Insiemi e relazioni. Prerequisiti. Obiettivi. 1. Le relazioni binarie La definizione

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1 Insiemi e reazioni Prerequisiti gi insiemi e proposizioni e a ogica dei predicati Obiettivi definire una reazione, sapera riconoscere e rappresentare individuare e proprietaá di una reazione riconoscere reazioni di equivaenza e d'ordine riconoscere funzioni 1. Le reazioni binarie 1.1. La definizione Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 374 Gi eementi di un insieme sono di soito distribuiti ne'insieme stesso senza una ogica particoare; per esempio 'insieme dei numeri interi compresi fra 8 e 15 puoá essere rappresentato per eencazione in uno quasiasi dei seguenti modi: f8, 10, 15, 9, 13, 12, 11, 14g f10, 14, 9, 8, 13, 11, 15, 12g f8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15g anche se possiamo dire che a terza eá piuá "significativa", se non atro percheâ ci consente di stabiire senza troppa fatica se abbiamo eencato tutti gi eementi. Anche 'insieme dei fie memorizzati su disco fisso di un computer, insieme finito ma formato da un grandissimo numero di eementi, puoá essere rappresentato per eencazione in tantissimi modi diversi; tuttavia eá conveniente dare una struttura, un ordine agi eementi di questo insieme, atrimenti a sempice ricerca di uno particoare di essi puoá diventare moto difficie. In effetti 'organizzazione dei fie prevede i oro raggruppamento in cartee ed eventuamente puoi indurre un ordine afabetico di disposizione quando usi Espora risorse di Windows per ricercare un fie. 1

2 Le operazioni di strutturazione di un insieme, che ci permettono di avorare megio con i suoi eementi, prevedono quindi a oro ripartizione in gruppi e 'ordinamento. Ma come eá possibie introdurre in un insieme queste strutture? Supponiamo che una persona vogia mettere ordine fra tutte e sue fotografie che ora sono stipate aa rinfusa in una scatoa. Ci rendiamo conto che per organizzare occorre dare un criterio che dica quai fotografie devono stare in un gruppo e quai in un atro. Possiamo dire che una fotografia sta neo stesso gruppo di un'atra se fra e due c'eá una certa reazione, per esempio espressa da fatto che sono state scattate nea stessa occasione, oppure che sono state scattate neo stesso anno. In questi casi avremo due diversi raggruppamenti ma in entrambi e fotografie sono adesso organizzate. Un atro probema che spesso si pone in matematica eá queo di porre in reazione gi eementi di due insiemi diversi; per esempio, dati gi insiemi dee case farmaceutiche e dei farmaci in commercio, eá abbastanza spontaneo associare ad ogni farmaco a casa farmaceutica che 'ha prodotto. In questa parte de capitoo vedremo di studiare ne dettagio queste due probematiche: n 'organizzazione degi eementi di un insieme n a corrispondenza fra eementi di insiemi diversi. Cominciamo co dire che una connessione fra gi eementi di un insieme o di due insiemi diversi si reaizza sempre tramite una reazione R, espressa normamente mediante un predicato o un enunciato aperto che esprime un egame fra eementi deo stesso insieme o di insiemi diversi; per esempio, sono reazioni: in un insieme di persone quee espresse dagi enunciati aperti: «x eá piuá giovane di y» «x eá piuá ato di y» «x esercita a stessa professione di y» ne'insieme Q dei razionai quee espresse dagi enunciati aperti: «x eá a metaá di y» «x eá i reciproco di y» «x eá potenza di y» Diamo aora a seguente definizione. Dati un eemento x appartenente ad un insieme A ed un eemento y appartenente ad un insieme B (che puoá anche essere uguae ad A), diciamo che x 2 A eá in reazione con y 2 B secondo un predicato p se gi eementi x e y soddisfano px, y. Si dice che R eá una reazione da A verso B. In atre paroe: se px, y eá vero, aora x eá in reazione con y e si scrive x R y. se px, y eá faso, aora x non eá in reazione con y e si scrive x 6R y. Una reazione definisce quindi sempre dee coppie ordinate x, y,conx che appartiene a primo insieme e y che appartiene a secondo, che costituiscono un sottoinsieme de prodotto cartesiano A B. L'eemento y si chiama immagine de'eemento x; a sua vota x si dice controimmagine di y. Ne'ambito di una reazione acuni eementi x di A hanno un'immagine in B, atri non ce 'hanno; anaogamente, acuni eementi y di B sono immagini di quache eemento x di A, atri non o sono (in figura 1 di pagina seguente ab- 2

3 biamo coegato con un arco orientato e coppie x, y che sono in reazione). L'insieme dei vaori x che hanno un'immagine si chiama dominio dea reazione (i sottoinsieme D di A evidenziato in coore piuá scuro); 'insieme degi eementi y che sono immagine di quache eemento x si dice codominio (i sottoinsieme C di B evidenziato in coore piuá scuro). Per esempio: se A ˆ f1, 2, 3, 4ge B ˆ f 1, 0, 1, 2g, a reazione R :«x eá i successivo di y» con x 2 A e y 2 B definisce e coppie 1, 0, 2, 1, 3, 2 ; i dominio dea reazione eá i sottoinsieme di A formato dagi eementi 1, 2, 3, i codominio eá i sottoinsieme di B formato dagi eementi 0, 1, 2 (figura 2) se A eá 'insieme dee vocai e B eá 'insieme dee ettere de'afabeto itaiano, a reazione R :«x precede immediatamente y ne'ordine afabetico», con x 2 A e y 2 B definisce e coppie a, b, e, f, i,, o, p, u, v ; i dominio eá 'insieme A stesso, i codominio eá 'insieme B 0 ˆ fb, f,, p, vg se A ˆ f x 2 N0 j x 4ge B coincide con A, a reazione R :«x eá un divisore di y» conx, y 2 A, definisce e coppie 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 4, 3, 3, 4, 4 ; i dominio ed i codominio coincidono con 'insieme A stesso (figura 3). Quando gi insiemi A e B si scambiano i ruoi (quindi B eá 'insieme degi eementi che si indicano con x e A eá 'insieme degi eementi che si indicano con y), e coppie di una reazione R definita da un certo enunciato aperto, diventano coppie di un'atra reazione che eá definita da un enunciato aperto diverso da precedente, ma che mantiene a corrispondenza fra gi stessi eementi dei due insiemi. Se riprendiamo i primo esempio, a reazione definita da A verso B da'enunciato aperto px, y :«x eá i successivo di y», diventa a reazione definita da B verso A da'enunciato aperto «x eá i precedente di y»; i due enunciati sono diversi e e coppie che soddisfano a reazione si ottengono da quee precedenti invertendo 'ordine (figura 4). Si dice aora che a seconda reazione eá 'inversa dea prima; a reazione inversa di una reazione R si indica con i simboo R 1. Una reazione R ea sua inversa R 1 scambiano fra oro i dominio ed i codominio. igura 1 y eá immagine di x x eá controimmagine di y I dominio eá 'insieme degi x dai quai esce ameno una freccia. I codominio eá 'insieme degi y ai quai arriva ameno una freccia. igura 2 igura La rappresentazione Una reazione si puoá rappresentare in diversi modi. Mediante eencazione Basta fare un eenco dee coppie che soddisfano i predicato che definisce a reazione, come abbiamo fatto con i prodotto cartesiano fra insiemi e anche negi esempi de precedente paragrafo. Per esempio: se A ˆ fx 2 N j x 10g e R eá a reazione definita in A da predicato «x eá a metaá di y», e coppie che soddisfano R definiscono i seguente sottoinsieme de prodotto A 2 : 1, 2, 2, 4, 3, 6, 4, 8, 5, 10 se A ˆ fanna, Marta, Chiara, rancesca, Luciag e B ˆ fluca, Angeo, iippo, Matteog, e si sa che Marta eá sposata con Luca, Chiara con iippo e Lu- igura 4 3

4 cia con Matteo, a reazione px, y :«x eá mogie di y», con x 2 A e y 2 B, definisce i seguente insieme: Marta, Luca, Chiara, iippo, Lucia, Matteo Questa rappresentazione non eá peroá conveniente se e coppie sono numerose. Mediante rappresentazione sagittae Abbiamo in effetti giaá usato questa modaitaá di rappresentazione nee precedenti figure; si tratta di tracciare degi archi orientati che uniscono 'eemento x de primo insieme a suo corrispondente y de secondo. Per esempio: A ˆ fx 2 N 0 j x 10g e B ˆ fx 2 N 0 j x 7g e R eá a reazione definita da'enunciato aperto px, y :«x eá doppio di y», con x 2 A e y 2 B, a sua rappresentazione sagittae eá in figura 5; in tae figura abbiamo anche evidenziato i dominio D, formato dagi eementi 2, 4, 6, 8, 10, ed i codominio C dea reazione, formato dagi eementi 1, 2, 3, 4, 5. igura 5 Mediante rappresentazione cartesiana Questa modaitaá sfrutta i fatto che e coppie dea reazione sono un sottoinsieme de prodotto cartesiano A B; basta aora rappresentare i prodotto cartesiano ed evidenziare e coppie che rendono vero 'enunciato dea reazione. Se riprendiamo 'utimo esempio, e coppie x, y di eementi x e y che sono in reazione fra oro sono quee evidenziate in rosso in figura 6. igura 6 Mediante tabea a doppia entrata Ancheinquestocasosisfruttaacorrispondente rappresentazione de prodotto cartesiano A B, con a convenzione di mettere i simboi sua casea che corrisponde aa coppia x, y se x R y e se x 6R y. Se ci riferiamo ancora una vota a'esempio precedente, a figura 7 mostra come risuta a tabea (in essa abbiamo scritto in rosso i simboi per evidenziari). igura 7 Mediante un grafo Le modaitaá di rappresentazione di una reazione che abbiamo visto si possono usare per quaunque reazione; tuttavia, ne caso in cui una reazione sia definita in uno stesso insieme A, e soo in questo caso, si puoá ricorrere ad una rappresentazione grafica particoare che prende i nome di grafo. Un grafo eá un disegno ne quae vengono rappresentati dei punti, detti nodi, che possono essere coegati uno a'atro mediante degi archi orientati detti ati. Ne nostro caso i nodi sono gi eementi di A, i ati coegano gi eementi che sono in reazione; occorre prestare mota attenzione a'orientamento degi archi che devono sempre uscire da primo eemento dea coppia e finire su secondo. Per esempio: ne'insieme A ˆ f3, 12, 85, 715g sia R a reazione definita da'enunciato aperto px, y : «x ha un numero di cifre maggiore di queo di y» con x, y 2 A; e coppie di questa reazione sono: 715, 3 715, , 85 85, 3 12, 3 4

5 Per costruire i grafo rappresentiamo gi eementi di A e coeghiamoi con un arco orientato che esce da primo eemento dea coppia e finisce su secondo come in figura 8; osserva che non vi eá nessun ato che coega gi eementi 12 e 85 percheâ tai eementi non sono in reazione. ne'insieme A ˆ fx 2 N 0 j x 4gsia R a reazione definita da'enunciato aperto px, y :«xy» con x, y 2 A; e coppie di questa reazione sono quee che hanno i primo termine minore o anche uguae a secondo, quindi per esempio 2, 3, 3, 4 e anche 3, 3, ma non per esempio 2, 1 o 4, 2 ; i ati de grafo coegano quindi due numeri diversi di A uscendo da queo piuá piccoo verso queo piuá grande (figura 9). i sono peroá anche gi archi che escono da un numero e ritornano su numero stesso (in questo caso nea reazione vae i simboo di uguagianza); questi archi si chiamano anei. igura 8 igura 9 Esempi 1. Dato 'insieme A ˆfMarco, Matteo, Gianni, Andrea, Robertog sia B ˆf175, 184, 170g 'insieme dee atezze degi eementi di A; consideriamo a reazione R da A verso B definita da'enunciato aperto px, y :«x eá ato y centimetri», con x 2 A e y 2 B. Sapendo che Gianni e Andrea hanno a stessa atezza, cosõácome Marco e Roberto, e che Gianni eá piuá piccoo di Matteo che, a sua vota, eá piuá piccoo di Marco, rappresentiamo R in tutti i modi possibii. Dai dati de probema si deduce facimente che Gianni e Andrea sono ati 170cm, Matteo eá ato 175cm, Marco e Roberto sono ati 184cm. La rappresentazione dea reazione R eá in figura 10. igura Ne'insieme A dei numeri pari minori di 17, consideriamo a reazione R definita da px, y :«x eá a metaá di y». Rappresentiamoa con un grafo, costruiamo a reazione inversa e rappresentiamo anch'essa con un grafo. L'insieme A ha per eementi i numeri 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e dobbiamo coegare con un arco numeri come 2 e 4, 6 e 12 e cosõá via (figura 11a). L'enunciato aperto che definisce R 1 eá qx, y :«x eá i doppio di y». La reazione inversa deve quindi coegare, per esempio, i numeri 4 e 2, 12 e 6 e cosõá via; per rappresentare R 1 basta quindi invertire 'orientamento degi archi dea reazione R (figura 11b). igura 11 a. b. 5

6 3. In figura 12a eá rappresentato i grafo di una certa reazione R definita in un insieme A. Scriviamo per esteso e coppie dea reazione, costruiamo a reazione inversa e rappresentiamoa con un diagramma cartesiano. Le coppie dea reazione sono e seguenti: a, b, a, c, b, d, e, a, e, b, e, c La reazione inversa definisce e seguenti coppie, ottenute dae precedenti scambiando gi eementi: b, a, c, a, d, b, a, e, b, e, c, e La rappresentazione cartesiana di R 1 eá in figura 12b. igura 12 a. b. erifica di comprensione 1. Ne'insieme A ˆ fx 2 N j 1 x < 12g eá definita a reazione R :«x eá i tripo di y»; e coppie x, y dea reazione sono: a. 1, 3 2, 6 3,9 4, 12 5, 15 6, 18 7, 21 8, 24 9, 27 b. 1, 3 2, 6 3,9 c. 3,1 6, 2 9, 3 d. 3,1 6, 2 9, 3 12, 4 2. ra due insiemi A e B eá stabiita una reazione R rappresentata nea tabea; competa e richieste: a. i dominio dea reazione eá 'insieme D ˆf::::::::::g b. i codominio dea reazione eá 'insieme C ˆf::::::::::g c. e coppie dea reazione che hanno come primo eemento a sono... d. e coppie dea reazione che hanno come secondo eemento 3sono Le reazioni in un insieme e e proprietaá Abbiamo giaá detto che una reazione puoá essere definita fra gi eementi di uno stesso insieme e ne abbiamo dato acuni esempi. Le reazioni a'interno di un unico insieme rivestono particoare importanza, percheâ possono godere di acune proprietaá che ci consentiranno di identificare cassi di reazioni particoari. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag

7 La proprietaá rifessiva Una reazione R in un insieme A eá rifessiva se ogni eemento x de'insieme eá in reazione con se stesso. In simboi: 8 x 2 A x R x Osserva che abbiamo usato un quantificatore universae, quindi una reazione eá rifessiva se tutti gi eementi sono in reazione con se stessi, nessuno escuso. Se dovessimo rappresentare una reazione rifessiva con un grafo, ogni nodo avrebbe un aneo. La figura 13 rappresenta una reazione rifessiva (ogni nodo ha un aneo) ed una che non o eá (c'eá un eemento che non eá in reazione con se stesso). Per esempio: in un insieme di persone a reazione R :«x ha a stessa etaá di y» eá rifessiva percheâ ogni persona ha a stessa etaá di se stessa; in N a reazione R :«x eá i successivo di y» non eá rifessiva percheâ ogni numero non eá successivo di se stesso. igura 13 Ne grafo di una reazione rifessiva, ogni nodo ha un aneo. Ne grafo di una reazione che non eá rifessiva c'eá ameno un nodo che non ha 'aneo. a. Reazione rifessiva b. Reazione non rifessiva Esempi 1. Consideriamo a reazione R definita in A ˆf2, 5, 7, 10g daa proposizione aperta p x, y : «x eá divisibie per y» con x, y 2 A. Poiche ogni numero eá divisibie per se stesso, a reazione eá rifessiva. Costruiamo a tabea ed i diagramma cartesiano di questa reazione (figura 14) ed osserviamo che in tutte e casee dea tabea e in tutti i punti de diagramma cartesiano che si trovano sua diagonae evidenziata c'eá una o un punto in rosso. Per stabiire se una reazione, data mediante una tabea o un diagramma cartesiano, eá rifessiva basta dunque controare che nessun punto dea diagonae sia escuso. igura Sono rifessive e seguenti reazioni di natura geometrica: ne'insieme dei poigoni di un piano a reazione R :«x ha a stessa superficie di y» ne'insieme dee rette di un piano a reazione R :«x eá paraeo a y» Non sono rifessive e seguenti reazioni: 7

8 ne'insieme dei segmenti di una retta a reazione R :«x ha unghezza maggiore di y» ne'insieme dee rette di un piano a reazione R :«x eá perpendicoare a y» 3. La reazione di incusione fra insiemi eá rifessiva; abbiamo infatti visto che, quaunque sia 'insieme A : A A. La proprietaá antirifessiva Una reazione R in un insieme A eá antirifessiva se nessun eemento di A eá in reazione con se stesso. In simboi 8x 2 A x 6R x Se una reazione eá antirifessiva, i grafo che a rappresenta non ha anei, i diagramma cartesiano non ha punti sua diagonae, a tabea a doppia entrata non ha simboi sua diagonae. In figura 15 abbiamo rappresentato nei tre modi un esempio di reazione antirifessiva. igura 15 a. nessun nodo ha un aneo b. non ci sono eementi sua diagonae c. non ci sono sua diagonae Non eá detto che una reazione che non eá rifessiva sia antirifessiva o viceversa: una reazione come quea di figura 16 non possiede neâ 'una neâ 'atra dee proprietaá infatti: ci sono acuni eementi che hanno anei ma non tutti (non eá rifessiva); non tutti gi eementi sono privi di anei (non eá antirifessiva). igura 16 Esempi 1. Ne'insieme N a reazione «x eá minore di y» eá antirifessiva percheâ nessun numero naturae eá minore di se stesso. 2. In un insieme di persone a reazione «x eá nato prima di y» eá antirifessiva percheâ nessuna persona eá nata prima di se stessa, cosõá come a reazione «x eá padre di y» percheâ nessuno eá padre di se stesso. 3. Ne'insieme dei paraeepipedi, a reazione «x ha voume maggiore di y» eá antirifessiva. 8

9 La proprietaá simmetrica Una reazione R in un insieme A eá simmetrica se per ogni coppia di eementi x, y 2 A tai che x eá in reazione con y, anche y eá in reazione con x. In simboi: 8 x, y 2 A tai che x R y aora y R x In atre paroe, una reazione eá simmetrica se 'ordine degi eementi dea coppia eá indifferente. I grafo di una reazione simmetrica eá tae che se un arco unisce una coppia di eementi in un verso, i unisce anche ne'atro. Per questo motivo, per non compicare i grafo con sovrabbondanza di archi, se una reazione eá simmetrica, useremo a convenzione di unire e coppie con archi senza frecce (figura 17). La figura 18 ti mostra i grafo di una reazione simmetrica (caso a., gi archi sono tutti orientati nei due versi) e di una che non o eá (caso b., c'eá un arco che eá orientato in un soo verso). igura 17 igura 18 igura 19 a. Ne grafo di una reazione simmetrica tutti gi archi sono doppiamente orientati b. Se c'eá anche un soo arco orientato in un verso soo, a reazione non eá simmetrica a. Come saranno i diagramma cartesiano e a tabea di una reazione simmetrica? Per rispondere a questa domanda, osserva a reazione simmetrica dea figura 18a, e a figura 19 dove a stessa reazione eá rappresentata con un diagramma cartesiano e con una tabea. Se immagini di ripiegare su se stessi i diagramma e a tabea ungo a diagonae evidenziata, noterai che i punti che appartengono aa reazione si sovrappongono. Sia i diagramma che a tabea sono dunque simmetrici rispetto aa oro diagonae. b. Esempi 1. In un insieme A di persone a reazione R definita da «x eá parente di y» eá una reazione simmetrica. 2. Dee reazioni geometriche considerate ne'esempio 2. dea proprietaá rifessiva (pagina 72) possiamo dire che sono simmetriche e seguenti: ± «avere a stessa superficie» ne'insieme dei poigoni di un piano ± «essere paraee» e «essere perpendicoari» ne'insieme dee rette di un piano. Non eá invece simmetrica a reazione «avere unghezza maggiore» ne'insieme dei segmenti di una retta. 9

10 3. Ne'insieme N 0 a reazione R definita da «x eá i doppio di y» non eá una reazione simmetrica. Infatti se x eá i doppio di y, y non puoá essere i doppio di x. La proprietaá antisimmetrica Una reazione R in un insieme A eá antisimmetrica quando per ogni coppia di eementi x, y 2 A, sex eá in reazione con y, ey eá in reazione con x, aora x ˆ y. In simboi: 8 x, y 2 A tai che x R y ^ y R x aora x ˆ y In atre paroe, una reazione eá antisimmetrica quando, dati x e y con x 6ˆ y, se x eá in reazione con y, y non eá mai in reazione con x. I grafo di una reazione antisimmetrica ha soo archi orientati; in figura 20a abbiamo rappresentato una reazione antisimmetrica (gi archi sono tutti orientati) ed in figura 20b una che non o eá ('arco che coega 'eemento a con 'eemento b non eá orientato e questo, in base ae convenzioni poste, significa che a R b e anche che b R a). igura 20 igura 21 a. I grafo di una reazione antisimmetrica non presenta archi doppiamente orientati b. Se c'eá anche un soo arco doppiamente orientato, a reazione non eá antisimmetrica a. I diagramma cartesiano e a tabea a doppia entrata di una reazione antisimmetrica hanno a caratteristica che, tracciata a diagonae, nessun punto si corrisponde nee due metaá (osserva a figura 21 che rappresenta a reazione antisimmetrica dea figura 20a); cioeá, immaginando di piegare i fogio ungo a diagonae, nessun punto si sovrappone ad un atro e nessuna si sovrappone ad un'atra. Una reazione puoá essere non antisimmetrica e non simmetrica; a reazione «essere innamorati», ad esempio, non eá simmetrica percheâ puoá accadere che x sia innamorato di y e che y non o sia di x, ma non eá nemmeno antisimmetrica percheâ spesso succede che x e y siano innamorati reciprocamente. b. Esempi 1. In N a reazione «x eá maggiore di y» eá una reazione antisimmetrica; infatti se x > y non accade mai che y > x. 2. Anche a reazione «x eá maggiore o uguae a y» in un quaunque insieme numerico eá antisimmetrica; infatti se x y non capita mai che y x, a meno che sia x ˆ y. 10

11 3. In un insieme di ufficiai di una caserma, a reazione «x eá di grado inferiore a y» eá antisimmetrica; infatti se x eá di grado inferiore a y, y non eá di grado inferiore a x. 4. La reazione di incusione fra insiemi eá antisimmetrica: A B e B A soamente se A ˆ B. La proprietaá transitiva Diciamo che una reazione R in un insieme A eá transitiva se, per ogni terna di eementi x, y, z 2 A, sex eá in reazione con y e y eá in reazione con z, aora anche x eá in reazione con z. In simboi: 8 x, y, z 2 A tai che x R y ^ y R z aora x R z I grafo di una reazione transitiva (caso a.) e di una che non o eá (caso b.) ti sono mostrati in figura 22. Affinche a seconda reazione sia transitiva, a freccia in coore bu dovrebbe essere di verso opposto. igura 22 a. Reazione transitiva b. Reazione non transitiva igura 23 Non eá immediato verificare se una reazione eá transitiva quando eá rappresentata con un diagramma cartesiano o con una tabea a doppia entrata; in questi casi bisogna controare che tutte e terne di eementi x, y, z per e quai x R y ^ y R z abbiano anche un puntino oppure un simboo in corrispondenza dea coppia x, z. E' spesso conveniente in questi casi rappresentare a reazione con un grafo e dedurre da esso se a reazione eá transitiva. Devi poi prestare mota attenzione a'orientamento degi archi: una reazione come quea di figura 23 in cui x R y, y R z e z R x non eá transitiva; in atre paroe, affincheâ una reazione sia transitiva, per tutte e terne x, y, z che sono in reazione fra oro, si deve poter seguire 'orientamento degi archi da x verso y eday verso z, ma poi si deve staccare a matita da fogio e percorrere 'arco da x verso z. Esempi Questa reazione non eá transitiva 1. Riferendoci ae reazioni di carattere geometrico dei precedenti esempi, possiamo dire che sono transitive: ± a reazione «avere a stessa superficie» ne'insieme dei poigoni di un piano ± a reazione «essere paraee» ne'insieme dee rette di un piano igura 24 ± a reazione «avere unghezza maggiore» ne'insieme dei segmenti di una retta. Non eá invece transitiva a reazione «essere perpendicoari» ne'insieme dee rette di un piano percheâ se a eá perpendicoare a b e b eá perpendicoare a c, a non eá perpendicoare a c percheâ e due rette sono paraee (figura 24). 11

12 2. In un insieme di persone a reazione «x eá frateo di y» eá una reazione transitiva. igura La reazione di incusione fra insiemi eá transitiva; infatti se A B e B C, anche A C (figura 25). erifica di comprensione 1. Ne grafo di una reazione ogni eemento eá in reazione con se stesso e con tutti gi atri. Di questa reazione si puoá dire che: a. eá rifessiva b. eá antirifessiva c. eá simmetrica d. eá antisimmetrica. Di questa reazione si puoá dire che eá transitiva. Sai spiegare i percheâ? 2. Barra e casee che corrispondono ae proprietaá godute dae seguenti reazioni definite in un insieme di cittaá: a. «x confina con y» b. «x ha a stessa densitaá di popoazione di y» c. «x ha un numero di istituti scoastici inferiore a y» d. «x eá attraversato dao stesso fiume di y». R R R R AR AR AR AR S S S S AS AS AS AS T T T T 3. L'organizzazione degi eementi di un insieme Adesso che abbiamo imparato a riconoscere di quai proprietaá gode una reazione, possiamo affrontare i primo dei probemi che ci eravamo posti a'inizio de capitoo, queo cioeá di dare una struttura ad un insieme organizzando i suoi eementi. Gi eementi di un insieme possono sostanziamente essere organizzati in due modi diversi: dando un criterio di ripartizione in gruppi con caratteristiche simii, vae a dire cassificando dando un criterio per stabiire chi viene prima e chi viene dopo, vae a dire ordinando. Le operazioni di cassificazione e di ordinamento vengono fatte mediante due particoari reazioni: e reazioni di equivaenza e e reazioni d'ordine. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 383 Le reazioni di equivaenza Si dice reazione di equivaenza una reazione che eá rifessiva, simmetrica e transitiva. Ripensando ae reazioni che abbiamo studiato nei paragrafi precedenti sono reazioni di equivaenza quee definite dai predicati: 12

13 «essere paraee» ne'insieme dee rette di un piano «essere nati neo stesso anno» in un insieme di persone «avere a stessa superficie» ne'insieme dei poigoni di un piano. Tutte queste reazioni sono infatti rifessive, simmetriche e transitive. Ciascuna di esse consente di formare gruppi di eementi che hanno a caratteristica individuata da quea particoare reazione: «essere paraee» consente di raggruppare e rette di un piano in sottoinsiemi nei quai si trovano tutte e rette paraee fra oro e soo quee; «essere nati neo stesso anno» consente di mettere neo stesso sottoinsieme tutte e persone che hanno a stessa etaá; «avere a stessa superficie» consente di raggruppare i poigoni di un piano a seconda dea superficie occupata. In ogni caso, i sottoinsiemi che si vengono cosõá a formare hanno queste caratteristiche (osserva a figura 26 nea quae abbiamo rappresentato a reazione di paraeismo): a. nessun sottoinsieme eá vuoto b. sono disgiunti a due a due c. 'unione di tutti i sottoinsiemi daá 'insieme di partenza. Essi costituiscono pertanto una partizione de'insieme dato. igura 26 Ci rendiamo subito conto che una reazione di questo genere ci fornisce un criterio di cassificazione degi eementi di un insieme, percheâ in un particoare sottoinsieme vanno a finire soo quegi eementi che hanno e caratteristiche messe in evidenza daa reazione: essere paraee, essere nati neo stesso anno, avere a stessa superficie. Riassumendo, possiamo dire che una reazione di equivaenza R induce sempre una partizione in un insieme A; i sottoinsiemi dea partizione si chiamano cassi di equivaenza ed un eemento quasiasi di una casse puoá essere preso come rappresentante di quea casse. Rifettiamo bene su'utima frase: «un eemento quasiasi di una casse puoá essere preso come rappresentante di quea casse». Questo significa che prendere una retta o un'atra ad essa paraea non fa differenza, percheâ tutte e rette di quea casse hanno a stessa direzione; prendere una persona o un'atra nate in un anno particoare non fa differenza, percheâ tutte e persone di quea casse hanno a stessa etaá; prendere un rettangoo o un pentagono o un esagono non fa differenza se i prendiamo daa stessa casse, percheâ tutti hanno a stessa superficie. Mediante e reazioni di equivaenza possiamo quindi introdurre nuovi concetti: queo di direzione, queo di etaá, queo di area. Ciascuna casse di equivaenza diventa un eemento di un nuovo insieme: 'insieme di tutte e possibii direzioni in un piano, 'insieme di tutte e possibii etaá, 'insieme di tutte e aree possibii. Questo nuovo insieme si chiama insieme quoziente. In sintesi: una reazione di equivaenza R in un insieme A organizza gi eementi di A in cassi di equivaenza; 'insieme dee cassi di equivaenza si dice insieme quoziente e si indica con i simboo A =R. 13

14 Esempi 1. Sia A 'insieme dei giocatori di basket itaiani e sia R a reazione definita da p x, y : «x gioca nea stessa squadra di y». R eá rifessiva (ogni giocatore gioca nea stessa squadra di se stesso), simmetrica (se un giocatore x gioca con un giocatore y,eá vero anche 'inverso), transitiva (se x gioca nea stessa squadra di y e y in quea di z, anche x gioca con z); R eá dunque una reazione di equivaenza. Le cassi di equivaenza sono formate da tutti e soi quei giocatori che giocano nea stessa squadra. Un giocatore quasiasi puoá essere preso come rappresentante dea sua squadra. L'insieme quoziente eá 'insieme costituito dae squadre dei giocatori di basket. 2. Sia A 'insieme degi studenti di una scuoa e sia R a reazione definita da predicato «appartenere aa stessa sezione»; tae reazione eá rifessiva, simmetrica e transitiva ed eá percioá una reazione di equivaenza. Le cassi di equivaenza sono i sottoinsiemi di A che hanno per eementi gi studenti che appartengono aa medesima sezione, indipendentemente daa casse frequentata. L'insieme quoziente eá queo dei corsi funzionanti nea scuoa (corso A, corso B, corso C e cosõá via). 3. In un insieme di persone, a reazione «essere amici» eá rifessiva e simmetrica ma non eá transitiva: se una persona a eá amica di una persona b che, a sua vota, eá amica di una persona c, non eá detto che a sia amica di c, addirittura potrebbe non conoscera neppure. Questa reazione non eá quindi di equivaenza. Le reazioni d'ordine Sono, per esempio, reazioni d'ordine quee definite dai predicati: Si dice reazione d'ordine una reazione che eá ameno antisimmetrica e transitiva. «essere minore» ne'insieme dei numeri interi «essere piuá ati» in un insieme di persone «precedere» in una fia di persone ad uno sporteo. Osserviamo subito che a definizione data non escude che a reazione, otre ad essere antisimmetrica e transitiva, possa avere quache atra proprietaá ed essere quindi anche rifessiva o antirifessiva. Diciamo in questi casi che a reazione eá: Per esempio: n di ordine argo se vae anche a proprietaá rifessiva n di ordine stretto se vae anche a proprietaá antirifessiva. a reazione «essere minore o uguae» in un insieme di numeri eá antisimmetrica e transitiva, ma eá anche rifessiva (ogni numero eá minore o uguae di se stesso, in particoare eá uguae), quindi eá una reazione di ordine argo; a reazione «essere piuá anziano» in un insieme di persone eá antisimmetrica e transitiva, ma eá anche antirifessiva (una persona non eá mai piuá anziana di se stessa), quindi eá una reazione di ordine stretto. Consideriamo adesso a reazione R 1 : «essere minore» e a reazione R 2 : «essere mutipo» entrambe definite ne'insieme A ˆ fx 2 N j 2 x 12g. Sappiamo giaá che a prima eá una reazione d'ordine, ma anche a seconda o eá per- Non tutte e reazioni d'ordine sono di ordine stretto o di ordine argo, percheâ a reazione potrebbe non essere neâ rifessiva neâ antirifessiva. 14

15 cheâ eá antisimmetrica (se a eá mutipo di b, b non puoá essere mutipo di a a meno che sia a ˆ b) edeá transitiva (se a eá mutipo di b e b, a sua vota, eá mutipo di c, anche a eá mutipo di c; per esempio 12 eá mutipo di 6, 6 eá mutipo di 2 e anche 12 eá mutipo di 2). i eá tuttavia una differenza fra queste due reazioni: nea prima due quasiasi eementi sono sempre confrontabii secondo i predicato «essere minore»; nea seconda acuni eementi sono confrontabii secondo i predicato «essere mutipo», atri no: per esempio 8 si puoá mettere in reazione con 4 ma non con 5 o con 3. Una reazione come R 1 induce in A un ordinamento totae, ne senso che i predicato «essere minore» mette in fia tutti i numeri di A, nessuno escuso: i piuá piccoo eá queo da cui escono archi orientati che vanno verso tutti gi atri numeri, cioeá i numero 2, queo successivo eá queo da cui esce un arco di meno, cioeá i numero 3, queo successivo ancora eá queo da cui escono due archi di meno, cioeá i numero 4, e cosõá via fino a'utimo da quae non esce nessun arco, cioeá i numero 12 (in figura 27a abbiamo costruito i grafo di questa reazione con soo i numeri da 2 a 6 percheâ i numero di archi avrebbe reso quasi incomprensibie i grafo). Una reazione come R 2 induce soo un ordinamento a gruppi, nei quai, otretutto, acuni numeri possono far parte di piuá gruppi; per esempio si puoá fare un ordinamento secondo a reazione «essere mutipo» che daá i gruppi 12, 6, 3o 12, 6, 2 o anche 8, 4, 2, ma non vi eá un ordinamento su tutti i numeri de'insieme (figura 27b). igura 27 Un ordinamento puoá essere: - totae se eá reativo a tutti gi eementi de'insieme; - parziae se eá reativo a gruppi di eementi. a. b. Una reazione d'ordine come R 1, nea quae per ogni coppia di eementi x e y di A si ha che x eá in reazione con y o viceversa, eá una reazione d'ordine totae; una reazione d'ordine come R 2, nea quae esistono coppie per e quai x non eá in reazione con y e neppure y eá in reazione con x, eá una reazione d'ordine parziae. Esempi 1. Ne'insieme dei punti di una retta orientata a reazione definita da predicato "precedere" eá antisimmetrica (se un punto precede un atro non puoá accadere i contrario) e transitiva (se un punto precede un atro e questo precede un terzo, anche i primo precede i terzo); si tratta quindi di una reazione d'ordine che eá anche antirifessiva (un punto non puoá precedere se stesso). Questa reazione induce sua retta un ordinamento totae percheâ, dati due punti quasiasi, si puoá sempre dire se uno precede 'atro. 15

16 2. Ne'insieme degi abbonati Teecom di una cittaá a reazione «venire prima in ordine afabetico» eá una reazione d'ordine totae percheâ due abbonati sono sempre confrontabii secondo questa reazione. 3. Ne'insieme A ˆfuno, due, tre, quattro, cinqueg consideriamo a reazione «x viene prima di y in ordine afabetico». Si tratta di una reazio- igura 28 ne antirifessiva, antisimmetrica e transitiva, cioeá di una reazione d'ordine di cui puoi vedere i grafo nea figura 28. Inotre, poicheâ tutti gi eementi sono confrontabii fra oro, si tratta di un ordinamento totae. Per stabiire 'ordine con cui si susseguono gi eementi, osserviamo che da'eemento cinque escono tutti gi archi e non ne arriva nessuno: esso eá quindi i primo de'ordinamento; da'eemento due escono tre archi e ne arriva uno soo: esso eá dunque i secondo eemento de'ordinamento; da'eemento quattro escono due archi e ne arrivano due: abbiamo trovato i terzo eemento; da tre esce un soo arco e ne arrivano tre: si tratta percioá de quarto eemento de'ordinamento; infine da uno non escono archi e ne arrivano quattro che eá i massimo possibie: questo eá dunque 'utimo eemento. In definitiva, 'ordine indotto ne'insieme A da questa reazione eá i seguente: cinque,due,quattro,tre,uno Considerazioni finai ra tutte e possibii reazioni che si possono introdurre in un insieme, quee di equivaenza e di ordine sono poche percheâ spesso a proprietaá transitiva vae soo qua e aá, cioeá soo per acune terne di eementi ma non per tutte, e cosõá eá anche per e proprietaá rifessiva, simmetrica e antisimmetrica (osserva a figura 29). Le reazioni che possiedono totamente una proprietaá non sono poi tantissime (per esempio, e reazioni d'ordine sono soo quee che si possono ricondurre ad un predicato de tipo «venire prima» o «venire dopo», «essere minore» o «essere maggiore»), ma proprio per questo sono cosõá importanti in matematica. Per quanto riguarda e reazioni di equivaenza vae a pena di sottoineare i oro ruoo ne'individuare i concetto di uguagianza. Se durante una festa vedi una tua amica che ha un vestito uguae a tuo, intendi forse dire che i due abiti sono deo stesso coore e dea stessa forma, ma magari hanno tagie diverse o sono fatti di tessuti diversi e, in ogni caso, non sono o stesso abito. Essi sono dunque "uguai", cioeá stanno nea stessa casse di equivaenza, rispetto aa reazione «avere o stesso coore e a stessa forma» ma non sono "uguai", cioeá non appartengono aa stessa casse di equivaenza, rispetto ae reazioni «avere a stessa tagia» o «essere fatti deo stesso tessuto». Una reazione di equivaenza, quindi, definisce impicitamente e condizioni rispetto ae quai sono "uguai" due eementi di un insieme. Tornando ae reazioni d'ordine puoá venire in mente che un insieme possa nascere giaá con un ordinamento naturae; se quacuno ti chiede di indicare i primi dieci numeri naturai, ti viene spontaneo scrivere 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Questa idea eá peroá de tutto sbagiata, percheá 'ordinamento eá soo un criterio che, una vota sceto, ci obbiga ad eencare gi eementi di un insieme in un certo modo. Ma si tratta pur sempre di una sceta: 'insieme dei primi dieci numeri naturai puoá anche essere dato, per esempio, in ordine afabetico: cinque, due, nove, otto, quattro, sei, sette, tre, uno, zero. igura 29 16

17 erifica di comprensione 1. Considera e reazioni definite dai seguenti enunciati aperti in un insieme di persone; barra a casea in corrispondenza dee proprietaá da esse possedute e stabiisci in quai casi si tratta di reazioni di equivaenza (EQ) o d'ordine (OR): a. «x ha tanti figi quanti ne ha y» b. «x paga piuá tasse di y» c. «x va in vacanza con y» d. «x ha ameno un parente in comune con y» e. «x guadagna meno di y» R R R R R AR S AS T EQ OR AR S AS T EQ OR AR S AS T EQ OR AR S AS T EQ OR AR S AS T EQ OR 2. Barra vero o faso. a. Una reazione d'ordine o eá totae o eá parziae. b. Se una reazione d'ordine eá rifessiva eá di ordine argo. c. Esistono reazioni di equivaenza che sono antisimmetriche. d. Esistono reazioni d'ordine che non sono transitive. 4. Le reazioni fra insiemi 4.1. Le funzioni Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 386 Le reazioni possono essere studiate anche da un atro punto di vista e precisamente andando a vedere in che modo gi eementi di un insieme sono egati a quei di un atro, indipendentemente da fatto che i due insiemi siano uguai o diversi. ediamo acuni esempi. I esempio Consideriamo 'insieme A degi studenti di una casse che devono svogere i test di ingresso di matematica a'inizio de'anno scoastico e 'insieme B dei numeri naturai. Supposto che ogni domanda de test sia vautabie con un punteggio nuo se a risposta eá sbagiata, con punteggio 1 se a risposta non eá stata data, con punteggio 5 se eá data in modo esatto, ad ogni studente che affronta i test viene associato un soo numero naturae che eá i risutato dea somma dei punteggi ottenuti. Ad ogni eemento x di A eá quindi associato un soo eemento y di B, cioeá ogni eemento di A ha una soa immagine in B. iceversa, puoá capitare che due studenti abbiano conseguito o stesso punteggio e che nessuno studente abbia conseguito punteggio 0 o 80 o 95; quindi ci possono essere eementi di B che hanno una soa controimmagine in A, eementi che hanno piuá controimmagini in A o che non ne hanno nessuna. La rappresentazione sagittae dea reazione «x ha conseguito i punteggio igura 30 y» conx 2 A e y 2 B, eá in figura 30 dove abbiamo rappresentato per sempicitaá un numero imitato di studenti. In una reazione di questo tipo ad ogni eemento di A eá associato un soo eemento di B ma non eá richiesto i viceversa, quindi piuá eementi di A potrebbero avere come corrispondente o stesso eemento di B; si tratta percioá di una reazione de tipo moti a uno. II esempio Ae Oimpiadi, nea gara di tiro con 'arco ogni arciere si trova su una pedana 17

18 in corrispondenza dea quae c'eá un bersagio che deve essere copito: ad ogni arciere corrisponde un soo bersagio e, viceversa, ogni bersagio puoá essere copito da un soo arciere. In questo caso, aora, ad ogni eemento de'insieme A eá associato un soo eemento de'insieme B e viceversa; a reazione «x deve copire i bersagio y» eá quindi rappresentata da una corrispondenza di tipo uno a uno (figura 31). III Esempio Sempre parando di Oimpiadi, negi 800 metri di Atetica eggera a'inizio gi ateti sono obbigati a correre ciascuno nea corsia assegnata (c'eá quindi una corrispondenza di tipo uno a uno come ne precedente esempio), ma, dopo 100 metri, tutti gi ateti possono cambiare corsia e, ovviamente, cercano di spostarsi in quea piuá interna che comporta un percorso piuá breve; quando peroá devono superare un avversario, possono anche andare in un'atra corsia. Ad un certo istante a situazione fra gi ateti ed i numero di corsia (in totae 8 ateti per 8 corsie) potrebbe essere queo indicato in figura 32. Se A eá 'insieme dee corsie e B eá 'insieme degi ateti, ad ogni corsia possono corrispondere piuá ateti e quindi a reazione «nea corsia x corre 'ateta y» eá una reazione di tipo uno a moti. I Esempio Una situazione sicuramente piuá caotica si ha quando a reazione fra gi eementi di un insieme A e quei di un insieme B eá de tipo moti a moti come in figura 33. Questo schema di corrispondenza potrebbe per esempio essere adatto a descrivere a mutiproprietaá: una persona potrebbe avere piuá mutiproprietaá su appartamenti diversi e viceversa, ogni appartamento puoá avere piuá proprietari. igura 31 igura 32 igura 33 Gi schemi che abbiamo visto nei diversi esempi si riconducono ad acuni tipi fondamentai che sono riassunti nea figura 34. Di tutti questi casi i primi due sono i piuá significativi in matematica; se vogiamo descriveri in modo piuá dettagiato dobbiamo dire che: da un eemento di A esce soo un arco che va verso un eemento di B; in atre paroe non ci sono eementi di A dai quai escono piuá archi; non esistono eementi in A dai quai non esce acun arco; in atre paroe, da tutti gi eementi di A, nessuno escuso, esce un arco; sugi eementi di B possono arrivare uno o piuá archi ed eventuamente possono anche esserci eementi ai quai non arriva acun arco. igura 34 moti a uno uno a uno uno a moti moti a moti 18

19 Situazioni di questo tipo si identificano dicendo che a reazione R eá una funzione. Si dice funzione o appicazione di A in B una reazione che ad ogni eemento de primo insieme fa corrispondere uno ed un soo eemento de secondo. Questo tipo di corrispondenza si dice univoca. Una reazione eá quindi una funzione quando i suo dominio coincide con 'insieme A e ogni eemento di A ha una soa immagine in B. In generae, invece, i codominio eá un sottoinsieme di B. Per indicare che una reazione eá una funzione si usa i simboo f e si scrive in uno dei seguenti modi: f : A! B oppure A! f B per evidenziare a corrispondenza fra i due insiemi A e B Affinche una reazione sia una funzione si devono verificare due condizioni: - ogni eemento x di A deve avere come corrispondente un eemento y di B - 'eemento y deve essere unico. y ˆ f x per evidenziare che 'eemento y di B eá associato a'eemento x di A tramite a f. Quando A e B sono insiemi numerici, spesso a funzione che associa gi x 2 A agi y 2 B si puoá esprimere mediante un'espressione di tipo agebrico; per esempio y ˆ x 3 indica a funzione che ad ogni numero x associa i suo cubo y ˆ x 1 indica a funzione che ad ogni numero x associa i suo precedente ed in questi casi f x eá uguae rispettivamente a x 3 eax 1. Osserviamo poi che x rappresenta un quaunque eemento de'insieme A, mentre y rappresenta 'eemento de'insieme B che eá associato ad un particoare x; y dipende cioeá da x. Si dice aora che x eá a variabie indipendente dea funzione, mentre y eá a variabie dipendente. Esempi 1. Consideriamo e reazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce (figura 35). a. b. c. igura 35 d. e. I casi a. e b. rappresentano dee funzioni percheâ da ogni eemento di A esce un soo arco verso un eemento di B; i caso c. non rappresenta una funzione percheâ 'eemento 8 non ha immagine in B; i casi d. ed e. non rappresentano dee funzioni percheâ da acuni eementi di A escono piuá archi verso eementi di B. 19

20 2. Sia A 'insieme dei numeri interi e sia B 'insieme dei numeri interi positivi o nui; a reazione «y eá i quadrato di x» eá una funzione percheâ ogni numero intero, nessuno escuso, ha per quadrato uno ed un soo numero intero positivo o nuo (osserva a figura 36 nea quae abbiamo rappresentato soo quache eemento). Tae funzione si puoá rappresentare con a scrittura y ˆ x 2 esiha ad esempio che f 2 ˆ4 f 3 ˆ9 f 7 ˆ49 f 1 ˆ1 f 0 ˆ0 igura Sia A 'insieme dei numeri naturai privato deo zero e sia B 'insieme dei numeri razionai; a reazione «y eá i reciproco di x» associa ad ogni numero x di A i suo reciproco 1 x di B e non c'eá nessun numero di A che non abbia i suo corrispondente in B. Si tratta dunque di una funzione che puoá essere scritta nea forma y ˆ 1. Ad esempio f 3 ˆ1 f 1 ˆ1 ˆ 1 f 5 ˆ1 f 8 ˆ1 x Sia A 'insieme dei punti di una retta r e sia B 'insieme dei punti di una retta s incidente a r ma non perpendicoare. Consideriamo a reazione che ad ogni punto P di r associa i punto Q di s ottenuto tracciando a perpendicoare da P su s (osserva a figura 37). Poiche ad ogni punto P resta associato uno ed un soo punto Q, a reazione stabiita eá una funzione. igura 37 Daa definizione data e dagi esempi visti appare evidente che, per stabiire se una reazione eá una funzione, basta osservare queo che accade ne'insieme A: da ognuno dei suoi eementi deve uscire un arco e ne deve uscire uno soo. Le funzioni non sono peroá tutte uguai, esse si distinguono per queo che accade ne'insieme B. ediamo dunque i casi che si possono presentare. Consideriamo una funzione come quea rappresentata in figura 38 in cui i codominio dea funzione eá 'insieme B stesso, vae a dire che non vi sono eementi di B che non abbiano ameno una controimmagine in A; una funzione di questo tipo si dice suriettiva. Una funzione f : A! B si dice suriettiva se 'insieme dee immagini f A coincide con 'insieme B. In simboi scriviamo che f A ˆB Consideriamo ora una funzione come quea rappresentata in figura 39 in cui agi eementi di B arriva a massimo una soa freccia, vae a dire che ne arriva una soa oppure non ne arriva nemmeno una. Questo significa anche che eementi distinti di A hanno immagini distinte in B; una funzione di questo tipo si dice iniettiva. Una funzione f : A! B si dice iniettiva se ad eementi distinti di A corrispondono eementi distinti di B. In simboi scriviamo che se a 6ˆ b ) f a 6ˆ f b Da utimo consideriamo una reazione come quea in figura 40 di pagina seguente in cui ad ogni eemento di B arriva una soa freccia (funzione iniettiva) e igura 38 unzione suriettiva: in B non ci sono eementi ai quai non arrivano frecce. igura 39 unzione iniettiva: ad ogni eemento di B arriva a massimo una freccia. 20

21 'insieme dee immagini coincide con B (funzione suriettiva); una funzione di questo tipo si dice biiettiva. igura 40 Una funzione f : A! B si dice biiettiva se eá contemporaneamente iniettiva e suriettiva. In atre paroe una funzione biiettiva eá una funzione che ad ogni eemento di A fa corrispondere un soo eemento di B e, viceversa, ogni eemento di B eá immagine di un soo eemento di A. Una funzione biiettiva eá una corrispondenza biunivoca. unzione biiettiva: eá una corrispondenza uno a uno che esaurisce gi eementi dei due insiemi. Osservazione I fatto che una funzione sia suriettiva o biiettiva dipende da'insieme B. Per esempio a funzione f rappresentata in figura 41a non eá suriettiva per a presenza de'eemento 3in B che non ha controimmagini in A; se peroá restringiamo 'insieme B e consideriamo 'insieme B 0 che si ottiene eiminando questo eemento, f diventa suriettiva (figura 41b). igura 41 a. b. Anaogamente a funzione in figura 42 non eá biiettiva per a presenza de'eemento d in B; tuttavia, considerando a suo posto 'insieme B 0 ottenuto eiminando d, essa diventa biiettiva. igura 42 a. b. Esempi 1. Sia f : N! N definita daa reazione «y eá i doppio di x». I dominio dea funzione eá 'insieme N, i codominio eá 'insieme dei numeri pari che eá un sottoinsieme di N; quindi, poicheâ f N N, a funzione non eá suriettiva. E' vero invece che ad eementi distinti de dominio corrispondono eementi distinti de codominio; a funzione data eá quindi iniettiva. 21

22 2. Consideriamo a reazione che ad ogni punto di una circonferenza associa i punto che ne eá a proiezione su diametro (figura 43); si tratta evidentemente di una funzione da'insieme A dei punti dea circonferenza verso 'insieme B dei punti de diametro. Inotre 'insieme dee immagini coincide con 'insieme dei punti de diametro, cioeá f A ˆB; a funzione cosõá definita eá quindi suriettiva. Non eá invece iniettiva percheâ ogni punto de diametro ha due controimmagini sua circonferenza. igura La reazione de'esempio 4 de gruppo precedente che ad ogni punto di una retta r associa a sua proiezione su una seconda retta s eá una corrispondenza biunivoca percheâ ad ogni punto P viene associato un soo punto Q e, viceversa, ogni punto Q eá immagine di un soo punto P. Si tratta di una funzione biiettiva. 4. Se riprendiamo i primi due esempi introduttivi possiamo dire che: a funzione de primo non eá suriettiva ('insieme dei punteggi non coincide con 'insieme N) e non eá nemmeno iniettiva (due studenti potrebbero avere avuto o stesso punteggio). Essa non eá quindi nemmeno biiettiva. a funzione de secondo eá invece biiettiva percheâ ad ogni arciere corrisponde un soo bersagio e, viceversa, ogni bersagio puoá essere copito da un soo arciere. La funzione inversa Poniamoci adesso a seguente domanda: se una reazione f : A! B eá una funzione, anche a sua inversa f 1 eá una funzione? In generae dobbiamo rispondere di no percheâ puoá darsi che a corrispondenza da B verso A non sia univoca, cioeá puoá darsi che non tutti gi eementi di B abbiano una immagine in A o che ne abbiano piuá di una (rivedi gi esempi 1 e 2 precedenti). Tuttavia, se f eá una funzione biiettiva, aora anche f 1 eá una funzione. Si dice in questo caso che f eá invertibie. Una funzione eá invertibie se eá una corrispondenza biunivoca I prodotto di funzioni Considera a seguente situazione: nei mondiai di ormua 1 di un certo anno ogni piota ha a propria auto con cui correre i vari Gran Premi; ogni auto, a sua vota, appartiene a una certa Scuderia. Indichiamo con A 'insieme dei pioti, con B queo dee auto, con C queo dee Scuderie; chiamiamo poi f a funzione che ad ogni piota associa a propria auto e g a funzione che ad ogni auto associa a Scuderia di appartenenza (figura 44). Appicando a funzione f, ad ogni piota corrisponde un'auto aa quae, a sua vota, appicando a igura 44 funzione g, corrisponde a propria Scuderia. Mediante 'appicazione in successione prima dea f e poi dea g, abbiamo cosõá costruito una nuova funzione k nea quae ad ogni piota possiamo far corrispondere a Scuderia per cui corre. Per esempio, ne campionato 2008, ai pioti Raikkonen e Massa si puoá far corrispondere a errari, ad Aonso e Piquet a Renaut e cosõá via. 22

23 In questo esempio i codominio dea funzione f eá diventato i dominio dea funzione g. Poiche questa situazione si presenta in diverse occasioni, eá necessario dare un significato preciso. Data una funzione f : A! B, se i codominio B di f diventa i dominio di un'atra funzione g, cioeá g : B! C, per gi eementi y 2 B che sono immagini di eementi x 2 A nea f possiamo scrivere y ˆ f x. Per gi eementi z 2 C che sono immagini di eementi y 2 B possiamo scrivere z ˆ g y. Avendo supposto che i codominio di f coincida con i dominio di g, atrimenti non eá possibie parare di funzione, possiamo sostituire 'espressione di y nea funzione z e scrivere z ˆ g f x. ae a dire che possiamo pensare di associare ad ogni eemento x 2 A gi eementi z 2 C che sono immagini degi y 2 B. igura 45 Nasce quindi una nuova funzione k che associa ad ogni x 2 A un eemento z 2 C (figura 45): k : A! C z ˆ k x. Si dice che a funzione k eá i prodotto dee due funzioni f e g e si scrive k ˆ g f intendendo con questra scrittura che a funzione g eá appicata agi eementi individuati daa funzione f. La funzione f, pur essendo scritta per seconda, eá quindi quea che viene appicata per prima. In sostanza viene appicata per prima a funzione scritta piuá a destra e poi quea immediatamente a sinistra. Si dice anche che a funzione k eá composta dee due funzioni f e g. Esempi 1. Sia A ˆfx j x eá a cartea di un aunno dea casse I A}, B ˆfy j y eá un aunno dea casse I A} e C ˆfz j z eá i ibro di matematica di un aunno dea I A}: Consideriamo e funzioni f : A! B e g : B! C dove f eá a funzione che ad ogni cartea x associa i suo proprietario y e dove g eá a funzione che ad ogni aunno y associa i proprio ibro z. In questo caso i dominio di g eá proprio i codominio di f; quindi a funzione k eá a funzione che ad ogni cartea x di A associa i ibro z di C. 23

24 2. Sia f : Z! Z, definita daa reazione y ˆ x 2 e sia g : Z! Z, definita daa reazione z ˆ 2y 4. Anche in questo caso i dominio di g ('insieme Z) eá i codominio di f ('insieme Z ). Possiamo aora considerare a funzione igura 46 k : Z! Z dove k ˆ g f. Si ha ad esempio che f 1 ˆ1 2 ˆ 3 g 3 ˆ2 3 4 ˆ 2 quindi k 1 ˆ2 f 1 ˆ 1 2 ˆ 1 g 1 ˆ2 1 4 ˆ 2 quindi k 1 ˆ 2. La funzione z si ottiene aora sostituendo 'espressione x 2 a posto di y ne'espressione di z, cioeá (figura 46) z ˆ 2 x 2 4 cioeá z ˆ 2x. 3. Sia f : Z! Z, definita daa reazione y ˆ x 2,e sia g : Z! Z, definita daa reazione z ˆ y 8. In questo caso i dominio dea g non coincide con i codominio dea f. Infatti gi y che sono immagini degi x nea f sono soo acuni numeri di Z che costituiscono un suo sottoinsieme P (figura 47); i dominio dea g eá invece 'intero insieme Z. Aora per poter considerare a funzione g f eá necessario considerare P come dominio di g. igura 47 igura EÁ anche possibie comporre una funzione f con se stessa. Sia ad esempio f : Z! Z, definita daa reazione y ˆ x 3. Se a appichiamo due vote otteniamo (figura 48): k : Z! Z z ˆ x 3 3 cioeá z ˆ x 6. erifica di comprensione 1. ra un insieme A e un insieme B eá stabiita una reazione R. In quae dei seguenti casi R eá una funzione? a. ci sono eementi di A che non hanno immagine in B; b. tutti gi eementi di A hanno una soa immagine in B; c. tutti gi eementi di A hanno ameno una immagine in B; d. 'insieme dee controimmagini eá un sottoinsieme proprio di A. 2. Le seguenti reazioni sono tutte funzioni da A verso B che soddisfano, una aa vota, e seguenti caratteristiche: ogni eemento di A ha una soa immagine in B; ogni eemento di B ha una soa controimmagine in A e 'insieme dee controimmagini coincide con A; non esistono eementi di A che non hanno immagine in B e non esistono eementi di B che non hanno controimmagine in A; ogni eemento di A ha una soa immagine in B eognieementodib ha una soa controimmagine in A. 24

25 Sono funzioni invertibii: a. tutte b. soo a ea c. a, a ea d. soo a 3. Date e funzioni f x ˆ3x e g x ˆx 2 1 entrambe definite in Z; a funzione f g eá uguae a: a. 3 x 2 1 b. 3x 2 1 c. 3x x 2 1 d. 3x x 2 1 Matematica in aboratorio 5. Le funzioni con Derive Abbiamo visto che una funzione che ega fra oro eementi di insiemi numerici puoá spesso essere scritta nea forma y ˆ f x dove f x eá 'espressione che genera i numero y una vota che eá noto x. Possiamo costruire dee funzioni di questo tipo con Derive usando i comando Crea/Definisci funzione. Si apre in questo modo una finestra di diaogo nea quae si deve inserire: i nome dea funzione ed i suoi argomenti nea riga superiore I nome dea funzione eá un nome sceto da noi e normamente esso ricorda o scopo dea funzione; per esempio, se a funzione cacoa i quadrato di un numero conviene usare i nome "quadrato", ma tae sceta eá de tutto personae. Gi argomenti sono i nomi dee variabii indipendenti dea funzione. Le funzioni che abbiamo visto finora avevano una soa variabie indipendente, di soito indicata con x, ma una funzione puoá avere piuá variabii se 'insieme in cui eá definita eá dato da prodotto cartesiano di piuá insiemi; per esempio, 'area di un rettangoo eá funzione dee sue dimensioni a e b, i voume di un paraeepipedo eá funzione dee sue dimensioni a, b e c. Per rappresentare queste tre funzioni nea prima riga dea finestra (una aa vota) dobbiamo scrivere cosõá: - quadrato x quadrato eá i nome dea funzione, x eá a variabie - area a, b area eá i nome dea funzione, a e b sono e variabii - voume a, b, c voume eá i nome dea funzione, a, b e c sono e variabii a definizione nea parte sottostante La definizione eá proprio 'espressione f che, date e variabii indipendenti, permette di cacoare quea dipendente. Reativamente ae tre funzioni precedenti, in questa zona dobbiamo scrivere rispettivamente cosõá: - x^2 per rappresentare i quadrato di x - ab per i cacoo de'area - abc per i cacoo de voume. Una vota data a conferma con i pusante OK nea finestra di agebra troviamo scritto rispettivamente nei tre casi: #1: quadrato x :ˆ x 2 #2: area a, b :ˆ a b #3: voume a, b, c :ˆ a b c Se ricordi a precedente esercitazione con Derive, i simboo :ˆ eá i simboo di assegnamento; con i comando Crea/ Definisci funzione abbiamo quindi assegnato aa variabie i cui nome eá indicato sua sinistra 'espressione scritta sua destra. 25

26 Questa operazione puoá essere fatta direttamente nea riga di inserimento digitando rispettivamente: quadrato x :ˆ x^2 area a, b :ˆ ab voume a, b, c :ˆ abc Una vota scritta 'espressione di una funzione, si possono cacoare i suoi vaori attribuendone acuni ae variabii indipendenti; per esempio, se nea riga di inserimento scrivi adesso: quadrato 2 cacoi i vaore de'espressione x 2 quando x vae 2. Le modaitaá di sempificazione sono e stesse viste nea precedente esercitazione: se premi INIO, nea finestra di Agebra compare 'espressione non vautata, cioeá trovi scritto quadrato 2 se cicchi su pusante ˆ, nea finestra di Agebra compare i vaore de'espressione, cioeá 4 se scrivi quadrato 2 ˆe poi premi INIO, compaiono sia 'espressione che i suo vaore, cioeá quadrato 2 ˆ4 Anaogamente, se scrivi: area 3, 5 ˆ Derive attribuisce i vaore 3 aa variabie a, 5 aa variabie b e restituisce 15 voume 4, 2, 6 ˆ Derive attribuisce i vaore 4 aa variabie a, 2 aa variabie b, 6 aa variabie c e restituisce 48 Esercizi 1. Costruisci e funzioni indicate di seguito: f x ˆ x 3 1 e utiizzae per cacoare: g x ˆ 1 x f 2 f 0 h x ˆ x 2 3x 3 f 2 h 1 h 0 h 1 2 g 2 p x, y ˆ x 2 y 2 g 4 g 3 4 p 3, 1 p 2, 4 p 1, 0 26

27 S intesi dea teoria w LE RELAZIONI BINARIE Considerati due insiemi, A di eementi x e B di eementi y, ed un predicato p nee variabii x e y, diciamo che x eá in reazione con y, e scriviamo x R y, sepx, y eá vero. Per rappresentare una reazione si puoá: indicare 'insieme che ha per eementi e coppie x, y tai che x R y rappresentare con un diagramma di Euero-enn gi insiemi A e B e coegare con un arco orientato da x verso y e coppie dea reazione costruire una tabea a doppia entrata con gi insiemi A e B e scrivere una nee casee reative ae coppie x, y che sono in reazione ed una nee casee x, y che non sono in reazione costruire i diagramma cartesiano con i due insiemi A e B e mettere un punto in corrispondenza dee coppie x, y che sono in reazione. Se gi insiemi A e B sono uguai, cioeá se a reazione eá definita neo stesso insieme, si puoá anche costruire un grafo ne quae si coegano con un arco orientato da x verso y gi eementi che sono in reazione. w LE PROPRIETA Á Le reazioni definite in un insieme A possono godere di acune proprietaá: rifessiva se 8x 2 A accade che x R x antirifessiva se 69 x 2 A per i quae x R x simmetrica se, tutte e vote che x R y, anche y R x antisimmetrica se, tutte e vote che x R y, non capita mai che sia y R x a meno che x e y siano uguai transitiva se, quando x R y ^ y R z, anche x R z. w LE RELAZIONI DI EQUIALENZA E D'ORDINE Una reazione definita in un insieme A si dice: di equivaenza se eá rifessiva, simmetrica e transitiva. Gi eementi che sono in reazione fra oro costituiscono un sottoinsieme di A che si dice casse di equivaenza; 'insieme dee cassi di equivaenza eá 'insieme quoziente di ordine se eá ameno antisimmetrica e transitiva; se poi tutti gi eementi di A sono confrontabii secondo R, a reazione eá di ordine totae, atrimenti eá di ordine parziae. w LE UNZIONI Una reazione definita fra due insiemi A e B eá una funzione di A in B se ad ogni eemento di A resta associato uno ed un soo eemento di B; a corrispondenza che associa gi eementi dei due insiemi si dice univoca. Una funzione puoá essere: suriettiva se 'insieme dee immagini coincide con B iniettiva se gi eementi di B hanno a piuá una soa controimmagine in A; possono cioeá esistere eementi che hanno una soa controimmagine ed eementi che non hanno controimmagine biiettiva se ad ogni eemento di A resta associato un soo eemento di B e viceversa. Di una funzione biiettiva si dice che eá una corrispondenza biunivoca; e funzioni biiettive sono e soe funzioni invertibii. w IL PRODOTTO DI UNZIONI Una funzione k eá i prodotto di atre due funzioni f e g, e si scrive k ˆ g f, quando a funzione g eá appicata agi eementi generati daa funzione f. La funzione g, anche se eá scritta per prima ne prodotto, eá quea che viene appicata per seconda. 27

28 Insiemi e reazioni LE RELAZIONI BINARIE a teoria eá apag.66 Due eementi x e y di due insiemi A e B sono in reazione secondo un predicato p se px, y eá vero. Una reazione eá quindi una egge che ci dice in quae modo associare gi eementi di un insieme a quei di un atro. I dominio di una reazione eá i sottoinsieme di A formato dagi eementi x che hanno ameno una immagine in B; i codominio eá i sottoinsieme di B formato dagi eementi y che sono immagini di quache eemento x. Una reazione R si puoá rappresentare: - per eencazione scrivendo 'eenco dee coppie che soddisfano R - con a rappresentazione sagittae che coega gi eementi dei due insiemi che soddisfano R - con una tabea a doppia entrata. Se a reazione eá definita in uno stesso insieme, si puoá costruire un grafo. Comprensione dea teoria 1 Considerata a reazione R definita da predicato «essere i precedente» ne'insieme A ˆ fx 2 N j 10 x 16g, si puoá dire che: a. 10 R 11 b. 12 R 11 c. 16 R 15 d. 13 R 15 e. 10 R 10 f. 15 R 16 2 Una reazione R fra gi eementi di due insiemi A e B si definisce mediante: a. una proposizione vera b. un enunciato aperto in cui e variabii sono eementi di A e B c. una tautoogia. 3 ra gi eementi di due insiemi A e B eá definita una reazione R ; e coppie x, y che soddisfano R : a. sono tutte quee de'insieme A B; b. sono un sottoinsieme di A B; c. sono individuate da'unione di un sottoinsieme di A con un sottoinsieme di B; d. sono individuate da'intersezione di un sottoinsieme di A con un sottoinsieme di B. 4 Se x e y sono i gioiei esposti nea vetrina di una gioieeria, a frase «x eá piuá beo di y» definisce una reazione? Motiva a tua risposta. 28

29 5 In una reazione R fra due insiemi A e B definita da un predicato p: a. a scrittura x R y significa che px, y eá vero b. a scrittura x 6R y significa che x non eá in reazione con y c. se x R y aora x eá 'immagine e y a controimmagine. 6 Sia R una reazione tra due insiemi A e B; scegi fra quee date e risposte corrette ae seguenti domande: Qua eá i dominio di R? Qua eá i codominio di R? Risposte (possono esserci piuá risposte esatte): a. 'insieme A stesso b. 'insieme B stesso c. i sottoinsieme di A formato dagi eementi che hanno ameno una immagine in B d. i sottoinsieme di B formato dagi eementi che hanno ameno una controimmagine in A e. 'insieme dee immagini f. 'insieme dee controimmagini. 7 Data a reazione R definita in Q da'enunciato aperto p x, y :«xˆ3y», a sua inversa R 1 eá definita da: a. y ˆ 3x b. y ˆ 1 3 x c. x ˆ 1 y 3 d. x ˆ 3y Appicazione 8 Dati A ˆfx 2 N j 1 x 5g e B ˆfy 2 N j 2 y 4g e a reazione R definita da p x, y : «x < y», eenca e coppie dea reazione. Qua eá i dominio di R? Quae i codominio? Questi insiemi coincidono con A e B? Quai sono e immagini di 2? E di 4? Quai sono e controimmagini di 3? E di 2? 9 Esercizio guida Rappresenta con un diagramma cartesiano a reazione de'esercizio 8. Riportiamo su'asse x gi eementi de'insieme A e su queo dee y gi eementi de'insieme B come in figura. Le coppie che sono in reazione costituiscono un sottoinsieme de prodotto cartesiano A B e sono indicate in coore sua figura. 10 Rappresenta con una tabea a doppia entrata a reazione de'esercizio Dea reazione rappresentata in figura indica quai sono gi insiemi A e B, eenca e coppie dea reazione e rappresentaa poi in forma cartesiana. 12 Dati A ˆfcane, gatto, passero, usignoo, trota, uccio, eefanteg e B ˆ fmammiferi, uccei, rettii, pescig e a reazione R definita da p x, y «x appartiene a y», rappresentaa in tutti i modi che conosci. 13 Dato A ˆfx 2 N j 1 x 20g e a reazione R definita da p x, y : «x eá a metaá di y», con x, y 2 A, eenca e coppie dea reazione e indica quai sono i dominio ed i codominio di R. Stabiisci poi i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni: 29

30 a. 4eÁ immagine di 8. b. 12 eá immagine di 6. c. 8 eá controimmagine di 16. d. 12 non ha immagini. e. 20 eá controimmagine di 10. f. 6 eá controimmagine di Rappresenta a reazione R de'esercizio precedente con un grafo, con una tabea a doppia entrata, con un diagramma cartesiano. 15 Eenca gi eementi de dominio e quei de codominio dee reazioni che e seguenti proposizioni definiscono fra gi insiemi A ˆfAnna, Paoa, Marisa, Sandrag e B ˆfAndrea, Marco, Caudio, Gianni, Lucag, a cui rappresentazione sagittae eá in figura e rispondi poi ae domande successive. a. p x, y : «x eá a ragazza di y». b. p x, y : «x eá a sorea di y». c. p x, y : «x eá amica di y». Chi de'insieme A ha fratei oppure amici? Quai sono gi amici di Paoa? Marisa eá amica de ragazzo di Paoa? Paoa eá amica de ragazzo di Anna? 16 Correggi gi errori che eventuamente compaiono nea rappresentazione cartesiana data di seguito dee reazioni de'esercizio precedente. 17 Dati A ˆf6, 10, 14, 20, 30g e B ˆf3, 4, 5, 7, 10g, scrivi e coppie dea reazione R definita da p x, y : «x eá i doppio di y» con x 2 A, y 2 B. Quai sono i dominio ed i codominio di R? Rappresenta a reazione prima con un diagramma cartesiano e poi con una tabea. 18 Esercizio guida Dati A ˆfx 2 N j x 7g e B ˆfy 2 N j 2 y 15g, scrivi e coppie dea reazione R definita da p x, y :«x y eá un numero dispari», determina i dominio ed i codominio di R e rappresentaa con un diagramma cartesiano e con una tabea. Per sempificare 'esercizio scrivi prima per eencazione gi insiemi A e B; successivamente determina e coppie dea reazione. Ad esempio a coppia (0, 3) appartiene ad R percheâ 0 3eÁ dispari, cosõá anche (1, 2) e cosõá via. 30

31 19 Sia A ˆ fx 2 N j 5 < x 15g; rappresenta mediante un diagramma cartesiano e reazioni in A A definite dai seguenti predicati: a. «x y eá un numero pari» b. «x eá primo con y» (Suggerimento: ricorda che due numeri sono primi fra oro se non hanno divisori comuni otre a'unitaá) 20 ra 'insieme A dei numeri naturai minori o uguai a 20 e 'insieme B dei numeri naturai minori di 10 eá stabiita a reazione R :«x eá i tripo di y» con x 2 A e y 2 B. Rappresentaa in tutti i modi che conosci. 21 Sia A 'insieme che ha per eementi e seguenti opere: I Promessi Sposi, La Divina Commedia, I Principe, Adechi; sia B 'insieme dei seguenti autori: Dante, Machiavei, Manzoni. Rappresenta nei modi che conosci a reazione R :«x ha scritto 'opera y» conx 2 B e y 2 A. Dee reazioni rappresentate nee figure che seguono: a. indica in quae insieme sono definite; b. stabiisci quai sono e coppie dea reazione; c. rappresentae nee atre forme conosciute. 22 Esercizio guida a. L'insieme in cui a reazione eá definita eá A ˆ fa, b, c, dg. b. Le coppie che soddisfano a reazione sono quee che hanno come primo eemento queo da cui parte un arco e come secondo eemento queo su cui arriva que'arco; competa 'eenco: a, b a, c a, d b, ::: b, ::: c, ::: c. Competa adesso a tabea e i diagramma cartesiano a b c d 31

32 26 Una reazione R definisce e seguenti coppie: 2, 1 ; 3, 4 ; 1, 2 ; 0, 1 ; 1, 0 ; 3, 2 ; 4, 3. Dopo aver determinato 'insieme in cui eá definita a R e 'enunciato aperto che a definisce, rappresentaa con una tabea e con un diagramma cartesiano. Determina poi a reazione inversa e rappresentaa con un grafo. 27 Una reazione R definita fra due insiemi A e B individua e seguenti coppie: 1, 1 ; 6, 0 ; 5, 0 ; 3, 1 ; 1, 3 ; 2, 2 ; 5, 3 ; 3, 3 ; 6, 2. Scrivi quai possono essere gi insiemi A e B indicando ameno due possibiitaá; rappresenta poi a reazione con un diagramma cartesiano. Definisci e inverse dee seguenti reazioni e rappresenta poi sia R sia R 1 ne modo che ritieni piuá opportuno. 28 Esercizio guida R :«x eá a terza parte di y» ne'insieme A ˆ f1, 2, 3, 4, 6, 9, 12g. La reazione inversa R 1 eá definita da'enunciato aperto «x eá i tripo di y». Scegiamo di rappresentare e due reazioni con un grafo: 29 R :«x eá incuso in y» ne'insieme dee parti di A ˆ fa, b, cg. 30 R :«x eá potenza di y» ne'insieme A ˆ f2, 3, 4, 9, 8g. 31 R :«x eá i reciproco di y» ne'insieme A ˆ 3 4, 1 2, 4 3,5,2, 1 5, R :«x eá 'opposto di y» ne'insieme A ˆ f 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4g. 33 R :«x eá i successivo de tripo di y» ne'insieme A ˆ 2, 1, 1 3,0, 1 3, 2 3,1,2,3,4. 34 R :«x eá nea stessa regione di y» ne'insieme A ˆfAessandria, Agrigento, Messina, Miano, Paermo, Pavia, Torinog. LE RELAZIONI IN UN INSIEME E LE PROPRIETA Á a teoria eá apag.71 Una reazione R definita in un insieme A eá: - rifessiva se 8x 2 A x R x - antirifessiva se 8x 2 A x 6R x - simmetrica se 8x, y 2 A: x R y! y R x - antisimmetrica se 8x, y 2 A: x R y! y 6R x se x 6ˆ y - transitiva 8x, y, z 2 A: x R y ^ y R z! x R z 32

33 Comprensione dea teoria 35 Una reazione R definita in un insieme A: a. eá rifessiva se x R x per quache eemento di A b. eá simmetrica se x R y e y R x per tutte e coppie x, y di A A c. eá simmetrica se, quando x R y, anche y R x d. eá transitiva quando se x R y e y R z anche z R x e. eá antisimmetrica se quando x R y con x 6ˆ y, aora y 6R x f. eá antirifessiva se non esiste un x tae che x R x. 36 Indica i vaore di veritaá dee seguenti affermazioni, reative ad una reazione R fra gi eementi di un insieme A. a. Se R eá rifessiva esiste ameno un punto dea diagonae de suo diagramma cartesiano che appartiene a R. b. Se R eá rifessiva tutti i punti dea diagonae de suo diagramma appartengono a R. c. Se R eá simmetrica esiste ameno un arco de grafo che a rappresenta che eá orientato nei due sensi. d. Se R eá simmetrica tutti gi archi de grafo che a rappresenta sono orientati nei due versi. e. Se R eá antirifessiva a sua tabea a doppia entrata ha soo simboi sua diagonae. f. Se R eá simmetrica, immaginando di piegare ungo a diagonae a tabea o i grafico cartesiano che a rappresentano, tutti i punti si sovrappongono. g. Se R eá antisimmetrica e x R y, aora x 6ˆ y. 37 Determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni reative ad una reazione R definita in un insieme A. a. Se R non eá simmetrica, aora eá antisimmetrica b. Se R eá rifessiva, aora non eá antirifessiva. c. Esistono dee reazioni R che non sono neá simmetriche neá antisimmetriche. d. Esistono dee reazioni R che non sono neá rifessive neá antirifessive. 38 Di una reazione R definita ne'insieme A ˆfx, y, zg si sa che: x R x, x R y, y R x, y R z, z R x, x R z. Di essa si puoá dire che: a. eá rifessiva b. eá antirifessiva c. eá simmetrica d. eá antisimmetrica e. eá transitiva. 39 Di una reazione R definita in un insieme A si sa che: x R x, y R y, z R z, x R y, z R y, z R x. Di essa si puoá dire che: a. eá rifessiva b. eá antirifessiva c. eá simmetrica d. eá antisimmetrica e. eá transitiva. 40 Una reazione definita in un insieme A puoá essere contemporaneamente: a. simmetrica e antirifessiva b. antisimmetrica e transitiva c. transitiva, simmetrica e antisimmetrica d. antisimmetrica, antirifessiva e transitiva. Appicazione 41 Esercizio guida Ne'insieme dei numeri naturai N eá definita a reazione R : «x e y hanno o stesso numero di cifre». Di quai proprietaá gode R? 33

34 Sicuramente ogni numero naturae ha o stesso numero di cifre di se stesso, a reazione eá dunque rifessiva. Se i numero x ha o stesso numero di cifre de numero y, anche y ha o stesso numero di cifre di x, dunque R eá simmetrica e non eá antisimmetrica. Inotre se x ha o stesso numero di cifre di y ed y ha o stesso numero di cifre di z, anche x ha o stesso numero di cifre di z; R eá anche transitiva. Riassumendo, a reazione data eá rifessiva, simmetrica e transitiva. 42 Dato 'insieme A ˆfco, ca, ma, sa, re, rog, considera a reazione R definita da «x accostato a y forma una paroa di senso compiuto» con x, y 2 A. Ad esempio a coppia co, sa appartiene ad R percheâ "cosa" eá una paroa di senso compiuto. Rappresenta ne modo che ritieni piuá opportuno tae reazione. Di quai proprietaá gode R? 43 In N eá definita a reazione R :«x y < 50». Di quai proprietaá gode R? 44 Ne'insieme A ˆ fdado, nodo, mea, pera, cerag eá definita a reazione «x e y hanno e stesse vocai». Indica e proprietaá di R. 45 Una reazione R definita ne'insieme A dee vocai individua e seguenti coppie: a, e ; a, i ; a, o ; a, u ; e, i ; i, o ; u, o. Individua e sue proprietaá. Osserva i grafo dee seguenti reazioni e individuane e proprietaá. 46 Esercizio guida Ogni nodo de grafo ha un cappio, possiamo quindi concudere che a reazione eá rifessiva. Non possiamo peroá dire che sia simmetrica per a presenza di acuni archi orientati in un soo verso, ma nemmeno che sia antisimmetrica per a presenza di archi doppiamente orientati. La reazione non eá nemmeno transitiva percheâ, ad esempio, manca 'arco che coega i nodo A con i D. Riassumendo, R eá soo rifessiva

35 Osserva i diagramma cartesiano dee figure che seguono e deduci e proprietaádea reazione che esso rappresenta. 51 Esercizio guida Ogni coppia diagonae appartiene aa reazione, quindi possiamo affermare che ogni eemento eá in reazione con seâ stesso e percioá a reazione eá rifessiva. Inotre, i punti che rappresentano e coppie dea reazione sono in posizioni simmetriche rispetto aa diagonae; a reazione eá dunque simmetrica. ediamo se eá transitiva: a R d ma d non eá in reazione con atri eementi; b R c e c R e, ma anche b R e. Essendo poi a reazione simmetrica non c'eá bisogno di controare atre terne di eementi; possiamo concudere che R eá transitiva. In definitiva R gode dea proprietaá R, S, T

36 Deduci e proprietaádee reazioni rappresentate dae seguenti tabee. 58 a b c d 59 a b c d a b c d a b c d 60 a b c d 61 a b c d a b c d e 63 a b c d e r s t v k r s t v k 64 La tabea a ato rappresenta una reazione R in un insieme di 6 eementi. Costruisci i diagramma cartesiano ed i grafo di questa reazione. Determina e sue proprietaá. Rappresenta ne modo che ritieni piuáopportuno e reazioni definite ne'insieme A ˆ fx 2 Z j 3x 5g dagi enunciati aperti che seguono e stabiiscine e proprietaá. 65 Esercizio guida R :«x y ˆ 0» La somma di due numeri eá zero soo se i due numeri sono opposti o sono entrambi nui; e coppie dea reazione sono quindi quee evidenziate ne diagramma cartesiano rappresentato a ato. Questa reazione non eá rifessiva (nessun eemento tranne o zero eá in reazione con se stesso) ma non eá nemmeno antirifessiva (per a presenza dea coppia (0, 0)); eá invece simmetrica e non eá transitiva. 66 R :«x y ˆ 1» 67 R :«x y < 0» 36

37 68 R :«xy > 0» 69 R : «i prodotto xy eá un numero pari» 70 R :«x y 0» 71 R :«x y < 0» L'ORGANIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI DI UN INSIEME a teoria eá apag.77 Una reazione eá di equivaenza se eá R, S, T Una reazione eá d'ordine se eá ameno AS, T Comprensione dea teoria 72 Rispondi ae seguenti domande barrando a casea appropriata. a. Di una reazione si sa che eá rifessiva, antisimmetrica e transitiva; si puoá dire che eá una reazione d'ordine? b. Una reazione R eá di equivaenza; puoá essere antirifessiva? c. Una reazione R eá d'ordine; puoá essere antirifessiva? d. Una reazione eá transitiva; potrebbe eventuamente essere di equivaenza o d'ordine? e. Una reazione eá simmetrica; potrebbe eventuamente essere d'ordine? SI SI SI SI SI NO NO NO NO NO 73 Determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni reative a una reazione R definita in un insieme A. a. Se eá di equivaenza non puoá essere d'ordine. b. Esistono reazioni che sono sia di equivaenza che di ordine. c. Una reazione d'ordine e una reazione di equivaenza sono entrambe transitive. d. Una reazione d'ordine e una reazione di equivaenza possono essere entrambe rifessive. 74 Una reazione d'ordine, o eá di ordine stretto, o eá di ordine argo. EÁ vera o fasa questa proposizione? 75 Una reazione d'ordine, o eá di ordine parziae, o eá di ordine totae. EÁ vera o fasa questa proposizione? Appicazione Stabiisci quai sono e proprietaádi cui godono e reazioni degi esercizi che seguono e individua fra esse e reazioni di equivaenza e d'ordine, specificando eventuamente se si tratta di ordine argo o stretto. 76 Esercizio guida In un insieme di persone, «x eá nato neo stesso mese di y». La reazione eá: rifessiva: ogni persona eá nata neo stesso mese di se stessa; simmetrica: fra due persone nate neo stesso mese a reazione vae nei due sensi; transitiva: se i signor A eá nato neo stesso mese de signor B e B eá nato neo stesso mese de signor C, anche A eá nato neo stesso mese di C. Di conseguenza si tratta di una reazione di equivaenza. Le cassi di equivaenza contengono tutte e persone de'insieme che sono nate neo stesso mese; 'insieme quoziente eá 'insieme di queste cassi. Questa reazione permette di cassificare e persone de'insieme in base a mese di nascita. 37

38 77 Esercizio guida In un insieme di persone, «x ha dichiarato un reddito minore di y». La reazione eá: antirifessiva: ogni persona non puoá avere un reddito minore di se stessa; antisimmetrica: se A dichiara un reddito minore di B, B non puoá aver dichiarato meno di A; transitiva: se A dichiara meno di B e B meno di C, aora A dichiara meno di C. Si tratta quindi di una reazione di ordine stretto. 78 In N, «a somma dee cifre di x eá uguae aa somma dee cifre di y». 79 In N, «x y ˆ 200». 80 In un insieme di persone, «x eá concittadino di y». 81 In N, «x ha o stesso resto di y nea divisione per 5». 82 Ne'insieme dei tuoi compagni di casse, «x ha a stessa iniziae de cognome di y». 83 In un insieme di persone, «x ha o stesso numero di scarpe di y». 84 In N, «I prodotto dee cifre di x eá uguae a prodotto dee cifre di y». 85 In un insieme di automobii, «x ha una ciindrata maggiore di y». 86 In un insieme di persone, «x abita neo stesso condominio di y». 87 In N, «x eevato y eá minore di 1000». erifica che e seguenti reazioni sono d'ordine e specifica se inducono un ordinamento totae o parziae. 88 Esercizio guida Ne'insieme N, «x eá potenza (con esponente naturae) di y». Ogni numero si puoá ritenere potenza di se stesso con esponente uguae a 1; a reazione eá quindi rifessiva. Se un numero eá potenza di un atro, per esempio 8 eá potenza di 2, non si verifica mai i contrario, cioeá 2 non eá potenza ad esponente naturae di 8; a reazione eá quindi antisimmetrica. Per vedere se a reazione eá transitiva, vediamo dapprima un esempio: 64 ˆ 2 6 eá potenza di 8 8 ˆ 2 3 eá potenza di 2 anche 64 eá potenza di 2 In generae, quaunque sia i numero a, si verifica che: a n m eá potenza di a n a n eá potenza di a anche a n mˆ a nm eá potenza di a La reazione eá quindi transitiva. Si tratta di una reazione d'ordine, in particoare di ordine argo. L'ordinamento indotto eá peroá parziae percheâ non tutti i numeri naturai sono confrontabii secondo questa reazione; per esempio 3 non eá potenza di 2, cosõá come 25 non eá potenza di 7 e cosõá via. 89 In A ˆf5, 18, 365, 9470g, «x ha un numero di cifre maggiore di y». 90 In N, «x eá divisibie per y». 91 Ne'insieme degi abitanti di un comune, «x eá nato prima di y». 92 In N, «x eá mutipo di y». 93 In A, insieme dei medici di un certo ospedae «x eá stato assunto prima di y». 38

39 ra e reazioni rappresentate dai seguenti grafi, individua quai sono reazioni di equivaenza, indicando e cassi di equivaenza, e quai sono reazioni d'ordine (indicando eventuamente anche se si tratta di ordine argo o stretto), specificando se inducono un ordinamento totae o parziae. 94 Esercizio guida Ogni eemento ha un aneo, quindi a reazione eá rifessiva; non esistono archi doppiamente orientati, quindi a reazione eá antisimmetrica; vae poi a proprietaá transitiva, quindi si tratta di una reazione d'ordine. L'ordinamento eá parziae percheá 'eemento c non eá in reazione con gi atri. L'ordine indotto daa reazione eá i seguente: a, b, e, d 95 Esercizio guida La reazione eá rifessiva percheá..., eá simmetrica percheá..., eá transitiva percheá..., quindi eá una reazione di equivaenza. Le cassi di equivaenza sono due, a prima eá 'insieme fa, b, f, gg, a seconda eá 'insieme fc, d, eg

40 Osserva e tabee dee figure degi esercizi che seguono. Determina quai fra di esse sono reazioni d'ordine, specificandone i tipo e indicando 'ordinamento. a. a b c d e b. a b c d c. a a b b c c d d e a b c d e a b c d e 105 Di cinque ragazzi, che indicheremo con A, B, C, D, E, si sa che A eá frateo di C, D eá frateo di B, B eá frateo di E. Costruisci i grafo dea reazione «x eá frateo di y» e indica e sue proprietaá. Dopo aver verificato che si tratta di una reazione di equivaenza, indica quai sono gi eementi che appartengono ad ogni casse di equivaenza. LE UNZIONI a teoria eá apag.82 Una funzione eá una reazione f fra due insiemi A e B che ad ogni eemento de primo fa corrispondere uno ed un soo eemento de secondo. Possiamo caratterizzare una funzione in base a queo che accade ne secondo insieme: - se 'insieme dee immagini coincide con B, aora a funzione si dice suriettiva - se a eementi diversi in A corrispondono eementi diversi in B, aora a funzione si dice iniettiva - se ogni eemento di B, nessuno escuso, ha una soa controimmagine in A, aora a funzione si dice biiettiva; una funzione biiettiva eá quindi contemporaneamente sia suriettiva che iniettiva. Una funzione eá sempre una corrispondenza univoca, una funzione biiettiva eá una corrispondenza biunivoca. Comprensione dea teoria 106 Una funzione eá una reazione fra due insiemi A e B che: a. ad un eemento di A associa un eemento di B b. ad un eemento di A associa un soo eemento di B c. ad ogni eemento di A associa uno ed un soo eemento di B d. ad ogni eemento di A associa ameno un eemento di B. 107 Rappresentano una funzione: a. e corrispondenze biunivoche b. e corrispondenze moti a uno c. e corrispondenze univoche d. e corrispondenze moti a moti. 40

41 108 Determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni. Data una funzione f : A! B: a. se f eá suriettiva, esistono eementi di B che non hanno controimmagini in A. b. se f eá iniettiva e x 6ˆ y, aora f x 6ˆ f y. c. se f eá biiettiva, aora f A ˆB. d. se f x 6ˆ f y quando x 6ˆ y, a funzione eá una corrispondenza biunivoca. 109 Data una reazione R, a sua inversa R 1 eá una funzione se: a. R eá una corrispondenza univoca b. R eá una corrispondenza biunivoca c. R eá una corrispondenza uno a moti d. R eá una corrispondenza moti a moti. 110 Una funzione f eá iniettiva ma non eá suriettiva; dea reazione inversa si puoá dire che: a. eá una funzione iniettiva b. non eá una funzione c. eá una funzione ma non eá neâ iniettiva neâ suriettiva d. eá una funzione ma non si puoá sapere se eá iniettiva o suriettiva. 111 Di una funzione f : A! B si sa che eá biiettiva; si puoá dire che: a. tutti gi eementi di B hanno ameno una controimmagine in A b. tutti gi eementi di B hanno una soa controimmagine in A c. f A ˆ B e f 1 B ˆ A d. f A B. 112 Date e funzioni g : x! x 1eh : x! x 2, a funzione f ˆ g h ha espressione: a. x 1 2 b. x 2 1 c. x 2 x 1 d. x 2 x 1 Appicazione 113 Esercizio guida Individua quai fra e seguenti reazioni sono funzioni specificandone i tipo: a. «y eá a metaá di x» con x, y 2 Q b. «y eá 'importo dee tasse che x deve pagare» con x che appartiene a'insieme dei contribuenti e y 2 N c. «y eá mutipo di x» con x, y 2 N d. «y eá a capitae di x» con y che appartiene a'insieme dee cittaá europee e x che appartiene a'insieme degi Stati europei. a. Ogni numero razionae x ha una soa metaá y e ogni numero y eá i corrispondente di un soo x; si tratta quindi di una funzione biiettiva. b. Ogni contribuente dovrebbe pagare a sua tassa, ma ci possono essere piuá persone che pagano uguai importi ed inotre non tutti i numeri naturai rappresentano una tassa da pagare; i codominio eá quindi un sottoinsieme di N e si tratta percioá di una funzione suriettiva. c. Ogni numero x ha infiniti mutipi e questa reazione non eá quindi una funzione. d. Non tutte e cittaá europee sono capitai deo Stato a cui appartengono; anche questa reazione non eá una funzione. 41

42 114 Esercizio guida Individua quai fra e reazioni definite dai seguenti enunciati aperti sono funzioni specificandone i tipo: a. y ˆ x 2 con x, y 2 N b. y ˆ x 2 con x, y 2 N c. y ˆ 1 con x, y 2 N d. y ˆ x 2 1 con x, y 2 Q x a. E' a reazione che ad ogni numero naturae x associa i suo quadrato, quindi... b. E' una funzione percheá... c. Non eá una funzione percheá i numero 0 non ha corrispondente; questa reazione diventa peroá una funzione se x appartiene a'insieme... d. Osserva che, per esempio, quando x vae 2 oppure 2 si ottiene o stesso vaore di y, quindi Osserva i diagrammi dee seguenti figure. Quai fra e reazioni da essi rappresentate sono funzioni? a. b. c. d. 116 Osserva a funzione rappresentata nea figura. Qua eá 'immagine di 1? E di 3? Qua eá a controimmagine di 6? 117 Osserva a figura. Eenca e coppie dea reazione. Si tratta di una funzione? PercheÂ? Per ognuno degi esercizi che seguono, dato 'insieme A, dominio dea funzione f indicata, determina i codominio. 118 Esercizio guida A ˆf1, 2, 3g f x ˆ3x 1, x 2 A Se x vae 1, i corrispondente vaore y vae 3 1 1, cioeá 4 Se x vae 2, y vae 7. Se x vae 3, y vae 10. I codominio eá dunque 'insieme f4, 7, 10g. 42

43 119 A ˆf0, 2, 4, 6g f x ˆ1 x 4, x 2 A A ˆf 3, 2, 0, 5, 6g f x ˆx 1, x 2 A 121 A ˆf 2, 1, 0, 1, 2g f x ˆ1 2 x2 3, x 2 A 122 A ˆf0, 1, 2, 3, 4g f x ˆ2x 2 1, x 2 A Per ognuna dee figure degi esercizi che seguono, determina quai rappresentano funzioni e, per queste utime, stabiisci se sono iniettive, suriettive o biiettive; individua poi quai sono invertibii. 123 Esercizio guida Si tratta di una funzione percheâ... Le immagini di eementi distinti sono distinte percioá... I codominio non coincide con 'insieme B percioá Osserva i grafici in figura che rappresentano dee reazioni di dominio A. Quai di essi rappresentano dee funzioni? ra esse, quai sono invertibii? a. b. c. d. 43

44 131 Data a funzione f : N 0! Z espressa daa reazione matematica y ˆ x2 5, stabiisci quai fra i seguenti eementi hanno dee immagini ed eventuamente quai sono: x x ˆ 1 f x ˆ x ˆ 2 f x ˆ x ˆ 5 f x ˆ x ˆ 8 f x ˆ x ˆ 10 f x ˆ 132 EÁ data in N N una reazione R che determina 'insieme dee seguenti coppie ordinate: f 0, 3, 1, 5, 2, 7, 3, 9, 4, 11, 5, 13, :::::g EÁ una funzione? Sai trovare 'espressione y ˆ f x che esprime y in funzione di x? 133 Esercizio guida La reazione che associa ad ogni punto di una circonferenza a sua proiezione su una retta r ad essa esterna eá una funzione? Di che tipo? Osserva che ad ogni punto sua circonferenza, tracciando a perpendicoare a r, corrisponde un soo punto sua retta, ma che ad un punto sua retta corrispondono due punti sua circonferenza o nessun punto, quindi Una reazione R eá tae che x 1 R y 1 e x 2 R y 2 ed inotre y 1 6ˆ y 2 e x 1 ˆ x 2 ; R eá una funzione? PercheÁ? Risovi i seguenti esercizi su prodotto di funzioni. 135 Esercizio guida Sono date e funzioni f che ad ogni numero razionae associa i suo doppio e g che ad ogni numero razionae associa i suo quadrato. Costruiamo e funzioni f g e g f. La funzione f associa ad ogni x i suo doppio: x! 2x La funzione g associa ad ogni x i suo quadrato: x! x 2 I prodotto f g indica che prima si appica g e poi si appica f, quindi di un numero x prima si fa i quadrato e poi si cacoa i doppio di queo che si eá ottenuto: f g : x! 2x 2 I prodotto g f indica che prima si appica f e poi si appica g, quindi di un numero x prima si fa i doppio e poi si cacoa i quadrato di queo che si eá ottenuto: g f : x! 2x 2ˆ 4x 2 44

45 136 Esercizio guida Date e funzioni f e g indicate di seguito, trova e funzioni f g e g f : a. f : x! x 2 5 g : x! x 4 b. f : x! 9 x g : x! 2x 1 c. f : x! 3x 1 g : x! x 2 d. f : x! 3 2 x g : x! x2 1 a. f g : x! x 4! x g f : x! x 2 5! x Prosegui ao stesso modo con gi atri casi. 2 3 b: f g : x! 9 2x 1 ; g f : x! 29 x 1 c: f g : x! 3x 2 1; g f : x! 3x d: f g : x! 3 2 x2 1 ; g f : x! x Data a funzione f : N! N definita daa reazione y ˆ x 3 e a funzione g : N! Z definita daa reazione z ˆ y 20, eá possibie costruire a funzione k ˆ g f? si, z ˆ x 17Š 138 Date e funzioni f : x! x 5eg : x! 3 x, verifica che i prodotto g f ed i prodotto f g non danno uogo aa stessa funzione composta. 139 Nea casse I B gi aunni sono tutti di statura diversa 'uno da'atro e 'insegnante di educazione fisica vuoe dispori in ordine crescente di atezza. Considera gi insiemi: A ˆfx j x eá un aunno dea I Bg B ˆfy j y eá i numero che esprime 'atezza degi aunni di I Bg C ˆfz j z eá i numero di posto nea fiag e e reazioni f : A! B definita da «x ha statura y» eg : B! C definita da «y corrisponde a posto z». Puoi dire che f e g sono funzioni? Se consideri a reazione k : A! C definita da «x occupa i posto z» puoi dire che k ˆ g f? si, siš 140 Ad una mostra canina vengono premiati gi esempari piuá bei per ciascuna razza fra quee presenti. Considera gi insiemi A ˆfx j x eá un cane presente aa mostrag B ˆfy j y eá i padrone di un caneg C ˆfz j z eá una medagia assegnatag. Le reazioni f : A! B definita da «y eá padrone di x» eg : B! C definita da «y vince a medagia z» sono funzioni? La reazione k : A! C definita da «x vince a medagia z» eá una funzione? Se si, puoi dire che k ˆ g f? f e una funzione, g noš 141 In uno stadio si sta disputando a finae dei 100 metri piani. Considera gi insiemi A ˆfx j x eá i numero di una corsiag B ˆfy j y eá un ateta che partecipa aa finaeg C ˆfz j z eá i posto nea cassifica dea corsag e e reazioni f : A! B definita da «y corre nea corsia x» eg : B! C definita da «y si eá cassificato a posto z», f e g sono funzioni? Che cosa puoi dire di k ˆ g f? entrambe funzioni, g f : A! CŠ ESERCIZI PER LA ALORIZZAZIONE DELLE ECCELLENZE 142 Dato 'insieme A ˆfx 2 N j 1 x 4g e e reazioni definite in A: R 1 : x R 1 y se m:c:m: x, y ˆx 45

46 R 2 : x R 2 y se m:c:m: x, y ˆy e x 6ˆ y R 3 : x R 3 y se x y ˆ 1 e x 6ˆ 2 R 4 : x R 4 y se y x ˆ 1 e y 6ˆ 2 determina e coppie di ogni reazione e rappresentae con un diagramma cartesiano. erifica poi che queste quattro reazioni costituiscono una partizione de'insieme A A. 143 Una reazione R fra un insieme P di persone ed un insieme Q di sport definisce e coppie che sono rappre- nuoto tennis cacio sci sentate daa tabea. Dopo aver individuato 'enunciato Andrea aperto che a definisce, costruisci i seguenti insiemi: A ˆfpersone praticanti i nuotog B ˆfpersone praticanti i tennisg C ˆfpersone praticanti i caciog D ˆfpersone praticanti o scig Cacoa poi A \ B, A [ C, A [ B \ C \ D e rispondi ae seguenti domande: Matteo Luisa Laura Giovanni iippo a. Quanti ragazzi praticano ameno due sport? 5Š b. Quanti ragazzi praticano soo due sport? 3Š c. Quanti ragazzi praticano soo uno sport? 0Š d. C'eÁ quache ragazzo che non pratica sport? 1Š 144 Ne'insieme Q dei numeri razionai x e y sono in reazione R se x 2 ˆ y 2 : a. Dimostra che R eá una reazione di equivaenza. b. Da quanti eementi eá formata ogni casse di equivaenza? 145 Considera a reazione R caratterizzata dae seguenti coppie: f 2, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 5, 2, 2, 5, 3, 5, 5, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 6, 7, 7 g a. Rappresenta a R con un grafo. b. Individua e proprietaá dea R. c. erifica se a R eá una reazione di equivaenza. 146 I grafo accanto rappresenta a reazione «vincere» in un torneo di paavoo. Anaizzao e stabiisci: a. quante partite sono state fatte; b. quante partite ha fatto ciascuna squadra; c. qua eá a cassifica; d. chi ha vinto i torneo. 147 In un fim di guerra, un gruppo di 5 sodati, John, James, Mike, Pau e Wiy, deve decidere chi di oro deve compiere una missione pericoosa daa quae probabimente non faraá ritorno. Anziche usare i metodo dea pesca dea cannuccia piuá corta e poicheâ nessuno vuoe compiere atti di eroismo, si decide di fare cosõá: ognuno di oro giocheraá a pari e dispari con tutti gi atri e verraá mandato in missione chi perderaá piuá vote degi atri. Aa fine de gioco si ha questa situazione: - John ha vinto con James, Mike e Wiy ma ha perso con Pau - James ha perso con Mike, ma ha vinto con Wiy e con Pau - Wiy ha vinto con Mike e con Pau e quest'utimo ha perso con Mike. Quae dei sodati andraá in missione? (Ne fim comunque tutto finisce bene e 'eroico sodato torna a casa sano e savo con una bea medagia.) PauŠ 46

47 148 Nea mia nuova scuoa ci sono tre cassi: quea dea maestra Cara, quea dea maestra Miena e quea de maestro Marco. Nee tre cassi ci sono i grandi, i medi e i piccoi. I medi non hanno i maestro Marco. La maestra Miena insegna a degi aunni piuá giovani di quei dea maestra Cara. La maestra Cara, a sua vota, insegna a degi aunni piuá grandi di quei de maestro Marco. Assegna ogni insegnante aa sua casse. [Marco insegna nea casse dei piccoi; Miena in quea dei medi; Cara in quea dei grandi] 149 Angeo, Desiderio, Matteo e Renato possiedono ciascuno una bicicetta di una marca diversa (Ataa, Bianchi, Legnano, Turbo). Oggi hanno deciso di fare una passeggiata, usando ciascuno non a propria bicicetta ma quea di uno dei tre amici. Matteo ha usato a bicicetta di Desiderio. Quea di Renato eá stata presa da "padrone" dea Bianchi. La Legnano eá stata usata da "padrone" dea bicicetta usata da Angeo. La Bianchi, invece, eá stata presa da "padrone" dea bicicetta usata da Matteo. Infine, sua Turbo pedaa i "padrone" dea Legnano. Su che bicicetta ha pedaato Matteo? [Turbo] 150 In una famigia, ognuno dei figi puoá dichiarare di avere ameno un frateo e una sorea. Quanti figi ci sono, a minimo, in questa famigia? [4 figi] Un'assembea di casse:a gita scoastica Un giorno come un atro a scuoa. Aa terza ora, concessione de Prof. di Matematica, c'eá assembea di casse; ordine de giorno: gita scoastica. La scuoa, come eá sua abitudine, propone a studenti e docenti un pacchetto di mete, con 'indicazione dei costi e dei periodi in cui eá piuá conveniente programmare a gita. Eeonora e abio, i due rappresentanti eetti nea casse di Giuia e Gio, richiamano 'attenzione dei propri compagni. Eeonora: "Ragazzi dobbiamo decidere dove andare in gita scoastica quest'anno". Un compagno: "Io non vogio andare neá a visitare un museo e neanche visitare tutte e chiese di una cittaá!". abio: Eeonora: "Tanto mica puoi andare dove vuoi, c'abbiamo da scegiere fra e proposte che stanno ne pacchetto". "e e eggiamo tutte cosõá poi ci dite che cosa preferite. Dunque, ci sono e gite a'estero di cinque giorni che vanno a Parigi, Londra, Berino, Barceona, Bruxees. Poi ci sono quee da tre giorni che stanno in Itaia e vanno a irenze, Roma, enezia e Miano. Quee di un giorno sono su ago di Garda Sirmione e quea roba õá, a Boogna, a Torino a Museo Egizio, su ago di Como e i uoghi Manzoniani". abio: "Si peroá noi quee a'estero non e possiamo fare percheâ vanno soo quei daa terza in poi; ci tocca scegiere quacosa in Itaia". Un compagno: "Andiamo a enezia che non ci sono mai stato e facciamo anche un giro sua gondoa". Eeonora: "Prima di tutto dobbiamo decidere se fare quea di tre giorni o di un giorno soo, percheâ i costi sono diversi; e poi bisogna guardare anche i periodo. A irenze si va a metaá Marzo e costa E 280,aRomasivaaiprimidiAprieecostaE300, a enezia costa E 290 e si va pure in Aprie ma aa fine, a Miano costa E 265esivaafineMarzo". abio: "Quee di un giorno costano meno, vanno tutte da un minimo di E 30 a un massimo di E 45, dipende da cosa si va a vedere. Poi ci sono anche e gite con e attivitaá sportive: si va tre giorni 47