Esercitazione 3 del 14 marzo 20117 Dott.ssa Sabrina Pedrini Domande a risposta multipla 1) Il saggio marginale di sostituzione tra il bene e il bene rappresenta: a) Il rapporto tra il prezzo del bene e quello del bene ; b) La quantità di alla quale si è disposti a rinunciare per ottenere un unità aggiuntiva di ; c) Il rapporto tra la quantità del bene e quella del bene ; d) La pendenza del vincolo di bilancio. 2) Una curva di indifferenza misura e la sua inclinazione è uguale a a) le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di soddisfazione; il prezzo di un bene rispetto all altro. b) le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di soddisfazione; il saggio marginale di sostituzione. c) le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il rapporto dei prezzi dei due beni. d) le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore può permettersi; il saggio marginale di sostituzione; 3) L effetto sulla retta di bilancio di un identico aumento percentuale di prezzi e reddito dovuto all inflazione è: a) che le rette di bilancio traslano in parallelo allontanandosi dall origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se i prezzi fossero rimasti costanti. b) per rispondere a questa domanda servirebbero più informazioni su reddito, prezzi e tasso di inflazione. c) niente: la retta di bilancio non si sposta né ruota, in questo scenario. d) che le rette di bilancio traslano in parallelo avvicinandosi all origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se il reddito fosse rimasto costante. 4) Se un consumatore è sempre disposto a scambiare tre penne rosse con quattro penne blu e la sua funzione di utilità è definita solo su questi due beni, le sue curve di indifferenza saranno: a) rette; b) iperboli; c) parabole; d) spezzate. 5) Se per Armando vasi e fiori sono beni perfetti complementi, un aumento del consumo di vasi a parità di consumo di fiori comporterà per lui: a) un aumento dell utilità; b) una diminuzione dell utilità; c) nessuna variazione dell utilità; d) il raggiungimento di una curva di indifferenza più alta;
Soluzioni: 1)b; 2)b; 3)c; 4)a; 5)c Esercizio 1 La funzione di utilità di un consumatore è U( 1 ; 2 ) = 1 2. 2 Il prezzo del bene 1 è p 1 =1, il prezzo del bene 2 è p 2 = 3 ed il reddito del consumatore è R = 180. Determinare il paniere ottimale per il consumatore sapendo che l espressione del saggio marginale di sostituzione è pari a SMS= 2 2 / 1. Qual è il livello di utilità raggiunto dal consumatore in tale paniere ottimale? Svolgimento Nel punto di ottimo il paniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di indifferenza più alta raggiungibile con il suo vincolo di bilancio (vdb). In altre parole, nel punto di ottimo il vdb del consumatore è tangente alla più alta possibile delle sue curve di indifferenza. Poiché le due curve sono tangenti, in quel punto dovranno essere caratterizzate dalla stessa pendenza. La pendenza di una curva di indifferenza è espressa in valore assoluto dal SMS, ossia dal rapporto fra le utilità marginali, mentre la pendenza del vdb è espressa dal rapporto fra i prezzi dei due beni (-p 1 /p 2 se il bene 2 è descritto sull asse verticale). Nel nostro caso specifico avremo il seguente vincolo di bilancio: p 1 1 +p 2 2 =R ossia 1 +3 2 =180, da cui il valore assoluto della pendenza, ossia il rapporto tra i prezzi, risulta 1/3. L espressione del SMS ci viene fornita dal testo dell esercizio ed è SMS=2 2 / 1. Nel punto di ottimo deve, quindi, essere verificata la relazione di uguaglianza tra pendenza della curva di indifferenza e pendenza del vdb. Da tale uguaglianza si verifica che il consumo del bene 1 sarà sei volte più grande del consumo del bene 2: infatti da 2 2 / 1 = 1/3 segue (moltiplicando entrambi lati per 31) che 6 2 = 1. Inoltre, il paniere di consumo ottimale deve essere un paniere ammissibile per il consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò devono valere allo stesso tempo le seguenti due equazioni, e risolvendo il sistema di tali due equazioni in due incognite si otterrà il paniere ottimale.
Il paniere ottimale di consumo è quindi (1*,2*)=(120,20). Si noti che in corrispondenza di questo paniere il consumatore ha l utilità massima che può raggiungere con il suo vdb, corrispondente a u*=u(1*,2*)=1* 2 2*=120 2.20=288.000. Esercizio 2 Le preferenze di un consumatore per lo zucchero di barbabietola (bene ) e lo zucchero di canna (bene ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: (, ) = 3 U + I prezzi dei beni sono p = 5 e p = 10 e il reddito a disposizione dell'individuo è pari a 20. Determinare la scelta ottimale dell'individuo. Soluzione Poiché la funzione di utilità è lineare, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e pari a: U ʹ SMS, = = 3 U ʹ Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e quindi che il punto di ottimo sarà una soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. Per sapere quale dei due e in che quantità, occorre considerare la pendenza delle curve di indifferenza (che indica in che proporzione l'individuo è disposto a scambiare un bene con l'altro) e quella del vincolo di bilancio (che indica il rapporto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS pari a 3 significa che il consumatore è disposto a cedere 3 unità di per una di. Invece sul mercato il bene è scambiato contro due unità di (la pendenza del vincolo di bilancio, cioè il rapporto, è pari a 2 1 ). p p Di conseguenza il consumatore preferirà spendere il suo reddito solo nell'acquisto del bene, acquistandone una quantità pari a
= R p = 4 2 E 4 Esercizio 3 Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a R = 320 e le sue preferenze sono descritte dalla funzione di utilità U(,) =. Il SMS è pari a /. a) Determinare l equazione di una generica curva di indifferenza b) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi p = 2 e p = 5. c) Si supponga che il prezzo p diminuisca, così che ora p' = 4. Calcolare la nuova scelta ottima del consumatore. Soluzione a) La curva di indifferenza rappresenta l insieme delle combinazioni di e che danno al consumatore lo stesso livello di utilità U. Essendo la funzione di utilità in oggetto U(,) = e definendo con un dato (generico) livello di utilità, allora le combinazioni (,) che generano tale livello di utilità dovranno essere tali per cui U(;)=. L equazione della generica curva di indifferenza in un grafico in cui è misurato sull asse verticale è dunque: b) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema che combina la condizione di tangenza e il vdb, dove la condizione di tangenza è determinata dall'uguaglianza tra SMS (=/) e valore assoluto della pendenza del vdb (=2/5). Il sistema a due equazioni e due incognite è:
Dalla prima equazione otteniamo =(2/5) che sostituita all'interno del vdb ci permette di ottenere le grandezze di equilibrio. Quindi il paniere ottimo del consumatore è dato da (80,32). c) Se il prezzo del bene passa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema (nel sistema si fa notare che il SMS è sempre pari, per definizione, al rapporto tra le utilità marginali rispettivamente del bene misurato sull asse delle ascisse e di quello misurato sull asse delle ordinate): U /U = p/p da cui /=1/2 320= 2+4 da cui procedendo come nel punto precedente si ottiene il paniere (80; 40). Come utile esercizio a casa, provate a disegnare il vecchio e il nuovo vincolo di bilancio in un grafico, mostrando i due panieri ottimali come punti di tangenza con due generiche curve di indifferenza. Esercizio 4 Un consumatore ha la seguente funzione di utilità U(;)=+2 con prezzi p =2 e p =3 per i due beni. 1) Si calcoli e si rappresenti la curva di indifferenza di livello 20. 2) Si determini il reddito necessario e la conseguente scelta ottimale per raggiungere questo livello di utilità. Svolgimento La curva di indifferenza di livello 20 è data dalla retta di equazione 20 = +2 ovvero = 10 (1/2). Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 20 e pendenza -1/2. Si tratta di beni perfetti sostituti quindi la scelta ottimale dipende dalla pendenza relativa di vincolo di bilancio e curva di indifferenza. Il rapporto dei prezzi è 2/3 per cui il vincolo risulta più inclinato della curva di indifferenza (il cui SMS è ½). Il consumatore acquisterà quindi solo il bene sull asse verticale, ossia. In particolare, la quantità di bene sull asse verticale che consente di raggiungere il livello di utilità 20 è proprio l intercetta verticale della curva di indifferenza di livello 20 trovata nel punto 1), ossia *=10, mentre *=0. Per
acquistare un tale paniere è necessario un reddito pari a R=p *= 30. Esercizio 5 Un consumatore ha una funzione di utilità data da U(,)=min(2;3) ed un reddito R=40. I prezzi dei due beni sono p=2 e p=5. 1) Si rappresentino graficamente il vincolo di bilancio e la mappa di curve di indifferenza. In particolare si consideri la curva di indifferenza di livello 12. 2) Si calcoli la scelta ottimale del consumatore. 3) Si supponga che il prezzo del bene aumenti fino a p =7. Si calcoli e si rappresenti nel grafico precedente la nuova scelta ottimale del consumatore. Svolgimento 1) Il vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/p= 8 e intercetta orizzontale R/p= 20 e pendenza in valore assoluto p/p= 2/5. Le curve in indifferenza sono a forma di L con cuspidi lungo il raggio di equazione =(2/3). Si tratta di beni perfetti complementi. La curva di livello 12 presenta una cuspide per =12/2=6 e =12/3=4. 2) La scelta ottima del consumatore si trova intersecando il raggio lungo il quale giacciono le cuspidi delle curve di indifferenza ed il vincolo di bilancio. Occorre quindi risolvere il sistema formato da =2/3 e 2+5=40 da cui =15/2 e =5. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 15. 3) Il nuovo vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/p'=20/7. Ora il sistema da risolvere è formato da =2/3 e 2+7=40 da cui =6 e =4. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 12.