MATEMATICA È INTERCULTURA

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1 San Severino Marche 18 febbraio 2008 Oltre l etnocentrismo: MATEMATICA È INTERCULTURA Presentazione di Bruno Jannamorelli

2 La matematica delle filastrocche un paradosso didattico

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9 Grecia Concezione eurocentrica dello sviluppo della matematica Medioevo Scoperta della cultura greca Rinascimento Europa

10 La matematica si assicura definitivamente un nuovo appiglio alla vita nel terreno altamente congeniale della Grecia Con il declino della civiltà greca la pianta rimane inattiva per un migliaio di anni quando la pianta viene trapiantata nell Europa propriamente detta e ancora una volta attecchisce in un terreno fertile. Morris Kline (1953)

11 Anche se Erodoto riconosce che: Sesostri [il faraone Ramsete II, 1300 a.c. circa] divise la terra in lotti e la distribuì in parti quadrate di uguale grandezza, dai cui prodotti esigeva un tributo annuo. [Se] un appezzamento di un uomo qualsiasi veniva danneggiato dallo straripamento del fiume [...] il Re [...] mandava ispettori per quantificare l estensione del danno, affinché potesse pagare in futuro un giusto adeguamento del tributo al quale la sua proprietà era stata assoggettata. Forse fu così che venne inventata la geometria, la quale successivamente passò in Grecia. Erodoto,Storie,II, (V secolo a.c.)

12 Parziale modifica della concezione eurocentrica Egitto Mesopotamia Grecia Antica VII IV sec. a.c. Mondo Ellenico IV sec. a.c V sec. d.c.

13 Fino a quando la civiltà alessandrina fu governata dalla dinastia dei Tolomei, essa continuò a fiorire. Il primo disastro fu l avvento dei Romani, il cui ruolo nella storia complessiva della matematica fu quello di agenti distruttori. Morris Kline

14 I Greci tennero il geometra nella più alta considerazione e di conseguenza nulla compì fra loro progressi più brillanti della matematica. Noi invece abbiamo fissato come limite di quest arte la sua utilità per misurare e per contare Cicerone

15 Invece in un testo di scuola media:

16 Medioevo: buio in Europa, luce nel mondo arabo

17 Nonostante queste testimonianze si continua a sottovalutare i contributi matematici portati da civiltà diverse da quella greca: si tratterebbe solo dello scarabocchiare di bambini che stanno imparando a scrivere in confronto alla grande letteratura. Morris Kline (1962)

18 L osso ishango (20000 anni fa) Registrazione delle fasi lunari o il primo strumento di calcolo? Museo di Storia Naturale di Bruxelles

19 Numerazione Babilonese Base sessanta uno dieci

20 Numeri cinesi

21 Bastoncelli cinesi su una scacchiera

22 Numerazione geroglifica Antico EGITTO a.c.

23 Prima testimonianza di matematica scritta (3100 a.c.) Testa della mazza di Narmer Il bottino di guerra del primo faraone Menes (Narmer) buoi capre prigionieri

24 L addizione con i geroglifici

25 facile!

26 Moltiplicazione egizia 17 x 32 Notazione a geroglifici Moltiplicatore Moltiplicando Notazione moderna Moltiplicatore Moltiplicando = =544

27 Le frazioni egizie Problema: dividere 3 tavolette di cioccolata fra 8 bambini. Soluzione di uno studente: Divide ogni tavoletta in 8 parti e ne dà 3 a ciascun bambino. Esegue 21 tagli. Soluzione egizia (o di una casalinga): Ad ogni bambino spetta un quarto e un ottavo di tavoletta. Esegue 13 tagli

28 Papiro di Rhind ( 1650 a.c. ) o di Ahmes

29 Frazionare senza tagliare Un Arabo morendo lasciò ai suoi tre figli 17 cammelli in eredità e ordinò che la metà di essi fosse data al primo figlio, la terza parte al secondo, e la nona al terzo figlio. I tre figli si rivolsero per la divisione al cadì, il quale venne con il proprio cammello, che unì agli altri. Diede la metà dei 18 cammelli, cioè 9 al primo, un terzo, cioè 6 al secondo, un nono, cioè 2 al terzo figlio, e poi, ripreso il suo cammello se ne andò ringraziato dai tre figli, ognuno dei quali aveva ricevuto più di quanto gli spettava. Spiegare l'enigma.

30 Abaco greco: Tavola di Salamina

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32 Uso dell abaco in una scena del VASO di DARIO

33 Abaco etrusco Cameo etrusco (altezza 1,5 cm) un uomo esegue calcoli su un abaco. Cabinet des Médailles, Parigi.

34 Abaco romano tascabile /12

35 Abaco romano (ricostruito da B. Jannamorelli)

36 Suanpan (abaco cinese)

37 Soroban (abaco giapponese)

38 Scotcy (abaco russo)

39 Numerazione Incas quipu

40 Abaco Inca : yupana

41 Numerazione Maya Base venti c è lo zero.

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46 Bastoncini di Nepero

47 Regoli moltiplicatori di H. Genaille 4875 x 7 = 34125

48 Il teorema di Pitagora prima di Pitagora 1. Tavoletta d argilla risalente all antico impero babilonese della dinastia Hammurabi ( a.c.) = 2 3 1,

49 Teorema Kou - Ku D H C E b c G Se il lato più corto (kou) e quello più lungo (ku) di uno dei rettangoli sono rispettivamente a e b, e la sua diagonale (ksuan) è c, allora: c 2 = (a + b) 2 2ab = a 2 + b 2. A a F B In questa forma il teorema era sicuramente conosciuto dagli autori dei Sulbasutra (500 a.c. circa) dell India Vedica.

50 Dimostrazione dinamica del teorema di Pitagora

51 Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3 Esempio 4 Esempio 5 Crescita esponenziale

52 Esempio 1. Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto è 72

53 Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l uso della moderna simbologia:

54 Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con i simboli 9 x, 9 + x. Si ha :! "#!!! $%&% ''() % %

55 Esempio 2. Trovare due numeri la cui differenza è 8 e il cui prodotto è 20

56 Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l uso della moderna simbologia:

57 Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8 con i simboli k + 4, k - 4. Si ha : *+* +" *! &#,!- *! %, $*,*&, ''(),+, +.//

58 Con lo stesso procedimento, i babilonesi risolvevano anche equazioni algebriche di secondo grado

59 Esempio 3. Risolvere l equazione : x 2 + 8x = 20

60 L equazione può essere scritta : x(x + 8) = 20 0/"1()1 "2.$$''21.()1 "21!- $3/!

61 Esempio 4. Risolvere l equazione : 18x - x 2 = 72

62 L equazione può essere scritta : x(18 - x) = 72 0/#"& 1()1#"2.$$''21.()1#"21! $3/#

63 Esempio 5. Risolvere l equazione : 3x 2 + 5x = 2

64 I babilonesi non dividevano per 3 per ottenere l equazione x x = 3 3

65 Ma moltiplicavano per 3 ottenendo l equazione : (3x) 2 + 5(3x) = 6 /% ()! 4, $ # &,2 /'#5%&!

66 Il problema riportato di seguito è tratto da una tavoletta incisa all epoca dell Antico Impero babilonese che è conservata al Louvre di Parigi. Calcolate quanto tempo impiegherebbe a raddoppiare una certa somma di denaro se fosse stata data in prestito a un interesse annuale composto di 0;12 [12/60 = 20%].

67 Soluzione: Utilizzando la moderna simbologia, sia C il capitale dato in prestito e i = 20% il tasso d interesse annuo. Dopo un anno il capitale sarà: C 1 = C + ic = C(1 + i). Dopo due anni sarà : C 2 = C 1 + ic 1 = C 1 (1 + i) = C(1 + i) 2 Dopo tre anni sarà : C 3 = C 2 + ic 2 = C 2 (1 + i) = C(1 + i) 3 Dopo n anni sarà : C n = C(1 + i) n. Allora, per risolvere il problema babilonese, bisogna determinare n in modo che 2C = C n = C(1 + i) n. Si tratta di risolvere l equazione esponenziale (1 + i) n = 2.

68 Essendo: i = 20 = 100 0,2 l equazione da risolvere è (1 + 0,2) n = (1,2) n = 2. Con la numerazione sessagesimale nella notazione di Neugebauer, l equazione è : (1;12) n = 2 e dalle tabelle dei babilonesi risultava : (1;12) 3 = 1;43,40,48 [1,7280] e (1;12) 4 = 2;4,25 [2,0736] da cui si capiva che 3 < n < 4.

69 Per approssimare meglio la soluzione potremmo applicare il metodo della interpolazione lineare: riportiamo su un piano cartesiano un arco di curva esponenziale di equazione y = (1,2) x, evidenziando i punti A(3 ; 1,7280) e B(4 ; 2,0736)

70 B(4 ; 2,0736) 2 A(3 ; 1,7280) n 4

71 Scriviamo l equazione della retta passante per A e B: y 2,0736 1,7280 y 1,7280 = ( x 3) 4 3 = ( 2,0736 1,7280)( x 3) + 1,7280 Se y = 2 allora il punto P che si trova sulla retta AB ha ascissa: 2 1,7280 x = 3 + = 3,7870 2,0736 1,7280 Questo numero approssima la soluzione della nostra equazione esponenziale che, nella notazione di Neugebauer è 3;47,13,20: esattamente la soluzione incisa sulla tavoletta del Louvre!!!

72 Quale la mia sorpresa quando potei osservare, invece, uno spettro di vividi colori grossolanamente oblungo, con l asse disposto perpendicolarmente a quello del prisma. Isac Newton