TEMI D ESAME: classi III

TEMI D ESAME: classi III a.f. 2017-2018 Operatore del benessere Raccolta di esercizi, suddivisi per argomento, tratti dalle prove d esame a cura di A. Vaghi e G. Lorusso AFOL SUD MILANO

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 2

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Sommario Matematica Finanziaria... 5 1.1 Interesse... 5 Formulario... 5 Algebra... 11 2.1 Equazioni di primo grado... 11 Come si risolve un equazione di primo grado... 11 2.2 Equazioni di secondo grado... 13 Come si risolve un equazione di secondo grado... 13 2.3 Sistemi... 17 Come si risolve un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite... 17 2.4 Equazioni fratte... 19 Quando una frazione si annulla e quando perde di significato... 19 2.5 Disequazioni... 24 Geometria Euclidea... 26 Formulario di perimetri e aree... 26 Complementi... 26 Teorema di Pitagora... 26 3.1.3 Teorema di Pitagora... 33 Geometria Analitica... 37 4.1 Poligoni nel piano cartesiano... 37 Formulario... 37 4.2 Rette... 40 Cenni di teoria... 40 4.3 Parabole... 44 Cenni di teoria... 44 Problemi di calcolo... 48 5.1 Richiami di teoria... 48 Proprietà delle potenze... 48 Calcolo percentuale... 48 Equivalenze... 48 5.2 Quantità algebriche... 56 Calcolo delle Probabilità e Statistica... 60 3

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 6.1 Calcolo delle probabilità... 60 Cenni di teoria... 60 6.2 Statistica e lettura dei grafici... 65 Statistiche principali... 65 4

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Matematica Finanziaria 1.1 Interesse Formulario 100 In = interesse maturato dopo n anni C = capitale t = tasso d interesse annuo n = numero di anni 100 100 100 M = C + I I = M - C C = M - I Le formule per il calcolo dell interesse presuppongono che il tempo sia espresso in anni. Qualora così non fosse, occorre prima di utilizzarle effettuare le seguenti proporzioni: se il tempo tm è espresso in mesi: Se il tempo tg è espresso in giorni: 2 5

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 3 6 7 8 6

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 9 10 11 12 7

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 18 19 9

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Algebra 2.1 Equazioni di primo grado Come si risolve un equazione di primo grado 3 ( x + 1) 5 + x = 2( 3 5 x) + 2 3 x + 3 5 + x = 6 10x + 2 Si svolgono tutti i conti necessari ad eliminare le parentesi 3 x + 10x + x = 6 + 2 3 + 5 Si spostano al primo membro tutti i monomi contenenti l incognita e al secondo membro i monomi che non contengono l incognita, ricordando la legge del trasporto (quando un termina va da una parte all altra dell uguale cambia di segno) 14 x =10 Si sommano i monomi al primo membro e i numeri al secondo membro 14 x = 14 5 x = 7 10 14 Attenzione: 0 x = n con n 0 l equazione è impossibile 0 x = 0 l equazione è indeterminata Si dividono sia il primo che il secondo membro per il numero che moltiplica l incognita Si semplifica e troviamo la soluzione 1 2 11

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 3 4 12

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.2 Equazioni di secondo grado Come si risolve un equazione di secondo grado 2 ax + bx + c = 0 Con coefficiente associato ad Equazione scritta in forma normale con a 0 Con coefficiente associato ad Con termine noto. Calcolo del discriminante Formula risolutiva Se a 0, b 0, c 0 l equazione si dice completa = b 2 4ac Se > 0 l equazione ha due soluzioni reali e distinte b + x1 = 2a Se = 0 l equazione ha due soluzioni reali e coincidenti Se < 0 l equazione non ha soluzioni reali x 2 b = 2a 1 2 13

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 3 4 5 6 14

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 7 8 9 10 15

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 11 13 14 16

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.3 Sistemi Come si risolve un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite 2 5 3 1 52 3 1 52 3 52 1 52 156 1 52 7 14 52 7 7 14 7 52 2 52 21 2 Attenzione: Nessuna soluzione: sistema IMPOSSIBILE; Infinite soluzioni : sistema INDETERMINATO Una soluzione (x ; y): sistema DETERMINATO 17

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.4 Equazioni fratte Quando una frazione si annulla e quando perde di significato Num. ( x) si annulla se Num.( x) = 0 Data una frazione si dice che questa Den. x ( ) perde di significato, non esiste, è impossibile se Den.( x ) = 0 Per determinare il valore di x per cui la frazione si annulla o perde di significato bisogna pertanto risolvere un equazione 19

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 21

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 2.5 Disequazioni 24

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Geometria Euclidea Formulario di perimetri e aree Rettangolo 2 P = 2 ( b + h) A = b h h b Triangolo l1 h b l2 2 P = l1 + l2 + b b h A = 2 Parallelogramma h l b ( b l ) 2 P = 2 + A = b h Rombo l Dmag dmin 2 P = 4 l d A = min D 2 mag Quadrato l 2 P = 4 l 2 A = l Trapezio bmin l1 h l2 2P = somma dei lati A = ( B + ) mag b min h 2 Bmag Complementi La somma degli angoli interni di un triangolo di 180 La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360 Teorema di Pitagora 2 2 i = c1 + c 2 2 c2 i i = + 2 2 c 1 c2 c1 c 2 2 1 = i c2 c 2 2 2 = i c1 26

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca l d = l * 2 & $ 2 3 l d l 45 l l = # A = $ = #% 30 l h 60 l l $ 2 & 3 27

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 3.1.3 Teorema di Pitagora 33

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Geometria Analitica 4.1 Poligoni nel piano cartesiano Formulario Dati due punti nel piano A ( x A, y A ) e B ( x B, y B ) Se Se Se x = x, allora B A A B B AB = AB = y A y x A x y = y, allora B xa x e B A yb 2 B A B y, allora AB = ( x x ) + ( y y ) 2 A 37

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 4.2 Rette Cenni di teoria Equazione generica di una retta nel piano cartesiano: m si chiama coefficiente angolare q si chiama ordinata all origine y = mx + q Intersezione con l asse y: nel punto di coordinate ( 0 ; q ) Intersezione con l asse x: si trova risolvendo l equazione mx + q = 0 Date due rette di equazioni r : y = m x + q s : y = m x + q 1 2 1 2 Se m 1 = m, allora r // s 2 Se m 1 1 =, allora r s m 2 L eventuale punto di intersezione tra le due rette si trova risolvendo il sistema y = m1x + q1 y = m2 x + q 2 40

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 4.3 Parabole Cenni di teoria Equazione generica di una parabola nel piano cartesiano: Se a > 0, allora la parabola ha concavità verso l alto Se a < 0, allora la parabola ha concavità verso il basso b Coordinate del vertice: V ;, dove = b 2 4ac 2a 4a Intersezione con l asse y: Intersezioni con l asse x: nel punto di coordinate ( 0 ; c ) y = ax 2 + bx+ c si determinate risolvendo l equazione di secondo grado 2 ax + bx + c = 0 44

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Problemi di calcolo 5.1 Richiami di teoria a a a n n n a : a b m m n Proprietà delle potenze n + m = a = a = n m ( a b) n n n n a a b = : a b n ( a b) = n = : n m n m ( a ) = a n 1 = 1 a 0 = 1 a b n = b a n b 0 0 = indeterminata n Calcolo percentuale p : T = t :100 p = valore della percentuale T = Totale su cui viene calcolata la percentuale t = tasso percentuale Equivalenze K h da u d c m Km hm dam m dm cm mm hl dal l dl cl ml q t Mg kg hg dag g dg cg mg 48

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca x 53

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 5.2 Quantità algebriche 56

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Calcolo delle Probabilità e Statistica 6.1 Calcolo delle probabilità Cenni di teoria Probabilità di un evento: numero_ casi_ favorevoli numero_ casi_ possibili Probabilità di due eventi compatibili : p (A B) = p(a) + p(b) p(a B) Probabilità di due eventi incompatibili : p (A B) = p(a) + p(b) Probabilità di due eventi indipendenti: P(E1 E2) = p(e1) * p(e2) Probabilità di due eventi dipendenti: p(e1 E2) = p(e1) * p(e2 E1) Esercizi Esercizio 1 Esercizio 2 60

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Esercizio 3 61

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Temi d esame 62

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Dati n dati Media: 6.2 Statistica e lettura dei grafici Statistiche principali x,..., 1, x 2 xm con frequenze f, f2,..., fm 1 con m< n somma_ di_ tutti_ i _ dati x = numeri_ dei_ dati_ raccolti 1 f + x f +... + x 1 2 2 n m f m Moda: il dato con la frequenza più alta Mediana: di una serie di n dati ordinati x1, x2, x3 xn il valore centrale della serie cioè il valore che occupa il posto nella serie se n è dispari o la media dei valori che occupano il posto e + 1 se n è pari 65

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Esercizi 66

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Esercizio 7 Esercizio 8 70

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Esercizio 10 72

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Esercizio 12 74

Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Temi d esame 75