a) Determinare i numeri indice a base fissa del fatturato con base 2007=100 e commentare i risultati ottenuti per gli anni 2008 e 2012

ESERCIZIO 1 Nella tabella che segue sono riportate le variazioni percentuali, rispetto all anno precedente, del fatturato di un azienda. Sulla base dei dati contenuti in tabella a) Determinare i numeri indice a base fissa del fatturato con base 2007=100 e commentare i risultati ottenuti per gli anni 2008 e 2012 b) Determinare i numeri indice a base fissa del fatturato con base 2012=100 e commentare i risultati ottenuti per gli anni 2007 e 2011 c) Calcolare la variazione complessiva e la variazione media annua del fatturato dell azienda nel periodo considerato Anni 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Var % - +5,5% +6,8% +4% +4,5% -3,2% 1

SOLUZIONE a) Per determinare i numeri indice a base fissa con base 2007=100 occorre innanzitutto calcolare i numeri indice a base mobile partendo dalle variazioni percentuali note. Poiché le variazioni percentuali rispetto all anno precedente sono ottenute secondo il rapporto Allora basta aggiungere 100 ai valori riportati nella tabella originaria e si otterranno i numeri indice a base mobile per la stessa serie storica. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva. Anni 2007 2008 2009 2010 2011 2012 n. indice a base mobile - = 5,5+100 = 105,5 = 6,8+100 = 106,8 = 4+100 = 104 = 4,5+100 = 104,5 = -3,2+100 = 96,8 Una volta noti i numeri indice a base mobile, è possibile calcolare i numeri indice a base fissa. L anno 2007, scelto come base, avrà naturalmente valore 100. Per il calcolo dei numeri indice a base fissa degli altri anni, invece, sarà sufficiente calcolare il prodotto del numero indice a base mobile dell anno corrente per quello degli anni precedenti e dividere per 100. NB. Per semplicità di calcolo, si può semplicemente moltiplicare il numero indice a base mobile dell anno corrente per quello dell anno precedente, che a sua volta è già il prodotto dell anno precedente per l anno ancora precedente. 2

Si otterrà dunque che Anno 2008 100*105,5/100 = 105,5 Anno 2009 105,5*106,8/100 = 112,674 Anno 2010 112,674*104/100 = 117,181 Anno 2011 117,181*104,5/100 = 122,454 Anno 2012 122,454*96,8/100 = 188,535 Naturalmente, allo stesso risultato si arriva anche calcolando i numeri indice a base fissa con il metodo alternativo, ovvero Anno 2008 1*1,055*100 = 105,5 Anno 2009 1*1,055*1,068*100 = 112,674 Anno 2010 1*1,055*1,068*1,04*100 = 117,181 Anno 2011 1*1,055*1,068*1,04*1,045*100 = 122,454 Anno 2012 1*1,055*1,068*1,04*1,045*0,968*100 = 118,535 I risultati emersi indicano che dal 2007 al 2008 il fatturato dell azienda è aumentato del 5,5%, mentre dal 2007 al 2012 è aumentato complessivamente del 18,535% b) Per determinare la serie dei numeri indice a base fissa con base 2012=100, poiché i valori da calcolare sono tutti precedenti alla base, devo calcolare l inverso dei prodotti dei numeri indice dal tempo k+1 fino a t compreso. 3

NB. Per semplicità di calcolo, si può semplicemente dividere il numero indice a base fissa del tempo successivo a quello corrente per il numero indice a base mobile del tempo successivo a quello corrente. Il risultato andrà poi moltiplicato per 100. Per la serie storica in esame avrò dunque che, posto 2012=100 Anno 2011 100/96,8*100 = 103,306 Anno 2010 103,6/104,5*100 = 98,857 Anno 2009 98,857/104*100 = 95,055 Anno 2008 95,055/106,8*100 = 89,003 Anno 2007 89,003/105,5*100 = 84,363 In alternativa avrei potuto calcolare (giungendo naturalmente agli stessi risultati) Anno 2011 (0,968) -1 *100 = 103,306 Anno 2010 (0,968*1,045) -1 *100 = 98,857 Anno 2009 (0,968*1,045*1,04) -1 *100 = 95,055 Anno 2008 (0,968*1,045*1,04*1,068) -1 *100 = 89,003 Anno 2007 (0,968*1,045*1,04*1,068*1,055) -1 *100 = 84,363 I dati indicano che il fatturato del 2011 era maggiore rispetto a quello del 2012 del 3,306%, mentre nel 2007 era inferiore a quello del 2012 del 15,637%. 4

c) La variazione complessiva del periodo si ottiene dividendo l ultimo termine della serie di numeri indice a base fissa per il primo. Da risultato sottraggo poi 1 e moltiplico per 100. Ne consegue che, considerando la serie con base 2007=100, 118,536/100 = 1,18536 Da cui (1,18536 1) * 100 = +18,536% Naturalmente, lo stesso risultato si sarebbe ottenuto anche considerando la serie con base 2012 = 100: 100/84,363 = 1,18536 Da cui (1,18536 1) * 100 = +18,536% Il risultato indica che nel periodo dal 2007 al 2012 il fatturato dell azienda è aumentato complessivamente del 18,536%. Per calcolare la variazione percentuale media annua è sufficiente calcolare la media geometrica dei numeri indice a base mobile, per cui 5

NB. Si ricorda che la media geometrica dei numeri indice a base mobile è pari a Allo stesso risultato si sarebbe giunti ponendo calcolando Tale risultato indica che il fatturato dell azienda è aumentato a un tasso medio annuo del 3,46%. 6

ESERCIZIO 2 La tabella seguente riporta le serie storiche dei prezzi al consumo di un bene in tre punti vendita differenti. a) Calcolare le serie dei numeri indici a base fissa dei prezzi nei tre punti vendita, con base 2008=100, e se ne illustri il significato b) Determinare e commentare la serie dei numeri indice composti dei prezzi, con base 2008=100, assegnando al punto vendita A peso = 20, al punto vendita B peso = 30 e al punto vendita C peso = 50. c) Spiegare il significato dei pesi. Anno Punto vendita A Punto vendita B Punto vendita C 2008 20,4 20,4 18,6 2009 21,3 21,0 19,4 2010 20,2 21,2 18,3 2011 21,2 22,8 19,9 2012 21,5 23,5 21,3 7

SOLUZIONE a) Per calcolare i numeri indice a base fissa basta calcolare il rapporto tra il valore assunto dal fenomeno nell anno corrente e il valore assunto dallo stesso fenomeno nell anno scelto come base. Tale rapporto andrà poi moltiplicato per 100. I risultati dei calcoli relativi ai tre punti vendita considerati sono riportati nella tabella seguente Anno Punto vendita A Punto vendita B Punto vendita C 2008 100 100 100 2009 = 21,3/20,4 * 100 = 104,4 = 21,0/20,4 * 100 = 102,9 = 19,4/18,6 * 100 = 104,3 2010 = 20,2/20,4 * 100 = 99,0 = 21,2/20,4 * 100 = 103,9 = 18,3/18,6 * 100 = 98,4 2011 = 21,2/20,4 * 100 = 103,9 = 22,8/20,4 * 100 = 111,8 = 19,9/18,6 * 100 = 107,0 2012 = 21,5/20,4 * 100 = 105,4 = 23,5/20,4 * 100 = 115,2 = 21,3/18,6 * 100 = 114,5 COMMENTO: il prezzo del bene in oggetto è generalmente aumentato nel periodo dal 2008 al 2012 per tutti e tre i punti vendita. In particolare, nel punto vendita A il prezzo è aumentato del 5,4% dal 2008 al 2012, ma ha subito un calo pari all 1% dal 2008 al 2010. Nel punto vendita B si è registrato un aumento del 15,2% dal 2008 al 2012, con una crescita continua. Nel punto C, infine, si è registrato un calo nel prezzo di vendita pari all 1,6% dal 2008 al 2010, ma considerando l intero periodo dal 2008 al 2012 si è assistito a una crescita del 14,5%. 8

b) Per calcolare i numeri indice composti bisogna calcolare, per ogni anno, la media ponderata (con i pesi assegnati) dei numeri indice a base fissa dei tre punti vendita. La formula da applicare in questo caso è dunque Poiché i pesi assegnati erano: punto vendita A = 20 punto vendita B = 30 punto vendita C = 50 si avrà che Anno 2008 100 Anno 2009 (104,4*20+102,9*30+104,3*50)/100 = 103,9 Anno 2010 (99,0*20+103,9*30+98,4*50)/100 = 100,17 Anno 2011 (103,9*20+111,8*30+107,0*50)/100 = 107,82 Anno 2012 (105,4*20+115,2*30+114,5*50)/100 = 112,89 9

I risultati emersi indicano che nei tre punti vendita il prezzo del bene venduto è aumentato mediamente del 3,9% dal 2008 al 2009. Nell intero periodo considerato, ovvero dal 2008 al 2012, l aumento medio dei prezzi nei tre punti vendita è stato pari al 12,89%. c) Il peso attribuito a ciascun punto vendita indica l importanza dello stesso punto vendita. 10

ESERCIZIO 3 Nella seguente tabella sono riportati i costi per l acquisto delle materie prime (in migliaia di euro) di un azienda alimentare e i numeri indice composti dei prezzi alla produzione del settore alimentare forniti dall ISTAT (base 2005=100). a) Determinare la corrispondente serie storica dei costi in euro 2011 b) Calcolare la variazione complessiva. Commentare i risultati c) Calcolare il tasso medio annuo di variazione dei costi a prezzi costanti e a prezzi correnti. Commentare i risultati Anno Costi Numeri indice composti 2007 500 116,7 2008 530 117,3 2009 550 113,8 2010 580 119,1 2011 600 125,2 11

SOLUZIONE a) Per determinare la serie storica dei costi in euro 2011 bisogna calcolare i costi deflazionati allo stesso anno 2011. In primo luogo, quindi, si devono riportare i numeri indice composti dei prezzi dalla base 2005=100 alla base 2011=100 bisogna innanzitutto calcolare il coefficiente di raccordo. Questo sarà il rapporto tra il numero indice dell anno della nuova base (2011) preso alla vecchia base (2005=100) e il numero indice della vecchia base (2005) preso all anno della vecchia base (2005=100). Poiché il numero indice della base è sempre 100, allora il coefficiente di raccordo tra le due basi sarà Poiché si tratta di riportare i numeri indice di una base più vecchia ad una più recente, si dividono i numeri indice precedenti per il coefficiente di raccordo. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva Anno Numeri indice composti Base 2005=100 Numeri indice composti Base 2011=100 2007 116,7 = 116,7/1,252 = 93,21 2008 117,3 = 117,3/1,252 = 93,69 2009 113,8 = 113,8/1,252 = 90,89 2010 119,1 = 119,1/1,252 = 95,13 2011 125,2 100 12

A questo punto è possibile calcolare la serie dei costi a prezzi costanti in euro 2011. Per fare ciò bisogna dividere i valori dei prezzi correnti per i rispettivi numeri indice composti dei prezzi (base 2011=100) divisi per 100. I risultati sono quelli riportati nella tabella seguente Anno Costi Numeri indice composti Base 2011=100 Costi deflazionati 2007 500 = 116,7/1,252 = 93,21 = 500/0,9321 = 536,42 2008 530 = 117,3/1,252 = 93,69 = 530/0,9369 = 565,69 2009 550 = 113,8/1,252 = 90,89 = 550/0,9089 = 605,13 2010 580 = 119,1/1,252 = 95,13 = 580/0,9513 = 609,69 2011 600 100 600 b) Per determinare la variazione complessiva dei costi basta rapportare il costo a fine periodo e il costo a inizio periodo. Si avrà dunque che - prezzi correnti - prezzi costanti 13

Da cui emerge che l aumento complessivo è stato pari a - in termini relativi (a prezzi costanti) (1,119-1)*100 = 11,9% - in termini monetari (a prezzi correnti) (1,20-1)*100 = 20% c) Per calcolare il tasso medio annuo di variazione, poiché si conoscono i valori assoluti dei costi, si applicherà la formula Per la serie storica in esame si avrà dunque che il tasso medi annuo di variazione è pari a - in termini relativi (a prezzi costanti) 14

- in termini monetari (a prezzi correnti) Ciò significa che in termini reali i costi sono aumentati in media del 2,9% l anno, mentre in termini monetari si è assistito a un aumento medio annuo del 4,7%. 15

ESERCIZIO 4 Un contratto di locazione, stipulato nel 2005, deve essere aggiornato nel 2011 per tener conto dell inflazione, che è misurata attraverso il NIC (numeri indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati). Dalle pubblicazioni ISTAT si ricavano le serie riportate nella tabella successiva. a) Determinare l importo in euro aggiornato al 2011 del contratto, che nel 2005 aveva un importo di 1000 euro b) Calcolare il tasso medio di inflazione per il periodo 2005-2011 e se ne commenti il risultato. Anno Numero indice dei prezzi Base 1995=100 Numero indice dei prezzi Base 2010=100 2005 126,0 --- 2006 128,7 --- 2007 130,9 --- 2008 135,3 --- 2009 136,3 --- 2010 138,5 100 2011 --- 102,6 16

SVOLGIMENTO a) Per poter aggiornare l importo del contratto bisogna conoscere l entità dell inflazione nel periodo 2005-2011 (dalla data di stipula del contratto al momento in cui il contratto stesso deve essere aggiornato). Poiché i dati forniti dall ISTAT sono presentati con due basi differenti, bisogna innanzitutto operare un concatenamento delle due serie storiche per riportare tutti i valori ad un unica base. Si decide quindi di riportare i dati della vecchia base (1995=100) in termini della nuova base (2010=100). Per poter effettuare il concatenamento bisogna calcolare il coefficiente di raccordo Una volta noto il coefficiente di raccordo, è possibile riportare tutti i numeri indice della vecchia base in termini della nuova base semplicemente dividendo i valori della vecchia base per il coefficiente di raccordo. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella seguente 17

Anno Numero indice dei prezzi Base 1995=100 Numero indice dei prezzi Base 2010=100 2005 126,0 = 126/1,385 = 90,97 2006 128,7 = 128,7/1,385 = 92,92 2007 130,9 = 130,9/1,385 = 94,51 2008 135,3 = 135,3/1,385 = 97,69 2009 136,3 = 136,3/1,385 = 98,41 2010 138,5 100 2011 --- 102,6 L entità complessiva dell inflazione nel periodo 2005-2011 deriverà dal rapporto tra il numero indice dell anno 2011 e quello dell anno 2005, espressi entrambi con base 2010=100. Per la serie in esame si avrà dunque che Questo valore indica che dal 2005 al 2011 i prezzi sono aumentati mediamente del 12,8%. Per ottenere l importo del contratto aggiornato al 2011, quindi, basterà calcolare il prodotto dell importo originario per il coefficiente appena trovato. Si otterrà dunque che l importo aggiornato del contratto sarà 1000*1,128 = 1128 euro 18

b) Lavorando con numeri indice a base fissa, e conoscendo già il rapporto tra xt e x1, (=1,128), il tasso medio annuo di inflazione nel periodo considerato si otterrà come Ciò indica che nel periodo dal 2005 al 2011 i prezzi sono aumentati in media del 2% all anno. 19

ESERCIZIO 5 La popolazione residente (in migliaia) in un comune italiano dal 2001 al 2006 ha seguito l andamento riportato nella tabella successiva. a) Costruire la serie dei numeri indice a base fissa 2001=100 e a base fissa 2003=100, Commentare i risultati b) Costruire la serie dei numeri indice a base mobile Anno 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Pop. 1368 1359 1334 1322 1306 1304 20

SVOLGIMENTO a) Per costruire la serie di numeri indice della popolazione con base fissa 2001=100, bisogna calcolare il rapporto tra la popolazione in ciascun anno diverso dal 2001 e la popolazione nell anno 2001. In maniera del tutto analoga si procede per calcolare la serie di numeri indice con base fissa 2003=100. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva Anno Popolazione Numeri indice Base 2001=100 Numeri indice Base 2003=100 2001 1368 100 = 1368/1334*100 = 102,55 2002 1359 = 1359/1368*100 = 99,34 = 1359/1334*100 = 101,87 2003 1334 = 1334/1368*100 = 97,51 100 2004 1322 = 1322/1368*100 = 96,63 = 1322/1334*100 = 99,10 2005 1306 = 1306/1368*100 = 95,47 = 1306/1334*100 = 97,90 2006 1304 = 1304/1368*100 = 95,32 = 1304/1334*100 = 97,75 Dall analisi dei risultati emersi si nota che la popolazione residente nel comune considerato ha subito un calo costante nel periodo considerato. Ad esempio, considerando la serie dei numeri indice con base 2001=100, nel 2002 la popolazione è diminuita dello 0, 65% rispetto all anno precedente mentre nel 2003 è diminuita del 2.48% rispetto all anno 2001. Con riferimento alla serie dei numeri indice con base 2003=100, invece, possiamo dire che la popolazione residente nel 2002 è più alta dell 1.8741% rispetto all anno 2003 e che quella residente nel 2001 è superiore del 2,55% rispetto al 2003. 21

b) Per calcolare la serie dei numeri indice a base mobile è necessario calcolare il rapporto tra la popolazione nell anno corrente e quella nell anno precedente. I risultati sono riportati nella tabella seguente Anno Popolazione Numeri indice Base mobile 2001 1368 --- 2002 1359 = 1359/1368*100 = 99,34 2003 1334 = 1334/1359*100 = 98,16 2004 1322 = 1322/1334*100 = 99,10 2005 1306 = 1306/1322*100 = 98,79 2006 1304 = 1304/1306*100 = 99,85 22

ESERCIZIO 6 La tabella seguente riporta i dati relativi alla vendita all ingrosso di agrumi nel 1999 e nel 2009 a) Calcolare l indice dei prezzi di Laspeyres b) Calcolare l indice dei prezzi di Paasche c) Calcolare l indice dei prezzi di Fisher Agrumi Prezzi all ingrosso Quantità 1999 2009 1999 2009 Arance 5720 23695 6626 5528 Limoni 10770 43280 2154 2235 Mandarini 9025 31750 1700 1591 SVOLGIMENTO a) Per calcolare l indice dei prezzi di Laspeyres è necessario conoscere i dati relativi ai prezzi al 1999, ai prezzi al 2009 e alle quantità al 1999. Sostituendo i dati necessari nella formula, si avrà che 23

Da cui 397,95-100 = 297,95 Nel decennio dal 1999 al 2009 il prezzo all ingrosso degli agrumi è aumentato quasi del 300% (valore esatto: 297,95%), posto che le quantità vendute siano rimaste quelle del 1999. b) Per calcolare l indice dei prezzi di Paache si assume che le quantità siano costanti, pari a quelle del 2009. I dati che servono in questo caso, quindi, sono quelli relativi ai prezzi del 1999, ai prezzi del 2009 e alle quantità del 2009. Da cui 397,19-100 = 297,19 Anche secondo il valore dell indice dei prezzi di Paache,el decennio dal 1999 al 2009 il prezzo all ingrosso degli agrumi è aumentato quasi del 300%, posto che le quantità vendute siano state sempre quelle del 2009. c) Per calcolare l indice dei prezzi di Fisher è sufficiente calcolare la media geometrica dei due indici calcolati in precedenza, per cui 24

ESERCIZIO 7 Nella tabella successiva sono riportati i dati relativi al costo medio unitario (in centinaia di euro) ed al numero di unità di quattro beni acquistati in 5 anni di attività da un hotel. a) Calcolare la serie dei numeri indice a base fissa 2011=100 dei prezzi dei televisori b) Calcolare la serie dei numeri indice a base mobile dei prezzi dei televisori c) Calcolare la serie dei numeri indice di Laspeyres con anno base 2010=100 Anni Televisori Condizionatori Frigo bar Impianti stereo Prezzo Quantità Prezzo Quantità Prezzo Quantità Prezzo Quantità 2009 2,5 2 4 3 2,8 10 2,6 11 2010 2,7 7 4,8 6 3,1 2 2,9 5 2011 2,8 6 5,2 1 3,3 4 3,6 4 2012 3,1 15 4,9 4 3,5 1 2,8 3 2013 2,9 9 4,2 7 3,4 3 2,5 6 25

SOLUZIONE a) Per calcolare la serie dei numeri indice a base fissa 2011=100 basta calcolare i rapporti tra i valori di ogni anno preso in considerazione e l anno assunto come base. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva Televisori Anni Prezzo Numero indice Base 2011=100 2009 2,5 = 2,5/2,8*100 = 89,3 2010 2,7 = 2,7/2,8*100 = 96,4 2011 2,8 100 2012 3,1 = 3,1/2,8*100 = 110,7 2013 2,9 = 2,9/2,8*100 = 103,6 COMMENTO: nel 2012 i televisori costavano il 20,7% in più rispetto al 2011. Nel 2010, invece, i televisori costavano il 3,6% in meno rispetto al 2011. 26

b) Per calcolare la serie dei numeri indice a base mobile è sufficiente rapportare il valore dell anno corrente all anno precedente. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva. Televisori Anni Prezzo Numero indice Base mobile 2009 2,5 --- 2010 2,7 = 2,7/2,5*100 = 108 2011 2,8 = 2,8/2,7*100 = 103,7 2012 3,1 = 3,1/2,8*100 = 110,7 2013 2,9 = 2,9/3,1*100 = 93,5 COMMENTO: nel periodo dal 2009 al 2012 i prezzi dei televisori sono sempre aumentati passando da un anno al successivo. Solo nel passaggio dal 2012 al 2013 i prezzi calano del 6,5%. 27

c) Poiché il numero indice di Laspeyres vuole misurare la variazione dei prezzi mantenendo stabili le quantità del tempo base, per calcolare la serie dei numeri indice di Laspeyres con base 2010=100 servono, per i quattro beni considerati, i dati relativi alle quantità del 2010 che andranno moltiplicate per i prezzi dei 5 anni considerati. I risultati dei calcoli sono quelli riportati nella tabella successiva. Anni Televisori Condizionatori Frigo bar Impianti stereo p t*q 1 p t*q 1 p t*q 1 p t*q 1 2009 = 2,5*7 = 17,5 = 4*6 = 24 = 2,8*2 = 5,6 = 2,6*5 = 13 2010 = 2,7*7 = 18,9 = 4,8*6 = 28,8 = 3,1*2 = 6,2 = 2,9*5 = 14,5 2011 = 2,8*7 = 19,6 = 5,2*6 = 31,2 = 3,3*2 = 6,6 = 3,6*5 = 18 2012 = 3,1*7 = 21,7 = 4,9*6 = 29,4 = 3,5*2 = 7 = 2,8*5 = 14 2013 = 2,9*7 = 20,3 = 4,2*6 = 25,2 = 3,4*2 = 6,8 = 2,5*5 = 12,5 28

A questo punto è possibile calcolare la sommatoria dei ptq1 di ogni anno. Dividendo il risultato per il valore dell analogo prodotto relativo alla base 2010=100 si ottengono poi i numeri indice di Laspeyres per i quattro beni nei 5 anni considerati. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva. Anni Televisori Condizionatori Frigo bar Impianti stereo p t*q 2010 p t*q 2010 p t*q 2010 p t*q 2010 Σ p t*q 1 Numero indice di Laspeyres Base 2010=100 2009 17,5 24 5,6 13 60,1 = 60,1/68,4 = 87,86 2010 18,9 28,8 6,2 14,5 68,4 100 2011 19,6 31,2 6,6 18 75,4 = 75,4/68,4*100 = 110.23 2012 21,7 29,4 7 14 72,1 =72,1/68,4*100 = 105,41 2013 20,3 25,2 6,8 12,5 64,8 = 64,8/68,4*100 = 94,74 COMMENTO: nel 2013 i prezzi dei quattro beni considerati sono calati del 5,26% rispetto al 2010, posto che le quantità vendute siano rimaste costanti ai livelli del 2010. Nel 2011, invece, i prezzi degli stessi quattro beni erano il 10,23% più alti rispetto al 2010, mantenendo costanti le quantità vendute. 29

ESERCIZIO 8 Un gruppo di consumatori ha rilevato mensilmente i prezzi in euro e le quantità di quattro beni di prima necessità acquistati in un semestre. I dati sono riportati nella tabella successiva. a) Calcolare la serie dei numeri indice a base fissa Marzo=100 dei prezzi del bene B b) A partire dalla serie creata al punto precedente, effettuare un slittamento di base riportando i numeri indice alla base Gennaio=100 c) Chiarire se il prezzo del bene B ha subito un incremento o un decremento del prezzo nel mese di Giugno rispetto a Gennaio. Giustificare la risposta d) Calcolare la serie dei numeri indice a base mobile dei prezzi del bene C. Tali prezzi hanno subito un incremento/decremento nel breve periodo? e) Utilizzando la serie dei numeri indice a base mobile creata al punto precedente, costruire la serie dei numeri indice a base fissa con base Febbraio=100 f) Costruire la serie dei numeri indice di Laspeyres con base Aprile=100 per i quattro beni. Chiarire se il paniere dei 4 beni ha subito incremento o decremento dei prezzi tra il mese di Aprile e quello di Maggio Mesi Bene A Bene B Bene C Bene D Prezzo Quantità Prezzo Quantità Prezzo Quantità Prezzo Quantità Gennaio 1,6 10 3,7 15 0,7 21 7,8 12 Febbraio 1,9 14 3,9 12 1,1 26 8,2 15 Marzo 2,3 11 4,5 18 1,3 23 8,4 9 Aprile 2,1 16 4,2 11 1,6 28 8,5 13 Maggio 2,2 9 4,4 16 1,9 24 8,1 12 Giugno 2,4 8 4,8 10 2,1 31 8,8 9 30

SVOLGIMENTO a) Per calcolare la serie dei numeri indice a base fissa Marzo per il bene B è sufficiente calcolare i rapporti tra i prezzi del bene B ogni mese considerato e il prezzo nel mese di Marzo. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva. Bene B Mesi Prezzo Numeri indice Marzo = 100 Gennaio 3,7 = 3,7/4,5*100 = 82,22 Febbraio 3,9 = 3,9/4,5*100 = 86,67 Marzo 4,5 100 Aprile 4,2 = 4,2/4,5*100 = 93,33 Maggio 4,4 = 4,4/4,5*100 = 97,78 Giugno 4,8 = 4,8/4,5*100 = 106,67 COMMENTO: solo nel mese di Giugno i prezzi del bene B sono più alti (del 6,67%) rispetto a quelli di Marzo. Negli altri mesi il prezzo del bene B è sempre più basso rispetto a quello di Marzo. b) Per effettuare il cambio di base occorre innanzitutto calcolare il coefficiente di raccordo, che si ottiene come rapporto tra la nuova base e la vecchia base, entrambi considerati in termini della vecchia base. In questo caso si avrà che 82,22/100 = 0,8222 31

Per cui 0,8222 è il coefficiente di raccordo a cui vanno rapportati i numeri indice in base Marzo=100 per riportarli alla nuova base Gennaio=100. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva. Bene B Mesi Numeri indice Marzo = 100 Numeri indice Gennaio = 100 Gennaio 82,22 100 Febbraio 86,67 = 0,8667/0,8222*100 = 105,41 Marzo 100 = 1,00/0,8222*100 = 121,62 Aprile 93,33 = 0,9333/0,8222*100 = 113,51 Maggio 97,78 = 0,9778/0,8222*100 = 118,92 Giugno 106,67 = 1,0667/0,8222*100 = 129,74 c) Il prezzo del bene B nel mese di Giugno è più alto rispetto al prezzo che lo stesso bene aveva a Gennaio. Tale aumento è stato del 29,74% 32

d) Per calcolare la serie dei numeri indice a base mobile del bene C bisogna calcolare il rapporto tra il prezzo del bene in ogni anno e il prezzo nell anno precedente. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva Bene C Mesi Prezzo Numero indice Base mobile Gennaio 0,7 --- Febbraio 1,1 = 1,1/0,7*100 = 157,14 Marzo 1,3 = 1,3/1,1*100 = 118,19 Aprile 1,6 = 1,6/1,3*100 = 123,08 Maggio 1,9 = 1,9/1,6*100 = 118,75 Giugno 2,1 = 2,1/1,9*100 = 110,52 Dall analisi della serie dei numeri indice a base mobile emerge che in tutti i mesi oggetto di rilevazione vi è stato un incremento dei prezzi rispetto al mese immediatamente precedente. Tale incremento è stato piuttosto marcato nel passaggio dal mese di Gennaio a quello di Febbraio (57,14%), mentre è più lieve nel passaggio da Maggio a Giugno (10,52%). 33

e) Per calcolare la serie dei numeri indice a base fissa con base Febbraio=100 a partire dalla serie dei numeri indice a base mobile creata al punto precedente, si calcola - per tutti i tempi k precedenti al tempo t (base): l inverso dei prodotti, dal tempo k+1 a t compreso - per tutti i periodi h successivi alla base: i prodotti del numero indice a base mobile, da h fino a t+1 incluso. I risultati dei calcoli sono riportati nella tabella successiva Bene C Mesi Numero indice Base mobile Numero indice Base fissa Febbraio=100 Gennaio --- = (1,5714)-1*100 = 63,64 Febbraio 157,14 100 Marzo 118,19 = (1,1819)*100 = 118,19 Aprile 123,08 = (1,1819*1,2308)*100 = 145,47 Maggio 118,75 = (1,11819*1,2308*1,1875)*100 = 72,74 Giugno 110,52 = (1,11819*1,2308*1,1875*1,1052)*100 = 190,91 34

f) Per calcolare la serie dei numeri indice di Laspeyres con base Aprile occorre calcolare i prodotti dei prezzi di ogni mese per le quantità di Aprile. Successivamente vanno calcolate le sommatorie dei prodotti ottenuti. A questo punto sarà possibile scrivere la serie dei numeri indice di Laspeyres con base Aprile calcolando i rapporti tra la sommatoria dei prodotti nell anno corrente e la sommatoria dei prodotti nel mese di Aprile. I risultati di tutti i calcoli sono riportati nella tabella seguente. Mesi Bene A Bene B Bene C Bene D p t*q Aprile p t*q Aprile p t*q Aprile p t*q Aprile Σ p t*q Aprile Numero indice di Laspeyres Base Aprile=100 Gennaio 25,6 40,7 19,6 101,4 187,3 = 187,3/235,1*100 =79,7 Febbraio 30,4 42,9 30,8 106,6 210,7 = 210,7/235,1*100= 89,6 Marzo 36,8 49,5 36,4 109,2 231,9 = 231,9/235,1*100 = 98,6 Aprile 33,6 46,2 44,8 110,5 235,1 100 Maggio 35,2 48,4 53,2 105,3 242,1 = 242,1/235,1*100 = 103,0 Giugno 38,4 52,8 58,8 114,4 264,4 = 264,4/235,1*100 = 112,5 La serie dei numeri indice di Laspeyres mette in evidenza che tra il mese di Aprile e quello di Maggio il paniere di beni ha subito un incremento di prezzo del 3%. 35