Capitolo 5: funzioni reali a due variabili reali FUNZIONI REALI A DUE VARIABILI REALI

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1 Capitolo 5 FUNZIONI REALI A DUE VARIABILI REALI Come l insieme R dei numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, così l insieme R delle coppie di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti del piano euclideo. R = R R = DEFINIZIONE. Sia D un sottoinsieme non vuoto di R, D R. Una unzione : D R è detta unzione reale di due variabili reali: : (; ) (; ) = z Esempi. : R R, (; ) = +. : R R, (; ) = + 1. : D R, (; ) = + 3 con D = ;. Se non si precisa il dominio di una unzione, si sottointende che questo è l insieme dei punti nei quali i calcoli indicati nella espressione analitica della unzione sono eseguibili, ossia si considera il più grande dominio in cui la unzione esiste. In Appendice a questo capitolo si riportano richiami sulla soluzione delle disequazioni in due incognite a cui, di norma, occorre ricorrere per la ricerca del dominio di una unzione reale a due variabili reali. 5.1 RICERCA DEL DOMINIO Per la ricerca del dominio si procede in modo analogo a quanto atto per le unzioni reali ad una variabile; in questo caso si dovranno però, di norma, risolvere equazioni e disequazioni a due variabili. In appendice a questo capitolo si riportano i richiami sulla soluzione delle disequazioni in due incognite. Esempi. 1. La unzione (; ) = ln ( + ) è deinita in tutti i punti del semipiano + >. 1

2 . La unzione (; ) = + 1 è deinita in tutti i punti del piano tali che + 1 ossia in tutti i punti esterni e sulla circonerenza di centro l origine e raggio La unzione 9 > ln ( 9 ) (; ) = è deinita in tutti i punti del piano tali che. Il dominio è costituito dai punti esterni alla parabola di equazione = 9 con l esclusione dei punti della retta = La unzione (; ) = ln (1 ) + ln (1 ) è deinita in tutti i punti del piano tali che 1 >. Il dominio è costituito dai punti interni al quadrato rappresentato nella igura 1 > dalla parte più scura, i punti del perimetro sono esclusi

3 5. GRAFICO Il graico di una unzione (; ) = z è costituito dai punti P(; ; z), essi ormano una supericie nello spazio. z S P(;;z) D M(;) Estendiamo alle unzioni a due variabili reali alcune deinizioni già incontrate per le unzioni a una variabile. DEFINIZIONE. Si dice che una unzione (; ) : D R, D R, è limitata se è limitato il suo insieme immagine (D). DEFINIZIONE. Sia (; ) : D R, D R, e sia P( ; ) D, si dice intorno circolare del punto P, di raggio r >, l insieme dei punti interni alla circonerenza di centro P e raggio r. DEFINIZIONE. Sia (; ) deinita in un sottoinsieme D di R e sia P( ; ) un punto interno a D, si dice che P è un punto di: massimo relativo (o locale) se esiste un intorno circolare H del punto P tale che per ogni (; ) D H risulta (; ) ( ; ) ; minimo relativo (o locale) se esiste un intorno circolare H del punto P tale che per ogni (; ) D H risulta (; ) ( ; ) ; massimo assoluto per la unzione (; ) ( ; ) ; (; ) se per ogni (; ) D risulta minimo assoluto per la unzione (; ) se per ogni (; ) D risulta (; ) ( ; ). Per i massimi e i minimi (assoluti o relativi) si parla anche di estremi o estremanti della unzione. In analogia al punto di lesso per le unzioni a una variabile, anche le unzioni a due variabili possono presentare nel loro graico dei particolari punti P( ; ) detti punti a sella. Un punto P è detto punto a sella se ogni intorno di P contiene sia dei punti (; ) tali che (; ) < ( ; ), sia dei punti (; ) tali che (; ) > ( ; ), (diamo un esempio in igura). 3

4 z O Per lo studio e, in particolare, per la ricerca dei massimi, dei minimi e dei punti a sella, anche per le unzioni a due variabili è ondamentale il calcolo dierenziale. Diamo alcuni cenni riportando le nozioni di base. 5.3 CALCOLO DIFFERENZIALE IN R Per le unzioni a due variabili reali non esiste una derivata totale della unzione rispetto alle due variabili indipendenti; si studia allora il variare della unzione al variare di ognuna delle variabili indipendenti, ossia si studia (; ) supponendo costante la e variando oppure supponendo costante la e variando la. Se in (; ) si issa una delle due variabili, si inisce per considerare unzioni di una sola variabile e perciò, dove ciò sia possibile, si parla di: derivata parziale prima rispetto a se è considerata costante la, si indica con,, (; ),, derivata parziale prima rispetto a se è considerata costante la, si indica con,, (; ),, Per calcolare e si considerano rispettivamente la e la delle costanti e si applicano le usuali regole di derivazione delle unzioni di una variabile. Esempi. 1. Se (; ) = 3 + risulta = 6, = +1.. Se (; ) = e + risulta = e +, = e Se (; ) = ln ( 3 + 3) risulta =, = Si può dire che, calcolata in P( ; ), misura l incremento che subisce la unzione (; ) per eetto della variazione della sola nel punto P. Analogamente per. DEFINIZIONE. Data la unzione (; ) si chiama gradiente di in ( ; ) la coppia ormata dalle derivate parziali prime di. Si scrive grad = ( ( ; ), ( ; ) ). A volte il gradiente si indica anche con. 4

5 Sempre in analogia a quanto visto per le unzioni (), anche per le unzioni a due variabili si può deinire il dierenziale. DEFINIZIONE. Data la unzione (; ) continua con le sue derivate parziali prime, si chiama dierenziale totale della unzione relativo al punto ( ; ) e all incremento e delle variabili, la quantità d = ( ; ) + ( ; ). Il dierenziale totale di rappresenta una buona approssimazione dell incremento della unzione, tanto migliore quanto più e sono piccoli. Geometricamente tale approssimazione equivale a sostituire la supericie, graico della unzione, con il piano tangente nel punto P. z t P( ; ) z=(;) ( ; ) Le derivate parziali prime di (; ), in generale, risultano a loro volta unzioni delle due variabili e. Può perciò accadere che siano a loro volta derivabili sia rispetto ad sia rispetto ad, dando così luogo alle derivate parziali seconde indicate con:,,, oppure,,,. Le derivate parziali seconde e sono dette pure, mentre le derivate seconde e sono dette miste. Per il calcolo valgono le usuali regole del calcolo delle derivate prime. Esempi. 1. Se (; ) = + 3 risulta =, = +3 = = = = 6.. Se (; ) = e risulta = e +, = e + = e = e + 1 = e + 1 = e. 5

6 . 3. Se (; ) = risulta = + 3, = 3 +3 = = 3 = 3 = 6. Quando una unzione (; ) ha in un punto interno al suo dominio tanto la derivata che la derivata, queste possono risultare uguali oppure no. Sussite però il seguente teorema, di cui si riporta solo l enunciato, che stabilisce una condizione suiciente ainchè risulti =. Le condizioni richieste dal teorema non sono da noi veriicabili perché in questo corso non sono stati orniti tutti gli strumenti necessari; però le unzioni più comuni e le unzioni che si incontrano nelle applicazioni dei corsi universitari di base, veriicano tutte le ipotesi del teorema (vedi esempi precedenti). Data la sua importanza, riportiamo comunque l enunciato del teorema dovuto a Schwarz. TEOREMA di Schwarz Se la unzione (; ) deinita in D R ammette entrambe le derivate parziali miste, in tutto un intorno del punto P( ; ), interno all insieme D, e se tali derivate seconde sono continue in ( ; ) allora ( ; ) = ( ; ). 5.4 RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI E DEI PUNTI A SELLA Per determinare i massimi, i minimi e i punti a sella di una unzione a due variabili, ci viene in aiuto un teorema che ornisce le cosiddette condizioni del secondo ordine per l esistenza di estremi. Ad esso si deve però premettere la seguente deinizione. DEFINIZIONE. Se la unzione (; ) ammette derivate parziali seconde continue, si chiama determinante hessiano, o più brevemente hessiano di (; ) il determinante : H(; ) = = Possiamo ora enunciare il teorema che ci dà un criterio per la ricerca dei punti estremanti di una unzione (; ). TEOREMA Sia (; ) deinita in D R e avente derivate parziali prime e seconde continue in un intorno circolare C del punto P( ; ). Inoltre nel punto P sia ( ; ) = e ( ; ) = a) Se H( ; ) >, ( ; ) >, allora il punto P è di minimo relativo. b) Se H( ; ) >, ( ; ) <, allora il punto P è di massimo relativo. c) Se H( ; ) <, allora il punto P è un punto a sella. d) Se H( ; ) =, allora non si può dire nulla senza ulteriori indagini su P. Esempio 1. Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi e punti a sella della unzione (; ) =

7 Risolviamo anzitutto il sistema = =, = 6 =. Si trovano le seguenti soluzioni : P(; 1), Q(; 1), R(1; 1), S(1; 1). Questi sono i punti candidati ad essere di massimo, di minimo o punti a sella; per stabilirlo cerchiamo dapprima l hessiano : 1 6 H(; ) = = = (1 6) 1 = Studiamo i punti : H(P) = 7 < allora P punto a sella; H(Q) = 7 > e (Q) = 6 < allora Q punto di massimo relativo; H(R) = 7 > e (R) = 6 > allora R punto di minimo relativo; H(S) = 7 < allora S punto a sella. Esempio. Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi e punti a sella della unzione (; ) = Risolviamo anzitutto il sistema = =, 1 3 = + 7 = Si trovano le seguenti soluzioni : P(; 3), Q(; 3), R(1/6; 3), S(1/6; 3). Questi sono i punti candidati ad essere di massimo, di minimo o punti a sella; per stabilirlo cerchiamo dapprima l hessiano : 4 H(; ) = = = Studiamo i punti : H(P) = 36 > e (P) = < allora Q punto di massimo relativo; H(Q) = 36 < allora Q punto a sella; H(R) = 36 < allora R punto a sella; H(S) = 36 > e (S) = > allora S punto di minimo relativo MASSIMI E MINIMI VINCOLATI (O CONDIZIONATI) Talvolta si presenta il problema di trovare il massimo e il minimo di una unzione (; ) le cui variabili indipendenti sono legate tra loro da certe condizioni (o vincoli). Noi tratteremo solo casi in cui il vincolo è espresso da una equazione, ossia le variabili indipendenti e devono veriicare una equazione g(; ) =. Esempio. Si vogliono produrre pezzi di un dato bene combinando i attori di produzione e in modo da minimizzare i costi. La unzione costo sia data da (; ) = , mentre la unzione produzione sia data da g(; ) =

8 Usando il linguaggio matematico, il problema è quello di determinare il minimo della unzione (; ) = soggetta al vincolo 5 + =. Come già detto, noi tratteremo solo casi in cui il vincolo è espresso da una sola condizione per mezzo di una equazione. Per i casi più semplici ossia quelli in cui dall equazione del vincolo si può esplicitare una delle due variabili, la ricerca dei massimi e minimi si riporta a quella delle unzioni a una variabile. Illustriamo con alcuni esempi. Esempio 1. Determinare il minimo della unzione (; ) = + soggetta al vincolo + 1 = (ossia i punti del dominio della sono tutti e soli i punti della retta di equazione + 1 = ). Dal vincolo possiamo ricavare ad esempio la in unzione di, si ha = 1. Sostituendo in (; ) = + si ottiene una unzione nella sola che, con abuso di linguaggio, continueremo ad indicare con : () = +1 Basta ora determinare il minimo di questa unzione () ad una sola variabile : () = 4, () = per =,5, () = 4 > allora il punto di ascissa =,5 è un punto di minimo relativo. Il corrispondente punto sul vincolo è P(,5;,5) ; in esso la unzione (; ) assume il valore (P) =,5. Esempio. Determinare gli estremi relativi della unzione (; ) = soggetta al vincolo + 1 =. Dal vincolo ricaviamo = + 1 e sostituendo nella unzione otteniamo () = 3 +1 ; cerchiamo gli estremi relativi di questa unzione studiandone la derivata prima. Risulta () = 3 + 1, () = per = e = ; () > per < < (unzione crescente); () < per < e > (unzione decrescente). () < () > () < Pertanto il punto = è un minimo relativo, il punto = è un massimo relativo. I corrispondenti punti di minimo e massimo relativo della unzione di partenza sul vincolo sono rispettivamente i punti P( ; 8) e Q(; 8) ; in essi la unzione (; ) assume i valori (P) = 16, (Q) = 16. Esempio 3. Determinare gli estremi relativi della unzione (; ) = + soggetta al vincolo + 4 =. Dal vincolo ricaviamo = + 4 e sostituendo nella unzione otteniamo () = 1 +16, cerchiamo gli estremi relativi di questa unzione studiandone la derivata prima. Risulta () = 4 1 ; () = per = 3 ; () > per > 3 (unzione crescente) ; () < per < 3 (unzione decrescente). Pertanto il punto = 3 è un 8

9 minimo relativo; il corrispondente punto sul vincolo è P( ; 3) e in esso la unzione assume il valore minimo (P) =. Per la determinazione dei massimi e minimi vincolati esiste anche un metodo generale applicabile anche se il vincolo non è esplicitabile rispetto ad una delle variabili, è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che esponiamo brevemente. Data la unzione (; ) soggetta al vincolo g(; ) =, si costruisce la unzione ausiliaria F(t; ; ) = (; ) + t g(; ), t R. Si determinano successivamente le soluzioni (t; ; ) del sistema F' = t F' = F' = ossia g(;) = '(; ) + t g'(; ) = '(; ) + t g'(; ) = Gli eventuali punti ( ; ) di massimo o di minimo della unzione (; ) soggetta al vincolo g(; ) = si trovano ra le soluzioni di tale sistema. Per ognuna di queste soluzioni (t; ; ) si calcola il determinante hessiano : 1 F tt t t t t H(t; ;) = F F F = g' F F. F F F F F g' g' F g' F Se H(t; ; ) > allora in P( ; ) si ha un massimo; Se H(t; ; ) < allora in P( ; ) si ha un minimo; Se H(t; ; ) = allora non si può dire nulla e occorrono ulteriori indagini. Esempio. Determinare i massimi e minimi della unzione (; ) = soggetta al vincolo + 1 =. La unzione Lagrangiana è F(t; ; ) = + t ( + 1). Gli eventuali punti di massimo e minimo vanno cercati ra le soluzioni del sistema + 1= t = + t =. a b c 1 Per determinare il valore del determinante si ricorda che: d e = aei + bg + cdh bdi ah ceg. g h i 9

10 Si ottengono quattro soluzioni : t = = 1 =, t = = 1 =, t = 1 = = 1, t = 1 = = 1. P t= (1; ), Q t= ( 1; ), R t= 1 (; 1), S t= 1 (; 1). Calcoliamo l hessiano : H(t; ;) = t =. + t 8 8t 8t H(P) = 8 < allora P punto di minimo; H(Q) = 8 < allora Q punto di minimo; H(R) = 8 > allora R punto di massimo; H(S) = 8 > allora S punto di massimo. 5.6 APPLICAZIONI ALL ECONOMIA Esempio 1. Un impresa produce due beni e venduti, rispettivamente, ai prezzi issi p 1 e p e le cui leggi di domanda sono espresse da = 7 p1 + p ; = 5 + 3p1 4p la unzione costo è data da C = Determinare il proitto massimo. Il proitto è dato da π = R C e poiché il ricavo R è dato da R = p 1 + p, risolviamo il seguente sistema rispetto p 1 e p : p1 p = 7 3p1 4p = 5 + da cui p 1 = 66,8, e p = 6,6,4. La unzione proitto è dunque π = R C = p1 + p C =,8,4, Cerchiamo anzitutto i punti che annullano contemporaneamente le derivate parziali prime di e poi studiamo tali punti con l hessiano. π' = 1,6,8 + 5 = π' =,8,8 + 5 = questo sistema ha soluzione = 11,5, e = 45. Studiamo il punto P(11,5; 45). 1,6,8 H = =,64,8,8 1

11 H risulta costante e quindi anche H(P) =,64 >, inoltre π ' (P) = 1,6 < allora si conclude che P(11,5; 45) è un punto di massimo; in esso la unzione proitto vale π (11,5;45) = 165. Esempio. Si consideri un impresa, in regime di monopolio, che produce una merce utilizzando due impianti aventi rispettivamente unzione di costo C 1 = 1 e C =,5. Sia data la domanda di mercato t = p (da cui p = 1,5t ) con t = +. Determinare le quantità e per avere il massimo proitto. Il proitto è dato da π = R C 1 C e R = tp = t (1,5t) = 1t,5 t ossia R = 1 ( + ),5( + ). Si ottiene pertanto : π = 1 ( + ),5( + ) 1,5 =,5, Cerchiamo i valori di e che annullano le derivate prime di : π' = + 9 = Risolvendo il sistema si trova = 7 e =. Studiamo il punto P(7; ) con l hessiano: π' = 1,5 + 1 = 1 1 H = =,5 1 1,5 H risulta costante e quindi anche H(P) =,5 >, inoltre π ' (7; ) = 1< e quindi in corrispondenza dei valori = 7 e = la unzione proitto raggiunge il massimo. La produzione complessiva è dunque t = 7 + = 9 che sarà venduta al prezzo p = 1 45 = 55 producendo il proitto massimo di (7; ) = R C 1 C = 415. Esempio 3. Un impresa vuole produrre 14 pezzi di un dato prodotto e vuole combinare i attori di produzione, e, in modo da minimizzare i costi. La unzione costo è data da C = mentre la unzione di produzione è g(; ) = 4 +. Determinare la produzione di e in modo da minimizzare i costi. Si tratta di determinare il minimo della unzione C sotto il vincolo 14 = 4 +. Dal vincolo ricaviamo = 7 e sostituendo si ottiene C = 5 +(7 ) +5(7 ) +8 = ed essendo il suo graico una parabola convessa, ha il suo minimo nel vertice che ha 16 ascissa = = 3 da cui segue = 7 6 = 1. Dunque la unzione costo ha il 4 suo minimo per una produzione di = 3 e di = 1. Tale costo minimo vale C(3; 1) =

12 Esempio 4. Massimizzare la unzione di utilità U = + + con il vincolo di bilancio + 5 = Dal vincolo otteniamo = e sostituendo in U si ottiene U = che è una parabola concava verso il basso e quindi ha il suo massimo nel vertice per = 13. Dunque la unzione di utilità ha il suo massimo per = 13 e = 5 e assume il valore U(13; 5) = 88. GEOMETRICAMENTE. Si può ritrovare geometricamente lo stesso risultato disegnando nel piano le curve (dette di indierenza) (1) + + = k + k che sono iperboli equilatere di equazione = e disegnando la curva di bilancio + espressa dal vincolo () + 5 = 51. Il massimo di utilità si ha per i valori di k che rendono la (1) tangente alla () che esprime il vincolo. Le coordinate dei punti di tangenza sono i valori di e che rendono massima la unzione utilità k=133 k= 88 k= 43 Nel graico sono riportate le curve relative a tre diversi valori di k. (k = 43 ; k = 88 ; k = 133 ) 1

13 ESERCIZI DA SVOLGERE 1. Trovare i massimi e i minimi relativi delle seguenti unzioni a due variabili: a) (, ) = b) (, ) = + + c) 3 (, ) = 4 d) (, ) = e) g) (, ) = ) (, ) = ( + ) 4 4 = h) (, ) = e ( + ) (, ) i) (, ) = + 4 l) + (, ) = ( 1). Trovare i massimi e i minimi vincolati delle seguenti unzioni a due variabili, col vincolo a ianco indicato: a) (, ) = = b) c) d) (, ) = = 1 + (, ) = e + = (, ) = + = 1 e) (, ) = = ) (, ) = + + = 5 g) (, ) + = 4 + = 13

14 APPENDICE AL CAPITOLO 5 RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Le disequazioni in due incognite hanno come soluzione coppie di numeri reali e quindi, al pari delle equazioni, sono rappresentate nel piano dai punti aventi come coordinate quelle coppie. L insieme di questi punti non costituisce più una curva come nel caso delle equazioni, ma tutta una regione di piano. Risolvere una disequazione in due incognite signiica determinare la regione di piano i cui punti hanno come coordinate le soluzioni della disequazione. Di seguito, data una disequazione (; ) > o (; ) <, chiameremo equazione associata l equazione (; ) = ottenuta sostituendo il simbolo della disugualianza con quello della ugualianza. DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO IN DUE INCOGNITE. Ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta tutti e soli i punti di una retta. Le soluzioni di una disequazione di primo grado sono invece rappresentate da tutti e soli i punti di un semipiano, (si chiama semipiano ognuna delle due parti in cui rimane diviso il piano da una retta). Risolvere una tale disequazione signiica quindi determinare il semipiano i cui punti hanno come coordinate le soluzioni della disequazione. Per determinare il semipiano delle soluzioni, si traccia la retta che ha come equazione quella associata alla disequazione. Per determinare quale dei due semipiani individuati da questa retta è quello delle soluzioni, è suiciente are la veriica con un punto qualunque P non appartenente alla retta. Se le coordinate di P veriicano la disequazione allora il semipiano delle soluzioni è quello a cui appartiene P, altrimenti è l altro semipiano. Ad esempio, data la disequazione >, esaminiamo i semipiani individuati dalla retta =. Consideriamo un punto non appartenente alla retta, per esempio O(; ), le coordinate di questo punto sostituite nella disequazione danno 1 >, disugualianza vera e quindi il semipiano che rappresenta le soluzioni della nostra disequazione è quello a cui appartiene il punto O. 14

15 Se la disequazione è del tipo o allora anno parte delle soluzioni anche i punti della retta. Eseecizio. Determinare graicamente le soluzioni della disequazione Rappresentiamo la retta =. Poiché O(; ) non appartiene alla retta, proviamo con le sue coordinate se la disequazione è veriicata oppure no. Risulta 6 ; essendo questa disugualianza alsa, signiica che il semipiano delle soluzioni è quello a cui non appartiene O. 3 Esercizi da svolgere. Rappresentare le soluzioni delle seguenti disequazioni : > < DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN DUE INCOGNITE. In modo analogo a quanto atto per le disequazioni di primo grado, anche le disequazioni di secondo grado si risolvono considerando la curva avente equazione quella associata alla disequazione. Soluzioni della disequazione sono le coordinate dei punti di una delle due parti in cui rimane diviso il piano dalla curva. Considerando le coordinate di un qualunque punto del piano non appartenente alla curva, si determina quale parte del piano rappresenta le soluzioni della disequazione. Illustriamo con degli esempi. Esercizi. Rappresentare le soluzioni delle seguenti disequazioni : >. L equazione associata =, ossia = 8 + 7, rappresenta una parabola. Il punto O(; ) non appartiene alla parabola e sotituendo le sue coordinate nella disequazione si ottiene 7 > ; poiché questa disugualianza è vera, le soluzioni della disequazione sono le coordinate dei punti della porzione di piano individuata dal graico della parabola e contenente O. 15

16 L equazione associata + = 5, rappresenta una circonerenza di centro O(; ) e raggio 5. Consideriamo il punto O(; ) che non appartiene alla circonerenza e sostituiamo le sue coordinate nella disequazione; si ottiene 5 che è una disugualianza vera e perciò i punti che rappresentano le soluzioni della disequazione sono tutti e soli quelli interni alla circonerenza, compresi i punti della circonerenza ( 3) ( 1) 1. L equazione associata ( 3) ( 1) = 1, rappresenta una iperbole equilatera avente come asintoti le rette = 3 e = 1. Consideriamo il punto O(; ) che non appartiene alla iperbole e sostituiamo le sue coordinate nella disequazione ; si ottiene 3 1 che è una disugualianza alsa e quindi i punti che rappresentano le soluzioni della disequazione sono tutti e soli quelli della porzione di piano a cui non appartiene O, compreso i punti dell iperbole. 1 3 Esercizi da svolgere. Rappresentare le soluzioni delle seguenti disequazioni : 1. 3 > : 3. + > > 4. 16

17 SISTEMI DI DISEQUAZIONI. Un sistema di disequazioni è soddisatto da tutti e soli i punti che soddisano contemporaneamente tutte le disequazioni in esso presenti. Per individuare tali punti basta rappresentare in uno stesso sistema di coordinate le soluzioni di tutte le disequazioni ed individuare graicamente l insieme intersezione delle varie regioni che sono soluzione delle singole disequazioni. Vediamo alcuni esempi. Esempio 1. Rappresentare le soluzioni del sistema + 1 Le soluzioni del sistema sono rappresentate in igura dalla zona più scura ottenuta come intersezione dei due semipiani soluzioni delle singole disequazioni. Le semirette che delimitano la zona soluzione anno parte della soluzione. 1 1 Esempio. Rappresentare le soluzioni del sistema > + 1 Le soluzioni del sistema sono rappresentate dal semicerchio in igura più scuro. I punti della semicirconerenza anno parte della soluzione. 1 17

18 18 Esercizi da svolgere. Rappresentare le soluzioni dei seguenti sistemi : 1. + > > <.