MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI

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2 MARZIA RE RASCHINI - GABRIELLA GRAZZI 1 Agebra Geometria Questo voume eá disponibie anche in versione digitae. Per scaricara: 1. prendi nota de codice stampato su boino, presente in questa pagina soo sue copie destinate aa vendita; 2. segui e istruzioni su sito dea Casa Editrice

3 ISBN Edizione Direzione Editoriae: Progetti di Editoria s.r.. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Coordinamento edizione digitae: Roberto Rustico Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas otocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Stampa: Grafica Veneta - Trebaseeghe (PD) Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. I presente voume eá conforme ae nuove Indicazioni Nazionai e ae nuove disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Si ringraziano e prof.sse Cara Mezani e Lorea Branduardi per a coaborazione editoriae. In particoare si ringraziano e prof.sse rancesca Maggioni e Sonia Trezzi per a reaizzazione dei video in funzione di ripasso, verifica e recupero e a prof.ssa Eena Refraschini per e traduzioni e a redazione dei testi in ingese. Per eventuai e comunque non voute omissioni o per gi aventi diritto tuteati daa egge, 'Editore dichiara a propria disponibiitaá. Ogni riproduzione depresente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume/fascicoo di periodico dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge 22 aprie 1941 n Le fotocopie effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per e Riproduzioni Editoriai, Corso di Porta Romana 108, Miano, e-mai autorizzazioni@cearedi.org e sito web Q 2014 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (035) ax (035)

4 PREAZIONE Un'opera mista e digitae per una nuova didattica dea matematica Una scuoa superiore attenta ae esigenze di un mondo sempre piuá gobae ha obiettivi e finaitaá che vanno a di aá de puro sapere discipinare; in particoare, a competenza matematica comporta (Asse matematico dei saperi): a capacitaáe a disponibiitaáad usare modei matematici di pensiero (diaettico ed agoritmico) e di rappresentazione grafica e simboica (formue, costrutti, grafici), a capacitaádi comprendere ed esprimere adeguatamente informazioni quaitative e quantitative, di esporare situazioni probematiche, di porsi e risovere probemi, di progettare e costruire modei di situazioni reai. Si vengono in questo modo ad individuare acune competenze chiave da acquisire a termine de corso di studi obbigatorio che possiamo cosõá sintetizzare: imparare ad imparare progettare comunicare coaborare e partecipare agire in modo autonomo e responsabie risovere probemi individuare coegamenti e reazioni acquisire ed interpretare informazioni. Scopo di questo testo eá aiutare o studente ad approfondire i procedimenti caratteristici de pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generaizzazioni, formaizzazioni), a conoscere e metodoogie di base per a costruzione di un modeo appropriato di un insieme di fenomeni, a saper appicare quanto appreso per a risouzione di probemi, anche utiizzando strumenti informatici opportuni. Impostazione de'opera I corso Cacoi e teoremi si compone di due voumi, uno per ciascun anno di corso de primo biennio. Nea versione a stampa, otre aa trattazione teorica caratterizzata da rigore e chiarezza espositiva, da numerosi esempi e da un vasto repertorio di esercizi, sono in particoare presenti: esercizi per o sviuppo dee competenze test di autovautazione per a preparazione ae verifiche materiai per i CLIL, con schede in ingua ingese de tema trattato ne capitoo, con utii fie audio per a corretta ettura, competate da esercizi temi connessi con e Scienze e con 'Arte, comprensivi di esercizi temi connessi con a vita quotidiana, comprensivi di esercizi esercizi dae Gare di Matematica di diverse competizioni. EÁ inotre presente un capitoo reativo aa fattorizzazione dei poinomi, che anticipa in parte i contenuti de secondo biennio, ao scopo di faciitare acune appicazioni. Versione digitae ebook+ per computer, tabet e LIM con contenuti digitai integrativi ed espansioni mutimediai Di ciascun voume a stampa eá anche disponibie a versione digitae; entrambe e versioni sono poi corredate da una serie di materiai onine a cui eá possibie accedere direttamente da sito dea Casa Editrice o direttamente con ink daa versione digitae. In particoare, daa versione digitae ebook+ eá possibie accedere direttamente a: Prefazione 3

5 esempi svoti aggiuntivi e di competamento rimando agi esercizi de paragrafo approfondimenti reativi a tema trattato animazione dee figure per una migiore comprensione de significato video con richiami di teoria e svogimento di esercizi utii anche per un eventuae recupero concetti chiave e regoe: scheda riassuntiva de capitoo aboratorio di informatica con GeoGebra, CabrõÁ, Derive, Exce schede con richiami storici a tema oggetto de capitoo e/o curiositaá un pacchetto consistente di uteriori esercizi, utii per i consoidamento dee conoscenze e o sviuppo dee abiitaá e a vaorizzazione dee ecceenze atri temi di Scienze, Arte, vita quotidiana, uteriori esercizi dae Gare, uteriori esercizi in ingua ingese verifiche interattive composte da una serie di esercizi con risposte a sceta mutipa comprensiva di vautazione finae. Contenuti digitai integrativi disponibii su sito dea Casa Editrice In piena aderenza con e nuove disposizioni ministeriai, su sito sono presenti moti contenuti digitai integrativi dei voumi a stampa. In particoare per ogni capitoo sono presenti: schede di approfondimento concetti chiave e regoe: scheda riassuntiva de capitoo diapositive in PowerPoint utii per i ripasso e i recupero dei concetti fondamentai. Materiai per i Docente L'opera si competa con i materiae utie a Docente per a programmazione didattica, a preparazione dee verifiche scritte e dei test ed i ripasso; sono disponibii: a guida didattica a stampa e in formato digitae un eserciziario digitae su chiavetta USB per a composizione automatica dee verifiche. LE AUTRICI 4 Prefazione

6 INDICE GENERALE 1 Insiemi, ogica 2 Gi insiemi N e Z 3 Gi insiemi Q e R e funzioni 1. Insiemi e rappresentazioni I concetto di insieme Come rappresentare un insieme Sottoinsiemi di un insieme Le operazioni con gi insiemi L'operazione di intersezione L'operazione di unione L'insieme differenza La partizione di un insieme I prodotto cartesiano fra insiemi La definizione e a rappresentazione Probemi con gi insiemi La ogica e gi insiemi Le proposizioni e i connettivi Gi enunciati aperti e gi insiemi I quantificatori Le funzioni Reazioni e funzioni Come si rappresenta una funzione I prodotto di funzioni 35 Sets, ogic and functions BASIC CONCEPTS 37 ESERCIZI 279 Esercizi per o sviuppo dee competenze 306 Test inae 309 Matematica&Scienze 311 Matematica dea vita quotidiana 312 Gare di matematica 313 Math in Engish I numeri naturai Che cosa sono i numeri naturai Le operazioni in N La potenza La divisibiitaá e i numeri primi I numeri interi Che cosa sono i numeri interi Le operazioni in Z 50 Natura and integer numbers BASIC CONCEPTS 54 ESERCIZI 314 Esercizi per o sviuppo dee competenze 330 Test inae 331 Matematica&Scienze 333 Matematica dea vita quotidiana 334 Gare di matematica 335 Math in Engish I numeri razionai assouti Che cos'eá un numero razionae La scrittura di un numero razionae Le operazioni in Q a I cacoo percentuae e e proporzioni I numeri razionai reativi I numeri razionai reativi e e operazioni La potenza in Q I numeri reai Che cos'eá un numero reae La continuitaá di R I vaori approssimati e e operazioni con i numeri reai 71 Rationa and rea numbers BASIC CONCEPTS 75 ESERCIZI 336 Esercizi per o sviuppo dee competenze 362 Test inae 365 Matematica&Scienze 367 Matematica dea vita quotidiana 368 Gare di matematica 369 Math in Engish 369 n Approfondimenti: Quae rappresentazione usare? L'insieme dee parti Le proprietaá dee operazioni fra insiemi I prodotto cartesiano e i diagrammi ad abero n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: L'agoritmo eucideo n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: L'ordinamento in Qa Le proprietaá dee operazioni in N, Z, Q I piano cartesiano e i grafico di una funzione n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint Indice 5

7 4 Monomi e poinomi 5 La fattorizzazione 6 Le frazioni agebriche dei poinomi 1. I cacoo etterae e e espressioni agebriche I monomi La definizione e e caratteristiche Le operazioni con i monomi Le espressioni con i monomi M.C.D. e m.c.m. fra monomi I poinomi La definizione e e caratteristiche I poinomio come funzione e i principio di identitaá Le operazioni con i poinomi Addizione e sottrazione Motipicazione e divisione per un monomio I prodotto di due poinomi Le espressioni con i poinomi I prodotti notevoi La divisione fra poinomi I quoziente e i resto La divisibiitaá fra poinomi, i teorema de resto e a regoa di Ruffini 102 Monomias and Poynomias BASIC CONCEPTS 105 ESERCIZI 370 Esercizi per o sviuppo dee competenze 427 Test inae 429 Matematica&Scienze 431 Matematica dea vita quotidiana 432 Gare di matematica 433 Math in Engish Che cos'eá a fattorizzazione I raccogimento a fattor comune I raccogimento totae I raccogimento parziae I riconoscimento di prodotti notevoi I trinomio caratteristico La ricerca dei divisori di un poinomio Sintesi sua scomposizione M.C.D. e m.c.m. tra poinomi 121 Poynomia factoring BASIC CONCEPTS 123 ESERCIZI 434 Esercizi per o sviuppo dee competenze 457 Test inae 458 Matematica&Scienze 460 Matematica dea vita quotidiana 462 Gare di matematica 463 Math in Engish razioni agebriche e dominio La sempificazione dee frazioni agebriche L'addizione e a sottrazione La motipicazione e a divisione Le espressioni con e frazioni agebriche 132 Agebraic fractions BASIC CONCEPTS 134 ESERCIZI 464 Esercizi per o sviuppo dee competenze 489 Test inae 490 Matematica dea vita quotidiana 492 Gare di matematica 493 Math in Engish 493 n Approfondimenti: I significato dee ettere Le espressioni come funzioni La divisione fra poinomi con piuá di una variabie n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Come trovare e coppie di numeri i cui prodotto eá un numero dato n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint 6 Indice

8 7 Le equazioni 8 Le disequazioni 9 La statistica descrittiva 1. IdentitaÁ ed equazioni Le identitaá Le equazioni Principi di equivaenza Equazioni equivaenti I primo principio di equivaenza e e sue conseguenze I secondo principio di equivaenza e e sue conseguenze Le equazioni numeriche intere Le equazioni numeriche frazionarie Le equazioni etterai Considerazioni preiminari Le equazioni etterai intere Le equazioni etterai frazionarie Equazioni e probemi 151 Equations BASIC CONCEPTS 156 ESERCIZI 494 Esercizi per o sviuppo dee competenze 530 Test inae 532 Matematica&Scienze 534 Matematica dea vita quotidiana 535 Gare di matematica 536 Math in Engish Disuguagianze e disequazioni Le disuguagianze e e oro proprietaá Le disequazioni Le disequazioni ineari intere Le disequazioni frazionarie Particoari disequazioni non ineari I sistemi di disequazioni 168 Inequaities BASIC CONCEPTS 170 ESERCIZI 537 Esercizi per o sviuppo dee competenze 557 Test inae 560 Matematica&Scienze 562 Matematica dea vita quotidiana 563 Gare di matematica 564 Math in Engish L'indagine statistica enomeni coettivi e caratteri Le distribuzioni di frequenze La rappresentazione grafica La sintesi dei dati Che cosa vuo dire sintetizzare i dati Le medie ferme Le medie asche Le misure di dispersione I campo di variabiitaá Lo scarto quadratico medio e a varianza I coefficienti di variazione 195 Statistics BASIC CONCEPTS 197 ESERCIZI 565 Esercizi per o sviuppo dee competenze 585 Test inae 588 Matematica&Scienze 591 Matematica dea vita quotidiana 592 Gare di matematica 593 Math in Engish 593 n Approfondimenti: La verifica dee souzioni Particoari equazioni di grado superiore a primo n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Intervai e disequazioni Le equazioni e e disequazioni con i modui n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: Ideogrammi e cartogrammi n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint Indice 7

9 I primi eementi e i triangoi 1. I inguaggio dea geometria e gi assiomi I inguaggio dea geometria I primi assiomi Semirette, segmenti e angoi I concetto di congruenza La definizione e gi assiomi dea congruenza I segmenti Gi angoi Poigoni e triangoi Spezzate e poigoni I triangoi La congruenza dei triangoi: i primi due criteri Le proprietaá de triangoo isoscee La congruenza dei triangoi: i terzo criterio Reazioni tra ati e angoi di un triangoo 221 Lines, anges and trianges BASIC CONCEPTS 223 ESERCIZI 594 Esercizi per o sviuppo dee competenze 614 Test inae 615 Matematica&Scienze 617 Matematica dea vita quotidiana 618 Gare di matematica 619 Math in Engish 619 Paraeismo e perpendicoaritaá ne piano 1. Le rette perpendicoari Le rette paraee PerpendicoaritaÁ e paraeismo nei poigoni Le proprietaá reative agi angoi La congruenza nei triangoi rettangoi 235 Perpendicuar and parae ines BASIC CONCEPTS 236 ESERCIZI 620 Esercizi per o sviuppo dee competenze 631 Test inae 632 Matematica&Arte 634 Matematica dea vita quotidiana 635 Gare di matematica 636 Math in Engish 636 Le isometrie e i quadriateri 1. Trasformazioni geometriche e isometrie I concetto di trasformazione Le isometrie Le isometrie fondamentai La simmetria assiae La simmetria centrae La trasazione La rotazione Quadriateri e paraeogrammi I quadriateri I paraeogrammi Paraeogrammi particoari Paraeogrammi e isometrie I trapezio La corrispondenza di Taete 254 Transformation geometry BASIC CONCEPTS 256 ESERCIZI 637 Esercizi per o sviuppo dee competenze 654 Test inae 656 Matematica&Arte 659 Matematica dea vita quotidiana 660 Gare di matematica 661 Math in Engish bis Paraeogrammi e trapezi 1. Quadriateri particoari 1 2. Paraeogrammi particoari 4 3. I trapezio 6 4. La corrispondenza di Taete 7 5. Paraeogrammi, trapezi e isometrie 9 n Approfondimenti: Le misure degi angoi La congruenza dei poigoni n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: La dimostrazione de teorema sua bisettrice ne triangoo isoscee I quinto postuato di Eucide n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint n Approfondimenti: La dimostrazione de teorema sua simmettria assiae La dimostrazione de teorema su riconoscimento di un paraeogramma n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint 8 Indice

10 13 La circonferenza e i poigoni 1. Luoghi geometrici, circonferenza e cerchio Rette e circonferenze: posizioni reciproche Angoi aa circonferenza e angoi a centro Poigoni inscritti e poigoni circoscritti Le caratteristiche e e proprietaá I caso particoare dei quadriateri I poigoni regoari Punti notevoi dei triangoi 272 Circes and poygons BASIC CONCEPTS 273 ESERCIZI 662 Esercizi per o sviuppo dee competenze 674 Test inae 676 Matematica&Scienze 678 Matematica dea vita quotidiana 679 Gare di matematica 680 Math in Engish 680 n Approfondimenti: I teoremi inversi e e oro dimostrazioni La tasseatura de piano n Concetti chiave n Presentazione in PowerPoint Indice 9

11 CAPITOLO 1 Insiemi, ogica e funzioni OBIETTIVI riconoscere insiemi e saperi rappresentare saper utiizzare i simboi de inguaggio insiemistico operare con gi insiemi riconoscere proposizioni e individuarne i vaore di veritaá operare con e proposizioni e riconoscere equivaenze ogiche acquisire i concetto di funzione saper riconoscere funzioni invertibii saper costruire funzioni composte 1 INSIEMI E RAPPRESENTAZIONI z 1.1 I concetto di insieme Consideriamo i seguenti gruppi di oggetti: A: i giocatori di cacio che hanno vinto i Paone d'oro; B: i cantanti itaiani famosi. GiaÁ a iveo intuitivo si nota che, mentre gi oggetti de gruppo A sono individuabii in modo certo, su quei de gruppo B si possono avere moti dubbi in quanto non eá sufficientemente chiaro che cosa si intende per "famosi": un cantante puoá essere ritenuto famoso da acune persone ma non da atre che magari nemmeno o conoscono. Costituiscono quindi un insieme: e cittaá itaiane e ettere de'afabeto internazionae i poigoni e rette che giacciono su un piano assegnato. Non costituiscono un insieme: In matematica, per indicare un raggruppamento di oggetti di quasiasi natura, individuabii in modo certo mediante un criterio oggettivo si usa a paroa insieme. e grandi cittaá europee i fiumi piuá unghi d'itaia i ragazzi simpatici dea tua scuoa. In ciascuno di questi utimi casi, infatti, non esiste un criterio oggettivo che indichi quai sono e cittaá piuá grandi, i fiumi piuá unghi, i ragazzi simpatici. Per indicare che un eemento a appartiene ad un insieme A si usa i simboo 2 e si scrive: a 2 A. CHE COS'EÁ UN INSIEME Gi insiemi si indicano con e ettere maiuscoe de'afabeto: A B C... Gi eementi di un insieme con e ettere minuscoe. Per gi insiemi numerici si usano ettere particoari: N: numeri naturai Z: numeri interi Q: numeri razionai 10 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

12 Lo stesso simboo barrato indica che que'eemento non appartiene a'insieme: a 62 A Diciamo poi che un insieme eá: n finito se eá possibie eencare tutti i suoi eementi; n infinito se non eá possibie eencari tutti. Sono per esempio finiti: 'insieme dei componenti di una famigia 'insieme dei numeri interi compresi fra 100 e (anche se 'operazione eá unga, eá tuttavia possibie fare un eenco competo). Sono invece infiniti: 'insieme N dei numeri naturai 'insieme dei punti di una retta. PuoÁ anche capitare che un insieme non abbia eementi; si dice in questo caso che 'insieme eá vuoto; per indicare che un insieme eá vuoto si usa i simboo 1 oppure i simboo f g. Sono per esempio vuoti gi insiemi: dei numeri interi negativi che sono maggiori di 3; degi insegnanti dea tua scuoa che hanno piuá di 90 anni. Diciamo infine che due insiemi sono uguai se sono formati dagi stessi eementi. Sono per esempio uguai 'insieme dee vocai dea paroa terra e queo dee vocai dea paroa mare; infatti entrambi hanno come eementi e ettere a, e. INSIEMI INITI,ININITI,VUOTI INSIEMI UGUALI z 1.2 Come rappresentare un insieme Per individuare un insieme occorre definire in modo preciso quai sono i suoi eementi; questo puoá essere fatto in diversi modi. Mediante rappresentazione tabuare o per eencazione In questo caso si eencano tutti gi eementi de'insieme, separandoi con una virgoa e racchiudendoi in una coppia di parentesi graffe. Per esempio: 'insieme A dei primi quattro mesi de'anno si indica cosõá: A ˆ fgennaio, febbraio, marzo, aprieg 'insieme B dee ettere dea paroa cassa si indica cosõá: B ˆ fc, a, sg Osserva che e ettere a, s pur essendo ripetute piuá vote nea paroa, devono essere scritte una vota soa. Mediante rappresentazione caratteristica I criterio in base a quae si costruisce un insieme rappresenta a proprietaá caratteristica degi eementi de'insieme. Per esempio, reativamente a'insieme A dee persone che hanno vinto i premio Nobe per a pace possiamo dire che a proprietaá caratteristica eá avere vinto i premio Nobe per a pace. In questa modaitaá, a'interno di una coppia di parentesi graffe si indicano: L'ordine con cui vengono scritti gi eementi di un insieme non ha importanza: fc, a, sg eá a stessa cosa di fa, s, cg oppure di fs, c, ag. LA PROPRIETAÁ CARATTERISTICA Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 11

13 i nome generico con cui si vogiono rappresentare gi eementi de'insieme; una barra verticae che si egge tai che a proprietaá caratteristica. Per esempio: 'insieme A dei pezzi degi scacchi si rappresenta cosõá: A ˆ fa j a e un pezzo degi scacchig e si egge "A eá 'insieme degi eementi a tai che a eá un pezzo degi scacchi" 'insieme B dee rette che sono paraee a una data retta r si rappresenta cosõá: B ˆ fb j b e una retta paraea a rg Spesso, per scrivere a proprietaá caratteristica degi eementi di un insieme numerico si usano dei simboi che sono propri dea matematica; ad esempio: per indicare i numeri naturai x che sono minori di 10 si scrive di soito cosõá: fx 2 N j x < 10g specificando nea prima parte dea scrittura che x eá un numero naturae x 2 N e nea seconda che eá minore di 10 x < 10. L'insieme che viene indicato nea prima parte dea rappresentazione ci dice in sostanza dove dobbiamo andare a prendere gi eementi per formare que particoare insieme; esso si dice insieme ambiente o anche insieme universo. L'insieme ambiente de precedente esempio eá N. L'insieme ambiente si deduce daa proprietaá caratteristica che definisce 'insieme; acune vote a sua dichiarazione eá espicita (si dice per esempio x 2 N, x 2 Q), atre vote eá sottintesa. Per esempio, 'insieme dee vocai non necessita di specificare che 'insieme ambiente eá queo de'afabeto percheâ sia 'afabeto itaiano che queo internazionae hanno e stesse vocai; eá invece necessario indicare 'ambiente ne caso de'insieme dee consonanti percheâ 'afabeto internazionae ha dee consonanti in piuá rispetto a queo itaiano. Mediante i diagrammi di Euero-Venn Un insieme puoá essere rappresentato in modo grafico racchiudendo i suoi eementi a'interno di una inea chiusa non intrecciata e indicando, normamente a suo esterno, i nome de'insieme. Per esempio: in figura 1a puoi vedere a rappresentazione mediante un diagramma di Euero-Venn de'insieme A dee vocai in figura 1b a rappresentazione de'insieme B dei numeri interi compresi fra 2 e 3, estremi incusi. I simboo } < } significa "minore"; i simboo } } significa "minore oppure uguae". La scrittura fx 2 Q j 5 < x < 2g indica 'insieme dei numeri razionai compresi fra 5 e 2, estremi escusi; si tratta di un insieme infinito. INSIEME AMBIENTE igura 1 a. b. 1. Rappresentiamo nei modi possibii i seguenti insiemi. a. L'insieme A dei divisori di 20. Mediante eencazione: A ˆ f1, 2, 4, 5, 10, 20g Mediante proprietaá caratteristica: A ˆ fx 2 N j x divide 20g Mediante diagramma di Euero-Venn (vedi figura). 12 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

14 b. L'insieme P dei numeri pari. P eá un insieme infinito e quindi a rappresentazione migiore eá quea caratteristica: P ˆ fx 2 N j x e parig oppure P ˆ fx 2 N j x ˆ 2n, n 2 Ng Tuttavia, essendo sempice a regoa con cui si generano i numeri pari, sono possibii anche e atre due modaitaá di rappresentazione: mediante eencazione: P ˆ f0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ::::: g mediante diagramma di Euero-Venn (vedi figura). In entrambi i casi i puntini di sospensione indicano che 'eenco continua indefinitamente. c. L'insieme D dei numeri razionai maggiori di 3. L'insieme eá infinito e, a differenza de precedente esempio, si puoá rappresentare soo mediante proprietaá caratteristica in quanto non eá possibie eencare tutti i numeri razionai che sono maggiori di 3: D ˆ fx 2 Q j x > 3g uteriori esempi Approfondimento Quae rappresentazione usare? ESERCIZI E PROBLEMI pag SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME Consideriamo 'insieme B dei divisori di 15, cioeá 'insieme B ˆf1, 3, 5, 15g; consideriamo poi 'insieme A dei numeri naturai minori di 20. Se rappresentiamo A e B con un diagramma di Euero-Venn, ci accorgiamo che per rappresentare B basta circondare con una inea chiusa acuni eementi di A, cioeá ogni eemento di B eá anche eemento di A (figura 2); diciamo aora che B eá un sottoinsieme di A o anche che B eá contenuto in A. igura 2 Dati due insiemi A e B, si dice che B eá un sottoinsieme di A se tutti gi eementi di B appartengono anche ad A. Quando, come in questo esempio, A contiene atri eementi otre a quei di B, si dice che B eá un sottoinsieme proprio di A e si scrive B A (eggi "B eá contenuto in A"); in sostanza B eá un sottoinsieme proprio di A se non esaurisce gi eementi di A. Ci sono peroá due situazioni particoari: SOTTOINSIEMI PROPRI O IMPROPRI 'insieme B comprende in seá tutti gi eementi di A, quindi B ˆ A 'insieme B eá vuoto. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 13

15 In questi casi si dice che B eá un sottoinsieme improprio di A. Per esempio, se A eá 'insieme dee cifre de numero 13975, aora: se B ˆfnumero dispari de numero 13975g, B eá un sottoinsieme improprio di A percheâ B ˆ A; se B ˆfcifre pari de numero 13975g, B eá un sottoinsieme improprio di A percheâ B ˆ 1. La scrittura B A significa che B eá sottoinsieme proprio di A. La scrittura B A significa che B eá sottoinsieme proprio o improprio di A. 1. Siano A ˆ fx 2 N j x > 4g e B ˆ fx 2 N j 5 < x < 10g. L'insieme A eá infinito e comprende tutti i numeri naturai da 5 in poi: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... L'insieme B eá finito ed ha come eementi: 6, 7, 8, 9 Poiche tutti gi eementi di B sono anche eementi di A e ci sono eementi di A che non appartengono a B possiamo dire che B A. 2. Sia A 'insieme degi articoi esposti nea vetrina di un negozio e B sia 'insieme degi articoi in sado nea stessa vetrina. E' evidente che B eá un sottoinsieme di A; tuttavia, poicheâ non possiamo escudere 'ipotesi che tutti gi articoi esposti siano in sado, dobbiamo dire che B A. Se poi nessun articoo fosse in sado, aora B ˆ Sia A ˆfx j x eá un quadriaterog e B ˆfy j y eá un rettangoog. Poiche ogni rettangoo eá un quadriatero ma non tutti i quadriateri sono rettangoi, scriviamo che B A. Approfondimento L'insieme dee parti ESERCIZI E PROBLEMI pag LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI Con gi insiemi, cosõá come con i numeri, si possono eseguire dee operazioni; basta fissare e regoe che, dati due insiemi A e B, indichino come seezionare i oro eementi per costruire un terzo insieme C. Le principai operazioni con gi insiemi si chiamano: intersezione unione differenza. VIDEO RECUPERO z 3.1 L'operazione di intersezione Consideriamo gi insiemi A ˆ f0, 4, 8, 19, 22g B ˆ f4, 12, 16, 19g nei quai abbiamo sottoineato gi eementi in comune, cioeá quei che sono 14 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

16 uguai nei due insiemi. Se fissiamo come regoa di operazione quea che seeziona gi eementi in comune otteniamo 'insieme C ˆ f4, 19g Diciamo che C eá 'intersezione degi insiemi A e B. igura 3 Intersezione di due insiemi A e B eá 'insieme C i cui eementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C eá 'intersezione di A e B si scrive: C ˆ A \ B Ne caso precedente quindi A \ B eá 'insieme C ˆ f4, 19g. Poiche 'intersezione fra insiemi eá ancora un insieme, per rappresentara si puoá usare, a seconda dea convenienza, una quasiasi dee modaitaá di rappresentazione che abbiamo visto ne secondo paragrafo. In particoare, per quanto riguarda a rappresentazione grafica con i diagramma di Euero-Venn, si rappresentano i due insiemi mediante due inee chiuse che si intersecano e si indicano nea parte comune gi eementi de'intersezione; in figura 3 abbiamo rappresentato 'intersezione fra gi insiemi A e B de'esempio precedente. EÁ poi evidente che 'insieme definito da A \ B e queo definito da B \ A sono o stesso insieme; si esprime questo fatto dicendo che 'intersezione fra insiemi eá commutativa. Inotre: se B A, aora A \ B ˆ B (figura 4) A \ 1 ˆ 1 1 \ 1 ˆ 1. PuoÁ capitare che due insiemi non abbiano eementi in comune, come per esempio ne caso degi insiemi: igura 4 Un'operazione eá commutativa se cambiando 'ordine dei termini si ottiene o stesso risutato. Ne caso de'intersezione tra insiemi: A \ B ˆ B \ A INSIEMI DISGIUNTI A ˆ f1, 2, 3, 4g e B ˆ f7, 8, 9g La rappresentazione con i diagramma di Euero-Venn (figura 5) mette in evidenza che 'intersezione dei due insiemi eá 'insieme vuoto. Diciamo in questo caso che i due insiemi sono disgiunti: A \ B ˆ 1! A e B disgiunti igura 5 1. Un'urna contiene dee bigie coorate di vetro e di pastica; sia A 'insieme dee bigie che sono rosse, B 'insieme dee bigie che sono nere, C 'insieme dee bigie che sono di vetro, D 'insieme dee bigie che sono di pastica. Aora: A \ C eá 'insieme dee bigie di vetro che sono rosse B \ D eá 'insieme dee bigie di pastica che sono nere A \ B eá 'insieme vuoto, quindi A e B sono disgiunti A \ D eá 'insieme dee bigie di pastica che sono rosse. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 15

17 2. Siano A ˆfx 2 Z j 5 x 20g e B ˆfx 2 Z j 1 x 35g; cacoiamo a oro intersezione. Gi eementi che appartengono ad entrambi gi insiemi sono i numeri igura 6 interi compresi fra 1 e 20, estremi incusi (per comprendere megio osserva a figura 6 anche se non eá in scaa). Possiamo aora scrivere 'insieme intersezione mediante proprietaá caratteristica ne seguente modo: A \ B ˆfx 2 Z j 1 x 20g uteriori esempi z 3.2 L'operazione di unione Consideriamo di nuovo gi insiemi A ˆ f0, 4, 8, 19, 22g B ˆ f4, 12, 16, 19g e fissiamo come regoa di mettere ne'insieme C tutti gi eementi di A e tutti gi eementi di B scrivendo una vota soa quei comuni; otteniamo cosõá'insieme: C ˆ 0, 4, 8, 19, 22, 12, 16 {z } {z } eementi di A eementi di B senza ripetizioni igura 7 Diciamo che C eá 'unione degi insiemi A e B (figura 7). Unione di due insiemi A e B eá 'insieme C i cui eementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che C eá 'unione di A e B si scrive: C ˆ A [ B La rappresentazione de'unione mediante i diagramma di Euero-Venn non differisce da quea usata per rappresentare 'intersezione; questa vota peroá 'insieme C eá queo che comprende tutti gi eementi sia di A che di B. L'operazione di unione ha proprietaá simii a quee de'intersezione: eá commutativa, cioeá A [ B ˆ B [ A se B A, aora A [ B ˆ A (figura 8) A [ 1 ˆ A 1 [ 1 ˆ 1. igura 8 1. Siano A ˆ fx j x eá una vocae di aberog e B ˆ fx j x eá una vocae di fioreg. Essendo A ˆfa, e, og e B ˆfi, o, eg, 'unione eá 'insieme C ˆ fa, e, o, ig. Osserviamo che gi eementi o, e che sono in comune ai due insiemi sono stati indicati una soa vota. In figura 9 a rappresentazione mediante i diagramma di Euero-Venn. igura 9 16 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

18 2. Siano A ˆfx 2 N j x 30g e B ˆfx 2 N j 10 x 63g; si ha che (osserva a figura 10 per comprendere megio) A [ B ˆfx 2 N j x 63g igura 10 uteriori esempi z 3.3 L'insieme differenza Consideriamo gi insiemi A ˆ fa, e, i, o, ug B ˆ fa, b, c, d, eg a cui rappresentazione con un diagramma di Euero-Venn eá in figura 11. Se prendiamo tutti gi eementi di A che non appartengono anche a B otteniamo 'insieme: fi, o, ug. Se prendiamo tutti gi eementi di B che non appartengono anche ad A otteniamo 'insieme: fb, c, dg. Con questa regoa abbiamo definito una nuova operazione aa quae diamo i nome di differenza. igura 11 La differenza fra 'insieme A e 'insieme B eá 'insieme C che ha per eementi gi eementi di A che non appartengono a B: C ˆ A B. GiaÁ da'esempio introduttivo si vede che a differenza fra insiemi non eá commutativa percheâ A B e B A sono due insiemi diversi; occorre dunque prestare attenzione a'ordine ne quae vengono scritti i due insiemi. Quando B eá un sottoinsieme di A, aora 'insieme differenza A B viene anche detto insieme compementare di B rispetto ad A (figura 12); 'insieme compementare si indica in uno dei seguenti modi: C A B B A dove i simboo C sta per "compementare", i pedice A indica rispetto a quae insieme si cacoa i compementare e B eá 'insieme de quae si vuoe trovare i compementare dove B significa compementare di B e i pedice A indica 'insieme rispetto a quae si cacoa i compementare. Quaora non sia necessario precisare 'insieme rispetto a quae cacoare i compementare, i pedice A nei simboi puoá essere omesso: C B, B. Ad esempio: 'insieme dei numeri pari eá compementare de'insieme dei numeri dispari rispetto a'insieme N; 'insieme dee consonanti eá compementare de'insieme dee vocai rispetto a'insieme dee ettere de'afabeto. INSIEME COMPLEMENTARE igura Sono dati gi insiemi: A ˆ fx j x e una ettera dea paroa camerag, B ˆ fx j x eá una ettera dea paroa cassettag. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 17

19 Per cacoare A B e B A conviene rappresentare i due insiemi per eencazione: A ˆ fc, a, m, e, rg B ˆ fc, a, s, e, tg Si ha subito che: A B ˆ fm, rg B A ˆ fs, tg 2. Riprendiamo 'urna de'esempio 1 reativo a'intersezione: A ˆ fbigie rosseg B ˆ fbigie nereg C ˆ fbigie di vetrog D ˆ fbigie di pasticag. Si ha che: A B ˆ A B A ˆ B A C ˆ fbigie rosse che non sono di vetrog C A ˆ fbigie di vetro che non sono rosseg B D ˆ fbigie nere che non sono di pasticag D B ˆ fbigie di pastica che non sono nereg uteriori esempi Approfondimento Le proprietaá dee operazioni fra insiemi z 3.4 La partizione di un insieme Nee cassi prime di una scuoa eá prevista un'ora aa settimana obbigatoria di insegnamento di una ingua straniera a sceta fra ingese, francese, spagnoo e tedesco; a momento dea ezione gi studenti si dividono in gruppi e ciascuno si reca ne aboratorio inguistico reativo aa ingua presceta. Se consideriamo 'insieme A degi studenti di prima dea scuoa e gi insiemi B 1, B 2, B 3, B 4 degi studenti che frequentano i vari corsi di ingua, abbiamo che (figura 13): ogni insieme Bi (dove i ˆ 1, 2, 3, 4 ha ameno un aievo atrimenti 'insegnamento dea ingua corrispondente verrebbe sospeso; gi insiemi Bi sono sottoinsiemi propri di A; igura 13 gi insiemi Bi sono a due a due disgiunti percheâ se un ragazzo segue, ad esempio, i corso di francese, non puoá seguire contemporaneamente queo di tedesco; 'unione degi insiemi Bi daá 'insieme A. Quando si verifica una situazione come quea descritta si dice che i sottoinsiemi B i costituiscono una partizione de'insieme A. Dato un insieme A e considerati n suoi sottoinsiemi propri B i, si dice che i B i costituiscono una partizione de'insieme A se si verificano e seguenti condizioni: 1. nessuno dei B i eá vuoto; 2. sono a due a due disgiunti; 3. a oro unione daá 'insieme A. 18 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

20 Per esempio: ne'insieme A dee ettere de'afabeto, i sottoinsieme dee vocai e queo dee consonanti non sono vuoti, sono disgiunti e a oro unione forma 'insieme A; essi costituiscono quindi una partizione di A ne'insieme A degi studenti di un Istituto, i sottoinsiemi che hanno per eementi gi aunni di una certa casse costituiscono una partizione di A; infatti in ogni casse ci sono aunni, se un aunno appartiene ad una casse non puoá appartenere ad un'atra (cioeá i sottoinsiemi sono disgiunti), 'unione degi aunni di tutte e cassi forma 'insieme A. Non costituiscono invece una partizione: ne'insieme A degi studenti di una casse, i sottoinsiemi degi studenti che ao scrutinio de I quadrimestre sono insufficienti in una particoare materia; questi sottoinsiemi non sono in generae disgiunti percheâ uno studente puoá appartenere sia a sottoinsieme degi insufficienti in Ingese che a queo degi insufficienti in Matematica; inotre a oro unione non daá di soito 'insieme A, percheâ vi sono aunni che non hanno nemmeno un'insufficienza. ESERCIZI E PROBLEMI pag IL PRODOTTO CARTESIANO RA INSIEMI z 4.1 La definizione e a rappresentazione I prodotto cartesiano fra due insiemi eá un'operazione un po' diversa da quee descritte in precedenza. Per comprendere i suo significato consideriamo a seguente situazione. In una gara di tiro a piatteo sono iscritte 4 persone e e regoe prevedono che ad ogni concorrente, quando eá i suo turno, venga assegnato uno dei 3 fucii a disposizione. In quai modi si possono combinare e coppie concorrente-fucie? Indichiamo con A 'insieme degi iscritti aa gara (rappresentati da ettere minuscoe de'afabeto) e con B queo dei fucii (rappresentati con i simboi f 1, f 2, f 3 ): A ˆ fa, b, c, dg B ˆ ff 1, f 2, f 3 g Non eá difficie individuare e modaitaá di abbinamento: concorrente a: a, f 1 a, f 2 a, f 3 concorrente b: b, f 1 b, f 2 b, f 3 concorrente c: c, f 1 c, f 2 c, f 3 concorrente d: d, f 1 d, f 2 d, f 3 Per risovere questo probema abbiamo associato, uno aa vota, ad ogni eemento de'insieme A tutti gi eementi de'insieme B; e coppie che abbiamo ottenuto costituiscono un nuovo insieme che rappresenta i prodotto cartesiano fra A e B. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 19

21 Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B (e si egge "A per B"oppure "A cartesiano B") 'insieme formato da tutte e coppie ordinate tai che i primo eemento appartiene a'insieme A e i secondo a'insieme B. Si ha cioeá che A B ˆf x, y jx 2 A e y 2 Bg I prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, otre che con i simboo A A, si indica anche con A 2. Se uno dei due insiemi eá vuoto si conviene poi di porre: A 1 ˆ 1 1 A ˆ 1 e anche 1 1 ˆ 1 I prodotto cartesiano puoá essere raffigurato in diversi modi. Se A ˆ fa, b, cg e B ˆ f1, 2g aora A B si puoá rappresentare: igura 14 n mediante 'eenco dee coppie ordinate Si combina i primo eemento di A con tutti gi eementi di B, i secondo eemento di A con tutti gi eementi di B e cosõávia fino ad esaurire gi eementi di A: A B ˆ a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2 n mediante un diagramma a frecce Si rappresentano i due insiemi con un diagramma di Euero-Venn e si tracciano degi archi orientati che escono dagi eementi de primo insieme e finiscono sugi eementi de secondo, evidenziando in questo modo e coppie ordinate (figura 14). Non conviene usare questo tipo di rappresentazione quando gi insiemi A e B hanno piuá di tre o quattro eementi percheâ, in questo caso, i numero di archi da tracciare potrebbe compromettere a chiarezza de risutato. igura 15 n mediante una tabea a doppia entrata Si costruisce una tabea nea quae si riportano gi eementi dei due insiemi come indicato in figura 15: gi eementi de primo insieme sua prima coonna, quei de secondo sua prima riga. Le casee in corrispondenza di ogni incrocio riga-coonna sono gi eementi de prodotto cartesiano A B. n mediante un diagramma cartesiano Si considerano due semirette orientate (dette assi cartesiani), perpendicoari e aventi 'origine in comune; eá consuetudine disegnare queste rette una orizzontae e 'atra verticae. Si riportano gi eementi de primo insieme sua semiretta orizzontae e quei de secondo sua semiretta verticae come in figura 16. Tracciando e paraee agi assi dai punti che rappresentano gi eementi dei due insiemi si ottengono i punti de piano che rappresentano e coppie ordinate de prodotto. igura Un'agenzia di viaggi deve organizzare dei voi per coegare fra oro acune cittaá. Se e cittaá di partenza costituiscono 'insieme P ˆ froma, Parigi, Londrag e quee di arrivo 'insieme A ˆ fmadrid, Mianog, quai sono tutte e possibii inee di coegamento? Per rispondere a questa domanda, cacoiamo P A ˆ f(roma, Madrid), (Roma, Miano), (Parigi, Madrid), (Parigi, Miano), (Londra, Madrid), (Londra, Miano)g. 20 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

22 Otre a'eenco dee coppie ordinate, a rappresentazione forse piuá significativa per questo esempio eá quea mediante una tabea a doppia entrata. E se dovessimo invertire e cittaá di arrivo con quee di partenza? Cacoiamo A P ˆf(Madrid, Roma), (Madrid, Parigi), (Madrid, Londra), (Miano, Roma), (Miano, Parigi), (Miano, Londra)g. Le coppie ottenute con i prodotto A P non sono e stesse di quee ottenute con i prodotto P A percheâ gi eementi dee coppie sono in ordine diverso: i voo (Roma, Madrid) non eá a stessa cosa de voo (Madrid, Roma). I prodotto cartesiano fra insiemi non gode dunque dea proprietaá commutativa; cioeá, dati A e B, A B 6ˆ B A uteriori esempi Approfondimento I prodotto cartesiano e i diagrammi ad abero ESERCIZI E PROBLEMI pag PROBLEMI CON GLI INSIEMI Ti proponiamo ora acuni probemi per a risouzione dei quai eá necessario servirsi dee operazioni che abbiamo visto sugi insiemi. I probema Da una indagine fatta su un gruppo di 100 famigie di una certa cittaá eá risutato che 60 di esse fanno i oro acquisti ne supermercato X, che 35 comprano ne supermercato Y e che di queste 20 fanno acquisti in entrambi i supermercati. Ci chiediamo: a. quante famigie non frequentano acuno dei due supermercati b. quante frequentano soo i supermercato X c. quante soo i supermercato Y. Per risovere i probema indichiamo con U 'insieme universo costituito dae 100 famigie intervistate, con A 'insieme dee famigie che si servono da X, con B 'insieme di quee che si servono da Y. Evidentemente A e B sono sottoinsiemi di U ed inotre non sono disgiunti visto che 20 famigie fanno acquisti sia da X che da Y. La rappresentazione con un diagramma di Euero-Venn di questi insiemi eá in figura 17a. Possiamo dire che 20 eementi appartengono a A \ B, quindi, poicheâ 'insieme A ha 60 eementi, a'insieme A B appartengono 40 eementi e poicheâ B ha 35 eementi, a'insieme B A appartengono 15 eementi (osserva a figura 17b in cui abbiamo indicato nei vari insiemi i igura 17 a. b. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 21

23 numero di eementi). Aora gi eementi che appartengono a'insieme U A [ B (a parte coorata in azzurro) sono ˆ25. Rispondiamo ora ae domande: a. 25 famigie non fanno acquisti neâ in X neâ in Y b. 40 famigie acquistano soo da X e non da Y c. 15 famigie acquistano soo da Y e non da X. II probema Un negozio ha effettuato una vendita promozionae di pantaoni, magioni e camicie che aveva in magazzino e, a termine dea vendita, ha rievato i seguenti dati: ne negozio sono entrate 337 persone 25 di esse hanno comprato sia magioni che pantaoni che camicie 81 hanno comprato soo pantaoni 12 hanno comprato soo pantaoni e magioni 66 hanno comprato ameno magioni e camicie 36 hanno comprato soo camicie 152 hanno comprato dei magioni 20 persone non hanno comprato nua. Ci chiediamo: a. quante persone hanno comprato soo pantaoni e camicie b. quante persone hanno comprato dei pantaoni c. quante persone hanno comprato pantaoni e camicie. L'insieme universo eá costituito dae 337 persone che sono entrate ne negozio; abbiamo poi i sottoinsiemi di U dee persone che hanno comprato pantaoni (insieme P), dee persone che hanno comprato magioni (insieme M) e dee persone che hanno comprato camicie (insieme C). Poiche ci sono persone che hanno comprato piuá di un tipo di oggetti, dobbiamo disegnare i tre insiemi P, M e C in modo che si intersechino fra oro (figura 18a). Cominciamo co dire che (segui a figura 18b): poicheâ 25 persone hanno comprato tutti e tre i capi di abbigiamento, nea zona di intersezione dei tre insiemi (in giao) ci sono 25 eementi; se 81 persone hanno comprato soo pantaoni, scriviamo i numero 81 nea zona di P che non interseca gi atri insiemi (in rosa); e persone che hanno comprato soo pantaoni e magioni occupano a zona di intersezione degi insiemi P e M che non eá occupata anche da'insieme C, in questa zona (in verde) scriviamo quindi i numero 12; dee persone che hanno comprato ameno magioni e camicie fanno parte anche quee che hanno comprato pantaoni, quindi da 66 dobbiamo sottrarre 25 e scrivere i risutato, 41, nea zona di intersezione di M e C non occupata da P (in bu); scriviamo poi 36 nea zona occupata da C e non da P edam (in marrone); se 152 persone hanno comprato magioni, per sapere quae numero assegnare aa zona occupata soo da M (in arancio) dobbiamo cacoare 'espressione ˆ74; e 20 persone che non hanno fatto acquisti si trovano nea zona di U non occupata da M, P e C (a zona esterna ai tre insiemi, in azzurro); in definitiva, poicheâ in totae 337 persone hanno visitato i negozio, nea zo- igura 18 a. b. 22 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

24 na rimasta ibera, cioeá quea di intersezione di P e C non occupata da M (in grigio) si trovano ˆ48 persone. Rispondiamo ora ae domande: a. 48 persone hanno comprato soo pantaoni e camicie b ˆ166 persone hanno comprato dei pantaoni c ˆ73 persone hanno comprato pantaoni e camicie. III probema In un gioco teevisivo a cui partecipa un gruppo di 18 persone si devono costruire dee coppie ae quai viene affidato un compito da risovere. Cacoiamo quanti possibii coppie si possono costituire. Indichiamo con A ˆ fa, b, c, d, :::::: g 'insieme dee 18 persone; 'operazione che ci aiuta a risovere questo probema eá i prodotto cartesiano. Da A A dobbiamo peroá scartare tutte e coppie che contengono due eementi uguai (evidentemente a stessa persona non puoá comparire due vote); inotre coppie come per esempio b, c e c, b devono essere considerate a stessa coppia (figura 19) I numero di coppie eá quindi dato da'espressione: ˆ Con 18 persone si possono formare 153 possibii coppie. igura 19 ESERCIZI E PROBLEMI pag LA LOGICA E GLI INSIEMI z 6.1 Le proposizioni e i connettivi Una frase di senso compiuto dea quae si puoá dire se eá vera o se eá fasa si chiama proposizione ogica. Quando una proposizione eá vera diremo che i suo vaore di veritaá eá vero (V), quando eá fasa diremo che i suo vaore di veritaá eá faso (). Sono per esempio proposizioni ogiche: a: «Parigi eá a capitae dea rancia» vaore di veritaá: V Le proposizioni si chiamano anche enunciati e si indicano con e ettere minuscoe de'afabeto. b: «5 4 eá un numero intero» vaore di veritaá: Non sono proposizioni ogiche in quanto non ha senso chiedersi se sono vere oppure fase: «I geato a pistacchio eá migiore di queo a cioccoato» «Domani ci saraá i soe» Non possono quindi essere considerate proposizioni ogiche e opinioni, e previsioni su fatti futuri, e domande, e escamazioni, i comandi. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 23

25 Di una proposizione possiamo dire sostanziamente che eá una frase che asserisce un fatto, vero o faso che sia. I costituenti fondamentai di una proposizione sono a forma verbae che a costituisce, i predicato, e gi eventuai eementi che i predicato stesso coega, i suoi argomenti. Riscriviamo e precedenti proposizioni ogiche mettendo in evidenza i predicato e gi argomenti Proposizione Predicato Argomenti Parigi eá a capitae dea rancia essere capitae Parigi, rancia 5 4 eá un numero intero essere intero 5 4 Le proposizioni che hanno un soo predicato si dicono atomiche; e proposizioni atomiche possono essere combinate tra oro per formare proposizioni piuá compesse che si dicono moecoari. Gi operatori che si usano per comporre fra oro e proposizioni si chiamano connettivi ed operano, a seconda de tipo, su una soa o su due proposizioni aa vota; i risutato de'operazione ha un vaore di veritaá che dipende sia da connettivo usato, sia da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche coinvote. Per rappresentare i possibii risutati, si usano dee tabee che prendono i nome di tavoe di veritaá; in esse, e prime coonne riportano e possibii combinazioni dei vaori di veritaá dee proposizioni coinvote mentre a coonna finae indica i vaore di veritaá dea proposizione moecoare. CosõÁ: - con una soa proposizione a, a tavoa ha due soe righe percheâ a puoá essere vera oppure fasa; - con due proposizioni a e b, ci sono 4 possibii combinazioni. In generae, con n proposizioni ci sono 2 n possibii combinazioni. Vediamo aora quai sono e operazioni che si possono eseguire con e proposizioni. La negazione EÁ 'operazione ogica che, data una proposizione a, restituisce a proposizione «non a». La proposizione «non a» eá quando a eá VedeÁ V quando a eá. I simboo ogico dea negazione eá un trattino posto sopra a ettera che individua a proposizione: a Occorre fare attenzione ae modaitaá con cui si esprime una negazione; eá corretto anteporre i connettivo non aa forma verbae, oppure a frase non eávero che a'intera proposizione; per esempio: n a negazione di a: «i rombo ha i ati congruenti» si puoá esprimere indifferentemente nei seguenti due modi: a: «i rombo non ha i ati congruenti» a:«non eá vero che i rombo ha i ati congruenti». Poiche a eá V, i vaore di veritaá di a eá. con una con due proposizione proposizioni # # a a b V V V V V p V p V Per indicare a negazione si puoá anche usare i simboo : anteposto aa proposizione: : a La doppia negazione di una proposizione coincide con a preposizione stessa: a ˆ a In atre paroe, una doppia negazione afferma. 24 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

26 Non eá invece opportuno cambiare 'enunciazione dea proposizione se si vogiono evitare errori. Per esempio a negazione di: «Ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» non eá «Nessun Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» ma eá «Non eá vero che ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae». La congiunzione EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a e b». Tae proposizione si ritiene vera soo se entrambe e proposizioni a e b sono vere, fasa in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea congiunzione eá ^ e va posto fra e due proposizioni: a ^ b Per esempio: se a: «Dante ha scritto a Divina Commedia» (V) e b: «Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» (V), a proposizione c ˆ a ^ b : «Dante ha scritto a Divina Commedia e Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» eá V se a: «12eÁ un numero pari» (V) e b: «8eÁ un numero dispari» (), a proposizione c ˆ a ^ b : «12 eá un numero pari e 8 eá un numero dispari» eá. a b a ^ b V V V V V La congiunzione si puoá anche esprimere usando i termini: et daa ingua atina; and in inguaggio informatico. La disgiunzione incusiva EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a o b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se entrambe e proposizioni a e b sono fase, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b Per esempio: se a: «8eÁ pari» (V) e b: «12 eá mutipo di 5» (), a proposizione c ˆ a _ b : «8 eá pari o 12 eá mutipo di 5» eá V; se a: «a ettera i eá una vocae» (V) e b: «a ettera c eá una consonante» (V), a proposizione c ˆ a _ b : «a ettera i eá una vocae o a ettera c eá una consonante» eá V. se a: «LunedõÁ eá 'utimo giorno dea settimana» () e b: «Giugno eá i primo mese de'anno» (), a proposizione c ˆ a _ b : «LunedõÁ eá 'utimo giorno dea settimana o Giugno eá i primo mese de'anno» eá. a b a _ b V V V V V V V La disgiunzione incusiva si puoá anche esprimere usando i termini: ve daa ingua atina; or in inguaggio informatico. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 25

27 La disgiunzione escusiva Questa forma di disgiunzione eá di frequente uso comune; si dice per esempio: «o vieni o parto senza di te» «o sei promosso o sei bocciato» Un atro esempio: EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «o a o b». Tae proposizione si ritiene vera soo se e proposizioni a e b sono una fasa e 'atra vera, si considera fasa se e due proposizioni sono entrambe vere o entrambe fase. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b se a: «3eÁ dispari» (V) e b: «3eÁ pari» (), a proposizione c ˆ a _ b: «o3eá dispari o 3 eá pari» eá V (a disgiunzione puoá anche essere enunciata cosõá: «3 o eá dispari o eá pari»). a b a _ b V V V V V V La disgiunzione escusiva si puoá anche esprimere usando i termini: aut daa ingua atina; xor in inguaggio informatico. L'impicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «se a aora b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se a prima proposizione eá vera e a seconda eá fasa, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico de'impicazione materiae eá! e va posto fra e due proposizioni: a! b a b a! b V V V V V V V Ne'impicazione a! b, a proposizione a si dice premessa, a proposizione b si dice conseguenza. Per esempio: se a: «Le aquie sono uccei» (V) e b: «I eoni sono mammiferi» (V), a proposizione c ˆ a! b : «Se e aquie sono uccei aora i eoni sono mammiferi» eá V se a: «Io sono un ucceo» () e b: «Io voo» (), a proposizione c ˆ a! b : «Se sono un ucceo aora voo» eá V. Osserva che anche ne inguaggio corrente siamo portati a dire che questa proposizione eá vera pur essendo fase e sue componenti se a: «Maria eá miope» (V) e b: «Maria vede bene da ontano» (), a proposizione c ˆ a! b : «Se Maria eá miope aora vede bene da ontano» eá. La coimpicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a se e soo se b». Tae proposizione si ritiene vera se e due proposizioni hanno o stesso vaore di veritaá (quindi se sono entrambe vere oppure entrambe fase), fasa negi atri casi. I simboo ogico dea coimpicazione materiae eá $ e va posto fra e due proposizioni: a $ b a b a $ b V V V V V V 26 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

28 La coimpicazione eá sostanziamente una impicazione doppia; essa risuta quindi vera quando e due proposizioni a! b e b! a sono entrambe vere. Per esempio: se a: «15 eá un numero primo» () e b: «15 eá un numero dispari» (V), a proposizione c ˆ a $ b : «15 eá un numero primo se e soo se eá dispari» eá se a: «parto» e b: «prendo 'autobus», a proposizione c ˆ a $ b : «parto se e soo se prendo 'autobus» eá V se parto usando come mezzo di trasporto 'autobus oppure se non parto e non prendo nemmeno 'autobus; eá fasa negi atri casi, per esempio se parto ma uso 'auto. z 6.2 Gi enunciati aperti e gi insiemi Abbiamo visto che e proposizioni, in generae, sono costituite da forme verbai egate a degi argomenti. Quando un argomento non eá noto, non eá piuá possibie parare di proposizioni percheâ di queste frasi non si puoá dire se sono vere o fase, come per esempio ne caso dea frase x eá amico di Giuia "Essere amici di Giuia" esprime in questo caso a proprietaá che identifica acuni eementi di un insieme A di persone; A rimane in questo modo diviso in due parti: quea i cui eementi sono amici di Giuia, quea i cui eementi non sono amici di Giuia (figura 20). Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa prima parte, per esempio Matteo, si ottiene una proposizione vera: «Matteo eá amico di Giuia» Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa seconda parte, per esempio Luca, si ottiene una proposizione fasa: «Luca eá amico di Giuia» igura 20 Un predicato esprime quindi una caratteristica reativa ad acuni eementi di un insieme. Gi argomenti di tae insieme vengono normamente indicati con una ettera minuscoa de'afabeto, di soito x, y o z, e di essi si dice che sono dee variabii. Per esempio, nee frasi: x eá cugino di Luca "essere cugini di Luca" eá i predicato x eá a variabie x ama y "amare" eá i predicato x e y sono e variabii Le frasi che sono formate da un predicato e da acuni argomenti incogniti si dicono enunciati aperti. Un enunciato aperto si indica con una ettera minuscoa de'afabeto seguita dai nomi dee variabii racchiuse in una coppia di parentesi tonde; per esempio: n px : «x eá maggiore di 8» eá un enunciato aperto con una soa variabie, e si ha che: p 10 : «10 eá maggiore di 8» (V) Gi enunciati aperti si chiamano anche proposizioni aperte. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 27

29 p 2 : «2 eá maggiore di 8» () p 1 : «1 eá maggiore di 8» () n qx, y : «x eá a capitae di y» eá un enunciato aperto con due variabii, e si ha che: q Madrid, Spagna : «Madrid eá a capitae dea Spagna» (V) q Roma, Germania : «Roma eá a capitae dea Germania» () L'insieme dei vaori che eá possibie attribuire ae variabii, indipendentemente da fatto che rendano a proposizione vera o fasa, si chiama dominio de'enunciato aperto. L'insieme dei vaori de dominio che rendono 'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaá. Ne seguito indicheremo genericamente i dominio di un enunciato aperto con D e 'insieme di veritaá con a stessa ettera usata per indicare 'enunciato; per esempio, reativamente ai precedenti due esempi possiamo dire che: n i dominio di px eá un quaunque insieme numerico N, Z, Q o quache oro sottoinsieme, 'insieme di veritaá eá 'insieme P dei numeri di que'insieme che sono maggiori di 8; n i dominio di qx, y eá 'insieme Q dee coppie x, y appartenenti a prodotto cartesiano A B dove A eá 'insieme dee cittaá, per esempio europee, B eá 'insieme degi Stati europei. Con gi enunciati aperti eá possibie eseguire e stesse operazioni ogiche che si eseguono con e proposizioni e, proprio per a corrispondenza che esiste fra un enunciato aperto e i suo dominio, esiste una perfetta corrispondenza fra e operazioni con i predicati e e operazioni con gi insiemi. In particoare, se D eá 'insieme dominio di due enunciati nea stessa variabie px e qx, P e Q sono i oro insiemi di veritaá, si verifica che: n a negazione di px eá 'enunciato aperto px ; i suo insieme di veritaá eá 'insieme P, compementare di P rispetto a D (figura 21a); n a congiunzione eá 'enunciato aperto px ^ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera soo per i vaori di x che soddisfano contemporaneamente entrambi i predicati, i suo insieme di veritaá eá P \ Q, cioeá 'intersezione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 21b); n a disgiunzione incusiva eá 'enunciato aperto px _ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera per i vaori di x che soddisfano 'uno o 'atro dei due predicati, i suo insieme di veritaá eá P [ Q, cioeá 'unione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 21c). DOMINIO INSIEME DI VERITAÁ I dominio di un predicato rappresenta 'insieme ambiente, mentre 'insieme di veritaá eá un sottoinsieme de'insieme ambiente. LE OPERAZIONI CON GLI ENUNCIATI APERTI igura 21 a. b. c. 28 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

30 1. Sia p x : «xeá un numero pari». I suo insieme ambiente eá 'insieme dei numeri naturai N, ma potrebbe anche essere 'insieme A ˆfx 2 N j x < 20g o un quaunque sottoinsieme di N. Avremo in questo caso che, per esempio, p 2 eá vero, p 6 eá vero, p 5 eá faso, p 17 eá faso. 2. Sia p x, y : «x y ˆ 10». Se consideriamo x e y entrambi variabii in N, i dominio eá 'insieme N N. In questo caso avremo che p 3, 5 eá faso, p 2, 8 eá vero, p 0, 10 eá vero, p 5, 8 eá faso. Se pensiamo x e y variabii ne'insieme Q dei numeri razionai 'insieme ambiente saraá 'insieme Q Q. In questo caso avremo che p 13 4, 27 eá vero, p 3 4 2, 23 eá vero, p 7, 2 eá faso Sia px : «x eá un numero pari minore di 20» e sia qx : «x eá un mutipo di 3 minore di 20». Troviamo gi insiemi di veritaá dee proposizioni px _ qx e px ^ qx. Possiamo considerare come dominio di entrambi gi enunciati aperti 'insieme N. L'insieme di veritaá di px eá 'insieme P ˆ f0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18g. L'insieme di veritaá di qx eá 'insieme Q ˆ f0, 3, 6, 9, 12, 15, 18g. L'insieme di veritaá di px _ qx eá 'unione dei due insiemi: P [ Q ˆ f0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,18g. L'insieme di veritaá di px ^ qx eá 'intersezione dei due insiemi: P \ Q ˆ f0, 6, 12, 18g. 4. In un insieme di persone de quae fa parte anche Luigi, sia px :«x eá amico di Luigi» e qx :«x ha a stessa etaá di Luigi»; aora: px ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che non sono amiche di Luigi px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dai coetanei di Luigi che sono anche suoi amici px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dagi amici di Luigi che non hanno a sua etaá px _qx ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che sono coetanee di Luigi o non gi sono amiche. z 6.3 I quantificatori Considera e seguenti frasi: a. «tutti gi uomini sono mortai» b. «non tutti gi animai hanno e ai» c. «quache animae ha e ai» d. «ogni numero negativo eá minore di ogni numero positivo» e. «esiste ameno un numero positivo» f. «non tutti i numeri naturai sono pari» g. «quache numero naturae eá pari». Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 29

31 Di ciascuna di esse possiamo dire se eá vera o se eá fasa anche senza sapere di quae uomo si sta parando, o di quae animae, o di quae numero particoare. PiuÁ precisamente, quando diciamo «tutti gi uomini sono mortai», esprimiamo i fatto che ogni eemento x appartenente a'insieme degi uomini ha a proprietaá di essere mortae. Quando diciamo «quache animae ha e ai», esprimiamo i fatto che esiste ameno un eemento x appartenente a'insieme degi animai che ha a proprietaá di avere e ai. Le due vautazioni sono nettamente diverse: a prima esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U, nessuno escuso; a seconda ci dice che a proprietaá eá vera soo per quache eemento de'insieme U, quindi uno soo, due, tre, anche infiniti, ma non eá necessario che essa sia vera per tutti gi eementi de'insieme. Ad esempio, ci sono infiniti numeri naturai che rendono vera a proposizione g., ma non tutti i numeri a verificano. In matematica si possono esprimere queste due situazioni introducendo dei simboi detti quantificatori. n I quantificatore universae, indicato con i simboo 8 (si egge «per ogni», «tutti»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U. n I quantificatore esistenziae, indicato con i simboo 9 (si egge «esiste», «c'eá quache», «acuni»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per ameno un eemento x di un insieme U; garantisce dunque 'esistenza di un tae x. Proviamo a riscrivere e proposizioni che hai etto a'inizio de paragrafo usando i quantificatori. a. 8 x 2fuominig, x eá mortae b. non 8 x 2fanimaig, x ha e ai c. 9 x 2fanimaig, x ha e ai d. 8 x 2 Q ^ 8 y 2 Q, x < y e. 9 x 2 Q, x eá positivo f. non 8 x 2 N, x eá pari g. 9 x 2 N, x eá pari. Una forma equivaente ai casi b. e f. eá a seguente che trasforma i simboo non 8 ne simboo 9 : b. 9x 2 fanimaig, x non ha e ai f. 9x 2 N, x non eá pari. I simboo 6 9 esprime a negazione di 9; significa «non esiste», «non c'eá acuno». Diremo per esempio che: 69 x 2 Q, tae che x 2 ˆ 2: «non esiste un x razionae i cui quadrato eá 2» 69 x 2fuominig, tae che x eá immortae: «non esiste un uomo che sia immortae» 69 x 2 N, tae che x 7 ˆ 2: «non c'eá acun numero naturae x che addizionato a 7 dia come risutato 2». ESERCIZI E PROBLEMI pag Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

32 7 LE UNZIONI z 7.1 Reazioni e funzioni Un enunciato aperto che ha due variabii x e y, con x che appartiene a un insieme A e y che appartiene a un insieme B, serve a stabiire un egame tra gi eementi dei due insiemi, come per esempio ne'enunciato aperto: «x eá capitae di y». Degi eementi x, y che rendono vera a proposizione aperta si dice che sono in reazione. Reativamente a'esempio considerato: Roma eá in reazione con Itaia Madrid non eá in reazione con rancia Una proposizione aperta serve dunque anche a mettere in reazione gi eementi di due insiemi, non necessariamente distinti. Ma gi eementi di due insiemi si possono mettere in reazione in moti modi, acuni dei quai rivestono particoare importanza in matematica. Vediamo dapprima acuni esempi. I esempio Consideriamo 'insieme A degi studenti di una casse che devono svogere i test di ingresso di matematica a'inizio de'anno scoastico e 'insieme B dei numeri naturai. Supposto che ogni domanda de test sia vautabie con un punteggio nuo se a risposta eá sbagiata, con punteggio 1 se a risposta non eá stata data, con punteggio 5 se eá stata data in modo esatto, ad ogni studente che affronta i test viene associato un soo numero naturae che eá i risutato dea somma dei punteggi ottenuti. Ad ogni eemento x di A eá quindi associato un soo eemento y di B. Viceversa, puoá capitare che due studenti abbiano conseguito o stesso punteggio o che nessuno studente abbia conseguito un particoare punteggio. La rappresentazione sagittae dea reazione «x ha conseguito i punteggio y» con x 2 A e y 2 B, eá in figura 22 dove abbiamo rappresentato per sempicitaá un numero imitato di studenti. In una reazione di questo tipo ad ogni eemento di A, nessuno escuso, eá associato un soo eemento di B ma non eá richiesto i viceversa, quindi piuá eementi di A potrebbero avere come corrispondente o stesso eemento di B; si tratta percioá di una reazione de tipo moti a uno. II esempio Nee gare di tiro con 'arco ogni arciere si trova su una pedana in corrispondenza dea quae c'eá un bersagio che deve essere copito: ad ogni arciere corrisponde un soo bersagio e, viceversa, ogni bersagio puoá essere copito da un soo arciere. In questo caso, aora, ad ogni eemento de'insieme A eá associato un soo eemento de'insieme B e viceversa; a reazione «x deve copire i bersagio y» eá quindi rappresentata da una corrispondenza di tipo uno a uno (figura 23). Gi insiemi A e B possono anche essere o stesso insieme come per esempio ne'enunciato aperto: «x eá mutipo di y» dove x e y appartengono entrambi a'insieme N. igura 22 igura 23 III esempio Ai casei autostradai passano numerose auto ogni giorno; se indichiamo con A 'insieme dei casei aperti dea barriera di Miano su'autostrada dei Laghi e Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 31

33 con B 'insieme dee auto che vi transitano in una certa ora di un certo giorno (figura 24), i tipo di reazione che si stabiisce fra A e B eá de tipo uno a moti (un caseo, mote auto). Corrispondenze di questo tipo si verificano in mote situazioni: ad ogni casa farmaceutica si possono associare i medicinai che produce, ad ogni casse di una scuoa gi studenti che ne fanno parte, ad ogni regione i Comuni che e appartengono e cosõá via. IV esempio Una situazione sicuramente piuá caotica si ha quando a reazione fra gi eementi di un insieme A e quei di un insieme B eá de tipo moti a moti come in figura 25. Questo schema di corrispondenza potrebbe per esempio essere adatto a descrivere a mutiproprietaá: una persona potrebbe avere piuá mutiproprietaá su appartamenti diversi e viceversa, ogni appartamento puoá avere piuá proprietari. igura 24 igura 25 Gi schemi che abbiamo visto nei diversi esempi si riconducono ad acuni tipi fondamentai che sono riassunti nea figura 26. igura 26 moti a uno uno a uno uno a moti moti a moti Di tutti questi casi i primi due sono i piuá significativi in matematica; se vogiamo descriveri in modo piuá dettagiato dobbiamo dire che: da un eemento di A esce soo un arco che va verso un eemento di B; in atre paroe non ci sono eementi di A dai quai escono piuá archi; non esistono eementi in A dai quai non esce acun arco; in atre paroe, da tutti gi eementi di A, nessuno escuso, esce un arco; sugi eementi di B possono arrivare uno o piuá archi ed eventuamente possono anche esserci eementi ai quai non arriva acun arco. Situazioni di questo tipo si identificano dicendo che a reazione che mette in corrispondenza gi eementi dei due insiemi eá una funzione. Si dice funzione una corrispondenza tra gi eementi di due insiemi A e B che ad ogni eemento di A associa uno e un soo eemento di B. Di una funzione si dice anche che eá una corrispondenza univoca; in particoare poi, se si tratta di una corrispondenza di tipo uno a uno, si para di corrispondenza biunivoca. Una funzione f si esprime mediante una proposizione aperta che specifica in che modo gi eementi de primo insieme, che vengono di soito indicati con x, sono egati a quei de secondo, che vengono di soito indicati con y. VIDEO RECUPERO Una funzione si indica normamente con i simboo f e, per indicare che a corrispondenza va da A verso B, si scrive f : A! B 32 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

34 Reativamente ai quattro esempi introduttivi, possiamo dire che sono funzioni: «ne test x ha conseguito i punteggio y» (I esempio, corrispondenza univoca) «x deve copire i bersagio y» (II esempio, corrispondenza biunivoca). Non sono funzioni e reazioni degi atri due esempi. Quando A e B sono insiemi numerici, spesso a funzione che associa gi x 2 A agi y 2 B si puoá esprimere mediante un'espressione di tipo agebrico; per esempio: per indicare che 'eemento y eá i quadrato de'eemento x si scrive: y ˆ x 2 per indicare che 'eemento y eá i doppio de'eemento x, aumentato di 1, si scrive: y ˆ 2x 1 PiuÁ in generae si scrive y ˆ f x dove f x eá 'espressione agebrica che esprime i egame tra x e y. Inotre, poicheâ di soito a funzione f esprime in che modo gi eementi y sono egati agi eementi x, cioeá in che modo y dipende da x, si dice che: x rappresenta a variabie indipendente dea funzione y a variabie dipendente. De'eemento y 2 B che resta associato a un eemento x 2 A si dice che eá 'immagine di x; a sua vota, 'eemento x prende i nome di controimmagine de'eemento y (figura 27). Per esempio, nea funzione y ˆ x 3, dove supponiamo che x sia un numero naturae: 8eÁ 'immagine di 2 e 2, a sua vota, eá a controimmagine di eá 'immagine di 5 e 5, a sua vota, eá a controimmagine di 125. igura 27 igura 28 a. b. A 0 eá i dominio di f Dominio e codominio di una funzione Consideriamo a reazione rappresentata in figura 28a: di essa non possiamo dire che eá una funzione percheâ ci sono degi eementi di A che non hanno 'immagine in B; tuttavia, se consideriamo 'insieme A 0, privato di tai eementi, i egame tra A 0 e B diventa una funzione (figura 28b). Diciamo che 'insieme A 0 eá i dominio dea funzione. Anche ne'insieme B ci sono eementi che non hanno egami con gi eementi di A 0 ; possiamo peroá identificare 'insieme B 0 degi eementi che sono associati a quache x di A 0 attribuendogi i nome di codominio dea funzione (figura 28c). Dominio di una funzione f : A! B eá 'insieme degi x che hanno immagine in B; codominio di f eá 'insieme dee immagini. c. B 0 eá i codominio di f igura 29 Per esempio: se A ˆ f1, 2, 3, 4g e B ˆ f 1, 0, 1, 2g, a funzione «y eá i precedente di x», che si puoá scrivere nea forma y ˆ x 1, con x 2 A e y 2 B (figura 29), ha come dominio 'insieme A 0 ˆ f1, 2, 3ge come codominio 'insieme B 0 ˆ f0, 1, 2g. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 33

35 1. Consideriamo e reazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce (figura 30). a. b. c. igura 30 d. e. I casi a. e b. rappresentano dee funzioni percheâ da ogni eemento di A esce un soo arco verso un eemento di B; icasoc. non rappresenta una funzione percheâ 'eemento 8 non ha immagine in B; i casi d. ed e. non rappresentano dee funzioni percheâ da acuni eementi di A escono piuá archi verso eementi di B. uteriori esempi La funzione inversa Poniamoci adesso a seguente domanda: se una reazione f : A! B eá una funzione, a reazione inversa, che ha B come dominio e A come codominio e che si indica con i simboo f 1,eÁ anch'essa una funzione? In generae dobbiamo rispondere di no percheâ puoá darsi che a corrispondenza da B verso A non sia univoca, cioeá puoá darsi che non tutti gi eementi di B abbiano una immagine in A (figura 31a) o che ne abbiano piuá di una (figura 31b). igura 31 VIDEO RECUPERO Una funzione eá invertibie se eá una corrispondenza biunivoca. a. b. Tuttavia, se f eá una corrispondenza di tipo uno a uno,aora anche f 1 eá una funzione. Si dice in questo caso che f eá invertibie. z 7.2 Come si rappresenta una funzione Uno dei modi per rappresentare una funzione eá i diagramma a frecce che abbiamo utiizzato finora; ma ci sono atre modaitaá che a vote sono piuá convenienti. Questi atri metodi si basano sua considerazione che e coppie x, y 34 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

36 formate da un eemento x 2 A e da suo corrispondente y 2 B sono eementi de prodotto cartesiano A B e ne costituiscono un sottoinsieme. Per rappresentare una funzione si puoá quindi usare uno quasiasi dei metodi che abbiamo visto per i prodotto cartesiano. Per esempio, se A ˆ fx 2 N j 0 x 5g e B ˆ fy 2 N j 1 x 8g e f eá a funzione definita da'espressione y ˆ x 1, possiamo rappresentare f, otre che con i soito diagramma a frecce, anche in uno dei seguenti modi: per eencazione dee coppie x, y : 0, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 3, 4 ; 4, 5 ; 5, 6 con un diagramma cartesiano (figura 32). z 7.3 I prodotto di funzioni Considera a seguente situazione: nei mondiai di ormua 1 di un certo anno ogni piota ha a propria auto con cui correre i vari Gran Premi; ogni auto, a sua vota, appartiene a una certa Scuderia. Indichiamo con A 'insieme dei pioti, con B queo dee auto, con C queo dee Scuderie; chiamiamo poi f a funzione che ad ogni piota associa a propria auto e g a funzione che ad ogni auto associa a Scuderia di appartenenza (figura 33). igura 32 Anche se eá possibie, non eá peroá di soito conveniente rappresentare una funzione con una tabea a doppia entrata. igura 33 Appicando a funzione f, ad ogni piota corrisponde un'auto aa quae, a sua vota, appicando a funzione g, corrisponde a propria Scuderia. Mediante 'appicazione in successione prima dea f e poi dea g, abbiamo cosõácostruito una nuova funzione k nea quae ad ogni piota possiamo far corrispondere a Scuderia per cui corre. Per esempio, ne campionato 2014, ai pioti Aonso e Raikonnen si puoá far corrispondere a errari, a Hamiton e Rosberg a Mercedes, a Vette e Ricciardo a Red Bu e cosõávia. In questo esempio i codominio dea funzione f eá diventato i dominio dea funzione g. Poiche questa situazione si presenta in diverse occasioni, eá necessario dare un significato preciso. Data una funzione f : A! B, se i codominio B di f diventa i dominio di un'atra funzione g, cioeá g : B! C, per gi eementi y 2 B che sono immagini di eementi x 2 A nea f possiamo scrivere VIDEO RECUPERO y ˆ f x. Per gi eementi z 2 C che sono immagini di eementi y 2 B possiamo scrivere z ˆ g y. Avendo supposto che i codominio di f coincida con i dominio di g, atrimenti non eá possibie parare di funzione, possiamo sostituire 'espressione di y nea funzione z e scrivere z ˆ g f x. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 35

37 Vae a dire che possiamo pensare di associare ad ogni eemento x 2 A gi eementi z 2 C che sono immagini degi y 2 B. Nasce quindi una nuova funzione k che associa ad ogni x 2 A un eemento z 2 C (figura 34): k : A! C z ˆ k x. Si dice che a funzione k eá i prodotto dee due funzioni f e g e si scrive k ˆ g f intendendo con questra scrittura che a funzione g eá appicata agi eementi individuati daa funzione f. Si dice anche che a funzione k eá composta dee due funzioni f e g. igura 34 La funzione f, pur essendo scritta per seconda, eá quea che viene appicata per prima. In sostanza viene appicata per prima a funzione scritta piuá a destra e poi quea immediatamente a sinistra. 1. Sia f : Z! Z, definita daa reazione y ˆ x 2 e sia g : Z! Z, definita daa reazione z ˆ 2y 4. In questo caso i dominio di g ('insieme Z) eá i codominio di f ('insieme Z ). Possiamo aora considerare a funzione k : Z! Z dove k ˆ g f. Si ha ad esempio che f 1 ˆ1 2 ˆ 3 g 3 ˆ2 3 4 ˆ 2 quindi k 1 ˆ2 f 1 ˆ 1 2 ˆ 1 g 1 ˆ2 1 4 ˆ 2 quindi k 1 ˆ 2. La funzione z si ottiene aora sostituendo 'espressione x 2 a posto di y ne'espressione di z (figura 35): z ˆ 2 x 2 4. igura 35 uteriori esempi ESERCIZI E PROBLEMI pag. 301 IL CAPITOLO SI COMPLETA CON: CONCETTI CHIAVE E REGOLE LABORATORIO PRESENTAZIONI IN POWERPOINT 36 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

38 Sets, ogic and functions BASIC CONCEPTS CLIL AUDIO ILE Key Terms set eement finit, infinite, empty set cury brakets set-buider notation characterizing property subset intersection, union, difference of sets disjoint sets partition cartesian product ogica proposition truth tabe negation, conjunction, disjunction impication, biconditiona statement open proposition quantifiers function domain, codomain image, pre-image inverse function product of functions Sets and their representation In mathematics, a set indicates a coection of distinct objects conceived as if they were one. The objects that make up a set are referred to as eements. A set is usuay denoted by capita etters such as A, B or C; its eements are denoted by ower-case etters such as a, b or c. A set is caed finite if a its eements can be isted; otherwise, it is caed infinite; a set with no eements is said empty and is denoted by fgor 1. The symbo 2 is used to indicate that an object beongs to a set, the symbo =2 is used to indicate that an object does not beong to a set. A set can be represented: by isting each member of the set; this definition is denoted by encosing the ist of the eements in cury brackets: A ˆ f0, 1, 2, 3, 4g by a set-buider notation using its characterizing property, that is writing the sentence that indicates what the eements of the set are: A ˆ x 2 N j x 4 graphicay, using a Euero-Venn diagram: Subsets B is caed a subset of set A if a the eements of B are aso eements of A; it is written B A. Note that, if A has other eements not beonging to B, then B is a proper subset of A and in this case we write B A. If A does not have any eements other than those beoning to B, then B ˆ A. The set A itsef and the empty set are improper subsets of A. or exampe, if A ˆf1, 2, 3, 4, 5, 6g and B ˆf3, 4, 5g, then B is a proper subset of A (see figure on the right). Operations between sets Intersection of sets The intersection of two sets A and B is the set whose eements beong both to A and B at the same time. We write A \ B. If the intersection between two sets is empty, that is A \ B ˆ 1, the two sets are said to be disjoint. or exampe, if A ˆfa, b, c, dg and B ˆfb, d, e, f g then A \ B ˆ fb, dg Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 37

39 CLIL Union of sets The union of two sets A and B is the set of a the eements that are objects of A, B, or both. We write A [ B. or exampe, if A ˆfa, b, c, dg and B ˆfb, d, e, f g then A [ B ˆ a, b, c, d, e, f Difference of sets and Compementation A B is the set of the eements beonging to A that do not beong to B too. or exampe if A ˆfa, b, c, dg and B ˆfb, d, e, f g then A B ˆ fa, cg When B is a subset of A, we define the set A B as the compement set of B in A, and we write C A B or B A. When the eements are restricted to some fixed cass of objects U, U is caed the universa set (or universe). Then for any subset A of U, the compement of A is the set of a eements in the universe that are not in A. or exampe, if the universe is the set of the 26 etters of the aphabet and A is the set of vowes, the compement of A is the set of consonants. The partition of a set A partition of a set A is a set of subsets of A, which we ca B i, such that: no Bi is empty the Bi are disjoint the union of a of Bi subsets is A. The Cartesian product Given two sets A and B, the Cartesian product A B is the set whose members are a the possibe ordered pairs a, b, where a is any eement of A and b is any eement of B. If A ˆ fa, b, cg and B ˆ f1, 2g, the Cartesian product A B can be represented by: isting a the ordered pairs: a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2 by an arrow diagram by a doube entry tabe by a Cartesian diagram 38 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

40 CLIL Logic and sets, quantifiers A ogica proposition (or statement ) is a decarative sentence which is either true (T) or fase (); a proposition wi be denoted by a ower case etter such as a or b or c. New propositions can be formed by using two or more other propositions inked by some ogica operators. The truth vaue of the resuting statement depends on the truth vaues of each of these propositions and on the ogica operator appied. To represent a the possibe outcomes we wi use a truth tabe. The first ogica operator is the negation, which is a unary ogica operator because it acts on a singe proposition; given a statement a, the negation of a, which we denote by a and read "not a", is the statement defined by the truth tabe on the right. or exampe, if a : «3 2 is 7», and this proposition is fase, the negation of a is: a : «3 2 is not 7» and this proposition is true. p T p T The conjunction of two propositions a and b is the statement a ^ b (read "a and b") that is defined by the truth tabe on the right. This is a binary ogica operator as it acts on two propositions. Note that the ony way to get a true statement is if both a and b are true. a b a ^ b T T T T T The disjunction of two propositions a and b is the statement a _ b (read "a or b") that is defined by the truth tabe on the right. Note that the ony way to get a fase statement is if both a and b are fase. or exampe, if a:«a square has four congruent sides» (T) b:«3 is greater than 10» () then a ^ b is fase a _ b is true. a b a _ b T T T T T T T Another ogica operator is the impication; the statement a! b (read "a impies b" or "if a a b a! b then b") is defined by the truth tabe on the right. T T T In this statement, a is caed the premise of the impication and b is caed the concusion. The proposition a $ b (read "a if and ony if b") is caed a biconditiona statement and it T is ogicay equivaent to saying: a impies b and b impies a: a! b ^ b! a T T T Therefore, a biconditiona statement is true when a and b are both true or both fase. or exampe: if a:«dogs can fy» () b : «3 is greater than 10» () then a! b is:«if dogs can fy, then 3 is greater than 10» and it is a true statement if a : «A triange is an isosces triange» b:«a triange has two congruent anges» then a! b is:«a triange is an isosces triange if and ony if is has two congruent anges» This statement is true because if a is true than b is aso true, if a is fase than b is aso fase. Besides propositions, in ogic we use open propositions, that is propositions in which there are some objects that are variabe. Open propositions are used for exampe to define a set: A ˆ x j x is an integer positive number B ˆ y j y is an integer negative number Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 39

41 CLIL To make an assertion about the eements of a set we use quantifiers. or exampe we say: a the number in A are greater then a the numbers in B there are some numbers in A that are prime numbers. In the first exampe we have used the universa quantifier, represented by the simbo 8 (read "for a"), to assert that a the eements in A satisfy the property to be greater then a the eements in B : 8x 2 A ^8x 2 B, x > y In the second exampe we have used the existentia quantifier, represented by the simbo 9 (read "exist"), to assert that there is at east an x in A that satisfies the property to be prime: 9x 2 A x is a prime number unctions An open proposition is aso used to define a function. Let A and B be non-empty sets; a function from A to B, denoted by f : A! B is a rue that associates to each eement a in A one and ony one eement b in B. Set A is caed the domain of the function f, set B is the codomain; b is caed the image of a, and a is the pre-image of b under f. The rue which is used to define a function is usuay expressed by an open proposition. Let us consider for exampe: the set A of natura numbers (that is 0, 1, 2, 3,...), whose eements we denote with x the set B of the even number (that is 0, 2, 4, 6,...), whose eements we denote with y the function f that associates each natura number to its doube. Then the function f can be expressed by the open proposition: y ˆ 2x Given a function f from A to B, we can reverse the correspondance, just think of reversing the arrows; this means that we have to associate to each eement in B an eement in A. The reverse reation of a function is not in genera a function, as we can see in the first figure on the right:there are some eements that have more than one corresponding eement in A and some eements that have no corresponding at a. The reverse reation is a function if and ony if f is a one to one function, that is a function that associates to each eement in A ony one eement in B and vice-versa, as we can see in the second figure on the right side. When this second happens, we say that f is invertibe and we define the inverse function of f, denoted with f 1, as the function obtained by switching the x variabe and the y variabe: f 1 : B! A So the inverse function is the function that associates to each b in B its unique preimage in A. inay, a function k is said to be the product of two other functions f and g, and it is written k ˆ g f,ifgis appied to the eements generated by f. The function g, even if it is written in the first pace in the expression of k, is the one that is appied secondy. 40 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

42 ESERCIZI 1 CAPITOLO Insiemi, ogica e funzioni INSIEMI E RAPPRESENTAZIONI teoria a pagina 10 Comprensione 1 Tutte e frasi che seguono rappresentano criteri oggettivi per individuare un insieme, tranne una. Individuaa e spiega percheâ. a. I tuoi compagni di scuoa i cui cognome inizia per A. b. I fiumi che scorrono in Itaia. c. Gi insegnanti giovani dea tua scuoa. d. Le cittaá che distano meno di 50km da Miano. 2 Barra con una crocetta quei che ritieni siano insiemi: a. i gatti con due code b. e persone di sesso maschie di una data associazione c. i ragazzi bei dea tua casse d. i tuoi compagni di casse e. i professori bravi. 3 Quai dee seguenti proprietaá sono caratteristiche per un insieme? a. Essere capouogo di provincia in Itaia. b. Essere magri. c. Essere un attore che ha vinto un Oscar. d. Essere un compagno aegro. e. Essere cittaá itaiana i cui nome inizia per R. f. Essere iscritto nee iste eettorai di un comune. g. Essere un numero naturae piccoo. 4 L'insieme A ˆfx j 3 < x < 10g eá ben caratterizzato? Motiva a risposta. 5 Per indicare che un eemento a appartiene ad un insieme A si usa a scrittura: a. a A b. a 2 A c. a A d. a 3 A 6 Quai dee seguenti scritture sono corrette per rappresentare 'insieme vuoto? a. 1 b. f1g c. f0g d. fg 7 Barra a casea giusta per indicare se i seguenti insiemi sono finiti (), infiniti (I), vuoti (V). a. I numeri pari. b. I giorni dea settimana. c. Gi studenti dea tua scuoa che hanno superato 'Esame di Stato con un punteggio maggiore di 95. d. Le persone che vanno in vacanza su Marte. e. L'insieme dei punti di una circonferenza. I V I V I V I V I V Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 279

43 f. L'insieme dei ati di un esagono. g. L'insieme dei numeri dispari maggiori di 5. h. L'insieme dei numeri naturai compresi fra 5 e 200. I V I V I V 8 L'insieme dee ettere dea paroa terrazze eá: a. ft, e, r, r, a, z, z, eg b. ft, e, r, a, z, eg c. ft, e, r, a, zg d. ft, r, zg 9 Dato 'insieme A ˆf4, 8, 12, 16, 20, 24g, indica, fra quee eencate, a proprietaá che caratterizza i suoi eementi: a. x j x eá un numero pari b. x j x eá un mutipo di 4 minore di 24 c. x j x eá un numero pari e mutipo di 4 d. x j x eá un numero pari maggiore di 4 e minore di 26 e. x j x eá un mutipo di 4 minore di 28 e maggiore o uguae a 4 f. x j x eá un mutipo di 4 maggiore di 4 e minore di La rappresentazione mediante proprietaá caratteristica de'insieme A ˆ f3, 4, 5, 6g eá: a. A ˆfa 2 N j 3 < a < 6g b. A ˆfa 2 Q j 2 < a < 7g c. A ˆfa 2 Q j 3 a 6g d. A ˆfa 2 N j 3 a 6g 11 Quai dee seguenti frasi individuano a proprietaá caratteristica de'insieme A ˆ f 0, 6, 12, 18, 24,...g? a. i mutipi di 3 b. i mutipi pari di 3 c. i mutipi di 6 d. i sottomutipi di Le vocai dee paroe che seguono formano insiemi uguai, tranne in un caso. Quae? a. sasso b. babbo c. nababbo d. mano e. vioa. 13 In quae dei seguenti casi 'insieme A eá uguae a'insieme B? a. A ˆfSandro, Paoag B ˆfPaoa, Sandrog b. A ˆfx 2 N j 2 x 10g B ˆfx 2 Q j 2 x 10g c. A ˆfp, s, r, a, o, z, ig B ˆfx j x eá una ettera dea paroa «spazio»g d. A ˆfcifre de numero 4232g B ˆfcifre de numero 2443g Appicazione 14 Stabiisci se e seguenti frasi definiscono un insieme e, in caso affermativo, indica gi eementi che gi appartengono. a. I numeri pari maggiori di 4 e minori di 20. b. Le persone che ti teefoneranno domani. c. I capouoghi di provincia dea Pugia. d. L'insieme dee ettere dea paroa "ibro". 15 Dopo aver stabiito se i seguenti insiemi sono finiti o infiniti, rappresenta per eencazione quei finiti. a. I numeri naturai maggiori di 10. b. I divisori di 20. c. I mutipi di 6. d. I numeri pari compresi tra 14 e 32. e. I numeri dispari divisori di 24. f. I numeri razionai compresi fra 8 e Confronta i tre insiemi A ˆfx j x eá una vocae dea paroa «vuotare»g, B ˆfx j x eá una vocae dea paroa «uova»g e C ˆfx j x eá una vocae dea paroa «nuotare»g. Gi insiemi dati sono tutti uguai? ra essi ce ne sono di uguai? 17 Per ciascuno dei seguenti casi, inserisci i simboo adatto scegiendoo fra 2 e 62. Sia A 'insieme dee ettere de'afabeto itaiano: a. c ::: A b. x ::: A c. z ::: A d. j ::: A 280 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

44 18 Stabiisci se gi eementi indicati fanno parte o no degi insiemi specificati, usando i simboo appropriato. a. Inter, A ˆfx j x eá una squadra di cacio itaiana di serie Ag b. Roma, A ˆfx j x eá un capouogo di provincia itaianog c. 5, 4 N ˆfx j x eá un numero naturaeg d. Londra, A ˆfx j x eá una cittaá itaianag e. baena, A ˆ fx j x eá un mammiferog f. 5, Z ˆfx j x eá un numero interog. 19 Traduci e seguenti frasi ne inguaggio simboico degi insiemi: a. I numero 12 appartiene a'insieme dei numeri interi. p b. I numero 20 non appartiene a'insieme dei numeri interi. c. I numero 2,24 appartiene a'insieme dei numeri razionai. d. I numero 21 2 eá un numero intero. p e. I numero 37 non eá un numero naturae. 20 Rappresenta i seguenti insiemi nei modi che conosci. L'insieme dei punti cardinai. Mediante eencazione: fnord, Sud, Est, Ovestg Mediante proprietaá caratteristica: fx j x e un punto cardinaeg Mediante diagramma di Euero-Venn: 21 L'insieme dee vocai dea paroa eementare. 22 L'insieme dee ettere dea paroa vocaboario. 23 L'insieme dee consonanti dea paroa astuccio. 24 L'insieme dei numeri naturai minori di L'insieme dei numeri naturai compresi fra 2 e 14, estremi escusi. 26 L'insieme dei numeri pari minori di L'insieme dei primi 10numeri dispari. 28 L'insieme dei numeri primi minori di L'insieme dei primi 10numeri primi. 30 L'insieme dee note musicai. 31 L'insieme dee stagioni. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 281

45 Rappresenta i seguenti insiemi ne modo piuáadatto. 32 L'insieme A dei numeri razionai compresi fra 1 e 2, estremi incusi. ra due numeri razionai quasiasi sono compresi infiniti atri numeri e non eá possibie eencari tutti; a rappresentazione piuá adatta eá quindi quea mediante a proprietaá caratteristica: A ˆfx 2 Q j 1 x 2g 33 L'insieme dei numeri interi maggiori di L'insieme dei numeri naturai compresi fra 10e L'insieme dei numeri dispari compresi fra 10e L'insieme dee persone nate in Itaia. 37 L'insieme dee ragazze dea tua casse. 38 L'insieme dei fies contenuti ne disco fisso de tuo computer. 39 L'insieme dei ibri dea bibioteca scoastica. 40 L'insieme degi eefanti rosa. 41 Eenca gi eementi dei seguenti insiemi e rappresentai poi con un diagramma di Euero-Venn: a. A ˆfx 2 Z j 5 < x < 12g b. B ˆfx 2 N j x eá un divisore di 30g. Rappresentiamo per eencazione i due insiemi: A ˆ f 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11g B ˆ f1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30g Nea rappresentazione grafica dobbiamo tener presente che gi eementi 1, 2, 3, 5, 6, 10appartengono ad entrambi gi insiemi; dovremo quindi disegnare due inee chiuse che si intersecano e mettere questi eementi nea parte comune. 42 Eenca i primi cinque eementi dei seguenti insiemi: a. A ˆfx 2 Z j x ˆ 3n 10, con n 2 Ng b. B ˆfx 2 N j x ˆ n 2 n, con n 2 Ng Puoi eencari tutti? PercheÂ? 43 La rappresentazione per eencazione de'insieme A ˆ x j x ˆ n 2 n, n 2 N e3< n 5 eá: a. f20g b. f10, 20g c. f12, 20, 30g d. f20, 30g 44 Competa eencando gi eementi dei seguenti insiemi: a. A ˆ fx 2 Z j 3 < x 5g A ˆ f::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g b. B ˆ x 2 N j x e una cifra de numero 3782 B ˆ f::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g 45 L'insieme A ˆ f3, 9, 27, 81g mediante a sua proprietaá caratteristica eá individuato da: a. A ˆ fx j x ˆ n 3, n 2 N e3n6g b. A ˆ fx j x ˆ 3n, n 2 N e1n4g c. A ˆ x j x ˆ n 3, n 2 N e1n4 d. A ˆ fx j x ˆ 3 n, n 2 N e1n4g 282 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

46 46 Rappresenta negi atri modi conosciuti 'insieme A ˆfx 2 N j 0 < x < 5g. 47 Rappresenta in atri modi i seguente insieme A: 48 Qua eá a proprietaá caratteristica de'insieme A ˆf3, 6, 9, 12, 15, 18g? 49 Determina a proprietaá caratteristica de'insieme A ˆf1, 2, 5, 10g. 50 Rappresenta 'insieme dei numeri naturai divisibii per 7. Che tipo di insieme eá? 51 Rappresenta 'insieme A ˆ 1 4, 1 9, 1 16, 1 25, 1 con un diagramma di Euero-Venn; considera poi 36 'insieme B ˆ x j x ˆ 1 n2 con n 2 N e1< n < 7. Cosa deduci confrontando gi insiemi A e B? 52 Barra vero o faso. a. Se x < 4 aora x 2 A essendo A ˆ f0,1,2,3g. b. Se m ˆ 2n e n ˆ 3 aora m 2 P, essendo P 'insieme dei numeri pari. c. Se A ˆ fp, I, N, Og e B ˆ fpinog, aora A ˆ B. V V V SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME teoria a pagina 13 Comprensione 53 Un insieme B eá sottoinsieme proprio di A. PuoÁ capitare che: a. quache eemento di A appartiene a B; b. tutti gi eementi di B appartengono ad A; c. c'eá quache eemento di B che non appartiene ad A; d. c'eá quache eemento di A che non appartiene a B. 54 Traduci in simboi e seguenti frasi: a. 'insieme A contiene propriamente un insieme B; b. 'insieme C eá un sottoinsieme di un insieme A; c. 'insieme A eá un sottoinsieme proprio di un insieme D. V V V V 55 Siano A ˆ fx 2 N j 4 x 30ge B ˆ fx 2 N j 2 x 31 e x e mutipo di 4g. Indica quai fra e seguenti reazioni sono vere: a. A B b. B A c. 6 2 A d. 6 2 B e B 56 Se A e B sono due insiemi tai che A B e B A, che cosa si puoá dire di A e B? 57 Se A ˆ fx 2 N j 2 x 6g quai fra i seguenti sono sottoinsiemi di A? B ˆ fx 2 N j x e pari e 0 < x < 4g C ˆ fx 2 N j x ˆ n 1enˆ1, 2, 3, 4, 5g D ˆ fx 2 Q j 3 x 5g Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 283

47 58 L'insieme B ˆfb 2 Z j 2 < b 5g eá un sottoinsieme di: a. A ˆfa2 Z j 1 a 8g b. A ˆfa2N j a < 8g c. A ˆfa2 Z j a < 5g d. A ˆfa2Z j a > 2g Appicazione 59 L'insieme A ˆ funedõá, martedõá, mercoedõág eá sottoinsieme di quache atro insieme B. Scrivi quache esempio di insieme B e rappresentai graficamente entrambi. 60 Siano A 'insieme dee consonanti dea paroa "pino" e B 'insieme dee consonanti dea paroa "panna". Che cosa puoi dire di A e B? E' corretto affermare che A eá sottoinsieme di B? In caso di risposta affermativa, di che tipo di sottoinsieme si tratta? 61 Rappresenta 'insieme A dei numeri naturai compresi tra 5 e 20. Scrivi i sottoinsiemi di A formati dai numeri pari e poi da quei dispari. Questi sottoinsiemi sono propri o impropri? 62 Dati i seguenti insiemi: A ˆfx j x eá una ettera dea paroa «voare»g; B ˆfx j x eá una vocae dea paroa «asse»g; C ˆfx j x eá una ettera dea paroa «coare»g; indica quai dee seguenti reazioni sono vere: a. A C b. B A c. C B 63 Rappresenta con un diagramma di Euero-Venn i due insiemi A ˆfx 2 N j 4 x 50e x e parig e B ˆfx 2 N j 2 x 51 e x e mutipo di 4g. Dopo aver stabiito se B A, indica quai fra e seguenti scritture sono vere: a A b. 6 2 B c. 16 B d A e. f4, 6g A 64 Dato 'insieme A ˆf1, 3, 5, 7, 9g determina i sottoinsieme i cui eementi sono i numeri pari di A. EÁ un sottoinsieme proprio? 65 Data a retta r e fissato un punto A su di essa, considera 'insieme dei punti di r che seguono A e queo dei punti di r che precedono A. Cosa rappresentano questi insiemi rispetto a'insieme dei punti dea retta? 66 Dato 'insieme A ˆfx 2 N j x < 30g, determina i seguenti suoi sottoinsiemi: a. i numeri pari b. i numeri dispari c. i mutipi di Dato 'insieme A ˆf1, 2, 3g, scrivi tutti i suoi sottoinsiemi propri ed impropri. 68 Scrivi tutti i sottoinsiemi di A ˆfa, e, i, o, ug formati da tre eementi. 69 Dati gi insiemi A ˆfbianco, rosso, verde, giaog, B ˆfbianco, rossog, C ˆfverdeg, stabiisci quai dee seguenti scritture sono corrette, e correggi poi quee scritte in maniera errata: a. B 2 A b. bianco A c. C A d. rosso 2 A e. fbiancog A f. fbianco, rossog 2 A 70 Considera 'insieme A ˆfa, b, c, d g; quai dee seguenti affermazioni sono vere e quai fase? Motiva a tua risposta: a. a 2 A b. d A c. 1 A d. A fa, b, c, dg e. fag A V V V V V 71 Verifica, usando i diagrammi di Euero-Venn, che se A B e B C, aora A C. 284 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

48 72 Dati gi insiemi A ˆfa, b, c, dg, B ˆfb, c, e, f g, C ˆfa, b, cg, stabiisci quai dee seguenti scritture sono vere e quai sono fase: a. A B b. A C c. C A d. B A e. 1 B f. fcg A. 73 Considera gi insiemi: A ˆf1, 2, 3, 4g, B ˆf1, 2g, C ˆf2, 5g, quai dee seguenti affermazioni sono vere e quai fase? Motiva a tua risposta. a. A B b. B C c. B ˆ C d. B A e. C 6 A V V V V V 74 Considera gi insiemi A e B che seguono e stabiisci quae dee seguenti reazioni eá verificata: A ˆ B, A B, A B, A B, A B, ± A 6 B. a. A ˆfx j x eá una ettera dea paroa videog B ˆfx j x eá una ettera dea paroa doveg b. A ˆfx j x eá un numero naturae divisore di 60g B ˆfx j x eá un numero naturae divisore di 30g c. A ˆfx j x eá un numero dispari minore di 15g B ˆfx j x eá un numero pari minore di 16g d. A ˆfx j x eá una vocae dea paroa meog B ˆfx j x eá una vocae dea paroa veog LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI teoria a pagina 14 Comprensione 75 Se A [ B ˆ B, aora A eá un sottoinsieme di B. E' vera o fasa questa affermazione? Giustifica a tua risposta. 76 Di due insiemi A e B si sa che A \ B ˆ B e A \ B 6ˆ A. Quae fra e seguenti scritture eá esatta? a. A B b. A B c. B A d. B A 77 L'intersezione degi insiemi A ˆfx 2 Z j x < 10g e B ˆfx 2 Z j x > 2g eá: a. fx 2 Z j 2 x 10g b. Z c. fx 2 Z j 1 x 9g d Se A ˆ f2, 16, 24g, B ˆ f 2, 8, 16g, C ˆ f2, 8, 16, 24g, quai fra e seguenti reazioni sono corrette? a. B \ C ˆ B b. A [ B \ C ˆB c. B [ C ˆ C d. A \ B C 79 Se A B ˆ A, puoi dire che: a. A ˆ B b. A [ B ˆ B c. A \ B ˆ 1 d. A B 80 Dati i seguenti insiemi: a. fx 2 N j x < 5g b. fx 2 N j 7 x < 20g c. fx 2 N j x 5g d. fx 2 N j x 12g scegi fra i seguenti i oro compementari rispetto a N: fx 2 N j x < 7ex > 20g fx 2 N j x < 7ex 20g fx 2 N j x > 5g fx 2 N j x 5g fx 2 N j x < 12g ± fx 2 N j x 12g 81 Considerato 'insieme A dei aghi itaiani, siano B i i sottoinsiemi di A in ciascuno dei quai poniamo i aghi che appartengono aa stessa regione. Spiega percheâ i B i non costituiscono una partizione di A. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 285

49 Appicazione 82 Sia A ˆ fx 2 Z j 5 x < 12ge siano B ˆ fx 2 Z j 2 x < 5g, C ˆ fx 2 Z j 0 < x 7g; cacoa: a. B \ C b. B [ C c. A \ B d. A [ C Gi insiemi B e C sono sottoinsiemi di A; per faciitare 'individuazione degi eementi che appartengono agi insiemi richiesti, costruiamo un diagramma di Euero-Venn: a. B \ C ˆ fx 2 Z j 1 x 4g b. B [ C ˆ fx 2 Z j 2 x 7g c. A \ B ˆ B d. A [ C ˆ A 83 Dati gi insiemi A ˆ f7, 8, 9, 10, 11g e B ˆ f10, 11, 12, 13, 14g, determina A [ B e A \ B. Competa i diagramma di Euero-Venn e cacoa quanto richiesto. a. A [ B ˆf::::::::::::::::::::::::::::::::g b. A \ B ˆf::::::::::::::::::::::::::::::::g 84 Considera gi insiemi A ˆfx j x eá una ettera dea paroa agricotoreg e B ˆfx j x eá una ettera dea paroa agricoturag; determina, aiutandoti anche con un diagramma di Euero-Venn, 'insieme unione e 'insieme intersezione. 85 Dati gi insiemi A ˆf1, 3, 4, 7, 9g, B ˆf1, 4, 7g, C ˆf3, 5, 6, 8, 9g, determina a. A [ B b. A [ B [ C c. A \ B d. A \ C e. B \ C 86 Dati gi insiemi A ˆf0,1,2,3,4,5g e B ˆf3, 5, 7, 9g, indica a oro proprietaá caratteristica, rappresenta i due insiemi con un diagramma di Euero-Venn e cacoa A \ B. 87 Dati gi insiemi A ˆfx 2 Z j 28 x 50g e B ˆfx 2 Z j 32 < x 53g, cacoa A \ B e rappresentao mediante a proprietaá caratteristica dei suoi eementi. 88 Dati gi insiemi A ˆfa, b, d, eg e B ˆfb, e, f, rg rappresenta i due insiemi con un diagramma di Euero-Venn e cacoa A [ B. 89 Dati gi insiemi A ˆfx 2 N j 2 x 100g e B ˆfx 2 N j 50 x < 200g, cacoa A [ B e rappresentao mediante a proprietaá caratteristica. 90 Dati A ˆfx j x eá una ettera dea paroa «Aberto»g e B ˆfx j x eá una ettera dea paroa «tasse»g, cacoa a oro intersezione e a oro unione. 91 Sia A ˆfx j x eá un abitante di rosinoneg e B ˆfx j x eá un abitante de Laziog, rappresenta A [ B e A \ B. 286 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

50 92 Dati A ˆf4, 5, 6, 7g, B ˆ{2, 3, 4, 7g e C ˆf5, 6g, rappresenta nei modi che conosci A [ B [ C, A \ B [ C, B [ A \ C, A \ B \C. 93 Rappresenta con un diagramma di Euero-Venn ameno una possibiitaá nea quae fra gi insiemi A, B, C vagano e seguenti reazioni: a. B A B 6 C b. A 6 C B 6 C B \ C 6ˆ 1 c. A C A[ B ˆ C 94 Dati A ˆfx 2 N j x eá un numero parig, B ˆfx 2 N j x eá un mutipo di 4g e C ˆfx 2 N j x eá un mutipo di 3g rappresenta: a. A \ B b. A [ B c. A [ B \ C d. A \ B \ C 95 Considera 'insieme A ˆfx 2 N j 4 < x < 30g e i sottoinsiemi B e C formati rispettivamente dai mutipi di 4 e di 6. Rappresenta B [ C e B \ C. 96 Dati A ˆfx 2 N j x eá un numero pari minore di 10g e B ˆfx 2 N j x eá un divisore di 7g, determina a oro unione e a oro intersezione. 97 Dati A ˆfx j x eá un ragazzo dea tua casse piuá ato di Mariog, B ˆfx j x eá un ragazzo dea tua casse piuá basso di Mariog, quai dee seguenti scritture eá corretta? a. A \ B ˆfMariog b. A \ B ˆ 1 98 Sia A 'insieme degi aunni dee cassi prime dea tua scuoa; indica con B 'insieme dei ragazzi dea scuoa che praticano ameno uno sport e con C queo dei ragazzi che hanno a sufficienza in matematica. Stabiisci che cosa rappresentano i seguenti insiemi: a. A \ B b. B \ C c. A \ B [ C d. A \ B \ C 99 Dati gi insiemi: A ˆ fx 2 N j x < 6g B ˆ f0,2,8,16g C ˆ f1, 2, 3g, cacoa: a. A \ B b. A [ B \ C c. A \ C [B d. A [ C \B e. A \ B f. A [ B 100 Dati A ˆf3, 4, 5g, B ˆf4, 6g, C ˆf8g, D ˆf3, 4, 5, 8, 9g, E ˆ 1, ˆ N (N insieme dei numeri naturai), ricopia e seguenti tabee su quaderno e competa, scrivendo gi eementi degi insiemi richiesti: \ A B C D E A B C D E [ A B C D E A B C D E 101 Dati gi insiemi A ˆ fx 2 N j 2 x < 8g e B ˆ fx 2 N j 5 x 9g, cacoiamo A B e B A. Eenchiamo gi eementi dei due insiemi: A ˆ f2, 3, 4, 5, 6, 7g B ˆ f5, 6, 7, 8, 9g. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 287

51 Dunque: A B ˆ f2, 3, 4g da A abbiamo toto gi eementi 5, 6, 7 che appartengono anche a B. B A ˆ f8, 9g da B abbiamo toto gi eementi 5, 6, 7 che appartengono anche a A. 102 Dati gi insiemi A dee carte di fiori di un mazzo da gioco e B dee figure deo stesso mazzo, cacoa e rappresenta con un diagramma di Euero-Venn gi insiemi A B e B A. 103 Sia P 'insieme dei numeri pari e M 'insieme dei mutipi di 3. Quai sono gi eementi di P M edim P? 104 Sia A 'insieme dei numeri pari minori di 20e B 'insieme dei mutipi di 4 minori di 30. Cacoa e rappresenta ne modo che preferisci gi insiemi A B e B A. 105 Trova in N i compementare dei numeri dispari. 106 Dati N e 'insieme A ˆfx 2 N j x < 10g, trova i compementare di A rispetto ad N. 107 Sia A 'insieme dee persone di nazionaitaá itaiana e sia B 'insieme dee persone residenti in Caabria. Dopo aver cacoato A B, specifica se 'insieme ottenuto eá i compementare di B rispetto ad A. 108 Dato 'insieme A ˆf3, 8, 9, 14, 15, 18g ed i sottoinsieme B di A dei mutipi di 2, cacoa A B. 109 Dimostra, servendoti dei diagrammi di Euero-Venn, che, quaunque siano gi insiemi A e B, A A B ˆA \ B. 110 Scegi fra quee indicate 'operazione che individua a parte evidenziata: a. A \ B A [ B A B B A b. B \ C B [ C A B \ C A B A [ C c. A B \ C A B [ C B [ C A A [ B C 111 Dati A ˆfx j x eá un triangoog, B ˆfx j x eá un triangoo isosceeg, C ˆfx j x eá un triangoo rettangoog, scrivi a proprietaá caratteristica che definisce i seguenti insiemi e poi rappresentai con un diagramma di Euero-Venn: a. A \ B b. A [ B c. A [ B \C d. A \ B \C e. A [ B [ C 112 Considerando come insieme ambiente queo dee carte da gioco, siano: A 'insieme i cui eementi sono individuati daa proprietaá caratteristica p : «essere una figura», B 'insieme i cui eementi sono individuati daa proprietaá caratteristica q : «essere una figura di cuori», C 'insieme i cui eementi sono individuati daa proprietaá caratteristica r : «essere una carta di fiori». Dopo aver rappresentato i tre insiemi con un diagramma di Euero-Venn cacoa: a. A \ B b. A [ B c. A \ C d. A \ B \ C e. C A f. A B 288 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

52 113 Dati A ˆfx 2 N j x < 12g, B ˆfx 2 N j x 12 e x e parig, C ˆfx 2 N j 2 x 15g, scrivi e proprietaá caratteristiche che definiscono i seguenti insiemi: a. A [ B [C b. A \ B [C c. A \ B [ C Dopo averi rappresentati per eencazione, indica quai dee seguenti scritture sono vere: a. 9 2 A [ B b. B C c. 5 2 A \ B d. B A \ B [C a: V; b: ; c: ; d: VŠ 114 Traduci in simboi e parti tratteggiate dei seguenti diagrammi di Euero-Venn: a. b. c. d. 115 Considera i diagramma dea figura; dopo aver riprodotto i disegno su tuo quaderno coora a parte che rappresenta: a. A [ B C b. A \ C [A c. C [ B C d. A \ C B e. C B C \ B f. A [ B [C 116 Indicati con E 'insieme dei punti evidenziati in figura, con H 'insieme dei punti dea retta r e con K quei dea retta s, descrivi con inguaggio insiemistico a figura indicata. 117 Dati A e B con A B, competa e seguenti uguagianze: a. A [ A ˆ ::::::::::::: b. B ˆ ::::::::::::: c. A \ A ˆ ::::::::::::: d. A ˆ ::::::::::::: e. 1 ˆ ::::::::::::: dove con i simboo A si intende i compementare de compementare di A. 118 Sono dati 'insieme N ed i suo sottoinsieme P dei numeri pari. Competa e seguenti uguagianze: a. P [ N ˆ ::::: b. P \ N ˆ ::::: c. P \ N \P ˆ ::::: d. P \ P [N ˆ ::::: e. P \ P [1 ˆ ::::: f. P [ P \N ˆ ::::: g. P [ P [1 ˆ ::::: h. P [ N [P ˆ ::::: 119 Sono dati gi insiemi A ˆ fx 2 N j x 10g, B ˆ fx 2 N j 7 x 12g; su un insieme C si hanno poi e seguenti informazioni: B \ C ˆ f7, 8g, C B ˆ f5, 6g. Determina gi eementi degi insiemi: a. C b. A \ C c. B [ C 120 Sia U ˆfx 2 N j 4 x 40g e siano A e B i sottoinsiemi di U costituiti rispettivamente dai numeri pari e dai numeri dispari. Determina e rappresenta: a. C U A b. C U B c. C U A \ B d. C U A [ B e. U A f. U B ra gi insiemi individuati ce ne sono di uguai? 121 Se A eá un insieme formato da 7 eementi e B eá formato da 8 eementi, puoi dire da quanti eementi eá formato A [ B? Per effettuare questo cacoo eá corretto addizionare i numero degi eementi di A con quei di B? Costruisci degi esempi appropriati. 122 Di tre insiemi A, B, C si sa che hanno rispettivamente 25, 24 e 18 eementi; si sa inotre che A \ B ne ha 12, che B \ C ne ha 8, che A \ C ne ha 3 e che A [ B [ C ne ha 47. Qua eá i numero di eementi di A \ B \ C? 3Š Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 289

53 La partizione di un insieme 123 Dato 'insieme I ˆfx 2 N j 0 x 10g, considera gi insiemi S 1 ˆfx j x eá un numero naturae pari 10g ed S 2 ˆfx j x eá un numero naturae dispari < 10g. In che reazione stanno con I questi due insiemi? Costituiscono una sua partizione? Riscriviamo gi insiemi dati in forma estensiva per vedere megio i oro eementi, aora I ˆf0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10g; S 1 ˆf0,2,4,6,8,10ged S 2 ˆf1, 3, 5, 7, 9g. Osservandoi possiamo concudere che S 1 e S 2 sono sottoinsiemi propri di I. Inotre, poicheâ sono disgiunti e a oro unione eá I stesso, essi ne costituiscono una partizione. 124 Data una retta r e due suoi punti, come puoi costruire una partizione de'insieme formato dai punti di r? 125 Indica ameno un modo per operare una partizione dei seguenti insiemi: a. insieme dee carte da gioco b. insieme dei numeri di teefono dei tuoi conoscenti c. insieme degi studenti di una scuoa d. insieme dei cittadini itaiani. 126 Stabiisci se i sottoinsiemi S 1 ˆfx 2 N j 30 x 50g ed S 2 ˆfx 2 N j x 30g costituiscono una partizione de'insieme I ˆfx 2 N j x 50g. Motiva a risposta. 127 Dato 'insieme T ˆfx j x eá un poigono di tre atig, considera i tre sottoinsiemi formati dai triangoi ottusangoi, dai triangoi acutangoi e dai triangoi rettangoi. Hai costruito una partizione di T? IL PRODOTTO CARTESIANO RA INSIEMI teoria a pagina 19 Comprensione 128 Dati gi insiemi A e B non vuoti, definisci 'insieme C ˆ A B; sea eá un eemento de'insieme A e b eá un eemento de'insieme B, indica quai fra e seguenti scritture sono corrette: a. A C b. a, b 2 C c. a, b C d. f a, b g C e. a, b 2 A \ B f. a, b 2 A [ B 129 Sia A ˆ fx 2 N j x 4g, de'insieme A 2 si puoá dire che: a. eá 'insieme f0, 1, 4, 9, 16g b. definisce i prodotto cartesiano A A c. ha 16 eementi d. ha 25 eementi. 130 I prodotto cartesiano A B eá 'insieme vuoto se: a. entrambi gi insiemi A e B sono vuoti b. ameno uno dei due insiemi eá vuoto c. uno dei due insiemi ha come unico eemento i numero zero d. ameno uno dei due insiemi ha fra i suoi eementi i numero zero. Ci sono risposte corrette fra quee date? Se sõá, quai? V V V V 290 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

54 131 Un insieme A ha 5 eementi; un insieme B ne ha 4; quanti sono gi eementi de prodotto cartesiano A B? a. 10 b. 20 c. 9 d. non si puoá sapere se non si conoscono i due insiemi 132 I prodotto cartesiano A B ha 36 eementi. Quanti sono, ne'ordine, gi eementi di A e quei di B? a. 6e6 b. 12 e 3 c. 4e9 d. non si puoá sapere a priori 133 Se gi eementi di A B sono 54 e quei di B 2 sono 81, da quanti eementi eá formato 'insieme A? a. 6 b. 8 c. 9 d. non si puoá stabiire 134 Se ad un torneo di cacio partecipano quattro squadre, i numero degi incontri, fra e gare di andata e quee di ritorno, eá: a. 6 b. 12 c. 15 d Esistono casi in cui A B ˆ B A? SesõÁ, quai? Appicazione 136 Dati gi insiemi A ˆf1, 2g e B ˆf 3, 8g, determina i oro prodotto cartesiano competando i diagramma in figura, ed eenca gi eementi di tae prodotto. Per eencare gi eementi di A B, i primo eemento dea coppia deve appartenere ad A, i secondo a B: (1,...) (...,...) (2,...) (...,...) 137 Di due insiemi A e B si sa che A B ˆ a, a, a, b, a, c, b, a, b, b, b, c, c, a, c, b, c, c. Competa indicando quai sono gi eementi dei due insiemi: A ˆ f::::::::::::::: g B ˆ f::::::::::::::: g Che cosa puoi concudere reativamente ad A eab? 138 Dati A ˆf4, 5, 7g e B ˆf2, 4, 5, 6, 7g cacoa A B e rappresentao nei modi che conosci. 139 Dati gi insiemi A dei mutipi di 3 minori di 16 e B dei divisori di 8, dopo aver rappresentato i due insiemi ne modo che ritieni piuá opportuno, verifica che A B 6ˆ B A. 140 Dato A B ˆf a, 7, b, 7 g, scrivi 'insieme A e 'insieme B. 141 Dati A ˆfx j x eá un mutipo di 5 e x < 4g e B ˆfx j x eá dispari e x < 7g, cacoa A B. 142 a. Dati A ˆfx, yg e B ˆft, vg cacoa A B e conta gi eementi che o formano. b. Dati C ˆfxg e D ˆfa, b, cg cacoa C D e conta gi eementi che o formano. c. Conta gi eementi di A B de'esercizio 138. Cosa puoi dedurre da questi tre esempi? C'eÁ una reazione fra i numero degi eementi di A edib e queo degi eementi di A B? Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 291

55 143 Se A B ha 5 eementi, da quanti eementi possono essere costituiti A e B? (Suggerimento: pensa in quanti modi puoi ottenere 5 come prodotto di due fattori) 144 Se A B ha 6 eementi, che cosa si puoá dire di A edib? 145 Dato A B ˆ f(caro, Lucia), (Caro, Anna), (Mario, Lucia), (Mario, Anna), (Beppe, Lucia), (Beppe, Anna)g, determina A e B. 146 Dato 'insieme A ˆfx 2 N j x eá dispari e x < 10g, cacoa A Dati gi insiemi A ˆfx 2 N j x eá pari e x 20g, B ˆfx 2 N j x eá divisibie per 4 e x 20g, e C ˆf1, 2g, cacoa A \ B C e A [ B C. 148 Dati gi insiemi A ˆ f3, 4, 5g, B ˆ f3, 4g, C ˆ f2, 6g, cacoa: a. C A \ B b. A B A \ C c. A B A \ B d. C A [ B PROBLEMI CON GLI INSIEMI teoria a pagina 21 Appicazione 149 In una casse di 20aunni, 10amano a matematica, 14 amano 'itaiano. Di essi 8 amano entrambe e materie. Servendoti dei diagrammi di Euero-Venn, cacoa quanti non amano neâ 'itaiano neâ a matematica. Per rispondere a tae domanda, visuaizziamo a situazione con un diagramma di Euero-Venn. Se gi aunni che amano a matematica sono 10e di questi 8 amano anche 'itaiano, aora gi aunni che amano soo a matematica sono 2. Anaogamente quei che amano soo 'itaiano sono 14 8, cioeá 6. Gi aunni che amano a matematica o 'itaiano sono 16, cioeá gi eementi di M [ I, aora sottraendo questo numero da queo degi aunni che fanno parte dea casse, otteniamo 4 che eá a souzione de probema. 150 Ad una festa di compeanno partecipano 35 ragazzi. Di questi 18 bevono spremuta di pompemo e 20 bevono aranciata. ra questi 10bevono entrambe e bibite. Visuaizza a situazione mediante i diagrammi di Euero-Venn e deduci quanti ragazzi non hanno bevuto acuna dee due bibite. 7Š 151 Una scuoa media superiore organizza due corsi di recupero, i primo di ingese a cui partecipano 30 studenti, i secondo di matematica a cui partecipano 36 aunni. Qua eá i numero totae degi aunni sapendo che tai corsi si svogono in orari diversi e che 16 aunni i frequentano entrambi? 50Š 152 Ad una festa ci sono 21 ragazze, di esse 6 indossano jeans, 9 cazano e baerine, 8 non indossano jeans e nemmeno cazano e baerine. Quante ragazze indossano i jeans con e baerine? 2Š 153 Un gruppo di 25 turisti viene sorpreso da un vioento acquazzone durante un'escursione; 5 di essi hanno una mantea impermeabie ma non 'ombreo, 8 hanno soo 'ombreo e 10non hanno neâ 'una neâ 'atro. Quanti turisti sono stati cosõá previdenti da portare sia a mantea impermeabie che 'ombreo? 2Š 292 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

56 154 Dei commessi di un grande negozio di abbigiamento, 15 sono addetti a reparto femminie, 14 a queo maschie e 5 possono servire in entrambi i reparti. Quanti sono in totae i commessi? 24Š 155 Da un'indagine compiuta tra i ragazzi di etaá compresa fra i 15 e i 18 anni eá risutato che i 10% non ha i ceuare, i 60% ha un ceuare di tipo A, i 42% ha un ceuare di tipo B. Se i ragazzi intervistati sono 1 500, quanti hanno due ceuari? 180Š 156 Aa festa de'uva che si tiene ogni anno nea piazza di un paese ci sono gare e divertimenti per tutti. Quei che attraggono maggiormente e persone sono a corsa nei sacchi, i tiro con 'arco, 'abero dea cuccagna. Si sa che: 200 persone si sono cimentate in tutte e tre e gare 60hanno soo tirato con 'arco 320hanno fatto soo a corsa nei sacchi 300 hanno fatto soo a corsa nei sacchi e sono saiti su'abero dea cuccagna in 300 hanno tirato con 'arco e sono saiti su'abero dea cuccagna 'abero dea cuccagna eá queo che ha avuto i successo maggiore, con 1400 persone compessivamente 410persone hanno tirato con 'arco in piazza sono arrivate 4000 persone. Ci chiediamo: a. quante persone hanno fatto a corsa nei sacchi b. quante hanno fatto una soa gara c. quante persone non hanno fatto gare d. quante hanno fatto ameno due gare. Indica con A 'insieme dee persone che hanno fatto a corsa nei sacchi, con B 'insieme di quee che hanno tirato con 'arco, con C 'insieme di cooro che sono saiti su'abero dea cuccagna. Con riferimento aa figura, indica in ogni zona i numero di persone che vi appartegono e che si possono dedurre dai dati de probema: i numero di eementi di A \ B \ C eá... i numero di eementi che fanno parte soo di B e non anche di atri insiemi eá... i numero di eementi che fanno parte soo di A e non anche di atri insiemi eá... Se 300 hanno fatto soo corsa nei sacchi e abero dea cuccagna, scrivi 300 nea zona rappresentata da A \ C B (in giao nea figura). Se compessivamente 300 persone hanno tirato con 'arco e sono saiti su'abero dea cuccagna, aora B \ C ha 300 eementi e quindi sono... e persone che appartengono a B \ C A (in verde) 1400 sono saiti su'abero dea cuccagna, quindi nea zona che riguarda soo C e non gi atri due insiemi devi inserire... eementi Anaogamente, se 410persone compessivamente hanno tirato con 'arco, ce ne saranno... che appartengono aa zona definita da A \ B C (in bu) Da utimo, se 4000 persone sono andate in piazza, quei che non hanno fatto gare dei tre tipi sono 4000 meno a somma di tutti i vaori inseriti nee diverse zone, cioeá... a: 870; b: 1180; c: 2170; d: 650Š 157 La maggior parte dei 1400 aunni di una scuoa frequenta abituamente a paestra, a bibioteca e 'aua computer. Di essi si sa che: Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 293

57 150hanno frequentato tutti e tre i ocai, 180hanno frequentato aua computer e paestra, 240hanno frequentato aua computer e bibioteca, 250hanno frequentato paestra e bibioteca, 650hanno frequentato 'aua computer, 400 hanno frequentato a paestra, 350hanno frequentato a bibioteca. Rappresenta a situazione con un diagramma di Euero-Venn e stabiisci: a. quanti aunni non hanno frequentato acuna dee tre sae b. quanti hanno frequentato soo a paestra c. quanti hanno frequentato soo 'aua computer. a: 520; b: 120; c: 380Š 158 Un fornitore di merende ad una scuoa di 300 aunni effettua una indagine per stabiire quae merce deve preparare. Egi trova che abituamente: 70prendono i panino a prosciutto 90prendono i panino a saame 100 prendono a brioche 40prendono sia i panino a prosciutto che queo a saame 30prendono sia i panino a prosciutto che a brioche 35 prendono sia i panino a saame che a brioche 10prendono tutte e tre e merende. Cacoa: a. quanti aunni mangiano soo i panino a prosciutto b. quanti aunni mangiano soo i panino a saame c. quanti mangiano soo a brioche. a: 10; b: 25; c: 45Š 159 Da un sondaggio effettuato sui 1200 studenti di una scuoa eá emerso che gi sport maggiormente seguiti sono cacio, paavoo e paacanestro. 320seguono tutti e tre gi sport 440si interessano di paacanestro e paavoo 360seguono cacio e paavoo 400 seguono cacio e paacanestro 40si interessano soo di cacio 500 seguono paavoo 600 seguono paacanestro. Determina quanti ragazzi seguono soo paacanestro e quanti soo paavoo. Quanti ragazzi si interessano di cacio e di paacanestro ma non di paavoo e quanti infine non hanno interesse verso nessuna di queste attivitaá sportive. 80,20,80,500Š 160 Da una indagine statistica condotta su un campione di 1000 famigie circa e oro vacanze in un particoare anno eá risutato che 300 sono state soo a mare in Itaia 100 soo in montagna in Itaia 430hanno fatto viaggi a'estero 130sono state sia a mare che in montagna che a'estero 20sono state a mare e a'estero ma non in montagna 50a'estero e in montagna ma non a mare 60a mare e in montagna ma non a'estero. Stabiisci: a. quante famigie non sono andate in vacanza b. quante sono state compessivamente a mare o in montagna c. quante non hanno fatto vacanze in Itaia in montagna. a: 110; b: 660; c: 790Š 294 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

58 LA LOGICA E GLI INSIEMI teoria a pagina 23 Comprensione 161 La negazione dea proposizione «In Lombardia a nebbia eá sempre fitta» eá: a. «In Lombardia a nebbia eá quasi sempre eggera» b. «In Lombardia non c'eá mai nebbia fitta» c. «In Lombardia a nebbia non eá sempre fitta» d. «In Lombardia quache vota non c'eá nebbia». 162 Componendo con un connettivo due proposizioni a e b si ottiene una terza proposizione c. Barra e casee giuste scegiendo fra quee eencate 'operazione ogica che soddisfa e richieste. a. rende c vera soo se a e b sono entrambe vere b. rende c fasa soo se a e b sono entrambe fase c. rende c fasa soo se a eá vera e b eá fasa d. rende c vera soo se a e b hanno vaori di veritaá diversi e. rende c vera se ameno una dee proposizioni a e b eá vera. _ ^ ^ ^ ^ ^ _!!!!! 163 Ne'impicazione a! b, si sa che b eá vera; aora a! b eá vera: a. soo se a eá vera b. soo se a eá fasa c. quaunque sia i vaore di veritaá di a d. mai 164 Nea coimpicazione a $ b, sisacheb eá fasa; aora a $ b eá vera: a. soo se a eá vera b. soo se a eá fasa c. quaunque sia i vaore di veritaá di a d. mai 165 Individua fra e seguenti e proposizioni aperte: a. «a, e, i, o, u sono vocai». b. «2x y ˆ 6». c. «x eá un numero intero». d. «3 > x». e. «y eá un'auto di marca straniera». f. «x eá primo con y». g. «7 3 ˆ 10». h. «36 eá mutipo di 3». i. «x 1 ˆ 5».. «x eá i compementare de'angoo y». 166 Di un enunciato aperto px si sa che ha come dominio A e come insieme di veritaá B. L'insieme di veritaá di px eá: a. C A B b. B A c. A 167 Due enunciati aperti px e qx hanno come insiemi di veritaá A e B. L'insieme di veritaá di: a. px _ qx eá: A \ B A [ B A B b. px ^ qx eá: A \ B A [ B B A c. px _ qx eá: A \ B A [ B A [ B 168 Indicato con A 'insieme dei numeri interi maggiori di 3, a scrittura simboica dea proposizione «tutti i numeri maggiori di 3 sono positivi» eá: a. 9x 2 A, x > 0 b. x > 3! x > 0 c. 8x 2 A, x > 0 d. x 2 A, x > Quai fra i seguenti enunciati sono veri: a. 9 x 2 N, x 3 ˆ 5 b. 69 x 2 Z, x < 0 1 c. 8 x 2 Q, x < x d. 8 x 2ftriangoi isosceig, x eá un triangoo rettangoo. 2 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 295

59 Appicazione 170 Stabiisci quai dee seguenti frasi sono proposizioni e di esse individua i predicato e gi argomenti: a. «7 eá un numero intero» b. «Gi itaiani pagano e tasse». c. «142 > 56». d. «Chiara e Andrea si sposano domani». e. «I coro ha cantato moto bene». f. «Sandokan eá un personaggio de I Promessi Sposi». 171 Dopo aver stabiito quai dee seguenti frasi sono proposizioni, individua i predicato e gi argomenti e determinane i vaore di veritaá. a. «Ne compito di matematica ho preso 6». b. «I ibro che mi hai dato eá beissimo». c. «Mia sorea si chiama Lucia». d. «I ibri di matematica sono interessanti». e. «13 8 ˆ 100». f. «3 eá positivo». g. «Spegni a teevisione quando esci». 172 Individua fra e proposizioni che seguono quee atomiche e quee moecoari. Di queste utime, stabiisci da quai proposizioni atomiche sono composte. a. «Piove e fa freddo». b. «Se 3 > 2, anche 6 > 4». c. «I treno parte». d. «Sono arrivato tardi e non ho potuto entrare». e. «7 > 10e 8 > 4 ma 5 < 9». f. «3 2 ˆ 5 ma 3 7 6ˆ 5». g. «L'inverno eá piuá freddo de'estate». h. «Agata Christie eá una scrittrice di ibri giai». i. «Questa sera aa teevisione c'eá un fim di fantascienza».. «Gi uccei eá un famoso fim di Hitchcock che ha vinto moti premi». m. «Se ne'emisfero nord eá inverno, in queo sud eá estate». La negazione 173 Scrivi a negazione dee seguenti proposizioni e indica i oro vaore di veritaá. a: «7eÁ un numero primo» b: «Un rettangoo ha quattro angoi retti» c: «2 3 ˆ 7» d: «a Terra eá un pianeta de sistema soare» 174 Quai significati puoá avere a proposizione: «non eá vero che non ho studiato nessuna pagina de capitoo di storia»? a. Che ho studiato acune pagine de capitoo. b. Che ho studiato tutte e pagine de capitoo. c. Che non ho studiato nessuna pagina de capitoo. 175 Considera a seguente proposizione p: «Maria e ranco verranno entrambi aa tua festa domani». Costruisci p. Supponi che p sia vera; quae dei seguenti casi puoá essere vero? a. «Maria verraá da soa aa festa». b. «ranco verraá da soo aa festa». c. «Ne Maria neâ ranco verranno aa festa». d. «Maria e ranco verranno insieme aa festa». La congiunzione e a disgiunzione 176 Consideriamo e seguenti proposizioni: a: «Luca ha comprato un ipod nano» b: «Marco possiede un ceuare di utima generazione» 296 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

60 Costruiamo e proposizioni a _ b, a _ b e a ^ b e stabiiamo in quai casi esse sono vere. n n n a _ b : «Luca ha comprato un ipod nano oppure Marco possiede un ceuare di utima generazione» La tavoa di veritaá dea disgiunzione incusiva ci dice che affincheâ a _ b sia V ameno una dee due proposizioni deve essere V; quindi potrebbe essere che: Luca abbia un ipod e Marco abbia un ceuare Luca abbia un ipod e Marco non abbia un ceuare Luca non abbia un ipod e Marco abbia un ceuare. Non puoá capitare che Luca non abbia un ipod e Marco non abbia un ceuare. a _ b «o Luca ha comprato un ipod nano oppure Marco possiede un ceuare di utima generazione» La tavoa di veritaá dea disgiunzione escusiva ci dice che affincheâ a _ b sia V una soa dee due proposizioni deve essere V; quindi potrebbe essere che: Luca abbia un ipod e Marco non abbia un ceuare Luca non abbia un ipod e Marco abbia un ceuare. Non puoá capitare che Luca non abbia un ipod e Marco non abbia un ceuare o che entrambi abbiano 'oggetto dichiarato. a ^ b : «Luca ha comprato un ipod nano e Marco possiede un ceuare di utima generazione» La tavoa di veritaá dea congiunzione ci dice che affincheâ a ^ b sia V entrambe e proposizioni devono essere V; i soo caso che puoá capitare eá quindi che: Luca abbia un ipod e Marco abbia un ceuare. 177 Considera e proposizioni a: «rancesca eá abbronzata» e b: «Maria ha i capei unghi», e supponi che siano entrambe vere. Scrivi in simboi e seguenti proposizioni e determinane i vaore di veritaá: a. «rancesca eá abbronzata e Maria non ha i capei unghi». b. «rancesca eá abbronzata e Maria ha i capei unghi». c. «rancesca non eá abbronzata e Maria ha i capei unghi». d. «rancesca non eá abbronzata e Maria non ha i capei unghi». 178 Date e proposizioni a: «18eÁ mutipo di 2», b: «18 eá mutipo di 3» e c: «18 eá mutipo di 8» esprimi a paroe e seguenti proposizioni e determinane i vaore di veritaá: a. a ^ b b. b _ c c. a ^ c d. b _ c. 179 Siano a: «sto navigando in Internet» (V), b: «sto scrivendo un sms con un ceuare» (), c: «sto dormendo» (). Esprimi a paroe e seguenti proposizioni e determinane i vaore di veritaá: a. a _ b b. b ^ c c. a ^ b d. a _ b ^c. 180 Date e proposizioni: a: «Mario ha gi occhi verdi» (V) b: «Mario ha i capei rossi» (V) scrivi in forma simboica e seguenti proposizioni e determinane i vaore di veritaá: a. «Mario ha gi occhi verdi e i capei rossi». b. «Mario non ha gi occhi verdi ma ha i capei rossi». c. «Non eá vero che Mario ha gi occhi verdi e i capei rossi». d. «O Mario ha gi occhi verdi o non eá vero che ha i capei rossi». e. «Mario ha gi occhi verdi ma non ha i capei rossi». Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 297

61 L'impicazione e a coimpicazione 181 Consideriamo a seguente proposizione: «Se scrivi una ettera ad Angea, sautamea tanto» Individuiamo e proposizioni atomiche che a compongono e riscriviamoa in forma simboica. Poiche ci sono due forme verbai, due sono anche e proposizioni atomiche: L'operazione ogica utiizza a particea se, si tratta quindi di una impicazione che, in forma simboica, possiamo scrivere: a! b. 182 Date e seguenti proposizioni a: «9eÁ mutipo di 3» e b: «12eÁ un numero pari» esprimi a paroe e seguenti proposizioni e determina i oro vaore di veritaá: a. a! b b. a! b c. a! b d. a! b e. a $ b 183 Siano a: «Titti eá un canarino giao», b: «Sivestro eá un gatto nero», c: «Sivestro vuoe mangiare Titti», esprimi a paroe e seguenti proposizioni e determina i oro vaore di veritaá supponendo che e tre proposizioni date siano vere: a. a! c b. a ^ b!c c. a! b d. c $ b e. a ^ b! c 184 Date e proposizioni tutte vere a: «gioco», b: «mi diverto», c: «studio», d: «imparo», esprimi a paroe e seguenti proposizioni e determinane i vaore di veritaá: a. a ^ d b. c! d c. c! a d. a _ c e. c ^ b! d 185 Anna afferma: "Se 1 1 ˆ 2 aora io sono una strega". Anna eá o non eá una strega? Siano a: «1 1 ˆ 2» e b: «io sono una strega» La proposizione a eá V e se Anna fa questa affermazione eá convinta che sia vera; aora b, in base aa tavoa di veritaá de'impicazione deve essere vera. Quindi Anna eá una strega. a b a! b V V V V V V V 186 Un poitico afferma: "Se tutti fossero onesti e pagassero e tasse, si potrebbero ridurre e aiquote". Supposto che sia faso che tutti i cittadini sono onesti e pagano e tasse, che cosa si puoá dire dea frase de poitico? 187 Paperino dice ao zio Paperone: "Se mi presti i tuo cent portafortuna, anch'io diventeroá ricco". Conoscendo o zio Paperone, Paperino non avraá mai a moneta portafortuna. E' possibie che Paperino diventi ricco? 188 Pippo dice a suo cane Puto: "Smetti di abbaiare o ti faccio scendere daa macchina". Se Puto non smette di abbaiare che cosa faraá Pippo? 298 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

62 Gi enunciati aperti e gi insiemi Nee proposizioni aperte degi esercizi che seguono, cacoa i vaore di veritaádi quanto richiesto. 189 p x : «x eá divisore di 20», cacoa p 3, p 7, p 10, p 5, p p x : «2< x < 5», cacoa p 1, p 3, p 8, p p x : «x eá minore di 10», cacoa p 6, p 10, p p x, y : «x y ˆ 3», cacoa p 1, 1, p 5, 2, p 2, 5, p 7, p x, y : «x y 2 ˆ 10», cacoa p 3, 2, p 6, 2, p 9, 1, p 3, 3, p 15, 5, p 1, p a, b, c : «a b c > 10», cacoa p 0,2,3, p 1, 5, 2, p 3, 3, 3, p 8, 0, 65, p 3, 1, Date e proposizioni p x : «x eá mutipo di 3» e q x : «x eá pari» entrambe di dominio N determina 'insieme di veritaá di p x ^q x edip x _ q x. Indichiamo con P 'insieme di veritaá di px e con Q queo di qx : P ˆ f0,3,6,9,12,::::::::::::: g Q ˆ f0,2,4,6,8,10,12,:::::::::::::: g Poiche i due insiemi hanno una intersezione non vuota, i diagramma di Euero-Venn corrispondente eá i seguente Di conseguenza: 'insieme di veritaá di px ^ qx eá P \ Q ˆ f0, 6, 12, 18, ::: g cioeá i mutipi di 6 'insieme di veritaá di px _ qx eá P [ Q ˆ fnumeri dispari che non sono mutipi di 3g 196 Dati gi enunciati aperti p x : «x ˆ 5n» eq x : «x ˆ 3n», con n 2 N ed entrambi definiti ne'insieme A ˆfx 2 N j 10 x < 100g, determina 'insieme di veritaá di p x ^q x. fx 2 A j x ˆ 15n, n 2 NgŠ 197 Sia D 'insieme dei poigoni di un piano e siano ax :«x eá un rettangoo», bx :«x eá un rombo» aventi per dominio D. Determina 'insieme di veritaá di: a. ax ^ bx b. ax ^ bx c. ax ^ bx 198 Dato 'insieme D ˆ fx 2 N j x < 10g, considera gi enunciati aperti ax, y : «y ˆ 3x» e bx, y : «y x ˆ 6» definiti in D D. Dopo aver determinato gi insiemi di veritaá di ax, y e bx, y, trova quei di: a. ax, y _ bx, y b. ax, y _ bx, y c. ax, y _ bx, y 199 Indicati con P e Q gi insiemi di veritaá di due proposizioni aperte p x e q x determina, servendoti dei diagrammi di Euero-Venn, gi insiemi di veritaá di: a. p x ^q x b. p x ^q x c. p x _q x Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 299

63 Nei seguenti diagrammi di Euero-Venn, e parti evidenziate con un tratteggio rappresentano 'insieme di veritaádi una proposizione aperta ottenuta da operazioni su atre proposizioni atomiche p x eqx. Individua: - e possibii proposizioni p x eqx - a proposizione composta che corrisponde a'insieme evidenziato I quantificatori Scrivi in inguaggio comune e seguenti proposizioni che usano i quantificatori x 2 {itaiani}, x eá nato in Piemonte x 2 Q, 3 x ˆ p 69 x 2 N, x ˆ Se A eá un insieme di persone: non 8x 2 A, x eá amico di Mario x 2 {cittadini itaiani che hanno piuá di 18 anni}, x ha diritto di voto x 2 Q, x 2 ˆ x 2 {punti di una retta orientata}, x corrisponde ad un numero intero x 2 {triangoi isoscei}, x non ha due angoi congruenti x 2 {paraeogrammi}, x ha e diagonai perpendicoari x 2 {paraeogrammi}, x ha e diagonai congruenti. Riscrivi in forma simboica i seguenti enunciati usando 'appropriato quantificatore. 214 Tutti i mutipi di 8 sono mutipi di Esistono numeri dispari che sono mutipi di C'eÁ ameno un numero primo che eá pari. 217 Non tutti i numeri primi sono dispari. 218 C'eÁ ameno un numero naturae che sommato a 5 daá Non esistono gatti che abbaiano. 300 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

64 220 ra i numeri naturai ce n'eá quacuno che eá un quadrato perfetto. 221 Ogni numero eevato a quadrato eá positivo. 222 Non tutti i numeri eevati a cubo sono positivi, ma ci sono dei numeri che eevati a cubo o sono. 223 ra tutti i poigoni di un piano ce n'eá quacuno che eá equiatero. 224 Per ogni poigono di area assegnata, esistono atri poigoni che hanno a stessa area. 225 Ogni numero naturae ha i suo successivo. 226 Dato un punto su una retta orientata ce n'eá sempre ameno uno che o segue e ameno uno che o precede. LE UNZIONI teoria a pagina 31 Comprensione 227 Una funzione eá una reazione fra due insiemi A e B che: a. ad un eemento di A associa un eemento di B b. ad un eemento di A associa un soo eemento di B c. ad ogni eemento di A associa uno ed un soo eemento di B d. ad ogni eemento di A associa ameno un eemento di B. 228 Rappresentano una funzione: a. e corrispondenze biunivoche b. e corrispondenze moti a uno che esauriscono 'insieme di partenza c. e corrispondenze univoche d. e corrispondenze moti a moti che esauriscono 'insieme di partenza. 229 Data una funzione f, a sua inversa eá certamente una funzione se: a. f eá una corrispondenza univoca b. f eá una corrispondenza biunivoca c. f eá una corrispondenza uno a moti d. f eá una corrispondenza moti a moti. 230 Se x 2 A e y 2 B, indica quai tra e seguenti sono funzioni da A verso B. a. In un esame: «x ha conseguito i voto y». b. In N: «y eá i successivo di x». c. In un insieme di persone: «x eá i nonno di y». d. In un insieme di persone: «x eá amico di y». 231 Una funzione si esprime con a reazione y ˆ x 2 1. Reativamente ae seguenti uguagianze, barra vero o faso: a. f 1 ˆ 2 V b. f 0 ˆ 1 V c. f 1 ˆ0 V d. f 2 ˆ3 V 232 Sono date e funzioni f x ˆ1 x e g x ˆ2 x. Reativamente ae seguenti uguagianze, barra vero o 2 faso: a. f g 1 ˆ 1 2 V b. gf 1 ˆ 3 2 V c. f g 0 ˆ 2 V d. gf 4 ˆ 0 V Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 301

65 233 Le seguenti reazioni sono tutte funzioni da A verso B che soddisfano e seguenti caratteristiche: ogni eemento di A ha una soa immagine in B; ogni eemento di B ha una soa controimmagine in A e 'insieme dee controimmagini coincide con A; non esistono eementi di A che non hanno immagine in B e non esistono eementi di B che non hanno controimmagine in A; ogni eemento di A ha una soa immagine in B e ogni eemento di B ha una soa controimmagine in A. Sono funzioni invertibii: a. tutte b. soo a ea c. a, a ea d. soo a 234 Date e funzioni f x ˆ3x e g x ˆx 2 1 entrambe definite in Z; a funzione f g eá uguae a: a. 3 x 2 1 b. 3x 2 1 c. 3x x 2 1 d. 3x x Date e funzioni g : x! x 1eh : x! x 2, a funzione f ˆ g h ha espressione: a. x 1 2 b. x 2 1 c. x 2 x 1 d. x 2 x 1 Appicazione 236 Individua quai fra e seguenti proposizioni aperte esprimono dee funzioni specificandone i tipo: a. «y eá a metaá di x» con x, y 2 Q b. «y eá 'importo dee tasse che x deve pagare» con x che appartiene a'insieme dei contribuenti e y 2 Q c. «y eá mutipo di x» con x, y 2 N d. «x eá a capitae di y» con x che appartiene a'insieme dee cittaá europee e y che appartiene a'insieme degi Stati europei. a. Ogni numero razionae x ha una soa metaá y e ogni numero y eá i corrispondente di un soo x; si tratta quindi di una funzione biiettiva. b. Ogni contribuente dovrebbe pagare a sua tassa, ma ci possono essere piuá persone che pagano uguai importi ed inotre non tutti i numeri razionai rappresentano una tassa da pagare; i codominio eá quindi un sottoinsieme di Q e si tratta di una funzione suriettiva in tae sottoinsieme. c. Ogni numero x ha infiniti mutipi e questa reazione non eá quindi una funzione. d. Non tutte e cittaá europee sono capitai deo Stato a cui appartengono; anche questa reazione non eá una funzione. 237 ra un insieme A e un insieme B eá stabiita una reazione R che ega i oro eementi. In quae dei seguenti casi R eá una funzione? a. ci sono eementi di A che non hanno immagine in B; b. tutti gi eementi di A hanno una soa immagine in B; c. tutti gi eementi di A hanno ameno una immagine in B; d. 'insieme dee controimmagini eá un sottoinsieme proprio di A. 238 Osserva i diagrammi dee seguenti figure. Quai fra e corrispondenze rappresentate sono funzioni? 302 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

66 239 Osserva a funzione rappresentata nea figura. Qua eá 'immagine di 1? E di 3? Qua eá a controimmagine di 6? 240 Osserva a figura. Eenca e coppie dea corrispondenza. Si tratta di una funzione? PercheÂ? 241 Ne'insieme A ˆ fx 2 N j 0 < x 8g eá definita a corrispondenza rappresentata ne seguente diagramma cartesiano. Dopo aver verificato che si tratta di una funzione stabiisci: a. qua eá 'immagine di 5 b. quai sono e controimmagini di 4 c. esistono eementi che non hanno controimmagini? 242 Trova i dominio dee seguenti funzioni, dove si suppone che x e y appartengano agi insiemi indicati. a. y ˆ x 2 con x, y 2 N b. y ˆ x 2 con x, y 2 N c. y ˆ 1 x con x, y 2 Q a. La funzione associa ad ogni numero naturae i suo quadrato. Poiche di ogni numero si puoá determinare i quadrato, che eá ancora un numero naturae, i dominio eá 'insieme N b. Affinche a sottrazione tra x e 2 dia come risutato un numero naturae, a variabie x deve assumere vaori maggiori o uguai a 2; i dominio di questa funzione eá quindi 'insieme A ˆfx 2 N j x 2g c. L'espressione 1 indica i reciproco de numero x; poicheâ ogni numero ha un reciproco, tranne o x zero, i dominio di questa funzione eá 'insieme A ˆfx 2 Q j x 6ˆ 0g. 243 a. y ˆ x 2 1 x, y 2 Z b. y ˆ x x 1 x, y 2 Q 244 a. y ˆ x 4 x, y 2 N b. y ˆ x 5 x, y 2 N 245 Dato 'insieme A, dominio dea funzione f indicata, determina i codominio. A ˆf1, 2, 3g f x ˆ3x 1, x 2 A Se x vae 1, i corrispondente vaore y vae 3 1 1, cioeá 4; se x vae 2, y vae 7; se x vae 3, y vae 10. I codominio eá dunque 'insieme f4, 7, 10g. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 303

67 246 A ˆf0,2,4,6g f x ˆ1 x 4, x 2 A A ˆf 3, 2, 0, 5, 6g f x ˆx 1, x 2 A 248 A ˆf 2, 1, 0, 1, 2g f x ˆ1 2 x2 3, x 2 A 249 A ˆf0,1,2,3,4g f x ˆ2x 2 1, x 2 A Determina quai dee seguenti figure rappresentano funzioni e individua poi quai sono invertibii. 250 Si tratta di una funzione percheâ... Le immagini di eementi distinti sono distinte percioá... I codominio non coincide con 'insieme B percioá Competa i diagramma cartesiano a ato in modo che a funzione da esso rappresentata sia invertibie. 258 Rappresenta con un diagramma cartesiano e seguenti funzioni: a. y ˆ 2x 1 con x 2 A, y 2 B, A ˆfx 2 N j 2 x 5g, B ˆfy 2 N j 0 y 10g b. y ˆ x 2 con x 2 A, y 2 B, A ˆfx 2 N j 0 x 3g, B ˆfy 2 N j 0 y 5g c. y ˆ 7 x con x 2 A, y 2 B, A ˆfx 2 N j 0 x 5g, B ˆfy 2 N j 2 y 7g 259 Data a funzione f : N f0g!z espressa daa reazione matematica y ˆ x2 5, stabiisci quai x fra i seguenti eementi hanno dee immagini ed eventuamente quai sono: a. x ˆ 1 f x ˆ::::: b. x ˆ 2 f x ˆ::::: c. x ˆ 3 f x ˆ::::: d. x ˆ 5 f x ˆ::::: e. x ˆ 8 f x ˆ::::: f. x ˆ 10 f x ˆ::::: 304 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

68 260 Considera 'insieme dee seguenti coppie ordinate x, y e verifica che a corrispondenza che associa x a y eá una funzione: 261 f 0,3, 1, 5, 2, 7, 3, 9, 4, 11, 5, 13, :::::g Sai trovare 'espressione y ˆ f x che esprime y in funzione di x? La reazione che associa ad ogni punto di una circonferenza a sua proiezione su una retta r ad essa esterna eá una funzione? Di che tipo? Osserva che ad ogni punto sua circonferenza, tracciando a perpendicoare a r, corrisponde un soo punto sua retta, ma che ad un punto sua retta corrispondono due punti sua circonferenza o nessun punto, quindi Una reazione tra due insiemi A e B definisce e coppie x 1, y 1 e x 2, y 2 con y 1 6ˆ y 2 e x 1 ˆ x 2 ;si tratta di una funzione? PercheÂ? I prodotto di funzioni 263 Sono date e funzioni f che ad ogni numero razionae associa i suo doppio e g che ad ogni numero razionae associa i suo quadrato. Costruiamo e funzioni f g e g f. La funzione f associa ad ogni x i suo doppio: x! 2x La funzione g associa ad ogni x i suo quadrato: x! x 2 I prodotto f g indica che prima si appica g e poi si appica f, quindi di un numero x prima si fa i quadrato e poi si cacoa i doppio di queo che si eá ottenuto: f g : x! 2x 2 I prodotto g f indica che prima si appica f e poi si appica g, quindi di un numero x prima si fa i doppio e poi si cacoa i quadrato di queo che si eá ottenuto: g f : x! 2x 2ˆ 4x Date e funzioni f e g indicate di seguito, trova e funzioni f g e g f : h i a. f : x! x 2 5 g : x! x 4 f g ˆ x 4 2 5; g f : x b. f : x! 9 x g : x! 2x 1 f g : x! 9 2x 1 ; g f : x! 29 x 1Š h i c. f : x! 3x 1 g : x! x 2 f g : x! 3x 2 1; g f : x! 3x 1 d. f : x! 3 2 x g : x! x2 1 " f g : x! x2 1 ; g f : x! 3 2 x Data a funzione f : N! N definita daa reazione y ˆ x 3 e a funzione g : N! Z definita daa reazione z ˆ y 20, eá possibie costruire a funzione k ˆ g f? si, z ˆ x 17Š Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 305

69 266 Date e funzioni f : x! x 5 e g : x! 3 x, verifica che i prodotto g f ed i prodotto f g non danno uogo aa stessa funzione composta. 267 Nea casse I B gi aunni sono tutti di statura diversa 'uno da'atro e 'insegnante di educazione fisica vuoe dispori in ordine crescente di atezza. Considera gi insiemi: A ˆfx j x eá un aunno dea I Bg B ˆfy j y eá i numero che esprime 'atezza degi aunni di I Bg C ˆfz j z eá i numero di posto nea fiag e e reazioni f : A! B definita da «x ha statura y» eg : B! C definita da «y corrisponde a posto z». Puoi dire che f e g sono funzioni? Se consideri a reazione k : A! C definita da «x occupa i posto z» puoi dire che k ˆ g f? si, siš 268 Ad una mostra canina vengono premiati gi esempari piuá bei per ciascuna razza fra quee presenti. Considera gi insiemi A ˆfx j x eá un cane presente aa mostrag B ˆfy j y eá i padrone di un caneg C ˆfz j z eá una medagia assegnatag. Le reazioni f : A! B definita da «y eá padrone di x» eg : B! C definita da «y vince a medagia z» sono funzioni? La reazione k : A! C definita da «x vince a medagia z» eá una funzione? Se si, puoi dire che k ˆ g f? f e una funzione, g noš 269 In uno stadio si sta disputando a finae dei 100 metri piani. Considera gi insiemi A ˆfx j x eá i numero di una corsiag B ˆfy j y eá un ateta che partecipa aa finaeg C ˆfz j z eá i posto nea cassifica dea corsag e e reazioni f : A! B definita da «y corre nea corsia x» eg : B! C definita da «y si eá cassificato a posto z», f e g sono funzioni? Che cosa puoi dire di k ˆ g f? entrambe funzioni, g f : A! CŠ Esercizi per o sviuppo dee competenze 1 Uno studio effettuato su un campione di 100 abitanti ha riveato che in una grande cittaá gi spostamenti avvengono ne modo seguente: 10si spostano soo a piedi 30usano soo a macchina 10usano i mezzi pubbici o si spostano a piedi 5 si spostano indifferentemente nee tre modaitaá (piedi, mezzi o macchina) 15 usano soo i mezzi 50usano soo i mezzi o i mezzi combinati con un'atra modaitaá di spostamento. Rappresenta a situazione mediante opportuni insiemi e cacoa: a. quanti usano macchina e mezzi pubbici 20Š b. quanti si spostano in macchina e a piedi. 10Š 2 Un magazzino di bottigie d'acqua eá cosõácomposto (esiste soo acqua frizzante o naturae, in bottigie di pastica o di vetro): 500 bottigie di acqua naturae 600 bottigie di vetro 1000 bottigie totai 200 bottigie in pastica di acqua frizzante. 306 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

70 Rappresenta a situazione mediante opportuni insiemi e cacoa: a. quante bottigie in vetro di acqua naturae ci sono 300Š b. quante bottigie in vetro di acqua frizzante ci sono 300Š c. quante bottigie in pastica di acqua naturae ci sono 200Š d. quante bottigie in pastica ci sono. 400Š 3 In un grande abergo, a pranzo, i 110cienti si comportano ne modo seguente: 40prendono soo i secondo 10prendono primo, secondo e doce nessuno prende soo i doce i doce o prendono in 28 secondo e doce o prendono in 25 i secondo o prendono in 95. Cacoa: a. quanti prendono soo i primo 12Š b. quanti primi bisogna preparare 55Š c. quanti prendono soo primo e doce. 3Š 4 Di un gruppo di 81 ragazzi si sa che: 10femmine praticano nuoto 20fra maschi e femmine praticano soo tennis 2 femmine praticano sia tennis che nuoto 5 maschi praticano sia tennis che nuoto 15 maschi praticano soo tennis 30maschi praticano tennis, nuoto o entrambi. Sapendo che i numero di maschi che non praticano neá tennis neá nuoto eá o stesso di queo dee femmine, cacoa: a. quanti maschi praticano soo nuoto 10Š b. quante femmine praticano soo nuoto 8Š c. quanti maschi non praticano neá tennis neá nuoto 18Š d. quante femmine ci sono ne gruppo considerato. 33Š 5 Siano A 'insieme dei ibri di Mario, B 'insieme dei ibri che Mario ha etto (anche senza possederi) e C 'insieme dei ibri di Mario che Mario ha prestato a Luca. Dopo aver rappresentato a situazione con un diagramma di Euero-Venn, individua mediante notazione insiemistica: a. i ibri di Mario che Mario ha etto b. i ibri non suoi che Mario ha etto c. i ibri che Mario ha prestato a Luca senza averi etti d. i ibri di Mario che Mario non ha neá etto neá prestato a Luca. A \ B, B A, C B, A B CŠ 6 Se A eá 'insieme degi abitanti dea Toscana, B queo degi abitanti dea Lombardia e C queo degi itaiani con meno di quarant'anni, rappresenta con a notazione insiemistica: a. toscani o ombardi b. toscani con meno di quarant'anni c. toscani con piuá di quarant'anni d. toscani o ombardi con piuá di quarant'anni. A [ B, A \ C, A C, A [ B CŠ 7 Anna, Beatrice, Cara e Daniea sono state invitate ad una festa e ciascuna di esse decide se partecipare o meno in base ae seguenti considerazioni: 1. Cara partecipa aa festa se non partecipa Anna. 2. Beatrice partecipa aa festa se partecipa anche Anna. Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 307

71 3. Anna decide di andare sicuramente. 4. Daniea partecipa se e soo se partecipano anche Beatrice e Cara. Quai fra e ragazze andranno aa festa? Indichiamo con 'iniziae corrispondente a nome dea ragazza a proposizione che indica che essa partecipa aa festa, con a stessa ettera soprassegnata a proposizione che indica che essa non partecipa aa festa. Ad esempio: A: Anna partecipa aa festa A: Anna non partecipa aa festa. Con questa notazione, e condizioni precedenti possono essere cosõá formuate: 1. A! C 2. A! B 3. A 4. D $ B^C La 1. eá sempre vera percheâ A eá fasa; a 2. eá vera soo se anche B eá vera; rimane aora da stabiire in quai casi a 4. eá vera con B vera. Ecco a tabea: I casi in cui tutte e proposizioni sono verificate (vaore di veritaá V) sono due e corrispondono ae seguenti possibiitaá: a. aa festa partecipano tutte e quattro e amiche b. aa festa partecipano Anna e Beatrice. B C D D $ B ^ C V V V V V V V V V V 8 Tre fratei Matteo, Luigi e iippo decidono che ciascuno daraá una somma in beneficenza se si verificano e seguenti condizioni: 1. Matteo daraá in beneficenza a somma se non a daraá Luigi. 2. iippo non daraá in beneficenza a somma se e soo se Matteo non o faraá. 3. Luigi daraá in beneficenza a somma se a daraá Matteo. 4. Matteo non daraá in beneficenza a somma se a daranno Luigi e iippo. Quai fratei offriranno quacosa in beneficenza? [Luigi] 9 Aberto, Bruno, Caudio e Dario vengono invitati ad un pic-nic in campagna ma accettano 'invito a queste condizioni: a. Caudio non vuoe partecipare se non partecipa Aberto. b. Bruno partecipa soamente se non eá i soo. c. Aberto non partecipa se non partecipano anche Bruno e Caudio. d. Se Caudio non partecipa, aora partecipa Aberto ma non Dario. I giorno dea festa Caudio eá presente a pic-nic. Sapresti dire quai atri ragazzi de gruppo sono sicuramente presenti? ra e indicazioni date, ce n'eá quacuna superfua? Aberto, Bruno; c:š IL CAPITOLO SI COMPLETA CON: ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO E PER LE ECCELLENZE VERIICA INTERATTIVA 308 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

72 Test inae 1 Stabiisci se sono vere o fase e seguenti affermazioni. a. Le cassi che aa seconda ora de unedõá hanno educazione fisica formano un insieme. b. Se un insieme ha 8 eementi, ogni suo sottoinsieme proprio ha un numero di eementi variabie da 0 a 8. c. Se un insieme ha 5eementi, ogni suo sottoinsieme ha un numero di eementi variabie da 0 a 5. d. Se B A, esiste ameno un eemento di A che non appartiene a B. 0,25punti per ogni risposta V V V V 2 Stabiisci se sono vere o fase e seguenti affermazioni. a. Se A \ B ˆ B aora B A. b. Se A [ B ˆ B aora B A. c. Se A ha 5eementi e B ha 8 eementi, aora B A ha ameno 3 eementi. d. Se A ha 6 eementi e B ha 10 eementi, aora A [ B ha 16 eementi. 0,25punti per ogni risposta V V V V 3 Sono dati gi insiemi A ˆfx 2 N j x 3g e B ˆfy 2 N j y 5g. Dopo aver costruito i prodotto A B, indica quante sono e coppie x, y per e quai: a. x < y b. x ˆ y c. x y ˆ 20 0,5punti 4 Rappresenta prima per eencazione e poi con un diagramma di Euero-Venn gi insiemi A ˆ x j x e una ettera dea paroa farmacista e B ˆ x j x e una ettera dea paroa farmacia Stabiisci poi quae reazione esiste fra essi. 0,5punti 5 Dati gi insiemi A ˆ fx 2 N j x 3g, B ˆ fx 2 N j x 2g, C ˆ fx 2 N j 4 x 10g, cacoa: a. A [ B \ C b. A \ B \ C c. A \ C [ B 0,5punti per ogni esercizio 6 In un gruppo di 60 ragazzi, 20 non hanno neâ i motorino neâ a bicicetta, 10 hanno a bicicetta e 3 di questi hanno anche i motorino. Quanti ragazzi hanno i motorino e quanti hanno soo i motorino e non a bicicetta? 1 punto 7 Siano P, T e S rispettivamente gi insiemi degi studenti di una scuoa che giocano a paone, giocano a tennis, sciano; di tai insiemi si sa che: gi studenti che praticano ameno uno sport sono 233 gi studenti che giocano a paone ma non sciano sono 90 gi studenti che sciano ma non giocano neâ a tennis neâ a paone sono 63 gi studenti che giocano soo a tennis sono 35 gi studenti che giocano a paone e a tennis ma non sciano sono 8 gi studenti che sciano ma non giocano a paone sono 78 gi studenti che praticano tutti e tre gi sport sono 12. Cacoa: a. quanti studenti giocano soo a paone b. quanti studenti giocano a paone e sciano ma non giocano a tennis c. quanti compessivamente giocano a ciascuno dei tre sport. 0,5punti per ogni risposta Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 309

73 8 Date e proposizioni a : «Giuia eá iscritta aa facotaá di egge» (V); b : «Giuia studia moto» (), costruisci ne inguaggio comune e seguenti proposizioni e determina i oro vaore di veritaá: a. a ^ b b. a _ b c. a! b d. b! a. 1 punto 9 Considerata a funzione espressa daa reazione y ˆ 2x 3, con x e y numeri naturai, competa e seguenti proposizioni: a. i dominio dea funzione eá 'insieme D ˆ f:::::::::::::::: g b. 'immagine di 4 eá... c. 'immagine di 10 eá... d. a controimmagine di e. a controimmagine di 7 eá... 1 punto 10 Date e funzioni f : x! 3x e g : x! x 1, trova e funzioni f g e g f. 1 punto S ouzioni 1 a. V; b. ; c. V; d. V 2 a. V; b. ; c. V; d. 3 a. 14; b. 4; c. 0 4 A ˆ f, a, r, m, c, i, s, t ; B ˆ f, a, r, m, c, i ; B A 5 a. C; b. 1; c. B 6 33, 30 7 a. 82; b. 18; c. paone: 120; tennis: 70; sci: a. V; b. ; c. ; d. 9 a. D ˆ x 2 N j x 2 ; b. 5; c. 17; d. non esiste; e f g : x! 3 x 1 ; g f : x! 3x 1 Esercizio Punteggio Vautazione in decimi 310 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

74 & MATEMATICA SCIENZE L'acqua su pianeta Terra La quantitaá di acqua presente su nostro pianeta eá enorme; i suo voume eá pari a queo di una sfera di circa 3000 km di diametro (poco meno de diametro dea Luna). L'acqua che si trova sua Terra eá peroá soo per i 2,5% acqua doce e per i 97,5% acqua saata. L'acqua doce proviene dae acque sotterranee, da'umiditaá contenuta ne'atmosfera e dai ghiacciai, si trova nei aghi, nei fiumi e negi stagni; 'acqua saata si trova negi oceani e nei mari. La distribuzione dee acque eá rappresentata nea seguente figura. Rappresenta a situazione dea distribuzione dee acque con un diagramma di Euero-Venn e rispondi ae domande. 1. Qua eá 'insieme universo? [insieme dee acque] 2. Le acque doci e saate costituiscono una partizione de'insieme dee acque? [si] 3. Le acque dei fiumi e dei aghi si possono considerare un sottoinsieme di quai atri insiemi? [insieme dee acque, insieme dee acque doci] 4. Da quae insieme eá rappresentata 'intersezione dee acque doci e di quee saate? 1Š Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 311

75 MATEMATICA DELLA VITA QUOTIDIANA 1. Le eezioni degi organi scoastici A scuoa si sono appena svote e eezioni dei rappresentanti di casse. In una casse si erano candidati quattro studenti: Coombo Angeica, Russo Eeonora, erri abrizio e Rusconi abio. I due scrutatori, che hanno eseguito o spogio dei voti, hanno dovuto dichiarare nue 6 schede. Considerando comunque compessivamente tutti i voti, sia quei vaidi che quei nui, sono risutati i seguenti conteggi: Eeonora eá stata votata da 12 studenti Angeica da 6 abio da 11 abrizio da 3 2 studenti hanno votato sia per Angeica che per Eeonora 1 studente per Angeica e abio 1 per Eeonora e abrizio 2 per Angeica e abrizio nessuno ha votato contemporaneamente per Eeonora e abio. Rispondi adesso ae domande. a. Chi eá stato eetto rappresentante di casse e con quanti voti vaidi? [Eeonora: 9 voti; abio: 10voti] b. Considerando soo i voti vaidi, c'eá quacuno che non ha avuto preferenze? [abrizio] c. Ci sono state schede nue che portavano come preferenze abio e abrizio? [no] d. Se tutti quei che hanno votato per Angeica avessero trasferito i oro voto a abrizio, a situazione sarebbe cambiata? [no] e. Se tutti erano presenti aa votazione, quanti studenti ci sono nea casse? [26] 2. I corso di teatro ranco e Anna sono due ragazzi che, come te, frequentano i primo anno di una scuoa superiore. Nea scuoa che frequentano, ogni anno si organizza un corso di teatro aa fine de quae viene rappresentata una commedia. I due ragazzi sono i registi e devono assegnare e parti ai tre protagonisti che sono: un commissario di poizia incaricato di indagare su'omicidio di un noto scrittore, a mogie deo scrittore e un amico, entrambi sospettati di aver commesso i deitto. Dopo e prime audizioni vengono seezionati: Andrea e Luca per a parte de commissario Lucia, Angea e Marta per a parte dea mogie iippo e Matteo per a parte de'amico. In quanti e quai modi si possono formare e terne di personaggi? [12] ULTERIORI COLLEGAMENTI 312 Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni

76 gare di matematica ULTERIORI GARE 1 In un gruppo di 100 persone, 70 parano ingese, 45 spagnoo, 23 sia ingese che spagnoo. Quante di oro non parano neâ ingese neâ spagnoo? a. 8 b. 25 c. 30 d. 55 e. 77 a: Š 2 Ad una competizione internazionae partecipano 600 ragazzi provenienti da 100 paesi diversi e da ogni nazione provengono 6 ragazzi. I giorno prima dea gara si organizza un rinfresco in un enorme saone a cui partecipano tutti i concorrenti. Ciascuno fa a conoscenza di tutti gi atri (ad eccezione dei suoi connazionai che conosce giaá) stringendo oro a mano. Quante sono e strette di mano? a b c d e b: Š 3 Tra i 200aunni di una scuoa, 150hanno partecipato ad una gara di chimica e 150hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato ad entrambe e gare? a. 70 b. 80 c. 120 d. 130 e. non eá possibie determinarne i numero in base ai dati de probema. e: Š 4 Nea casse di Jacob ci sono 27 aunni. Tutti tranne ui si sono iscritti ad ameno una dee attivitaá proposte daa scuoa i unedõá pomeriggio (musica) e i mercoedõá pomeriggio (sport): 15 aunni fanno musica e 18 fanno sport. Quanti aunni frequentano entrambe e attivitaá (musica e sport)? [7] Theory on page 37 CLIL 1 Let U ˆfnatura numbersg, A ˆf2, 4, 6, 8, 10g, B ˆf1, 3, 6, 7, 8g. State whether each of the foowing is true or fase: a. 2 2 A b B c. 4 =2 B d. A U e. A ˆfeven numbersg T T T T T [a. T, b., c. T, d. T, e. ] 2 Let U ˆfa, b, c, d, e, f, g, hg, A ˆfc, f g, B ˆfa, c, d, e, f, hg, C ˆfc, d, hg. a. Draw a Venn diagram, showing these sets with a the eements into the appropriate regions. b. Which of sets A, B and C are proper subsets of others? Write your answer using the symbo. c. Is it True or ase that A and C are disjoint sets? b: A U; A B; B U; C U; C B; c: Š 3 Given f x ˆ x 2 3 and g x ˆ x 1, which of the foowings is g f? a. x 2 2x 2 b. x 2 2x c. 2x 2 d. x 2 2 e. 2x 2 2x 2 [d.] MORE EXERCISES Cap. 1: Insiemi, ogica e funzioni 313