Lezon del dr. Enrco Ferrero LA DISPERSIONE DI INQUINANTI IN ATMOSFERA 1
1. Lo strato lmte planetaro Lo strato d atmosfera pù vcno alla superfce terrestre e chamato strato lmte planetaro (Planetary Boundary Layer, PBL). Esso vene anche ndcato con l nome d strato lmte atmosferco (Atmospherc Boundary Layer, ABL) o semplcemente strato lmte (Boundary Layer, BL). E n questa regone dell atmosfera a pù stretto contatto col suolo, che process dspersv, avvengono. Qu hanno luogo rlasc d nqunant che vengono dffus e trasportat da mot atmosferc. Lo studo del PBL ha non solo una grande mportanza scentfca, ma anche molte applcazon pratche, n quanto tutte le attvtà umane e bologche hanno luogo n questo strato d atmosfera.
Caratterstche del PBL La parte d atmosfera che va dal suolo ad una altezza meda d 11 km è chamata troposfera. Lo Strato Lmte Planetaro è defnto come quella parte della troposfera, stuata mmedatamente al d sopra del terreno, che è drettamente nfluenzata dalla presenza della superfce terrestre e rsponde alle forzant superfcal con temp d scala dell ordne dell ora o meno. La restante parte della troposfera è detta atmosfera lbera. Fgura: Schema raffgurante le prncpal suddvson della bassa atmosfera; da Stull (1988). Le prncpal forzant superfcal sono: la resstenza aerodnamca causata dalla forza d attrto vscoso; l trasfermento d calore da e verso l suolo, l evaporazone e la trasprazone; le modfcazon del flusso d ara ndotte dalla conformazone caratterstca del terreno; l emssone d grand masse d nqunant (dovute a sorgent natural o causate dall uomo) termcamente dsomogenee rspetto all ambente crcostante (l emssone d nqunant può n ogn caso costture una forzante dal punto d vsta ambentale). E dffcle defnre n manera precsa l altezza del PBL perchè è molto varable: oltre a presentare un cclo durno, essa rsulta varable nel tempo e nello spazo 3
secondo le condzon orografche e meteorologche del sto; l altezza comunque è generalmente compresa tra l centnao d metr (100-00 m, nelle nott serene o con vento debole) e qualche chlometro (1000-000 m, o anche 3000 m, nelle gornate con elevato rraggamento solare o forte vento). Il PBL, sovrastante sa l mare sa la terraferma, è pù sottle nelle regon d alta pressone che n quelle d bassa pressone (s veda la fgura). La subsdenza e la dvergenza orzzontale ne bass strat, assocate alle alte presson snottche, muovono nfatt l ara del PBL fuor dall area d alta pressone verso le aree d bassa pressone; qund generalmente l PBL presenta, nelle zone stabl e prve d nub, una scarsa estensone vertcale. Al contraro, nelle zone d bassa pressone, la convergenza e mot ascensonal sospngono l ara sno a quote elevate (ne cas lmte sno alla sommtà della troposfera) causando spesso la formazone d nub cumulform; n questa eventualtà, è dffcle stablre fscamente la profondtà del PBL, s rcorre qund ad una defnzone convenzonale che stua la sommtà del PBL alla quota della base delle nuvole. Tuttava, al d là d queste valutazon a scala snottca, la struttura del PBL vene consderata pù su scala locale. Fgura: Illustrazone schematca delle varazon a scala snottca dell altezza del PBL; da Stull (1988). 4
Al d sopra del mare aperto l altezza del PBL vara abbastanza lentamente sa nello spazo sa nel tempo: la superfce del mare è nfatt pressoché unforme e la sua temperatura non subsce varazon rlevant durante l cclo durno (a causa del contnuo rmescolamento e della elevata capactà termca dell acqua). E mportante notare che l evoluzone durna della temperatura, coè la varazone della temperatura dell ara tra l gorno e la notte, è nesstente nella parte superore della troposfera. Infatt, ndrettamente l ntera troposfera può subre alterazon n rsposta alle condzon superfcal, ma questa rsposta è relatvamente lenta fuor del PBL, coè temp d rsposta nell atmosfera lbera sono maggor d quell del PBL. Per questo motvo, la defnzone del PBL nclude anche un tempo d scala. Infne premettamo che, n generale, nello studo del PBL, faremo le seguent assunzon. S potzza che l terreno sottostante sa una superfce deale, nfntamente patta e che l flusso atmosferco sa orzzontalmente omogeneo, coè le sue propretà statstche (s veda pù avant) sano ndpendent dalla poszone orzzontale e varno solo con la quota e l tempo. D conseguenza s possono gnorare le dervate parzal delle grandezze mede lungo le drezon orzzontal nelle equazon del moto. In aggunta all omogenetà orzzontale, s assume che l flusso sa stazonaro, coè che le propretà statstche non cambno con l tempo, n modo da poter trascurare anche le dervate rspetto al tempo. Le due precedent condzon permettono d applcare al PBL la teora della fludodnamca semplfcata e le legg emprche svluppate negl stud n gallera del vento. 5
Il vento nel PBL Il flusso dell ara, coè l vento, può essere suddvso n tre component: vento medo, onde, turbolenza. Nella fgura 1. sono rappresentate le dealzzazon del solo vento medo (a), le sole onde (b) e la sola turbolenza (c). Ognuna d queste component può esstere separatamente o n parzale presenza d cascuna delle altre, ma nella realtà onde e turbolenza sono comunemente sovrapposte al vento medo. Fgura: Idealzzazon del solo vento medo (a), delle sole onde (b) e della sola turbolenza (c); da Stull (1988). Nel PBL la propagazone d quanttà qual calore, quanttà d moto, umdtà ed nqunant, è domnata orzzontalmente dal vento medo e vertcalmente dalla turbolenza. Il vento medo è ovvamente responsable del rapdo trasporto orzzontale (avvezone). I valor d veloctà orzzontale che caratterzzano l processo d avvezone sono comunemente compres nell ntervallo 10 m/s; bsogna comunque notare che l attrto con l terreno causa una dmnuzone della veloctà orzzontale del vento medo vcno al terreno stesso. La veloctà vertcale del vento medo è 6
puttosto modesta, generalmente dell ordne d mllmetr o centmetr al secondo (almeno su terreno patto e n condzon d debole rraggamento solare). Le onde, che possono essere pù frequentemente present nel PBL notturno, non sono molto effcac nella propagazone d calore, umdtà e altr grandezze scalar come la concentrazone d nqunant, ma tuttava esse sono molto effcent nel trasporto d quanttà d moto ed energa. Le onde possono essere generate localmente dallo shear del vento (varazone con la quota della veloctà del vento medo) e dalla presenza d ostacol che perturbano l flusso; oppure s possono propagare da sorgent, come temporal o esploson, lontane dalla zona d osservazone. Ad ogn modo, l flusso nel PBL è generalmente turbolento: la presenza della turbolenza è nfatt propro una delle caratterstche tpche che dfferenzano l PBL dagl strat superor dell atmosfera (dove la turbolenza è presente essenzalmente nelle nub convettve e n prossmtà delle corrent a getto). Il moto turbolento è consderato una condzone d flusso rregolare nel quale dverse quanttà mostrano varazon casual sa nel tempo sa nello spazo. La turbolenza è l meccansmo prncpale della dspersone d nqunant n atmosfera, prodott da attvtà antropogenche. 7
La turbolenza La turbolenza è generata da effett non lnear che s sovrappongono al flusso medo e può essere vsualzzata come un nseme d vortc d dverse dmenson che nteragscono tra loro e con l flusso medo; l energa assocata a cascuna scala d vortc defnsce lo spettro della turbolenza. La maggor parte della turbolenza del PBL è causata da forzant collegate alla presenza del terreno. Per esempo: l rscaldamento del terreno causato dall rraggamento solare causa la rsalta d masse d ara calda (corrent termche); l attrto che l terreno esercta sul flusso causa lo shear del vento che a sua volta è causa d turbolenza; la presenza d ostacol (come, ad esempo, alber ed edfc) perturba l flusso e può anche causare la formazone d un vortce sottovento (rcrcolo o dstacco). Due sono qund tp d sorgent per la turbolenza nel PBL: una d orgne meccanca ed una d orgne termca. L attrto dell ara con l suolo è la causa meccanca, n quanto determna una dmnuzone dell ntenstà del vento medo man mano che dalle quote pù elevate c s avvcna al contatto con l suolo. A seguto d cò s manfesta un gradente vertcale d veloctà che produce nstabltà nel flusso d ara e genera un moto turbolento: se s prende una partcella d ara e la s sposta verso l alto o verso l basso, essa s troverà ad avere una veloctà orzzontale mnore o maggore rspetto all ambente crcostante creando così nstabltà. Rguardo agl effett termc, quando v è un sgnfcatvo rscaldamento del suolo e qund degl strat d ara ad esso adacent, s genera turbolenza d orgne termca. Durante l gorno l sole rscalda la superfce terrestre medante radazone ad onde corte. La dfferenza che s genera tra la temperatura del suolo e quella dell ara soprastante manfesta l suo effetto tramte accelerazon vertcal e mot ascensonal: s nstaurano coè de fenomen d tpo convettvo, dovut alla forza d galleggamento o d Archmede (buoyancy), che provocano mot d ara calda verso l alto, a qual, per l prncpo d conservazone della massa, sono assocat mot dscendent d ara fredda verso l basso. A questo fenomeno s dà l nome d turbolenza convettva. 8
Caratterstche della turbolenza La turbolenza è una caratterstca ntrnseca del PBL. Se s analzza l traccato effettuato tramte un qualsas anemometro, che mostra l andamento della veloctà del vento nel tempo (s veda la fgura), s può notare come tale veloctà vara n modo rregolare. Fgura: Traccato anemometrco che llustra un tpco andamento del modulo del vento n funzone del tempo (da Stull, 1988). La natura casuale della turbolenza rende dffcle una descrzone determnstca, per cu dventa necessaro un approcco statstco esteso sa a procedment con cu s msurano le varabl atmosferche, sa alle equazon che le governano. Guardando l grafco precedente, possamo fare le seguent consderazon. La veloctà del vento non vara n modo molto marcato ma è compresa n un range lmtato. E qund msurable e defnble l ntenstà della turbolenza; essa è soltamente defnta n modo admensonale secondo la seguente relazone: I = σ m / M dove σ m è la devazone standard del modulo del vento (o della varable n questone) e M è l suo valor medo (n valore assoluto). 9
Esstono temp d scala dvers per varazon dverse dell ntenstà del vento. Se prendamo pcch d veloctà d un determnato ordne d grandezza, notamo che la separazone temporale è dversa da quella per pcch d ordne d grandezza dfferente. Da cò s deduce che l ntenstà del vento vara n modo casuale ntorno al valore medo con perodo molto breve. Questo valore medo a sua volta non è costante nel tempo ma lentamente varable con perodo molto pù grande delle pccole fluttuazon casual. Una spegazone d questo fatto vene dalla presenza nel PBL d vortc, orzzontal e vertcal, d vare dmenson (da qualche mllmetro a dvers chlometr), che mess asseme costtuscono la parte turbolenta del moto atmosferco. A fluttuazon del vento con perodo pccolo sono assocat vortc d pccole dmenson che s sovrappongono a vortc d dmenson maggor relatv a fluttuazon con perod maggor: coè pccol vortc hanno perod caratterstc pù brev de grand vortc. La trattazone teorca d un fenomeno d natura ntrnsecamente stocastca, com è la turbolenza, avvene tramte l anals spettrale che consste nel supporre l andamento della veloctà del vento come rsultante della sovrapposzone d onde regolar d frequenza ben defnta, essendo cascuna frequenza assocata alla corrspondente scala d varazone temporale della veloctà. Utlzzando, noltre, quella nota come potes d Taylor (o frozen turbulence ), è possble stablre una corrspondenza tra la scala d varazone temporale d cascun vortce e le sue dmenson spazal, rconducendos così a descrvere la turbolenza come rsultante dalla sovrapposzone d vortc d vara msura. Questa potes nfatt afferma che vortc turbolente vengono trasportat dal vento medo U senza cambare le loro caratterstche. In questo modo e' possble passare dalla coordnata temporale t a quella spazale x con la semplce trasformazone x=ut. Tramte strument matematc (dell anals spettrale) è possble analzzare l contrbuto dato da cascuna frequenza (coè da cascuna scala d varazone temporale ovvero da cascuna dmensone de vortc) all energa cnetca totale: s ottene così lo spettro d potenza del vento. 10
Fgura: Tpco spettro della veloctà del vento n prossmtà del suolo: sull asse delle X è rportata la frequenza (e la corrspondente scala d varazone temporale) de vortc, sull asse delle Y v è la porzone d energa cnetca assocata a tale frequenza (da Stull, 1988). Guardamo la fgura: n ordnata appare una msura della porzone d energa assocata ad una determnata dmensone del vortce, mentre l ascssa ndca le dmenson spazal del vortce n termn d ntervallo temporale ovvero d frequenza d varazone della veloctà del vento. Come s può vedere, vortc pù grand hanno ntenstà maggore. I pcch dello spettro sono n corrspondenza delle frequenze che contrbuscono maggormente all energa cnetca totale. Notamo allora che s dstnguono tre zone: una regone a snstra n corrspondenza del grande pcco (onda snottca) assocato al perodo d crca 100 ore, cu mot seguono prncpalmente l flusso medo del vento e sono domnat da vortc d grand dmenson spazal e temporal; corrsponde alle varazon del vento dovute al passaggo d front perturbatv su scala snottca (estenson spazal dell'ordne d 10 6 m); n questa regone s nota anche un secondo pcco (onda durna) assocato al perodo d 4 ore: corrsponde alle varazon del vento causate dal cclo durno (aumento della veloctà del vento durante l gorno e decremento durante la notte); 11
una regone d passaggo dalla forma d un ampa "valle" chamata spectral gap, che separa la scala snottca dalla mcroscala; è una zona, n corrspondenza delle varazon della veloctà del vento con perod d crca un ora, alla quale è assocata un energa assa rdotta; una regone a destra, cu mot sono assocat alla turbolenza a mcroscala, caratterzzat da vortc pccol, d durata da 10 second a 10 mnut (l pcco è assocato al perodo d crca 1 mnuto); questa struttura a mcroscala della turbolenza è quella che corrsponde al comportamento casuale del vento llustrato nella fgura precedente ed è l pù nteressante a fn della dffusone atmosferca a pccola scala. E nteressante notare che l centro dello spectral gap s trova propro n corrspondenza d un perodo d tempo d un ora e, rcordando che separa mot turbolent (a destra) da mot non turbolent (a snstra), s può capre perchè s è defnto l PBL come quella regone d atmosfera che rsponde alle forzant superfcal su scale temporal d un ora o meno. La presenza dello spectral gap c permette d ottenere un mportante semplfcazone per le vare scale assocate mot atmosferc, scrvendo l vettore veloctà del vento orzzontale come u = U + u' dove U rappresenta l valore medo che vara con un perodo d tempo superore ad un ora, mentre u rappresenta la varazone dovuta alla turbolenza che nteressa perod nferor ad un ora. Il dscorso può essere amplato anche alla componente vertcale della veloctà del vento e ad altre varabl come la temperatura potenzale, l umdtà, la concentrazone d nqunant n atmosfera ecc. La procedura d meda può essere defnta n dfferent mod, come meda spazale, temporale, o meda d nseme. Quest'ultma presuppone che fluss atmosferc sano membr d un nseme le cu realzzazon ndvdual obbedscono alle equazon d Naver-Stokes. Nella pratca le mede s consderano equvalent e generalmente le mede rcavate da msure sono mede temporal. 1
A questo punto è utle ntrodurre l concetto d flusso d alcune quanttà fsche come quanttà d moto, calore ecc. Esso rappresenta la veloctà con la quale queste quanttà fluscono attraverso una superfce untara nell untà d tempo. Per quanto rguarda l flusso d quanttà d moto c è da sottolneare che ogn componente della quanttà d moto è trasportata da ogn componente del vento, qund s ottene che questa quanttà è esprmble attraverso un tensore a nove component. E altresì utle ntrodurre quello che vene chamato flusso cnematco d quanttà d moto semplcemente come l rapporto tra l flusso d quanttà d moto e la denstà dell ara ( cò è dovuto al fatto che nella realtà s msura sempre U, veloctà del vento e non ρu quanttà d moto). Tale grandezza ha le dmenson del prodotto d veloctà dove la prma ndca la componente lungo la quale s dentfca l flusso, la seconda ndca la componente della veloctà della quale s consdera l flusso. Per quanto vsto n precedenza, del flusso cnematco come delle altre varabl meteorologche se ne consdera l valore medo. Tenendo noltre conto del fatto che possamo scrvere ogn componente della veloctà come la somma del valore medo pù una fluttuazone, ottenamo: u = U + u ' componente veloctà del vento ( U + u ')( U + u ') = U U + U u ' + U u ' u ' u ' u u = + poché u ' = 0 per defnzone, abbamo che nfne ottenamo U u ' = U u ' = 0 u u = U U + u ' u ' = U U + u ' u ' 13
S può vedere che ogn termne che contraddstngue l flusso medo cnematco d quanttà d moto può essere dvso n due termn, uno avvettvo dato dal prodotto delle veloctà mede e uno turbolento dato dalla meda del prodotto delle perturbazon della veloctà del vento. Possamo qund scrvere le nove component del flusso turbolento d quanttà d moto come l seguente tensore smmetrco detto tensore degl stress d Reynolds: u' v' u' u' u' v' v' v' u' v' dove u, v e w sono le component delle fluttuazon d veloctà prese rspetto ad un sstema d rfermento cartesano. Per quanto rguarda l flusso medo cnematco turbolento d calore n analoga con quanto detto prma possamo scrvere le tre component come: u ' θ ', v' θ ', θ ' Nel caso specfco delle componente vertcale delle veloctà del vento abbamo n genere che l valore medo è uguale a zero e qund, rspetto a questa drezone, l contrbuto al flusso totale sarà solo dovuto alla parte turbolenta. I fluss vertcal della componente orzzontale della quanttà d moto nello strato superfcale, dat da ( u ' ) s e ( v' ) s sono utlzzat per defnre una grandezza caratterstca della turbolenza n questo strato, chamata veloctà frzonale e ndcata con u, che n un generco sstema d rfermento e espressa dalla formula: ( ) 1 ( u ) = ( u' ) + ( v' ) s s 14
Se prendamo un sstema d rfermento n cu la drezone del vento concde con l asse x l equazone dventa: e qund ) s essendo ( u ' sempre negatvo. ( u ) = ( u' ) s u * * = ( u' ) s Questo parametro, che ha le dmenson d una veloctà e che è pressoché costante nel surface layer può essere utlzzato per calcolare l proflo d vento vertcale, n questo strato, n condzon neutre. Analogamente s può trattare l flusso d calore sensble H, dvdendolo per l prodotto tra calore specfco a pressone costante e la denstà dell ara: u ' ϑ ' = H ρc p A ttolo d esempo, supponamo che un vortce spost n vertcale una partcella n un ara ambente caratterzzata da un proflo d veloctà meda orzzontale U(z) lnearmente crescente. Supponamo anche che, essendo l vortce suffcentemente pccolo, la veloctà orzzontale della partcella non camb durante lo spostamento. Allora se quest ultma è spostata ad una dstanza z dalla sua poszone nzale avrà una veloctà dfferente da quella dell ara crcostante. La dfferenza tra queste due veloctà la possamo scrvere come: du u' = z' dz dove l segno meno ndca che, se la fluttuazone della poszone è verso l alto (z >0), la veloctà nzale della partcella è mnore d quella delle partcelle nella poszone fnale e qund s produce un fluttuazone negatva. Se è verso l basso (z <0) vceversa la fluttuazone d veloctà è postva. Supponendo che c sa una relazone lneare tra la turbolenza vertcale e orzzontale (nello strato superfcale la turbolenza è prevalentemente d orgne meccanca) scrvamo per la veloctà vertcale che sposta la partcella: 15
= C u' dove C è una costante e l segno meno ndca che ad una fluttuazone postva d w corrsponde una negatva d u e vceversa, essendo l proflo d veloctà meda crescente. Ottenamo così: du C z' dz = ; moltplcando ambo membr per u, tenendo conto della relazone precedente e facendo una meda tra le dmenson de possbl vortc, qund su z, s ottene: u ' = C z' du dz dove z' è la meda quadratca dello spostamento della partcella. Defnamo l = C z' lunghezza d rmescolamento o mxng length. Assumendo che nello strato superfcale essa venga lmtata dalla dstanza rspetto alla superfce terrestre possamo scrvere l = k z dove z è la quota e k è una costante admensonale d valore crca 0.4 ottenuto emprcamente (costante d von Karman). Ora, no sappamo che nel surface layer u ' è crca costante e uguale a u ' w ', s che è stata usata per defnre u e dunque da cu: u du = u = u' '. Sosttuendo ottenamo: * w du dz k z u = dz kz che ntegrata tra z 0 (quota n cu U = 0) e una generca quota z fornsce l proflo d vento medo (fgura) 16
U = u k z ln z 0 Fgura La quanttà z 0 è detta altezza d rugostà ed è caratterstca del tpo d superfce (rappresenta una spece d altezza meda degl ostacol present). I termn dagonal del tensore degl stress defnscono l energa cnetca turbolenta meda per untà d massa, e (TKE), che rappresenta la quanttà d energa assocata al moto turbolento nelle tre drezon: ( u' + v' ) 1 e = + In quest equazone è stata usata la quanttà w ' che nello studo de mot atmosferc turbolent è defnta come momento del secondo ordne delle veloctà vertcal. Infatt la veloctà vertcale d una partcella d ara ha un andamento casuale che segue una determnata funzone d denstà d probabltà o PDF (Probablty 17
Densty Functon), la quale, n generale, è defnta unvocamente se, oltre a, s conoscono tutt gl nfnt moment La quanttà n, con n che va da 0 a nfnto. w+ w P w ( ) w dw dove P(w) è la funzone denstà d probabltà delle veloctà w, rappresenta la probabltà che una partcella d ara abba veloctà compresa tra w e w+ w. Il generco momento n è legato alla PDF nel seguente modo: n, ( w) n = P dw La descrzone statstca d una generca varable s n un flusso turbolento può essere ottenuta attraverso la conoscenza de suo moment o della sua funzone d denstà d probabltà P(s). S ha per l momento d ordne n: s n = + s n = s n P( s) ds -. Teorcamente n può andare fno all nfnto, coè teorcamente possono esstere nfnt moment della grandezza statstca s. A fn pratc c s ferma ad utlzzare prm tre o quattro moment: la meda o momento del prmo ordne, + = s = s sp( s) ds - s = la varanza o momento centrato del secondo ordne, s = s (o σ ) s 18
+ = s s s = s ( ) P( s) ds - la skewness (non normalzzata), momento centrato del terzo ordne, s 3 = 3 s + = s s s 3 3 = s ( ) P( s) ds - la kurtoss (non normalzzata), momento 3 centrato del quarto ordne, s 4 = 4 s + = s s s 4 4 = s ( ) P( s) ds - 4 19
LE SCALE DELLA TURBOLENZA La scala de vortc pù grand è detta SCALA INTEGRALE: L = R( r) R(0) 0 dr dove R e' la funzone d correlazone spazale delle veloctà defnta come: R ( r) = u' ( x) u' ( x + r) Qund L rappresenta la massma dstanza a cu le veloctà turbolente sono correlate e qund la dmensone de vortc pù grand.. In turbolenza omogenea e sotropa (lontano dalla superfce) vale l'potes d localtà d Kolmogorov (prma potes): "Le propretà mede de vortc a pccola scala d ogn flusso turbolento a grand numer d Reynolds sono uncamente determnate dalla vscostà cnematca del fludo e dal tasso medo d dsspazone dell'energa cnetca turbolenta" questa potes e' valda nel range d equlbro: µ< l< L 0
dove 3 ν µ = ε 1/ 4 e' la scala d Kolmogorov. ν e la vscostà (cnematca) molecolare ed ε l rateo d dsspazone l energa cnetca turbolenta e La seconda potes d Kolmogorov e' la seguente: "Per grand numer d Reynolds esste un subrange del range d equlbro nel quale le propretà mede del flusso sono determnate solo dal tasso medo d dsspazone dell'energa cnetca turbolenta" Tale subrange e' detto nerzale ed è defnto dalla dsuguaglanza η < l< L dove νe η = ε 1/ è la MICROSCALA DI TAYLOR scala dove gl effett vscos dventano mportant. In questo range l'energa non vene ntrodotta nel sstema e non vene dsspata, s ha solamente un trasfermento dalla grande scala alla pccola scala. 1
da Sorban (1989) In un ABL convettvo s ha: ε~3 10-3 ms-3, E~ ms-, ν~1.5 10-5 ms-1 e qund η~0.1 m, µ~0.001 m con L~100m