v a UNIFORMEMENTE VARIO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 5.0 v 0= x 0=

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Rosina Valle
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1 Viene detto un if or eente cce l e r to u n oto ne l qu l e l cce l erzione ring costnte in intensità e d irezione. A ll e o l te esso iene d istinto d l oto un if or een te rio nel qu le si ri ch iede l ul teri o re co ndi z i o ne ch e l cc eler z i o ne si se p re p r llel ll el oc i tà: un s ss o ch e l n c i to er ti c l ente se g ue un o to unif o r e en te ri o, un o l n c i to d un n go l o qu lunque se g ue un oto unif o r e en te cc eler to p r op ri en te detto. NIFOMEMENTE ACCELEATO NIFOMEMENTE VAIO Il o to unif o r e en te cc eler to si s o l g e se p re su di un p i n o, quell o ch e co n tiene l cc eler z i o ne e l el oc i tà ini z i le, p er ché p er us c irne d o rebbe i p r o is ente ere un copo nente di cc eler z i o ne p er p endi co l re l p i n o e quindi n o n s rebbe p iù unif o r e. i co rdi o o r ch e co n tr ietto ri s in tende l insie e delle po si z i o ni ssunte d l p unto teri le, entre l le gg e o r ri es p ri e l nd ento co l te po di un ri bile c ine ti c. N el c s o in c ui l cc eler z i o ne si se p re p r llel ll el oc ità (e quindi t n g en te ll tr ietto ri ) il oto unif o r e en te cc eler to des c ritto d lle le gg i o r rie se g uen ti: è 1 le xt () = x0+ t 0 + t gg e o r ri dell o s pz i o t () = + t le gg e o r ri dell el oc i tà 0 Esepio 1 Si studi il oto un if oree nte ccelerto lung o u n rett: Anli zz i o l l egge or r i. Si deduce: xt () = t+ 4.t 1. Ch e un punt o t er il e, p è r tit o dll p os i z io n e doe x 0= 5.0 e un e l ocità dire tt n e l erso sce lt o coe p ositio e co n int e n sità : /s. Inftti un 0= 3.5 co nf ro nt o co n l es p ress io n e sibo li c f or ni sce iedit e nt e il l ore cos tnt e di cce l er z io n e: /s il = c h e s ig nifi c c h e l su e l oc ità r i, ue ntnd o l int e n sità di: /s og ni seco nd o c h e p ss.. Ch e l e l oc ità ue nti n o n l o edi o dl ftt o c h e il seg n o de ll cce l er z i o n e p è os itio: ques t o indic so l o c h e og ni seco nd o e n go n o ggiunti ll e l oc ità /s n e l erso sce lt o d n o i coe p os itio sull t r ie tt ori. Ques t o erso n o n h l eg i co n il erso in c ui il punt o p ercorre l t r ie tt ori : se d ese pi o il punt o s i s t oe nd o indie t ro un, cce l er z io n e p ositi di /s corris p o nd e d un di inu z io n e de l odul o de ll e l ocità, se in ece il punt o s i s t oe nd o 1

2 nti, corris p o nd e d un u e nt o de l odul o. Ch e s i t r tti di un ue nt o di e l ocità l o e di o ll or dl ftt o c h e l e l oc ità ini z il e h l o s t esso seg n o de ll cce l er z i o n e. 3. E ss in o lt re ue nt in odo unif ore, cio è d ese pi o f r di eci ed undici seco ndi l eo l ocità crescer à di /s p ro p r io coe f r ce nt o e ce nt oun o seco ndi e n o n di un l ore diff ere nt e di o lt in o lt. Ques t o può essere scritt o s int e tic e nt e t r it e l l egge or r i de ll e l ocità : e quindi se o t () = 5.0+ t l essio c l co l re l e l ocità e l p os i z io n e do p o.0 seco ndi b s t er à sos titui re il l ore dt o l p os t o de l t e p o: x (.0) = = 9 /s (.0) = = 0 /s (0) = 3.5 /s (.0) = x (0) = 5.0 x (.0) = 9 Esepio Si studi il oto r e ttilin e o unif or e e nte cce l e r to s eg ue nt e: xt () = t+ 0.60t 1. In qu esto cso i l pun to p rte d x 0= 8.5 con l e l ocità i n izi l e /s n 0= 9.6 egti, cioè i l pun to st p ercorre n do l triettori n e l erso o pp osto qu e ll o d n oi sce l to co e p ositio. L cce l erzio n e che si ric d l co nf ro n to co n l l egge sib o l ic, /s è =1. p ositi, cioè ll e l ocità e n go n o ggi un ti og n i seco n do /s n 1. e l erso sce l to co e p ositio p er l triettori. Qu i n di i l pun to, d pp ri r ll e n t, p erché e l ocità i n izi l e ed cce l erzio n e h nn o erso o pp osto, p oi si f er, qu i n di c i erso di p ercorre n z de ll triettori e d qu e l b o en to i n p oi u en t l s u e l ocità di 1. /s og n i seco n do che p ss.. S e o l essi o c l co l re qu n do si f er stere e scriere l l egge orri de ll e l ocità: b bb t () = t ed i p orre che l e l ocità si nnull i: 9.6 s t () = t= 0 t= = In qu e ll ist n te si tro n e ll p osizio n e: x (8.0) = = 30 S e i n ece o l essi o s p ere co n qu l e e l ocità sc l cherà l origi n e de l siste di ri f eri e n to, dore o p ri c l co l re l ist n te i n c u i qu esto ie n e, nnull n do l p osizio n e: 4.8± s s xt () = t+ 0.6t = 0 t= t1= 0.94 t= l e d u e so lu zio n i trote i n dic n o che ci so n o d u e p ssggi s u ccessii so p r ll origi n e, i l p ri o co n e l ocità erso si n istr di

3 /s (0.94) = = 8.5 e d il s econ d o, d opo che si è f er to e r i p rtito, con e l oc i tà er s o d e s tr di : /s (15) = = (15) = /s x (8.0) = 30 (8.0) = 0.0 /s 0.0 (0.94) = 8.5 /s x (0.0) = 8.5 (0.0) = 9.6/s Esepio 3 n rgzzf jogging corren d o ll elocità costnte d i 4.0 /s. A d u n certo istnte pss d nti d u n tizio se duto su di u n pnc hin e coinci rllentre costnteente di 0.40 /s o gni s ec n d o o. Qu est o l d o cchi, r if l e tte pe r 5.0s e de ci de ch e l e l p e n d i bbor d rl, q uin d i sctt con e locità inizil e d i 3.0/s cce l e r n do il p ss o i n i r o t t o n e c s n e c n = 8.0 /s. A q ule dis tnz dll pnc h in il tizio rggiunge l rgzz? C h e elocità possiedono entrbi in q uell istnte? Scriio le leggi orrie, posizione e elocità, di entrbe le persone. L pri cos d fre è scegliere un origine dell triettori (rettiline) che srà l posizione dell pnchin. Poi occorre uno stesso istnte inizile opportuno per entrbi: qui coniene il oento in cui il tizio si lz per inizire l su cors. L legge orri dell posizione dell uoo si ottiene fcilente considerto che = 8.0 /s : x () t = 3.0t+ 4.0t x 0 = 0.0, 0 = 3.0/s ed Più coplesso è scriere l legge orri dell rgzz, dell qule nel riferiento scelto è not soltnto l ccelerzione = 0.40 /s : x () t = x + t 0.0t 0 0 L posizione inizile dell rgzz x 0 è lo spzio di cui si è llontnt dll pnchin in 5.0 s e l su elocità inizile 0 quell che h dopo er decelerto per stessi 5.0 s. Per clcolre questi dti dobbio scriere dppri un ltr equzione orri per l sol rgzz, che bbi però coe istnte inizile quello del pssggio ll pnchin. In questo riferiento si h x 0= 0.0 e 0= 4.0/s, etre l ccelerzione è sepre = 0.40 /s : x () t = 4.0t 0.0 t x (5.0) = = 15 () t = t (5.0) = =.0/s 3

4 iscriio quindi l equzione orri dell rgzz usndo coe istnte inizile quello in cui il tizio si lz dll pnchin, in odo d poterl confrontre con quest ulti. In questo secondo cso l posizione inizile dell rgzz srà llor x 0= 15 e l elocità inizile 0=.0/s, d cui: x () t = 15+.0t 0.0t Nell istnte in cui si rggiungono, le due posizioni x() t e x() t deono essere uguli, pertnto iponio quest condizione per trore il tepo: 15+.0t 0.0t = 3.0t+ 4.0t 1.0± ( 1.0) t + 1.0t 15= 0 t= t1= 1.9s t =.1s 7.6 doe l second soluzione tetic non h significto fisico perché l incontro errebbe pri del nostro istnte inizile. Il clcolo delle elocità d incontro si f trite le reltie leggi orrie: () t = t (1.9) = 1./s () t = t (1.9) = 18/s cioè il tizio h ccelerto troppo e così le sfrecci ffinco senz poterle dire un prol t () 0 icndo il tepo dll legge orri dell elocità, t= ed inserendolo nell legge orri dell posizione si ottiene un ltr relzione fr elocità, ccelerzione e spzio: = 0+ 0 ( x x) Quest relzione h un utilità prtic, in reltà contiene le stesse inforzioni fisiche delle leggi orrie, dto che è stt rict d esse. Esepio 4 n u toobile i gg i ll elocità di 0 /s. S e d un cer to istnte inizi dece l erre costnteente di.0/s s i dic q u nto p zi o de e p e r c orr e r e p e r ché diezzi l s s u el o cità e q u nti s ec o ndi t r s c orro n o. S i dic s e q u e s t o p zi o è s gg i or e o in or e dell età dell o p zi o nece s ss r i o p e rf e r r i e i g i us ti f ichi l r i po t c o n il clc o l o. S i r i p etn o il s s s s r g i o nent o ed il clc o l o p e r il te po. Per diezzre l elocità dee percorrere un distnz x x0 tle che: 0 3 = 0+ ( x x0) 0 ( 0) x x = ( x x0) = 0 x x0= = Scriendo l legge orri ponendo l origine nel prio istnte di decelerzione xt () = 0t 1.0t, ed essendo x 0= 0.0bbio: 4

5 10± ( 10) 75 0t 1.0t = 75 t= t1= 5.0s t= 15s 1.0 Coe edreo il secondo lore è prio di significto fisico perché è un tepo successio quello di rresto. Poiché l diinuzione di elocità è unifore nel tepo, cioè ogni secondo l uto perde.0 /s di elocità, il tepo di diezzento dell elocità è esttente l età del tepo di rresto. Inece il oto non è unifore nello spzio: nell pri età dei secondi necessri per l rresto l uto è ediente più eloce che non nell second età, quindi per ferrsi occorrono eno di 75 = 150. Verifichio il rgionento con il clcolo dello spzio di rresto: e del tepo di rresto: = 0+ ( x x0) x x0= = = ± ( 10) 100 0t 1.0t = 100 t= t= 10s 1.0 Studir e gl i esep i sol ti n 11 p. 4, 1 p.43, 1 3p. 45. Studir e le c rtte ri sti che d el o to unif o r ee nte ccele rt o: punto s i f e r i, q unt e olte p ss pe r l o ri g in e e co n q u l i eloc ità. E se r c izi p g. 6 1 n. 4, 44, 45, 46 xt () = t 0.80t, in p rti col r e s i di c se i l 5

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