Modelli matematici sull evoluzione demografica mondiale (SS/UN)

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1 Modelli ateatici sull evoluzione deografica ondiale (SS/UN) Autore: Antonello Urso (6/07/05) Pianetagalileo - (ultio aggiornaento: 25/06/09)

2 Introduzione Saiao che la oolazione ondiale di iù di sei iliardi viene antenuta e continua a crescere er via dell iiego di energia esterna, in articolare il etrolio, da cui diende l alientazione della società uana. Nel 840 Justus Von Liebig ubblicò il frutto delle sue ricerche nel faoso libro "La chiica organica e le sue alicazioni all agricoltura ed alla fisiologia" che divenne ben resto un testo adottato in diverse università. Nasce così l agricoltura oderna basata sui concii chiici e la loro diffusione su larga scala sorattutto a artire dalla fine del XIX secolo favorendo così enoreente la roduzione agricola. Questi concii chiici in seguito uniti con gli antiarassitari e i diserbanti a artire dagli inizi del XX secolo vengono fabbricati in enori quantità grazie al etrolio, realizzando così quasi er agia una straordinaria quantità di cibo, che ha creato un fenoeno che non ha avuto recedenti nella storia dell uoo, cioè una eslosione deografica sconcertante, dovuta sorattutto alle oolazioni overe delle nazioni in via di sviluo, e che solo da qualche anno accenna a rallentare. Tale rallentaento è dovuto al fatto che il etrolio è una fonte energetica non rinnovabile. L esauriento di questa risorsa infatti è segnalato dal cosiddetto icco di Hubbert che olti studi diversi considerano orai trascorso. Dal icco etrolifero diende strettaente il icco deografico ondiale (che costituisce quindi un interessante indicatore) oiché nessun altra fonte energetica è abbastanza abbondante ed econoica er renderne il osto. Un crollo nuerico della oolazione uana della Terra è a questo unto inevitabile. La oolazione ondiale dei secoli assati (ria dello sfruttaento intensivo del etrolio) crebbe fin tanto che le risorse disonibili nel suo territorio lo erettevano, doodiché raggiunse un equilibrio ressoché stabile con le risorse rinnovabili. Quindi nel lontano assato non c è stata una vera e roria crescita deografica nel senso che generalente oggi si intende e cioè interretabile coe una funzione sere crescente con il teo, a seai una rogressiva serie di equilibri, che secondo le risorse disonibili erettevano un auento o un decreento della oolazione lanetaria, a che counque non avrebbero ai eresso di suerare certi liiti. Del resto dalle statistiche sul nuero degli abitanti locali trovate in antichi anoscritti (che sesso riflettono solo i liiti delle conoscenze dell eoca) non si ossono fare estraolazioni generali affidabili. Teoria Saiao dal odello di Malthus (798) che una oolazione di una secie qualsiasi se uò avere accesso ad una fonte energetica illiitata seguirà una crescita esonenziale descritta dalla seguente equazione: d = k () dt Dove abbiao indicato con k il tasso di crescita colessivo, considerando cioè sia il nuero delle nascite che delle orti. Un rio odello (equazione logistica) che uò siegare il fatto che nel corso dei illenni la oolazione della terra non abbia otuto esandersi oltre un certo liite è quello di Verhulst (837): In terini iù rigorosi si tratta di un assio relativo. 2

3 d dt k = 0 (2) tale equazione uò raresentare l evoluzione della oolazione di una secie che si svilua secondo la disonibilità delle fonti energetiche rinnovabili fino ad una soglia assia 0 raggiunta in un teo teorico infinito. Il odello da alicare invece er le fonti energetiche non rinnovabili, deve essere in grado di revedere in odo corretto lo sviluo della oolazione ondiale del XX e XXI secolo, che score le enori otenzialità dell energia ricavabile rincialente dal etrolio, e che er il suo auento necessita di un consuo sere iù grande, er cui la quantità totale disonibile di tale risorsa subisce un declino iuttosto raido fino al raggiungiento di un valore di icco. Tale situazione è raresentabile dalla seguente equazione: t ( e ) k d k α 2 dt = (3) Dove α, k, e k 2 sono delle costanti. Se oi vogliao considerare la resenza siultanea di fonti rinnovabili caaci di antenere la oolazione stabile ad un livello nuerico costante 0 in assenza di fonti irrinnovabili avreo: La soluzione della (4) è la seguente 2 : t [ e ] k d = k ( 0 ) α ( 0 ) 2 (4) dt c = + (5) 0 k2t kt e + c2e dove: c = ( k + k2 ) αk entre c 2 e 0 sono delle costanti da deterinare secondo le condizioni al contorno. La sietria che sesso si osserva nei grafici sull esauriento dei ozzi etroliferi suggerisce oi di iorre: k = k 2 = k, se tale condizione è soddisfatta infatti la funzione è sietrica, ed indicando con τ = t t, avreo: 0 = 0 + (6) cosh kτ t ; corrisonde al assio relativo. Occorre recisare che una fonte energetica non rinnovabile sarà caratterizzata da una quantità finita Q caace di antenere una Dove naturalente il unto ( ) 2 La stessa forula si uò ricavare in odo iù lungo a rigoroso dalla teoria dello sviluo isodinaico considerando l azione siultanea di due fonti energetiche diverse nel caso di dinaiche evolutive sietriche [3] [4]. 3

4 oolazione costante er un teo t 0 (oure er eseio /2 er un teo 2t 0 ); quindi avreo: Q = t 0, e sarà data iù in generale er un deterinato eriodo 3 da: t [ ( t ) ] Q = dt (7) t0 0 Suonendo adesso che una certa ercentuale fissa di etrolio venga utilizzata er il sostentaento e la crescita della oolazione, ossiao stiare la quantità totale delle riserve etrolifere ondiali. Per questo calcolo ci serve il tasso ro caite di estrazione etrolifera, che allo stato attuale è circa: ρ = 4.3 b/y (barili di etrolio/anno). Quindi: Q t = ρ + [ ( t ) ] dt = ( ) 0 πρ 0 k (8) Alicazioni Per alicare quindi il odello al caso uano usereo le seguenti scheatizzazioni: ) La oolazione uana si è sviluata in un teo lontano, indefinito, sfruttando le fonti energetiche rinnovabili fino al raggiungiento di un valore di soglia 0. 2) L uoo score ria lentaente oi ad un certo unto sere iù veloceente il odo di sfruttare le enori otenzialità delle fonti irrinnovabili resenti nel territorio, la oolazione quindi cresce nuericaente a riti vertiginosi, abbandonando raticaente lo sfruttaento delle fonti rinnovabili considerate oco reunerative; questo fino a raggiungere un valore nuerico assio. 3) Con l esauriento di tali risorse la oolazione inizia doo un certo eriodo di teo a scendere nuericaente in odo raticaente esonenziale e sietrico, fino al raggiungiento di un valore finale di soglia uguale a quello iniziale 0 sostenuto dalle fonti energetiche rinnovabili. Pria di continuare dobbiao fare una analisi statistica dei dati er individuare il flesso da dare alla funzione (6). Il rocediento è iuttosto lungo, a vediaone i unti salienti: usando una funzione algebrica di terzo grado e una di quarto (di confera) ossiao interolare i dati in nostro ossesso facendo erò attenzione che i unti considerati non siano troo distanti dal unto di flesso asettato, e che risettino una distribuzione teorale unifore. Quindi esainando i unti nell intervallo [950; 2005] otterreo con il etodo dei inii quadrati i coefficienti igliori er la funzione algebrica interolatrice. Fatto questo ossiao calcolare direttaente il flesso doo avere eguagliato a zero la derivata seconda della nostra funzione: t f = Naturalente esiste un teo di ritardo tra la soinistrazione della fonte energetica e l effetto colessivo sulla crescita della oolazione. 4

5 Nel grafico sottostante dove il nuero di abitanti è stato indicato in iliardi, e il teo in anni si ossono vedere in ratica le due funzioni interolatrici. 4 grafico - Analisi statistica del unto di flesso Usando la (6) e tenendo conto del unto di flesso otteniao: 5.23 =.45 + cosh ; (con: τ = t 202 ) (9) ( τ 27.2) Dal seguente grafico ossiao avere un idea iù chiara dell andaento della funzione: 4 I unti neri raresentano i dati oggettivi. 5

6 grafico 2 - Evoluzione deografica ondiale Vediao che il assio viene raggiunto nel 202 con un valore di quasi 7 iliardi di abitanti 5 ; il valore di soglia 0 si attesta su.45 iliardi di abitanti, entre calcolando ediante la (8) le risorse totali otteniao un valore di circa Gb. Alicazioni al caso etrolifero Suonendo adesso che la funzione che raresenta nel teo il tasso annuo di estrazione etrolifera sia una secante ierbolica, allora avreo una quantità di etrolio totale: Q t + µ = cosh k ( t t ) k dt = πµ ' (0) dove abbiao indicato con μ il tasso annuo assio di estrazione. Mentre (t ; μ ) è il unto di assio relativo della funzione integranda. Il icco etrolifero deve venire ria nel teo, del icco deografico, oiché a causa delle varie riserve di energia che ogni nazione disone e quest ultio si uò ritardare di qualche anno. 5 Intorno al icco sono ossibili iccole oscillazioni. 6 Il PhD Colin Cabell stia un valore intorno a 900 iliardi di barili di etrolio. 6

7 Il tasso assio di estrazione annua er il è circa: µ = 28.5 Gb/y = ρ y La (0) oi deve essere uguale secondo la (8) a circa 920 Gb. Quindi eguagliando ossiao ricavare k : Quindi: Q t = πµ = 920 Gb; k = / 2.68 ; µ k ( t ) 6k = cosh k ' ( t t ) = 6k µ () Scegliendo questi valori con t 2006 si ottiene il assio accordo con i dati coe si uò vedere dal seguente grafico: grafico 3 - Produzione ondiale di etrolio 7 Colin Cabell ha stabilito er il icco (eak oil) la data corretta di dicebre Nel 2008 è arrivato il icco riferito a idrocarburi e gas. 7

8 Conclusioni A questo unto ossono eergere alcune doande: E ossibile che il icco deografico sia ria del 202? Assolutaente si. Facciao notare che il odello che abbiao usato scheatizza una oolazione dove non esistono conflitti, srechi inquinaento o fore selvagge di accaarraento, e dove le ricchezze vengono distribuite in odo uguale; considerando quindi che questo è un odello ottiista ne consegue che il valore del icco deografico trovato deve considerarsi un valore assio, raggiungibile solo da una società ideale. Bisogna oi considerare anche il fatto che il etrolio che riane er ragioni econoiche non verrà estratto tutto. E ossibile che il icco deografico sia doo tale data? Il geologo britannico Colin Cabell e il geologo francese Jean Laherrere hanno stabilito con successo un icco er gas e etrolio insiee nel 2008; quindi è iuttosto irobabile che il icco deografico vada olto oltre quest ultia data, visto che non ci sarebbero le basi energetiche er sostenerlo. Tali odelli si basano sul fatto che le scoerte di nuovi giacienti etroliferi sono in costante diinuzione; a che succederebbe se si trovassero dei nuovi e rivoluzionari etodi tecnici e scientifici che erettessero di scorire ed estrarre e raffinare facilente tutto il etrolio attualente disonibile e si ionessero inoltre stretti controlli olitici nel settore agricolo? In questo caso fortunato (inquinaento a arte) si otrebbe arrivare con un andaento tio Verhulst alla cifra di 8 iliardi di abitanti intorno al 2035, doodiché esaurita l ultia goccia di etrolio ci sarebbe teoricaente un crollo verticale della oolazione fino al livello di soglia. Il liite del 202 er il icco deografico fornisce solo una ragionevole soluzione sietrica, ostinarsi a volere andare oltre, a tutti i costi, orterebbe ad asietrie sere iù forti, con conseguenze finali drastiche. Ma coe sarà il nostro futuro allora? Le generazioni future ricorderanno con stuore quello che sarà chiaato il secolo del etrolio, oiché tutta la società uana ed il suo ensiero subirono una tale rofonda trasforazione, che non ha ai avuto recedenti nel corso della storia uana. La società del XX secolo ha sicuraente vissuto un avventura euforica, coe l enore rogresso senza recedenti della scienza e della tecnica, siegabile con il fatto che l uoo era braoso di scorire nuovi ed efficaci odi di sfruttare tali risorse a rorio vantaggio; a la natura ci insegna che tutto ha un terine... 8

9 Riferienti bibliografici [] World Poulation Data Sheet of the Poulation Reference Bureau (anni vari) [2] Huan Develoent Reort - Published for the United Nations (anni vari) [3] A. Urso generalizzazione dell equazione logistica arofondienti/ateaticaente.it [4] A. Urso sviluo deografico e fonti energetiche htt://sites.google.co/site/ianetagalileo Siti consigliati er arofondienti htt:// htt:// htt:// 9