Solidi a sezione variabile

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1 Solidi a sezione variabile Nelle costruzioni di macchine è frequente l uso di corpi sollecitati a trazione o a compressione, che presentano sezioni variabili in modo graduale o brusco. Nei corpi le cui sezioni variano con gradualità, le tensioni si distribuiscono in modo uniforme in ogni sezione; tuttavia, poiché le sezioni hanno aree differenti, le tensioni assumono valori diversi da sezione a sezione (4Fig. 2.5). Pertanto, la sezione pericolosa da verificare a resistenza è quella che ha l area minore. Fig. 2.5 Solido a sezione gradualmente variabile, sollecitato a trazione. Nei corpi che presentano intagli o brusche variazioni di sezione, le tensioni non si distribuiscono in modo uniforme, ma si concentrano nelle sezioni S prossime alla discontinuità (4Fig. 2.6). Quindi, al contorno della sezione ristretta S, la tensione massima σ max è mag giore della tensione nominale σ n che si avrebbe con una distribuzione uni forme; il suo valore è espresso dalla seguente formula: σ max = K t σ n [2.11] in cui K t, detto fattore teorico di concentrazione delle tensioni per effetto di intaglio, o semplicemente fattore di intaglio teorico, è un coefficiente numerico che dipende dalla forma ma non dalle dimensioni del corpo in esame. I valori di K t sono riportati dai manuali tecnici. Nei diagrammi rappresentati nella figura 1.22 sono riportati, come esempio, i valori di K t per due forme di corpi cilindrici che ricorrono di frequente nelle costruzioni meccaniche. Osservazione: poiché i valori sperimentali di K t sono dedotti in campo perfettamente elastico, i materiali fragili, che arrivano a rottura senza quasi presentare deformazioni plastiche, sono molto sensibili al fenomeno della concentrazione delle tensioni. I materiali metallici duttili invece, nel caso di sollecitazioni statiche, non risentono di tale fenomeno, quindi si può considerare K t = 1. Anche la ghisa grigia, pur essendo un materiale fragile, non risente del fenomeno della concentrazione delle tensioni, poiché sulla resistenza a trazione influisce già negativamente la sua struttura a lamelle. 1

2 Fig. 2.6 Andamento delle tensioni lungo il bordo della sezione prossima alla discontinuità per: a) un corpo cilindrico a sezione circolare con intaglio; b) un corpo cilindrico a sezione circolare con brusca variazione di sezione, cioè a due diametri raccordati. Fig. 2.7 a) Pilastro soggetto alla forza di compressione N e al proprio peso. b) Profilo di un pilastro dimensionato a uniforme resistenza. La verifica di resistenza consiste nel constatare che sia soddisfatta l equazione di stabilità: K t σ n σ ams [2.12] Influenza del peso dei corpi nel calcolo della tensione Nei calcoli di progetto, quando le dimensioni di un corpo sono rilevanti, ol tre alle forze esterne si deve tenere conto anche del suo peso. Si consideri, per esempio, il pilastro rappresentato nella figura 2.7a, sottoposto alla forza di compressione N, applicata alla sezione libera. 2

3 La generica sezione S, posta alla distanza z dall estremo libero, è soggetta alla forza N, data dalla forza di compressione N z e dal peso della parte di pilastro che si trova sopra di essa. Supponendo di realizzare il pilastro a sezione costante di area A, la forza N z, a cui esso è sottoposto, vale: N N g A z z = + ρ [2.16] in cui A rappresenta l area della sezione alla distanza z dalla sezione libera, ρ indica la massa volumica del materiale che costituisce il pilastro, g è l accelerazione di gravità e il termine (ρ g A z) rappresenta il pe so della parte di pilastro sopra la sezione S. La conseguente tensione indotta nella sezione S vale: σ z N = + ρ g z [2.17] A Come si può notare, la tensione aumenta dal valore minimo N/A nella sezione libera (z = 0), al valore massimo: N + ρ g h A nella sezione di incastro (z = h). Poiché si è supposto il pilastro a sezione costante, il suo dimensionamento è effettuato imponendo che la tensione massima, relativa alla sezione di incastro, sia minore o uguale alla tensione ammissibile statica (equazione di stabilità), pertanto si ha: N A + ρ g h σ [2.18] ams da cui si ricava il valore dell area della sezione: A σ ams N ρ g h [2.19] Realizzando il pilastro a sezione costante, tutte le sezioni, tranne quella di incastro, risultano sovradimensionate. Per un utilizzo più razionale del materiale, si ricorre al dimensionamento a uniforme resistenza, ossia si progetta in modo che in ogni sezione trasversale, con area crescente in funzione della distanza z, la tensione indotta sia costante e uguale alla tensione ammissibile. Imponendo la condizione che la tensione indotta σ z nella sezione S, di area A z posta alla distanza z dalla sezione libera, sia uguale alla tensione ammissibile, si ottiene: N σ z = + ρ g z = σ A z ams 3

4 da cui si ricava: A z = σ ams N ρ g z [2.20] La [2.20] esprime una relazione iperbolica fra le aree A z delle sezioni e le distanze z; pertanto l area delle singole sezioni aumenta dalla sezione libera a quella di incastro e assume la forma rappresentata nella figura 2.7b. Fig a) Corpo ad asse curvo. b) Sezione trasversale rettangolare. c) Distribuzione delle tensioni nella sezione trasversale. Solidi a sezione variabile bruscamente soggetti a sollecitazioni di flessione Come già osservato per le sollecitazioni di trazione, i corpi costituiti da ma teriali fragili e che presentano rapidi cambiamenti di sezione subiscono il fenomeno della concentrazione delle tensioni, per cui la tensione mas sima nella zona prossima al cambiamento di sezione vale: σ max = K M t W dove il fattore di intaglio teorico K t è ricavato da diagrammi come quelli indicati nella figura 1.22, riportati dai manuali tecnici. I materiali duttili, invece, nel caso di sollecitazioni statiche non risentono di tale fenomeno, per cui non è necessario tenere conto della concentrazione delle tensioni. Flessione di corpi ad asse curvo Vi sono organi meccanici ad asse curvo, detti a grande curvatura, il cui raggio di curvatura è di poco maggiore della dimensione della sezione trasversale nel piano dell asse stesso (4Fig. 2.14). f f 4

5 poliglotta Fattore di curvatura GB: Bending factor F: Facteur de courbure D: Krümmungsfaktor Fig Diagramma del fattore di curvatura K c, per corpi ad asse curvo con sezione rettangolare o circolare. Per questi corpi le deformazioni delle fibre sono proporzionali alla loro distanza dall asse neutro, ma avendo diversa lunghezza proprio a causa della curvatura, non sono tali le loro deformazioni relative ε (rapporto fra la variazione di lunghezza e la lunghezza iniziale); ne consegue che anche le tensioni hanno una distribuzione più complessa di quella delle travi ad asse rettilineo e presentano il valore massimo dalla parte della concavità. L asse neutro n non è baricentrico, pertanto, per rendere uguali le tensio ni nelle fibre dalla parte della concavità con quelle dalla parte della convessità, è conveniente adottare sezioni che abbiano il baricentro più vicino al lato della concavità, come per esempio i ganci. La tensione massima che si genera dalla parte della concavità è data dal prodotto della tensione, corrispondente a una trave ad asse rettilineo, per un parametro K c detto fattore di curvatura: σ max = K M f c Wf [2.48] Il fattore di curvatura può essere ricavato dal diagramma della figura 2.15, in cui è riportato l andamento di K c in funzione del rapporto fra il raggio di curvatura R e l altezza h della sezione, se la sezione è rettangolare, o del rapporto fra il raggio di curvatura R e il diametro d, se la sezione è circolare. Si può ottenere il fattore di curvatura anche mediante le seguenti formule approssimate: h Kc = 1+ 0, 4 R [2.49] e: d Kc = 1+ 0, 5 R [2.50] Esempio Si consideri un corpo ad asse curvo a sezione rettangolare mm, con la dimensione maggiore nel piano che contiene l asse del corpo. Calco lare il valore della tensione massima generata da un momento flettente M f = N mm, sapendo che il raggio di curvatura dell asse è R = 30 mm. 5

6 Soluzione La tensione massima nominale vale: n σ max = Mf Mf W = = = f 2 bh N mm 2 Poiché R/h = 1,5, dal diagramma della figura 2.15 si ricava il valore del fattore di curvatura K c = 1,28; quindi la tensione massima effettiva che si ha dalla parte della concavità vale: f σ max = K M c = 1, = 288 W Mediante la [2.49] il fattore di curvatura vale: f h Kc = 1+ 0, 4 1, 27 R si ottiene la tensione massima effettiva: σ max = K M c = 1, W che è simile al valore precedente. f f N mm 2 N mm 2 Solidi a sezione variabile bruscamente soggetti a sollecitazioni di torsione Anche i corpi soggetti a torsione risentono delle variazioni di sezione e subiscono il fenomeno della concentrazione delle tensioni. La tensione massima τ max, nella zona prossima al cambiamento di sezione, è tanto più grande rispetto a quella nominale, deducibile dalla [2.70], quanto più ridotto è il raggio di raccordo e quanto più grande è il cambiamento di diametro; essa vale: τ max = K M t W t t [2.76] in cui il fattore di intaglio teorico K t si ricava da diagrammi come quel li indicati nella figura 1.22 (4A1), riportati dai manuali tecnici. Tut tavia, queste concentrazioni delle tensioni sono poco dannose per ma teriali duttili soggetti a carichi statici; sono invece pericolose per materiali fragili. Travi a sezione non circolare soggette a torsione Le ipotesi di deformazione, sulle quali si basa lo studio della sollecitazio ne di torsione nelle travi a sezione circolare, non sono valide nel caso di se zioni di forma differente. Tali sezioni, infatti, durante la deformazione non rimangono piane, inoltre si deformano nel proprio piano (si in gob ba no per così dire). Data la complessità della 6

7 teoria alla base dei calcoli, so no riportati di se guito i principali risultati riguardanti le tensioni tangenziali massime in alcune sezioni utilizzate nelle costruzioni mecca ni che. Sezione rettangolare Fig Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ in una sezione rettangolare di lato maggiore a e lato minore b. Tabella 2.3 Nella figura 2.25 è rappresentata parzialmente la distribuzione della tensione tangenziale, lungo le mediane e le diagonali di una sezione rettangolare. La tensione è nulla al centro G (o in corrispondenza del baricentro G) e negli spigoli; nei punti mediani P e P' dei lati maggiori si ha il valore massimo della tensione τ max, mentre nei punti medi Q e Q' dei la ti minori si hanno tensioni elevate, ma non massime. Lungo le diagonali la tensione cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi diminuisce, an nullandosi ai vertici. ' Il valore della tensione massima, nei punti P e P' è dato dalla seguente relazione: τ max = Mt α 2 [2.79] ab in cui α è un fattore che dipende dal rapporto a/b fra i lati della sezione e che assume i valori indicati nella tabella 2.3, calcolati da De Saint Venant. Coefficienti α e γ per alcuni valori del rapporto fra il lato maggiore a e quello minore b di una sezione rettangolare a/b 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 3,0 4,0 5, α 4,804 4,57 4,48 4,40 4,33 4,27 4,21 4,16 4,07 3,74 3,55 3,43 3,20 3,10 γ 7,114 6,02 5,65 5,35 5,11 4,91 4,74 4,60 4,37 3,80 3,56 3,43 3,20 3,10 Si osservi che per a/b 4, si ha α = γ. Il valore di α può essere ricavato anche con la seguente espressione ap pros simata: b α = 3 + 1, 8 [2.80] a ' 7

8 Per la sezione rettangolare, il modulo di resistenza a torsione W t si espri me come: 2 ab Wt = [2.81] b 3 + 1, 8 a Nei punti medi Q e Q' dei lati minori, il valore della tensione τ 1 è dato dalla seguente relazione: τ Mt = β ab 1 2 dove il fattore β, funzione del rapporto a/b, si ricava dalla relazione: b β = 2, 2 + 2, 6 a [2.82] [2.83] Per la sezione quadrata (a/b = 1), il valore della tensione τ 1 diminuisce, passando da τ 1 = τ max al valore: 0,742 τ max per a/b 4 L angolo di torsione ϑ, che si genera fra due sezioni poste alla distanza l, si esprime mediante la seguente relazione: Mt l ϑ = γ 3 [2.84] G ab in cui il fattore γ, detto fattore di torsione, è un altro coefficiente numerico, funzione del rapporto a/b, che può essere ricavato dalla tabella 2.3 o dalla seguente formula approssimata: Sezione ellittica γ = a 3 b a 0, 63 b [2.85] Indicando con a e b rispettivamente il semiasse maggiore e quello minore dell ellisse, la tensione è massima nei punti estremi dell asse minore (4Fig. 2.26). Il valore della tensione massima è: τ max = 2 Mt π ab 2 Il modulo di resistenza a torsione, per la sezione ellittica, vale: ab Wt = π 2 2 [2.86] [2.87] 8

9 Fig Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ in una sezione ellittica di semiasse maggiore a e semiasse minore b. Nei punti estremi dell asse maggiore, la tensione si esprime con la seguente formula: τ 1 = b τ a max [2.88] L angolo di torsione ϑ, che si genera fra due sezioni poste alla distanza l, è dato dalla relazione: 2 2 Sezione anulare di piccolo spessore a + b Mt l ϑ = 3 3 [2.89] a + b π G Si consideri una sezione anulare cava, con contorno di forma qualunque e spessore s, costante o variabile. Se lo spessore è piccolo rispetto alle dimen sioni della sezione, la tensione è uniforme nei suoi vari punti. Nella figura 2.27a è rappresentato il caso con spessore variabile. Le tensioni maggiori sono concentrate nei punti A e B, dove si ha lo spessore mi nore s 0. Si dimostra che la capacità di resistenza alla torsione della se zio ne considerata è uguale a quella di una corona circolare, di spessore s 0 e diametro medio d m, che racchiude una superficie di area uguale a quella racchiusa dal contorno medio della sezione assegnata (4Fig. 2.27b, c). Pertanto, tracciata la linea media l m, fra il contorno esterno e quello interno della superficie in esame, si calcola l area A m da essa racchiusa e si disegna la corona circolare di diametro medio d m, che racchiude una superficie di uguale area A m. La corona circolare ha le seguenti caratteristiche: d m Am = 4 π ; d = d + s ; d = d - s e m 0 i m 0 9

10 Fig a) Sezione anulare cava, con contorno chiuso di forma qualunque e spessore s variabile da s 0 a s 1. b) Superficie di area A m racchiusa dal contorno medio l m fra i due contorni, esterno e interno, della sezione assegnata. c) Sezione circolare cava, il cui diametro medio d m racchiude una superficie di area uguale a quella racchiusa dal contorno medio l m della sezione assegnata. La tensione tangenziale massima vale: Mt τ max = A s 2 m 0 e il modulo di resistenza a torsione W t risulta: ( ) [2.90] π 3 4 Wt = de 1 χ 2 Am s0 [2.91] 16 con χ = d i /d e. Nel caso di spessore s costante, il valore dell angolo di torsione che si ge nera fra due sezioni poste alla distanza l è: Sezioni a contorno aperto ϑ = M t l m 4G A s l 2 [2.92] Appartengono a questa categoria le travi a parete sottile, con sezione circolare cava, a contorno aperto (4Fig. 2.28a) e le sezioni composte da rettangoli, come i profilati rappresentati nella figura 2.28b. La teoria dell elasticità dimostra che le tensioni e l angolo di torsione di una trave a sezione rettangolare molto allungata non cambiano sensibilmente se, a parità di mo men to torcente M t, la sezione viene piegata in modo da formare le sezioni della figura 2.28a, b. Perciò la capacità di resistenza di queste travi è la stessa di quella della trave a sezione rettangolare di lunghezza l m e spessore s, uguali rispettivamente alla lunghezza media e allo spessore della se zio ne considerata (4Fig. 2.28c). Pertanto, il valore della tensione tangenziale massima, per queste se zio ni, è dato dall espressione: τ max = 3 Mt 2 [2.93] l s e il modulo di resistenza vale: m m W l m s t = 3 2 [2.94] 10

11 Fig Esempi di sezioni a contorno aperto: a) sezione circolare cava a contorno aperto; b) sezioni di alcuni profilati; c) rettangolo di spessore s e lunghezza l m, equivalente alla lunghezza media sviluppata di una sezione a contorno aperto. Se lo spessore della sezione non è costante, nella [2.93] si pone un valore medio s m, dato dal rapporto fra l area A della sezione e la sua lunghezza media l m : A sm = l L angolo di torsione fra due sezioni poste alla distanza l si ricava dalla seguente relazione: ϑ = 3 Mt 2 G l s l [2.95] Il contorno aperto della sezione di un corpo riduce molto la capacità di resistenza a torsione del corpo e ancora di più la sua rigidezza; per cui, se possibile, è da evitarne l uso. Sezione a forma di triangolo equilatero In una sezione a forma di triangolo equilatero, la tensione varia come indicato nella figura Indicando con a il lato del triangolo, la tensione massima τ max, nei punti medi dei lati e l angolo di torsione ϑ fra due sezioni poste alla distanza l, sono dati da: e: m m Mt τ max = 20 a 3 Mt ϑ = 46, G a l [2.96] [2.97] 11

12 Fig Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ in una sezione triangolare di lato a. Fig Rappresentazione di una sezione semicircolare. Sezione semicircolare Si consideri la sezione semicircolare rappresentata dalla figura La tensione è massima nel punto medio del diametro e vale: Mt τ max = 2, 87 r 3 l angolo di torsione fra due sezioni poste alla distanza l vale: Mt ϑ = 3, 38 4 G r l [2.98] [2.99] Esempio 1 Si vuole calcolare la massima tensione tangenziale in una barra rettangolare, di lati a = 24 mm e b = 18 mm, sottoposta a un momento torcente M t = N mm. Determinare inoltre il valore della tensione nei punti medi dei lati minori. Soluzione Essendo b/a = 0,75, dalla [2.80] si ottiene: b α = 3 + 1, 8 = 3 + 1, 8 0, 75 = 4, 35 a La tensione massima è concentrata nei punti medi dei lati maggiori e il suo valore si ricava dalla [2.79]: Mt τ max = α = 4, 35 = 26, ab N mm 2 Nei punti medi dei lati minori si ha la tensione τ 1, data dalla [2.82]: τ Mt = β ab

13 dove: b β = 2, 2 + 2, 6 = 2, 2 + 2, 6 0, 75 = 4, 15 a pertanto il valore della tensione è: , = 25, τ 1 = N mm 2 Fig Sezione di una trave a U. Esempio 2 Una trave ha la sezione a U (4Fig. 2.31). Calcolare il valore del mo men to torcente massimo, applicabile alla trave in condizioni di sicurezza, considerando una tensione tangenziale ammissibile τ ams = 80 N/mm 2. Soluzione Lo sviluppo della sezione è: La sua area vale: l m = 640 mm A = = 9600 mm 2 Poiché lo spessore della sezione non è costante, si considera lo spessore medio s m : s m 9600 = A lm = = 15 mm 640 Dalla [2.93] si ricava il valore massimo del momento torcente, sostituendo lo spessore medio s m e τ ams a τ max : quindi si ha: M t τ ams 2 = 3 Mt l s 2 m τ ams lm sm = = N mm 3 m 13

14 Tabella 2.11 Diametro esterno D 21,3 26,9 33,7 42,4 Spessore s Profilati cavi circolari (designazione: profilato cavo circolare D s UNI 7811; esempio di profilato cavo circolare 21,3 1,2 UNI 7811) Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] I [cm 4 ] Assi diametrali W [cm 3 ] ρ [cm] 1,2 0,7578 0,5948 0,3840 0,3606 0,7179 1,6 0,9902 0,7773 0,4835 0,4540 0,6988 2,0 1,213 0,9519 0,5707 0,5359 0,6860 2,3 1,373 1,078 0,6286 0,5902 0,6767 3,2 1,820 1,428 0,7684 0,7215 0,6499 1,2 0,9689 0,7606 0,8017 0,5960 0,9096 1,6 1,272 0,9983 1,022 0,7585 0,8963 2,0 1,565 1,228 1,220 0,9073 0,8832 2,3 1,778 1,395 1,356 1,008 0,8735 2,6 1,985 1,558 1,482 1,102 0,8640 3,2 2,383 1,870 1,703 1,266 0,8455 1,2 1,225 0,9618 1,620 0,9614 1,150 1,6 1,614 1,267 2,083 1,236 1,136 2,0 1,992 1,564 2,512 1,491 1,123 2,6 2,540 1,994 3,093 1,835 1,103 3,2 3,066 2,407 3,605 2,139 1,064 4,0 3,732 2,930 4,190 2,487 1,060 1,2 1,553 1,219 3,298 1,556 1,457 1,6 2,051 1,610 4,274 2,016 1,444 2,0 2,528 1,993 5,192 2,449 1,430 2,6 3,251 2,552 6,464 3,049 1,410 3,2 3,941 3,094 7,620 3,594 1,391 4,0 4,825 3,788 8,991 4,241 1,365 14

15 Tabella 2.12 Lato L Spessore s Profilati cavi quadrati sagomati a freddo, saldati (designazione: profilato cavo quadrato L L s UNI 7812; esempio di profilato cavo quadrato ,0 UNI 7812) Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] I [cm 4 ] Asse x-x = asse y-y W [cm 3 ] ρ [cm] 1,2 0,8530 0,6696 0,4859 0,4859 0,7548 1,6 1,090 0,8554 0,5855 0,5855 0,7330 2,0 1,303 1,023 0,6577 0,6577 0,7106 1,2 1,333 1,046 1,805 1,204 1,164 1,6 1,730 1,358 2,259 1,506 1,143 2,0 2,103 1,651 2,644 1,763 1,121 2,6 2,617 2,055 3,101 2,067 1,088 1,2 1,813 1,423 4,483 2,241 1,572 1,6 2,370 1,860 5,706 2,853 1,552 2,0 2,903 2,279 6,802 3,401 1,531 2,6 3,675 2,871 8,216 4,108 1,499 3,2 4,359 3,422 9,368 4,684 1,466 4,0 5,211 4,090 10,52 5,262 1,421 1,6 3,010 2,363 11,57 4,627 1,960 2,0 3,703 2,907 13,93 5,572 1,940 2,6 4,697 3,688 17,10 6,842 1,908 3,2 5,639 4,426 19,85 7,939 1,876 4,0 6,811 5,346 22,87 9,149 1,833 5,0 8,142 6,391 25,69 10,28 1,776 15

16 Tabella 2.13 a b Profilati cavi rettangolari sagomati a freddo, saldati (designazione: profilato cavo rettangolare a b s UNI 7813 esempio: profilato cavo rettangolare ,2 UNI 7813) s Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] I x [cm 4 ] Asse x-x W x [cm 3 ] ρ x [cm] I y [cm 4 ] Asse y-y W y [cm 3 ] ρ y [cm] 1,2 1,333 1,046 2,676 1,338 1,417 0,9106 0,9106 0,8265 1,6 1,730 1,358 3,345 1,673 1,391 1,129 1,129 0,8078 2,0 2,103 1,651 3,911 1,956 1,364 1,308 1,308 0,7888 2,6 2,617 2,055 4,573 2,287 1,322 1,513 1,513 0,7602 1,2 1,813 1,423 6,139 2,456 1,840 2,801 1,868 1,243 1,6 2,370 1,860 7,817 3,127 1,816 3,551 2,367 1,224 2,0 2,903 2,279 9,320 3,728 1,792 4,215 2,810 1,205 2,6 3,657 2,871 11,26 4,503 1,754 5,059 3,372 1,176 3,2 4,359 3,422 12,83 5,131 1,716 5,732 3,821 1,147 4,0 5,211 4,090 14,39 5,754 1,662 6,386 4,258 1,107 1,6 3,010 2,363 15,02 5,008 2,234 8,067 4,033 1,637 2,0 3,703 2,907 18,10 6,033 2,211 9,692 4,846 1,618 2,6 4,697 3,688 22,23 7,411 2,176 11,86 5,929 1,589 3,2 5,639 4,426 25,81 8,603 2,139 13,71 6,856 1,559 4,0 6,911 5,346 29,74 9,913 2,090 15,73 7,864 1,520 5,0 8,142 6,391 33,38 11,13 2,025 17,57 8,786 1,469 1,6 3,650 2,865 30,36 7,590 2,884 10,43 5,214 1,690 2,0 4,503 3,535 36,80 9,201 2,859 12,58 6,292 1,672 2,6 5,737 4,504 45,65 11,41 2,821 15,50 7,751 1,644 3,2 6,919 5,431 53,53 13,38 2,781 18,06 9,029 1,616 4,0 8,411 6,602 62,58 15,64 2,728 20,93 10,47 1,578 5,0 10,14 7,961 71,65 17,91 2,658 23,74 11,87 1,530 16

17 Tabella 2.14 Diametro d Area sezione [cm 2 ] Barre tonde di uso generale Massa lineica [kg/m] Diametro 5 0,196 0, ,04 6, ,7 44,5 6 0,293 0, ,08 7, ,8 47,7 7 0,385 0, ,62 7, ,6 49,9 8 0,503 0, ,2 7, ,9 55,6 9 0,636 0, ,8 8, ,5 61,7 10 0,785 0, ,3 8, ,6 68,0 11 0,950 0, ,6 9, ,0 74,6 12 1,13 0, ,9 10, ,5 13 1,33 1, ,9 12, ,8 14 1,54 1, ,1 14, ,3 15 1,77 1, ,6 15, ,01 1, ,2 16, ,27 1, ,1 17, ,54 2, ,8 18, ,84 2, ,4 20, ,14 2, ,3 22, ,46 2, ,2 24, ,80 2, ,2 26, ,15 3, ,3 28, ,52 3, ,5 30, ,91 3, ,9 32, ,31 4, ,2 34, ,73 4, ,8 37, ,16 4, ,3 39,5 30 7,07 5, ,1 42,5 È preferibile adottare le dimensioni in carattere neretto d Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] Diametro d Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] 17

18 Tabella 2.15 Lato d Area sezione [cm 2 ] 6 0,36 0, ,24 2, ,0 12,6 7 0,49 0, ,61 2, ,3 15,9 8 0,64 0, ,00 3, ,0 19,6 9 0,81 0, ,84 3, ,3 23,7 10 1,00 0, ,25 4, ,0 28,3 11 1,21 0, ,76 5, ,0 38,5 12 1,44 1, ,84 6, ,0 50,2 13 1,69 1, ,00 7, ,0 63,6 14 1,96 1, ,2 8, ,5 15 2,25 1, ,3 9, ,56 2, ,4 11, Tabella 2.16 Spessore s Barre a sezione quadrata di lato d Massa lineica [kg/m] Lato d Area sezione [cm 2 ] Massa lineica [kg/m] Lato d Area sezione [cm 2 ] Barre a sezione esagonale di spessore s Massa lineica [kg/m] Spessore s Massa lineica [kg/m] Spessore s Massa lineica p [kg/m] Massa lineica p [kg/m] 4 0, , ,40 5 0, , ,40 6 0, , ,00 7 0, , ,60 8 0, , ,50 9 0, , , , , , , , , , , ,50 18

19 Tabella 2.17 Larghezza Barre piatte di uso generale Spessore Massa lineica [kg/m] 10 0,236 0,314 0, ,283 0,377 0,471 0,565 0, ,330 0,440 0,550 0,659 0, ,377 0,502 0,628 0,754 1,00 1, ,424 0,565 0,707 0,848 1,13 1, ,471 0,628 0,785 0,942 1,26 1,57 1,88 2, ,518 0,691 0,864 1,04 1,38 1,73 2,07 2, ,589 0,785 0,981 1,18 1,57 1,96 2,36 2, ,707 0,942 1,18 1,41 1,88 2,36 2,83 3,53 4, ,10 1,37 1,65 2,20 2,75 3,30 4,12 5,50 6, ,26 1,57 1,88 2,51 3,14 3,77 4,71 6,28 7, ,41 1,77 2,12 2,83 3,53 4,24 5,30 7,07 8, ,57 1,96 2,36 3,14 3,93 4,71 5,89 7,85 9,81 11,8 55 1,73 2,16 2,59 3,45 4,32 5,18 6,48 8,64 10,8 13,0 60 1,88 2,36 2,83 3,77 4,71 5,65 7,07 9,42 11,8 14,1 18,8 65 2,04 2,55 3,06 4,08 5,10 6,12 7,65 10,2 12,8 15,3 20,4 70 2,20 2,75 3,30 4,40 5,50 6,59 8,24 11,0 13,7 16,5 22,0 27,5 75 2,36 2,94 3,53 4,71 5,89 7,07 8,83 11,8 14,7 17,7 23,6 29,4 80 2,51 3,14 3,77 5,02 6,28 7,54 9,42 12,6 15,7 18,8 25,1 31,4 90 3,53 4,24 5,65 7,07 8,48 10,6 14,1 17,7 21,2 28,3 35, ,93 4,71 6,28 7,85 9,42 11,8 15,7 19,6 23,6 31,4 39, ,18 6,91 8,64 10,4 13,0 17,3 21,6 25,9 34,5 43, ,65 7,54 9,42 11,3 14,1 18,8 23,6 28,3 37,7 47, ,12 8,16 10,2 12,2 15,3 20,4 25,5 30,6 40,8 51, ,79 11,0 13,2 16,5 22,0 27,5 33,0 44,0 55, ,42 11,8 14,1 17,7 23,6 29,4 35,3 47,1 58,9 19

20 Tabella 2.18 Massa [kg/m 2 ] delle lamiere di spessore s Spessore s Acciaio Rame Zinco Spessore s Acciaio Rame Zinco 0,1 0,785 0,89 0,72 2,4 18,84 21,36 17,28 0,2 1,570 1,78 1,44 2,6 20,41 23,14 18,72 0,3 2,3 552,67 2,16 2,8 21,98 24,92 20,16 0,4 3,140 3,56 2,88 3,0 23,55 26,70 21,60 0,5 3,925 4,45 3,60 3,2 25,12 28,48 23,04 0,6 4,710 5,34 4,32 3,4 26,69 30,26 24,48 0,7 5,495 6,23 5,04 3,6 28,26 32,04 25,92 0,8 6,280 7,12 5,76 3,8 29,83 33,82 27,36 0,9 7,065 8,01 6,48 4,0 31,40 35,60 28,8 1,0 7,850 8,90 7,20 4,5 35,32 39,77 32,4 1,2 9,420 10,68 8, ,25 44,50 36,0 1,4 10,99 12,46 10, ,10 53,40 43,2 1,6 12,56 14,24 11, ,95 62,30 50,4 1,8 14,13 16,02 12, ,80 71,20 57,6 2,0 15,70 17,80 14, ,65 80,10 64,8 2,2 17,27 19,58 15, ,50 89,00 72,0 20

21 L Unità didattica in breve a2 Sollecitazioni assiali di trazione o compressione Si ha una sollecitazione semplice di trazione quando in qualunque sezione trasversale di un corpo agisce solo una forza normale N, ossia quando la risultante delle forze applicate ha la linea di azione coincidente con l asse geometrico del corpo e tende ad allungare le fibre longitudinali. Considerando l ipotesi della conservazione delle sezioni piane, secondo cui le sezioni trasversali si spostano parallelamente a se stesse, per effetto delle deformazioni generate dalle forze esterne, le fibre longitudinali della trave risultano ugualmente tese, cioè subiscono lo stesso allungamento totale l e lo stesso allungamento relativo ε. Pertanto, secondo la leg ge di proporzionalità fra tensioni e deformazioni (legge di Hooke), an che le tensioni interne σ assumono lo stesso valore in tutti i pun ti della se zio ne. Ricavato il valore della tensione massima agente sul corpo in esame e assumendo un opportuna tensione ammissibile statica σ ams (o carico di sicurezza), dipendente dal materiale, affinché un corpo possa resistere alle sollecitazioni esterne, la tensione massima non dev essere mag giore dalla tensione ammissibile. Le formule ricavate per le sollecitazioni di trazione sono valide anche per le sollecitazioni di compressione; si differenziano solo per il verso delle sollecitazioni, delle deformazioni e delle tensioni che, per convenzione, si indicano positivi nel caso di trazione, negativi nel caso di compressione. Si noti che alcuni materiali, per esempio la ghisa, hanno due diversi carichi di rottura a trazione e a compressione; quindi la tensione ammissibile a trazione è diversa da quella a compressione. Molti altri materiali, come per esempio l acciaio, presentano lo stesso comportamento a trazione e a compressione, di conseguenza la tensione ammissibile a trazione e quella a compressione si possono considerare coincidenti. Quando un corpo, per effetto di una sollecitazione assiale, è soggetto a una variazione di lunghezza l, corrispondente a una deformazione relativa longitudinale ε, esso subisce contemporaneamente delle deformazioni relative trasversali nelle direzioni ortogonali alla direzione del la sollecitazione assiale e di verso opposto a ε. In un corpo, soggetto a variazioni di temperatura, si generano tensioni normali che vanno a sommarsi a quelle dovute ai carichi applicati. In un corpo, una variazione di temperatura t determina una variazione di lunghezza l, funzione della lunghezza iniziale, della variazione di temperatura e del coefficiente di dilatazione, o contrazione termica lineare. Sollecitazioni di flessione La sollecitazione di flessione si verifica quando, delle sei caratteristiche di sollecitazione che possono agire sulla sezione generica di una trave, è presente solo il momento flettente M f, costante in tutte le sezioni e giacente in un piano che contiene il suo asse longitudinale. 21

22 Ap pli can do quindi due coppie di forze uguali, contrarie e di momento M f alle estremità di una trave a sezione costante, questa si deforma e il suo asse geometrico assume la forma di un arco di circonferenza. Il piano delle coppie è detto piano di sollecitazione e la retta d intersezione fra questo piano e quello della sezione considerata è denominata asse di sollecitazione. Per effetto delle coppie, le fibre longitudinali della trave, poste dalla parte della concavità, sono soggette a compressione, quindi si accorciano, mentre quelle dalla parte della convessità sono sottoposte a trazione, perciò si allungano. Le fibre poste all altezza del baricentro della sezione considerata mantengono la stessa lunghezza; la loro traccia, rappresentata dalla perpendicolare all asse di sollecitazione, è denominata asse neutro. L equazione di deformazione a flessione mostra come la curvatura è tanto più grande quanto più grande è il momento flettente e quanto più piccolo è il modulo di elasticità (materiale più deformabile). Inol tre si può notare l influenza del momento quadratico della sezione: la curvatura è tanto minore quanto maggiore è la rigidità a flessione della trave. La tensione interna σ che si genera in ogni punto della sezione trasversale della trave, lungo la direzione normale all asse neutro, è nulla in corrispondenza dell asse neutro; inoltre, in una sezione generica, le tensioni presentano un andamento lineare triangolare. I valori massimi di tensione a trazione (σ max ) e a compressione (σ' max ) si concentrano nei punti più lontani dall asse neutro, dove la distanza è massima e sono ricavati in funzione dei moduli di resistenza della sezione. Nei calcoli di verifica occorre accertare che le tensioni massime σ max, in dot te nelle sezioni della trave in esame, non siano maggiori delle tensioni ammissibili σ ams. In generale una coppia flettente di momento M f può agire in un piano qualunque (piano di sollecitazione) passante per l asse longitudinale di una trave; se l asse di sollecitazione, perpendicolare al vettore momento M f, non è un asse di simmetria della sezione della trave, allora si parla di flessione deviata. In questo caso, il vettore M f può essere scomposto in due coppie M fz e M fy, considerando separatamente le deformazioni e le tensioni indotte da ciascuna delle coppie in ogni punto della sezione. Nei limiti di validità della legge di Hooke, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, ottenendo la deformazione generata da M f e la conseguente tensione, come somma algebrica delle deformazioni e delle tensioni indotte dai momenti M fz e M fy, agenti separatamente. Vi sono organi meccanici ad asse curvo, detti a grande curvatura, il cui raggio di curvatura è di poco maggiore della dimensione della sezione trasversale nel piano dell asse stesso. Per questi corpi l asse neutro n non è baricentrico e, per rendere uguali le tensioni nelle fibre dalla parte del la concavità con quelle dalla parte della convessità, è conveniente adottare sezioni che abbiano il baricentro più vicino al lato della concavità, co me per esempio i ganci. La tensione massima generata dalla parte della con cavità è data dal prodotto della tensione corrispondente a una trave ad asse rettilineo, per un parametro detto fattore di curvatura. 22

23 Sollecitazioni di taglio Una trave è soggetta a sollecitazione di taglio T se, riducendo al baricentro di una sua sezione trasversale tutte le forze (incluso le reazioni vincolari) a essa applicate dalla parte destra o da quella sinistra del la sezione, si ottiene una forza risultante che giace nel piano della sezione stessa. La sollecitazione rimane costante lungo i tratti di trave non direttamente sottoposti a forze esterne ed è sempre accompagnata dalla sollecitazione di flessione. Il taglio consiste nello scorrimento di una sezione di un corpo rispetto a quella immediatamente precedente, in direzione perpendicolare al l asse geometrico. Le tensioni indotte dallo scorrimento, indicate con la lettera τ, giacciono anch esse nel piano della sezione e hanno una distribuzione non u ni forme. Per i calcoli di verifica, occorre confrontare la tensione tangenziale mas sima τ max con la tensione tangenziale ammissibile statica τ ams, ac cer tando che risulti inferiore a quest ultima. Sollecitazioni di torsione Una trave rettilinea è sollecitata a torsione semplice quando ogni sua sezione è sottoposta all azione del solo momento torcente M t, essendo nulle le altre caratteristiche di sollecitazione. Il caso più semplice di torsione è quello in cui nelle sezioni di estremità della trave agiscono due coppie di forze uguali e opposte, di momento M t, poste su piani perpendicolari all asse geometrico della trave stessa. Lo studio della sollecitazione di torsione può essere eseguito con il procedimento elementare soltanto per i corpi a sezione circolare piena o cava; in tal caso le sezioni si conservano piane e non si deformano nel pro prio pia no, ossia, le rette situate sulla sezione e uscenti dal centro (i raggi) rimangono rettilinee e non cambiano il proprio orientamento reciproco. Per effetto della torsione, una qualunque sezione ruota rispetto a un altra sezione di un angolo ϑ, detto angolo di torsione, tanto più grande quanto maggiore è la distanza fra le due sezioni. Le fibre longitudinali sono soggette soltanto a uno scorrimento an golare e non subiscono sensibili variazioni di lunghezza; nelle sezioni trasversali, dunque, non si hanno tensioni normali, ma solo tensioni tangenziali τ, che agiscono nel piano della sezione perpendicolarmente al raggio r. La tensione cresce proporzionalmente alla distanza r del punto considerato dal centro della sezione; i punti più sollecitati sono quindi quelli sul contorno della sezione (r = d/2), dove le tensioni assumono il valore massimo. Nei calcoli di verifica, esprimendo la tensione massima τ max in funzione del momento torcente e del modulo di resistenza a torsione, oc cor re ac certare che nella sezione in esame la tensione massima non sia maggiore della tensione tangenziale ammissibile. I solidi a sezione circolare costante, ad asse curvilineo, presentano una tensione maggiore nella zona della concavità; il suo valore è dato dal prodotto della tensione corrispondente a una trave ad asse rettilineo per il fattore di curvatura. 23

24 UD13 PROBLEMI DI RIEPILOGo a2 1. Un tirante d acciaio, a sezione circolare, è soggetto a una forza di trazione dovuta a un carico Q = 320 da N. Impiegando un acciaio S 275 e sapendo che la lunghezza del tirante è l = 2,5 m, determinare il suo diametro e l allungamento subito. 2. Calcolare il carico massimo che può sostenere in sicurezza una catena d acciaio, le cui maglie hanno il diametro d = 18 mm, sapendo che la tensione ammissibile del materiale è σ ams = 75 N/mm Una trave in acciaio è rigidamente inserita in una struttura che subisce uno sbalzo termico t = 25 C. Poiché la trave, di lunghezza l = 3,2 m, può subire una variazione di lunghezza l = 0,5 mm, determinare il conseguente stato di tensione, considerando per l acciaio il coefficiente di dilatazione lineare α = / C. 4. Su una lamiera di acciaio S 235, di larghezza l = 900 mm e spessore s = 12 mm, si devono eseguire 11 fori di diametro d = 22 mm. Verificare la resistenza della lamiera, sapendo che è sottoposta alla forza di trazione N = 7200 da N. 5. Calcolare lo spessore di un tubo in rame, con diametro esterno d e = 160 mm, attraversato da vapore alla pressione di 1,3 MPa. Si consideri la tensione ammissibile σ ams = 22 N/mm Una trave di acciaio, di lunghezza l = 5 m e sezione trasversale rettangolare (100 60) mm, appoggiata alle estremità, è sottoposta a due coppie di uguale momento e verso opposto, che generano una tensione interna massima σ max = 140 N/mm 2. Determinare il raggio di curvatura R della trave, nel caso in cui l asse di sollecitazione sia parallelo al lato maggiore della sezione. 7. Eseguire il dimensionamento di una trave a mensola, sottoposta a un momento flettente M f = 2100 Nm applicato all estremità libera, considerando la sezione quadrata e, come materiale, l acciaio S Scegliere una coppia di profilati a U da collegare rigidamente lungo la costola, in modo da formare una doppia T, per resistere in sicurezza al momento flettente M f = 8400 N m. La tensione ammissibile del materiale è σ ams = 160 N/mm 2 e l asse di sollecitazione è parallelo alla costola dei profilati. 9. Per realizzare una mensola sottoposta a un carico distribuito Q = 1150 dan, si impiega un profilato IPE 140, sulle cui ali vengono saldate due barre piatte di larghezza 60 mm e spessore 10 mm. Sapendo che la mensola ha una lunghezza l = 1,5 m e adottando come materiale l acciaio S 355, sia per il profilato sia per le barre piatte, verificare la resistenza della mensola. 24

25 10. Due alberi di trasmissione coassiali sono collegati mediante un giunto rigido a dischi, formato da due superfici a corona circolare, rigidamente collegate mediante 4 bulloni in acciaio S 235, di diametro netto d = 20 mm, posti lungo una circonferenza di diametro d' = 200 mm. Sapendo che la potenza trasmessa è P = 63 kw, alla velocità di rotazione ω = 20 rad/s e ipotizzando che l aderenza fra i dischi non sia sufficiente a trasmettere il moto fra gli alberi, verificare la resistenza a taglio dei bulloni. 11. Calcolare la forza di taglio di un punzone che deve eseguire un foro di diametro d = 17 mm, in una lamiera di acciaio, dello spessore di 3,5 mm, considerando un carico di rottura a trazione R m = 500 N/mm Calcolare l angolo di torsione ϑ che presenta un albero di acciaio, di diametro d = 90 mm e lunghezza l = 2 m, soggetto a un momento torcente M t = 2000 dan m. Verificarne inoltre la resistenza, considerando la tensione di snervamento R el = 355 N/mm Calcolare la massima tensione indotta in una barra a sezione rettangolare, di lati a = 18 mm e b = 14 mm, sottoposta a un momento torcente M t = 50 Nm. 14. Un albero di lunghezza l = 1,2 m trasmette una potenza P = 10 kw, alla velocità di rotazione ω = 31,4 rad/s. Calcolare il diametro dell albero e l angolo di torsione che esso presenta, assumendo come materiale l acciaio S Un albero di trasmissione, di diametro d = 45 mm e lunghezza l = 2,4 m, gira alla frequenza di rotazione n = 600 giri/min. Determinare la potenza trasmessa, sapendo che l angolo di torsione è ϑ = 5. 25