. A tota of 5 were cassified as "famiy chains," meaning that they serve breakfast, but do not serve acoho. Further a tota of 5 serve breakfast and have fu tabe service, whie none serve breakfast, beer, and aso have fu tabe service. a. How many serve beer and breakfast? b. How many serve beer but not breakfast? c. How many serve breakfast, but neither have fu tabe service, nor serve beer? d. How many serve beer and have fu tabe service? 8 Is the given reation a function and what is the Domain and the Range of the reation? f,,,,, 4,, 5 g a. Yes, D ˆ f,, g, R ˆ f,, 4, 5g b. No, D ˆ f,, g, R ˆ f,, 4, 5g c. Yes, D ˆ f,, 4, 5g, R ˆ f,, g d. No, D ˆ f,, 4, 5g, R ˆ f,, g e. none of these 9 Given f x ˆ x and g x ˆ x 1, which of the foowings is g f? a. x x b. x x c. x d. x e. x x R is refexive, symmetric, transitive; R is an equivaence reation 4 a. does not foow; b. foows; c. doesn't foow; d. doesn't foow 5 a. doesn't foow; b. foows; c. doesn't foow a. 6; b. 5; c. 0; d. 5 8 b. 9 d. 56 Tema 1 - MATH IN ENGLISH Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

57 CAPITOLO 1 Operazioni e insiemi numerici 1. LE ESPRESSIONI NUMERICHE CON DERIVE Come inserire e vautare un'espressione Per inserire un'espressione numerica si segue a stessa procedura usata per inserire una quaunque atra espressione. La cosa a cui si deve prestare mota attenzione eá 'uso dee parentesi percheâ si possono usare soo parentesi tonde, in quanto e parentesi quadre o graffe hanno un atro significato; abbiamo visto, per esempio, nea prima unitaá che e graffe servono per rappresentare gi insiemi. Occorre poi tenere presente che: i simboo di motipicazione eá 'asterisco: i simboo di divisione eá a barra: = (simboo sopra i 7) i simboo di eevamento a potenza eá :^ (simboo sopra a õá ) per rappresentare numeri decimai non si usa a virgoa ma i punto decimae. Non eá possibie usare i simboo : per rappresentare a divisione; i simboo = viene quindi usato sia per scrivere una frazione, sia per indicare una divisione fra due espressioni ed eá per questo che nea finestra di Agebra un'espressione viene di soito inserita in modo diverso rispetto a come appare su un ibro di testo. Vediamo un esempio; per inserire 'espressione: ( : 6 ) occorre digitare i seguente testo nea riga di inserimento (abbiamo evidenziato in bu e parentesi che ne testo originae sono quadre e in rosso quee che sono graffe): 7=5 1= =10 = 6=5 ^ =5 1 = 1 ^ 8= L'espressione viene poi scritta nea finestra di Agebra in questo modo: Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 57

58 Osserviamo a coppia di parentesi che racchiude a frazione 6 a'interno dea quadra; senza di essa a prece- 5 denza dee operazioni eá diversa ed ha i seguente significato: : 6 : 5 che eá equivaente a Non eá invece indispensabie a coppia di parentesi finae che racchiude 8, essa serve sotanto a rendere piuá "eggibie" i testo. Senza queste parentesi troveresti scritta 'espressione in questo modo: che non atera a precedenza dee operazioni. Sempificando 'espressione con 'icona Sempifica si ottiene infatti in entrambi i casi Se vogiamo trovare i numero decimae corrispondente a questa frazione basta usare i comando Sempifica/Approssima e precisare, nea finestra di diaogo che viene attivata, i numero di cifre decimai che si desiderano; in aternativa, si puoá usare i tasto con i simboo. Acune funzioni di Derive Abbiamo visto 'importanza che hanno i numeri primi ai fini dea scomposizione in fattori di un numero; Derive possiede acune funzioni di utiitaá a questo riguardo (usa ogni vota i pusante di sempificazione oppure metti i simboo "ˆ" aa fine de comando): n PRIME n eá una funzione ogica che restituisce true se n eá un numero primo, fase se non o eá. Per esempio: PRIME 8 restituisce fase PRIME 89 restituisce true n NTH PRIME n restituisce 'ennesimo numero primo. Per esempio: NTH PRIME 5 daá 11 (eá i quinto numero primo) NTH PRIME 17 daá 709 n FACTOR n restituisce a scomposizione in fattori primi de numero n. Per esempio: FACTOR 416 daá FACTOR 58 daá 7 Si ottiene o stesso risutato scrivendo i numero da scomporre ed attivando poi i comando Sempifica/Fattorizza e spuntando a casea Decomposizione numeri primi. n GCD a, b, c, :::: cacoa i M:C:D: fra i numeri a, b, c, ::::. Per esempio:gcd 16, 4 daá 8 n LCM a, b, c, :::: cacoa i m:c:m: fra i numeri a, b, c, ::::. Per esempio:lcm 4, 6, 14 daá 84 n SUM (espressione, variabie, a, z, p) cacoa a somma dei numeri dati mediante 'espressione scritta come primo parametro, che contiene a variabie indicata a secondo parametro, attribuendo a tae variabie come primo vaore a e come vaore finae 58 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

59 z, aumentando con passo p; se i passo eá 1 questo parametro puoá essere omesso. Per esempio: SUM (x ^ 1, x, 1,9, cacoa a somma dei numeri che hanno a forma x 1, nea variabie x, attribuendo iniziamente a x i vaore 1, aumentando di unitaá tae vaore (i passo eá ) fino a raggiungere i vaore finae 9. In sostanza vengono generati i numeri per x ˆ 1! 1 1 ˆ 0 per x ˆ! 9 1 ˆ 8 per x ˆ 5! 5 1 ˆ 4 per x ˆ 7! 49 1 ˆ 48 per x ˆ 9! 81 1 ˆ 80 e di essi si cacoa a somma: ˆ 160 n PRODUCT (espressione, variabie, a, z, p agisce in modo anaogo aa funzione SUM, ma cacoa i prodotto dei numeri che vengono generati. Per esempio: PRODUCT (a 1, a,,6 cacoa i prodotto dei numeri generati da'espressione a 1 nea variabie a, a partire da a ˆ fino ad a ˆ 6, con passo 1 percheâ i parametro de passo eá stato omesso; i risutato che viene restituito eá Le funzioni SUM e PRODUCT si possono attivare anche con e icone P e Q seguendo poi e istruzioni dee finestre di diaogo. Esercizi 1. Usando 'appropriata funzione di Derive, stabiisci quai fra i seguenti numeri sono primi: Quae funzione eá utie per stabiire se due numeri sono primi tra oro? Usaa per stabiire quai fra e seguenti coppie di numeri o sono:, 11 6, 9 44, 14 1, 8 Utiizza e funzioni di cacoo appropriate per rispondere ae richieste.. Cacoare a fattorizzazione dei numeri 718, 84, Cacoare i primi 10 mutipi de numero Cacoare a somma dei primi 15 mutipi de numero. 6. Cacoare a somma dei quadrati dei primi 7 numeri interi. 7. Cacoare i prodotto dei primi 5 numeri primi. Usando in modo opportuno e parentesi tonde, scrivi e seguenti espressioni e sempificae ( : ) : Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 59

60 Matematica e storia Aa conquista dei numeri I concetto di numero eá presente in motissime cuture fin dai tempi piuá antichi, anche se iniziamente presso i popoi primitivi ci si imitava adenumerare oggetti, per esempio segnando dee pietre o incidendo tacche su pezzi di egno; iniziamente poi esistevano simboi soo per indicare numeri piccoi, uno, due, forse tre, ma poi gi oggetti diventavano moti. La tribuá dei Piraha, che vive in piccoi gruppi di 10, 0 individui sue rive de fiume Maici nea foresta amazzonica brasiiana, ancora oggi conta soo fino a e a oro ingua non possiede nomi per atri numeri. E' in ogni caso piuá probabie che a'inizio 'uomo fosse copito piuá dae differenze che dae somigianze: era sicuramente piuá facie cogiere a differenza fra una pecora e un gregge che non a simiaritaá fra una pecora e un sasso, una pecora e una tacca su egno. A poco a poco, peroá, questa osservazione dee differenze condusse anche a riconoscimento dee anaogie quantitative; un animae, un frutto coto da un abero, una pecora hanno quacosa in comune, i fatto di essere una soa entitaá; cosõá come una coppia di upi, due gemei, una pecora edi suo agneo hanno in comune i fatto di essere una coppia di eementi. Dopo questa scoperta 'uomo comincioá adutiizzare metodi di contare segnando tacche su ossa o pezzi di egno, senza tuttavia dare dei nomi ai numeri o inventare simboi che i rappresentino; 'invenzione dee scritture matematiche caratterizza infatti soo e prime grandi civitaá, dove i sistemi numerici rispondono a finaitaá di ordine amministrativo e reigioso. Le piuá antiche testimonianze di questo modo di contare risagono a piuá di 0000 anni prima di Cristo. A museo di Bruxees si trova 'osso Ishango, cosõá chiamato da uogo de suo ritrovamento in Africa, e databie attorno a 0000 a.c.; questo osso riporta tre serie di intaccature e suggerisce giaá una primordiae idea di motipicazione e divisione per. Nea Repubbica Ceca eá stato ritrovato un osso di upo risaente a 0000 a.c. che presenta due serie di intaccature distribuite in gruppi di cinque. La popoazione Inca usava un sofisticato metodo basato sui nodi, i quipu. Un quipu eá formato da un sostegno a quae sono appese cordicee di diversi coori (ogni coore aveva un significato particoare) e con vari tipi di nodi, che partono da un unico punto comune o messe paraeamente fra oro (figura 1). Figura 1 I nodi che si trovano a'estremitaá inferiore dea cordicea rappresentano e unitaá, piuá sopra ci sono e decine, piuá in ato ancora e centinaia e cosõá via fino a rappresentare e decine di migiaia; c'era anche un equivaente deo zero, rappresentato da un intervao senza nodi (figura ). Per eggere a cordicea si cominciava da'ato e, poicheâ pochi erano in grado di decifrare un quipu, questo dava potere e garantiva segretezza. Figura I riconoscimento de numero come proprietaá intrinseca di un insieme di oggetti da una parte e, successivamente, o sviuppo de inguaggio da'atra, diedero un contributo essenziae a sorgere e ao sviupparsi de pensiero matematico astratto. Paraeamente, a nascita di societaá organizzate e a trasformazione de'uomo da nomade a sedenta- 60 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

61 rio, da cacciatore ad agricotore, aumentarono a necessitaá di conoscere megio 'ambiente (ad esempio per determinare i periodo de'anno piuá adatto aa semina o aa mietitura, i cici dee grandi piogge e dee piene dei fiumi, etc.). CioÁ comportoá i fiorire de'astronomia per misurare in modo preciso i tempi de'anno, con a conseguente creazione dei primi caendari. Anche a crescita degi insediamenti umani, a formazione di cittaá e stati, con popoazioni, eserciti, patrimoni di grandi proporzioni, rese indispensabie 'eaborazione di sistemi numerici piuá sofisticati. Si sviupparono cosõá presso i vari popoi diversi modi di scrivere i numeri, capaci di rappresentare anche numeri moto grandi. Adesempio gi Egiziani usavano una numerazione decimae che faceva uso dei simboi iustrati in figura. afabetico, che utiizzava e ventiquattro ettere de'afabeto piuá atre tre cadute in disuso (stigma, coppa, sampi) (figura 5). Figura 5 Simboi dea numerazione greca Figura Simboi dea numerazione egizia Per scrivere un numero si servivano di un sistema additivo, in cui ogni simboo poteva essere ripetuto fino a nove vote. In figura 4 sono riportate e scritture dei numeri 14 e 78. Figura 4 Quando i numero superava i mie, si ricominciava daa prima ettera facendoa peroá precedere da un indice posto in basso. In figura 6 puoi vedere a scrittura dei numeri 74, 59, 497 e 168. Figura 6 Scrittura greca di acuni numeri I Greci possedevano tre sistemi di numerazione in base dieci: i primo serviva ai mercanti per i commercio edusava puntini o trattini per indicare e unitaá, che venivano raggruppate in gruppi di 10; i secondo veniva usato per e epigrafi (iscrizioni su edifici, tombe, etc.) ed ogni numero era indicato con 'iniziae de suo nome; i terzo era un sistema Non deve meravigiare che proprio i Greci, cosõá progrediti nea geometria (ancor oggi nee scuoe si studia a geometria eucidea, e cui basi vennero poste da Eucide ne 00 a.c.) usassero un sistema di scrittura dei numeri cosõá compesso e cosõá poco efficace. Infatti, a geometria apparteneva a campo dea scienza ed era quindi concepita prevaentemente come gioco inteettuae privo di appicazioni pratiche, mentre e tecniche di cacoo venivano considerate egate aa sfera pratica dei commerci e quindi trascurate dagi inteettuai. I sistema di numerazione usato dagi antichi Romani probabimente deriva da sistema etrusco. E Á sufficiente paragonare i due sistemi numerici per notare e caratteristiche comuni. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 61

62 Figura 7 L'abaco Rispetto a questo e ai precedenti, questo sistema introduce peroá dee novitaá; infatti per scrivere i numeri viene usata anche a sottrazione otre a'addizione. CosõÁ i numero quattro si indica con IV percheâ i simboo I messo a sinistra de V sta a significare che i numero uno viene sottratto a numero cinque; i numero sei invece, in romano VI, ha i simboo de'uno a destra con una notazione additiva; quattrocento si scrive CD, cioeá cinquecento meno cento, mieseicentocinquantatre si scrive MDCLIII. Anche a simboogia romana, come quea egiziana o greca, era peroá di uso compicato quando si trattava di effettuare cacoi. Per cacoare, i popoi antichi, o megio gi antichi mercanti, si servivano de'abaco, una tavoetta di egno suddivisa in coonne, sue quai si ponevano dei sassoini, oppure un supporto con acune asticee sue quai si infiavano degi aneini (figura 7). L'abaco funziona un po' come i paottoiere. Per capirne i funzionamento immaginiamo che e asticee siano ordinate da destra verso sinistra e che i sistema di numerazione sia queo in base dieci (ne'antichitaá i popoi usavano diverse basi di numerazione). Se pensiamo di rappresentare con degi aneini e unitaá su ogni asticea, i numero 14 avraá aneini su'asticea piuá a destra, 4 aneini su quea a sinistra piuá vicina, 1 aneino sua successiva e aneini su quea dopo ancora. Eseguire un'addizione con un abaco eá abbastanza sempice: basta infiare gi aneini sue asticee corrispondenti, facendo attenzione che su un'asticea non ce ne siano piuá di 9, percheâ 10 aneini formano 1 aneino de'ordine superiore. Se ad esempio, dopo aver eseguito 'addizione, un'asticea avesse 1 anei, se ne dovranno togiere 10 e aggiungerne uno su'asticea immediatamente a sinistra che rappresenta e unitaá di ordine superiore (figura 8). In modo anaogo si procede per eseguire una sottrazione. L'abaco continuoá adessere usato fin ne Medioevo, quando venne progressivamente sostituito da un nuovo ed importantissimo sistema di numerazione: a cosiddetta numerazione "araba" che ancora oggi utiizziamo. Si tratta di un sofisticato sistema posizionae: ai numeri, cioeá, vengono fatti corrispondere dei simboi, che assumono vaori diversi secondo a posizione che occupano. CosõÁ, in base decimae, significa «unitaá» se eá coocato Figura 8 Un'addizione con 'abaco 6 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

63 a'estrema destra di un numero, oppure «decine» se eá coocato nea seconda posizione da destra (come adesempio ne numero 4) e cosõá via. I sistema corrispondeva concettuamente a queo adottato da'abaco, ma era piuá perfezionato, percheâ sostituiva simboi astratti ae fie di oggetti concreti, rendendo i cacoi piuá rapidi ed aprendo a possibiitaá di grandi sviuppi dea teoria matematica. Questo tipo di scrittura rappresentoá quindi una autentica rivouzione: importato dagi Arabi ne decimo secoo da'ndia, grazie aa sua praticitaá d'uso, si diffuse ben presto in tutta Europa. Iniziamente esso fu usato a'interno de sistema de'abaco. Si racconta che i futuro Papa Sivestro II avesse fatto coniare dei gettoni che riportavano i simboi dee cifre aora in uso, in modo da poteri riportare su'abaco senza piuá bisogno dee tacche di incisione o dei sassoini. Se, ad esempio, si doveva rappresentare i numero otto su una coonna de'abaco, bastava porvi sopra i gettone con i simboo de'otto. Un sistema, dunque, moto simie a queo moderno, ma con una differenza importantissima: non prevedeva ancora un simboo per rappresentare o zero ed era quindi inscindibie da'utiizzo de'abaco. Soo successivamente si diffuse 'utiizzo deo zero, un simboo particoare in quanto rappresenta una non-quantitaá, ma, a contempo, indispensabie per "costruire" grandi numeri. Anche a "conquista" deo zero, dovuta a sua vota aa grande civitaá indiana ed aa mediazione araba, fu una conquista difficie: poicheâ i numeri erano stati inventati per contare, sembrava assurdo dover introdurre un simboo per contare "niente". L'introduzione deo zero consentõá di fare a meno de'abaco e permise di scrivere numeri anche moto grandi con un imitato numero di simboi ed una scrittura ridotta. Pensa a come si scriverebbe unmiioneottocentoventinovemiasettecentotrentadue in numeri egiziani o romani. La paroa «zero», sembra derivi da quea indiana «sumpa», che fu tradotta in arabo con «sifr», da cui viene a paroa «aá fra»; nea traduzione atina divenne «zephirum» ed infine «zero». Ma otre aa espansione quantitativa dei numeri, a nuova numerazione consentõá anche, e soprattutto, una straordinaria evouzione quaitativa; divenne possibie aprire nuovi orizzonti dea matematica (numeri razionai, irrazionai, agebra, etc.), i che a sua vota pose e basi per rivouzionari sviuppi scientifici e fiosofici. Ma vediamo ora come si faceva ne passato ad eseguire un cacoo, per esempio una motipicazione. Un modo curioso risae a XVI secoo e viene detto metodo per graticoa. Supponiamo di dover cacoare Prepariamo uno schema di 1 casee divise a metaá da una diagonae e, esternamente adesso, in corrispondenza di ciascuna riga e coonna, scriviamo e cifre dei numeri da motipicare: In ogni casea, separando a cifra dee decine da quea dee unitaá, scriviamo i prodotto dei numeri sua riga e sua coonna corrispondente: per esempio nea prima casea scriveremo 18 mettendo 1 nea metaá superiore e 8 in quea inferiore; o schema che si ottiene eá i seguente: Sommiamo adesso e cifre che si trovano sua stessa diagonae a partire da'angoo in basso a destra e riportando e decine aa diagonae successiva. Se ora eggiamo e cifre ottenute accostandoe una a'atra partendo daa cifra in ato a sinistra, otteniamo i prodotto cercato, cioeá Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 6

64 I numeri primi, a crittografia e atro I numeri primi, come giaá sappiamo sono quei numeri naturai maggiori di 1 che sono divisibii soo per se stessi e per 'unitaá; i primo di essi eá, che eá anche 'unico numero primo pari, gi atri sono tutti dispari:, 5, 7, 11, 1, 17, 19,... I puntini sono d'obbigo percheá i numeri primi sono tanti, tantissimi, addirittura infiniti; purtroppo peroá non esiste una regoa che i possa generare tutti, o megio, se una regoa c'eá, questa non eá ancora stata trovata. Ci sono peroá dei metodi, acuni sempici, atri piuá compessi, che permettono di generarne un po'; fra tutti i criveo di Eratostene eá sicuramente queo piuá conosciuto e forse ne avrai giaá sentito parare. Funziona cosõá: si scrive a successione dei primi n numeri naturai a partire da ; per ragioni ovvie di spazio scriviamo soo i primi Eiminiamo tutti i mutipi di, escuso i che eá primo Eiminiamo adesso tutti i mutipi di, escuso i che eá primo Proseguendo neo stesso modo, eiminiamo i mutipi de primo numero che eá ancora nea tabea dopo queo che eá stato considerato per utimo, fino a che non si eimina piuá acun numero. Ecco i passaggi: si eiminano i mutipi di si eiminano i mutipi di si eiminano i mutipi di A questo punto, poicheâ in questo passaggio non abbiamo fatto piuá eiminazioni, a tabea contiene soo numeri primi. Ci sono atri modi per ottenere numeri primi, basati su dee formue, che peroá funzionano fino a un certo punto; e piuá note sono: n a formua di Fermat Fn ˆ n 1 che genera numeri primi soamente per n ˆ 1,,, 4: F 1 ˆ 1 ˆ 5 F ˆ 4 1 ˆ 17 F ˆ 8 1 ˆ 57 F 4 ˆ 16 1 ˆ 6557 ma giaá per n ˆ 5 i numero ottenuto non eá primo: F 5 ˆ 1 ˆ ˆ n e formue Fn ˆ n n 41 e Fn ˆ n 79n Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

65 che generano parecchi numeri primi: a prima funziona per tutti gi n < 40, a seconda per tutti gi n < 80, ma poi vengono generati numeri composti. Sono stati poi dimostrati diversi teoremi sui numeri primi, acuni di sempice comprensione, atri invece piuá difficii per e nostre attuai conoscenze; per esempio si sa che: n ogni numero primo si puoá scrivere nea forma 4n 1 oppure 4n 1, dove n puoá essere un numero naturae quasiasi. Questa peroá non eá una formua per generare numeri primi percheâ, per esempio, se n ˆ 1e due formue danno rispettivamente i numeri e5,senˆi numeri generati sono 7 e 9 dei quai peroá 9 non eá primo. Essa afferma tuttavia che ogni numero de quae si sa giaá che eá primo si puoá scrivere come 4n 1 oppure 4n 1; per esempio: 1 ˆ ˆ ˆ Ma i probema piuá importante eá un atro: dato un numero quasiasi (ovviamente dispari) come si fa a sapere se eá o non eá primo? E ancora, se un numero non eá primo, come si fa a trovare i fattori dea sua scomposizione? Un metodo moto sempice eá queo basato sue divisioni; se vogiamo sapere se un numero n eá primo cominciamo a dividero prima per, poi per, poi per 4, per 5, per 6 e cosõá via, ameno fino a n ; se nessuna dee divisioni ha dato resto zero possiamo concudere che i numero eá primo. In reataá non occorre arrivare fino a n, basta fermarsi a n ; per esempio, per decidere con que- p sto metodo se eá primo basta fare p ,cioeÁ 457 divisioni. Se poi da questi numeri togiamo tutti quei pari che sicuramente non sono primi percheâ divisibii per, i numero di divisioni si riduce ancora ma eá sempre un numero abbastanza eevato. E' pur vero che i cacoi i fa un computer e che quindi non ci dovremmo preoccupare piuá di tanto. Pensiamo peroá adun numero grande, per esempio n ˆ 17 1 che eá un numero che ha 9 cifre; vi- p sto che n eá de'ordine di 10 19, quanto impiegherebbe un computer per fare divisioni? Un computer con un processore veoce puoá fare circa operazioni a secondo e, se ne deve fare impiega un tempo pari a : ˆ 10 9 secondi, cioeá 10 9 : ,7 anni; un po' troppo tempo! I test di primaitaá che usano oggi i computer sono moto piuá efficienti di questo (e moto piuá compessi per e nostre conoscenze) edin effetti se imposti a funzione prime 17 1 con Derive, basta premere i tasto INVIO per avere a risposta immediata che si tratta di un numero primo; fra parentesi, che questo numero eá primo si sa da 1876! Una curiositaá: moti numeri primi hanno a forma n 1 e sono detti numeri di Mersenne. I numeri primi piuá grandi che oggi si conoscono sono proprio due numeri di Mersenne: scoperto ne Dicembre de 00 da Michae Shaper, a'epoca uno studente di ingegneria di 6 anni, e che ha ben 6040 cifre (a sua scrittura per esteso sarebbe unga 0 km!) scoperto da Josh Findey ne Maggio de 004 Per uteriori aggiornamenti puoi fare una ricerca in Internet usando come motore di ricerca a paroa Mersenne. Ma percheâ eá cosõá importante scoprire se un numero eá primo e, se non o eá, trovare a sua scomposizione? Una dee appicazioni dei numeri primi riguarda a crittografia, cioeá a conversione di un'informazione in codice. La necessitaá di comunicare in modo che sia mantenuta a segretezza dei messaggi eá di grande attuaitaá e riguarda tutti i rami de'economia e dea poitica di un Paese: banche, industrie, governi, per ragioni di sicurezza, hanno spesso a necessitaá di inviare informazioni che non devono essere decifrate da nessun atro otre i destinatario. Anche a posta eettronica funziona in questo modo: un messaggio da inviare viene scomposto in varie parti da chi o spedisce mediante una chiave segreta; chi o riceve, conoscendo i codice, o ricompone. La chiave eá costituita da un numero di mote cifre, ottenuto come prodotto di numeri gran- Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 65

66 di. Un intercettatore che voesse interpretare i messaggio, non avendo a chiave, dovrebbe cercare tutte e combinazioni di numeri primi tai che i oro prodotto sia proprio i numero chiave. Otre ai numeri primi, i matematici si sono interessati anche adatri tipi di numeri naturai che presentano caratteristiche curiose. Consideriamo a funzione f n che adogni numero naturae n > 1 associa a somma dei suoi divisori, escuso i numero stesso e poniamo f 1 ˆ 1. Per esempio f 8 ˆ 1 4 ˆ 7 f 1 ˆ ˆ 16 Appichiamo adesso a funzione f piuá vote, ogni vota a risutato ottenuto daa sua precedente appicazione. Per esempio, se consideriamo i numero 15 come primo numero abbiamo che: f 15 ˆ 1 5 ˆ 9 f 9 ˆ 1 ˆ 4 f 4 ˆ 1 ˆ f ˆ 1 f 1 ˆ 1 Da questo punto in poi a funzione f genera sempre i numero 1. Osserviamo che se i numero n eá primo, a funzione genera soo i numero 1; atri casi particoari si verificano quando i numero di partenza daá origine ad un cico di ordine. Per esempio, consideriamo i numero 0: f 0 ˆ ˆ 84 f 84 ˆ ˆ 0 E' evidente i rimando continuo da'uno a'atro numero. Quando due numeri si comportano come 0 e 84, cioeá quando a somma dei divisori de primo daá i secondo e viceversa, si dice che sono numeri amici. Fra i numeri naturai, e coppie di numeri amici non sono mote; finora se ne conoscono soo un centinaio dee quai 0, 84 eá a piuá piccoa. Un atro caso significativo che puoá capitare eá queo in cui a funzione genera sempre i numero di partenza. Per esempio: f 6 ˆ 1 ˆ 6 f 8 ˆ ˆ 8 Numeri di questo tipo si dicono perfetti. Adoggi si conoscono soo trenta numeri perfetti, di cui soo i primi cinque sono reativamente "piccoi": 6, 8, 496, 818, 5506; 'utimo numero perfetto che si conosce eá composto da cifre! I numeri perfetti non sono soo una curiositaá; a rapiditaá con cui un cacoatore riesce ad individuari eá una misura dea sua potenza di cacoo. 66 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

67 1 Dati tre numeri a, b, c, supponiamo che i massimo comune divisore fra essi sia 1. Aora: a. vi eá una coppia di numeri primi tra oro b. i prodotto dei tre numeri eá uguae a oro minimo comune mutipo c. fra i tre numeri non vi eá acuna coppia di numeri pari d. ameno uno dei tre numeri eá mutipo di e. e concusioni precedenti sono tutte errate. e: Š Quae dei seguenti insiemi di numeri interi contiene ameno un quadrato perfetto maggiore di 1? a. I numeri che terminano per. b. I numeri che terminano per 6. c. I numeri a cui somma dee cifre eá uguae a 48. d. I numeri formati da un numero pari di cifre tutte uguai a 9. e. I numeri che terminano per 001. e: Š Un caciatore riceve un compenso annuae di E per i 007. La durata de tempo in cui egi guadagna E 1000 eá: a. minore di mezz'ora b. compresa tra mezz'ora e un'ora c. compresa tra un'ora e due ore d. compresa tra due ore e quattro ore e. maggiore di quattro ore. c: Š 4 Se a e b sono due numeri tai che a b < 0eab > 0, quae dee affermazioni seguenti eá vera? a. a > 0eb > 0 b. a < 0eb < 0 c. a > 0eb < 0 d. a > b e. b > a b: Š 5 I numero eá uguae a: a b c d e b: Š 6 Su pianeta Uru e settimane durano 8 giorni, i mesi (tutti indistintamente) durano 4 giorni e in un anno ci sono 14 mesi. Quando i primo giorno de'anno cade di Domenica (utimo giorno dea settimana) si ceebra a Festa de Pianeta. Sapendo che oggi suurueá a Festa de Pianeta, tra quanti giorni saraá a prossima? a. 8 b. 476 c. 95 d. 148 e c: Š 7 Ao stadio gi spettatori entrano attraverso cinque cancei, posti uno di fianco a'atro, secondo questa regoa: viene fatta entrare una persona da primo canceo, poi due persone da secondo canceo, poi tre persone da terzo, quattro da quarto e infine cinque persone da quinto. Poi si ricomincia procedendo ao stesso modo e si va avanti fino a che non sono entrati tutti. Sapendo che Raffaee saraá a 007-esima persona ad entrare, da quae canceo entreraá? a. da primo b. da secondo c. da terzo d. da quarto e. da quinto e: Š 8 Quanti sono i numeri di quattro cifre a cui cifra iniziae eá 1 e che hanno ameno tre cifre uguai fra oro? a. 6 b. 7 c. 9 d. 40 e. nessuna dee precedenti b: Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 67

68 9 Aa gara di pesca di Borgio Verezzi, i punteggio viene attribuito assegnando ai concorrenti 50 punti per ogni pesce, piuá 1 punto per ogni grammo di pesce pescato. Jacob ha preso 19 pesci per un peso totae di 40 grammi. Mirko, invece, aveva preso 14 pesci per un peso totae di 1860 grammi ma, proprio un attimo prima de fischio di fine gara, riesce a prendere pesci deo stesso peso e si ritrova con o stesso punteggio di Jacob. Qua eá i peso in grammi di uno dei due utimi pesci presi da Mirko? 60 grammiš 10 Questo regoo contiene 10 numeri, non necessariamente distinti, scritti uno per casea (due numeri sono giaá scritti) La somma dei tre numeri scritti nee tre casee di sinistra eá uguae a 11. Ogni vota che si sposta a finestrea verso destra di una casea, a somma dei tre numeri scritti a'interno aumenta di una unitaá. Competa e casee vuote Š 11 Prendi tutti i numeri dispari minori di 005 e motipicai tra di oro. Con che cifra termina i risutato di questo prodotto? 5Š 1 Nea somma di potenze a b c d e f bisogna sostituire e ettere a, b, c, d, e, f con i numeri 1,,, 4, 5, 6, (non necessariamente in questo ordine, ma evitando ripetizioni). Possiamo ottenere ad esempio Qua eá i piuá grande risutato che si puoá ottenere? 15708Š 1 Nando adora giocare a figurine con i suoi amici. LunedõÁ ne ha vinte. MartedõÁ ne ha vinte atre. MercoedõÁne ha vinte atre. E cosõávia: ogni giorno dea settimana ne vince atre, i tripo di quee che aveva vinto i giorno precedente. CosõÁ, sabato, ne vince ancora, arrivando a 008 figurine. Quante figurine aveva unedõá, prima di vincere e sue prime figurine? 916Š 14 6 concorrenti che indossavano dei pettorai numerati da 1 a 6 hanno partecipato ad una corsa. I corridori con pettorai pari hanno ottenuto a'arrivo dei piazzamenti dispari. I concorrenti recanti dei numeri mutipi di si sono cassificati in una posizione i cui numero non eá divisibie per. Infine, i corridori recanti dei numeri superiori a hanno conquistato e prime tre posizioni. Qua eá 'ordine d'arrivo? Š 15 Gi scienziati dea NASA si coegano ogni giorno con i oro robot che si trova su pianeta Marte e anciano un appeo radio ne momento in cui, per i robot, sorge i Soe. La rotazione di Marte su se stesso eá un po' meno veoce di quea dea Terra e quindi una giornata su Marte (da sorgere de soe di un giorno a queo successivo) dura 5 ore. L'appeo radio dea NASA di unedõá febbraio ha avuto uogo ae 9 de mattino. Qua eá i giorno successivo in cui gi scienziati hanno potuto anciare i oro appeo di nuovo ae 9 de mattino? [7 febbraio] 16 Quanto vae i seguente numerone n? n ˆ A. n ˆ B. n ˆ C. n ˆ D. n ˆ ˆ Š 17 I sig. Dubbio, che fa i rappresentante, abita sua strada statae n. 7. Oggi, partendo da casa, per vedere un ciente, ha fatto un primo tragitto di 5 km. Successivamente ha fatto atri tragitti, rispettivamente di 79, 7 e 9 km. Purtroppo non si ricorda in quae verso ha compiuto ciascuno di questi percorsi. "In ogni modo", pensa, "sono ontano da casa, a piuá, di 168 km". Quanto dista, invece, a minimo da casa? (dai a risposta in km). 8 kmš 18 (a, b) eá una coppia di numeri interi, positivi o negativi, con a minore di b. Inotre i prodotto ab daá come risutato 8. Quante sono e coppie che possono essere cosõá descritte? Scegi una dee seguenti tre risposte: A: ; B: 4; C: neâ neâ 4. B : 8; 1, 1; 8, 4;, ; 4 Š 68 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

69 19 Un aereo che parte ae 8.00 da Mathvie (ora ocae) arriva a mezzogiorno deo stesso giorno a Mathcity (ora ocae). A ritorno, invece, se 'aereo parte ae (ora ocae), arriva in serata ae 0.00 (ora ocae). La durata de viaggio eá a stessa, ma e due cittaá non sono evidentemente situate neo stesso fuso orario. Quando eá mezzogiorno a Mathcity, che ore sono a Mathvie? 1:00Š 0 La professoressa di itaiano entra in una casse di 4 studenti, tutti presenti, per un'ora di interrogazione. Decide di interrogare gi studenti a cui corrisponde su registro un numero n che sia primo e tae che anche n sia primo. Quanti studenti interroga? a. 1 b. c. 4 d. 7 e. 9 a: Š 1 Qua eá a seconda cifra, partendo da sinistra, de numero ? a. 0 b. 1 c. d. e. 4 b: Š La ruota anteriore dea bicicetta di Chiara ha i raggio di 8cm, mentre a ruota posteriore ha i raggio di 16cm. A termine di una gita in bicicetta, a ruota anteriore ha fatto giri; quanti ne ha fatti a ruota posteriore nea stessa gita? a b c d e c: Š In una casse si eá svota una verifica di matematica e i voto medio eá stato 7. Inotre i voto medio dei maschi eá stato 6,5 mentre queo dee femmine eá stato 8. Se i maschi dea casse sono 10 quante sono e femmine? a. 4 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11 b: Š 4 Aa fine de'anno scorso in una scuoa si eá dipomato i 18% degi studenti di tutta a scuoa e un atro % degi studenti si eá trasferito in atre scuoe. Quest'anno si sono iscritti aa scuoa 84 nuovi studenti e ora i numero di studenti eá uguae a queo deo scorso anno. Quanti studenti ha a scuoa? a. 4 b. 400 c. 500 d. 55 e. 600 b: Š 5 Quae dei seguenti numeri eá un divisore di 4 4 5? a. 4 b. 45 c. 5 d. 85 e. 105 b: Š 6 Nea grigia a ato x eá un numero da determinare. Si sa che eá possibie scrivere un numero in ogni cea vuota dea grigia in modo che a somma dei tre numeri che si trovano su quaunque riga, coonna o diagonae, sia sempre a stessa. Aora x vae: a. 0 b. 1 c. d. 6 e. 9 6 x 4 5 a: Š 7 Qua eá a cifra dea unitaá de numero 6666? a. 1 b. c. 6 d. 8 e. 9 d: Š 8 Disegno un triangoo equiatero e un esagono regoare inscritti nea stessa circonferenza. Qua eá i rapporto tra 'area de triangoo e quea de'esagono? p p a. b. c. d. e. a: Š 6 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI 69

70 Omaggi nataizi o beneficenza? Un'azienda ha deciso che quest'anno, per Natae, non faraá omaggi nataizi ai propri cienti e regaeraá soo un panettone ai propri dipendenti; devoveraá invece una certa percentuae de proprio utie d'esercizio piuá una somma pari aa spesa de'anno precedente per gi omaggi a un ente no profit che si occupa di assistenza a'infanzia. I 64 dipendenti, da parte oro, hanno chiesto aa SocietaÁ di trattenere una parte dea oro tredicesima da destinare ao stesso ente. Poiche non eá possibie conoscere a momento 'utie de'anno in corso, si decide di vautare a somma da destinare in beneficenza su queo de'anno precedente che, arrotondando ae migiaia, eá stato di E ; 'anno passato poi 'azienda aveva speso compessivamente E 8650 per gi omaggi nataizi. L'importo dea tredicesima eá diverso per ciascun dipendente, tuttavia si puoá considerare che, in media, ciascuno di essi dovrebbe ricevere E Se 'Azienda decide di accantonare, otre aa somma corrispondente agi omaggi Nataizi, '1,7% de'utie, e i dipendenti o 0,6% dea tredicesima, qua eá a somma, arrotondata a'euro che verraá destinata aa beneficenza? Se 'Azienda e i dipendenti, anzicheâ una percentuae, decidono di accantonare una frazione pari ai rispettivamente de'utie e dea tredicesima, quae somma viene data a'ente no profit se: a. si approssima a frazione per difetto a meno di 0,001 b. si approssima a frazione per eccesso a meno di 0,00001 c. si usa a frazione senza arrotondamenti. Supponiamo che i dipendenti decidano di rinunciare, otre che a'1% dea propria tredicesima, anche a panettone, i cui vaore di acquisto eá di E 4,5. Se 'Azienda contribuisce per '1,85% de'utie, quanto riceveraá 'ente arrotondando a'euro? 4 L'ente che riceveraá i denaro eá una ONLUS, cioeá una organizzazione senza fini di ucro; e eggi itaiane prevedono che e donazioni verso questo tipo di societaá possano essere dedotte da reddito fino ad un massimo di E Sempificando e cose, se 'Azienda versa i % de'utie d'esercizio e 'aiquota di tassazione eá de 7%, quanto pagheraá di tasse in meno rispetto a quee che avrebbe dovuto pagare senza a donazione? 5 Un comitato composto da due rappresentanti de'azienda, due degi operai e due degi impiegati decide che a somma raccota, pari a E 814, sia devouta, in parti uguai, a due associazioni, una che opera in Africa e 'atra che opera ne sud-est asiatico. La vauta in Euro deve essere convertita nea moneta di que Paese; se: ne Paese africano a moneta corrente eá i Sanbi e un Sanbi vae E 0,087 in Asia a moneta corrente eá Thabi e un Thabi vae E 0,185 quae somma di denaro riceveranno e due Associazioni nei rispettivi Paesi? 1 E a. E 8 61,50; b. E 8 849,75; c. E 8 859,6 E 16 4 E Sanbi; Thabi 70 Tema - Cap. 1: OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

71 CAPITOLO I sistemi di numerazione 1. I CAMBIAMENTI DI BASE CON DERIVE Derive avora normamente con i numeri in base decimae; tuttavia si possono operare cambiamenti di base ed eseguire cacoi anche nee atre basi. Occorre innanzi tutto distinguere fra: impostazioni di Input, cioeá quee mediante e quai vengono immessi i numeri impostazioni di Output, cioeá quee mediante e quai i numeri vengono scritti nea finestra di Agebra. Per trasformare i numeri da una base a'atra occorre gestire queste due impostazioni mediante i comando Opzioni/ModaitaÁ. Seezionando tae comando si apre una finestra con tre schede: Input, Sempificazione, Output; ciccando sua scheda Input oppure Output e successivamente su pusante Base hai a possibiitaá di scegiere fra a base binaria, ottae, decimae, esadecimae rispettivamente per i dati in ingresso (Input) e in uscita (Output). Puoi comunque impostare i vaori di Input-output con numeri diversi da quei proposti per defaut. Come trasformare un numero decimae in atra base La casea Base dea finestra di Input deve essere impostata Decima (di soito eá 'opzione di defaut), mentre quea di Output deve essere impostata nea base desiderata. Se a base eá una di quee proposte da Derive, basta ciccare su di essa, atrimenti si deve indicare i numero in cifre (per esempio o 1). Dopo aver confermato e scete fatte con i pusante OK, nea finestra di Agebra compare 'avviso de cambiamento di base per i dati di output; per esempio, se hai sceto a base binaria compare i messaggio: OutputBase : = Binary Se a base non eá una di quee proposte, ma eá per esempio, i messaggio eá : OutputBase : = 10 percheâ, come sappiamo, in base tre si scrive 10. In aternativa a'uso di Opzioni/ModaitaÁ, puoi scrivere direttamente i comando OutputBase : = n dove n rappresenta a base scritta in base decimae Quaunque numero in base dieci (a modaitaá di Input eá ancora in base dieci) si scriva nea riga di inserimento viene adesso rappresentato nea finestra di Agebra nea base seezionata; per esempio, se a base eá tre: riga di inserimento: 14 finestra di Agebra: 101 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE 71

72 Come trasformare un numero da una base n quasiasi aa base dieci Le modaitaá di conversione sono anaoghe a caso precedente; questa vota peroá dovremo indicare che a base di Input eá n e che quea di Output eá decimae. Per esempio, se vogiamo convertire un numero daa base binaria a quea decimae, dovremo impostare come binary a scheda di Input de comando Opzioni/ModaitaÁ e come Decima quea di Output, oppure dare i due comandi InputBase :ˆ e OutputBase :ˆ 10 Una precisazione importante. Quando un numero in base maggiore di dieci, per esempio esadecimae, ha come prima cifra una ettera, occorre far precedere tae numero daa cifra zero atrimenti a prima ettera viene interpretata come una variabie; per esempio: per inserire i numero 7ABsedici si scrive 7AB per inserire i numero CDsedici si scrive 0CD Come fare cacoi nee diverse basi Per eseguire addizioni, sottrazioni, motipicazioni e divisioni in una base quasiasi, occorre che e modaitaá sia di Input che di Output siano impostate in quea base. Se, per esempio, vogiamo cacoare in base due, gi operandi devono essere introdotti in forma binaria ed i risutato viene restituito in forma binaria: restituisce I CAMBIAMENTI DI BASE CON EXCEL Costruiamo un fogio di avoro di Exce per trasformare un numero daa base decimae in un'atra base quasiasi e viceversa; per seguire megio a preparazione de fogio ti consigiamo di osservare a figura a termine de'esercitazione. Traasciamo 'indicazione di come immettere e parti descrittive e concentriamoci sue formue di cacoo. Da base dieci abasen Sappiamo che per trasformare un numero daa base dieci ad una base n dobbiamo cacoare i quozienti interi ed i resti dee divisioni de numero dato e dei quozienti successivi per n. I quoziente intero ed i resto di una divisione si possono cacoare con e seguenti funzioni di Exce: n QUOZIENTE (a; b) cacoa i quoziente intero dea divisione a : b Per esempio: QUOZIENTE 8; 5 restituisce 7 n INT(espressione) cacoa i vaore intero de'espressione che eá indicata come argomento. Per esempio: INT 8=5 daá come risutato 7 n RESTO(a; b) cacoa i resto dea divisione a : b Dopo aver assegnato i numero da trasformare aa cea B (ne fogio di esempio abbiamo messo 54) e a base aa cea E (abbiamo messo ), per cacoare i primo quoziente ed i primo resto dobbiamo introdurre e seguenti formue: A8: ˆ INT(B/E) cacoo de quoziente intero (oppure QUOZIENTE(B;E)) C8: ˆ RESTO B; E cacoo de resto Le divisioni successive devono terminare quando si ottiene come quoziente zero; occorre dunque usare anche a funzione di seezione SE che abbiamo introdotto ne capitoo di premessa (Introduzione a'uso dei software) e che ricordiamo di seguito: SE(proposizione; istruzione vero; istruzione faso) 7 Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

73 Le funzioni per i cacoo dei quozienti e dei resti successivi sono e seguenti: A9: ˆ SE(A8<>0; INT(A8/$E$ ;} } C9: ˆ SE(A8<>0; RESTO(A8;$E$ ;} } I oro significato eá i seguente: se A8 non vae zero, cacoa i quoziente intero ne primo caso, i resto ne secondo, atrimenti scrivi una stringa vuota. Bisogna adesso copiare e due formue per acune righe in modo da essere sicuri di arrivare a quoziente zero; conviene dunque trascinare i mouse per un certo numero di cee (ne nostro caso fino aa riga 17). Osserva i riferimento assouto aa cea E che contiene a base, cioeá i termine per cui si deve dividere; questo tipo di riferimento eá necessario percheâ, durante a copia, 'indirizzo dea cea che contiene a base non si deve modificare. I riferimento aa cea A8 eá invece reativo percheá i dividendo deve cambiare ogni vota. A questo punto, nee cee dea coonna A troviamo i quozienti successivi, nee cee dea coonna C troviamo i resti che, etti da basso verso 'ato rappresentano i numero nea nuova base. Vi eá peroá un inconveniente: nee cee vuote compaiono una serie di simboi # ripetuti che stanno a significare che i cacoo dei quozienti e dei resti non eá possibie percheâ e cee non contengono numeri. Per evitare tutto questo dobbiamo modificare e istruzioni SE introducendo un uteriore controo sue cee: se a cea considerata non vae zero oppure non eá vuota, aora si procede nea divisione o ne cacoo de resto, atrimenti si riempie a cea con una stringa vuota. La proposizione di cui si deve vautare i vaore di veritaá eá dunque una proposizione composta mediante i connettivo e; con Exce si deve premettere i connettivo ae due proposizioni atomiche in questo modo: E(A8<>0; A8<>} } Modifichiamo dunque e due istruzioni di seezione e copiamoe di nuovo fino ae cee dea riga 17: A9: ˆ SE(E(A8<>0; A8<>} } ; INT(A8/$E$ ;} } C9: ˆ SE(E(A8<>0; A8<>} } ; RESTO(A8; $E$ ;} } A B C D E F G 1 CONVERSIONE DI UN NUMERO DA BASE DIECI AD ALTRA BASE NUMERO 54 BASE 4 5 TABELLA DI CALCOLO 6 7 Quoziente Resto Fai attenzione aa trasformazione in base sedici percheâ nee formue non abbiamo previsto a conversione dei resti otre i 9 nei corrispondenti simboi. Voendo fare cioá occorre inserire una uteriore istruzione di seezione in questo modo: E8: ˆ SE(C8 ˆ 10;}A}; SE(C8=11;}B}; SE(C8 ˆ 1;}C}; SE(C8 ˆ 1;}D}; SE(C8 ˆ 14;}E}; SE(C8 ˆ 15;}F};C8 che significa: quando in C8 trovi 10 aora scrivi A, atrimenti quando in C8 trovi 11 aora scrivi B, atrimenti..., atrimenti quando trovi un vaore diverso da quei eencati ascia i numero che c'eá. Copiando a formua da E9 fino a E17 si ottiene i numero in notazione esadecimae. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE 7

74 Daa base n aa base dieci Costruiamo ora un fogio di avoro per convertire un numero espresso in base n in base decimae; ricordiamo che, per eseguire a trasformazione, si deve ricorrere aa forma poinomiae de numero. Imposta dunque i fogio come indicato nea figura a termine de'esercitazione, inserendo i numero da trasformare e a base in cui eá espresso rispettivamente nee cee B4 e B5 (noi abbiamo trasformato 567 otto ). La TABELLA DEI CALCOLI eá cosõá costruita: n nea riga 8, in corrispondenza di Numero, a partire daa cea C8 fino aa cea J8, abbiamo messo e cifre che compongono i numero, una per ogni cea; sono previsti numeri con un massimo di otto cifre, ma a tabea puoá essere ampiata n nea riga 9, in corrispondenza di Esponenti, abbiamo indicato gi esponenti che compaiono nea scrittura poinomiae de numero, in ordine decrescente n nea riga 10, in corrispondenza di Prodotti, abbiamo cacoato i prodotto tra e cee dea riga 8 e a base eevata a'esponente dee cee dea riga 9: in C10 dobbiamo cacoare C8 (B5^C9), in D10 dobbiamo cacoare D8 (B5^D9) e cosõá via n nea cea C1 abbiamo usato a funzione SOMMA per cacoare a somma dei prodotti dea riga 10. Per questioni di sempicitaá, conviene inserire manuamente i dati dea riga 8; anche quei dea riga 9 possono essere inseriti manuamente, oppure, visto che sono in successione, possiamo usare a seguente procedura: n inserire i vaori 7 e 6 nee cee C9 e D9 e seezionare co mouse e due cee (soito metodo de trascinamento) n spostare i puntatore de mouse ne'angoo inferiore di destra dea zona seezionata (i puntatore si trasforma in una piccoa croce nera), premere i pusante sinistro de mouse e trascinaro fino a coprire a cea J9 n riasciare i pusante. Con questo metodo si genera una successione di numeri che mantiene costante a differenza fra i vaori di due cee vicine; ne nostro caso abbiamo generato a successione dei numeri naturai (decrescente) da 7 a 0. Ti invitiamo ora a competare e formue da inserire nee cee indicate di seguito per competare a tabea C10: = C8... (attenzione a tipo di riferimento sua cea B5) Copia a formua di C10 da... a... C1: = SOMMA(...) Se hai usato e formue appropriate, nea cea C1 devi avere i numero decimae che corrisponde a queo dato in un'atra base. Le cifre dea riga 8 possono anche essere generate con una formua a partire da numero memorizzato nea cea B4. La formua eá a seguente: J8: = INT(RESTO($B$4;10^(J9+1))/10^J9) Tae formua va copiata da I8 a C8. Con essa si cacoa i resto dea divisione de numero dato per 10 e o si divide per 10 0, de vaore ottenuto si cacoa poi a parte intera; in pratica si cacoa quanto vae 'utima cifra de numero. Copiando a formua a ritroso si ottengono, una per ogni cea, e cifre de numero dato. CosõÁ come eá impostato, i fogio di avoro non prevede 'uso dei simboi A, B,..., F dea numerazioni esadecimae; per trasformare un numero in questa base, e formue inserite nea riga 8 non assovono i oro scopo; per non compicare uteriormente a procedura di cacoo, conviene in questi casi inserire manuamente e cifre, facendo attenzione a porre 10 a posto di A, 11 a posto di B e cosõá via. Possiamo anche inserire un controo su numero da convertire per verificare che sia scritto in modo corretto: per esempio 569 in base otto eá un dato errato. Inseriamo aora a seguente formua C11: = SE(C8>=$B$5; }ERRORE};} }) e copiamoa daa cea D11 aa cea J Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

75 Quando nea cea corrispondente dea riga 8 si trova una cifra maggiore o uguae aa base viene segnaato i messaggio ERRORE, atrimenti a cea viene asciata vuota. A B C D E F G H I J 1 CONVERSIONE DI UN NUMERO DA BASE n A BASE DIECI n < 10 4 NUMERO BASE TABELLA DEI CALCOLI 8 Numero Esponenti Prodotti Numero decimae 75 1 Esercizi Risovi i seguenti esercizi con Derive. 1. Usando e opportune impostazioni di Derive, converti i seguenti numeri in base decimae: 0 quattro 1001 tre due A0BD sedici 6104 otto. Converti i seguenti numeri decimai nee basi indicate: 7 in base due 1497 in base sedici 89 in base otto. Esegui e seguenti operazioni mantenendo i risutati nea base indicata: base due A00B + FE6 9C base sedici base otto 1 1 base tre 4. Esegui e seguenti operazioni nee basi indicate, trasformando i risutato in base decimae: base due A479 BD 10C base sedici base otto Risovi i seguenti esercizi con Exce. 5. Progetta un fogio di avoro che, dati due numeri in base binaria, esegua a oro somma e a oro differenza. 6. Esegui una ricerca fra e formue di Exce per eseguire a conversione automatica da numero decimae a binario e viceversa e converti i seguenti numeri: a. da base dieci a base due: b. da base due a base dieci: Trova e formue di Exce che riguardano i passaggio in base esadecimae e ottae e converti i seguenti numeri decimai: Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE 75

76 1 In una certa base di numerazione b, i numero XYZ YXZ eá divisibie per 0 (espresso in forma decimae)quaunque siano e cifre X, Y, Z, di tae sistema di numerazione. Quae tra i seguenti numeri puoá essere i vaore di b? a. 10 b. 5 c. 8 d. 14 e. b:š I membri di una tribuá hanno dieci dita ae mani e nove ai piedi e quindi contano indifferentemente in base 10 o 19. Nea oro cutura matematica, un numero intero positivo eá detto "sacro" se in entrambe e basi si scrive con e stesse due cifre (comprese tra 1 e 9). Quanti sono i numeri sacri? 4Š La rappresentazione in base di un numero a eá Qua eá a settima cifra da sinistra dea rappresentazione di a in base 8? a. b. c. 4 d. 5 e. 6 d:š 4 I messaggio "10110" contiene e tre successioni di tre cifre: 101, 011 e 110. Oggi 'agente 001 deve inviare un messaggio, i piuá corto possibie, che cominci per 001, e che contenga e 8 successioni: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111. Quae puoá essere questo messaggio? [ ; ] 5 "Agente 00, da ora in poi soo e cifre 0 e sono autorizzate nei nostri codici cifrati. CosõÁ, invece di scrivere 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8,..., scriveremo 0,, 0,, 00, 0, 0,, 000,...". Trovare quae saraá a scrittura, con questo codice, de'anno 000. [00000] 6 I numero 445 (scritto in base dieci)risuta uguae a 544 scritto in un'atra base b. Determinate tae base. a. b ˆ 6 b. b ˆ 7 c. b ˆ 8 d. b ˆ 9 d:š Ne mondo di Digiton: contare in modo diverso Ne mondo reae anche e favoe trovano i oro spazio, uno spazio importante, percheâ ai grandi piace raccontare, ai piccoi piace ascotare. Ecco aora una favoa su regno dei numeri. Ne pianeta di Digiton dea gaassia di Andromeda ci sono personaggi assai strani. Si muovono moto veocemente percheâ a posto dei piedi hanno dee rotee; tutti hanno una testa e un cerveo moto sviuppato, sono moto abii nei cacoi e per questo non usano cacoatrici. I Digitonesi sono moto speciaizzati, 'evouzione i ha seezionati in quattro categorie. Ci sono i Tridigi, che hanno due braccia e cui mani hanno tre dita ciascuna. I Bidigi hanno quattro braccia, ma e oro mani hanno soo due dita. I Nodigi hanno anch'essi due braccia, ma non hanno e mani; i oro arti terminano con una appendice fessibie che somigia a un dito, quindi diciamo che hanno un dito per braccio. Infine ci sono i Pudigi che hanno quattro braccia che terminano ciascuno con una mano che ha quattro dita. A Digiton ogni categoria ha un compito ben preciso. I Nodigi si occupano de governo de Paese, discutono e fanno e eggi, stanno sempre ne paazzo de Paradigi e hanno a disposizione due pusanti: uno aa oro destra per votare Si e uno aa oro sinistra per votare No; a oro non serve atro ed eá quindi ogico che a seezione naturae i abbia dotati di due braccia con un soo dito. 76 Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

77 I Tridigi si occupano di tante cose: fanno appicare e eggi, mantengono 'ordine pubbico, aiutano i bambini e gi anziani ad attraversare a strada, dirigono i traffico ne'ora di punta, insegnano nee scuoe; a oro bastano due braccia e tre dita sono piuá che sufficienti per stringere a mano di un bambino, di quasiasi categoria faccia parte, per acciuffare un adruncoo e mettergi e manette, per azare una paetta e fermare i traffico dei Digitonesi o per insegnare i cacoo ai bambini e ai ragazzi. I Bidigi stanno nee banche e controano i fussi di denaro (a proposito, a moneta corrente a Digiton eá i Digit), nee fabbriche e si occupano di organizzare a produzione, negi ospedai e organizzano i reparti; a questi personaggi servono proprio quattro braccia percheâ e oro decisioni devono essere appicate in fretta e ogni ritardo puoá procurare un danno. I Pudigi sono gi esseri piuá attivi, cotivano a terra e raccogono i frutti de oro avoro, costruiscono oggetti nee fabbriche, curano i maati negi ospedai, gestiscono negozi e ristoranti; a oro quattro braccia e quattro dita per mano a vote non bastano e sperano che madre natura faccia oro spuntare quache braccio in piuá. Ogni Digitonese riceve un ugua numero di Digit a mese piuá un Digit per ogni dito che ha. Tutti sono contenti e vivono in armonia; i soo probema eá che ogni categoria conta in un modo diverso e quando un Bidigi o un Nodigi para con un Tridigi o un Pudigi deve rapidamente fare i conti per comprendere di quae somma si sta parando. 1 In quae base conta ciascuna categoria di Digitonesi? Se ciascun Digitonese avesse uno stipendio mensie di base che per noi sua Terra sarebbe di 95 Digit, quae sarebbe o stipendio di ciascuna categoria contato nea propria base? A quanto ammonta o stipendio di un Puridigi se a cacoaro eá un Bidigi o un Nodigi? 4 Un Tridigi vuoe vendere a sua casa per dei suoi Digit. Quai somme deve esporre ne carteo di vendita affincheâ i prezzo sia chiaro anche per e atre categorie di Digitonese? 5 Uno stesso tipo di digivisore eá messo in mostra in quattro negozi diversi, ciascuno dei quai espone i prezzo in una soa versione: due Digit, 1004 otto Digit, 04 sei Digit, 1FE sedici Digit. Qua eá i negozio che espone i prezzo piuá conveniente? 1 Nodigi: base due; Bidigi: base otto; Tridigi: base sei; Pudigi: base sedici Nodigi: due ; Bidigi: 147 otto ; Tridigi: 45 sei ; Pudigi: 6F sedici 157Digit, Digit 4 Nodigi: ; Bidigi: 500; Pudigi: I terzo Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : I SISTEMI DI NUMERAZIONE 77

78 Cap 1. OPERAZIONI E INSIEMI NUMERICI Rivedi a teoria I concetto di operazione Eseguire 'addizione o a motipicazione fra due numeri, 'unione o 'intersezione fra due insiemi, a congiunzione o a disgiunzione fra due proposizioni, sono aspetti diversi de'appicazione di uno stesso concetto, queo di operazione. Un'operazione eá una egge che a due eementi di un insieme ne associa un terzo che appartiene ancora a que'insieme. In base a questa definizione possiamo per esempio dire che: 'addizione e a motipicazione sono sempre operazioni in quaunque insieme numerico a sottrazione eá un'operazione in Z oinq, ma non o eá in N (5 8 6 N) a divisione eá un'operazione in Q, ma non o eá in N o Z (7 : 6 N, Z) 'unione, 'intersezione, a differenza fra insiemi sono operazioni ne'insieme degi insiemi a congiunzione e a negazione sono operazioni ne'insieme dee proposizioni. Quee che abbiamo ricordato sono e operazioni piuá comuni che si possono eseguire fra numeri, insiemi, proposizioni. Si possono peroá costruire operazioni di tipo diverso dando sempicemente e eggi che indicano come costruire i risutato a partire da due eementi quasiasi a e b; 'importante eá che tae risutato sia ancora un eemento de'insieme a cui appartengono a e b. Le eggi vengono rappresentate con un simboo particoare come, N ecosõá via. Per esempio: a egge che a due numeri interi a e b associa i numero c ˆ a b eá un'operazione in Z percheâ se a un numero intero a togiamo i doppio di un atro numero intero b troviamo ancora un numero intero: se a ˆ 1 e b ˆ 4 a b ˆ a b ˆ 1 4 ˆ 9 se a ˆ e b ˆ a b ˆ a b ˆ ˆ 7 a b a egge N che a due numeri interi a e b associa i numero c ˆ non eá un'operazione in Z percheâ non eá detto che c sia sempre un numero intero: se a ˆ e b ˆ 5 a N b ˆ a b ˆ 5 ˆ 5e 5Z se a ˆ 9 e b ˆ a N b ˆ a b 9 ˆ ˆ 7 e 7 =Z: Le proprietaá dee operazioni Un'operazione puoá o meno avere dee proprietaá; per esempio sappiamo che: cacoare 5eÁ a stessa cosa che cacoare 5, mentre non eá a stessa cosa cacoare 8 e 8 per cacoare 14 7 si puoá eseguire prima 7 e poi sommare 14 a risutato ottenuto, cacoare cioeá Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

79 per cacoare si puoá anche cacoare se A e B sono due insiemi, cacoare A [ B oppure B [ A eá a stessa cosa, mentre non eá a stessa cosa cacoare A B e B A se p, q e r sono tre proposizioni, cacoare p ^ q ^ r eá a stessa cosa che cacoare p ^ q ^ r Le piuá importanti proprietaá di cui godono e operazioni sono e seguenti: n proprietaá commutativa: quando a b ˆ b a n proprietaá associativa: quando a b c ˆ a b c n proprietaá distributiva di rispetto a N: quando a b N c ˆ ab N a c L'eemento neutro e 'eemento inverso Quando si eseguono dee operazioni, puoá capitare che esistano degi eementi che non hanno infuenza su risutato de'operazione stessa. Ad esempio: 0 ˆ 0 ˆ 6 1 ˆ 1 6 ˆ 6 A [ 1 ˆ 1 [ A ˆ A Si dice aora che que'eemento eá 'eemento neutro de'operazione. L'eemento neutro de'addizione eá o zero, 'eemento neutro dea motipicazione eá 'unitaá, 'eemento neutro de'unione fra insiemi eá 'insieme vuoto. Diciamo che un eemento n di un insieme A eá eemento neutro se a n ˆ n a ˆ a per ogni a A. Consideriamo ora e seguenti operazioni in Q: a. 5 5 ˆ ˆ ˆ 1 b. 1 1 ˆ ˆ 0 ˆ Ne caso a. motipicando due numeri abbiamo ottenuto 'eemento neutro dea motipicazione, ne caso b. sommando due numeri abbiamo ottenuto 'eemento neutro de'addizione. Diciamo che un eemento b eá 'inverso di un eemento a rispetto ad una certa operazione se a b ˆ b a ˆ n dove n eá 'eemento neutro di que'operazione. Se poi ogni eemento di un certo insieme possiede 'inverso e tae inverso eá unico, diciamo che 'operazione eá invertibie in que'insieme. Per esempio: 'addizione non eá invertibie in N ma o eá in Z e a sua operazione inversa eá a sottrazione; a motipicazione non eá invertibie in N oinz, maeá invertibie in Q e a sua operazione inversa eá a divisione. Fai gi esercizi 1 Stabiisci, aiutandoti anche con degi esempi, se e seguenti eggi sono operazioni negi insiemi considerati: a. in N a egge che ai numeri a e b associa i numero a b b. in N a egge che ai numeri a e b associa i numero a b c. in Z a egge che ai numeri a e b associa i numero a b [a. si; b. no; c. si] Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 79

80 Osserva e eggi definite dae seguenti tabee e stabiisci quai di esse rappresentano dee operazioni ne'insieme A ˆ fa, b, cg: a. a b c b. a b c c. a b c a b c d b a b a c c a b a a b c b b c a c c c a Stabiisci quai dee seguenti eggi sono operazioni negi insiemi indicati: a. a b ˆ a b in N b. a b ˆ a in Z b c. a b ˆ a b a a a c b c b a c b c b [b., c.] in Q d. a b ˆ b a in N a:, c: Š 4 Stabiisci se e seguenti uguagianze sono vere e in ta caso specifica quai proprietaá sono state appicate: a. 7 5 ˆ 5 7 b. 1 ˆ 1 c. 5 4 ˆ 5 4 d. 15 : ˆ : 15 e. 4 8 : 6 ˆ : 4 6 f ˆ [a. V commutativa; b. V associativa; c. V commutativa; d. F; e. F; f. V distributiva] 5 Individua e proprietaá de'operazione descritta nea tabea che segue e stabiisci se ha eemento neutro: a b c a a a b b a b c c b c a commutativa, associativa, e. neutro bš 6 Trova 'eemento neutro de'operazione rappresentata in tabea e determina gi inversi, se esistono, di ciascun eemento: e. neutro: ; inv 1 ˆ; inv ˆ1; inv ˆ; inv 4 ˆ4Š Rivedi a teoria Un numero per ogni occasione Ogni tipoogia di numero ha una sua funzionaitaá specifica. Possiamo dire che i numeri naturai servono per contare gi oggetti ed eá per questo che vengono definiti attraverso i concetto di equipotenza fra insiemi. Le frazioni, e piuá in generae i numeri razionai assouti, servono per indicare e parti degi interi; cosõá i numero razionae sta ad indicare che prendiamo una quantitaá pari a tre vote a quinta parte di un intero, 5 i numero 7 sta ad indicare che si prende una quantitaá pari a sette vote a quarta parte de'intero cioeá pari 4 ad un intero piuá tre vote a quarta parte di un intero. 80 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

81 I numeri reativi, quindi gi interi e i razionai con segno, servono per poter eseguire e sottrazioni e se sono positivi rappresentano quantitaá in piuá rispetto ao zero, se sono negativi rappresentano quantitaá in meno rispetto ao zero. Ci sono poi i numeri reai che servono ad eseguire atri tipi di operazioni per e quai i numeri razionai non bastano; per esempio per cacoare e radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti. Le caratteristiche de'insieme N Ne'insieme N dei numeri naturai si possono sempre eseguire e operazioni di addizione e motipicazione, ma non sempre eá possibie eseguire a sottrazione o a divisione. La differenza a b si puoá cacoare soo se a b; i quoziente a : b si puoá cacoare soo se a eá mutipo di b, cioeá se esiste un numero c tae che b c ˆ a. Ne'insieme N hanno particoare importanza i numeri primi, cioeá quei numeri maggiori di 1 che hanno come divisori soo se stessi e 'unitaá; a successione dei numeri primi eá iimitata ed ha come primi termini i numeri,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 9, ::::::: Ad oggi non eá conosciuta una regoa che possa generare tutti i numeri primi. Scomporre un numero naturae in fattori primi significa scrivero come prodotto di numeri tutti primi. Per esempio, a scomposizione di: 5eÁ eá 7 I M:C:D: fra due o piuá numeri naturai eá i piuá grande fra i divisori comuni; i m:c:m: eá i piuá piccoo fra i mutipi comuni. Quando i numeri sono scomposti in fattori primi, eá facie cacoare M:C:D: e m:c:m: appicando e seguenti regoe: i M:C:D: eá i prodotto dei soi fattori comuni presi una soa vota con i minimo esponente i m:c:m: eá i prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una soa vota con i massimo esponente. Per esempio, considerati i numeri 90, 4, 6 si ha che: 90 ˆ 54 ˆ 6 ˆ quindi M:C:D: 90, 4, 6 ˆ ˆ 6 m:c:m: 90, 4, 6 ˆ 5 ˆ 60 Le caratteristiche de'insieme Z L'insieme Z dei numeri interi ha per eementi :::::: 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5 ::::: Numeri come 5 e 8 sono discordi, mentre numeri come e 9 oppure e 14 sono concordi; inotre numeri come 7 e 7 si dicono opposti. La scrittura j 5j indica i moduo de numero 5e sappiamo che i moduo di un numero eá i numero stesso considerato senza segno. Per eseguire e operazioni fondamentai in Z si devono appicare e seguenti regoe: addizione: - se i numeri sono concordi si sommano i vaori assouti e si attribuisce a risutato o stesso segno dei due addendi: 5 ˆ 8 7 ˆ 9 - se i numeri sono discordi si cacoa a differenza fra i vaori assouti e si attribuisce a risutato i segno de numero che ha vaore assouto maggiore: 6 9 ˆ 5 1 ˆ 7 sottrazione: si trasforma in una addizione sommando i primo numero con 'opposto de secondo: 4 7 ˆ 4 7 ˆ 11 9 ˆ 9 ˆ 7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 81

82 motipicazione: si cacoa i prodotto dei vaori assouti e si attribuisce a risutato segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi: 4 5 ˆ 0 7 ˆ 1 8 ˆ 16 La divisione non eá invece un'operazione in Z. Le caratteristiche de'insieme Q I numeri razionai sono quei numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione o di numero decimae finito o periodico. Per passare da una forma a'atra si seguono queste regoe: se i numero eá dato sotto forma di frazione, si esegue a divisione de numeratore per i denominatore; ad esempio 7 8 ˆ 7 : 8 ˆ,75 4 ˆ 4 : ˆ 1, se i numero eá decimae finito si scrive i numero senza a virgoa a numeratore dea frazione e a denominatore si scrive 1 seguito da tanti zeri quante sono e cifre decimai; si sempifica poi eventuamente a frazione ottenuta; ad esempio,6 ˆ 6 10 ˆ 1 5 0,14 ˆ ˆ 7 50 se i numero eá decimae periodico, a numeratore si scrive i numero senza a virgoa meno a parte che viene prima de periodo, a denominatore si scrivono tanti 9 quante sono e cifre de periodo seguiti da tanti 0 quante sono e cifre de'antiperiodo; in seguito, se possibie, si sempifica a frazione ottenuta; ad esempio 1,5 ˆ ˆ 14 99,15 ˆ ˆ ˆ Fai gi esercizi 7 Cacoa i M:C:D: e i m:c:m: fra i seguenti gruppi di numeri: a. 1, 14, 4 b. 5, 79, 6 c. 75, 5, 65 d. 88, 144, 108 [a. 7; 4; b. ; 57156; c. 5; 565; d. 6; 864] 8 Esegui e seguenti operazioni fra numeri interi: a b. 7 1 c Š 1 d. f Šg 4 5 Š [a. 9; b. 5; c. ; d. 68] 9 Sempifica e seguenti espressioni: a Š Š b Š Š c. 6 4 Š Š 10 Trasforma in numeri decimai e seguenti frazioni: ,875; 0,9076; 0,5;,; 5,75; 0, Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

83 11 Scrivi in forma frazionaria i seguenti numeri decimai: a. 1,50,4 0,0515,75,0098 0,0001 b., 0,4 0,0 1,0 1,4 0,56 1 Esegui e seguenti operazioni con i numeri razionai: a b. 6 4 c. 1 : d : 4 e f : " ; 5 ; 7 00 ; 6 4 ; ; ; 1 90 ; 1 45 ; 1 0 ; ; : a. 1 1 ; b. 1 6 ; c. 16; d. ; e ; f # 1 Sempifica e seguenti espressioni: 5 a ( " b # 8 9 ) 8 (" 1 c. 5 4 : 5 # 1 : 1 ) : : 9 1 d : Rivedi a teoria Le potenze La scrittura a n, con a numero razionae quasiasi e n numero intero, ha un significato diverso a seconda che 'esponente n sia positivo o negativo. n Se n eá un numero intero positivo maggiore di 1, a scrittura a n rappresenta i prodotto di n fattori uguai ad a: a n ˆ a {z } a ::::::: a n vote Si pone poi a 1 ˆ a e a 0 ˆ 1 se a 6ˆ 0. Non si attribuisce significato aa scrittura 0 0. Per esempio: 4 ˆ ˆ 81 ˆ ˆ 5 ˆ ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ Quindi, se a > 0 a potenza eá sempre positiva, se a < 0 a potenza eá positiva se 'esponente eá pari, eá negativa se 'esponente eá dispari. n n Se n eá un numero intero negativo a scrittura a n 1 equivae a. Per esempio: a ˆ 1 ˆ 1 8 4ˆ 4ˆ ˆ 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 8

84 Le proprietaá dee potenze Le potenze godono di acune proprietaá. Sea eá un numero razionae quasiasi e n e m sono due numeri interi (senza che si verifichi a situazione in cui a, m e n sono tutti uguai a zero), si ha che: a n a m ˆ a n m prodotto di potenze con a stessa base, si sommano gi esponenti a n : a m ˆ a n m quoziente di potenze con a stessa base, si sottraggono gi esponenti a n m ˆ a nm potenza di potenza, si motipicano gi esponenti Inotre, se b eá un secondo numero su quae facciamo e stesse ipotesi fatte su a : a n b n ˆ a b n a n : b n ˆ a : b n Ad esempio: 4 4 ˆ 4 ˆ : 7 ˆ 7 5 ˆ 7 ˆ ˆ 6 4 ˆ 4 ˆ 1 8 : 4 ˆ 8 : 4 ˆ 4 4 ˆ h i ˆ Attenzione agi errori: a n b n 6ˆ a b n ; ad esempio 5 6ˆ 5. Fai gi esercizi 14 Competa, se eá possibie, e seguenti uguagianze in modo che risutino vere. a. ::::: ˆ 81 b. 5 ::::: ˆ 1 c. 7 ::::: ˆ 14 d. ::::: 4 ˆ 1 :::::ˆ 1 e. 1 7 :::::ˆ 1 g. 5 f. 6 :::::ˆ 5 6 :::::ˆ 8 h Cacoa, appicando e proprietaá dee potenze: a b. 4 : c. 4 5 : d. 5 : 5 e. 5 : 15 f. 0 4 : 6 4 g. 7 : 5 h. 5 : 7 a. 19 ; b. ; c. 8 ; d. 5 ; e. 15; f. 5 4 ; g. 5 ; h Stabiisci se e seguenti uguagianze sono vere o sono fase correggendo quee errate: a. 4 ˆ 6 b. 4 5 ˆ 9 c : 5 ˆ 8 5 d. 5 : 5 6 ˆ 0 e. ˆ 9 f. 4 ˆ 8 g. 6 : ˆ 6: ˆ h. 5 ˆ i. 4 ˆ 4 ˆ ˆ 1 m : 9 4 ˆ 4 [a. F; b. F; c. V; d. F; e. F; f. V; g. F; h. F; i. F;. F; m. V] V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F 84 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

85 17 Cacoa i vaori dee seguenti espressioni appicando e proprietaá dee potenze dovunque eá possibie: a. 5 : 4 16Š b. 4 4 : Š h i c. 18 : Š h i 0 h i 5 h i d : h i 5 h i e. 5 : 4 : 1Š h i 5 h i 0 4 h i f. : 0 h i h i h i h i g : Cacoa i vaori dee seguenti espressioni appicando e proprietaá dee potenze dovunque eá possibie: " 6 # " 6 # a. : 1 b. 4 7 : 4 " 5 4 # " c : 1 # 8 " : 1 # 9 < = : ; " d. # 9 < 0 6 = " : 5 5 ; : 8 : # 1Š " e. 1 # 9 < : 1 6 = " : 5 5 ; 1 # : ESERCIZIO GUIDA Attenzione a'uso dee proprietaá dee potenze quando gi esponenti sono negativi: a. ˆ ˆ ˆ 5ˆ : 1 b ˆ ˆ 1 6 4ˆ c. " # 4ˆ 1ˆ 1 0 Cacoa appicando e proprietaá " dee potenze: a. 1 # 1 " 4 : 1 # 8 " 1 # 9 < 1 = : ; b. : " # 8 " # 9 < 1 1 = : 5 ; 1 4 " 5 # 5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 85

86 " # " : # c " # 8 1 " # 9 < 4 6 = d. : : : : 4 ; 9 " # Sempifica e seguenti espressioni appicando, dovunque eá possibie, e proprietaá dee potenze: " a. 1 : # " 5 6 # 8 " : 1 : 1 # 9 < 5 : 1 8 = : ; 5 9 b. " # " 4 : : 5 # : Š " # 1 : 1 c " # 1 " # : 1 : Š 4 Cap. I SISTEMI DI NUMERAZIONE Rivedi a teoria I sistema posizionae Si dice che un sistema di numerazione eá di tipo posizionae quando nea scrittura di un numero ogni cifra ha un significato diverso a seconda de posto che occupa. Ogni numero di un sistema posizionae puoá essere scritto in forma poinomiae indicando i significato rappresentato da ogni cifra. Per esempio: 19 ˆ ˆ Le basi di un sistema di numerazione I sistema di numerazione da noi usato eá in base dieci ma si puoá contare in una base quasiasi a partire daa base due. Se a base di numerazione eá n, e cifre che si usano sono quee a partire da 0 fino a n 1; a base di numerazione si indica a fianco de numero. Per esempio: se a base eá otto, e cifre usate per rappresentare quasiasi numero intero sono ; un numero in base otto eá per esempio 45 otto se a base eá tre e cifre usate sono 0, 1, ; un numero in base tre eá per esempio 101tre. I cambiamento di base La conversione di un numero daa base dieci ad un'atra base quasiasi si effettua eseguendo e divisioni successive de numero dato e dei quozienti man mano ottenuti per i vaore dea base fino ad ottenere quoziente zero; e cifre de numero sono i resti di queste divisioni, considerati a partire da'utimo trovato. Per esempio rappresentiamo i numero 41 dieci in base due 41 : ˆ 0 0 : ˆ : ˆ 5 5 : ˆ : ˆ 1 1 : ˆ I numero 41 in base binaria eá rappresentato da Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

87 Se a base dea numerazione eá sedici, e cifre da 0 a 9 non bastano piuá per rappresentare un numero e si deve ricorrere ae ettere con questa corrispondenza A B C D E F Ad esempio, rappresentiamo i numero decimae 9870 in base sedici 9870 : 16 ˆ : 16 ˆ 8585: 16 ˆ 4 4 : 16 ˆ 1 1 : 16 ˆ E I numero 9870 in base esadecimae eá rappresentato da 1818E. Viceversa, dato un numero in una base quasiasi, per trovare a sua rappresentazione decimae basta scrivere a forma poinomiae de numero ed eseguire i cacoi in base dieci. Ad esempio, a rappresentazione decimae de numero due eá a seguente: due ˆ ˆ ˆ 57 dieci a rappresentazione de numero A0C sedici eá a seguente: A0C sedici ˆ C A 16 ˆ ˆ 57 dieci Le operazioni in base due Per eseguire e operazioni fondamentai con i numeri nee diverse basi si seguono e stesse regoe imparate per a base dieci; per esempio: _ :101ˆ10101 / / / / ˆ ˆ ˆ Fai gi esercizi 1 Scrivi in forma poinomiae i seguenti numeri in base dieci: 7415, 11876, 1480, 45, Trasforma i seguenti numeri decimai in base due: [ ; ; ; ] Trasforma i seguenti numeri binari in base dieci: [44; 4; ; ] 4 Trasforma i seguenti numeri nee basi indicate: a. 1 dieci in base tre; 87 dieci in base otto; 8971 dieci in base sedici b. 01 tre in base dieci; BD sedici in base dieci; 75 0 otto in base dieci a. 1110tre ; 17 otto ; 0B sedici ; b. 19 dieci ; 189 dieci ; 488 dieci 5 Esegui e seguenti operazioni con numeri in base due: : 11 [1000; 1000; 10; 1; 110; 110; 1110; 101] Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 87

88 Verifica de recupero 1 Stabiisci se e seguenti eggi sono operazioni ne'insieme indicato: a. c ˆ a b con a, b N b. ne'insieme dei punti di una retta r, C eá 'estremo sinistro de segmento individuato da A e B c. ne'insieme dee rette di un piano c eá a paraea equidistante da due rette paraee a e b d. in N c ˆ a 1 b con b 6ˆ 0 1 punto Ne'insieme Z sono definite e operazioni e mediante e seguenti reazioni: a b ˆ a b a b ˆ a b: Cacoa: a. 4 1 b. 1 c. a. 1 b. c. 6 1 a. 1 Š b. 4 1 c. 1 Š 1,5 punti In base ae proprietaá dee operazioni, stabiisci se e seguenti uguagianze sono vere o fase: a. 9 4 : ˆ 9 4 : b : ˆ 18 : 6 : 4 : c. 4 ˆ 4 d ˆ ,5 punti 4 Sempificando a seguente espressione: Š si ottiene: a. 1 b. 0 c. 1 d. 0,5 punti 5 Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimai: a. 0,56 b. 0, c. 0,17 d. 0,001 e. 1,. 6 Sempificando a seguente espressione: 7 " 1 1 # " : 1 0 # si ottiene: 0,5 punti V V V V F F F F a. 1 b. 1 4 c ,5 punti 7 Cacoa appicando dovunque eá possibie e proprietaá dee potenze: 8 " a : 5 # " : 5 # 9 < 0 = : ; : Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

89 8 < " b # : : " # : 9 9 = ( h i ; : 1 1 ) 4 c. 4 " # " # 4 4 punti 8 Stabiisci se i seguenti numeri sono scritti in modo corretto: a due b. 50 otto c. 0 tre d. A00 sedici e. AG sedici 9 Trasforma i seguenti numeri nea base indicata: a. 49 dieci in base due b. 671 dieci in base sedici 0,5 punti c due in base dieci d. BF1 sedici in base dieci 1 punto 10 Esegui e seguenti operazioni in base due: a b c d : 11 1 punto Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 89

90 Souzioni 1 a. si; b. si; c. si; d. no a. 10; b. 4; c. 1; a. ; b. 1; c. 7; a. 5; b. 18; c. a. F; b. V; c. F; d. F 4 a. 5 a ; b. 5 0 ; c ; d. 500 ; e c. 7 a. 5 ˆ 5 ; b. ˆ 8; c. ˆ a. no; b. si; c. si; d. si; e. no 9 a due ; b. 9F sedici ; c. 19 dieci ; d. 057 dieci 10 a due ; b due ; c due ; d due Esercizio Punteggio Vautazione in decimi 90 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

91 average decima to evauate factor to factor (factorize) greatest common divisor media (numero) decimae vautare, cacoare fattore fattorizzare massimo comun divisore east common mutipe prime product to round trust fund minimo comune mutipo (numero) primo prodotto arrotondare fondo fiduciario 1 0% of what is 45? a. 6 b. 9. c. 5 d. $9.0 Evauate: 5 1 a. 7 b. 9 c. 1 d. 5 e. none of these Perform the indicated operation: a. 1 b. 1 c. 10 d. 10 e. 6 4 What is the percent increase from 10 to 14? a. 8.6% b. 10% c. 4% d. 40% e. 5% 5 a. Factorize 1540 into primes. b. Find the east common mutipe of 78 and 65. c. Write 55% as a fraction. d. Find the greatest common divisor of 66 and 55. e. Evauate 4 : 7 : 5 f. Write 5 as a decima. 9 6 The heights for 5basketba payers (in metres) are isted beow. What is their average height? Round to the nearest hundreths..08m.1m.6m.11m.1m a..0m b..196m c..19m d..0m x y x y for x ˆ 6 and y ˆ 4 : a. not defined b. 0 c. 7 Evauate 6 1 d. 5 e. none of these 8 Transate the verba expression "the product of a number and the number increased by 4" into an agebraic expression using n as the number. n a. n n 4 b. nn 4 c. n n 4 d. e. none of these n 4 9 On the day of a chid's birth, a deposit of $5,000 was made in a trust fund that pays $8.75% interest, compounded continuousy, determine the baance in this account on the chid's 5th birthday. 1 c. d. b. 4 d. 6 c. 7 b. 8 b. 9 $0,550:5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - MATH IN ENGLISH 91

92 CAPITOLO 1 Monomi e poinomi 1. MONOMI E POLINOMI CON DERIVE Quaunque espressione agebrica etterae puoá essere sempificata con Derive; come ne caso dee espressioni numeriche occorre peroá prestare attenzione a'uso dee parentesi che, come sappiamo, devono essere tutte parentesi tonde. Spesso, poi, 'espressione digitata non corrisponde aa scrittura che trovi ne tuo ibro percheâ i simboo di divisione viene sostituito da una inea di frazione. Se, per esempio, digiti 'espressione 8 xy 1 xy : 1 " 4 x y 6 # 9 < = 1 : x4 y : xy ; : 6x 4 y nea finestra di Agebra trovi scritto Per sempificare 'espressione devi poi usare 'icona di sempificazione con i simboo di ˆ. Se 'espressione contiene prodotti notevoi, come per esempio a seguente: x 1 x si puoá vedere i suo sviuppo mediante 'esecuzione passo passo e 'espicitazione dee regoe appicate. Per attivare queste modaitaá devi aprire a finestra di diaogo de comando Opzioni/ModaitaÁ e nea finestra di Sempificazione spuntare a casea Visuaizza regoe (non eá necessario invece spuntare quea di Visuaizza passaggi percheá sappiamo che o si puoá fare con a corrispondente icona); usando due vote 'icona Visuaizza passaggi, ottieni sia a regoa (di soito scritta in bu) sia o sviuppo de'espressione. Per trovare i risutato finae devi aa fine usare 'icona con i simboo ˆ. 9 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

93 Un'atra opportunitaá offerta da Derive per a sempificazione dee espressioni eá quea che riguarda a modaitaá di sviuppo di un prodotto quando compaiono due o piuá variabii; prova ad inserire 'espressione x a x b x a b Se appichi ad essa i comando Sempifica/Base (corrispondente a'icona ˆ) non ottieni i cacoo de prodotto percheâ occorre specificare rispetto a quai variabii tae prodotto deve essere sviuppato; devi in questo caso usare i comando Sempifica/Sviuppa che ti permette di indicare nea finestra di diaogo quai sono e ettere che hanno a funzione di variabie. Per indicare e variabii rispetto ae quai fare o sviuppo occorre seezionare con i mouse (e variabii seezionate hanno a striscia bu); di seguito puoi vedere o sviuppo de prodotto quando viene seezionata come variabie quea indicata: x a x b x a b ˆx 11abx 6ab 6a b ax a x 4bx b x tutte e variabii seezionate x a x b x a b ˆx x 4b a x a x b x a 11ab b 6ab a b sviuppo rispetto a x x a b ˆa b x a b x x b xx b x b sviuppo rispetto ad a x a x b x a b ˆb x a bx a 4x a xx a x a sviuppo rispetto a b Anche a determinazione de quoziente e de resto eá cosa sempice se si tiene presente a reazione Ax Bx ˆ Qx Rx Bx Per esempio, a divisione x 5 x 6x 1 : x x 4 sempificata con i comando Sempifica/Sviuppa restituisce 'espressione Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 9

94 x 5 x 6x 1 ˆ x x x 4 8x x x 4 x x x 4 9 x x 4 che va interpretata in questo modo: Qx ˆ x Rx eá i poinomio dato daa somma dei monomi che si trovano a numeratore dee tre frazioni: Rx ˆ 8x x 9 Quaunque espressione agebrica, infine, si puoá interpretare come una funzione dee sue variabii; questo eá utie per vautare un poinomio in corrispondenza di particoari vaori dee sue ettere. Per esempio, a scrittura: Pa, b :ˆ a ab 5b interpreta i poinomio P come una funzione di a edib e aora inserendo: P, ˆ Derive restituisce P, ˆ 1 1 P, ˆ Derive restituisce P 1, Una funzione di questo tipo eá utie anche per stabiire a divisibiitaá di un poinomio Px per i binomio x a ; per stabiire se i poinomio x 5x 10x 8eÁ divisibie per x 1 e per x devi procedere in questo modo: costruire a funzione Px : Px :ˆ x 5x 10x 8 ˆ 9 4 vautare P 1 : P 1 ˆ (Derive restituisce P 1 ˆ 4) vautare P : P ˆ (Derive restituisce P ˆ 0) E' anche possibie impostare un piccoo programma per stabiire a divisibiitaá usando i teorema di Ruffini; dobbiamo imparare ad usare a funzione di seezione If che eá 'equivaente dea funzione SE di Exce e ha una sintassi anaoga: If proposizione ogica, istruzione 1, istruzione ) In questo modo viene eseguita 'istruzione 1 se a proposizione eá vera, 'istruzione se a proposizione eá fasa. Progettiamo aora una funzione di nome Div, che dipende daa variabie x de poinomio P, a cui assegniamo a stringa "divisibie" se Pa eá uguae a zero, "non divisibie" se Pa non eá uguae a zero: Div x :ˆ If P x ˆ 0,}divisibie},}non divisibie} Basta adesso chiedere di vautare Div 1 e Div per avere a risposta sua divisibiitaá.. I POLINOMI CON EXCEL Esercitazione 1. I poinomi come funzioni Sappiamo che i vaore di un poinomio dipende da queo che viene attribuito ae sue ettere, eá cioeá funzione dee sue ettere. Possiamo costruire una funzione poinomiae con Exce, per esempio considerando i poinomio 94 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

95 Pa, x ˆ ax 5a x 4a x, e cacoare i suo vaore per assegnati vaori dee variabii. Prepara i fogio inserendo e parti descrittive come indicato nea figura a termine de'esercitazione; per cacoare i vaore assunto da P devi inserire questa formua: B8: ˆ B5 B6^ 5 B5^ B6 4 B5 B6 Se adesso modifichi i contenuto dee cee B5 e B6 che contengono rispettivamente i vaori di a edix, anche queo de poinomio P cambia. A B C D E F G H 1 CALCOLO DEL VALORE DI UN POLINOMIO P(a, x)=ax^-5a^x+4a-x 4 5 Vaore di a: 6 Vaore di x: Vaore di P: 0 Esercitazione. I teorema de resto Con e potenziaitaá di cacoo di Exce possiamo stabiire, servendoci de teorema de resto, se un poinomio P x eá divisibie per un binomio dea forma x a. Segui a preparazione de fogio di avoro sua figura a termine de'esercitazione. La tabea di cacoo riporta: n La riga de grado dei termini de poinomio; abbiamo previsto un poinomio a massimo di sesto grado, ma a tabea si puoá ampiare. Per inserire i numeri da 6 a 0 puoi usare a stessa procedura giaá vista in una dee precedenti unitaá : scrivere 6 e 5 in due cee consecutive seezionare e due cee puntare i cursore ne'angoo inferiore di destra dea seezione (i puntatore diventa una piccoa croce nera) trascinare a seezione fino ad arrivare a zero. n La riga dei coefficienti de poinomio: i vaori vanno inseriti manuamente. n I vaore di a, da inserire nea cea B. n La riga dei prodotti cacoati sostituendo a x i vaore di a, cacoando cioeá i prodotto de coefficiente de poinomio sua coonna per i vaore di a eevato a grado corrispondente. n I resto cacoato sommando gi eementi dea riga dei prodotti. Usiamo i fogio di Exce per stabiire se i poinomio x 6 x 5 x 4 5x x 10x 8 eá divisibie per x. I dati da inserire sono quei presentati nea figura che segue aa riga dei coefficienti de poinomio e nea cea de vaore di a. Le formue appropriate sono dunque quee che trovi nea seguente tabea (asciamo a te i compito di competare e piuá sempici): B4: = B $B$^... (osserva i riferimento assouto aa cea di a) La formua va copiata... B5: = SOMMA(...) Per comunicare a divisibiitaá o meno dei due poinomi dobbiamo inserire a seguente funzione: A7: = SE(B5=0;"I POLINOMI SONO DIVISIBILI";"I POLINOMI NON SONO DIVISIBILI") Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 95

96 che significa: se i resto eá zero scrivi che i poinomi sono divisibii, atrimenti scrivi che non sono divisibii. Ad operazione di inserimento dati utimata, Exce ci dice che, avendo trovato resto zero, i poinomio dato eá divisibie per x. A B C D E F G H 1 Grado dei termini Coefficienti de poinomio Vaore di a 4 Prodotti Resto I POLINOMI SONO DIVISIBILI Esercitazione. La divisione con i metodo di Ruffini Cacoiamo i coefficienti de poinomio quoziente dea divisione di un poinomio P di sesto grado dea forma px 6 qx 5 rx 4 sx tx mx n per un binomio dea forma x a mediante i metodo di Ruffini. Prepariamo aora un fogio di avoro come queo nea figura a termine de'esercitazione (abbiamo eseguito a divisione x 4 4x 7x x 1 : x 1 in cui: n nea riga dei coefficienti, a partire daa cea Cinseriamo i coefficienti de poinomio P n nea cea B1 inseriamo i vaore di a e o copiamo in B n nea riga, a partire daa cea D, inseriamo i prodotti dee cee dea riga 4 per i vaore di a nea cea B n nea riga 4, per ogni cea, inseriamo a somma dei due numeri che a sovrastano. Ecco a procedura da seguire: B: = B1 C4: = C+ C Copia a formua da... a... D: = C4 $B$ Copia a formua da... a... Abbiamo cosõá costruito i prospetto dea divisione con i metodo di Ruffini. Scriviamo adesso i poinomio quoziente ed i resto dea divisione rispettivamente nee cee B5 e B6. Per faro dobbiamo concatenare, cioeá scrivere vicini, ogni coefficiente ottenuto ne'utima riga dea tabea con 'appropriata potenza di x a partire daa quinta. Exce esegue e concatenazioni con 'operatore & ; per esempio "oggi eá " & "domenica" restituisce "oggi eá domenica" Teniamo poi presente che e stringhe non assegnate a quache cea devono essere poste fra doppi apici; inseriamo dunque a seguente formua: B5: = C4 & " x^5 + " & D4 & " x^4 + " & E4 & " x^ + " & F4 & " x^+ " & G4 & " x + " & H4 concatenando in questo modo i coefficienti con e rispettive potenze di x (se i coefficiente eá negativo i risutato verraá scritto con un doppio segno). Nea cea B6 copia poi i resto cacoato aa cea I4. Aa fine de avoro i fogio si presenta in questo modo: A B C D E F G H I J 1 Vaore di a Quoziente 0x^5+0x^4+1x^+-x^+4x+1 6 Resto 0 96 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

97 Esercizi Risovi i seguenti esercizi con Derive. 1. Sviuppa 'espressione x a x a : a. rispetto aa variabie x b. rispetto aa variabie a c. rispetto a entrambe e variabii e confronta i risutati ottenuti.. Sempifica 'espressione 1 b : 1 a a b a b b ; b a b a cacoa poi i suo vaore numerico per: a. a ˆ 1 e b ˆ b. a ˆ 1ebˆ0 c. a ˆ 4 e b ˆ 1.. Trova quoziente e resto dee seguenti divisioni: a. x 4 x x 4 : x 1 b. a 4a b ab 6b : a 5b c. x 4 x x : x 1 4. Interpreta ciascuno dei seguenti poinomi come funzione dee sue ettere e vauta quanto richiesto: a. Px, y ˆ x 4xy y vauta P,0 P 1, 1 P 0, b. Pa, b ˆ ab 4ab b a b vauta P 1, 1 P, P 0, 1 c. Pa, x ˆ a x a x 4ax a vauta P 0, 4 P 1, 0 P, 5. Servendoti dea funzione Div costruita ne'esercitazione, stabiisci a divisibiitaá dei seguenti poinomi per i binomi indicati a fianco: a. x 4x 5x 7 divisibie per x x x 1 b. x 4 x 5x 5x divisibie per x x 1 x 1 c. x 4 x x 8 divisibie per x 4 x x 1 Risovi i seguenti esercizi con Exce. 6. Modifica i fogio di avoro preparato nea prima esercitazione e cacoa i vaore assunto dai seguenti poinomi per i vaori indicati dee variabii: a. P x ˆx 4x 5x 1 P 0, P 1, P b. P x, y ˆx 4xy y P 1, 1, P,0, P 4, 1 c. P a, b ˆ1 a a b 4b P 0, 0, P 1,, P 1, 7. Inserendo opportunamente i dati ne fogio di avoro, stabiisci se i seguenti poinomi sono divisibii per i binomi indicati: a. x 4 x 4x 5 x 1 x 1 x b. x 5 6x 6x 1 x 1 x x 8. Inserendo opportunamente i dati ne fogio di avoro, cacoa quoziente e resto dee divisioni dei seguenti poinomi per i binomi scritti a fianco: a. x 4 x x x 1 x 1 x b. x 5 x 4 4x x 1 x x Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 97

98 Matematica e storia Gi sviuppi de'agebra E' assoutamente naturae oggi per quasiasi studente avorare con numeri, ettere, simboi di operazioni, vautare uguagianze o disuguagianze, e questo modo di operare sempifica enormemente a trasmissione di concetti. E' moto piuá facie infatti esprimere una proprietaá conunsimboismo agebrico che non a paroe; a sempice regoa deo sviuppo de quadrato di unbinomio eá moto piuá sempice ed immediata se a scriviamo cosõá: a b ˆ a ab b Ma i inguaggio agebrico eá una conquista reativamente recente e ci sono vouti secoi per giungere ai simboi e ae tecniche utiizzate oggi. Vae a pena di ripercorrere brevemente questo cammino per renderci conto di quanto difficii da conquistare siano state spesso conoscenze che a noi oggi appaiono scontate. I metodo agebrico, ma non e rappresentazioni simboiche usate oggi correntemente, era giaá utiizzato ne'antichitaá, ne'ambito di civitaá quai a babionese, 'indiana e a greca. In ognuna di esse, tuttavia, 'agebra possedeva caratteristiche particoari. Presso i Babionesi a matematica era utiizzata da commercianti, tecnici ed agricotori per risovere probemi pratici, egati aa canaizzazione dee acque, aa misurazione dei terreni e a questioni di ereditaá. GiaÁ verso i 000 a.c. inquesta societaá, come risuta daa ettura di tavoette di terracotta incise con caratteri cuneiformi, si puoá parare di procedimenti agebrici presentati sotto forma di probemi concreti e di esempi numerici. PiuÁ tardi, nea seconda metaá de quinto secoo d.c., anche in India si comincioá ad usare 'agebra, come testimonia 'opera de matematico Arya-Bhata, nea quae vengono risote equazioni di primo e secondo grado ed i sistemi di primo grado. Anche presso questa societaá, peroá, i numeri ed i cacoi servivano soprattutto per e attivitaá commerciai. Per quanto riguarda a Grecia, pur esistendo riferimenti agebrici in probemi di geometria databii a quinto secoo a.c., eá sotanto con Diofanto ne 00 d.c. che si puoá parare di agebra. Egi infatti, in particoar modo ne'opera Arithmetica, a contrario di quei che o avevano preceduto, non risose e equazioni agebriche per mezzo dea geometria, ma operoá mediante un'incognita, che indicava coni simboo (ettera greca sigma). A Bagdad, a cavao fra 'ottavo ed i nono secoo de'era cristiana, visse e avoroá Muhammad Ibn MusaÁ detto A-Khuwarizmi daa cittaá di cui era originario. Egi, tra '800 e '85, scrisse due importanti opere di matematica. Secondo acuni storici da una di queste, che nea traduzione atina comincia con e paroe «Agoritmi dicit...», deriva a paroa agoritmo, usata per a prima vota ne Medio Evo; secondo atri, invece, essa deriva daa storpiatura de suo soprannome. Da titoo de suo trattato «A-gebr we' mukabaa», che si puoá considerare 'atto di nascita di questa discipina, deriva invece a paroa agebra. Di questo ibro si eá conservato un manoscritto arabo de 14, attuamente ad Oxford, e acune versioni atine, di cui e piuá famose sono quea di Robert of Chester, redatta ne 1145 a Segovia e quea di Gherardo da Cremona ( ) fatta a Toedo. L'obiettivo che A-Khuwarizmi si era prefisso inquesta opera era queo di scrivere unmanuae che servisse aa risouzione dei probemi dea vita quotidiana; in reataá 'opera ebbe una diffusione benpiuá ampia di quea che 'autore si aspettava. A-Khuwarizmi A-Khuwarizmi nee sue opere si occupoá anche dea risouzione dee equazioni di primo e di secon- 98 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

99 do grado, e inesse indicoá 'incognita con a paroa «cosa» o «radice di una pianta», da cui deriva a consuetudine di chiamare «radice» a souzione di un'equazione. La paroa «cosa» si ritrova anche in manoscritti cinesi precedenti, risaenti a primo e secondo secoo d.c., per indicare 'incognita. I fatto di ritrovare o stesso nome per indicare o stesso eemento in due civitaá diverse e ontane ne tempo, ci fa comprendere che giaá inepoche remote i matematici avevano capito che 'incognita puoá indicare una «cosa» quasiasi, indipendentemente daa sua natura. Anche in Itaia, quando da'anno 1000 in poi si risvegioá 'interesse per a matematica, 'incognita si chiamoá «cosa», sua scia de'infuenza araba, diffusa ne nostro paese grazie a Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto Fibonacci. Intae opera compare anche, per a prima vota, a paroa di origine atina «equazione». Fra i vari matematici che operarono in epoca successiva, merita attenzione Luca Pacioi ( ), che, pur non essendo un ricercatore originae (e sue opere attingono argamente ai avori di Fibonacci), ebbe peroá i merito di saper diffondere 'interesse per a matematica e soprattutto a conoscenza de'agebra, noncheâ di introdurre acune feici abbreviazioni nea scrittura dee espressioni agebriche. Attorno aa seconda metaá de Quattrocento venne inventata a stampa a caratteri mobii: i primo ibro di matematica stampato, 'Aritmetica di Treviso, ad opera di unanonimo, eá unmanuae didattico rivoto speciamente agi apprendisti de commercio. In questo secoo infatti si studiarono a matematica, e 'agebra inparticoare, da unpunto di vista tecnico-pratico, in rapporto ai progressi e ae innovazioni reaizzati nei campi de commercio e dea produzione. Di qui a riscoperta dei testi antichi, quai Gi Eementi di Eucide e e opere di Archimede e di Erone, ma anche o studio dea natura teso ad anaizzare ogni fenomeno per potero riprodurre e controare. Famosi a questo proposito sono gi studi di Leonardo su voo degi uccei per cercare di costruire una «macchina voante». La matematica inquesto periodo era quindi studiata prevaentemente per potersene poi servire nee varie appicazioni. Ne secoo successivo, i matematici vosero a oro attenzione a probema di trovare una souzione per e equazioni di terzo grado, che era stato asciato irrisoto sia dai Greci che dagi Arabi. NicooÁ Tartagia ( ) riuscõá a scoprire una regoa, assai compicata, che risoveva i probema dee equazioni di terzo grado in forma generae. Bisogna tenere presente che in que'epoca i matematici rendevano pubbici i oro studi in modo indiretto, anciando i cosiddetti «cartei di matematica disfida» nei quai o sfidante proponeva ai dotti de tempo unprobema di particoare difficotaá, dopo avere trovato per proprio conto i metodo di risouzione. Fu proprio ne corso di una di queste disfide che Tartagia comunicoá a Giroamo Cardano ( ) a propria regoa. Quest'utimo, intuita a portata dea scoperta, vi apportoá notevoi sviuppi e a pubbicoá ne 1545 ne'opera Ars Magna, senza peroá fare riferimento, se non in misura minima, a contributo di Tartagia i quae, sdegnato, pubbicoá a sua Quesiti et inven- Ritratto di Luca Pacioi NicooÁ Tartagia Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 99

100 zioni diverse dove, con paroe offensive, denunciava Cardano. Nacque cosõá una disputa che vide schierarsi chi da una parte chi da'atra i matematici de tempo; numerosi furono i cartei anciati dae due parti in causa e questo contribuõá non poco a rendere sempre piuá vivo 'interesse per i probemi agebrici. La difficotaá dee ricerche incampo agebrico a que tempo era inarga misura costituita da inguaggio usato, che era sostanziamente queo comune, con quache abbreviazione introdotta da Pacioi. Riportiamo di seguito a prima di ungruppo di terzine usate da Tartagia proprio per esporre i metodo risoutivo dee equazioni di terzo grado: "Quando che ' cubo con e cose appresso Se agguagia a quache numero discreto Trovan dui atri differenti in esso" Ne inguaggio di oggi scriveremmo cosõá: Quando che ' cubo con e cose appresso x px Se agguagia a quache numero discreto x px ˆ q Trovan dui atri differenti in esso q ˆ u v La serie di terzine prosegue indicando come procedere per trovare e radici de'equazione in funzionediu ediv. Ai tempi di Cardano e Tartagia si usava a ettera p per indicare i segno, a ettera m per indicare i segno e a ettera R maiuscoa per a radice quadrata; e parentesi tonde si conoscevano giaá da 1544 ed i simboo di uguae fu introdotto ne 1557 da Robert Recorde che diceva di non conoscere niente di piuá uguae di due inee paraee. r Per esempio, 'espressione veniva scritta cosõá: 5p : R 7m : 1= Ne'Ars Magna, Cardano chiama 'incognita rem ignotam, x viene indicata con qdratum ed i termine noto di un'equazione con numero; 'equazione di secondo grado x ˆ x 5 veniva scritta cosõá: qdratum aequaetur rebus m: 5 PiuÁ tardi, con 'introduzione di acune abbreviazioni, x venne indicata con N, x con Q, x conc (che sta per cubus) e si cominciarono ad usare i simboi e ; conqueste abbreviazioni 'espressione x 4x x 5 si scriveva cosõá: C 4Q N 5 Fu soo verso a fine de Cinquecento che i inguaggio agebrico venne interamente rieaborato ad opera de matematico francese Francois VieÁte ( ). Nea sua opera, pubbicata ne 1591, egi introdusse i cacoo etterae, indicando con e ettere non piuá soo e incognite, ma anche e quantitaá note. Egi usava e vocai per indicare e incognite e e consonanti per indicare e quantitaá note. VieÁte scriveva o sviuppo de cubo di unbinomio inquesto modo: a b cubo {z } aequaia {z } a cubis {z } b in a quadr. {z } a b ˆ a a b a in b quadr. {z } b cubo {z } ab b Cartesio apportoá poi uteriori migioramenti a simboismo agebrico, usando e prime ettere de'afabeto per i numeri noti: a, b, c,::: e e utime per e incognite: x, y, z. RappresentoÁ anche e potenze coni numeri arabi posti inato a destra dea ettera, cosõá come facciamo noi oggi, tranne ne caso de quadrato: a veniva indicato con aa; accostoá i termini di un prodotto senza indicare i simboo p di operazione, usoá i simboo odierno per a radice quadrata ed i simboo c per quea cubica. p E' da questo momento che ebbe inizio propriamente 'agebra come scienza de cacoo etterae, cioeá quea parte dea matematica che si serve di formue costruite anche con e ettere. Successivamente, verso 'inizio de'ottocento, i probema primario de'agebra divenne queo di trovare metodi per risovere un'equazione di grado n in un'incognita. In questo periodo agebra significava ancora e soprattutto teoria dee equazioni agebriche. Intorno aa metaá de'ottocento, tuttavia, in varie branche dea fisica e nea stessa matematica si cominciarono a studiare grandezze per e quai eá possibie eseguire e operazioni che conosciamo (addizione, sottrazione, motipicazione e divisione), ma con regoe diverse da quee che vagono per i numeri razionai (ad esempio i cacoo con gi insiemi o con e proposizioni). Di conseguenza, gi studi si concentrarono piuá sue operazioni in se stesse che sugi enti su cui si opera, come dimostrano ad esempio e ricerche di G. Booe (ricorda 'agebra di Booe reativa a cacoo proposizionae). Oggi 'agebra eá uno strumento dinamico ed efficace per affrontare ricerche sempre piuá compesse e diversificate. 100 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

101 1 Quae fra e seguenti espressioni rappresenta i quadrato de tripo de consecutivo di un numero intero n? a. n 1 Š b. n 1 c. n 1 d. n 1 e. n 1 a:š Se n e m sono due interi con n < m, quanti sono gi interi q tai che n < q < m? a. m n 1 b. m n 1 c. m n d. m n e. nessuno dei precedenti a:š Se n eá un intero positivo, quae fra i seguenti eá certamente divisibie per? a. n n n 5 b. n n n 6 c. n n n 4 d. n n n e. n 1 n c:š 4 Sapendo che x y ˆ 1, quanto vae x y? a. 1 b. x xy c. x y d. 1 xy e. nessuno dei precedenti d:š 5 Se y ˆ x e z ˆ y, a cosa eá uguae x y z? a. 5x b. 4y c. z d. 7 y e. 7 < z d:š 6 Sia P x ˆax bx c un poinomio di secondo grado con coefficienti reai (cioeá a, b, c sono numeri reai e a 6ˆ 0). Se P 000 ˆ000 e P 001 ˆ001, aora P 00 non puoá essere uguae a: a. 000 b. 001 c. 00 d. 00 e. 004 c:š 7 a, b, c sono tre numeri naturai. Sappiamo che a eá divisibie per 15, b eá divisibie per 1, c eá divisibie per 1. Quae dee seguenti affermazioni eá certamente vera? a. a b c eá divisibie per 18 b. a b c eá divisibie per 9 c. a b c eá divisibie per d. a b c eá divisibie per 9 e. a b c eá divisibie per 15 d:š 8 Comunque si prenda un numero naturae n, i numero n n n 5 eá divisibie per a. 4 b. 6 c. 9 d. 10 e. 15 b:š 9 a, b e c sono tre numeri naturai. Sappiamo che a eá divisibie per 15, b eá divisibie per 1, c eá divisibie per 1. Quae dee seguenti affermazioni eá certamente vera? a. a b c eá divisibie per 18 b. a b c eá divisibie per 9 c. a b c eá divisibie per d. a b c eá divisibie per 9 e. a b c eá divisibie per 15 d:š 10 Archimede eá nato ne'anno x avanti Cristo. Sapendo che a ˆ b, c ˆ b, b ˆ e, d ˆ 49, e ˆ a, a ˆ 001, x ˆ c 80 quando eá nato Archimede? a. 87 a.c. b. 89 a.c. c. 87 a.c. d. 667 a.c. e. 85 a.c. a:š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 101

102 Attenzione agi imbrogi Un'anziana signora vive soa in un appartamento da'atra parte dea cittaá; un giorno una persona da'aria moto distinta suona aa sua porta e si presenta come promotore finanziario. La donna, che eá moto cortese ma forse un po' ingenua, o fa entrare in casa e o ascota. Promotore: La donna: Promotore: "Signora sono qui per offrire una grande e vantaggiosa proposta. La mia societaá si occupa di investimenti in Borsa e garantisce un rendimento de 0% su capitae da ei messo a disposizione; non troveraá mai nessuno disposto ad offrire un interesse cosõá ato a rischio praticamente nuo". "Un interesse cosõá non 'ho mai visto; dov'eá 'imbrogio?". "Nessun imbrogio, io stesso ho giaá impiegato i miei risparmi e i ho visti crescere in breve tempo. Le spiego megio: noi richiediamo un investimento minimo di E e dopo un anno e diamo E 000 di interesse e e restituiamo i suoi E Per ei eá come avere una pensione in piuá". La donna accetta e dopo un anno si vede restituire E 100. Decisamente arrabbiata a signora mostra a uno dei suoi figi i prospetto di cacoo che 'agenzia finanziaria e ha inviato e da quae si rievano queste vautazioni (E sta per Euro e c sta per centesimi di Euro): Interesse su 10000E a 0%: 000E Capitae versato: Totae dovuto: 10000E ˆ c ˆ c ˆ 1000c 100E Apparentemente i contratto eá stato rispettato, a donna ha ricevuto E 000 di interesse come pattuito e e sono stati restituiti i suoi E percheâ, secondo 'equivaenza evidenziata, Euro o centesimi sono a stessa cosa. Ovviamente 'errore c'eá; sei in grado di trovaro? ˆ 10E ˆ 100E ˆ 10000c Conoscere bene 'agebra puoá evitare numerosi errori e consente di interpretare correttamente mote vautazioni. A te sciogiere 'inganno o scoprire i trucco nee seguenti situazioni. 1 Ogni giorno un tae mette i suo tavoino a'angoo di una strada o di una piazza e si guadagna da vivere proponendo un gioco ai passanti. "Venite signori, questo eá un gioco dove si puoá vincere! Funziona cosõá: si tiene i pugno chiuso, si conta fino a tre e poi si apre i pugno mostrando un numero di dita a piacere, si motipicano i numeri dea dita che sono usciti. Se i prodotto eá pari vince i banco, se i prodotto eá dispari vincete voi. Coraggio puntate e giocate". Gi ingenui passanti sono convinti di poter vincere e puntano chi un Euro, chi due, chi dieci e... perdono sempre. Sai spiegare a tattica di gioco sempre vincente de tae? Gi esseri umani aureati sono davvero speciai. Prendiamo Anna, che eá nata ne 1960 e si eá aureata ne 1985; ne 008, ha 48 anni ed eá aureata da anni; se sommiamo tutti questi numeri, cioeá 1960, 1985, 48 e troviamo 4016, che eá i doppio de'anno considerato. Ma anche Fabrizio, nato ne 1958 e aureato ne 1984, a Prof. di Ingese, nata ne 1954 e aureata ne 1978 e i Prof. di Disegno, nato ne 1961 e aureato ne 1987, sono soggetti aa stessa caratteristica. 10 Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

103 PeroÁ anche gi esseri umani sposati, pure se non aureati, godono deo stesso priviegio. Lucia eá nata ne 1958 e si eá sposata ne 1986; ne 008, ha 50 anni ed eá sposata da, e per ei ˆ Gi esseri umani sono davvero speciai o si tratta di una coincidenza? Negi anni successivi a 008 i dati de pobema precedente vanno aggiornati, ma a somma risuteraá sempre i doppio de'anno in corso. Qua eá 'espressione che verifica i probema? 4 Dimostriamo adesso che 1 metro eá uguae a 1 centimetro. 1m ˆ 100cm ˆ 10cm ˆ 0,1m ˆ 0,01m ˆ 1cm Se hai trovato 'errore ne caso de'anziana signora non dovrebbe essere difficie trovaro in questa dimostrazione aquanto strana. 1 mostrare sempre un numero pari di dita anno di nascita: x, anno di aurea: y, anno considerato: z; a somma eá sempre z 4 passaggi corretti: 1m ˆ 100cm ˆ 10 cm Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI 10

104 CAPITOLO La fattorizzazione dei poinomi 1. LA SCOMPOSIZIONE CON DERIVE Inseriamo nea finestra di Agebra i poinomio x 5 x 4 5x 19x 0 Per scomporo dobbiamo usare i comando Sempifica/Fattorizza; a finestra di diaogo di questo comando, escudendo i tipo Decomposizione numeri primi che si usa per scomporre numeri e i tipi Reae e Compessa che per i momento non ci interessano, daá a possibiitaá di scegiere i tipo di fattorizzazione fra i seguenti: n Triviae: esegue i piuá sempici agoritmi di fattorizzazione, come ad esempio raccogimenti a fattor comune n Quadrati: esegue e scomposizioni de tipo Triviae e riconosce potenze di poinomi n Razionae: esegue e scomposizioni dei tipi Triviae e Quadrati e, in aggiunta, riconosce trinomi caratteristici, scompone mediante divisioni successive e cosõá via. In sostanza, ogni tipoogia successiva comprende quee precedenti ed introduce modaitaá di scomposizione piuá sofisticate. Proviamo ad usare queste modaitaá su poinomio dato: con a modaitaá Triviae otteniamo i poinomio nea stessa forma percheâ non eá possibie eseguire raccogimenti a fattor comune con a modaitaá Quadrati otteniamo x x x 5x 5 con a modaitaá Razionae otteniamo x 1 x x 5 I tipo Razionae eá quindi queo che esegue a scomposizione piuá ampia. Se i poinomio da scomporre ha piuá ettere, i comando Sempifica/Fattorizza daá a possibiitaá di indicare rispetto a quai variabii si vuoe scomporre; proviamo, per esempio, a scomporre i poinomio x 4 ax a x x ax a Nea parte sinistra dea finestra di fattorizzazione troviamo i riquadro Fattorizza rispetto ae variabii che contiene e ettere x e a, con a x evidenziata; se non specifichiamo niente atro, a fattorizzazione avviene considerando x come variabie e daá come risutato x 1 x 1 x a x a 104 Tema - Cap. : LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

105 e cosõá avviene anche se seezioniamo entrambe e ettere. Ma se togiamo 'evidenza sua x (basta ciccare su di essa) e mettiamo 'evidenza soo sua a, a scomposizione avviene secondo questa ettera e daá come risutato 1 x a x a x asciando non scomposto i fattore 1 x che non contiene a a. ESERCIZI 1. Considera i poinomio ax ay bx by e usa i comando di sempificazione nee seguenti modaitaá : a. Triviae evidenziando come variabie soo a ettera a e poi soo a ettera b b. Triviae evidenziando come variabie soo a ettera x c. Triviae evidenziando come variabii due ettere a caso. Spiega i diversi risutati che ottieni. Scomponi i seguenti poinomi scegiendo a modaitaá piuá adatta.. x x 7x x 4. x 4 1b x 6b 4 5. ax a 4 6. x x 15 ax 5a 7. ay by a b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 105

106 1 Sapendo che x y ˆ 0 e x y ˆ 8100, quanto vae x y? p a. 480 b c. 40 d. 880 e. i dati forniti non consentono di trovare x y a: Š Per quanti vaori di a i poinomio x 1 x a x a 1 eá divisibie per x x? a. 1 b. c. d. 5 e. nessuno c: Š a, b, c sono interi positivi tai che abc ab ac bc a b c ˆ Quanto vae a somma a b c? a. 7 b. 8 c. 0 d. 6 e. non eá determinata b: Š I codici segreti e a crittografia A tutti eá noto i probema dea sicurezza ne'uso dei codici bancari, nee trasmissioni di informazioni via Internet, nei pagamenti onine, ne'invio e ricezione di e-mai e cosõá via. Se si cercano informazioni piuá dettagiate a questo riguardo, si scopre che quasi tutto si basa sua trasmissione di codici numerici che, se vengono scoperti, consentono di accedere a informazioni riservate, quai conti correnti bancari, carte di credito, codici di identificazione dei computer e cosõá via. Per evitare che dati personai o segreti possano venire scoperti, si codificano queste informazioni in modo tae che soo chi trasmette i messaggio e chi o riceve siano in grado di comprendene i significato; in atre paroe si usa a crittografia. Sempificando un po' a procedura, a codifica di un'informazione avviene in questo modo. I messaggio viene dapprima scomposto in varie parti mediante una chiave segreta, normamente costituita da un numero di mote cifre, ottenuto come prodotto di due numeri primi moto grandi; chi riceve i messaggio codificato, conoscendo a chiave, o ricompone e o interpreta. Uno dei metodi di costruzione dea chiave eá detto RSA da nome dei suoi autori, Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Ademan (foto a ato), che o inventarono ne Per scoprire come funziona questo metodo dobbiamo prima chiarire 'uso de'operatore mod; dati due numeri interi a e b a scrittura a mod b indica i resto dea divisione intera di a con b. Per esempio: 7 mod 5 ˆ percheá 7 : 5ha come resto 76 mod 8 ˆ 4 percheá 76 : 8 ha come resto Tema - Cap. : LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

107 CioÁ detto, 'RSA funziona in questo modo: 1. si scegono due numeri primi a e b grandi. si scegie un numero c che sia minore de prodotto ab e tae che i prodotto a 1 b 1 ed i numero c stesso siano primi fra oro (non eá necessario che c sia primo) Una prima osservazione che possiamo fare a questo punto eá che i numeri a 1eb 1 sono pari e che quindi i oro prodotto a 1 b 1 eá anch'esso pari; quindi c deve essere dispari atrimenti non sarebbe primo con a 1 b 1.. si cacoa i numero d in modo che dc 1 sia divisibie per a 1 b 1 4. indicato con k i numero intero da crittare (i testo in chiaro) si cacoa k c mod ab, cioeá i resto dea divisione di k c per i prodotto ab. I numero ottenuto (i testo in codice), che indichiamo con m eá a traduzione in codice di k. I ricevente, che riceve i numero m, deve a questo punto decrittaro, cioeá deve risaire a k; per faro si esegue questo cacoo 5. m d mod ab Questo sistema eá detto a chiave pubbica percheá i numeri ab e c sono resi pubbici, mentre i numero d eá a chiave privata. Vediamo un esempio cacoando i codice crittato de numero 15. Scegieremo due numeri primi a e b non troppo grandi per non compicare i cacoo; ricorda peroá che, nee situazioni reai, questi numeri sono sceti apposta moto grandi in modo che anche un computer veoce impieghi un tempo infinito (reativamente ai tempi di una decodifica) a scomporre i prodotto ab. 1. Poniamo a ˆ 11 e b ˆ! ab ˆ 11 ˆ 5. Cacoiamo a 1 b 1 ˆ 10 ˆ 0 e scegiamo i numero c < 5 che sia primo con 0, per esempio c ˆ 1; infatti M:C:D: 0, 1 ˆ1. I numeri 5 e 1 costituiscono a chiave pubbica. Osserva che peroá non sono noti i numeri a e b e quindi nemmeno i numero 0.. Cacoiamo un numero d in modo che dc 1 cioeá 1d 1 sia divisibie per 0, vae a dire che 1d 1 deve essere un mutipo di 0 : 1d 1 ˆ h 0 Se hai imparato a risovere e equazioni numeriche aa scuoa media sai che questa reazione eá equivaente ae seguenti: 1d ˆ h 0 1! d ˆ 0h 1 1 e si deve trovare un vaore di h in modo che d sia intero. Procediamo per tentativi: h ˆ 1 d ˆ 1 1 h ˆ d ˆ 1 I successivo vaore di h che daá un d intero eá ed in questo caso 0 1 d ˆ ˆ 41 1 Poniamo d ˆ 41 che eá quindi a chiave privata che soo 'autore de messaggio ed i ricevente devono conoscere. 4. Cacoiamo k c mod ab : 15 1 mod 5 ˆ 158 Abbiamo quindi trovato che m ˆ 158. I testo in codice eá 158 ed eá i messaggio che viene trasmesso. 5. I ricevente, che conosce i vaore di d eá i soo che puoá decodificare i codice con a formua m d mod ab : mod 5 ˆ 15 I messaggio decrittato eá 15. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 107

108 In questo esempio abbiamo crittato e decrittato un numero; per a traduzione in codice di un messaggio inguistico si deve prima convertire i messaggio in una serie di numeri. I metodi possono essere diversi: si puoá convenire che ogni ettera de messaggio, compresi gi spazi fra una paroa e 'atra, corrispondano ad un numero che potrebbe essere queo de codice ASCII (puoi trovare a tabea dei codici ASCII in un quasiasi testo di informatica), si puoá costruire un vocaboario di un certo numero di paroe base a cui associare un numero, si puoá scegiere un ibro quasiasi, in possesso sia dea persona che trasmette che di quea che riceve i messaggio, e indicare i numero di pagina, i numero di riga e i numero d'ordine nea riga di una paroa, e cosõá via. Due ragazzi provano a scambiarsi messaggi usando i metodo RSA; per evitare cacoi esageratamente aboriosi, usano numeri primi abbastanza piccoi e, visto che hanno entrambi o stesso vocaboario dea ingua itaiana, convengono di far corrispondere ad ogni paroa de codice i numero che si ottiene accostando i numero di pagina in cui si trova a paroa con i numero d'ordine dea paroa in quea pagina (sempre composto da due cifre); per esempio, se a paroa casa si trova a pagina 8 ed eá a sesta paroa di quea pagina, i numero che a identifica eá 806. Per tutto cioá che non esiste su vocaboario useranno a tabea dei codici ASCII. Aiutai a codificare i seguenti messaggi (metti i verbi a'infinito per sempificare a traduzione). 1 Domani compito di matematica. Studiamo insieme? Sei invitato aa mia festa sabato sera. (Suggerimento: i testo da codificare potrebbe essere: "Invitato mia festa sabato sera") Luca eá davvero simpatico, ma a sua ragazza eá una smorfiosa. (Suggerimento: i testo potrebbe essere: "Luca davvero simpatico, sua ragazza smorfiosa") 4 La nuova ragazza arrivata in casse eá davvero carina. 5 Hai sentito 'utimo pezzo di Ligabue? Davvero fantastico. 108 Tema - Cap. : LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

109 CAPITOLO Le frazioni agebriche 1. LE FRAZIONI ALGEBRICHE CON DERIVE La soa difficotaá di scrittura di un'espressione agebrica sta ne'uso appropriato dee parentesi. Abbiamo giaá evidenziato piuá vote che si possono usare soo parentesi rotonde eventuamente nidificate e che per a divisione si deve usare i simboo =. Nea finestra di Agebra vi eá poi a vote una difficotaá di ettura de'espressione percheâ tutti i simboi di divisione vengono scritti mediante una inea di frazione. Per esempio, per inserire a seguente espressione (scritta ne modo a noi famiiare) dobbiamo digitare questo testo: y 1 y y y 1 y 1 y y : y 4y 5 1 y y 1 = y^ y y 1 = y 1 y = y = y^ 4y 5 = 1 y y Nea finestra di Agebra troviamo scritto y dove i simboo di divisione eá stato sostituito da una inea di frazione. Normamente, quindi, usando Derive per a sempificazione dee espressioni agebriche, avremo a che fare con espressioni a termini frazionari. I comando di sempificazione eá queo ormai noto Sempifica/Base (oppure 'icona con i simboo =); si ottiene comunque quasi sempre o stesso risutato anche con i comandi Sempifica/Sviuppa e Sempifica/Fattorizza. Occorre peroá tenere presente che questi comandi agiscono in modo diverso: n Sempifica/Base tende a ridurre a compessitaá di un'espressione, esegue quindi i cacoi e cerca di determinare i risutato nea forma piuá sempice possibie n Sempifica/Sviuppa espande un'espressione; per esempio, ne caso di una frazione agebrica, tende a vedera come i risutato di una somma di atre frazioni Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE 109

110 n Sempifica/Fattorizza esegue a fattorizzazione dei poinomi che compaiono in un'espressione, eventuamente sempificando e frazioni agebriche. Se usiamo questi comandi sua nostra espressione troviamo: y con i comandi Sempifica/Base e Sempifica/Fattorizza y y y 5 11 y con i comando Sempifica/Sviuppa y In questo secondo caso i comando ha scomposto a frazione y y 5 aventi ciascuna come denominatore uno dei fattori di y y 5. come somma di due frazioni, Esercizi Sempifica con Derive e seguenti frazioni agebriche x y bx by x x 6 x x ax ax a x x 8 4. x bx b x b x b 5. Dopo aver sempificato 'espressione x 1 x 1 x 1 x x 1 ed aver osservato i risutati ottenuti x 1 con i tre comandi di sempificazione esaminati, cacoa i vaore che essa assume in corrispondenza dei seguenti vaori dea variabie: x ˆ, x ˆ, x ˆ Sono date e seguenti frazioni agebriche A ˆ x 1 x B ˆ x 4 x x 6 C ˆ x 1 x Dopo avere assegnate ciascuna ad una variabie, cacoa: a. A B C b. A B C c. A B C. 110 Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

111 1 Definiamo 'operazione ne modo seguente: se a e b sono due numeri positivi, aora a b ˆ 1 a 1 b.si considerino e seguenti asserzioni: 1 a 1 b ˆ a b a b ˆ 1 a b 1 a b ˆ ab a b Quai di esse sono vere per ogni vaore positivo di a e b? a. soo a b. soo a c. soo a d. soo a ea e. soo a ea e: Š Dimostrare che se x, y, z sono tre numeri tai che x y 1 xy y z 1 yz z x ˆ 0 aora ameno due tra i 1 xz numeri x, y, z sono uguai. x y x z z y xy 1 yz 1 xz 1 Un numero di due cifre viene sommato a numero ottenuto invertendo e sue cifre. Si divide quindi a somma ottenuta per a somma dee cifre de numero dato e si eeva a quadrato i risutato. Che numero si ottiene? a. 6 b. 49 c. 100 d. 11 e. dipende dae cifre de numero dato d: Š 4 Un corridore si aena su un percorso che non eá mai piano. Quando corre in discesa ha una veocitaá costante doppia di quea (costante) che ha in saita, parte da un punto A e ritorna ad A per a stessa strada. Qua eá i rapporto tra a sua veocitaá media e a sua veocitaá in saita? (Suggerimento: a veocitaá media eá i rapporto fra o spazio totae percorso e i tempo impiegato a percorrero) 4 5 Supponiamo che b sia un numero tae che b ˆ b 1. Dire quae dee seguenti uguagianze non eá verificata: a. b 4 ˆ b b b. b 6 ˆ b 1 b c. b 4 ˆ b b 1 d. b b 1 ˆ 1 1 b 1 e. b 4 b ˆ b 1 e: Š 6 Se a, b, c sono tre numeri tai che b a ˆ e c b a. 8 b. 5 c. 4 d. 1 ˆ, quanto vae a b b c? e. a: Š 7 Siano a, b, c tre numeri reai tai che a b c ˆ 0ea b c ˆ 1. Qua eá i vaore di a 4 b 4 c 4? a. 1 b. 1 c. d. e. e due reazioni non sono sufficienti a determinare i vaore di a 4 b 4 c 4. b: Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE 111

112 Risparmi e investimenti Un promotore finanziario propone a un amico di investire una piccoa somma di denaro con a speranza di avere un ritorno economico maggiore di queo che potrebbe dare un deposito in un conto corrente bancario o in un ibretto di risparmio. Egi para di Btp, Cct, Bot, azioni e i suo amico, che non eá uno sprovveduto, prima di decidere quasiasi cosa, cerca di informarsi su significato di questi termini e, piuá in generae, su che cosa significhi fare degi investimenti. Tutte e banche hanno oggi dei ibretti informativi che danno chiarimenti sui termini piuá importanti che un investitore dovrebbe conoscere. L'amico si reca in una banca e daa ettura di questi documenti ricava parecchie informazioni con e quai si costruisce un suo piccoo vocaboario; ecco in sintesi che cosa ha imparato. Un'obbigazione eá un titoo emesso da uno Stato (in particoare da Tesoro che eá un dipartimento de Ministero de'economia e dea Finanza, come i sopradetti Btp, Cct, Bot), da una banca o da un'azienda, i quai si impegnano a: restituire i capitae a una certa scadenza (un'obbigazione ha una durata che eá compresa fra e 10 anni) pagare e cedoe, cioeá gi interessi periodici su vaore de'obbigazione. Ogni titoo ha un rendimento che eá sostanziamente a somma che chi ha emesso i titoo deve pagare per compensare 'investitore di avergi dato i suo denaro; deriva dae cedoe, che vengono pagate ogni sei mesi o una vota a'anno, e vengono cacoate su vaore nominae de titoo stesso, cioeá su vaore che dovraá essere rimborsato aa scadenza. Tutti gi investimenti presentano sempre un rischio, piuá o meno eevato, dovuto a fatto che esiste a possibiitaá che i vaore de titoo diminuisca ne tempo. Vendere i titoo prima dea scadenza puoá quindi comportare un guadagno, otre a queo derivato dae cedoe, o una perdita; se i titoo viene tenuto fino aa scadenza non ci si deve invece preoccupare dee osciazioni de prezzo su mercato percheâ in questo caso si ottiene i capitae investito. I rischio eá egato a rendimento di un titoo. Di soito un debitore poco affidabie deve offrire a'investitore un titoo con un ato rendimento a fine di compensare i rischio eevato di mancato rimborso; un debitore affidabie non ha invece bisogno di offrire rendimenti eevati percheâ 'investitore sa che i suo capitae ha un'ottima probabiitaá di essere restituito. Occorre poi distinguere tra titoi a tasso fisso, come i Btp (Buoni de Tesoro poiennai) che staccano una cedoa fissa per tutta a oro durata, e titoi a tasso variabie, come i Cct (Certificati di credito de Tesoro) che hanno un tasso di rendimento variabie, di soito egato a'andamento de mercato dei Bot (Buoni ordinari de Tesoro). L'andamento de mercato, inotre, fa si che i vaore de titoo possa non essere costante ne tempo; se si deve vendere prima dea scadenza occorre prestare attenzione ae osciazioni de suo vaore. I rischio di mancato rimborso de'investimento viene misurato con un indicatore accettato in tutto i mondo che si chiama rating. I rating eá costituito da una serie di ettere a partire daa A fino aa D ciascuna dee quai ha un significato particoare; nea tabea che segue abbiamo rappresentato soo i primi ivei (prima coonna) e i corrispondente significato in termini di rischio (seconda coonna). Abbiamo poi affiancato una terza coonna 11 Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

113 nea quae abbiamo dato, in modo de tutto arbitrario, un significato numerico a rating; tae numero eá necessariamente compreso fra 0 (iveo piuá basso di rischio) e 1 (massimo iveo di rischio). Rating Giudizio sintetico de titoo Vaore de rischio AAA probabiitaá di rimborso estremamente eevate 0,98 AA probabiitaá di rimborso moto eevate 0,90 A probabiitaá di rimborso eevate 0,8 BBB BB titoo che presenta caratteristiche adeguate, ma che puoá deteriorarsi in caso di circostanze avverse titoo con possibii incertezze nea capacitaá di rimborso, specie in circostanze avverse B titoo con eementi di possibie vunerabiitaá 0,65 Prova a rispondere ae seguenti domande. 0,75 0,70 1 Si investe un capitae C in Btp ad un tasso fisso pari a k% con stacco annuae dee cedoe; i costo de titoo eá pari a 98% de suo vaore. Se si porta i titoo aa scadenza, che eá dopo quattro anni da suo acquisto, si ha un rimborso pari a 100% de vaore nominae de titoo. Qua eá 'espressione che esprime i guadagno netto che si ricava da'investimento? Si investe un capitae X in una obbigazione a tasso fisso de k% con stacco annuae dee cedoe che ha un vaore di mercato pari a 96% de vaore nominae; si investe poi un capitae Y in Cct a tasso variabie ad un vaore di mercato de 99%. Dopo tre anni 'obbigazione eá aa sua scadenza e rimborsa quindi i 100% de vaore de titoo, mentre i Cct vagono i 10% de vaore nominae. L'ammontare compessivo dee cedoe staccate nei tre anni eá pari a 1 de capitae Y. Qua eá 'espressione che indica i vaore de 9 capitae compessivo che viene ritirato dopo tre anni? Un tae ha investito un capitae X in un titoo abbastanza sicuro che ha un rating pari a AA e un capitae Y in un titoo che ha un rating pari a BBB; qua eá 'espressione che vauta a sua propensione media a rischio? 4 Se 'investitore de probema precedente avesse investito E ne titoo che ha rating AA e E 5000 ne titoo che ha rating BBB, considerando a sua propensione media a rischio, potrebbe investire in un titoo che rating A? 1 96 Xk Y 0,90X 0,75Y X Y 4 no 1 49 C 1 k Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE 11 1

114 Cap 1. MONOMI E POLINOMI Rivedi a teoria Le espressioni agebriche In un'espressione agebrica ci possono essere numeri noti e numeri dei quai non si conosce a priori i vaore e che per questo vengono rappresentati da ettere; per esempio: 4 a b x a ab 4 1 x 1 x 5 x Si para in questi casi di espressioni agebriche etterai. I vaore numerico di un'espressione etterae dipende da queo che si attribuisce di vota in vota ae sue ettere; per questo si eá soiti indicara con una scrittura che mette in evidenza questa dipendenza; reativamente ae precedenti espressioni si scrive: Aa, b, x ˆ 4 a b x P a, b ˆ a ab 4 Fx ˆ 1 x 1 x 5 x ed eá per esempio: A 1,, 1 ˆ ˆ cioeá a vae 1, b vae, x vae 1 P 1, ˆ ˆ 14 cioeá a vae 1, b vae F 1 ˆ ˆ 9 : 5 ˆ 7 15 cioeá x vae 1 Ne'attribuire vaori numerici ae ettere, bisogna fare in modo che e operazioni non perdano di significato; se ci riferiamo ancora ae precedenti espressioni: ae ettere a, b, x de'espressione A si puoá attribuire quaunque numero reae ae ettere a, b de'espressione P si puoá attribuire quaunque numero reae aa ettera x de'espressione F non si possono attribuire i vaori 1 e percheá in questi due casi i denominatori dee frazioni diventano nui e sappiamo che non si puoá eseguire a divisione per zero. I monomi Un'espressione agebrica etterae si chiama in modo diverso a seconda dee operazioni che si eseguono fra e sue ettere. Si para di monomio quando ci sono soo operazioni di motipicazione e, quindi, gi esponenti dee ettere devono essere tutti numeri positivi. Per esempio: sono monomi: ax 1 xy 4 5 a x y non sono monomi: a x a 4b 1 bx 114 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

115 Ogni monomio ha un coefficiente numerico e una parte etterae e di esso si possono definire i grado compessivo e i grado rispetto ad ogni sua ettera; prendendo ad esempio i monomio 5a bx abbiamo che: - i coefficiente numerico eá 5 - a parte etterae eá a bx - i grado compessivo, che eá a somma dei gradi dee sue ettere, eá 1 ˆ 6 - i grado rispetto aa ettera a eá, rispetto aa ettera b eá 1, rispetto aa ettera x eá. Tutte e ettere che non compaiono hanno grado zero, quindi i monomio precedente eá di grado zero per esempio rispetto aa ettera y. Diciamo inotre che: due monomi come ab e ab sono opposti percheâ hanno a stessa parte etterae e coefficienti opposti. due monomi come 7xy e 1 5 xy sono simii percheâ hanno a stessa parte etterae. Attenzione a non commettere errori: due monomi come ab x e 4a bx non sono simii percheâ e parti etterai, pur avendo e stesse ettere, non sono uguai. La somma agebrica fra monomi Le operazioni di addizione e sottrazione si possono eseguire soo se i monomi sono simii; in ta caso si ottiene come risutato un monomio simie a quei dati che ha come coefficiente numerico rispettivamente a somma o a differenza dei coefficienti dei monomi dati. Per esempio: 4 x y 1 6 x y ˆ 4 1 x y ˆ x y a 5 a ˆ 5 a ˆ 1 a Due monomi che non sono simii non si possono sommare o sottrarre e 'operazione si ascia indicata; per esempio: ax 1 ax 4 5 a a I prodotto fra monomi L'operazione di motipicazione fra due monomi si puoá sempre eseguire e i prodotto eá un monomio che ha: - come coefficiente numerico i prodotto dei coefficienti - come parte etterae quea che si ottiene appicando e proprietaá dee potenze e sommando quindi gi esponenti dee ettere uguai. Per esempio, i prodotto 4 a bx 9 b x ha: come coefficiente numerico: 4 ˆ come parte etterae: a bx b x ˆ a b 1 x ˆ a b x 5 In definitiva: 4 a bx 9 b x ˆ 1 6 a b x 5 L'eevamento a potenza si esegue appicando e proprietaá dee potenze; quindi: - si eeva a potenza i coefficiente numerico - si motipica 'esponente di ciascuna ettera per a potenza indicata. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 115

116 Per esempio: a b x ˆ a b x 1 ˆ 4 9 a4 b 6 x 1 b xy ˆ 1 b x 1 y ˆ 1 8 b9 x y 6 La divisione fra monomi L'operazione di divisione si puoá eseguire soo se gi esponenti dee ettere de primo monomio sono maggiori o uguai degi esponenti dee stesse ettere de secondo monomio; in ta caso i monomio che si ottiene ha: - come coefficiente numerico i quoziente dei coefficienti - come parte etterae quea che si ottiene appicando e proprietaá dee potenze, quindi sottraendo gi esponenti dee ettere uguai. Per esempio, i quoziente 5 6 x y 5 : 10 9 xy si cacoa in questo modo: 5 coefficiente numerico: : 10 ˆ 5 9 ˆ parte etterae: x y 5 : xy ˆ x 1 y 5 ˆ x y In definitiva: 5 6 x y 5 : 10 9 xy ˆ 4 x y Se non si verifica 'ipotesi precedente, queo che si ottiene come risutato dea divisione non eá piuá un monomio; per esempio: 5a b : 1 a b ˆ 5 a b 1 1 ˆ 10a 1 ˆ 10 a Quando i quoziente fra due monomi eá ancora un monomio, si dice che i primo eá divisibie per i secondo. Fai gi esercizi 1 Stabiisci in quai fra i casi presentati e espressioni date hanno significato e cacoane successivamente i vaore numerico: Ab, c ˆ b c 8 a. b ˆ, c ˆ 1 b. b ˆ 0, c ˆ 4 c. b ˆ, c ˆ 1 5 5, 4 5, 1 Bx ˆ x a. x ˆ 0 b. x ˆ 1 c. x ˆ 1 0, x 1, imp. Cx, y ˆ x y x y a. x ˆ 1, y ˆ b. x ˆ, y ˆ 6 c. x ˆ 0, y ˆ 1 8 5, imp., 1 Dei seguenti monomi indica i coefficiente numerico, a parte etterae, i grado compessivo ed i grado rispetto ad ogni ettera: a. x y b. 7 x y 4 x c. ab c d. b x y Determina fra i seguenti quai sono i monomi simii: a. 1 a b x y 5 b a x y yx b. 1 b 4a b 4 b 1 10 a b 4 8a 4 b 116 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

117 Sempifica e seguenti espressioni nee quai compaiono soo addizioni e sottrazioni fra monomi. 4 5ax ax ax ax 1 ax ax ax 6ax 7 ax ( 5 1 x x x 4 x x x 1 ) x 1 4 x 6 a b a b 1 a b 4 a b a b a b 7 6xy 4 xy 1 xy xy xy 1 4 xy 4xy b y 1 b y 4 b y 5 4 b y b y 9 Esegui e seguenti motipicazioni: a. 1 a x y 4 5 a y ; 1 8 x y z b. 5a b 5 10 a b ; 1 x y b y 5 4 b y 1 5 xy4 1 9 x y 4 c. b y 6 z 4 5 b z ; 5 x z 5 8 ax z 1 4 a b xy 1 8 b y 5 a5 x y ; 10 x y 6 z a5 b 6 ; 1 7 x5 y b5 y 6 z ; 1 4 ax5 z 4 10 Esegui e seguenti potenze di monomi: a. 1 a b ; 1 4 a b ; a 4 bx a6 b 4 ; 1 64 a6 b ;16a 16 b 4 x 8 b. 1 6 b y ; 4 x y 4 ; a xy b6 y 9 ; x1 y 16 ; a 10 x 5 y Esegui e seguenti divisioni stabiendo in quai casi i primo monomio eá divisibie per i secondo: a. 5 a b 4 z : 1 10 a bz ; 1 6 a b x : 1 ab x 6b z; 1 a b. 6ax 4 y 5 1 : ax ; 1x y 4 : 6x 18xy 5 ; xy 4 c. 15a 5 b : 5 a b ; 4 5 x y z : 8 x4 6a b; 10 x 1 y z non eá un monomio Sempifica e seguenti espressioni x y 10 a x : 4 axy 1 a b 6 7 a x : 1 a5 b a y a 6 a ay 7 ay 5 a a 7 4 a 15 5 xy 4 5 xy 1 10 xy xy 1 4 xy xy 16 a b 1 6 a b a b a b a b ax y 6x Š 1 a y 17 0 xy a b 11 6 a b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 117

118 17 1 b4 y 4 b4 y : 4 by 1 8 by 5 : 6 by 1 by 8 b y " 18 5 x yz : 15 # " xy z 1 xz # xz x6 z 6 " 19 x y 5 9 x y 1 # 5 x y : x y x y 9 xy 4 y 0 1 a a 5 4 a : a a a 1 4 a a 1 a 1 ESERCIZIO GUIDA : 11 4 a 6aŠ Cacoa M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti gruppi di monomi: a. 5 xy; 8x ; ay M:C:D: ˆ 1, m:c:m: ˆ ax y b. ax ; ax; 6a y M:C:D: ˆ a, m:c:m: ˆ 6a x y c. Cacoa i M:C:D: eim:c:m: fra i monomi a by 4ab 1a x. Le regoe sono de tutto anaoghe a quee imparate per i M:C:D: e m:c:m: fra numeri interi. I M:C:D: si cacoa prendendo soo e ettere comuni a tutti i monomi con 'esponente piuá piccoo. I m:c:m: si cacoa prendendo sia e ettere comuni che quee non comuni con 'esponente piuá grande. Si assume come coefficiente numerico 1 se i coefficienti sono frazioni, i M:C:D: oim:c:m: fra i coefficienti se questi sono interi. I segno si assume sempre positivo. Ne nostro caso si ha che: M:C:D:, 4, 1 ˆ a soa ettera comune eá a e 'esponente piuá piccoo con cui compare eá 1 quindi M:C:D: a by, 4ab,1a x ˆ a m:c:m:, 4, 1 ˆ 1 e ettere si devono prendere tutte con 'esponente piuá ato, cioeá a con esponente, b con esponente, x e y con esponente 1 quindi m:c:m: a by, 4ab,1a x ˆ 1a b xy 1 x y ; 4 x; 5 x y M:C:D: ˆ x, m:c:m: ˆ x y Rivedi a teoria I poinomi Un poinomio eá a somma agebrica di piuá monomi e, se in esso sono stati sommati tutti i monomi simii, si dice che i poinomio eá ridotto in forma normae. Ad esempio a b 4a b ha forma normae 6a b b 1 x a x x a x ha forma normae x a x I grado compessivo di un poinomio eá i massimo dei gradi dei monomi che o formano; i due poinomi precedenti hanno rispettivamente grado compessivo e Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

119 Un poinomio si dice poi omogeneo se tutti i suoi monomi sono deo stesso grado; ad esempio 5a a b ab 4b eá un poinomio omogeneo di terzo grado. Tae poinomio eá anche ordinato secondo e potenze decrescenti di a e crescenti di b ed eá competo rispetto a ciascuna ettera percheâ sia di a che di b compaiono tutte e potenze da quea di grado 0 a quea di grado. La somma agebrica fra poinomi Se un'espressione agebrica contiene soo addizioni o sottrazioni di poinomi, per sempificara basta togiere e parentesi ricordando che un segno davanti ad una parentesi non cambia i segni dei monomi da essa racchiusi, mentre un segno i fa cambiare tutti; ad esempio: 5x 1 y x 1 x 1 y 4 ˆ 5x y 1 x 1 x 1 y 4 ˆ 17 x 10 y 1 La motipicazione di un poinomio per un monomio Per cacoare i prodotto di un poinomio per un monomio si appica a proprietaá distributiva dea motipicazione rispetto a'addizione; ad esempio: x x y ˆx x x y ˆ x 1 xy a 9 a a x 1 ˆ 1 a a x a La divisione di un poinomio per un monomio Per eseguire a divisione di un poinomio per un monomio si divide ciascun termine de poinomio per i monomio dato; ad esempio 4x y 6xy : xy ˆ 4x y : xy 6xy : xy ˆ x y 5a b 4a b 1 a b : a b ˆ 5a b : a b 4a b : a b 1 a b : a b ˆ ˆ 5a 4 1 b I raccogimento a fattor comune Leggendo in senso inverso 'operazione di motipicazione di un poinomio per un monomio si esegue queo che si dice un raccogimento a fattor comune. Vae a dire che, se i termini di un poinomio P hanno un M:C:D: diverso da 1, che indichiamo con M, si puoá eseguire a divisione de poinomio P per M e scrivere poi P come prodotto de quoziente ottenuto per M. Per esempio: 4a b 8ab 16ab i M:C:D: fra i termini de poinomio eá 4ab, quindi, poicheá 4a b 8ab 16ab : 4ab ˆ a b 4, si puoá scrivere che: 4a b 8ab 16ab ˆ 4ab a b 4 Quando i coefficienti dei monomi sono frazionari eá possibie che si possa raccogiere anche un coefficiente numerico diverso da 1; per esempio 4 a b 1 ab 5 6 ab ˆ 1 ab a b 5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 119

120 Fai gi esercizi Individua e caratteristiche dei seguenti poinomi (grado, se sono ordinati, se sono competi rispetto a quache ettera, se sono omogenei): a. b b b 7 b. a a b 4ab b c. 4ax x b x d. x y xy y 4 Sempifica e seguenti espressioni che contengono soo addizioni e sottrazioni di poinomi. 4 a 4b a b a 5bŠ 5 7x y 4x y x y 6 x y xy x xy 4 5xy y 7 4b a b 1 a 5b 10b a 4 8 a b 1 4 ab 5 a4 5 a4 4 ab 1 a b 9 x ax x ax 1 x ax 1 x 1 a b ab a 4 x axš Sempifica e seguenti espressioni che contengono anche motipicazioni e divisioni di un poinomio per un monomio. 0 xy x 4x x 6x 8x 4 x 8x y 1x 1x; x6 9x 5 1x 4 6x 1 a 4 9a a 1 a 1 a4 b 1 9 a b a 6a 6 7a 5 6a 4 a ; a 6 b 1 a5 b 6a b b : b 5x z 15x z 0xz : 5xz 1 ax y a 4 x y 1 9 a x y : 1 6 ax y 4 1 a x 4 a x 1 6 a x : 1 a x 5 a b 1 ab 4a b : 1 ab 6 x 4 y 8x y 6x y 4 4x y : 1 x y a b x 1 ab x a bx 5 a bx : 10 abx a b; 5x x 4Š xy 1a axy ax x 1 a b 8ab Š 6x 4y 18xy 1xyŠ 8 ab 5 bx 5 9 a 4 ax Appica a proprietaádi raccogimento ai seguenti poinomi. 8 5x y 15x 4 y x 4 y xy 8x y 5x y 1 xy ; xy x 1 4xy Š 9 1 a4 b 5 1 a b 4a b 7 4 a b 1 a5 5 a c a b 1 a b 1 b 4a ; 7 a b a 5c 40 4a b 8ab 6a b 1 x 1 6 ax 5 9 a x ab a b 4b a ; 1 x x 1 ax 5 a 10 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

121 Rivedi a teoria La motipicazione fra poinomi I prodotto di due poinomi si cacoa appicando a proprietaá distributiva; vae a dire che si motipica ciascun termine de primo poinomio per tutti quei de secondo e si sommano i monomi simii eventuamente ottenuti. Per esempio: a x a x ˆ a ax 6ax x a a a 1 ˆa a 6a a a ˆ a a 5a I prodotti notevoi I prodotti notevoi esprimono dee regoe per eseguire in modo abbreviato potenze di poinomi o prodotti particoari. Ricordiamo queste regoe. n a b ˆ a b {z } i due quadrati Ad esempio: ab {z } i doppio prodotto x y ˆ x y x y ˆ 4x 9y 1xy a 1 ˆ b a 1 b a 1 b ˆ a 1 4 b ab n a b c ˆ {z } a b c {z } ab ac bc i tre quadrati i doppi prodotti Ad esempio: a b ˆ a b 9 ab 6a 6b x x y ˆ 4x x 4 y 4x 4xy x y n a b a b ˆa b Ad esempio: x b x b ˆ4x b 1 x 1 4 y x 4 y 5 x 5 x ˆ5 9x ˆ 1 4 x 9 16 y4 n a b ˆ {z } a b a {z } b ab i due cubi i due tripi prodotti Ad esempio: x ˆ x x x ˆ x 8 6x 1x a b ˆ a b a b a b ˆ 8a b 1a b 6ab Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 11

122 Fai gi esercizi Esegui i seguenti prodotti di poinomi. 41 a. x 1 x ; b. a x a 5x 4 a. x a a b 7 ; b. x y x xy b 4 a. a b 1 a b ; b. 7 a 4a b 44 a. a b c a b c ; b. a x a 1 x 45 a. a a b a b ; b. b b b 1 46 a. a b a b b 1 ; b. a b a 1 b 1 Sempifica e seguenti espressioni. 47 a b a b a b a 4b 8a ab 5b Š 48 a a 4 a 1 a a a 1 a 4 a 10Š 49 x b x b x b 4x b 1 10x 6bx x 7b Š 50 1 x x 4y x x 1 4 y 1 5x x y 5 x 51 1 xy 6x y 1x 4 y x y 4 1 x 0Š 5 x 1 5 y 5 a b a b x 1 y x y 4 x 1 y y 1 x y 1 a b a 4b 1 1 b 5a 10b 1 : a 1 6 x 9 a Sviuppa i seguenti quadrati di binomi e trinomi. 54 ESERCIZIO GUIDA a 4 x quadrato de primo termine: 4a doppio prodotto: a 4 x quadrato de secondo termine: 9 In definitiva: 16 x a ˆ 4 x 4a ax 9 55 x y ; a b ; a 16 x 56 b 1 ; 57 a b ; 1 a b ; y 1 4 y 1 x a ; y b 1 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

123 58 ESERCIZIO GUIDA a x 1 Somma dei quadrati dei tre termini 4a x 1 4 doppi prodotti: de primo per i secondo termine a x ˆ 4ax de primo per i terzo termine a 1 ˆ a de secondo per i terzo termine x 1 ˆ x In definitiva: a x 1 ˆ 4a x 1 4ax a x 4 59 a b 1 ; a x ; 60 a x y 1 x y z 61 x a b ; a 1 b y 6 a x y ; 1 a x 6 1 x y t ; x 1 4 y 1 t Sviuppa i seguenti prodotti de tipo a b a b. 64 ESERCIZIO GUIDA 5 ax ax ˆ 5 5 4a 1 b 4a 1 b ax ˆ 4 5 a x ˆ 4a 1 ˆ b 16a 1 9 b 65 x 1 x 1 ; 6a 5b 6a 5b 66 a b a b ; x a x a 67 x x ; a a 68 x y x y ; y y 69 5a 4b 5a 4b ; a a 70 x 1 y x 1 y ; a x x 1 4 y x 1 4 y ; a x 5 a b 5 a b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 1

124 Sviuppa i seguenti cubi di binomi. 7 ESERCIZIO GUIDA b Somma dei cubi dei due termini tripo prodotto de quadrato de primo termine per i secondo: tripo prodotto de primo termine per i quadrato de secondo: In definitiva: b ˆ 8b 7 6b 54b b ˆ 8b 7 b ˆ 6b b ˆ 54b 7 x ; x 1 74 x y ; a b 1 75 x ; a 1 y 1 76 a ; a b 77 a b ; 1 ax Sempifica e seguenti espressioni contenenti prodotti notevoi. 78 a y y a 1 a y 4 a y a y " 79 a 1 b a 1 b a 1 # h i b a b 1 1 b a 1 a 9 6 a 4 ay 5y 8b abš 1 80 x 1 a x a x a 1 x a x 5ax 4a Š 81 x 1 y x 1 y x 1 y x y 1 5 xy x y x 6 y 1 " 8 a 1 # 1 1 a a 1 4 a 1 4 a a 1 a a4 8 a b a b a a b b 1 7b a 0ab a 7bŠ 84 a x x a 9x ax a : 9ax a 5x 7x aš 85 x y x y x y : y y y 4x 4x y Rivedi a teoria I teorema de resto I resto dea divisione di un poinomio P x per un binomio de tipo x a eá dato da P a, cioeá da vaore che assume i poinomio quando aa variabie x si sostituisce i vaore a. 14 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

125 Ad esempio: P x ˆx x 4x cacoiamo i resto dea divisione per x 1 : R ˆ P 1 ˆ ˆ P x ˆx 4 x x cacoiamo i resto dea divisione per x 1 : R ˆ P 1 ˆ ˆ ˆ 0 I resto dea divisione ci daá indicazioni sua divisibiitaá di P x per x a : n se P a ˆ0 aora P x eá divisibie per x a n se P a 6ˆ 0 aora P x non eá divisibie per x a I poinomio P x de primo esempio non eá divisibie per x 1 ; i poinomio P x de secondo esempio eá divisibie per x 1. La regoa di Ruffini Per eseguire a divisione di un poinomio Px, ordinato secondo e potenze decrescenti di x, per un binomio di primo grado de tipo x a si puoá usare a regoa di Ruffini. Vediamo come si appica questa regoa eseguendo a divisione 4x 5x x 1 : x termine a! {z } 1 1 " coefficienti de poinomio quoziente coefficienti de poinomio dividendo riga dei prodotti resto dea divisione Per costruire a tabea ricorda che si sommano i numeri sua stessa verticae e si motipicano man mano i numeri de'utima riga per i termine a. I poinomio quoziente eá di secondo grado e si ha che Q x ˆ4x x e R ˆ 1. Fai gi esercizi Cacoa i resto dea divisione dei poinomi P assegnati per i binomi indicati accanto e stabiisci a oro divisibiitaá. 86 P x ˆx x 5; x, x 1, x 1 [P ˆ1; P 1 ˆ6; P 1 ˆ10] 87 P a ˆa a ; a 1, a, a 1 [P 1 ˆ0 divisibie; P ˆ; P 1 ˆ] 88 P x ˆx 6x x ; x, x, x 1 [P ˆ 44; P ˆ0 divisibie; P 1 ˆ ] 89 P y ˆy 4 y 7; y, y, y [P ˆ0 divisibie; P ˆ 60; P ˆ0 divisibie] 90 P a ˆ a a 4; a, a 4, a 4 [P ˆ 54; P 4 ˆ 8; P 4 ˆ0 divisibie] Cacoa quoziente e resto dee seguenti divisioni appicando a regoa di Ruffini. 91 x 4x x 1 : x Qx ˆ x 6x 14; R ˆ 9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 15

126 9 x 5x 6 : x Qx ˆ x 11; R ˆ 7Š 9 4x 4 x x 5x 1 : x 1 Qx ˆ 4x 6x 7x 1; R ˆ 0 94 ESERCIZIO GUIDA Cacoa quoziente e resto dea seguente divisione appicando a regoa di Ruffini: y y : y manca i termine di secondo grado, i suo coefficiente eá 0 Q y ˆy y 1 R ˆ 0 95 x 4 x 1 : x 1 Q x ˆx x x ; R ˆ 1 96 x 5x 4x 1 : x Q x ˆx x ; R ˆ 5 97 x 4 x 5x 4 : x 1 Q x ˆx x x 4; R ˆ 0 98 x x 1 : x 1 Q x ˆx x 1; R ˆ 0 99 x 4 x 5x 1 : x Q x ˆx x x ; R ˆ x x 9 : x Q x ˆx x ; R ˆ x 5x 5x : x Q x ˆx 11x 17; R ˆ 6 10 x x x : x Q x ˆx x ; R ˆ Cap. LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Rivedi a teoria La scomposizione dei poinomi Scomporre un poinomio significa scrivero sotto forma di prodotto di due o piuá atri poinomi. Acuni metodi per eseguire una scomposizione derivano dae regoe per eseguire e motipicazioni fra poinomi e monomi e per eseguire i prodotti notevoi. I raccogimento totae I raccogimento a fattor comune eá una procedura giaá nota che rivediamo su acuni esempi: at b t ct ˆ t a b c xy ay 8y ˆ y x a 8 Dunque, per appicare a proprietaá di raccogimento, bisogna individuare i M.C.D. fra i monomi de poinomio a meno di un eventuae coefficiente. I poinomio fra parentesi eá i quoziente de poinomio dato per i monomio messo in evidenza. La stessa regoa si appica anche quando i fattore comune eá un poinomio. Per esempio: a x 1 x 1 ˆ x 1 a a b y a b x a b ˆ a b y x 16 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

127 I raccogimento parziae Acune vote si possono eseguire dei raccogimenti a fattor comune parziai, cioeá soo su gruppi di monomi, in modo peroá che sia poi possibie un raccogimento totae. Vediamo acuni esempi: ax x ay y ˆ x a y a ˆ a x y 7a 7b am bm ˆ 7 a b m a b ˆ a b 7 m ax ay a bx 4by 6b ˆ a x y b x y ˆ x y a b I riconoscimento dei prodotti notevoi I riconoscimento di prodotti notevoi eá un'atra possibiitaá per eseguire una scomposizione. riconoscimento di quadrati di binomi: a. 9a 1a 4 ˆ a b. x 6x 9 ˆ x " " " " " " a a x x riconoscimento di quadrati di trinomi: a. 9a 4 4a 1 1a 6a 4a ˆ a a 1 " " " " " " a a 1 a a a 1 a 1 b. x 9y 1 6xy x 6y ˆ x y 1 " " " " " " x y 1 y x x 1 y 1 riconoscimento di differenze di quadrati: a. a 5 ˆ a 5 a 5 b. a 9x ˆ a x a x " " " " a 5 a x c. x x 1 ˆ x x 1 Š x x 1 Š ˆ x 1 x 1 riconoscimento di cubi di binomi: a. a 6a 1a 8 ˆ a " " " " a a a b. x 9x 7x 7 ˆ x " " " " x x x c. 1 7 y y 4y 8 ˆ 1 y " " " " 1 y 1 y 1 y Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 17

128 Fai gi esercizi Scomponi ricorrendo a raccogimento a fattor comune totae. 1 x y 6x y 1x y ; 10a 4 0a 5 b 0a 4 b x y 1 xy 6y ;10a 1 ab b a c 4a c 8a x; 9x 4 18ax 6 6x a c ac 4x ; x x 6ax a x xy; 4ab 8ab a x a y ; a b 4b x y 4 5 x 7 5 x y 6 5 x y ; x 5 x y x 1 5 x y 4 7xy 6y ; x x xy a y 4 a y 1 6 ay ; a b 4 b 4 1 ay ay a 1 y ; b 4 a 1 6 x a 1 y a 1 ; 6a b z a b z a 1 x y ; a b z a 1 Š 7 x y y y y ; 4 b a b b y x y 1 ; b 5 a Scomponi ricorrendo a raccogimento parziae. 8 ax ay bx by x y a b a 9 xz z x 1 z 1 b x 1 z 1 10 ax ay x y zx zy x y a z Š a z 11 ax bx x ay by y a b x y 1 a 5ab 5ay 5by a 5b a 5y Š 1 x y x y xy 1 xy 1 x y 1 14 ax xy x 4ay 6y y y a 1 x y Š Scomponi riconoscendo quadrati di poinomi. 15 b 10b 5; a 4 a 1 16 x xy y ; x 16y 8xy 17 6a 1at t ; x 4ax 4a a4 4 9 x4 a x ; x 4 xy 4y ; 9a a b 1 9 ab 0 18xy 1xy x; 1 4a b c 4ab 4ac bc x 9 4y 6x 4xy 1y 9 5 a x 6 5 ax x 1 x 1 4 xy 1 y Scomponi riconoscendo differenze di quadrati. 4a 49; 5x 9y a 1 9 ; 5a b x 9; x x 100; 0,6 a 7 ESERCIZIO GUIDA 9x a y ˆ x a y ˆ x a y Š x a y Š ˆ :::::::::::::: 18 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

129 8 x 4y 9 a b a b Scomponi riconoscendo cubi di binomi. 0 b b b 1 i due cubi sono b e 1, controa i tripi prodotti 1 a 6a b 1ab 8b i due cubi sono a e 8b, controa i tripi prodotti a 1 8 b a b 4 ab 1 7 x x 9x z 8 z 6z x6 y 9 4 x4 y x y 6 Rivedi a teoria I trinomio caratteristico Un'atra regoa di scomposizione eá quea de trinomio caratteristico. Si tratta di un trinomio di secondo grado dea forma x ax b ne quae si devono vedere, se possibie, i coefficienti a e b rispettivamente come a somma e i prodotto di due numeri h e k; se tai numeri esistono aora x ax b ˆ x h x k Per esempio: a. x x Dobbiamo individuare due numeri i cui prodotto sia e a cui somma sia. Poiche ˆ 1 ma 1 ˆ ˆ 1 e 1 ˆ i due numeri sono e 1. Si ha cosõá che: x x ˆ x x 1. b. a 5a 6 6 ˆ e ˆ 5 quindi a 5a 6 ˆ a a c. x x 4 4 ˆ 4 1 ma 4 1 ˆ 4 ˆ 4 1 e 4 1 ˆ quindi x x 4 ˆ x 4 x 1 La scomposizione con a regoa di Ruffini Un uteriore metodo di scomposizione consiste ne ricercare i divisori di primo grado de poinomio. Sappiamo che un poinomio Px eá divisibie per un binomio dea forma x a se si verifica che Pa ˆ 0. I possibii vaori di a si devono ricercare fra i divisori de termine noto di Px e fra e frazioni m dove m eá un n divisore de termine noto e n eá un divisore de coefficiente de termine di grado massimo. Una vota trovato i divisore, basta poi trovare i quoziente appicando a regoa di Ruffini. Vediamo quache esempio. a. x 4x x 6 I divisori de termine noto sono 1,,, 6. P 1 ˆ ˆ 0 i poinomio eá divisibie per x 1. Cacoiamo i quoziente con a regoa di Ruffini Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 19

130 Avremo dunque x 4x x 6 ˆ x 1 x 5x 6 ˆ trinomio caratteristico ˆ x 1 x x b. x x 5x 6 I divisori de termine noto sono 1,,, 6. P 1 ˆ 5 6 6ˆ 0 P 1 ˆ 5 6 ˆ 0 i poinomio eá divisibie per x x x 5x 6 ˆ x 1 x x 6 Troviamo ora i divisori de quoziente ottenuto x x 6, tenendo presente che eá inutie cacoare P 1 che non aveva dato resto zero nemmeno prima. P 1 ˆ 1 6 6ˆ 0 P ˆ8 6 6ˆ 0 P ˆ8 6 ˆ 0 i poinomio eá divisibie per x In definitiva: x x 5x 6 ˆ x 1 x x 6 ˆ x 1 x x Somme e differenze di cubi Appicando i metodo precedente si possono mettere in evidenza atre due regoe di scomposizione: regoa dea somma di cubi: a b ˆ a b a ab b regoa dea differenza di cubi: a b ˆ a b a ab b Per esempio: a 8 ˆ a a a 4 1 x ˆ 1 x 1 x x 8x 7y ˆ x y 4x 6xy 9y Fai gi esercizi Scomponi appicando a regoa de trinomio caratteristico. 6 y 7y 18; a a 15 y y 9 ; a 5 a 7 y 4y 5; y 5y 6 y 5 y 1 ; y 6 y 1 Š 8 x x 1; a 7a 6 x 4 x ; a 6 a 1 Š 9 b 7b 10; c 6c 16 b 5 b ; c 8 c Š 40 z 6az 8a ; x bx 10b z 4a z a ; x 5b x b Š 10 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

131 Scomponi appicando i metodo di Ruffini. 41 x x 11x 1; x x 10x 8 x 1 x x 4 ; x 4 x x 1 Š 4 x 7x x ; 4x 5x 7x x 1 x x 1 ; x 1 x 4x 1 Š 4 x 5x x ; x 11x 5x x 1 x x 1 ; x 1 x x 1 Š Scomponi appicando e regoe per a somma e differenza di cubi. 44 y a 7; 15 1 y y y 9 ; a 5 1 a 5 a x 1; 15 a 1 x x 1 x 1 ; 5 a 5 5a a " x y ; 64b 1 x y 4 9 x # xy y ; 4b 1 16b 4b y 9 ; a x 8 1 y 1 y y 1 y y 6 ; ax a x ax 4 Scomponi appicando i metodo piuáadatto. 48 x a ax x ; y x ax ay bx by x a x 1 ; x y a b 1 49 a 18ab 1a b; x 4 9x 9x x a a b ;xx 1 50 b y 1y ; 4a x 4y 4xy y b b ; a x y a x y 51 a x 4x; a a x a a ; a a 1 a 1 Š 5 a 4a 4a, x x a a ; x x 1 5 ax bx a 6b; a x x 4 a b x ; x a x a ax x 54 ab ab a; a x 6x 9 a b b 1 ; a x a x Š 55 x x 9x 9; 8a x b x x 1 x x ; x a b 4a ab b Trova i M.C.D. e i m.c.m. fra i seguenti poinomi. 56 ESERCIZIO GUIDA x 4 ax 4ax 4a ax a Scomponiamo i tre poinomi: x 4 ˆ x x ax 4ax 4a ˆ ax 4x 4 ˆ ax ax a ˆ ax Per trovare i M:C:D: si devono ricercare soo i fattori comuni a tutti e tre i poinomi; ne nostro caso i soo fattore comune eá x, quindi: M:C:D: ˆ x Per i m:c:m: si devono prendere tutti i fattori, una soa vota, con 'esponente piuá grande; quindi: m:c:m: ˆ ax x 57 x y ; ax ay bx by; ax ay bx by M:C:D: ˆ x y, m:c:m: ˆ x y x y a b a b Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 11

132 58 a b ; 7a 7ab 7b ; a b M:C:D: ˆ 1, m:c:m: ˆ 14 a b a b a ab b 59 x 4 x x x; 9x 9; 7x 14x 7 M:C:D: ˆ x 1, m:c:m ˆ 6x x 1 x 1 60 b b ; b b 6; b 4 M:C:D: ˆ b, m:c:m: ˆ b 1 b b b Š 61 4a 1x; a 7x ; a 18ax 1a x M:C:D: ˆ a x, m:c:m: ˆ 4a a x a ax 9x Cap. LE FRAZIONI ALGEBRICHE Rivedi a teoria Le frazioni agebriche Una frazione agebrica rappresenta i quoziente fra due poinomi; affincheá essa abbia significato, e sue ettere non devono assumere vaori che annuano i poinomio a denominatore; per esempio: x 1 ha significato se x 6ˆ 0, cioeá se x 6ˆ x a a 1 ha significato se a 1 6ˆ 0, cioeá se a 6ˆ 1 La sempificazione Per sempificare una frazione agebrica si deve innanzi tutto scomporre sia i numeratore che i denominatore dea frazione se questi sono dei poinomi; individuato poi i oro M.C.D., basta appicare a proprietaá invariantiva e dividere numeratore e denominatore per tae M.C.D. Nea pratica poi, una vota scomposti i poinomi, si individuano i fattori comuni e si sempificano. Ad esempio a. 5x 4 y 15x y 5 ˆ 5x 4 y 15x y 5. ˆ 5x y Abbiamo diviso numeratore e denominatore per 5, per x e per y b. 0y 0y xy x Dobbiamo innanzi tutto scomporre in fattori: 10y y x y ˆ 10y x Attenzione: non si puoá sempificare un addendo di un poinomio a numeratore con uno a denominatore ma soo un fattore; ad esempio x x x ˆ x eá sbagiato x x 1 x ˆ x 1 eá corretto Fai gi esercizi 1 Determina e condizioni di esistenza di ciascuna dee seguenti frazioni. 1 x 4 a a 4 a b a x 6ˆ ; a 6ˆ ; a 6ˆ 0Š 1 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

133 y y 5x x 4 b 6 b y 6ˆ ; x 6ˆ 4; b 6ˆ 0Š 7a b a x 1 x x 1 x 9 a 6ˆ 0; x 6ˆ ; x 6ˆ Š 4 Sempifica e seguenti frazioni agebriche. ay a y 5 a ab b a b 6 y 6 1 y a a a 6a 9 10a b 4 6a y 5ab a y 4 8 4y a 6b 4 y a b x x 4 x 1 ax a ax ax a a x x x 11x 6 9x 4a x x 6 a 4 a a a a a 7 6a 18 x y x xy y a a a 1 x 9y 6xy b 5b x 7y b 1 y 1; y a ; 7 a b ; a y a b a b ; 4 y ; x 4 x 1 ; a a a ; x 1; 1 x y 1 ;x 1; a a x a 1 a a a ; x y x xy 9y ; b Rivedi a teoria Le operazioni con e frazioni agebriche Le operazioni con e frazioni agebriche si eseguono con e stesse regoe de cacoo con e frazioni numeriche. Vediamo quache esempio. x x Addizione e sottrazione: x 1 4x 1 4x 1 Scomponiamo i denominatori: x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 I m:c:m: fra i denominatori eá: x 1 x 1 Eseguiamo e operazioni indicate: Sviuppiamo i cacoi a numeratore: Sempifichiamo a frazione ottenuta: x x 1 x 1 x x 1 x 1 4x x 6x 4x x 10x ˆ 5x x 1 x 1 x 1 x 1 5x x 1 x 1 x 1 ˆ 5x 4x Motipicazione: x y 5a a ax 6x y Scomponiamo i poinomio a numeratore dea seconda frazione: x y 5a a a x 6x y Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 1

134 Sempifichiamo un fattore a numeratore con uno a denominatore: Otteniamo: a x 10x x y 5 a a a x 6 x y Divisione: 4y x y : 1y x y Trasformiamo a divisione in motipicazione, scomponiamo e sempifichiamo 4y x y x y 1y ˆ 4 y x y x y x y 1y ˆ x y y Potenza: x x x x Scomponiamo dapprima i poinomi a'interno dea parentesi e sempifichiamo a frazione: x x x ˆ xx x Per eevare a quadrato a frazione indichiamo a potenza de numeratore e de denominatore: x x Fai gi esercizi Sempifica e seguenti espressioni contenenti soo addizioni e sottrazioni. x 1 x 1 ; a b b a x 5 a 9b x 1 x 1 ; 6b 5ab a 9ab x 1 x 16 4 x 8 1; x x 1 x 1 x 1 x 5 x 15 ; x 1 x 5 a 6 a ; x x 1 5 x x 6 x x 1 x 1 x 1 9x 6x 1 9x ; x x 9 x x x ; x x x 4 x x 5 ; x 16 x x 1 x 4 5x 1 x x 5 ; x x 4 x x x x x a 4 a a 1 1 a a 1 a a 4 a ; x x 1 x 5x 8 x 1 ; 1x x 9 ; 9x x 4 a a 1 Sempifica e seguenti espressioni contenenti anche motipicazioni e divisioni. 16 xy y x x 9x y ; x y x 6 x 5x 6 x y y x x y ; x y x 14 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

135 17 x 48 x 1 6x x 8 4 x 4 ; a 6b a b a b a 9b a b 4 x 9 x 5x : x 6x 9 x 5x ; x x 1 x x 1 x 1 : x x x 9 a b 5a : 4a 1b ; 5ab y y : 9 y ; 9y x 5y x 6y a b a : x 5y x 18y a b b : a b b x 1 ; x x x 5 ; x a b x 1 x b ; x 5y 0a y; 1 a Sempifica e seguenti espressioni agebriche che contengono tutte e operazioni. 1 ESERCIZIO GUIDA : x 1 x x x x x 1 x x 1 : x 6x 9 x x 1 x 1 Eseguiamo a motipicazione nee parentesi rotonde: " x x 1 x x 1! # 1 : x 6x 9 x ˆ x x 1 x 1 x 1 1 : x 6x 9 x 1 x 1 Eseguiamo a sottrazione nee parentesi quadre ed eeviamo aa potenza indicata: x : x 6x 9 ˆ x x 1 x 1 9 x 1 : x 6x 9 x 1 1 x 1 x 1 Scomponiamo a seconda frazione ed eseguiamo a divisione: x 9 x 1 : x x 1 ˆ x 9 x 1 x 1 x a 1 a a a 8 a 18x 8 7x ˆ 1 x 1 x Š 1 x 1 : a a a a 1 Š a a 1 a a a 1 a 6 a a a a " # x y xy x y y x x y xy 4 a 1a 16 1 a : a a 16 8a a a a x yš 1 8 a 4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 15

136 Verifica de recupero 1 Stabiisci quai dee seguenti uguagianze sono vere e correggi quee fase: a. ab ab ˆ a b b. 7x y 4xy ˆ xy c. a a 4b ˆa a 4b d. 6a b : 1 ab ˆ 6a b ab e. 5 a x : 5 ax ˆ 5 5 ax f. 5a b 1 10 a b 4 ˆ 1 a6 b 1 0,5 punti Sempifica e seguenti espressioni: a. 1 ab 5 ab 1 b 8 5 a b 6 : ab a 1 4 a " b. 8 5 abx 15 8 a bx 5 6 a4 b 5 x : 10 9 ab x ab ax i : bx 8 " c. 1 # a4 b : 1 h 9 a4 b a 4 b a b i 9 < = : b ; : a4 b 1,5 punti Cacoa i M.C.D. e i m.c.m. fra i seguenti monomi: a. a b ; 6b 4 c ; 4a 4 bc b. 6x y z ; 1 xz ; 4 x y z; xyz 4 Cacoa i vaore dee seguenti espressioni: a. a b b 4a 1 b a 5b 1 b b. x 1 x a x a x 1 a x a x 4 a 0,5 punti 0,5 punti 5 Cacoa i vaore dee seguenti espressioni appicando anche e regoe sui prodotti notevoi: a. a 1 a a a a a b. x y x y x y : 1 9 y 50x 0,5 punti 6 Appicando i teorema de resto, stabiisci se i seguente poinomio eá divisibie per i binomi a fianco segnati: P x ˆx x 1 x 1, x 1. 0,5 punti 7 Cacoa quoziente e resto dee seguenti divisioni appicando a regoa di Ruffini: a. x 4x 5x : x b. x 4 x x 8 : x 0,5 punti 16 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

137 8 Di ciascuno dei seguenti poinomi sono indicate diverse scomposizioni; individua quea corretta: a. a b ˆ a b ; a b a b ; a b a ab b b. x 4 y 4 ˆ x y x y ; x y x y ; x y x y x y c. x x 10 ˆ x x 5 ; x x 5 ; x x 10 0,75 punti 9 Scomponi in fattori i seguenti poinomi: a. a ab x bx b. a4 9a 8 c. a 5 5a 45 9a d. a 4 y 16y e. a x 8b x f. a 4 16x g. y y y h. a x 6ax 9x 10 Cacoa i M.C.D. e i m.c.m. fra i seguenti gruppi di poinomi: a. x x; x x 1; ax a b. x 5x ; 4x 4x 1; x x 1 11 Stabiisci se sono corrette e seguenti sempificazioni: a. c. x y x ˆ y b. x x ˆ 1 1 x x 1 ˆ 1 d. x y x y ˆ x y ˆ 1 x y 1,5 punti 1 punto 0,5 punti 1 Sempifica e seguenti frazioni agebriche: a. 5x 5xy x xy y b. 4x 4x x x c. x 9x x x 15 d. x 4x 4x x 4x 0,5 punti 1 Sempifica e seguenti espressioni: a. b. c. x x y 1 y x 1 10x 19 x 8 x 5x 4 y y 1 y 1 1 : 1 y y 1 : " # x y x y x 4 y 4 : x x y xy y x y 1,5 punti Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 17

138 Souzioni 1 a. F: ab; b. F: 7x y 4xy; c. F: 5a 4b; d. F: 1a; e. V; f. F: 1 a5 b 7 a a b ; b. 4 a ; c. 5 4 b4 a. M:C:D: ˆ b, m:c:m: ˆ 4a 4 b 4 c ; b. M:C:D: ˆ xz, m:c:m: ˆ x y z 4 a. 4a 9 4 b ; b. 5 a. 1; b. 4x 1y 6 no, si 11 x 9 ax 7 a. Q x ˆx x 1, R ˆ 0; b. Q x ˆx 1, R ˆ 5 8 a. a terza; b. a terza; c. a seconda 9 a. 1 b a x ; b. a 1 a 1 a 8 ; c. a 5 a a ; d. y a 4 a a ; e. x a b a ab 4b ; f. a 4x a 4x ; g. y y y 1 ; h. x a 10 a. M:C:D: ˆ x 1, m:c:m: ˆ ax x 1 x 1 ; b. M:C:D: ˆ x 1, m:c:m: ˆ x 1 x x 1 11 a. no; b. no; c. si; d. no 1 a. 1 a. 5x x y ; b. x 1 x 1 x x ; b. y 1 ; c. 8 x x x ; c. ; d. x 5 x Esercizio Punteggio Vautazione in decimi 18 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

139 expression even factor fraction espressione pari fattore frazione odd poynomia quotient remainder dispari poinomio quoziente resto 1 When the poynomia ax a bx b is factored competey, one of the factors is: a. x b. a b c. a b d. x e. none of these When the poynomia x 1 y 8 is factored competey, one of the factors is: a. x 6 y 4 b. x y c. x y d. x y e. none of these Find the quotient and the remainder: a. x 5x 1 x d. x 6x 5 1 x x x 7x 6 x b. x x 9 4 x e. x x 7 6 x c. x 6x 5 6 x 4 Simpify the rationa expression: x x 9x 7 x 6x 9 a. x x b. x c. x d. x e. x x 5 Perform the indicated operation and simpify: a. x x x x 9 b. x 5 x c. x 7 x 9 : x x 9 x 8x 15 x x x x 9 6 Simpify and express the resut with positive exponents ony: y 4 4y d. x 5 e. none of these a. y 8 b. 64y 7 c. y d. 64y 8 e. none of these 7 Simpify the fraction: a. 1 a b a 1 b 1 a 1 b 1 1 b. ab 8 Simpify and express the resut with positive exponents ony: c. 1 d. a b e. none of these 5x y a. 5x 6 y 4 b. 9x 6 5y 4 c. 9y 4 5x 9 d. 9x 6 y 4 5 e. none of these 1 b. a. a. 4 b. 5 d. 6 a. 7 a. 8 d. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - MATH IN ENGLISH 19

140 CAPITOLO 1 Le equazioni 1. LE EQUAZIONI CON DERIVE Per far risovere un'equazione a Derive basta scriverne i testo nea finestra di Agebra e poi usare i comando Risovi/Espressione oppure usare 'icona corrispondente. Inserisci dunque i testo dea seguente equazione x 1 4 x ˆ5x 4 x Quando attivi i comando di risouzione si apre a finestra a ato: nea prima casea si deve indicare qua eá a variabie de'equazione; ne nostro caso eá giaá evidenziata a x che eá 'unica ettera che compare ne'equazione, ma in un'equazione etterae dove, otre aa x ci sono anche atre ettere, si dovraá indicare quae considerare come variabie. Nea seconda casea bisogna fare a sceta de metodo di risouzione; per i momento dobbiamo seezionare i metodo Agebrico (gi atri metodi si usano per a risouzione approssimata che saraá argomento di studi degi utimi anni di corso). Nea terza casea bisogna indicare i dominio dea souzione che per noi eá 'insieme dei numeri reai. La quarta casea per i momento non eá attiva percheá riguarda a risouzione approssimata dee equazioni. Ciccando su pusante Risovi a souzione de'equazione viene scritta nea finestra di Agebra nea forma x ˆ 6. Quando un'equazione non eá determinata, i comando Risovi/Espressione restituisce true se 'equazione eá indeterminata fase se 'equazione eá impossibie Questo percheá un'equazione indeterminata in una soa incognita eá un'uguagianza sempre vera, mentre un'equazione impossibie eá un'uguagianza sempre fasa. Prova per esempio a risovere queste due equazioni x 1 4x 5 ˆ x 4 e x 1 x ˆ 5 x 5 Per a prima, che eá impossibie, Derive restituisce fase; per a seconda, che eá indeterminata, restituisce true. Le souzioni di un'equazione frazionaria vengono scritte di soito come quee di un'equazione intera; per esempio x 1 ˆ restituisce x ˆ Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

141 Derive sa poi riconoscere quando a souzione di un'equazione frazionaria non eá accettabie; per esempio, se risovi su tuo quaderno 'equazione x 1 x 1 x 5x 6 ˆ x 1 x trovi x ˆ, ma questo vaore non eá accettabie e Derive restituisce aora x ˆ1. Un atro caso "strano" nea scrittura dee souzioni si ha con equazioni de tipo dea seguente Le souzioni vengono scritte in questa forma x ˆ1 _ x ˆ x x ˆ 5 x In sostanza viene scritto anche x ˆ1percheÁ, una vota fatto i denominatore comune, a numeratore si ha iniziamente un poinomio di secondo grado che poi, riducendo i termini simii, diventa di primo grado; Derive interpreta questa situazione come se si fosse persa una souzione e evidenzia questo fatto scrivendo x ˆ1. Da utimo vediamo a risouzione di un'equazione etterae, per esempio: a 1 x a ˆ x a 1 Questa vota nea prima coonna dea finestra de comando Risovi/Espressione ci sono sia a ettera x che a ettera a, maax eá giaá evidenziata; normamente viene data precedenza aa x come sceta di incognita ma si puoá cambiare deseezionando x e seezionando successivamente un'atra ettera. La souzione proposta eá x ˆ a 1 a Derive non eá in grado di discutere 'equazione; tuttavia, portando tutti i termini a primo membro, scrivendo quindi a 1 x a x a 1 ˆ 0 e usando 'icona Visuaizza passaggi, si puoá trasformare 'equazione nea sua forma normae e da questa eá poi sempice condurre a discussione: per a 6ˆ troviamo a souzione precedente x a a 1 ˆ 0 per vedere che cosa succede ne caso a ˆ basta usare i comando Sempifica/Sostituisci variabii che apre a finestra a ato. Dopo aver indicato a ettera a come variabie di sostituzione, nea riga Nuovo vaore inserisci e cicca su pusante Sempifica; poicheá ottieni ˆ 0 puoi dedurre che per a ˆ 'equazione eá impossibie.. LE EQUAZIONI CON EXCEL Possiamo risovere un'equazione anche con Exce, se questa eá data nea forma ax ˆ b Imposta dunque i fogio di avoro come indicato nea figura a termine de'esercitazione, inserendo i vaori de coefficiente a e de termine noto b rispettivamente nee cee B e B4. Per trovare a souzione de'equazione occorre distinguere i caso in cui a cea B ha vaore 0 percheâ sappiamo che, in questo caso, 'equazione non eá determinata. Conviene quindi usare a funzione di seezione SE in questo modo (riferisciti ao schema a ato): Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI 141

142 se B eá diverso da zero, aora cacoa B4/B atrimenti, se B4 eá diverso da zero, scrivi che 'equazione eá impossibie, atrimenti scrivi che 'equazione eá indeterminata. La funzione SE usa quindi a suo interno un'atra funzione SE; a formua da inserire nea cea B6 eá a seguente: B6 : ˆ SE B <> 0; B4=B; SE B4 <> 0; "equazione impossibie"; "equazione indeterminata" Modifica adesso i contenuti dee cee B e B4 in modo da verificare in tutti i casi possibii a correttezza dea formua. A B C D E F G 1 RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA FORMA ax=b Vaore di a 5 4 Vaore di b Souzione -0,8 ESERCIZI 1. Risovi con Derive e seguenti equazioni e procedi poi aa verifica dee souzioni mediante sostituzione. a. x x x ˆ1 x b. c. x 6 x 4 ˆ x 4 x d. x 1 4 x 1 x x ˆ 1 x 6 x ˆ x 1 x e. x 4 x 1 ˆ x 6 x x 4 f. 5x 6 x 7 6 ˆ 1 x 1. Risovi con Derive e seguenti equazioni etterai; verifica poi se a souzione trovata eá accettabie per i vaori assegnati dei parametri. a. ax a ˆ x a 1 a ˆ 0 a ˆ 1 a ˆ a ˆ 1 b. c. d. x a 1 ˆ x a x a 1 ˆ x a 1 1 x a x 1 ˆ a 1 x x a ˆ 0 a ˆ 6 a ˆ 1 a ˆ a ˆ 0 a ˆ a ˆ a ˆ 1 a ˆ 1 a ˆ 0 a ˆ 1 a ˆ. Usando i fogio di avoro di Exce preparato ne'esercitazione, risovi 'equazione ax ˆ b per i seguenti vaori di a edib. a. a ˆ 5 b ˆ 4 b. a ˆ 0 b ˆ c. a ˆ 0 b ˆ 0 d. a ˆ b ˆ 0 e. a ˆ b ˆ f. a ˆ 6 b ˆ 9 14 Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

143 Matematica e storia Le equazioni ed i metodo dea fasa posizione Abbiamo accennato atrove ae abiitaá raggiunte in campo matematico dagi antichi Egiziani. Ne papiro di Ahmes ed anche in queo di Rhind vi sono acuni probemi che richiedono di trovare 'equivaente di souzioni di equazioni ineari nea forma che noi oggi scriveremmo cosõá: x ax ˆ b, dove a e b sono noti mentre x non o eá. In quei testi 'incognita viene indicata con i termine «aha», che vuo dire «mucchio». I probema 4 de papiro di Ahmes chiede ad esempio qua eá i vaore de mucchio se i mucchio ed 1 de mucchio sono 7 uguai a 19. Tradotto ne formaismo agebrico che siamo soiti usare oggi: x 1 7 x ˆ 19. Naturamente per noi oggi eá moto sempice risovere questa equazione, ma gi antichi non conoscevano 'agebra e e sue regoe; gi Egiziani peroá avevano inventato un metodo di risouzione che oggi eá noto come i metodo dea "fasa posizione". Con questo procedimento si attribuisce a mucchio (a nostra x) un vaore specifico che, moto probabimente, non eá queo esatto; su questo vaore si eseguono poi e operazioni indicate aa sinistra de segno di uguagianza e si confronta i risutato ottenuto con queo desiderato. Ne papiro di Ahmes i numero sceto eá i 7, cosõá, attribuendo ad x questo vaore, 'espressione a sinistra de'uguae diventa 7 1 7, cioeá 8, che non 7 eá sicuramente uguae a 19. I metodo degi egiziani prosegue con un cacoo anaogo a quea che per noi oggi eá a risouzione di una proporzione; essi si chiedevano: se quando i mucchio vae 7 i risutato eá 8, che vaore ha i mucchio se i risutato eá 19? CioeÁ 7 : 8 ˆ x : 19, ovvero x ˆ 19 7 che 8 eá proprio a souzione de'equazione. Usando i metodo dea fasa posizione prova adesso a risovere questi probemi: Un pao eá infisso ne terreno per i dea sua unghezza, cioeá per 50cm; quanto eá ungo i 5 pao? 7 Un numero sommato ai suoi daá 5; qua eá i 6 numero? Se ad un segmento si aggiungono i deo stesso segmento si ottiene un segmento ungo cm; 5 quanto eá ungo i primo segmento? I probemi di Tartagia Nea scheda suo sviuppo storico de'agebra abbiamo parato di Tartagia e dei cartei di matematica disfida; fra i probemi trattati da Tartagia te ne proponiamo uno che Tartagia stesso risose con i metodo dea fasa posizione. Uno mercante compra 6 pezze di panni fetrini, e 8 pezze di panni di Boogna, e pezze 1 di panni scaratini per ducati 50. Li panni di Boogna gi costano a pezza tre vote di queo che gi costoá a pezza di panni fetrini, e a pezza di panni scaratini gi costarono un tanto e mezzo di queo che gi costoá a pezza di panni di Boogna. Si dimanda quanto gi costoá a pezza di panni fetrini e di ciascuna dee atre due sorte. Ecco come Tartagia risose i probema. Pone che a pezza di panni fetrini costa queo che ti pare: 4 ducati... cioeá, proseguendo ne inguaggio dei nostri giorni, se poniamo che i costo di una pezza di fetro sia una somma a caso, per esempio 4 ducati, tenendo presente che i panno di Boogna eá tre vote queo de fetro e i panno scaratto costa 1 1 ˆ de costo de panno di Boogna, aora: 6 pezze di fetro costerebbero 4 6 ˆ 144 ducati una pezza di panni di Boogna costerebbe 4 ˆ 7 ducati e 8 pezze ne costerebbero 7 8 ˆ 576 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI 14

144 una pezza di panno scaratto costerebbe 7 ˆ 108 ducati e 1 pezze ne costerebbero ˆ 196 e in totae a spesa sarebbe di 016 ducati. Aora i costo x di una pezza di fetro deve soddisfare a proporzione x : 4 ˆ 50 : 016 da cui x ˆ 0 ducati. I seguenti due probemi di Tartagia sono spesso presentati sotto forma di gioco anche su moti ibri. Sono tre bei gioveni freschi e gagiardi, i quai hanno tre bee damigee per mogiere, e sono geosi tutti, cosõáe mogiere dei mariti, come i mariti dee mogiere. Accadde che costoro si parteno da casa di brigata per esser vicini per voer andar a una certa perdonanza, onde accadette che nea via gi trovorno un fiume moto argo da passar, e non vi era ne ponte, ne porto, ma per sua ventura gi trovorno un navetto piccoo, che non gi poteva star dentro piuá che due persone, dimando, come faranno a passare senza acun sospetto di geosia. Questo stesso probema eá oggi conosciuto come queo de savare capra e cavoi e racconta di un traghettatore che deve trasportare da una sponda a'atra tre capre e tre cavoi in modo che una capra non resti mai da soa con un cavoo. Sono duoi che hanno robbato una ampoetta di basamo a uno signor, nea quae era dentro oncie 8 di basamo a ponto accadette che costoro ne suo partire trovorno uno vedriaro, che haveva soamente due ampoette 'una dee quai teneva oncie 5, 'atra oncie e cosõáper a pressa che oro havevano gi comprorno queste due e camminorno di ongo fin che furono a sicuro, poi si missero a voer partir questo basamo, dimando come fecero non havendo ne peso, ne atra misura certa. Questo probema de 1550 eá stato addirittura messo in una scena di un famoso fim con Bruce Wiis, Die Hard, ne quae i due protagonisti, i tenente John McLaine ed i suo partner per caso Zeus Carver, dovevano porre esattamente 4 itri d'acqua presi da una fontana per evitare o scoppio di una bomba, avendo a disposizione due taniche rispettivamente da itri e da 5 itri; naturamente i due eroi sono stati in grado di risovere i probema in men che non si dica e di evitare o scoppio dea bomba. Vuoi provare a trovare a souzione di questi due probemi? 144 Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

145 1 Quanto vae 6a se a ˆ b 1? a. 4b 1 b. 4b c. 4b d. 4b 4 e. nessuna dee precedenti b:š Sia x ˆ, y ˆ 1, z ˆ. Con a seguente serie di passaggi agebrici si arriva daa premessa corretta x ˆ y z aa concusione erronea x ˆ y. In quae passaggio si commette 'errore? a. x x y ˆ y z x y motipicando per x y b. x xy ˆ xy xz y yz svogendo i prodotti c. x xy xz ˆ xy y yz portando xz a primo membro d. x x y z ˆy x y z raccogiendo a fattor comune e. x ˆ y sempificando e:š Se a 1 ˆ b ˆ c ˆ d 4, qua eá i piuá piccoo dei numeri a, b, c, d? a. a b. b c. c d. d e. non si puoá stabiire in base ai dati de probema e:š 4 La souzione dea seguente equazione x 1 1 x x :::: x ˆ 001 eá: a. quasiasi numero x b c. 10 d. 1 e. nessuna dee precedenti e:š 5 Ai tempi dea ira, un incaito giocatore paga 5000 per entrare in una casa da gioco dove raddoppia i suoi sodi. Uscito paga 5000 per i parcheggio de'auto, ma, visto che a fortuna gi eá propizia, entra in una seconda casa da gioco ad ingresso gratuito, ove nuovamente raddoppia i suo danaro. Dopo aver nuovamente pagato i parcheggio de'auto con 6000, si accorge che non gi rimane nua ne portafogio. Quanti sodi aveva iniziamente i giocatore? a b c d. i dati sono insufficienti e. e risposte precedenti sono tutte errate e:š 6 Un giornae costa E 0,90; a chi o acquista viene offerto un suppemento facotativo de costo di E 1,50. A fine giornata sono state vendute copie de giornae e 'incasso compessivo dea vendita de giornae e dei reativi suppementi eá stato di E 59,70. Quanti suppementi sono stati acquistati? a. meno di 66 b. piuá di 67 e meno di 1 c. piuá di 1 e meno di 00 d. piuá di 01 e meno di 66 e. piuá di 66 c:š 7 Data una funzione reae tae che f x 1 a. 0 b. 1 ˆf x 1 c. 1 d. e tae che f ˆ, quanto vae f 1? e. d:š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI 145

146 Quae banca per i conto corrente? Per Natae Antonio ha ricevuto in regao dee somme di denaro e ha deciso di aprire un conto corrente in una Banca. Non vuoe peroá agire di fretta e decide di informarsi presso e banche dea sua cittaá in modo da avere e condizioni piuá favorevoi. Suo padre gi suggerisce di stare attento non soo a tasso di interesse che a banca propone (i tasso creditore), ma anche a tasso di interesse sugi eventuai scoperti (i tasso debitore), ae spese di gestione de conto, aa gratuitaá o meno dea carta bancomat e cosõá via. Antonio chiama a sua amica Laura e e chiede di accompagnaro nee tre banche che ha sceto dea sua cittaá. Insieme parano con i funzionari di ciascuna banca e aa fine si ritrovano con un certo numero di opuscoi che spiegano tutte e caratteristiche dee diverse tipoogie di conto. "Perfetto" commenta Antonio "adesso dobbiamo cercare di chiarirci e idee; quando e informazioni sono troppe, eá megio seezionare quee che servono." Antonio si mette a eggere e caratteristiche di ogni tipo di conto e Laura annota tutto in una tabea. Ecco che cosa dice Antonio. "La Puscredit ci offre un conto con un numero massimo di 80 operazioni a'anno gratuite e un tasso di interesse de,5%; e operazioni otre e 80 e paghiamo 50 centesimi 'una e se andiamo in rosso paghiamo interessi de 1,75%. La carta Bancomat eá gratuita, non ci sono spese di apertura de conto ma costa E 0 se decidiamo di chiudero. Possiamo anche gestire i conto via Internet senza spese aggiunte. La Midcredit ci daá un interesse moto piuá basso percheá eá deo 0,5%, ma ci daá un numero iimitato di operazioni a un costo fisso annuo di E 60, carta Bancomat gratuita e non costa nua neá aprire neá chiudere i conto. I tasso debitore peroá eá de 15%. Anche qui a gestione via Internet eá gratuita. La Minicredit ci fa pagare ogni operazione 0 centesimi e non ne abbiamo di gratuite; peroá i tasso eá piuttosto ato, eá de 4%, mentre i tasso debitore eá de 1%. Bancomat gratuito, possibiitaá di gestione via Internet de conto come per e atre due banche e si pagano E 0 per e spese di chiusura". Quea che segue eá a tabea che Laura ha preparato; competaa inserendo e informazioni. Puscredit Midcredit Minicredit tasso creditore tasso debitore spese di gestione fisse spese variabii spese di chiusura 146 Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

147 Rispondi adesso ae domande. 1 Antonio prevede di fare mediamente 10 operazioni a mese e di non andare mai in rosso. Considerando soamente e spese, qua eá a banca che offre e condizioni migiori? Cambia a risposta aa precedente domanda se e operazioni sono mediamente 0 a mese? Sempre considerando soo e spese, con quante operazioni a'anno a Puscredit eá equivaente aa Midcredit o aa Minicredit? Con quante operazioni sono invece equivaenti a Midcredit e a Minicredit? 4 Se Antonio pensa di poter mantenere una somma di E 000 su conto e di eseguire circa 90 operazioni a'anno, quae banca conviene scegiere? 5 Qua eá a somma che Antonio deve tenere su conto affincheâ e condizioni dea Minicredit, supponendo un numero di operazioni a'anno pari a 60, equivagano a quee dea Puscredit? 6 Supposto che Antonio riesca ad avere E per i primi otto mesi e i numero di operazioni in un anno sia pari a 50, qua eá 'importo massimo che puoá preevare dopo questo periodo per arrivare a fine anno chiudendo in pareggio (cioeá con un sado uguae a zero) in ciascuna dee tre banche? 1 Puscredit Midcredit 00, circa 1, 00 4 Minicredit 5 E con a Puscredit: E 10159,87; con a Midcredit: non eá possibie; con a Minicredit: E 1046,79 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. 1: LE EQUAZIONI 147

148 CAPITOLO Le disequazioni 1. LE DISEQUAZIONI CON DERIVE Le disequazioni si risovono con o stesso comando che abbiamo imparato ad usare per risovere e equazioni, sia che si tratti di disequazioni intere che di disequazioni frazionarie. Basta dunque inserire i testo dea disequazione e appicare ad essa i comando Risovi/Espressione. Interessante eá peroá in questo caso usare a risouzione passo passo che consente di vedere i passaggi e e regoe per giungere aa souzione. Inserisci aora nea finestra di Agebra a disequazione 4 x > 0 e appica tre vote i comando Sempifica/Visuaizza passaggi (corrispondente a'icona con a scaetta); nea finestra di Agebra trovi Vediamo come Derive ha svoto i suoi cacoi: a primo passaggio eá stato spostato a secondo membro i termine noto cambiandogi segno appicando a regoa x y > z! x > z y a secondo eá stata eseguita a divisione per appicando a regoa If n > 0 nx > y! x > y n a terzo passaggio sono stati cambiati i segni ed i verso dea disequazione appicando a regoa x > y! x < y La risouzione passo passo non eá peroá conveniente con disequazioni piuá compesse percheá Derive non mostra i passaggi come siamo soiti fare e spesso riscrive sempicemente a disequazione in un'atra forma. 148 Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

149 Quando una disequazione non ha souzioni oppure eá sempre verificata, i comando Risovi/Espressione restituisce rispettivamente fase oppure true; di seguito puoi vedere acuni esempi: Per risovere un sistema di disequazioni si deve usare i comando Risovi/Sistema; Derive chiede subito da quante equazioni o disequazioni eá composto i sistema proponendo per defaut. Una vota confermato i numero di reazioni con i pusante OK, si apre una finestra formata da tante righe quante sono e disequazioni che devono essere scritte, normamente impostate a zero; in ognuna di queste righe va scritta una disequazione. Occorre poi seezionare e variabii rispetto ae quai i sistema deve essere risoto ciccando sua finestra Variabii dea souzione; ne nostro caso avremo soo a x e non eá quindi necessario specificare atro. Per ottenere a souzione basta ciccare su pusante Risovi. x > 0 Prova a risovere i sistema. 7 x > 0 Se hai svoto correttamente tutte e operazioni trovi che a souzione eá < x < 7 :. LE DISEQUAZIONI CON EXCEL Impostando un fogio di avoro simie a queo preparato per e equazioni possiamo risovere anche una disequazione ineare nea forma ax b > 0. Una vota assegnati i vaori dei coefficienti a e b ae cee B e B4, dobbiamo scrivere a formua di risouzione ragionando in questo modo: quando nea cea B c'eá un numero positivo, a souzione eá x > B4/B quando nea cea B c'eá un numero negativo, a souzione eá x < B4/B quando nea cea B c'eá zero e nea cea B4 c'eá un numero positivo, a disequazione eá sempre verificata (un numero positivo eá sempre maggiore di zero) quando nea cea B c'eá zero e nea cea B4 c'eá un numero negativo, a disequazione non eá mai verificata. Per evitare di scrivere una formua troppo compicata, con tante istruzioni SE nidificate, dividiamo i probema in due Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI 149

150 parti: nea cea B6 scriviamo a souzione nei primi due casi, nea cea C6 scriviamo a souzione negi atri due: B6: ˆ SE B > 0; }x > }& B4&}=}&B ;SE B < 0; }x < }& B4&}=}&B {z } {z } ; {z } } } caso in cui a eá positivo caso in cui a eá negativo caso in cui a eá nuo La parte }x >}& B4&}=}&B di questa formua eá una concatenazione di stringhe e contenuti di cee mediante i simboo & che serve per unire e diverse parti e che ha questo significato (i riferimento eá a fogio a fine pagina dove abbiamo risoto a disequazione 4x 5 > 0): viene scritta a parte fra apici, cioeá x > subito dopo, i contenuto dea cea B4 cambiato di segno, cioeá 5 di seguito a parte fra apici, cioeá = poi i contenuto dea cea B, cioeá 4 In definitiva, nea cea B6, ne caso in cui i coefficiente a sia un numero positivo, viene scritto x > 5=4. Quando invece in B c'eá un numero negativo viene scritto x < B4/B e quando B non eá neâ positivo neâ negativo (cioeá vae zero), viene scritta una stringa vuota. C6: ˆ SE E B ˆ 0; B4 > 0 ; B4&"> 0 sempre verificata"; SE(E(B ˆ 0; B4 0 ; B4&"> 0 mai verificata"; " " Con questa formua si anaizza i caso in cui i coefficiente a eá uguae a zero: quando B ˆ 0eB4> 0 aora a disequazione eá sempre verificata; quando B ˆ 0eB4 0 aora a disequazione non eá mai verificata; a stringa vuota diventa a sceta quando nessuna dee precedenti condizioni eá verificata e cioeá quando B 6ˆ 0. A B C D E F G 1 RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE NELLA FORMA ax+b>0 Vaore di a 4 4 Vaore di b Souzioni x> ± 5/4 Prova a controare che tutto funzioni correttamente assegnando ae cee B e B4 vaori numerici diversi, anche nui; dovresti ottenere i risutati indicati nei seguenti fogi. A B C D E F G 1 RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE NELLA FORMA ax+b>0 Vaore di a 0 4 Vaore di b 5 6 Souzioni > 0 sempre verificata A B C D E F G 1 RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE NELLA FORMA ax+b>0 Vaore di a 0 4 Vaore di b ± 5 6 Souzioni ± > 0 mai verificata 150 Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

151 A B C D E F G 1 RISOLUZIONE DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE NELLA FORMA ax+b>0 Vaore di a 0 4 Vaore di b Souzioni 0 > 0 mai verificata ESERCIZI Risovi e seguenti disequazioni usando gi opportuni comandi di Derive. 1. x 1 > x x 4 x 1. x 1 x 4 x x x x x x. 1 x > x 1 x x 1 x x x 4. x 5 x > 1 x x 4 > x 4 x Risovi i seguenti sistemi di disequazioni con Derive < x > x 4 < x x 1 > 0 : x 1 x > 1 : < 1 x < x 1 > x < x 5 > 0 : 1 x < : x > 1 x 7. 8 >< >: x 1 x 1 x 1 > 1 x x 8 >< >: 1 4x 4 0 x x > 4 Usando i fogio di avoro di Exce preparato ne'esercitazione, risovi a disequazione ax b > 0 per i seguenti vaori di a e b. 8. a ˆ b ˆ 1 9. a ˆ 0 b ˆ 10. a ˆ 4 b ˆ a ˆ 1 b ˆ 0 1. a ˆ 0 b ˆ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI 151

152 1 Quanti sono i numeri interi reativi n per cui nn n 4 n 6 < 0? a. nessuno b. c. d. 5 e. infiniti b:š Sia x un numero reae reativo. Aora 1 x < 1eÁ vera se e soo se: a. x < 0 b. x < 1 c. x > 1 d. x > 1 _ x < 0 e. 0 < x < 1 d:š x Quante souzioni reai ha 'equazione j j jx 1j ˆ x? 5 5 a. nessuna b. 1 c. d. e. infinite b:š 4 Quante sono e coppie ordinate di numeri naturai x, y, x > 0, y > 0, tai che 5 < x y < 10? (Attenzione: si considerano coppie ordinate, quindi, ad esempio, e coppie, 4, 4, sono distinte fra oro). a. 0 b. 5 c. 0 d. 5 e. nessuna dee precedenti d:š L'azienda di famigia La Taco eá un'azienda che confeziona abiti per acune case di moda. In azienda arrivano e pezze dea stoffa con cui devono essere confezionati gi abiti e o stiista consegna i disegni e i cartamodei per e diverse tagie; a suo interno si procede poi a tagio de tessuto, a confezionamento e aa stiratura. Quache vota accade che non si riesca a competare i avoro nei tempi concordati e che si debba ricorrere a soggetti esterni; di soito i titoari si affidano a una piccoa azienda itaiana de oro settore, ma utimamente hanno ricevuto dei preventivi moto convenienti da aziende estere e stanno prendendo in considerazione di affidare i avoro in eccedenza anche a una di queste. Per fare a sceta piuá appropriata devono testare sia a quaitaá de avoro (i oro cienti sono moto esigenti) che a convenienza economica. Ecco i dati in oro possesso. n I costi di gestione de'azienda, fra costo di manutenzione dei macchinari, beni di consumo e quant'atro, incidono su ogni capo prodotto per circa E 0. n Ogni giorno avorativo, quaunque sia i numero di capi prodotto, si ha un costo fisso di E 100 dovuti aa presenza dei dipendenti che, sia in presenza che in assenza di avoro, devono essere retribuiti, ai costi de'energia eettrica, de riscadamento, de'acqua. n L'azienda itaiana di appoggio riceve i capi giaá tagiati e fa pagare E 18 per i confezionamento di ogni abito, che peroá viene consegnato non stirato; a Taco deve provvedere a tagio e aa stiratura che e co- 15 Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

153 stano E 8,50; in piuá ogni invio di materiae da avorare e ogni ritiro dei capi pronti e costa compessivamente E 10. n L'azienda estera esegue i tagio e i confezionamento per E 1 a capo per ordini di ameno 100 unitaá ei costi sagono a E per ordini inferiori; anch'essa non provvede aa stiratura che aa Taco costa E ; anche in questo caso 'invio de materiae e i ritiro dei capi ha un costo compessivo pari a E 500. Un'atra informazione nota eá che a struttura aziendae dea Taco e permette di confezionare a massimo 00 capi a giorno; uteriori quantitaá devono essere prodotte a'esterno de'azienda. Rispondi ai quesiti che seguono basandoti sue informazioni date. 1 La Taco ha ricevuto un ordine di 00 capi da evadere in due settimane avorative (una settimana avorativa eá di 5 giorni). Visto che non puoá fare tutto i avoro da soa, a quae azienda eá megio rivogersi per a parte che non puoá fare da soa? Se a Taco dovesse ricevere un ordine che non eá in grado di evadere percheâ eá giaá a massimo dea sua capacitaá produttiva, a quae azienda dovrebbe rivogersi a variare de numero di abiti da confezionare? Se i numero di capi da confezionare fuori sede fosse minore di 100, sarebbe conveniente affidare 'ordine aa partner estera? 4 Aa Taco uno sciopero nazionae bocca a produzione per un giorno e, per non andare incontro a penai, si decide di portare 'intera produzione a'esterno. Se i capi da confezionare sono in tutto 15, dove conviene portari? E se sono 15? 5 La Taco vauta 'ipotesi di affidare tutto i avoro ae atre due aziende con invii e ritiri quotidiani di capi e materiae. EÁ conveniente questo tipo di operazione? In ta caso, a chi conviene rivogersi? 6 Se a partner estera decidesse di portare i costo di ogni capo a E 5 indipendentemente da numero di capi prodotti, in quae caso sarebbe piuá competitiva de'azienda itaiana? 7 La Taco decide di gestire a suo interno soo i tagio e a stiratura dei capi (costo E 8,50) riducendo in questo modo e spese a E 800 a giorno. I preventivo per a confezione de'azienda itaiana eá ancora di E 18 a capo, mentre 'azienda estera chiede E 16. A quae dee due aziende conviene rivogersi a variare de numero dei capi? 8 Tenendo presenti i dati de probema precedente, qua eá 'espressione che rappresenta i costo di un capo finito e pronto da consegnare? EÁ possibie che i costo di un capo finito sia inferiore a E 5? 1 partner estera meno di 15: partner itaiana no 4 eá indifferente; eá megio a partner itaiana 5 soo se produce meno di 175 capi a giorno e conviene a partner estera 6 piuá di 5 capi 7 aa partner itaiana per meno di 190 capi 8 posto x ˆ numero dei capi : x < 190 : 90 x 5, x > 190 : 100 x con 'azienda itaiana, sempre con 'azienda estera 49, costo inferiore a E 5 per 108 < x < 190 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - Cap. : LE DISEQUAZIONI 15

154 Cap 1. LE EQUAZIONI Rivedi a teoria IdentitaÁ ed equazioni L'uguagianza fra due espressioni agebriche puoá essere verificata: per quasiasi vaore attribuito ae variabii e in questo caso si para di identitaá soo per particoari vaori attribuiti ae variabii e in questo caso si para di equazione. Risovere un'equazione significa trovare i vaori dee variabii che verificano 'uguagianza; tai vaori si dicono souzioni o radici de'equazione. Per esempio: x 1 x ˆ x 1 eá un'identitaá percheâ i secondo membro non eá atro che o sviuppo de primo e quindi 'uguagianza eá sempre vera x ˆ x eá un'equazione percheâ 'uguagianza non sussiste per tutti i vaori di x ma soo per quacuno; per esempio: se x ˆ si ottiene 6 ˆ 4 che eá Fasa se x ˆ 1 si ottiene ˆ 1 che eá Vera. Equazioni equivaenti Due equazioni si dicono equivaenti se e souzioni dea prima sono anche souzioni dea seconda e viceversa. Per risovere un'equazione si cerca di passare da un'equazione ad un'atra ad essa equivaente ma di minore compessitaá; e operazioni consentite per effettuare questi passaggi sono immediata conseguenza di due teoremi che prendono i nome di principi di equivaenza. n Primo principio. Se si aggiunge o si togie ad entrambi i membri di un'equazione una stessa espressione (avente o stesso dominio de'equazione) si ottiene un'equazione equivaente a quea data. n Secondo principio. Se si motipicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione per una stessa espressione (avente o stesso dominio de'equazione), diversa da zero, si ottiene un'equazione equivaente a quea data. Questi principi consentono di: spostare un termine da una parte a'atra de'uguae cambiandogi segno: x 5 ˆ! x ˆ 5 eiminare i termini uguai che si trovano in entrambi i membri de'equazione: 5x 4 x ˆ x! 5x 4 ˆ 154 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

155 cambiare segno a tutti i termini di un'equazione: 6x ˆ 1 x! 6x ˆ 1 x dividere tutti i termini de'equazione per un fattore comune: 9x 6 ˆ 1 x! x ˆ 4 x passare da un'equazione a coefficienti frazionari ad una a coefficienti interi motipicando per i m:c:m: fra tutti i denominatori: x 1 1 ˆ 5 6 x! 6 x 1 5 1x ˆ 6 6 6! x 1 ˆ 5 1x La cassificazione dee equazioni In genere 'incognita di un'equazione si indica con a ettera x; tutte e atre ettere che eventuamente compaiono, savo diversa specificazione, sono dei parametri. Con questa convenzione diciamo che un'equazione eá: intera se a x non compare in nessun denominatore; frazionaria se a x compare anche in un soo denominatore; numerica se non ci sono parametri; etterae se ci sono parametri. Per esempio: x 5 4 x 1 x ˆ x x eá numerica intera x a b ˆ x 1 x 1 eá numerica frazionaria ax x 1 ˆ ax 1 x a ˆ 1 eá etterae intera eá etterae frazionaria Un'uteriore cassificazione si puoá fare in base a numero di souzioni; si dice che un'equazione eá: determinata se ha un numero finito di souzioni indeterminata se ha infinite souzioni impossibie se non ha souzioni. I grado dee equazioni Ogni equazione intera, trasportando tutti i termini a primo membro e svogendo i cacoi, si puoá scrivere nea forma Ex ˆ 0. I grado de poinomio Ex eá anche i grado de'equazione. Per esempio: 4x 7 ˆ 0 eá un'equazione di primo grado (si chiama anche equazione ineare) 6x 5x 1 ˆ 0 eá un'equazione di secondo grado 5x 4x ˆ 0 eá un'equazione di terzo grado. Un'equazione di primo grado determinata ammette sempre una souzione reae; se, appicando i principi di equivaenza, si arriva a scrivere 'equazione nea forma x ˆ k, si puoá dire che k eá a souzione. La risouzione dee equazioni di primo grado Per risovere un'equazione di primo grado: x 5 ˆ 7x 4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 155

156 si trasportano i termini che contengono 'incognita a primo membro e quei che non a contengono a secondo: x 7x ˆ 5 4! 4x ˆ 1 se i coefficiente di x non eá nuo, si dividono entrambi i membri per tae coefficiente: 4x 4 ˆ 1 4! x ˆ 1 4 La procedura eá diversa se i coefficiente di x eá nuo. In questo caso: se anche i termine noto eá nuo, 'equazione eá indeterminata percheâ quea che si ottiene eá un'uguagianza vera per quasiasi vaore di x; se i termine noto non eá nuo, 'equazione eá impossibie percheâ quea che si ottiene eá un'uguagianza fasa per quasiasi vaore di x. Per esempio: x x ˆ x 1! x x ˆ 1! x ˆ! ˆ 'equazione eá determinata con souzione! x ˆ 4x 1 ˆ 4 x! 4x 1 ˆ 4x 8! 4x 4x ˆ 8 1! 0 x ˆ 9 'equazione eá impossibie percheâ non esiste acun x che motipicato per 0 dia per risutato 9 x 5 ˆ 6x 15! 6x 15 ˆ 6x 15! 6x 6x ˆ 15 15! 0 x ˆ 0 'equazione eá indeterminata percheâ quasiasi vaore di x motipicato per 0 daá come risutato 0. Fai gi esercizi Risovi e seguenti equazioni numeriche intere. 1 x 5 4 ˆ 4 x ; x 1 x 11x 19 ˆ x 1 x ˆ1 x 7 x ; 6x 1 1 x 1 1 ˆ 4 11x 1 4 x 6 4 6x 9 18 x ˆ 1 6 x x ; x 6 6 ˆ 1 x ; 5 x x 1 x ˆ x 4 x 1 ; 6 4x 7 1 x 1 8 x x 1 x 4 x 4 x 5 x x 4 S ˆf5g; S ˆf gš 1 4 x 1 ˆ x S ˆ x 5 1 x ˆx x 4 x 1 10 ˆ x 4 S ˆ R; S ˆ 1Š ; S ˆf0g " S ˆ 1 ; S ˆ 8 # 7 S ˆf g; S ˆf gš x 1 " 5x 1 ˆ x; ˆ x S ˆ 1 ; S ˆ # 7 1 x ˆ x 1 x 1 x 1 S ˆ ˆ 1 x x S ˆ Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

157 Risovi e seguenti equazioni numeriche frazionarie. 9 ESERCIZIO GUIDA x 4 x x x 1 ˆ Quando 'equazione eá frazionaria, cioeá 'incognita compare anche a denominatore, si devono porre e condizioni di esistenza di ogni frazione ed escudere quindi da dominio quei vaori di x che annuano i denominatori. Ne nostro caso dobbiamo chiedere che sia: x 6ˆ 0 ^ x 1 6ˆ 0 cioeá x 6ˆ 0 ^ x 6ˆ 1 Non si possono quindi eventuamente accettare come souzioni i vaori 0 e 1. Per risovere 'equazione facciamo i denominatore comune: x 1 x 4 xx x ˆ x 1 xx 1 xx 1 Motipichiamo entrambi i membri per tae denominatore (che non eá nuo per e condizioni poste) e trasformiamo 'equazione in forma intera: xx 1 x 1 x 4 xx x ˆ x 1 xx 1 xx 1 xx 1 x 4x x 4 x x ˆ x x! x x 4 ˆx x x x ˆ 4! 5x ˆ 4! x ˆ 4 5 PoicheÁ i vaore trovato di x non coincide con nessuno di quei escusi da dominio, a souzione eá accettabie ed eá S ˆ ESERCIZIO GUIDA x 4 x 1 ˆ x x x Scomponiamo i terzo denominatore: x 4 x 1 ˆ x x x 1 Condizioni di esistenza: x 6ˆ 0 ^ x 6ˆ 1 Procediamo come ne caso precedente: x x 1 1x ˆ x x x 1 x x 1 x x 1 x 1x ˆ x! 1x ˆ 0! x ˆ 0 Questa vota i vaore trovato coincide con uno di quei escusi da dominio e non eá pertanto accettabie; 'equazione non ha quindi souzioni ed eá S ˆ x x x x 1 ˆ 5 x x ; x 1 x 4 x ˆ x 1 x 1 x 1 x 6 x 5x 6 ˆ x x ; 1 x 4 x ˆ 0; 4 x x x x 1 ˆ x x 5x 6 x x 1 ˆ x 4x 7 1 x 1 x S ˆfg; S ˆ S ˆ 1; S ˆ 5 4 S ˆ f 1g; S ˆ 1Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 157

158 14 15 x ˆ 6 x x x x 1 x 4x 7 x 5x ˆ x 1 x 1 ˆ 1 n S ˆ o n ; S ˆ 8 o 5 4 x 1 x ˆ 0 n S ˆ 1; S ˆ 15 o Risovi e discuti e seguenti equazioni etterai. 16 ESERCIZIO GUIDA 17 b x 1 ˆ b b 6ˆ 0: S ˆ b 4 ; b ˆ 0: S ˆ 1 b 18 ax ˆ 5 x a 6ˆ 1: S ˆ 5 ; a ˆ 1: S ˆ 1 a 1 h n 19 a x ˆa x 1 a 6ˆ : S ˆ a o i ; a ˆ : equazione impossibie, S ˆ 1 a x b b 0 x b ˆ x b 6ˆ 1 4 b : S ˆ ; b ˆ 1 : equazione impossibie, S ˆ b x ˆ 5 x a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1: S ˆ 5 ; a ˆ 0: equazione perde significato; a ˆ 1: S ˆ 1 a a 1 (Suggerimento: i dominio de'equazione eá R ma, percheâ 'equazione abbia senso, devi porre a condizione a 6ˆ 0) x x ˆ 1 x a ˆ 0: equazione perde significato; a 6ˆ 1 a 4a ^ a 6ˆ 0: S ˆf1g; a ˆ 1 : S ˆ R Quando 'equazione eá etterae, eá necessario discutere cosa accade a variare de parametro; osserva 'esempio. a 1 x ˆ a 1 L'equazione ha dominio R. Per trovare a souzione dobbiamo dividere entrambi i membri per a 1 e dobbiamo essere sicuri che questo fattore sia diverso da zero; poicheâ eá un vaore noto (e non eá zero), dobbiamo anaizzare soo i binomio a 1 distinguendo i seguenti casi: a 1 n se a 1 6ˆ 0 cioeá a 6ˆ 1 dividendo otteniamo x ˆ cioeá x ˆ a 1 a 1 n se a 1 ˆ 0 cioeá a ˆ 1 non possiamo dividere; sostituiamo aora 1 a posto di a ne'equazione ottenendo 1 1 x ˆ 1 1 cioeá 0 x ˆ 0; 'equazione eá quindi indeterminata. Riassumendo abbiamo che: se a 6ˆ 1 aora S ˆ a 1 8 5x 6 x a 1 ˆ x a ˆ 0: equazione perde significato; a 6ˆ 6 ^ a 6ˆ 0; S ˆ a 6 a 4 ESERCIZIO GUIDA x a x ˆ 1 a 1 ;sea ˆ 1 aora S ˆ R. ; a ˆ 6: S ˆ 1 Si tratta di un'equazione etterae frazionaria. Dobbiamo distinguere e condizioni su parametro dae condizioni per 'incognita: per quanto riguarda i parametro deve essere: a 6ˆ 1 per quanto riguarda 'incognita deve essere: x 6ˆ. 158 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

159 5 Procediamo come negi atri casi e riduciamo 'equazione aa forma intera: x a a 1 x a 1 ˆ x x a 1 ax x a a ˆ x! ax x ˆ a a! a x ˆ a 1 a Procediamo aa discussione: a 1 a se a 6ˆ 'equazione ha souzione x ˆ a a 1 x a a 1 x a ˆ a a a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ f1g; a ˆ 0 : S ˆ R f0g; a ˆ1 : S ˆ 1 x a 6 a x x a! x ˆ a 1 se a ˆ 'equazione diventa 0 x ˆ 0! 0 ˆ 0 quindi eá indeterminata La souzione trovata eá accettabie se eá diversa da (vaore escuso da dominio de'equazione): a 1 6ˆ! a 6ˆ 1 condizione giaá posta iniziamente In definitiva S ˆ fa 1g soo se a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ. Quando a ˆ 1 'equazione perde significato; quando a ˆ, S ˆ R. 1 x x a 1 x a x ˆ 0 a 6ˆ 0 : S ˆ 1 a ; a ˆ 0 : S ˆ R f0g 7 a x a x 4a a ˆ x 4 a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ : S ˆ fa 1g; a ˆ 0 : S ˆ R f, g; a ˆ 1 _ a ˆ : S ˆ 1 Rivedi a teoria Equazioni e probemi In un probema ci viene sostanziamente chiesto di trovare i vaore di quache eemento avendo a disposizione acune informazioni assegnate sotto forma di dati. Quando non eá possibie rispondere ae domande deducendo e risposte direttamente dai dati, eá di soito conveniente servirsi di incognite. In genere si indica con x un eemento non noto de probema, si riscrivono i dati in funzione di x e si cerca di arrivare a un'equazione che permetta di ricavare i vaore di x. Vediamo un esempio. Giuseppe eá diventato padre per a prima vota a'etaá di anni; due anni dopo eá nato i secondo figio e oggi i due figi hanno compessivamente 4 anni. Quanti anni ha Giuseppe? Scriviamo e interpretiamo i dati: Se Giuseppe eá diventato padre de primo figio a anni, oggi ha anni piuá 'etaá de primo figio. Dopo due anni eá nato i secondo figio e oggi i due figi insieme hanno 4 anni. Se aora indichiamo con x 'etaá de primo figio, i secondo, che eá nato due anni dopo, ne ha x e sappiamo che a oro somma eá 4; possiamo quindi scrivere 'equazione: x x ˆ4 a cui souzione eá x ˆ 18 PoicheÁ i vaore trovato di x eá compatibie con i probema (x rappresenta un'etaá e deve quindi essere un numero positivo), possiamo concudere che i primo figio ha 18 anni e i secondo ne ha 16. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 159

160 I probema peroá chiede 'etaá di Giuseppe, quindi avere trovato i vaore di x non ha ancora risoto i probema. Possiamo tuttavia dire che, in base a primo dato, Giuseppe ha 18 ˆ 50 anni. La risouzione di questo probema mette in evidenza che, anche se ognuno puoá trovare strade diverse per rispondere ae domande, tuttavia acuni passi sono necessari per essere sicuri di giungere aa souzione. Possiamo sintetizzari in un eenco: scrivere e informazioni che si possono ricavare da probema, eventuamente interpretandoe; scegiere 'incognita e determinare i suo dominio che deve essere compatibie con i probema; scrivere 'equazione che permette di ricavare i vaore de'incognita, tenendo conto dei dati e di eventuai teoremi se si tratta di un probema di geometria; risovere 'equazione e accertarsi che i vaore trovato sia accettabie; trovare cioá che i probema chiede percheâ, spesso, i dato richiesto non coincide con 'incognita sceta. Fai gi esercizi 8 Un cub sportivo acquista uno stock di magiette e tute per i propri ateti spendendo in tutto E 450; se ciascuna magietta costa E 1 e ciascuna tuta costa E 5, quante magiette e quante tute sono state acquistate se in tutto ci sono 150 capi? 100 magiette e 50 tuteš 5 9 Da un magazzino sono state preevati i dea merce che conteneva; successivamente si sono utiizzati 1 i di cioá che era rimasto in modo che aa fine si sono avanzate 448 unitaá di merce. Quante unitaá di 4 merce c'erano ne magazzino prima dei due preievi? 07Š 0 Un numero eá i quadrupo di un atro numero; aggiungendo 8 a piuá grande e sottraendo 7 a piuá piccoo motipicato per 7 si ottengono vaori uguai. Quai sono i due numeri? 5; 0Š 1 Ad ogni anniversario di matrimonio Andrea regaa a sua mogie dee rose, e ogni anno giene regae due in piuá de precedente, tranne gi utimi due anni nei quai e ha regaato esattamente un numero di rose pari a doppio degi anni di matrimonio. Se quest'anno hanno festeggiato i 10 anni di matrimonio e compessivamente Andrea ha regaato 14 rose, da quante rose era composto i mazzo de primo anniversario? 6Š In un rettangoo a base diminuita dei de'atezza vae 10cm mentre i perimetro eá 48cm. Cacoa 'area de rettangoo. 140cm 5 Š I perimetro di un trapezio isoscee eá 00cm; di esso si sa inotre che a somma dea base maggiore con i tripo de ato obiquo misura 0cm e che i ato obiquo supera di 10cm i doppio dea base minore. Cacoa a misura dei ati de trapezio. 0cm; 80cm; 50cmŠ Cap. LE DISEQUAZIONI Rivedi a teoria Le disuguagianze numeriche Una disuguagianza fra due numeri a e b esprime a condizione che a possa essere maggiore oppure minore di b e si scrive rispettivamente a > b oppure a < b Le disuguagianze godono di diverse proprietaá, e piuá importanti dee quai si possono cosõá sintetizzare: 160 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

161 se ai due membri di una disuguagianza si addiziona (o si sottrae) uno stesso numero, si ottiene una disuguagianza deo stesso verso: a > b! a c > b c se si motipicano (o si dividono) i due membri di una disuguagianza per uno stesso numero positivo si ottiene una disuguagianza deo stesso verso: a > b ^ c > 0! ac > bc se si motipicano (o si dividono) i due membri di una disuguagianza per uno stesso numero negativo si ottiene una disuguagianza di verso opposto: a > b ^ c < 0! ac < bc come nee equazioni, non si puoá invece motipicare o dividere per zero. Per esempio, daa reazione 15 > si deducono e seguenti: sommando ad entrambi i membri 6 : 15 6 > 6! 9 > motipicando entrambi i membri per : 15 >! 0 > 6 dividendo entrambi i membri per : 15 <! 5 < 1 Le disequazioni Se a disuguagianza viene stabiita fra due espressioni funzioni nea stessa variabie, si para di disequazione; eá per esempio una disequazione una reazione de tipo: x 4 > 1 x 6 Risovera significa trovare i vaori di x per i quai 'espressione x 4 assume vaori maggiori di 1 x 6. Le proprietaá dee disuguagianze si possono estendere ae disequazioni; esse diventano in questo modo i principi di equivaenza dee disequazioni. La disequazione Ax > Bx eá equivaente aa disequazione Ax Cx > Bx Cx se Cx eá un'espressione che ha o stesso dominio dea disequazione data. La disequazione Ax > Bx eá equivaente aa disequazione k Ax > k Bx se k eá un numero positivo. La disequazione Ax > Bx eá equivaente aa disequazione k Ax < k Bx se k eá un numero negativo. Con una disequazione si possono quindi eseguire: ± e operazioni di trasporto di un termine da un membro a'atro come nee equazioni cambiando segno a que termine; ± e operazioni di divisione o motipicazione che permettono di sempificare a disequazione stessa, a patto di conoscere i segno de fattore per cui si deve sempificare: se tae fattore eá positivo si ascia o stesso verso nea disequazione, se eá negativo si cambia i verso. Le disequazioni intere Una disequazione eá intera se 'incognita si trova soo a numeratore e mai a denominatore. Per risovere una disequazione di questo tipo si segue una procedura anaoga a quea dee equazioni, con Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 161

162 a soa accortezza di cambiare i verso dea disequazione quando si cambiano i segni ai due membri (percheâ equivae a motipicare per 1) o si divide per un numero negativo. x Vediamo come procedere su un esempio e risoviamo a disequazione 1 < 5 x. x x 4 Eseguiamo i denominatore comune: < 6 6 Motipichiamo per 6 ed eiminiamo i denominatore: 6 x 6 < 15x 4 6 6! x < 15x 4 La disequazione ha mantenuto o stesso verso percheâ abbiamo motipicato per un numero positivo. Trasportiamo i termini in x a primo membro e i termini noti a secondo: x 15x < 4! 1x < 1 Cambiamo i segni motipicando per 1 e cambiamo quindi anche i verso: 1x > 1 Dividiamo entrambi i membri per 1 : x > 1 1 Abbiamo cosõátrovato 'intervao dee souzioni; a disequazione eá verificata per tutti gi x che sono maggiori di 1 1. Fai gi esercizi 1 Data a disuguagianza 1 <, esegui sui due membri e operazioni indicate: a. motipica per b. aggiungi c. motipica per d. aggiungi 1. Risovi e seguenti disequazioni intere. x 4 xx 1 > x 1 x ; x x < 4 x 1 x > 5 ; x > 1 x 1 6 < x 1 ; x 1 x 1 > x x 4 x < 15; x > 10 4 x 5x 4 < x 0; x 1 x > x 1 x > ; x > 5 x 4 x 1 x 16; x 1 x x 4 7x 1 x ; x 0Š 6 xx 1 4 x 1 7 x 1 5 x x 1x 9 9 x 5 6 x x ; 6x 1 10 ; x 1 x 1 > x ; x 1 x ; 1 4 x 1 1 x 1 4 x ; x 10 7 x 1 x 1 < x 1 x ; 8x RŠ x 1 > x x x x x 1 x > 4 5 ; x < 7 1 x 1; x Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

163 Rivedi a teoria Le disequazioni frazionarie Una disequazione eá frazionaria se 'incognita si trova in ameno uno dei denominatori; in questo caso, dopo aver trasportato tutti i termini a primo membro ed aver eseguito e operazioni indicate, si arriva sempre ad una forma de tipo Ax Bx > 0 oppure Ax Bx < 0 Queo che eá importante ricordare eá che i denominatori non si possono di soito eiminare percheá di essi non si conosce i segno e quindi non si sa se si deve mantenere i verso dea disequazione o se o si deve cambiare. Per risovere una disequazione frazionaria, una vota che essa si presenta in una dee forme ricordate, occorre: stabiire i dominio studiare i segno de numeratore andando a vedere quando eá positivo studiare i segno de denominatore andando a vedere quando eá positivo costruire a tabea dei segni dedurre i segno dea frazione scegiere 'intervao dee souzioni in base a verso dea disequazione. Risoviamo per esempio a disequazione 1 x x 1 avente dominio R 1. Trasportiamo tutti i termini a primo membro: Eseguiamo e operazioni indicate: 1 x x 1 0 x 1 x 6x 1 0! x 1 5 7x x x Motipichiamo per (che eá positivo) per eiminare questo fattore da denominatore: x 1 0 Indipendentemente da verso dea disequazione, andiamo a vedere quando i numeratore eá positivo o nuo e quando i denominatore eá positivo (non puoá essere nuo): numeratore: 5 7x 0! 7x 5 0! x 5 7 denominatore: x 1 > 0! x > 1 Costruiamo a tabea dei segni nea quae abbiamo evidenziato con una inea doppia che i termine 1 non appartiene a dominio dea disequazio- ne e con un paino pieno che 5 7 eá i vaore che annua i numeratore. La disequazione chiede di stabiire quando a frazione souzioni eá costituito dagi intervai 5 7x eá negativa o nua, quindi 'insieme dee x 1 x < 1 _ x 5 7 Le disequazioni di grado superiore a primo Acune disequazioni che sono di secondo grado o di grado superiore si possono risovere con o stesso criterio dee disequazioni frazionarie se, una vota scritte nea forma Ex > 0(oEx < 0), si riesce a scomporre i poinomio Ex in fattori a massimo di primo grado. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 16

164 In ta caso si procede cosõá: si scompone i poinomio Ex in fattori che devono essere tutti di primo grado si studia i segno di ogni fattore ottenuto andando a vedere quando eá positivo si costruisce a tabea dei segni si vauta i segno de prodotto si scegie 'intervao dee souzioni. Vediamo anche in questo caso un esempio risovendo a disequazione x 5x < 6 Trasportiamo tutti i termini a primo membro: x 5x 6 < 0 Scomponiamo i fattori: x 1 x 6 < 0 Studiamo i segno di ogni fattore e costruiamo a tabea dei segni: x 1 > 0! x > 1 x 6 > 0! x > 6 La disequazione chiede quando i prodotto ottenuto daa scomposizione eá negativo, quindi 'intervao dee souzioni eá: 1 < x < 6. Fai gi esercizi Risovi e seguenti disequazioni frazionarie. 10 ESERCIZIO GUIDA Seguendo o schema indicato, risovi a disequazione I dominio dea disequazione eá:... x 1 < 1; < x 7 4x 1 x x < _ x > 1 4 ; 1 6 < x < 4x x 1 0; 1 1 x 1 > x < 1 _ x 1 ; 1 x 5 4 x x ; 4x 1 < x 4 x 1 14 x 1 x x 1 x 7 7 ; 15 x 1 x 1 4 x x 1 > 1 1 x < 1 x ; x 1 x 1 x 1 1 x 1 Trasporta tutti i termini a primo membro ed esegui e operazioni indicate:... x Ottieni infine a frazione: x 1 0 Studia i segno de numeratore risovendo a disequazione x 0... Studia i segno de denominatore risovendo a disequazione x 1 > 0... Costruisci a tabea dei segni:... L'insieme dee souzioni corrisponde a'intervao con i segno negativo, cioeá 1 < x 4 x 1 1 < x < 5 9 x 9 _ x > ; 1 < x < 7 x < 0 _ x 7 ; 11 4 < x < 1 x < 6 7 _ x > 0; x _ x > 164 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

165 Risovi e seguenti disequazioni non ineari. 16 ESERCIZIO GUIDA 9x 16 > 0 Scomponi in fattori:... Studia i segno de primo fattore andando a vedere quando eá positivo:... Studia i segno de secondo fattore andando a vedere quando eá positivo:... Costruisci a tabea dei segni:... L'insieme dee souzioni si trova in corrispondenza dei segni, quindi x < 4 _ x > 4 17 x > 9; 4x < 1 x < _ x > ; 1 < x < x 6x > 0; 1 x x < 0 0 < x < 7 6 ; x < 1 _ x > 1 19 x x < 0; 5x x 4 0 < x < 1 ; x 1 _ x x 5x < 0; x x x > 0 0 < x < 5; 1 < x < 0 _ x > Š 1 x x > x ; x x 1 1x < x < 1 _ x > 1; x _ 0 x 4 ESERCIZIO GUIDA x 5 x > 0 Scomponi i poinomio a numeratore:... Studia i segno di ogni fattore a numeratore e a denominatore: Costruisci a tabea dei segni:... Da essa deduci che 'insieme dee souzioni eá 5 < x < _ x > 5 x x 1 0; 4 x x 6x x 4 x x x 4 < 0; 1 x 1 > 1 x 1 0 x 1 _ 0 x < 4; x _ 0 x < < x < 1 _ 0 < x < ; x < 1 _ 0 < x < 1 _ x > Š Rivedi a teoria I sistemi di disequazioni Per indicare che si vogiono trovare gi intervai nei quai due o piuá disequazioni sono verificate contemporaneamente, e si scrive in un sistema. Per esempio: x 1 0 x 8 < 0 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 165

166 Risovendo a prima disequazione si ottiene: x 1 Risovendo a seconda si ottiene: x < 8 La souzione de sistema eá data da'intersezione dei due intervai trovati; per determinara si usa una tabea, concettuamente diversa daa tabea dei segni usata in precedenza, ma simie nea struttura, nea quae si indicano con inee continue gi intervai souzione di ciascuna disequazione. L'intersezione eá rappresentata daa zona in cui troviamo a inea continua per entrambe e disequazioni, cioeá 'intervao 1 x < 8 In generae, per procedere aa risouzione di un sistema di disequazioni si affrontano i seguenti passaggi: si risove ciascuna disequazione si costruisce a tabea dee souzioni si cercano gi intervai dove tutte e disequazioni sono verificate contemporaneamente. 8 < x < 0 Consideriamo per esempio i sistema x 5 > 0 : x 1 < 0 Risoviamo ciascuna disequazione e costruiamo a tabea dee souzioni: x < 0 se x < S1 x 5 > 0 se x > 5 S x 1 < 0 se x < 1 S Tutte e disequazioni sono verificate ne'intervao 5 < x < 1 che eá percioá 'insieme dee souzioni de sistema. Fai gi esercizi x 1 < 5 x 7 < x 1 8 >< >: x 1 < 1 x x > x 8 < x 5 > 0 x 1 0 : x 7 < x 4 8 < 1 4x > 0 x x < x 1 : x 7 x 4 x 7 1 x 4 5x < x 15 8 >< x < x 4 1 >: x > x 5 8 x 1 5 < x 4 >< x 1 >: > 0 4x 5 > 7 8 < 4 > x 1 x x 1 < x x : x 5x 1 1 < x < ; x > 5; S ˆ 1; 5 8 < x 8 x > ; x > 7Š 1 < x < 4 1 x < Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

167 Verifica de recupero 1 Stabiisci quae fra quei indicati eá i dominio dee equazioni date: a. 1 x 1 ˆ x x D ˆ R f0g; D ˆ R f0, g; D ˆ R b. x x 5x 6 ˆ 1 x 9 D ˆ R f, g; D ˆ R f,, g; D ˆ R f,, g 0,5 punti Risovi e seguenti equazioni numeriche: a. x 7x ˆ x x 1 0,5 punti b. 4 x 1 x 1 x ˆ8x x 1 c. 5x 1 x ˆ 5x 1 5x 1 d. x 7 x x 16 x 4 x 1 x 4 ˆ 0 0,5 punti 0,5 punti 0,5 punti Risovi e discuti e seguenti equazioni etterai: a. ax a x ˆa x 1 punto b. a 8x 4a x ˆ 4 x a 8a 1 1,5 punti 4 Per acquistare un'auto nuova un tae versa un acconto di E 5000 e conviene di pagare 1 dea somma rimasta dopo tre mesi; i sado verraá fatto dopo un anno, senza interessi. Se a somma che corrisponde a sado rappresenta i 40% de vaore di acquisto de'auto, quanto costa 'auto e quai somme vengono versate ogni vota? 5 Risovi e seguenti disequazioni: a. x 1 x < x 1 b. x 1 x 9x punto c. x 1 x 1 4 < 1 x 1 4 x 0,75 punti 6 Risovi e seguenti disequazioni frazionarie: x 5 a. x < 1 b. x x 1 > 1 x 7 Risovi e seguenti disequazioni di grado superiore a primo: a. x 5x 6x > 0 b. x x x 5x 6 < 0 1 punto 1,5 punti 8 Risovi i seguenti sistemi di disequazioni: 8 x 1 >< x 1 a. x < 1 b. >: x 8 < x x 1 < 4x x 1 > x : x > 0 1,5 punti Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 167

168 Souzioni 1 a. D ˆ R f0, g; b. D ˆ R f,, g a. S ˆf0g; b. S ˆ 1 ; c. S ˆ 1 ; d. S ˆ 1 11 a. se a 6ˆ 0 aora S ˆfg, se a ˆ 0 aora S ˆ R b. se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 5 aora S ˆ 7a 5 a se a ˆ 5 aora S ˆ 1 se a ˆ 0 'equazione perde significato. 4 costo auto: E 1500; somme versate: E 500, E a. x > 0; b. x 11 ; c. x > 1 6 a. x < 1 _ x > ; b. x < 1 _ x > 7 a. 0 < x < _ x > ; b. < x < _ 1 < x < 8 a. 1 x < ; b. x > Esercizio Punteggio Vautazione in decimi 168 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

169 account ange can cashew deposit ename even inequaity interest conto angoo barattoo anacardio versamento (bancario) smato pari disuguagianza, disequazione interesse atex enght mutua fund odd paint pecan saving account width worth attice unghezza fondo comune dispari vernice noce americana deposito a risparmio arghezza de vaore di 1 Sove the equation a. 4 1 x 1 4 ˆ 1 b. 4 c. 4 d. 4 e. a rea numbers Sove the equation x ˆ x 4 10 x x 1 a. x ˆ b. x ˆ 6 c. x ˆ 5 d. x ˆ 8 e. none of these Sove for m y ˆ xm b a. m ˆ y b x b. m ˆ y b x c. m ˆ y x b y b d. m ˆ x e. none of these 4 Sove the equation agebricay j4 xj ˆ 7 a. 6 and 8 b. 6 ony c. 8 ony d. 6 and 14 e. none of these 5 Sove the inequaity x 1 a. x _ x b. x 1 _ x c. x _ x d. x 5 _ x e. x 5 ^ x 6 The sum of three consecutive odd integers is 69. What is the argest of these numbers? a. 19 b. 17 c. 15 d. 145 e Increasing a certain number by 5 and mutipying the resut by 7 is the same as mutipying the number by 5 and subtracting 1 from the resut. What is the number? a b. c. 0 d. e. nine of these 8 A paint store has a tota of 75 one-gaon cans of paint, with the ename seing for $0.00 per gaon and the atex seing at $0.00 per gaon. If the totae vaue of the paint is $ , how many gaons of ename are in stock? a. 40 cans b. 0 cans c. 5 cans d. 50 cans e. 8 cans Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 4 - MATH IN ENGLISH 169

170 9 Working together, two peope can wash their car in 10 minutes. One of the two, working aone, can wash the car in 0 minutes. How ong woud it take the other person to do the job working aone? a. 1 minutes b. 18 minutes c. 10 minutes d. 15 minutes e. none of these 10 Mr Jones has a tota of $ 5,000 to invest in two separate accounts. The saving account pays % simpe interest and the mutua fund pays 5% of interest. How much shoud he invest in the saving account in order to earn a tota of $190 in interest for one year? a. $,500 b. $ 1,000 c. $,000 d. $,000 e. $ 1, The first ange of a triange is 10 ess than the second ange. The third ange is three times the second ange. What is the measure of the second ange? a. 8 b. 45 c. 54 d. 84 e The perimeter of a rectange is 80 inches. The enght is three times the width. What is one of the dimensions? a. The enght is 0 inches b. The enght is 0 inches c. The width is 15 inches d. The width is 0 inches e. The enght is 0 inches 1 You want to mix 0 pounds of pecans worth $ 1.80 per pound with some cashews worth $.40 per pound to make a mix worth $.00 per pound. How many pounds of cashews shoud you use? a. 8 pounds b. 7 pounds c. 10 pounds d. 1 pounds e. none of these 1 a. d. d. 4 d. 5 d. 6 c. 7 d. 8 a. 9 d. 10 d. 11 a. 1 b. 1 c. 170 Tema 4 - MATH IN ENGLISH Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

171 CAPITOLO 1 La statistica descrittiva 1. LA STATISTICA CON EXCEL Igrafici Exce eá sicuramente uno degi strumenti piuá utii per rappresentare graficamente in modo sempice i dati di una distribuzione di frequenze, cacoare i vaori sintetici e studiare a variabiitaá. Consideriamo a seguente tabea di frequenze che riporta i dati reativi a numero di insufficienze registrate ao scrutinio de primo quadrimestre in acune materie, su un campione formato da tre sezioni seezionate casuamente fra e cassi prime di una scuoa superiore. Materia 1 a sezione a sezione a sezione Lingua e ett. itaiana 5 Lingua ingese 5 64 Storia, cittad. e costit. Matematica 68 5 Fisica 4 4 Diritto ed economia 0 Scienze 1 0 Prepara innanzi tutto i fogio di avoro inserendo i dati dea tabea; per costruire i grafico si deve: seezionare e cee che contengono i dati de grafico: ne nostro caso e cee da A1 a D8 attivare i menu Inserisci e successivamente scegiere a tipoogia di grafico fra quee proposte nea barra mutifunzione (con Exce 00 o versioni precedenti devi seezionare i comando Inserisci/Grafico e seguire a procedura guidata); nea figura abbiamo usato un diagramma a barre orizzontai scegiere i tipo di diagramma fra quei proposti: scegiamo Barre D I grafico eá stato creato. Per cacoare i vaori centrai di una distribuzione di frequenze, Exce ha tre funzioni statistiche predefinite: n MEDIA (n1; n;...) Cacoa a media aritmetica degi eementi eencati. I parametri "n1", "n" ecc. devono essere vaori numerici: ad esempio MEDIA (1; ; 9; 4; 5) eá 4,4; se i numeri di cui cacoare a media sono invece contenuti in un intervao di cee, basta indicare come parametro tae intervao: ad esempio MEDIA(A1:A10) cacoa a media aritmetica dei numeri contenuti nee cee da A1 ad A10. Atre funzioni per i cacoo di un vaore medio sono MEDIA.GEOMETRICA, MEDIA.ARMONICA, ME- DIA.DEV, MEDIA.TRONCATA, MEDIA.VALORI che hanno una sintassi anaoga a quea di MEDIA. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA 171

172 n MEDIANA (n1; n;...) Cacoa a mediana dei vaori eencati; ad esempio MEDIANA(1; ; ; 4; 6; 8; 9) eá 4. Se gi eementi (ricorda che devono essere ordinati) fra cui cacoare i vaore mediano sono contenuti in un intervao di cee, ad esempio B1:B10, basta indicare tae intervao come parametro dea funzione e scrivere quindi MEDIANA (B1:B10). n MODA (n1; n;...) Cacoa a moda degi eementi eencati, con e stesse modaitaá di MEDIA e di MEDIANA. Ad esempio MODA(1; ; ; ; 1; 4; ; 6) eá. Usando a funzione MEDIA cacoa a media di insufficienze nee diverse materie. I risutato che devi ottenere eá visibie nea figura che segue. A B C D E F G H I L 1 Materia 1 a sezione a sezione a sezione Media Lingua e ett. itaiana 5, Lingua ingese ,00 4 Storia, cittad. e costit.,67 5 Matematica , 6 Fisica 4 4,67 7 Diritto ed economia 0 1, 8 Scienze 1 0 1, 9 Totae Lo studio dea variabiitaá I cacoo dea deviazione standard si puoá fare con due funzioni predefinite: n DEV.ST (num1; num;...) daá una stima dea deviazione standard su un campione dea popoazione n DEV.ST.POP (num1; num;...) cacoa a deviazione standard su'intera popoazione. 17 Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

173 La prima funzione vauta a deviazione standard di un campione dea popoazione usando una formua che ancora non conosciamo e che si riferisce aa teoria su campionamento che non eá per ora oggetto de nostro studio. r 1 La seconda usa a formua n X xi X x i n che eá un atro modo di scrivere quea che abbiamo visto. In entrambi i casi, i parametri num1, num,... sono i dati statistici, di tipo numerico, di cui cacoare a deviazione standard; 'eenco dei parametri puoá anche essere individuato da un intervao di cee. Con osservazioni de tutto anaoghe si definiscono e funzioni per i cacoo dea varianza: n VAR (num1; num;...) per una stima dea varianza di un campione n VAR.POP (num1; num;...) per i cacoo dea varianza su'intera popoazione. Consideriamo dunque, a titoo di esempio, a distribuzione di frequenze che si ricava da fogio di avoro che segue, nea quae sono indicati i numero di insufficienze assegnate dai Consigi di Casse ao scrutinio finae ne biennio e ne triennio di una scuoa superiore, distinti per sezioni (i dati rievati sono dunque su'intera popoazione). Predisponi i fogio in modo da cacoare a deviazione standard e a varianza appicando e formue appropriate. Quache indicazione sua procedura che abbiamo seguito: n nee cee B11 e B1 abbiamo cacoato a media dee due distribuzioni con a funzione MEDIA; n nee cee B1 e B14 abbiamo cacoato a deviazione standard dopo aver predisposto e coonne E e G per i cacoo dei quadrati degi scarti; n a fianco di queste utime due cee abbiamo ricacoato o stesso parametro con a funzione DEV.ST.POP di Exce: come eá evidente, i risutati sono gi stessi; n nee cee B15 e B16abbiamo poi cacoato a varianza dee due distribuzioni con a funzione VAR.POP. A B C D E F G 1 SEZIONE BIENNIO TRIENNIO SCARTI B. (SCARTI B.)^ SCARTI T. (SCARTI T.)^ A , , , , B 58 5, , , , C , , , , D , , , , E , , , , F , , , , G , , , , TOTALE 90 87, , MEDIA B. 55, MEDIA T. 47, DEV.ST. B 6, , DEV.ST. T 4, , VARIANZA B 41, VARIANZA T, Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA 17

174 ESERCIZI 1. Da una indagine eá risutato che e abitudini piuá fastidiose dei passeggeri degi aerei sono e seguenti (ne questionario era possibie indicare piuá voci): Abitudine Frequenza % Passeggeri che scaciano 57 Vicini invadenti 50 Bambini senza controo 48 Passeggeri che russano 46 Passeggeri che si amentano 41 Passeggeri che parano ad ata voce 8 Passeggeri che si azano frequentemente Rappresenta i dati con un diagramma a barre; eá possibie in questo caso usare un diagramma a torta?. Rappresenta graficamente i dati dea seguente tabea costruendone i diagramma a barre e queo a torta; cacoa poi media e mediana dea distribuzione: Dati Frequenza La tabea che segue riguarda i numero dei docenti universitari negi anni 007 e 008 ripartiti in categorie: ModaitaÁ Ordinario Associato Ricercatore Rappresenta i dati mediante e modaitaá grafiche che ritieni piuá opportune. 4. Negi utimi tre mesi in una cinica sono nati bambini i cui pesi aa nascita hanno dato origine aa seguente distribuzione: Pesi 1,5,5,5,5, ,5 4,5 5Š Frequenza Rappresenta i dati graficamente, trova i vaor medio de peso dei neonati, a moda dea distribuzione, i vaore mediano e cacoa o scarto quadratico medio. 174 Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

175 Matematica e storia Perche nasce e come si sviuppa a statistica Nea societaá moderna a possibiitaá di avere informazioni corrette in modo rapido eá diventata una dea esigenze fondamentai in tutti i campi de'attivitaá umana, da'economia, aa medicina, ae scienze, aa ricerca, aa produzione. I probemi che nascono in questi settori e i tentativi di proporre souzioni portano inevitabimente a dover anaizzare grandi masse di dati; a scienza che si occupa dea gestione dei dati e dee informazioni che da essi si possono trarre eá a statistica. Pur essendosi sviuppata in modo significativo in tempi abbastanza recenti, a statistica ha origini antichissime se si pensa ae grandi raccote di dati reative ai censimenti che venivano fatte dai Romani; anche a Bibbia, parando dea nascita di Cristo, ci para per esempio di grandi movimenti di popoazioni per andare a registrare i proprio nome nei ibri dei censimenti. Fu peroá soo verso a metaá de diciassettesimo secoo che si cominciarono a studiare i primi fenomeni coettivi in modo sistematico; essi riguardavano soprattutto i governo e 'amministrazione deo Stato, da cui i termine statistica, e i fenomeni demografici. Ne 166 J. Graunt( ) pubbicoá un avoro sua struttura dea popoazione ondinese, Figura 1 Particoare di una tavoa di mortaitaá pubbicata da Graunt con o scopo di mettere in evidenza eventuai caratteristiche e a reazione fra a popoazione cittadina e quea dea campagna circostante; in esso si egge, per esempio, che i rapporto fra e nascite di maschi e di femmine nea cittaá era di 14 a 1, mentre nea campagna era di 15 a 14. L'importanza de avoro di Graunt sta ne fatto che per a prima vota non vi fu una mera raccota di dati, ma si cercoá di affrontare i probema con metodo scientifico cercando di trovare reazioni fra e variabii coinvote. Neo stesso periodo W. Petty ( ), pubbicoá i suo Saggi di aritmetica poitica ne quae egi attribuiva aa diversa distribuzione dea popoazione su territorio a causa fondamentae dea disuguagianza nea distribuzione dee ricchezze. Ne 1660 un professore de'universitaá di Hermstadt di nome H. Conring, ne suo corso di poitica, parava di statistica intendendo con questo termine una mescoanza fra descrizione storica e richiami ai fondamenti degi Stati. Un suo successore, G. Achenva ( ), sosteneva che a poitica stabiisce come gi Stati devono essere, mentre a statistica i descrive come sono in reataá; di conseguenza a statistica deve occuparsi dei cambiamenti poitici, de territorio, dei suoi abitanti. Non a caso i primi sviuppi dee tecniche statistiche avvennero in questo periodo; i diciassettesimo secoo eá infatti i secoo dee grandi scoperte scientifiche: fu per esempio inventata a prima macchina cacoatrice ad opera di Baise Pasca, nacque a geometria anaitica ad opera di Cartesio e Fermat ed i cacoo dee probabiitaá con Pasca e Fermat. I metodo sperimentae cominciava a farsi strada grazie soprattutto a Gaieo, per i quae compito dea scienza doveva essere non soo i descrivere i fenomeni, ma soprattutto spiegari, cioeá costruire una teoria daa quae si potesse dedurre i oro comportamento. Anche gi strumenti di indagine e di misura che furono inventati e costruiti ne seicento risutarono essenziai per raccogiere i dati che servivano per studiare i fenomeni; eá in questo periodo che furono costruiti i primi cannocchiai, i teescopi e i microscopi, che fu perfezionato 'oroogio e furono poste e basi per a misurazione dea temperatura. Si co- Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA 175

176 minciarono anche a fabbricare ed usare strumenti che permettessero a ripetizione degi esperimenti; basta pensare, per esempio, a piano incinato di Gaieo che permise di studiare e eggi dea caduta dei corpi. La statistica, cosõá come noi a intendiamo oggi, stentava peroá a decoare soprattutto a causa dea mancanza di strumenti matematici adatti; una sempice tabea a doppia entrata che consentisse di rappresentare congiuntamente due serie di dati compariraá per esempio soo moto piuá tardi, verso a fine de XIX secoo. Lo sviuppo dea statistica moderna eá associata ai nomi di F. Gaton ( ) e di K. Pearson ( ). Gaton era uno scienziato ingese, fondatore de'eugenetica (a branca dea genetica che studia i patrimonio ereditario umano a fine di migiorare a condizione de'uomo) e divugatore de'opera di Darwin, de quae era cugino; per primo usoá i questionario e, in modo consapevoe, a curva dea distribuzione normae studiando e caratteristiche fisiche e psichiche di un gruppo di individui. Pearson, matematico e bioogo, gettoá e basi dea statistica metodoogica appicata aa bioogia; a rivista Biometrika da ui fondata ne eá una testimonianza significativa. Un passo decisivo verso a costruzione rigorosa dea statistica metodoogica si deve a Fisher ( ) che si occupoá de probema dea stima statistica e de campionamento, noncheâ dea programmazione degi esperimenti. Lo studio statistico dei fenomeni riveste oggi grande importanza per poter affrontare e risovere moti probemi. L'aumento dea popoazione mondiae, per esempio, ha comportato, ne recente passato e ancora di piuá ai nostri giorni, un aumento dei consumi di una grande quantitaá di beni e, conseguentemente, probemi di approvvigionamento, di servizi, di sicurezza, di gestione dee risorse. Avere un occhio sempre attento su come variano e abitudini dee persone a variare dee situazioni, eá di grande utiitaá per i progresso de'umanitaá e per a crescita di un paese. Uno studio sua vita media di una popoazione, per esempio, puoá far prendere ad un governo decisioni importanti in campo pensionistico; uno studio sua produzione industriae puoá aiutare a compiere scete sua programmazione o a prevedere a variazione sua percentuae di disoccupazione; uno studio sua nataitaá puoá far prevedere quanti pediatri saranno necessari o quanti insegnanti dovranno essere assunti in futuro per coprire e cattedre de corso di studi obbigatori. I metodo statistico eá oggi diventato uno strumento indispensabie di avoro in tutti i campi; per questo motivo esso eá regoato da precise norme (U.N.I. in Itaia, E.N. in Europa, I.S.O. ne mondo). A queste norme fa riferimento a egisazione itaiana in tutti i rapporti di certificazione obbigatoria dea quaitaá, nei rapporti di conformitaá con gi Enti Pubbici, nei rapporti internazionai. Figura Pearson (a sinistra) con Gaton in una fotografia de'epoca. 176 Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

177 L'indagine statistica e i questionario Mote indagini statistiche hanno per oggetto un fenomeno sociae che riguarda una popoazione di esseri umani; per esempio tutte e indagini che riguardano i grado di soddisfazione dei cienti reativo ad un certo servizio o prodotto (customer satisfaction), oppure e indagini sugi indici di ascoto di una trasmissione, sue previsioni reative ai risutati eettorai, sua situazione de'occupazione e cosõá via. In questi casi i questionario eá senza dubbio uno degi strumenti piuá importanti per a raccota dei dati. Normamente esso consiste in una serie di domande che vengono sottoposte ad un campione dea popoazione oggetto de'indagine e che producono i dati statistici che saranno poi anaizzati. Per costruire un questionario efficace bisogna tener presenti acuni fattori. Innanzi tutto bisogna procedere a campionamento dea popoazione in base a quache criterio; ne caso, per esempio, di una indagine fra gi studenti di una scuoa si possono seezionare un certo numero di studenti da ciascuna casse, oppure scegiere una casse per ogni anno di corso a seconda de tipo di indagine. Poi si deve decidere in che modo somministrare i questionario: per posta, per teefono, per e-mai, attraverso un intervistatore, mediante a compiazione scritta di un moduo e cosõá via. La sceta dea modaitaá piuá adatta dipende sia da tipo di indagine che da tipo di popoazione; per esempio, un'indagine per determinare gi indici di ascoto di una trasmissione puoá essere fatta per teefono; un'indagine pre-eettorae eá opportuno che si faccia tramite un intervistatore che, opportunamente preparato, eá in grado di mettere a proprio agio 'intervistato, in modo da vincere reticenze e avere risposte attendibii; un'indagine fra gi studenti di una scuoa puoá essere fatta tramite un questionario scritto. La difficotaá successiva sta neo scegiere a tipoogia di domande da utiizzare per avere e informazioni desiderate; essa puoá essere sceta fra: domande aperte che prevedono assouta ibertaá di risposta da parte de'intervistato domande chiuse con un numero prefissato di possibii risposte fra cui scegiere domande a risposta graduata per mezzo dee quai eá possibie esprimere vautazioni di tipo quantitativo de tipo mai, poche vote, mote vote, sempre oppure scarso, insufficiente, sufficiente, buono, ottimo e cosõá via. Anche in questo caso ci sono vantaggi e svantaggi in ciascuna dee scete. Le domande aperte sono utii quando non si conoscono a priori e modaitaá con cui si puoá presentare i carattere oggetto de'indagine e asciano ampio margine aa creativitaá de'intervistato; gi svantaggi stanno proprio nea ibertaá dee risposte che potrebbero essere difficii da codificare, potrebbero andare fuori tema, o potrebbero non esserci percheâ 'intervistato non sa che cosa dire. Le domande chiuse sono indubbiamente piuá sempici da codificare, anaizzare e confrontare, faciitano a risposta da parte de'intervistato che difficimente non eá in grado di rispondere, ma hanno anche degi svantaggi da non sottovautare: si possono infatti presentare situazioni di risposte date a caso, di errori ne barrare a casea dea risposta ed inotre non eá possibie verificare se a domanda eá stata interpretata correttamente. Le domande a risposta graduata sono e piuá adatte a misurare atteggiamenti ed opinioni, ma due intervistati potrebbero aver dato a stessa risposta per motivi competamente differenti attribuendoe quindi significati diversi. Per esempio, giudicare insufficiente i trattamento avuto in un abergo potrebbe voer dire per una persona non avere avuto i cambio giornaiero dea biancheria, per un'atra non avere avuto una soddisfacente diversificazione de menu a tavoa. Anche reativamente a contenuto dee domande bisogna porre mota attenzione. I quesiti, infatti, devono avere un fio ogico conduttore e quei reativi ad uno stesso argomento devono essere raggruppati; inotre ci deve essere un avvicinamento progressivo a'argomento in modo da introdurre graduamente quei temi che possono essere piuá difficii, piuá deicati o che possono creare fraintendimenti. Bisogna poi stare attenti a che e domande non siano troppe percheâ 'intervistato deve potersi concentrare sugi aspetti piuá significativi de tema trattato. A questo proposito eá utie preparare un questionario di prova da somministrare ad un gruppo ristretto di persone Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA 177

178 per testare e eventuai difficotaá incontrate da'intervistato, e ambiguitaá, a poca precisione o un ordine errato nee domande e nee risposte, e domande superfue o di scarso interesse per 'indagine. In base ai risutati ottenuti da questa operazione, i questionario puoá essere migiorato. Da utimo, ricordiamo che un questionario eá necessariamente anonimo, ma eá importante che contenga acune informazioni reative ai dati de'intervistato, quai, per esempio, 'etaá, a professione, a Regione di residenza, i titoo di studio o atro. E' poi bene che compaiano acune righe che indichino chi eá 'ente o i soggetto che organizza 'indagine e quai sono gi scopi che 'indagine stessa si prefigge, con a garanzia che i dati verranno trattati soo per gi scopi indicati; una persona, infatti, si sente piuá invogiata a rispondere "bene" se sa a che cosa servono e sue risposte e se eá sicuro de fatto che esse non verranno usate per atri scopi. Acune proposte Di seguito diamo acune indicazioni su possibii temi che possono essere oggetto di un'indagine statistica condotta a'interno dea tua scuoa. Per evitare eventuai difficotaá nea codifica e ne'interpretazione dee risposte, consigiamo di preparare questionari con domande a risposta chiusa ed eventuamente a risposta graduata per quache quesito (abbiamo proposto una soa indagine con domande a risposta aperta). Una vota raccoti i dati, si dovranno costruire e tabee di frequenza per e risposte ad ogni domanda e rappresentare graficamente i dati individuando i vaori di sintesi piuá significativi. I temi n Moti degi studenti di una scuoa superiore devono prendere dei mezzi di trasporto per recarsi a scuoa; a fine di infuenzare e compagnie di trasporto sua numerositaá dei mezzi messi a disposizione e sugi orari, puoá essere interessante e utie fare un'anaisi di quanti studenti sono in questa situazione individuando: i tipo di mezzo utiizzato i tempo impiegato a recarsi a scuoa i numero di vote in un mese che si eá entrati dopo i suono dea campanea a causa dei ritardi dei mezzi su'orario previsto. n L'insuccesso scoastico eá dovuto probabimente a numerose cause; si puoá condurre un'indagine fra gi studenti per conoscere: come eá avvenuta a sceta de tipo di scuoa (consigio orientativo dea scuoa media, genitori, sceta consapevoe deo studente, condizionata dagi amici, ecc) quai sono e difficotaá incontrate nei primi mesi di scuoa (impegno piuá gravoso di queo che si pensava, poca vogia di studiare, difficotaá di inserimento, ecc) quai sono stati gi aiuti offerti daa scuoa che sono risutati utii e quai inutii come si giudicano questi aiuti (scarsi, insufficienti, sufficienti, ecc). n Ne'ambiente scoastico, negi utimi anni, si eá accumuato un certo diffuso macontento. I personae dea scuoa (docenti, personae di segreteria, tecnici di aboratorio e operatori scoastici in genere) si amenta spesso che gi studenti giungono aa scuoa superiore sempre meno preparati e con meno vogia di studiare, che c'eá meno rispetto per e persone e per e cose, che i fondi attribuiti aa scuoa sono sempre meno e che si possono mettere in atto meno iniziative; da'atra parte acuni studenti si amentano che quache docente eá troppo esigente, che e ezioni sono a vote noiose, che gi argomenti proposti sono ontani daa reataá giovanie, che gi strumenti didattici usati sono spesso antiquati e poco accattivanti. PuoÁ essere aora interessante cercare di scoprire quae potrebbe essere a scuoa ideae che metta d'accordo studenti, docenti ed operatori scoastici in genere. Partendo daa reataá de proprio Istituto, si possono proporre una serie di domande che mirino ad avere a percezione dea scuoa e a sua visione ideae da parte dei diversi gruppi (docenti, studenti e cosõá via). La prima serie di domande (quee reative aa percezione dea scuoa) puoá essere a risposta chiusa o graduata; eá invece opportuno che a seconda serie sia a risposta aperta in modo da raccogiere e opinioni ne modo piuá vasto possibie. 178 Tema 5 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

179 Cap 1. LA STATISTICA DESCRITTIVA Rivedi a teoria La distribuzione di frequenze La statistica indaga su fenomeni coettivi anaizzandone uno o piuá caratteri. Ciascun carattere di una indagine statistica si puoá presentare con diverse modaitaá; i numero di unitaá statistiche che presentano una particoare modaitaá eá a frequenza assouta di quea modaitaá. I caratteri di una indagine statistica possono essere: di tipo quaitativo, e in questo caso e modaitaá vengono descritte a paroe con aggettivi o nomi, di tipo quantitativo, e in questo caso e modaitaá sono espresse mediante numeri o intervai di numeri. L'insieme dee coppie ordinate (modaitaá, frequenza assouta) rappresenta a distribuzione di frequenze de carattere e si rappresenta di soito mediante una tabea; in essa, accanto aa coonna dee frequenze assoute, si eá soiti riportare anche quea dee frequenze reative, cacoate come rapporto dea frequenza assouta rispetto a totae dee osservazioni. Per esempio, quea che segue eá a tabea dee frequenze che rappresenta i numero di bambini iscritti aa scuoa materna a primo, secondo e terzo anno: Anno di corso Freq. ass. Freq. re. primo 65 ˆ 0,8 secondo ˆ 0,85 terzo ˆ 0,77 TOTALE 65 1 La rappresentazione grafica I dati di una indagine statistica si possono rappresentare graficamente in modi diversi, piuá o meno adatti a diverso tipo di indagine. I diagrammi a rettangoi o diagrammi a barre sono utii per rappresentare dati di tipo quaitativo; sono i piuá usati speciamente quando si devono fare confronti fra diverse distribuzioni. I diagrammi circoari o diagrammi a torta, usando a suddivisione di un cerchio in settori, danno una idea de'incidenza dee diverse modaitaá de carattere su totae dee osservazioni. Gi istogrammi vengono usati per dati di tipo quantitativo; sono rappresentati mediante rettangoi a cui area eá proporzionae aa frequenza assouta. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 179

180 Atre modaitaá sono rappresentate dagi ideogrammi, nei quai si utiizzano disegni che ricordano 'oggetto de'indagine, e dai cartogrammi, nei quai si usano rappresentazioni piuá o meno diatate o compresse dee aree geografiche sue quai si effettua 'indagine. Le modaitaá piuá adatte per a rappresentazione dea precedente distribuzione di frequenze sono quea a rettangoi e quea circoare: Fai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA Da un'anaisi condotta in una grande azienda risuta che dei 15 dipendenti 1 sono aureati, 46 sono dipomati, 1 hanno una quaifica professionae ed i rimanenti hanno un titoo di studio eementare o di media superiore. Costruisci a tabea dee frequenze percentuai e rappresenta graficamente i dati. I carattere da anaizzare eá i titoo di studio dei dipendenti, quindi un carattere quaitativo; si tratta percioá di una mutabie statistica. La tabea dee frequenze si costruisce mettendo in una coonna e modaitaá con cui compare i carattere (aureato, dipomato, ecc.), in una seconda coonna a frequenza assouta di ciascuna modaitaá; in una terza coonna si possono poi rappresentare e frequenze percentuai dividendo e frequenze assoute per i totae dee osservazioni e motipicando i risutato per 100. Competa dunque a tabea e i grafico che seguono: Titoo di studio Frequenza assouta Frequenza percentuae Laureato 1 9,96% Dipomato Quaifica professionae 1... Eementare o media TOTALI 15100% Per rappresentare i dati conviene usare un diagramma a rettangoi; competa i grafico a ato costruendo i rettangoi di atezza proporzionae ae frequenze. Rieva da un quotidiano a vautazione de'euro nei confronti dee principai monete mondiai (doaro, euro, sterina, yen,...) e riporta i dati in un diagramma a rettangoi. 180 Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

181 ESERCIZIO GUIDA Un rievamento fatto per 0 giorni consecutivi su numero di vetture che transitano per un dato incrocio ha fornito i seguenti dati: N. auto transitate Numero giorni Rappresenta i dati con un istogramma. Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonai, devi riportare su'asse dee ascisse e cassi e su'asse dee ordinate i vaore che ottieni dividendo a frequenza per 'ampiezza dea casse. Poiche i vaori ottenuti sono moto piccoi, devi usare una scaa adeguata per rappresentari. [atezze dei rettangoi 0,00; 0,006; 0,01; 0,07; 0,04; 0,006; 0,004] 4 Da una indagine su numero di vote che una persona va a cinema ne'arco di un anno si sono rievati i seguenti dati: Costruisci a distribuzione dee frequenze e rappresenta graficamente i dati. 6 4 N. di vote a cinema Frequenza ESERCIZIO GUIDA In una scuoa, ao scrutinio di giugno, eá risutato che i 40% degi studenti eá stato promosso, i 7% eá stato respinto e ai rimanenti studenti eá stato sospeso i giudizio percheâ insufficienti in acune materie. Di questi utimi, i 5% deve riparare una soa materia, i 4% due materie e i rimanenti tre materie. Costruiamo i diagramma a torta dea distribuzione e riproduciamo in uno spaccato e percentuai degi studenti con uno, due e tre materie da riparare. Gi studenti con sospensione de giudizio rappresentano i 5% de'intera popoazione studentesca. Per costruire i diagramma a torta bisogna cacoare 'ampiezza de'angoo a centro di ciascun settore; aora, poicheâ 'angoo giro (60 ) rappresenta i 100%, 'ampiezza di ogni settore si ricava daa proporzione: ampiezza settore : 60 ˆ frequenza percentuae : 100 I settore degi studenti con sospensione de giudizio, che ha ampiezza 190,8, va poi diviso in tre parti; 'ampiezza in gradi di ciascuna parte si ricava daa proporzione: ampiezza sottosettore : 190,8 ˆ frequenza percentuae : 100 In aternativa, si puoá cacoare a frequenza percentuae reativa a totae dee rievazioni e usare a formua precedente: i 5% de 5% eá ˆ 1,5% studenti con una materia Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 181

182 i 4% de 5% eá i % de 5% eá ˆ,79% studenti con due materie ˆ 16,96% studenti con tre materie 6 Un'azienda ha rievato i dati degi utimi cinque anni reativi aa vendita di tre dei suoi prodotti: Anni Prodotto A Prodotto B Prodotto C Individua a tipoogia dei dati, costruisci a tabea dee frequenze percentuai e rappresenta i dati ne modo che ritieni piuá opportuno per effettuare un confronto fra e distribuzioni anno per anno e prodotto per prodotto. Tabea percentuae per anno di produzione. Anni Prodotto A 7,17% 7,55% 7,98% 6,64%,54% Prodotto B 4,6% 5,1% 6,% 7,97% 40,0% Prodotto C 58,47% 57,4% 55,68% 55,9% 56,6% Tabea percentuae per prodotto. Anni Prodotto A 0,0%,6% 4,91% 0,88% 10,8% Prodotto B 17,1% 19,4% 0,% 1,0% 1,9% Prodotto C 18,99% 0,57% 0,0% 0,5% 19,99% Rivedi a teoria Quando si svoge un'indagine statistica, eá comodo sintetizzare i dati mediante un soo vaore; si ricorre aora a cacoo di un vaore medio, che puoá essere interpretato, a seconda dee situazioni, in diversi modi. Le medie ferme Di un insieme x 1, x, :::, x n di n numeri si possono cacoare diversi tipi di media: x a media aritmetica M : M ˆ 1 x ::: x n n a media geometrica MG : M G ˆ np x 1 x ::: x n r a media quadratica MQ : M Q ˆ x1 x ::: x n n n a media armonica MA : M A ˆ 1 1 ::: 1 x 1 x x n 18 Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

183 Per esempio, dati i seguenti numeri: e diverse medie, arrotondate a centesimo, sono: media aritmetica: M ˆ ˆ 18,4 5p media geometrica: MG ˆ ˆ 16,8 r media quadratica: MQ ˆ ˆ 0, 5 5 media armonica: MA ˆ ˆ 14,55 Le medie asche Atri due vaori sintetici sono: a moda, che rappresenta i vaore di una distribuzione che ha a frequenza maggiore a mediana, che rappresenta i vaore centrae di una distribuzione, vae a dire que vaore che divide in due parti simmetriche i dati, una vota che siano stati disposti in ordine crescente o decrescente. Se riprendiamo a distribuzione dei bambini aa scuoa materna dea prima nota di ripasso dea teoria, possiamo dire che: a moda eá rappresentata da secondo anno che ha i maggior numero di bambini iscritti; a mediana, poicheâ i totae dee osservazioni eá 65, eá rappresentata da -esimo eemento, che, messi in ordine di anno i bambini, appartiene a secondo anno di corso. Atri indici importanti per 'interpretazione dei dati di una indagine statistica sono gi indici di dispersione: o scarto quadratico medio ci daá informazioni su come si disperdono i dati attorno aa media aritmetica M. Si cacoa con a formua: s x ˆ 1 M x M ::: x n M n a varianza eá i quadrato deo scarto quadratico medio e viene usato in aternativa a. Ne confronto fra distribuzioni con unitaá di misure differenti o vaori medi moto diversi tra oro si usano i coefficienti di variazione (CV) definiti come rapporto fra scarto quadratico medio e media aritmetica o fra scostamento medio e mediana: CV ˆ M oppure CV ˆ S M e Fai gi esercizi 7 Un certo prodotto eá stato venduto in cinque supermercati diversi ai seguenti prezzi (in euro): 1,54 1,65 11,95 1,70 1,10 Cacoa i prezzo medio. 1,588Š 8 In un serie di test di matematica, uno studente ha riportato i seguenti voti: tre vote 6, due vote 7, una vota 5, una vota 4, tre vote 8. Qua eá i voto medio? 6,5Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 18

184 9 Cacoa a media aritmetica dea seguente distribuzione: modaitaá frequenza (Suggerimento: si tratta di una media ponderata che si cacoa con a formua M ˆ P xi f i P fi ) 6,78Š 10 ESERCIZIO GUIDA Riprendiamo a distribuzione de'esercizio 4 precedente (numero di vote che una persona va a cinema in un anno) e troviamo a moda e a mediana. Ricostruiamo a tabea dee frequenze e troviamo anche e frequenze cumuate per i cacoo dea mediana. n. fim visti frequenza freq. cumuate La frequenza assouta piuá ata eá 7 che si trova in corrispondenza de 5, quindi 5 eá a moda dea distribuzione. La metaá de totae dee frequenze eá 6 : ˆ 1, i vaore mediano si trova quindi in corrispondenza dea modaitaá che assume i tredicesimo posto, cioeá 0; a mediana eá i vaore Trova a moda e a mediana dea seguente distribuzione statistica che riguarda i numero di vote che un gruppo di ragazzi sono stati interrogati in una certa materia: interrogazioni frequenza ESERCIZIO GUIDA moda: 5; mediana: 5Š Cacoiamo o scarto quadratico medio dea seguente rievazione statistica che riguarda i numero di pezzi prodotti da una macchina utensie in acuni giorni consecutivi: Cacoiamo innanzi tutto a media aritmetica: ˆ 1 Cacoiamo gi scarti daa media: Cacoiamo i quadrati degi scarti: Cacoiamo a somma dei quadrati degi scarti: ˆ Dividiamo per i numero dee osservazioni: 8 ˆ 4 Cacoiamo a radice quadrata de vaore ottenuto: Lo scarto quadratico medio eá. 184 Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

185 1 Seguendo 'esempio precedente, cacoa o scarto quadratico medio dea seguente distribuzione di dati: ,4Š 14 I Signor Rossi possiede un pacchetto di azioni di due societaá diverse che indicheremo con A e B. Esse, durante a settimana appena trascorsa, hanno subito dee variazioni nee oro quotazioni in Euro come indicato daa seguente tabea: A B unedõá 17,4 8,64 martedõá 18,1 7,9 mercoedõá 19,14 6,87 giovedõá 18,95 8,5 venerdõá 18,91 8,91 Quae dee due societaá ha avuto maggiore variabiitaá? A ˆ 0,70; B ˆ 0,7; CV A ˆ 0,04; CV B ˆ 0,09Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 185

186 Verifica de recupero 1 Costruisci a distribuzione di frequenze dei seguenti dati che indicano a temperatura registrata aa stessa ora in 0 giorni consecutivi: punti Rappresenta graficamente ne modo che ritieni piuá opportuno a seguente distribuzione di frequenze: modaitaá frequenza punti Cacoa media aritmetica, moda e mediana dea distribuzione di frequenze de'esercizio precedente. punti 4 Cacoa o scarto quadratico medio e a varianza dea distribuzione de'esercizio precedente. punti Souzioni 1 temperature frequenza 7 8 M ˆ,71, moda ˆ 4, mediana ˆ 4 4 ˆ 1,66; ˆ,76 Esercizio 1 4 Punteggio Vautazione in decimi 186 Tema 5 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

187 average vaue to estimate frequency histogram mean median vaore medio stimare frequenza istogramma media aritmetica mediana mode range standard deviation variance moda campo di variabiitaá deviazione standard, scarto quadratico medio varianza 1 Throwing a dice we have obtained the foowing resuts: Score Frequency Find: a. the mean score b. the mode c. the median. The foowing tabe represents the surface (in square metres) of some sma hoiday homes in a residentia hote. Surface Š Frequency For the above data: a. estimate the mean and the standard deviation b. draw a histogram and state the moda cass c. draw a cumuative frequency curve. Two systems for measuring the cacium content of aboratory sampes were being considered. A standard sampe, containing 100 units of cacium was weighed 16 times using each system. The resuts were: System "A" System "B" Which system is potentiay the "best"? 1,59; ; 4 mean ˆ 50,9; standard deviation ˆ 14,68 A ˆ 1,91; B ˆ 4,59 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - MATH IN ENGLISH 187