15. Corpi deformabili

15. Corpi deformabili 1. Consideraioni introduttive Nei capitoli XIII e XIV è stata studiata la meccanica dei corpi rigidi, definiti come tali se la distana tra due loro punti generici resta invariata, qualunque sia la sollecitaione alla quale sono soggetti. In realtà l esperiena mostra che le sollecitaioni determinano deformaioni più omeno notevoli, dipendenti dalla natura del corpo. Una sbarra metallica e un elastico, soggetti alla stessa sollecitaione, presentano deformaioni molto diverse; nella prima la deformaione è rilevabile solamente con apparecchi molto sensibili, nel secondo è molto vistosa. A parte queste situaione estreme, un corpo o, piùingenerale, un meo sottoposto a sollecitaioni, presenta deformaioni che diremo elastiche se, cessata la sollecitaione, il corpo ritorna alle dimensioni iniiali; anelastiche se le deformaioni risultano permanenti. Lo studio di questi fenomeni, legati essenialmente alla struttura microscopica della materia, costituisce un argomento molto importante della Fisica dei materiali. Ci limiteremo a considerare il problema da un punto di vista macroscopico e prenderemo in esame corpi in equilibrio, perché seilcorpo, soggetto a fore, èinmoto, le deformaioni assumono caratteristiche differenti. C B A F Fig. 15.1 Si consideri il sistema di figura 1, dove una fora F oriontale è applicata al blocco A che trascina altri due blocchi, B e C, collegati mediante due molle identiche; i blocchi simulano le particelle del corpo, le deformaioni delle molle indicano le fore interne che si destano a causa della fora applicata. È palese che l allungamento subito dalla molla compresa tra A e B risulta AB =2F/3k, mentre quello della molla tra B e C è BC = F/3k,

378 Capitolo 15 - Corpi deformabili l F Fig. 15.2 minore del primo, come si può verificare applicando la seconda legge della dinamica. In altri termini, nei corpi deformabili non è lecito spostare la fora applicata lungo la sua retta d aione, come nei corpi rigidi. Se il legame tra sollecitaioni e deformaioni di un corpo in equilibrio è lineare, diremo che la deformaione è elastica. Tuttavia anche in questa situaione particolare si constaterà che il problema coinvolge numerosi parametri che, però, si riducono notevolmente se si considerano corpi isotropi e omogenei. Per chiarire in via preliminare questi concetti, consideriamo il caso semplice di una sbarretta metallica di lunghea l, isotropa ed omogenea, ad un estremo della quale è applicata una fora di traione F, mentre l altro estremo è fissato ad un supporto rigido, figura 2. La fora può essere realiata per meo di pesi e gli allungamenti prodotti, possono essere misurati mediante un estensimetro. Se la sbarretta èdiseione sufficientemente piccola, si può ritenere che lasollecitaione sia uniforme in ogni sua seione, nel senso che se si immagina un tratto di sbarretta, sulle sue seioni trasversali si destano fore interne, distribuite uniformemente che, all equilibrio, sono equivalenti alla fora applicata, figura 3. Detta S la seione della sbarretta, definiamo sforo σ, laquantità σ = F S, uniforme su tutte le seioni. Lo sforo si misura in N/m 2 oin pascal, (Pa). Se l èlalunghea iniiale della sbarretta e l l allungamento, definiamo deformaione ɛ, laquantità ɛ = l l ; essa è una grandea adimensionata che indica l allungamento relativo. Per le ipotesi fatte nei riguardi dello sforo, la deformaione risulta uniforme lungo tutta la sbarretta. Aumentando gradualmente la fora applicata, e misurando i corrispondenti allungamenti, si ottengono un insieme di valori dello sforo e della corrispondente deformaione, mostrati nel grafico di figura 4. Si σ B C A O ε 0 ε Fig. 15.3 Fig. 15.4

1. Consideraioni introduttive 379 osserva che l andamento è lineare fino al punto A; se, a partire dal valore dello sforo corrispondente in A, sidiminuisce l intensità della fora applicata, la sbarretta ritorna alla sua lunghea iniiale. È questo l intervallo delle deformaioni elastiche. Aumentando la sollecitaione, la deformaione aumenta più rapidamente dello sforo, fino al punto B, dove lacurva tende a disporsi quasi parallelamente all asse delle deformaioni. Questo intervallo è quello delle deformaioni plastiche. Aumentando di poco lo sforo, la deformaione aumenta notevolmente, finchélacurva non raggiunge il punto C, dove si verifica la rottura della sbarretta; lo sforo corrispondente si chiama carico di rottura. In realtà tra i punti A e C intervengono fenomeni più complessi che richiedono un esame a livello microscopico. In ogni caso si osserva che se, in questo intervallo, il carico viene diminuito fino ad annullarsi, il filo presenta una deformaione permanente, indicata in figura con ɛ 0. Dall esperiena possiamo dunque dedurre che, nell intervallo delle deformaioni elastiche, vale una relaione del tipo σ = ɛ; (1) lo sforo èproporionale alla deformaione. La (1) esprime la legge di Hooke, Ut tensio sic vis, che però, come vedremo, ha una forma più generale. La grandea si chiama modulo di Young ed ha le dimensioni dello sforo. Il suo ordine di grandea, nei solidi, è molto elevato, circa 10 10 Pa; infatti esprime lo sforo necessario per produrre la deformaione unitaria. Naturalmente il carico di rottura, in pratica, è molto minore. L esperiena mostra inoltre che insieme alla deformaione ɛ, si ha una contraione delle dimensioni trasversali della sbarretta; supponendo che la seione sia circolare, di raggio r, detta r la contraione, la corrispondente deformaione è data da ɛ t = r r. Quest ultima è legata a ɛ per meo del rapporto o coefficiente di Poisson, µ, definito dalla relaione: µ = ɛ t ɛ. (2) Il coefficiente di Poisson èunnumero puro e descrive, insieme agli altri moduli elastici, le proprietà elastiche dei materiali; il suo valore non può superare 1/2. Infatti, supponiamo di isolare all interno della sbarretta un cubo infinitesimo, di spigolo a; in seguito alla traione, la lunghea dello spigolo parallelo all asse diventa a(1 + ɛ), mentre quella dello spigolo trasversale a(1 + ɛ t ).

380 Capitolo 15 - Corpi deformabili Pertanto il volume del cubo diventa a(1 + ɛ)a 2 (1 + ɛ t ) 2 = a 3 (1 + ɛ)(1 µɛ) 2. Poiché in seguito alla deformaione, il volume del cubo non può diminuire, sviluppando la precedente e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ha a 3 [1 + ɛ(1 2µ)] 0. ssendo ɛ>0, si ottiene µ 1/2. F 6 F 5 F 1 F P π F 4 Fig. 15.5 B n S 2. Sfori Consideriamo ora con maggiore dettaglio, le caratteristiche degli sfori. Le fore esterne che agiscono su un corpo vanno classificate in fore di volume e fore di superficie. Leprime sono fore che agiscono su ogni particella del corpo; per esempio, la gravità, le fore d ineria, le fore elettromagnetiche ecc. Le seconde sono fore che agiscono sulla superficie del corpo; cioè fore di contatto dovute ad altri corpi che esercitano tensioni o compressioni. Detto dv l elemento di volume, è conveniente rappresentare la fora di volume che agisce su tale elemento con la notaione FdV,dove F rappresenta la fora per unità divolume. Analogamente, detto ds l elemento di superficie del corpo, la fora di superficie che agisce su tale elemento si indica con FdS, dove F èlafora per unitàdisuperficie. Consideriamo F 3 un corpo, in equilibrio, soggetto a fore di volume e di superficie esterne, figura 5. Le fore di coesione, interne, equilibrano le sollecitaioni impresse al corpo. Scegliamo un punto P interno al corpo, e immaginiamo di seionare il corpo con un piano π generico, passante per P,inmodo dadividerlo in due parti A e B; seil corpo èinequilibrio, le fore di coesione interne esercitate da B elefore esterne applicate ad A hanno risultante nulla. Analogamente, si ha equilibrio tra le fore esterne applicate a B ele fore di coesione esercitate da A. L effetto delle fore di coesione si può ritenere distribuito sul piano π. Sutale piano consideriamo una areola S nell intorno di P e fissiamo in corrispondena la normale ˆn orientata. Indicando con F la fora relativa a S, definiamo sforo nel punto P,lagrandea F σ = lim S 0 S. Naturalmente, per la legge di aione e reaione, uno sforo opposto σ, sidesta sull altra faccia dell elemento d area considerato. Lo sforo può essere scomposto in un componente lungo la normale ˆn, sforo normale σ n,ein un componente tangente a S, F 2

2. Sfori 381 sforo tangeniale o di taglio σ t. Se immaginiamo di seionare il corpo con infiniti piani, tutti passanti per P,per ognuno di essi è associato uno sforo σ in P,che varia al variare del piano. Tuttavia lo sforo in P può essere specificato da tre soli vettori σ, σ, σ, relativi ai tre piani coordinati, definiti da una terna cartesiana ortogonale. Consideriamo, nell intorno di P, unelemento di volume dv, costituito da un tetraedro con tre spigoli coincidenti con gli assi,, di una terna di riferimento con origine in P, e fissiamo sulla faccia obliqua ds, lanormale ˆn orientata verso l esterno. Le facce ds, ds, ds, giacenti sui piani coordinati, sono ortogonali ai rispettivi assi ed hanno come normali i versori i, j e k della terna, orientati verso l interno dell elemento; figura 6. Assumiamo inoltre positivi gli sfori di tensione e negativi quelli di compressione. Per l equilibrio dell elemento, la somma delle fore, di volume edisuperficie, dev essere nulla. Detta FdV la fora di volume, σ lo sforo sulla faccia obliqua, σ, σ, σ gli sfori sulle altre facce, scriviamo: σds σ ds σ ds σ ds + FdV =0. O k i j σ nˆ P Fig. 15.6 In questa relaione si è convenuto di assumere positive le normali orientate verso l esterno dell elemento. Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo, cioè dv rispetto a ds, si ha σds = σ ds + σ ds + σ ds, quindi: ds σ = σ ds + σ ds ds + σ ds ds ; ma ds /ds,... sono i coseni direttori della normale a ds, dunque: σ = σ cos α + σ cos β + σ cos γ. (3) La (3) costituisce la relaione di Cauch. ssa definisce lo sforo su un elemento di normale qualsiasi, contenente P, noti gli sfori relativi a tre elementi di normali prefissate che, nel nostro caso, sono mutuamente ortogonali. sprimiamo gli sfori al secondo membro della (3), mediante le loro componenti cartesiane, figura 7, dove sono mostrate le stesse componenti, relative ad un cubo infinitesimo, nell intorno di P.Siha σ = σ i + σ j + σ k σ = σ i + σ j + σ k σ = σ i + σ j + σ k.

382 Capitolo 15 - Corpi deformabili σ σ σ O k i σ σ σ j σ P σ σ nˆ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Fig. 15.7 Sostituendo nella (3), si ottengono le componenti cartesiane di σ: σ = σ cos α + σ cos β + σ cos γ σ = σ cos α + σ cos β + σ cos γ σ = σ cos α + σ cos β + σ cos γ. Queste relaioni indicano come varia lo sforo in un punto al variare dell inclinaione della faccia obliqua; simbolicamente, si può scrivere: σ = T ˆn. (5) dove T èuntensore doppio, rappresentato dalla matrice σ σ σ σ σ σ, (6) σ σ σ i cui elementi sono le componenti degli sfori secondo gli assi cartesiani. Pertanto lo sforo in corrispondena a una superficie elementare ds di normale ˆn, è dato dalla relaione σ σ σ cos α σ = σ σ σ cos β. (7) σ σ σ cos γ Le componenti degli sfori σ ij, con i = j, rappresentano gli sfori normali, mentre quelle con i j, gli sfori tangeniali o di taglio. Dalle (4) si deduce che le componenti dello sforo, mutano con la terna di riferimento. Infatti, riferendoci alla figura 7, èchiaro che se, per esempio, facciamo ruotare gli assi della terna,,, in modo che i nuovi assi,, siano paralleli alla faccia obliqua del tetraedro e alla normale a tale faccia, nelle (4) sopravviverà solo il tero termine; dunque si ha: σ = σ, σ = σ, σ = σ. (4)

2. Sfori 383 In generale, indicando con l, l, l, ecc..., i nove coseni direttori che gli assi,, formano con gli assi,,, lecomponenti degli sfori si trasformano secondo la legge: σ i j = l ii σ ij l jj, i j dove i, j indicano ognuno,,, e i j indicano,,. Ogni grandea le cui componenti, riferite a una nuova terna, si trasformano secondo la relaione precedente, è infatti un tensore doppio. Dall equilibrio dei momenti si deduce una importante proprietà degli sfori. Consideriamo, per semplicità, i momenti assiali delle fore di superficie, rispetto ad un asse parallelo all asse e passante per il baricentro C di ds, figura 8. ssendo le facce del tetraedro infinitesime, si può ritenere che lo sforo sia uniforme su tutta la superficie e quindi applicato nel baricentro. Sotto queste ipotesi gli sfori σ e σ, hanno momento assiale nullo. Dette b, b le distane (infinitesime) da C delle facce ds, ds,siha σ ds b σ ds b =0. (8) Indicando con d, d, d le lunghee degli spigoli del tetraedro coincidenti con gli assi coordinati, è d O k i j d C d b b ds = 1 2 d d, ds = 1 2 d d, b = 1 3 d, b = 1 3 d. Sostituendo nella (8), si ottiene Fig. 15.8 σ = σ. Analogamente per gli altri sfori tangeniali: σ = σ, Il tensore degli sfori è simmetrico. sempi 1. Una sbarra omogenea di seione S, è sottoposta a traione mediante due fore F opposte, applicate lungo l asse, ai suoi estremi. Determinare l orientaione della seione in cui lo sforo di taglio ha il valore massimo e calcolare il corrispondente sforo normale. Si immagini di seionare la sbarra con un piano la cui normale forma l angolo θ con l asse, figura 9. Detta S 1 la seione praticata, si ha σ n = F ˆn = F cos θ. σ t = F sin θ. S 1 S 1 S 1 Poiché S = S 1 cos θ, possiamo scrivere: σ n = F cos2 θ, σ t = S F sin θ cos θ, S F S 1 σ n nˆ ϑ σ F Il lettore può consultare: Zanichelli. Fini e Pastori, Calcolo Tensoriale e applicaioni, Fig. 15.9

384 Capitolo 15 - Corpi deformabili Il massimo di σ t,alvariare di θ, sihaper dσ(θ) dθ =0, cioè perθ = π/4. I valori degli sfori sono: F S (cos2 θ sin 2 θ)= F cos 2θ =0; S σ n(π/4) = σ t(π/4) = F 2S. Lo sforo di taglio è uguale, in modulo, allo sforo normale. 2. Le componenti degli sfori che si esercitano nel punto P (1, 2, 2) di un corpo elastico continuo sono: σ =3 10 5 Pa, σ =12 10 5 Pa, σ =15 10 5 Pa σ = σ =6 10 5 Pa, σ = σ = σ = σ =0. Determinare lo sforo normale, su un elemento di superficie la cui normale è orientata come la congiungente l origine del riferimento col punto P dell elemento. Poiché ladistana di P dall origine è d = 1+4+4=3, i coseni direttori della normale risultano: Dalle (4), si ha cos α = 1 3, cos β == 2 3, cos γ = 2 3. σ = 3 10 5 Pa, σ = 6 10 5 Pa, σ =10 10 5 Pa. Il modulo dello sforo è: σ = 145 10 10 Pa 12 10 5 Pa. La componente normale dello sforo risulta: ( σ n = σ ˆn = 3 1 ) 3 +62 3 +102 10 5 Pa = 29 3 3 105 Pa. La componente tangeniale, sforo di taglio, è data da σ t = σ 2 σn 2 7 10 5 Pa. 3. Le componenti degli sfori in un punto P di un corpo elastico continuo sono: σ =4Pa, σ = 2 Pa σ = σ =1Pa σ = σ = σ = σ = σ =0. Determinare secondo quali elementi di superficie, passanti per P, gli sfori risultano normali. Si tratta di un problema piano; poiché sutali superfici lo sforo deve essere normale, le (4) si scrivono: σ = σ n cos α = σ cos α + σ cos β σ = σ n cos β = σ cos α + σ cos β, cioè (σ σ n) cos α + σ cos β =0 (9) σ cos α +(σ σ n) cos β =0. Perché questo sistema sia soddisfatto da valori non nulli degli sfori, il suo determinante deve essere uguale a ero: (σ σn) σ σ (σ σ n) =0.

2. Sfori 385 Sostituendo i valori degli sfori assegnati, si ha σn 2 2σ n 9=0, che hacome radici: σ n =1± 10. Questi sfori sono normali a due piani di cui va determinata la giacitura. Sostituendo il primo in una delle (9) e tenendo presente che cos β = sin α, si ottiene: [4 ] (1 + 10) cos α1 + sin α 1 =0, tan α 1 = 3+ 10. e [ 4 (1 10) ] cos α2 + sin α 2 =0, tan α 2 = 3 10, valori che indicano le direioni delle normali ai piani. Riconosciamo che tali piani sono ortogonali; infatti: tan α 2 = 1 = tan(α 1 + π/2), tan α 1 come si può facilmente verificare. Questo procedimento è generale; infatti imponendo, al primo membro delle (4), che lo sforo sia normale, otteniamo la seguente equaione ( ) σ σ n σ σ =0, σ σ σ n σ σ σ σ σ n che, risolta, dà tre valori di σ n,dicui uno massimo, uno intermedio e l altro minimo, che chiamiamo σ 1, σ 2, σ 3. Si è così diagonaliato il tensore degli sfori. In altri termini, il procedimento consiste nella ricerca degli autovalori della matrice degli sfori, in analogia all esempio 1-XIV. I tre piani su cui agiscono gli sfori, puramente normali, sono mutuamente ortogonali e sono chiamati piani principali degli sfori normali; ledire- ioni delle loro normali possono essere ricavate sostituendo i valori degli sfori ottenuti nelle (4). Tali direioni si chiamano direioni principali degli sfori. sistono piani in cui lo sforo risulta puramente tangeniale; per determinare tali piani conviene assumere la terna di riferimento con assi coincidenti con le direioni principali degli sfori. Su un piano di inclinaione generica di tale terna, le componenti dello sforo, per le (3), sono: σ 1 = σ 1 cos α, σ 2 = σ 2 cos β, σ 3 = σ 3 cos γ, essendo α, β e γ gli angoli che la normale al piano considerato, forma con gli assi della terna; pertanto σ 2 = σ1 2 cos 2 α + σ2 2 cos 2 β + σ3 2 cos 2 γ. Si ha inoltre: σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 = σ n 2 + σ t 2, essendo σ n e σ t,losforo normale e quello tangeniale; pertanto: σ t 2 = σ 2 σ n 2. Poiché σ n = σ ˆn = σ 1 cos α + σ 2 cos β + σ 3 cos γ = σ 1 cos 2 α + σ 2 cos 2 β + σ 3 cos 2 γ, si ottiene σ t 2 = σ1 2 cos 2 α + σ2 2 cos 2 β + σ3 2 cos 2 γ (σ 1 cos 2 α + σ 2 cos 2 β + σ 3 cos 2 γ) 2. Per ottenere i piani in cui lo sforo è puramente tangeniale, cioè massimo, basta imporre: σ t α =0, σ t β =0,

386 Capitolo 15 - Corpi deformabili e tener conto della relaione di vincolo: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =1. Sena condurre ulteriormente avanti la dimostraione, applichiamo i concetti precedenti al problema bidimensionale considerato. Tenuto conto che cos 2 α+ cos 2 β =1,siha σ t 2 = σ1 2 cos 2 α + σ2 2 cos 2 β (σ 1 cos 2 α + σ 2 cos 2 β) 2 =(σ 1 σ 2) 2 cos 2 α cos 2 β, e σ t =(σ 1 σ 2) cos α cos β. Poiché cos β = sin α, possiamo scrivere, σ t =(σ 1 σ 2) cos α sin α. Derivando rispetto ad α e annullando tale derivata: si ottiene σ t α =(σ1 σ2)(cos2 α sin 2 α)=0, sin α = ± 1 2, α = ± π 4. Lo sforo tangeniale massimo si ha nei piani le cui normali formano gli angoli α = ±π/4, rispetto agli assi principali degli sfori. Lo sforo tangeniale massimo risulta σ t(ma) =(σ 1 σ 2) sin α cos α = [ (1 + 10 (1 10) ] 1 1 2 2 = 10. 3. quaione dell equilibrio O i d d k j Fig. 15.10 d Si consideri un cubo elementare di volume dv = ddd di un corpo elastico in equilibrio, soggetto a fore di volume e di superficie figura 10. Siano σ, σ, σ rispettivamente gli sfori sulle facce (d, d), (d, d), (dd); limitandosi a variaioni del primo ordine: ( σ + σ ) ( d, σ + σ ) ( d, σ + σ ) d, gli sfori sulle corrispondenti facce opposte. Il segno negativo dipende dall orientaione dei versori degli assi cartesiani. Per l equilibrio, si ha FdV + σ dd ( σ + σ d ) ( σ + σ d ) dd + σ dd dd + σ dd ( σ + σ d ) dd =0. Svolgendo i prodotti, si ricava: F = σ + σ + σ. (10)

4. Deformaioni 387 La precedente costituisce l equaione indefinita dell equilibrio; si dice indefinita perché dà luogo a tre equaioni scalari e non permette, in generale, di ricavare le sei componenti degli sfori; si rammenti che il tensore degli sfori è simmetrico. Occorre dunque aggiungere altre condiioni che dipendono dalla natura del corpo che si considera. Una seconda equaione si ricava imponendo l equilibrio dei momenti; ma, come abbiamo verificato al paragrafo precedente, questa permette solo di stabilire la simmetria del tensore degli sfori. 4. Deformaioni Lo stato di deformaione di un corpo è conseguena degli sfori ai quali è soggetto; infatti le particelle del corpo mutano la loro posiione iniiale, subendo uno spostamento elementare che, per comodità, indichiamo con s. Se tutte le particelle presentassero lo stesso spostamento, il corpo non subirebbe deformaioni e il risultato netto sarebbe uno spostamento rigido. Si ha deformaione quando le particelle hanno spostamenti differenti, cioè se s è funione del vettore r che individua la posiione della particella. Più esattamente, se un punto del corpo nella posiione r, subisce uno spostamento s ed un punto nella posiione r + dr subisce uno spostamento s+ds, lo stato di deformaione può essere rappresentato attraverso il vettore ds, o meglio, dalla relaione che lega ds a dr. La figura 11 mostra il diagramma di tali vettori nell intorno di un punto. dr+ ds d s s+ ds O s r dr ds+ dr δϕ dr d s n ds d s t Fig. 15.11 Fig. 15.12 Se ds dipende linearmente da dr, la deformaione è elastica; le particelle che iniialmente giacciono lungo dr, a causa degli sfori, si disporranno lungo ds + dr. In figura 12 è mostrata la somma dei vettori dr e ds; quest ultimo, a meno di infinitesimi

388 Capitolo 15 - Corpi deformabili di ordine superiore, può essere scomposto nei due vettori ds t e ds n. Il segmento infinitesimo dr subisce una elongaione o una contraione ds t,eruota di un angolo δϕ = ds n /dr. In un riferimento cartesiano è ds = ds i + ds j + ds k dr = dr i + dr j + dr k; ma ds è funione della posiione r, quindi delle coordinate. Pertanto si ha: ds = s d + s d + s d ds = s d + s d + s d ds = s d + s d + s d. Queste relaioni esprimono il legame tra ds e dr, nell intorno del punto individuato da r. Tale dipendena, introducendo il tensore: s s s s s s T =, è espressa dalla relaione: ossia: ds = s s s s s s ds = T dr, (11) s s s s s s d d. d Tuttavia il tensore così definito, non solo esprime lo stato di deformaione nell intorno di P, ma anche una rotaione rigida del corpo. Occorre dunque isolare la parte di rotaione da quella di deformaione. Il tensore T può essere espresso mediante la somma di un tensore simmetrico T S ediuntensore antisimmetrico T A : T = T S + T A,

4. Deformaioni 389 dove: s ( 1 s T S = 2 + s ) ( 1 s 2 + s ) 1 2 e 0 ( 1 s T A = 2 s ) ( 1 s 2 s ) 1 2 cosicché la(11) si scrive: ( 1 s 2 + s ) ( 1 s 2 + s ) ( s 1 s 2 + s ), ( s + s ) s ( 1 s 2 s 0 ( s s ) ) ( 1 s 2 s ) ( 1 s 2 s ), 0 ds =(T S + T A )dr. (12) Il tensore simmetrico ha elementi T ij = T ji ;iltensore antisimmetrico ha elementi T ij = T ji. Il termine T A dr rappresenta lo spostamento rotatorio elementare del corpo elastico. Infatti si ha: T A dr = ( 1 s 2 1 2 0 s ) ( s s ) 1 2 ( 1 s 2 s ) 1 2 0 ( s s ) 1 2 ( s s ) d ( s s ) d, 0 d da cui si deduce: (T A dr) = 1 [( s 2 s ) ( s d + s ) (T A dr) = 1 [( s 2 s ) ( s d + s ) (T A dr) = 1 [( s 2 s ) ( s d + s ] d ] d ) ] d. La relaione precedente si compendia nell equaione nell equaione vettoriale: T A dr = 1 s dr. (13) 2 Tenendo presente il significato di rotore, paragrafo 7.3-VI si può scrivere 1 s = δϕ, 2 essendo δϕ il vettore rotaione elementare. Pertanto l equaione T A dr = δϕ dr,

390 Capitolo 15 - Corpi deformabili δϕ δϕ dr Fig. 15.13 δϕ dr rappresenta lo spostamento rotatorio rigido elementare del sistema elastico. Si osservi che le componenti del vettore δϕ, secondo gli assi cartesiani sono date dagli elementi del tensore T A, ossia δϕ = 1 ( s 2 s ), δϕ = 1 ( s 2 s ), δϕ = 1 ( s 2 s ). Poiché tali consideraioni sono valide per qualunque punto, si deduce che la rotaione rigida avviene attorno ad un asse orientato parallelo a δϕ, figura 13. Lo stato di deformaione è rappresentato soltanto dal tensore simmetrico. Caratteristiche del tensore simmetrico Si riconosce subito che i termini diagonali del tensore T S esprimono le deformaioni lineari, allungamenti o contraioni, rispettivamente secondo gli assi,,. Gli elementi non diagonali danno le deformaioni angolari; specificano cioè lerotaioni infinitesime che subiscono le particelle del corpo che iniialmente si trovano disposte parallelamente agli assi coordinati. saminiamo il termine ( ) s + s. ds In figura 14, è mostrata la seione, col piano -, diuncubo infinitesimo del corpo; la somma delle due derivate è uguale all incremento degli angoli retti del cubetto in seguito alla deformaione. Chiamando γ tale incremento, si ha ( ) s + s = γ. (14) d d Fig. 15.14 ds Tenuto conto della simmetria del tensore, è anche ( ) s + s = γ. (15) Analogamente per gli altri termini. Pertanto il tensore delle deformaioni si scrive: 1 ɛ 2 γ 1 2 γ T S =. 1 2 γ ɛ 1 2 γ 1 2 γ 1 γ ɛ 2 Indicando con ɛ ij = γ ij/2, si ha: ( ) ɛ ɛ ɛ T S = ɛ ɛ ɛ. (16) ɛ ɛ ɛ Nell ambito delle deformaioni elastiche, l espressione più generale della legge di Hooke è data dal sistema lineare: σ = C 11ɛ + C 12ɛ + C 13ɛ + C 14ɛ + C 15ɛ + C 16ɛ σ = C 21ɛ + C 22ɛ + C 23ɛ + C 24ɛ + C 25ɛ + C 26ɛ σ = C 31ɛ + C 32ɛ + C 33ɛ + C 34ɛ + C 35ɛ + C 36ɛ σ = C 41ɛ + C 42ɛ + C 43ɛ + C 44ɛ + C 45ɛ + C 46ɛ (17) σ = C 51ɛ + C 52ɛ + C 53ɛ + C 54ɛ + C 55ɛ + C 56ɛ σ = C 61ɛ + C 62ɛ + C 63ɛ + C 64ɛ + C 65ɛ + C 66ɛ,

4. Deformaioni 391 in cui i 36 coefficienti C ij sono i moduli di elasticità. Viceversa, risolvendo il precedente sistema rispetto alle deformaioni, si ha ɛ = S 11σ + S 12σ + S 13σ + S 14σ + S 15σ + S 16σ ɛ = S 21σ + S 22σ + S 23σ + S 24σ + S 25σ + S 26σ ɛ = S 31σ + S 32σ + S 33σ + S 34σ + S 35σ + S 36σ ɛ = S 41σ + S 42σ + S 43σ + S 44σ + S 45σ + S 46σ (18) ɛ = S 51σ + S 52σ + S 53σ + S 54σ + S 55σ + S 56σ ɛ = S 61σ + S 62σ + S 63σ + S 64σ + S 65σ + S 66σ, dove i coefficienti S ij sono detti coefficienti di elasticità. Imoduli di elasticità eicoefficienti di elasticità sono simmetrici; pertanto delle 36 grandee solo 21 risultano indipendenti. Infatti, consideriamo il lavoro necessario per deformare un cubo infinitesimo di lati d, d, d. Sulla faccia ortogonale a, lefore che agiscono sono: σ dd, σ dd, σ dd. Queste subiscono rispettivamente gli spostamenti: dɛ d, dɛ d e dɛ d. Riconoscendo che sulle facce ortogonali agli assi e, lefore e gli spostamenti sono analoghi, il lavoro elementare per unitàdivolume è δl = σ dɛ + σ dɛ + σ dɛ +2σ dɛ +2σ dɛ +2σ dɛ. (19) Supponendo che tale lavoro sia adiabatico, la prima legge della Termodinamica afferma che la precedente èildiffereniale di una funione U = U(ɛ ij), energia elastica; dunque possiamo scrivere: du = U dɛ + U dɛ + U dɛ + U dɛ + U dɛ + U dɛ, ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ che confrontata con la (19) implica ( ) U σ ij =, ɛ ij dove si ritengono costanti tutte le deformaioni tranne quelle di indice i, j. Dalle (17) si ricava che σ ɛ = C 12. σ ɛ = C 21. Ma la condiione cui deve soddisfare una funione che ammette differeniale totale è U = U, σ = σ ; ɛ ɛ ɛ ɛ pertanto C 12 = C 21. Ingenerale C ij = C ji. Tenendo conto che la (19) risulta un differeniale totale e del legame lineare tra sfori e deformaioni, integrando, si ottiene il lavoro per unità di volume, densità dienergia elastica, corrispondente ad una deformaione finita: L = 1 (σɛ + σɛ + σɛ +2σɛ +2σɛ +2σɛ). (20) 2 Le consideraioni fatte riguardano il caso più generale di un corpo anisotropo. Se il corpo ammette particolari simmetrie i 21 coefficienti si riducono notevolmente; per esempio, nei cristalli a simmetria cubica, le costanti elastiche sono soltanto tre, nei cristalli a simmetria esagonale sono cinque. Per quanto riguarda la ricerca degli assi principali delle deformaioni, cioè ladiagonaliaione del tensore delle deformaioni, vale un procedimento analogo a quello descritto per gli sfori. Il lettore può consultare: S.M. delglass, ngineering Materials Science, The Ronald Press Compan, New York.

392 Capitolo 15 - Corpi deformabili 5. lasticità dei corpi omogenei e isotropi σ I corpi e i mei omogenei e isotropi non presentano struttura cristallina ordinata. Tali sono, per esempio, sbarre, lastre, fili metallici policristallini o materiali amorfi, come vetri plastiche, ecc; un asse di legno non è isotropo perchè lesue proprietà meccaniche dipendono dalla direione delle fibre. Si troverà che per caratteriare lo stato elastico dei corpi isotropi, in definitiva, occorrono solo due moduli elastici indipendenti. Consideriamo un cubo infinitesimo, con gli spigoli disposti secondo gli assi di una terna,,, sulle cui facce agiscono soltanto sfori normali di traione σ, σ, σ, figura 15. Supponiamo, in un primo momento, di applicare lo sforo σ ; σ = σ =0. Per la (1), la corrispondente deformaione di allungamento è σ ɛ = 1 σ, d σ d d Fig. 15.15 con modulo di Young. Poiché, in generale, gli sfori normali σ e σ sono diversi da ero, nella direione di σ si verificano deformaioni di contraione. Tali deformaioni sono proporionali alle deformaioni di allungamento, ɛ e ɛ, equaione (2). La deformaione di contraione causata da σ è quella causata da σ : µɛ = µ σ ; µɛ = µ σ. Pertanto la deformaione secondo è minore di σ /; risulta: ɛ = σ µσ µσ = 1 [σ µ(σ + σ )]. Con ragionamento analogo si ha: e ɛ = σ µσ µσ = 1 [σ µ(σ + σ )], ɛ = σ µσ µσ = 1 [σ µ(σ + σ )]. Si è dunque ottenuto il sistema: ɛ = 1 σ µ σ µ σ ɛ = µ σ + 1 σ µ σ (21) ɛ = µ σ µ σ + 1 σ. in cui i coefficienti degli sfori sono i coefficienti di elasticità S ij.

5. lasticità dei corpi omogenei e isotropi 393 Si osservi che se viene applicato soltanto lo sforo σ,siha ɛ = 1 σ, ɛ = µ σ, ɛ = µ σ. Queste relaioni mostrano che accanto alla deformaione di allungamento nella direione, compaiono le contraioni laterali del cubetto. Analogo ragionamento vale se viene applicato solo σ oppure σ. Se oltre agli sfori normali, il cubetto è soggetto a sfori tangeniali, accanto alle deformaioni normali, compaiono deformaioni di scorrimento. Occorre dunque stabilire le relaioni tra tali deformaioni e i corrispondenti sfori. Si è riconosciuto che gli elementi non diagonali della matrice delle deformaioni rappresentano deformaioni angolari, relaioni (14), (15). Consideriamo la seione, nel piano -, di un cubo elementare sollecitato come in figura 16; nell ambito di deformaioni elastiche, si può scrivere σ = Gγ =2Gɛ, σ σ σ dove G è il modulo di scorrimento o modulo di rigidità. sso, come il modulo di Young, si misura in N/m 2,haanalogo significato fisico e, per i solidi, lo stesso ordine di grandea. Analogamente per le altre seioni del cubo elementare, si ha σ γ /2 σ = Gγ =2Gɛ σ = Gγ =2Gɛ. γ /2 γ /2 Da queste relaioni si ottengono le corrispondenti deformaioni. In definitiva, l insieme delle deformaioni di un corpo omogeneo e isotropo, è dato dalle (21) e dalle: ɛ = 1 2G σ, ɛ = 1 2G σ, ɛ = 1 2G σ. (22) Si riconosce subito che i coefficienti di elasticità risultano: γ /2 Fig. 15.16 S 11 = S 22 = S 33 = 1 S 12 = S 13 = S 21 = S 23 = S 31 = S 32 = µ S 44 = S 55 = S 66 = 1 2G. Il sistema (21) può essere risolto rispetto agli sfori; ad esempio, per σ si ottiene ɛ µ σ = 1 µ 1 ɛ µ, D ɛ µ 1

394 Capitolo 15 - Corpi deformabili dove D = 1 3 (1 2µ3 3µ 2 )= 1 3 (1 + µ)2 (1 2µ). Poiché risulta: ɛ µ µ 1 ɛ µ = ɛ µ 1 = 1 2 (1 µ)2 ɛ + µ 2 (µ +1)ɛ + µ 2 (µ +1)ɛ, C 11 = (1 µ 2 )/ 2 (1 + µ) 2 (1 2µ)/ = (1 µ) 3 (1 + µ)(1 2µ) C 12 = Si ha dunque (µ +1)µ/ 2 (1 + µ) 2 (1 2µ)/ = µ 3 (1 + µ)(1 2µ). C 11 = C 22 = C 33, C 21 = C 13 = C 21 = C 23 = C 13 = C 32 =0. Pertanto gli sfori normali risultano: σ = σ = σ = (1 µ) (1+µ)(1 2µ) ɛ + µ (1+µ)(1 2µ) ɛ + µ (1+µ)(1 2µ) ɛ + µ (1+µ)(1 2µ) ɛ + (1 µ) (1+µ)(1 2µ) ɛ + µ (1+µ)(1 2µ) ɛ + Dalla (22) si ottengono gli sfori di taglio: µ (1+µ)(1 2µ) ɛ µ (1+µ)(1 2µ) ɛ (1 µ) (1+µ)(1 2µ) ɛ. (23) σ =2Gɛ, σ =2Gɛ, σ =2Gɛ, (24) È utile introdurre la quantità: σ + σ + σ =3σ, (25) che indica lo sforo normale medio; in tal caso le (21) diventano ɛ = 1 [(1 + µ)σ 3µσ] ɛ = 1 [(1 + µ)σ 3µσ] (26) ɛ = 1 [(1 + µ)σ 3µσ].

5. lasticità dei corpi omogenei e isotropi 395 Da queste si ricava: σ = 1+µ ɛ + 3µσ 1+µ σ = 1+µ ɛ + 3µσ 1+µ (27) σ = 1+µ ɛ + 3µσ 1+µ. Si osservi che i tensori degli sfori e delle deformaioni (6) e (16), si possono scrivere rispettivamente come segue: σ 0 0 0 σ σ T σ = 0 σ 0 + σ 0 σ, 0 0 σ σ σ 0 e ɛ 0 0 0 ɛ ɛ T ɛ = 0 ɛ 0 + ɛ 0 ɛ. 0 0 ɛ ɛ ɛ 0 Pertanto le (27) si possono esprimere nella forma: σ 0 0 0 σ 0 0 0 σ = 1+µ ɛ 0 0 0 ɛ 0 0 0 ɛ + 3µσ 1+µ 100 010. (28) 001 Analogamente le (25): 0 σ σ 0 ɛ ɛ σ 0 σ =2G ɛ 0 ɛ. (29) σ σ 0 ɛ ɛ 0 Introducendo la quantità ɛ + ɛ + ɛ =3ɛ = θ, (30) che chiamiamo dilataione cubica, esommando le (26), si ottiene: θ =3ɛ =3σ 1+µ 3σ 3µ = 3σ (1 2µ), cioè: σ = 1 2µ ɛ. Questa equaione esprime lo sforo normale medio in funione della deformaione normale media. Introducendo questa quantità nella (28), si ha σ 0 0 0 σ 0 = ɛ 0 0 0 ɛ 1+µ 0 0 0 σ 0 0 ɛ (31) + 3µɛ 1 0 0 0 1 0 1 2µ. 0 0 1

396 Capitolo 15 - Corpi deformabili sempi 4. Una sbarra d acciaio di seione S =10cm 2,modulo di Young =2 10 11 N/m 2 ecoefficiente di Poisson µ =0, 3è sollecitata da una fora assiale F =10 4 N. Determinare il tensore degli sfori e quello delle deformaioni, trascurando il peso proprio della sbarra. Fissato un riferimento alla base della sbarra, con l asse volto in alto, l unico sforo è: Dalle (18) si ha: Pertanto: σ = F S =107 Pa. ɛ = ɛ = µ σ, ɛ = 1 σ, ɛ = ɛ = ɛ =0. ɛ = ɛ = 0, 15 10 4, ɛ = 0, 5 10 4, ɛ = ɛ = ɛ =0. Per le(20) e (21), si verifica inoltre: σ = σ =0, σ =10 7 Pa, σ = σ = σ =0, 5. Una colonna cilindrica omogenea, di altea h e densità ρ, regge soltanto il proprio peso. Determinare il tensore degli sfori e delle deformaioni. Stabilito il riferimento sulla base di appoggio con l asse verso l alto, l equaione indefinita dell equilibrio (10), comporta: σ σ σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ =0 =0 = ρg. La colonna è sollecitata solo dal proprio peso, quindi: Dall ultima equaione si ha σ = σ =0, σ = σ = σ =0. σ = C ρg, dove C è una costante. Ma per = h, è σ =0. Segue che: σ = ρg(h ). Il tensore delle deformaioni, di compressione, ha componenti: ɛ = ɛ = µ ρg(h ), ɛ = 1 ρg(h ), ɛ = ɛ = ɛ =0. Il valore medio dello sforo lungo la colonna è σ = 1 h h 0 σ ()d = 1 h h ρg (h )d = 1 2 ρgh. 0

5. lasticità dei corpi omogenei e isotropi 397 5.1. Modulo di compressibilità Si definisce coefficiente di compressibilità isotermo κ T, la grandea κ T = 1 ( ) V ; (32) V p T il suo inverso si chiama modulo di compressibilità isotermo: K T = 1 ( ) p = V. (33) κ T V T sso può essere determinato, nota l equaione di stato del corpo. Presupponendo che la compressione avvenga lentamente, in modo che latemperatura rimanga costante, il modulo di compressibilità medio in un piccolo intervallo p, cui corrisponde una variaione di volume V,è dato dall espressione: K = p V/V = σ V/V, rapporto tra lo sforo uniforme e la variaione relativa di volume. Consideriamo un cubetto elementare di spigoli d, d, d; in seguito alla compressione uniforme, lo spigolo d diventa d s d =(1 ɛ )d, analogamente gli altri spigoli. Si ha dunque: V V = d d d (1 ɛ )d(1 ɛ )d(1 ɛ )d d d d =1 (1 ɛ )(1 ɛ )(1 ɛ ). Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ottiene: V V = θ = ɛ + ɛ + ɛ. (34) Poiché, nel caso di sforo uniforme, dalle (26), si ha si ottiene: V V ɛ = ɛ = ɛ = 1 (1 2µ)σ, = ɛ + ɛ + ɛ = 3 (1 2µ)σ. Pertanto K = σ V/V = 3(1 2µ). (35) Questa relaione stabilisce uno dei legami tra i moduli elastici introdotti.

398 Capitolo 15 - Corpi deformabili 5.2. Relaione tra il modulo di rigidità e il modulo di Young σ Consideriamo un elemento cubico, di lato a, soggetto agli sfori σ e σ, uniformemente distribuiti sulle facce dell elemento, figura 17, e sia σ = σ = σ. σ σ Dalle (21), si ricavano le deformaioni corrispondenti: a ossia ɛ = 1+µ σ, ɛ = 1+µ σ, σ ɛ = ɛ = ɛ. Fig. 15.17 Si seioni il cubo nel modo mostrato in figura 18; il prisma di seione triangolare ABC è in equilibrio sotto l aione delle fore, di modulo σ F t = σ t a 2 2, F n = σ a2 2, F n = σ a2 2, σ a C σ C B A B A F t F n F n Fig. 15.18 σ A B agenti, rispettivamente, sulle facce che hanno come traccia AC, AB, BC. Risulta: ( ) 2 ) 2 F t = σ a2 + (σ a2 = σ a2. 2 2 2 Come si è visto nell esempio 3, la faccia di traccia AB, è soggetta al solo sforo di taglio uguale, in modulo, allo sforo normale, σ t = σ. Lostesso si verifica per gli altri prismi a seione triangolare. Il prisma di seione quadrata è dunque soggetto esclusivamente a sfori di taglio. Per questo motivo i suoi angoli subiscono una deformaione: γ = σ G. (36) La deformaione della diagonale è data da: ɛ = 1+µ σ. (37) Dalla figura 19, si osserva che, in seguito alla deformaione, la diagonale si è allungata di un tratto CB esièspostata dalla sua primitiva orientaione di un tratto AC. Iltriangolo ABC è approssimativamente rettangolo ed isoscele, perciò siha γ a Fig. 15.19 C γ BC = ɛa, AB = γ a 2. Poiché CB AC, risulta: AB = γ a = (ɛa) 2 +(ɛa) 2 = ɛa 2, 2 γ =2ɛ.

5. lasticità dei corpi omogenei e isotropi 399 Infine, tenendo conto delle (36) e (37), si ottiene σ G =21+µ σ, cioè: G = 2(1 + µ), (38) che èlarelaione cercata. Combinando le (35) e (36), si trova una ulteriore relaione: = 9KG 3K + G. (39) Si deduce subito che basta la conoscena di due moduli elastici per determinare gli altri due. In elasticità spesso vengono assunte come grandee indipendenti i coefficienti di Lamé, λ e ν; ilprimo è dato dal modulo di elasticità C 12 ;ilsecondo coincide col modulo di rigidità: µ λ C 12 =, (1 + µ)(1 2µ) ν G. (40) In base a questa scelta si ottiene: = G(2G +3λ), µ = G + λ λ 2(λ + G),... La prima relaione si ricava dalla (40) sostituendovi µ, ottenuto dalla (38); la seconda ancora dalla (40) sostituendovi, ottenuto dalla (39). In tabella sono dati i valori dei moduli elastici di alcuni materiali. Moduli di elasticità ( 10 10 Pa) Materiale G µ Carico di rottura σ ma K Acciaio 20 8,1 0,29 0,06 17,6 Alluminio 7 2,6 0,34 0,01 7 Rame 13 4 0,34 0,03 14,3 Vetro 6 3 0,25 0,05 4