FUNZIONI DI DUE VARIABILI

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1 Una unzione di più variabili viene indicata come: : A B con A R Se n la unzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente scritta come: z La sua rappresentazione graica si realizza introducendo un sistema cartesiano di rierimento riportando sull asse verticale!!! i valori della variabile dipendente z. n

2 Esempio 1 Il graico della unzione è: z

3 La unzione di Cobb-Douglas: dove: P CK α 1 α Pproduzione totale Cproduzione unitaria Lunità di lavoro impiegato Kunità di capitale investito α costante compresa tra ed 1 L

4 Sezionando il graico di una unzione di due variabili con un piano parallelo al piano si ottengono le curve di livello. Considerando la unzione dell esempio 1 e proiettando le curve di livello sul piano si ottiene:

5 Una unzione è omogenea di grado s se: v v v s La unzione di Cobb-Douglas è omogenea di grado s1: P vk vl C vk vl α 1 α α α 1 α 1 α α 1 α α 1 α Cv K v L v v CK L vp K L

6 L estensione del concetto di limite di una unzione non è immediata. Inatti la modalità di avvicinamento nel piano di un punto di coordinate ad un punto o o di accumulazione per il dominio della unzione non è unica ma anzi può avvenire seguendo un numero ininito di traiettorie. Vale il risultato: Il lim è uguale ad l se per ogni successione o o n che converge a n n o o la successione n n converge ad l. n

7 L estensione della deinizione di derivata di una unzione continua non è immediato. Inatti il limite del rapporto incrementale lim + + non ha signiicato in quanto rapporto di un numero il numeratore con una coppia di numeriil denominatore!

8 Considerando la variazione della unzione continua generata dalla variazione di una variabile alla volta: lim lim + + si ottengono con le stesse attenzioni delle unzioni di una variabile le derivate parziali rispetto ad e rispetto ad : e

9 Il vettore che contiene le derivate parziali della unzione viene denominato gradiente della unzione e viene indicato: Le derivate parziali per la unzione di C-D sono: α α α 1 1 L K C K P L K P K K P α α α α L K C L P L K P L 1 L P 1 α

10 L elasticità della produzione rispetto al capitale è: P K P K K P P K ovvero E K L elasticità della produzione rispetto al lavoro è: P L P L P L ovvero E L L P E K E L α 1 α

11 Derivate di ordine successivo. Le derivate parziali prime in quanto unzioni possono essere derivate a loro volta naturalmente se soddisano le condizioni già ricordate ottenendo:

12 Le derivate parziali seconde possono essere organizzate in una matrice denominata matrice Hessiana. H

13 Massimi e minimi relativi liberi e selle

14 Le condizioni necessarie e suicienti sono : Condizione necessaria o o Condizione suiciente per avere un massimo relativo > 1. deth o o. < o o Condizione suiciente per avere un minimo relativo > 1. deth o o. o o > o o Condizione suiciente per avere una sella < deth o o

15 Esempio. Determinare la natura dei punti critici della 3 unzione: Dalle condizioni necessarie: si determinano i candidati: -3 e 3. La matrice Hessiana è: H 6

16 Sostituendo le coordinate del primo punto si ha: deth4> -3-1 e quindi in -3 la unzione presenta un ma. Sostituendo le coordinate del secondo punto si ha: deth e quindi in 3 la unzione presenta una sella.

17 Massimi e minimi vincolati. La struttura del problema è la seguente: ma g Per risolvere il problema di massimo minimo vincolato si introduce la unzione lagrangiana: L λ + λ g dove λ è il moltiplicatore di Lagrange. Il massimo libero della unzione di Lagrange se esiste equivale al massimo vincolato della unzione di partenza.

18 Le condizioni necessarie per la unzione sono: Il soddisacimento della prima condizione equivale al soddisacimento del vincolo inatti: L λ L L L λ λ λ L [ ] + g g λ

19 Teorema Sia λo o o una soluzione del sistema di equazioni che esprimono le condizioni del primo ordine. Se la unzione lagrangiana è dotata di derivate parziali seconde e il determinante della matrice hessiana in λo o o è positivo negativo allora in o o la unzione z presenta un massimo minimo relativo e soddisa il vincolo.

20 Il moltiplicatore di Lagrange o costo opportunità del vincolo. rappresenta il Si supponga che si voglia massimizzare la unzione dei ricavi e che il vincolo rappresenti il vincolo di spesa sui mezzi di produzione. Se si aumenta di 1 unità il budget allora i ricavi crescono di circa unità. λ o Questo risultato consente di valutare se conviene aumentare diminuire le risorse investite. λ

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