ESERCIZI di STRUTTURE AERONAUTICHE a cura di Paolo Massioni pmassio@hotmail.com disponibile in rete all indirio http://pmassio.altervista.org Queste pagine sono protette dalle leggi sul diritto d autore. L Autore vieta quindi espressamente qualunque utilio a fini di lucro di queste pagine. Chiunque è libero di scaricare, consultare, stampare e distribuire queste pagine purché esse non siano alterate e nessuno ne tragga vantaggio economico. Questi appunti vengono resi pubblici dall Autore al fine di rendere un utile serviio agli studenti. Nonostante la cura e le numerose revisioni del testo, l Autore non può garantire l assoluta correttea del contenuto di queste pagine. Il contenuto di questo documento non è di per sé sufficiente per il superamento dell esame.
ESERCIZIO 1 Si consideri la seguente struttura: Determinare le espressioni e i grafici di taglio e momento flettente. SOLUZIONE La struttura è isostatica e soggetta a carichi verticali; al posto dei vincoli vengono inserite le reaioni. Si imposta anche un riferimento e una convenione per le aioni interne: Dall equilibrio ai momenti nel punto di applicaione di R 1 si può scrivere: R 1 8 kn 4 3 kn R 1 kn Dall equilibrio alla traslaione verticale: kn + 3 kn R + R R 1kN 8 1 1 A questo punto si possono ricavare taglio e aioni interne: < < 1m 1kN ( 1m) kn 1m < < m Ty 7 kn M 7( m) kn + 1kNm per m < < 3 m 3 kn 3( 3 m) kn 6kNm 3 m < < 4 m 3 kn 3( 3 m) kn 6kNm 4 m < < 5 m
Taglio T [kn] M [knm] 8 6 4 - -4 1 3 4 5 1-1 - -3-4 -5-6 [m] Momento Flettente -7 1 3 4 5 [m] ESERCIZIO Si consideri la seguente struttura: Determinare le espressioni e i grafici di taglio momento flettente. SOLUZIONE
La struttura è isostatica e soggetta a carichi verticali; al posto dei vincoli vengono inserite le reaioni. Si imposta anche un riferimento e una convenione per le aioni interne: Dall equilibrio ai momenti nel punto di applicaione di R 1 si può scrivere: 1kN + 3R 1,5 18 kn 4 8 kn R 19 kn Dall equilibrio alla traslaione verticale: kn + 8 kn + 18 kn R + R R 9 kn 1 1 A questo punto si possono ricavare taglio e aioni interne: kn kn Ty 13 kn + 6 kn/m M 1 knm + 13 kn 3 8 kn 8 knm + 8 kn T [kn] 15 1 5-5 Taglio kn/m < < 1m 1m < < 4 m 4 m < < 5 m per -1 1 3 4 5 [m]
Momento Flettente M [knm] 4 - -4-6 -8-1 1 3 4 5 Si può facilmente ricavare che il taglio si annulla per 13/6 m, mentre il momento flettente si annulla in 4/3 m e in 3 m. ESERCIZIO 3 Si consideri la seguente struttura: [m] Determinare le espressioni e i grafici di taglio momento flettente. SOLUZIONE La struttura è isostatica e soggetta a carichi verticali; non è necessario ricavare la reaione vincolare per disegnare il grafico delle aioni interne. Si imposta un riferimento e una convenione per le aioni interne:
T y 4 kn/m 16 kn + 4 kn/m M kn/m kn/m 16 per < < m ( ) kn m < < 5 m T [kn] M [knm] 4 35 3 5 15 1 5 Taglio 1 3 4 5 - -4-6 -8-1 ESERCIZIO 4 Si consideri la seguente struttura: [m] Momento Flettente -1 1 3 4 5 [m]
Determinare le espressioni e i grafici di taglio momento flettente. SOLUZIONE La struttura è isostatica e soggetta a carichi verticali e a un momento concentrato; al posto dei vincoli vengono inserite le reaioni. Si imposta anche un riferimento e una convenione per le aioni interne: Dall equilibrio ai momenti nel punto di applicaione di R 1 si può scrivere: 7 kn + 8 kn 5R R 3 kn 1 Dall equilibrio alla traslaione verticale: kn R + R R 4 kn 7 1 1 A questo punto si possono ricavare taglio e aioni interne: 4 kn 4 kn < < 1m Ty 3 kn M 7 knm 3 kn per 1m < < 3 m 3 kn 15 knm 3 kn 3 m < < 5 m
Taglio T [kn] M [knm] 4 3 1-1 - -3-4 ESERCIZIO 5 Si consideri la seguente struttura: -5 1 3 4 5 7 6 5 4 3 1-1 - [m] Momento Flettente -3 1 3 4 5 [m]
Determinare lo spostamento del punto C. SOLUZIONE La struttura è isostatica; per il calcolo dello spostamento risulta di immediata applicaione il metodo della linea elastica. Si adotta un riferimento ed una convenione: La scrittura delle aioni interne è immediata: T P y M P( l) Gli spostamenti sulla linea, trascurando l effetto del taglio, sono dati dall espressione: 1 1 1 y M d y' ( ) d y( ) P l y ( ) d y( ) EJ + + ' + + EJ 1 3 1 P l + y' ( ) + y( ) 6 EJ Dato che in si trova un incastro, la condiione al contorno può essere posta come: y' ( ) rotaionenullain corrispondena dell'incastro y( ) spostamento nullo in corrispondena dell'incastro Per cui: 1 3 1 P l y 6 EJ In particolare, nel punto C: P 3 y C ( a 3la ) 6EJ ESERCIZIO 6 Si consideri la seguente struttura:
Determinare lo spostamento del punto D rispetto alla linea congiungente i punti C ed E. SOLUZIONE La struttura è isostatica, ancora una volta è conveniente l uso del metodo della linea elastica. Si imposta una convenione e un riferimento: Il calcolo delle aioni interne è molto veloce, si ottiene: T 4 lb 3 lb/in y M 94 lb in 4 lb + 15 lb/in Gli spostamenti sulla linea, trascurando l effetto del taglio, sono dati dall espressione: 1 1 3 y M d y' ( ) d y( ) ( 147 lb in 7 lb 1,5 4 + + lb/in) EJ + EJ L espressione può essere valutata nei tre punti in esame: 8 3 3,94 1 lb in yc EJ 8 3 7,64 1 lb in yd EJ 9 3 1,1664 1 lb in ye EJ La quantità richiesta è data dalla formula: s y 1 7 3 1,79 1 lb in D ( yc + ye ) EJ Il grafico che segue illustra il significato della quantità calcolata.
Linea Elastica yej [lb in³] 16 14 1 1 8 6 4 4 6 8 1 1 14 [in] La linea blu rappresenta la trave che si sposta (ovviamente la scala è esagerata), la linea verde è la retta congiungente i punti C ed E e il tratto rosso è la distana cercata. ESERCIZIO 7 Si consideri un velivolo ad ala alta trapeoidale la cui struttura è schematiabile nel modo illustrato: Del velivolo sono noti: il peso: Q 16 kg la superficie alare: S 16 m l allungamento alare: λ 7 il rapporto di rastremaione: RR 1,5
il peso dell ala: Q ALA dal 15 al % di Q Determinare le aioni interne sull ala se il velivolo vola con un fattore di contingena n pari a 4,5. SOLUZIONE In primo luogo conviene calcolare le caratteristiche dell ala e del velivolo considerato. L apertura alare è data dalla formula: b λ S 1,583 m Si può inoltre trovare un valore della corda media geometrica: S c 1,51 m b Infine, essendo noto il rapporto di rastremaione, è possibile ricavare il valore delle corde in radice e in estremità d ala. Essendo l area dell ala trapeoidale data da: b b S ( crad + cestr ) cestr ( RR + 1) e quindi: S c estr S 1,1 m b( RR + 1) c c estr RR 1,814 m rad Essendo il problema simmetrico, è possibile considerare solo metà del velivolo. Assegnando per la semiala il riferimento in figura: è possibile scrivere un espressione analitica della corda come funione di : c 1,814 m, 114 ( ) A questo punto è necessario individuare i carichi agenti sull ala. Si approssima che sull ala l andamento della portana e delle fore di massa siano proporionali alla corda stessa dell ala (che equivale a dire che ogni tratto di ala di uguale superficie subisce gli stessi carichi complessivi). Inoltre, per avere una scelta conservativa, si considera che il peso dell ala sia solo il 15 % del peso totale. La portana totale per unità di superficie dovrà quindi essere (ignorando la deportana dovuta alla coda): L nq 45 kg/m S S mentre le fore di massa (peso e ineria) sull ala saranno: nq ALA S 67,5 kg/m
La portana viene parialmente compensata dalle fore di massa sull ala. Pertanto l andamento del carico distribuito lungo la semiala sarà: L nqala nq nqala q( ) c( ) c( ) 693,9 kg/m 43,6 kg/m S S S S A questo punto è possibile calcolare le reaioni vincolari; rimuovendo i vincoli, siano rispettivamente H 1 e V 1 le componenti oriontale e verticale della reaione in corrispondena della cerniera ala-fusoliera e H e V quelle in corrispondena della controventatura. Per l equilibrio alla rotaione sulla prima cerniera si può scrivere: ( 693,9 kg/m 43,6 kg/m )(,6 m) d 5838, kgm 919 kg 5,9 m V m V,6 m dove V è intesa positiva verso l alto. Per l equilibrio alla traslaione verticale: V (,9 kg/m 43,6 kg/m ) d 69,6 kg 5,9 m 1 + V + 693 V1,6 m Dato che la controventatura è una biella, si può scrivere: V 1, H 4865 kg H Se si ritiene che la fusoliera sia infinitamente rigida (molto più rigida del tratto interno di ala), si può ritenere che l aione assiale generata da questa reaione vincolata si scarichi tutta sulla prima cerniera: H 1 4865 kg Infatti il sitema è iperstatico rispetto alla traslaione oriontale. Per quanto riguarda invece il tratto centrale di ala, sfruttando la simmetria e l equilibrio alla traslaione si può scrivere:,6 m (,9 kg/m 43,6 kg/m ) d 48,1 kg V 3 + 693 V3 dove V 3 è la reaione verticale in corrispondena della cerniera. Il disegno di seguito riassume brevemente le reaioni vincolari calcolate. Si può verificare la consistena del risultato ottenuto in questo modo: la somma delle reaioni vincolari verticali sull ala moltiplicate per dà il peso del velivolo ala esclusa. Ora si ha tutto il necessario per calcolare le aioni interne sulla semiala, a partire dall incastro.
T y M 693,9 kg/m + 1,8 kg/m < <,6 m 111,9 kg 693,9 kg/m + 1,8 kg/m per,6 m < < m 33,9 kg 693,9 kg/m 1,8 kg/m m < < 5,9 m + 3 347, kg/m 7,3 kg/m 13,3 kgm < <,6 m 3 56, kgm 111,9 kg + 347, kg/m 7,3 kg/m per,6 m < < m 3 7533, kgm 33,9 kg 347, kg/m 7,3 kg/m m < < 5,9 m + T [kg] M [kgm] 15 1 5-5 -1-15 Taglio - 1 3 4 5 15 1 5 [m] Momento Flettente -5 1 3 4 5 Per quanto riguarda il momento torcente, prima di procedere è necessario avanare alcune ulteriori ipotesi. La prima ipotesi è sulla forma dell ala; si sceglie un ala a forma di trapeio isoscele. Le altre ipotesi riguardano la distribuione del carico lungo la corda: si può pensare che il peso sia [m]
applicato sul punto medio della corda, mentre la portana a /3 dal bordo d attacco (che equivale a dire distribuione di pressione triangolare). Se come linea di riferimento si sceglie la mediana, l effetto del peso viene ad essere nullo e l espressione del momento torcente può essere scritta come: 693,9 kg/m 43,6' kg/m 1,814 m,114' M M d',85 6 3 M,35 kg/m + 15,5 kg/m 46,6 kg Ponendo che all estremità tale momento sia nullo si ottiene: 3 918,6 kgm,35 kg/m + 15,5 kg/m 46,6 kg M ESERCIZIO 8 M [kgm] 1 8 6 4 Momento Torcente - 1 3 4 5 Calcolare le sollecitaioni su fusoliera e impennaggio verticale per un velivolo soggetto a raffica laterale. La velocità del velivolo è v 8 m/s, mentre la velocità della raffica sia v r 1 m/s. [m] Il velivolo è schematiato come un insieme di masse concentrate: Sia G il baricentro delle masse concentrate illustrate in figura. Tali masse racchiudono tutta la massa del velivolo ad ecceione dell impennaggio verticale. Le coordinate X (misurate a partire da G) e le entità delle masse sono: A: m A 16 kg, A 1,5 m
B: mb 35 kg, B,165 m C: mc kg, C,75 m D: md 3 kg, D 1,75 m E: me 4 kg, E 4,75 m La coordinata Z è nulla per tutte. A queste si aggiunge la deriva, del peso di 4 kg e il cui bordo d uscita è a 5,5 m da G. Le caratteristiche geometriche della deriva sono rappresentate in figura: Si stimi che la deriva abbia una massa per unità di superficie uniforme e che anche la portana sia uniformemente distribuita. I momenti d ineria noti sono: J ALA J ALA 9 kg m J FUS 18 kg m Le derivate del coefficiente di portana (laterale) sono: c L/α FUS, 1/,1146 1/rad c L/α DER,4 1/,919 1/rad La superficie laterale della fusoliera è S FUS 4,9 m. SOLUZIONE Per prima cosa è necessario calcolare le caratteristiche ineriali del velivolo completo, cioè con l aggiunta della deriva. E quindi necessario calcolare il baricentro di tale deriva, con l ipotesi fatta di massa per unità di superficie uniforme. La legge delle corde della deriva sarà: c( ),993m, 1677 Integrando o semplicemente dalla formula dell area del trapeio si ricava la superficie della deriva: S 1,96 m Essendo la massa per unità di superficie costante, si possono ricavare le posiioni del baricentro della deriva dalle formule:
1,91m 1 c ( ) d,3 m GD 5,5 m S 1,91m ( ) c d,3 m GD S Svolgendo i calcoli si ottiene: GD 5,937 m GD 1,6 m A questo punto è possibile calcolare la posiione del nuovo baricentro G, con la consueta formula della media pesata: G' G' i i i i m i m i mi m i Gi Gi,431 m,55 m A partire da questo nuovo baricentro si possono riscrivere le coordinate di tutti i punti (mantenendo gli assi paralleli): [m] [m] massa [kg] A -1,7631 -,55 16 B -,481 -,55 35 C,319 -,55 D 1,4819 -,55 3 E 4,4819 -,55 4 F (deriva) 4,854 1,95 4 Si può anche traslare la legge delle corde per renderla valida la nuovo asse: c( ' ),9818 m, 1677 D ora in poi gli apici saranno omessi per brevità. Si calcolano ora i momenti d ineria baricentrici rispetto ai due assi considerati. Tali grandea saranno date dal momento d ineria delle masse concentrate più il momento d ineria intrinseco delle parti coinvolte, vale a dire: J J ALA + J FUS + m i i Gi 11,8 kg m J J ALA + m i i Gi 367,8 kg m In realtà questi non sono i momenti principali d ineria; infatti è possibile calcolare: J + i mi Gi Gi 5,8 kg m il che significa che gli assi principali d ineria sono ruotati di un angolo: 1 J θ arctan 5, 43 J J Per semplicità si tralascia di ruotare gli assi.
Ora è necessario calcolare le fore che agiscono sul velivolo; si tratta di: - fore aerodinamiche - fore di massa dovute alle acceleraioni laterali indotte dalla raffica. Sull impennaggio si avrà una fora laterale (diretta come Y) pari a: 1 1 vr 1 FD ρ v cl / α DERαS ρv cl / α DER S ρvvrcl / α DERS 1455,4 N v Il punto di applicaione di tale fora, se si suppone una distribuione di portana triangolare, sarà: 1,91m c ( ) d,3 m 3 FD 5,5 m,431 m 4,715 m S 1,91m ( ) c d,3 m,55 m 1,95 m FD S Avendo calcolato il punto di applicaione è possibile trovare i due momenti della fora secondo i due assi: M FD FD 1469, Nm M FD FD 686,5 m Sulla fusoliera la fora laterale sarà: 1 1 FF ρ v cl / α FUSαS FUS ρvvrcl / α FUS SFUS 75,1 N La fora è supposta essere applicata al baricentro e quindi non genera momenti. Le fore e i momenti generano acceleraioni, lineari e angolari: M & ω 1,39 rad/s J M & ω,1 rad/s J FD + FF a y,6 m/s mtot Queste acceleraioni determinano delle fore d ineria dirette come Y sulle masse concentrate, secondo la legge: ( FI ) m i ia y + miω& Gi La tabella di seguito illustra le fore concentrate sulle masse. m [kg] i Gi [m] Gi [m] a ymi ω& totale [N] Gi A 16-1,7631 -,55 39,6-59,4-6,8 B 35 -,481 -,55 71, -99,9 41,1 C,319 -,55 453, 14,7 467,9 D 3 1,4819 -,55 61,8 93,4 155, E 4 4,4819 -,55 8,4 376,5 458,9 F 4 4,854 1,95 8,4 47,8 49, Riassumendo, nella situaione in consideraione, le fore in gioco sulla fusoliera sono:
fora [N] [m] [m] M [Nm] fora d'ineria su A -6,8-1,7631 -,55 463,3 fora d'ineria su B 41,1 -,481 -,55-171,8 fora aerodinamica sulla fusoliera -75,1,, fora d'ineria su C 467,9,319 -,55 14,9 fora d'ineria su D 155, 1,4819 -,55 9,9 fora d'ineria su E 458,9 4,4819 -,55 56,6 fora aerodinamica sulla deriva -1455,4 4,715 1,95-686,5 fora d'ineria su F 49, 4,854 1,95 379,3 momento flettente concentrato 189, alle fore è stato aggiunto un momento flettente concentrato dovuto all ineria dell ala; lo si può pensare come una reaione vincolare introdotta dall incastro fra ala e fusoliera. Si può verificare che la somma di fore e momenti dà come risultato ero, per cui si ha conferma della correttea dei conti fatti (cioè, le fore sono equilibrate). E ora possibile ricavare i grafici di taglio e momento flettente. Ty [N] 6 4 - -4-6 -8-1 Fusoliera: Taglio Ty -1-1,8 -,8, 1,, 3, 4, [m]
Fusoliera: Momento Flettente M M [N m] 5 15 1 5-5 -1,8 -,8, 1,, 3, 4, Quanto al momento torcente, si considerano le sollecitaioni indotte dalla rotaione attorno all asse X, includendo un ulteriore momento torcente concentrato dovuto all ineria dell ala e della fusoliera in corrispondena del baricentro. Si ha: [m] [m] [m] M [Nm] fora d'ineria su A -1,7631 -,55,5 fora d'ineria su B -,481 -,55 1, fora aerodinamica sulla fusoliera,, fora d'ineria su C,319 -,55,7 fora d'ineria su D 1,4819 -,55,1 fora d'ineria su E 4,4819 -,55,1 fora aerodinamica sulla deriva 4,715 1,95-1469, fora d'ineria su F 4,854 1,95 53,3 momento torcente concentrato 1413,
Fusoliera: Momento Torcente M M [N m] - -4-6 -8-1 -1-14 -16-1,8 -,8, 1,, 3, 4, Si procede ora con le consideraioni sulla deriva; per comodità è meglio impostare un nuovo riferimento Z che parta dall estremità superiore dell impennaggio: La legge delle corde diventa quindi: c( ),67 m +, 1677 Considerando le fore laterali, su ogni fettina di deriva agiscono una fora aerodinamica ed una fora di massa dovuta all acceleraione lineare e attorno all asse X: q A c F ( ) S A ( a ) [m] md q M c( ) ( 1,8595 m ) ω& + y S Il carico laterale totale sarà quindi: c( ) 3 qy FA md ( 1,8595 m ) ω& + ay ) 6,775 N/m + 19,133 N/m S da cui: 3 3,58 N/m 96,67 N/m 659,47 N/m T y ( ) + 659,47 N/m 4 3 3 M,565 N/m + 3, N/m + 39,736 N/m
Deriva: Taglio Ty Ty [N] M [N m] - -4-6 -8-1 -1-14,,5 1, 1,5 1 1 8 6 4 [m] Deriva: Momento Flettente M,,5 1, 1,5 Quanto al momento torcente, se si prende come riferimento il bordo d uscita si può scrivere: c ( ) 1 m FA md ( 1,8595 m ) ω& + a y ) S 3 [m] 3 3,568 N/m + 3,645 N/m + 161,71 N/m + 34,941N Per cui integrando si ottiene: 4 3 3,14 N/m 7,88 N/m 8,861 N/m 34,941 N M
Deriva: Momento Torcente M ESERCIZIO 9 M [N m] -1 - -3-4 -5-6 -7-8,,5 1, 1,5 [m] Si consideri l ala di un velivolo nella situaione di una manovra di alettoni incipiente. La massa del velivolo è di 1 kg, quella dell ala di 15 kg. L aereo ha ue motori montati in gondole subalari del peso di 1 kg l uno. La pianta alare è a forma trapeoidale, come in figura; l asse retto si trova al 4 % della corda a partire dal bordo d attacco; il motore è considerato come una massa concentrata posiionata nel punto indicato. Gli alettoni coprono 3 m della semiapertura alare e si estendono localmente per il 3 % della corda. Il carico dovuto alla deflessione degli alettoni sia approssimato con una distribuione trapeoidale di pressione come in figura, dove P a 55 kg/m.
Il momento d ineria della fusoliera (e impennagi, ecc) rispetto all asse di rollio è il % del rispettivo momento d ineria dell ala. Il vincolo fra ala e fusoliera è scematiabile come due appoggi posti a 1,5 m dalla meeria. Calcolare le sollecitaioni sull ala; per quanto riguarda il momento torcente si calcoli soltanto la sollecitaione causata dalla manovra di alettoni. SOLUZIONE Per prima cosa conviene segnare un riferimento come in figura: L alettone abbassato si trova quindi nella direione positiva delle Y. Ora si può trovare la superficie alare e scrivere la legge che descrive l andamento delle corde; si ricava immediatamente che: 1 S b( c MAX + cmin ) 54,9 m c y 4,1m, 333 ( ) y Ipotiando che la massa dell ala sia distribuita uniformamente sulla superficie, è possibile calcolare il momento d ineria dell ala rispetto all asse di rollio: Q 9 m ALA J X ALA y c( y) dy 33531,6 kg m S da cui, secondo i dati: J X FUS,J X ALA 676,3 kg m Rimane solo il momento d ineria dei motori: J Q 3,5 m 94 kg m X MOT MOT ( ) Si consideri ora l alettone. Il carico totale addiionale (in modulo) dovuto all alettone è pari a: () (,6 + 1,4 ) qa c,3c Pa,3Pa q y,3p 4,1m,333 y per 6 m y 9 A ( ) ( ) m a
Integrando si ottiene il momento di rollio dato dagli alettoni: 9 m 9 m M qa y y dy,3pa 4,1m,333y y dy 177,73 kg 6 m ( ) ( ) m 6 m Ora è possibile calcolare l acceleraione angolare del velivolo, che servirà per trovare le fore d ineria: M ω&,434 rad/s J X ALA + J X FUS + J X MOT In particolare, la fusoliera eserciterà tramite gli appoggi una coppia d ineria; tale coppia sarà esercitata attraverso due fore uguali ed opposte. E possibile ricavare l entità di tali fore dall equaione: M FUS ω& J X FUS 1,5 m FAPP FAPP 66,55 kg Allo stesso modo si potranno calcolare le fore d ineria dovute ai motori: F ω& Q 14, kg MOT MOT La situaione è quella in figura: Per calcolare le sollecitaioni di taglio e momento flettente è necessario ricavare anche il carico sull ala indipendente dagli alettoni. Tale carico sarà dato da fore di massa (peso e fore d ineria) e aerodinamiche. Peso: QALA qp c( y) S Ineria: QALA qi yω& c( y) S Aerodinamiche: QALA + QFUS + Q qa S MOT Il carico totale sarà dunque: QFUS + QMOT q y yω& S c ( y) ( ) c( y) Per integrare conviene partire dalle estremità alari; pertanto si definiscono due diversi riferimenti come in figura:
In questo modo l integraione parte da ero e può essere condotta indipendentemente per le due semiali: QFUS + QMOT b q' ( y' ) y' ω& ( m +,333y' ) S QFUS + QMOT b q' '( y'' ) + y'' ω& ( m +,333y'' ) S Prima di procedere si deve ricordare che in presena dell incastro e delle gondole motori ci saranno le fore concentrate calcolate in precedena. Si ottiene quindi: 3 3,1898y' kg/m 6,335y' kg/m 447,349y' kg/m per y' < 5,5 m 3 3 T ',1898y' kg/m 6,335y' kg/m 447,349y' kg/m + 134,kg per 5,5 < y' < 8,75 m 3 3,1898 ' kg/m 6,335 ' kg/m 447,349 ' kg/m 637,75kg per 8,75 < 9 m y y y + y' 3 3 +,1898y'' kg/m 6,359y'' kg/m 456,11y'' kg/m per y '' < 5,5 m 3 3 T '' +,1898y'' kg/m 6,359y'' kg/m 456,11y'' kg/m + 195,8kg per 5,5 < y '' < 8,75 m 3 3,1898 '' kg/m 6,359 '' kg/m 456,11 '' kg/m 69,5 kg per 8,75 < ' 9 m + y y y + y ' M M 4 3 3,473y' kg/m + 8,778y' kg/m + 3,675y' kg/m 4 3 3,473y' kg/m + 8,778y' kg/m + 3,675y' kg/m ' ( y' 5,5 m) 134,kg 4 3 3,473y' kg/m + 8,778y' kg/m + 3,675y' kg/m ( y' 5,5 m) 134,kg ( y' 7,75 m) 566,55kg 4 3 3,473y'' kg/m + 8,786y'' kg/m 4 3 3,473y'' kg/m + 8,786y'' kg/m '' ( y'' 5,5 m) 195,8kg 4 3 3,473y'' kg/m + 8,786y'' kg/m + 3,55y'' + 3,55y'' + 3,55y'' kg/m kg/m kg/m per y' < 5,5 m per 5,5 < y' < 8,75 m per 8,75 < y' 9 m per y' < 5,5 m per 5,5 < y' < 8,75 m ( y'' 5,5 m) 195,8kg ( y'' 7,75 m) 4933,45kg per 8,75 < y' 9 m
Taglio T T [kg] 5 4 3 1-1 - -3-4 -5-9 -8-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 y [m]