Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale a.a. 2011 2012 y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Industriale, Facoltà di Ingegneria, Università del Salento
1 Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 13 dicembre 2011, A 1. Calcolare le radici terze del numero complesso: e rappresentarle geometricamente. 2. Studiare il seguente limite: z = (i + 1)5 (1 i) ( 3 + i) 3 log(1 + log 2 (cos x)) lim. x 0 e sin2 x 2 1 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=0 ( 1) n n! (n + 2)! sinn n!. 4. Teoria: Teoremi sul limite del prodotto. (Facoltativo: Ordine del prodotto e della funzione composta di due infinitesimi e di due infiniti). 5. Teoria: Condizione necessaria per la convergenza di una serie (con dim.). Comportamento della serie armonica e della serie geometrica (con dim.).
2 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 13 dicembre 2011, A 1. In forma trigonometrica si ha i + 1 = ( 2 cos π 4 + i sin π ), 4 1 i = ( 2 cos π ) 4 + i sin π 4 ( 3 + i = 2 cos π 6 + i sin π ), 6, e quindi, utilizzando le regole per le potenze, il prodotto e il quoziente in forma trigonometrica, si ottiene z = (i + ( 1)5 (1 i) ( = 25/2 cos 5π 4 + i sin 5π ) 4 2 1/2 ( cos π 4 + i sin π ) 4 3 + i) 3 2 ( 3 cos π 2 + i sin π ) 2 ( 5 = cos 4 π π 4 π ) ( 5 + i sin 2 4 π π 4 π ) = cos π 2 2 + i sin π 2 e quindi le radici terze sono date da w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = 3 2 + 1 2 i, w 1 = cos 5π 6 + i sin 5π 6 = 3 2 + 1 2 i, w 2 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = i. Geometricamente esse formano i vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza unitaria di centro l origine. 2. Utilizzando i limiti notevoli si ha log(1 + log 2 (cos x)) log(1 + log 2 (cos x)) lim = lim x 0 e sin2 x 2 1 x 0 log 2 (cos x) log 2 (1 + (cos x 1)) (cos x 1) 2 = lim x 0 (cos x 1) 2 sin 2 x 2 = 1 4. = lim x 0 Alternativamente, si può tenere presente che, per x 0, sin 2 x 2 log 2 (cos x) e sin2 x 2 1 sin 2 x 2 ( ) cos x 1 2 ( ) x 2 2 log(1 + log 2 (cos x)) log 2 (cos x) = log 2 (1 + (cos x 1)) ( (cos x 1) 2 1 ) 2 2 x2 = 1 4 x4 x 2 sin x 2
3 e inoltre e, dalla regola di sostituzione, e sin2 x 2 1 sin 2 x 2 (x 2 ) 2 = x 4 log(1 + log 2 (cos x)) x 4 /4 lim = lim x 0 e sin2 x 2 1 x 0 x 4 = 1 4. 3. A causa del termine sin n n! la serie è a termini di segno qualsiasi (non a termini positivi e neanche a segni alterni). Inoltre, per ogni n N, ( 1) n n! (n + 2)! sinn n! = ( 1) n sin n n! (n + 1)(n + 2). da cui si deduce anche che la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta. Per quanto riguarda l assoluta convergenza si osserva che n! ( 1)n (n + 2)! sinn n! 1 (n + 1)(n + 2) 1 (n + 1) 2 e inoltre la serie + 1 n=0 è convergente (serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1). Dal primo teorema di confronto (n+1) 2 per le serie a termini positivi segue che la serie assegnata converge assolutamente (e quindi converge).
4 Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 13 dicembre 2011, B 1. Calcolare le radici terze del numero complesso: e rappresentarle geometricamente. 2. Studiare il seguente limite: z = (1 + 3 i) 5 ( 3 i) (1 i) 4 e log2 (cos x) cos x lim x 0 e sin. x3 cos x 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=1 n (n + 2)! ( 1) n! sin 2 1 n 2. 4. Teoria: Teoremi sul limite della somma (con dim.). (Facoltativo: Ordine della somma di due infinitesimi o di due infiniti (con dim.)). 5. Teoria: Il criterio di Leibnitz. Comportamento della serie armonica generalizzata a segni alterni.
5 Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I 13 dicembre 2011, B 1. In forma trigonometrica si ha 1 + ( 3 i = 2 cos π 3 + i sin π ), 3 ( 3 i = 2 cos π ) 6 + i sin π 6 1 i = ( 2 cos π ) 4 + i sin π 4,, e quindi, utilizzando le regole per le potenze, il prodotto e il quoziente in forma trigonometrica, si ottiene ( cos 5π 3 + i sin 5π ) ( 3 2 cos π 6 + i sin π ) 6 z = (1 + 3 i) 5 ( 3 i) (1 i) 4 = 25 ( 5 = 2 (cos 4 3 π π ) 6 + π + i sin 2 2 (cos π + i sin π) )) ( 5 3 π π 6 + π = 2 4 ( cos 5 2 π + i sin 5 2 π ) = 2 4 ( cos π 2 + i sin π 2 e quindi le radici terze sono date da ( w 0 = 2 4/3 cos π 6 + i sin π ) 3 = 6 2 + 1 2 i, ( w 1 = 2 4/3 cos 5π 6 + i sin 5π ) 3 = 6 2 + 1 2 i, ( w 2 = 2 4/3 cos 3π 2 + i sin 3π ) = i. 2 Geometricamente esse formano i vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza di centro l origine e raggio 2 4/3. 2. Per quanto riguarda il numeratore si ha e log2 (cos x) cos x = (e log2 (cos x) 1) + (1 cos x) e inoltre, per x 0, e log2 (cos x) 1 log 2 (cos x) = log 2 (1 + (cos x 1)) (cos x 1) 2 ( 1 ) 2 2 x2 = 1 4 x4 mentre 1 cos x x 2 /2. Pertanto il numeratore è somma di un infinitesimo di ordine 4 e di uno di ordine 2; dal teorema sull ordine della somma di due infinitesimi si ha e log2 (cos x) cos x = (e log2 (cos x) 1) + (1 cos x) 1 cos x x2 2. )
6 Analogamente, per quanto riguarda il denominatore, si ha ( ) e sin x3 cos x = e sin x3 1 + (1 cos x) e inoltre e sin x3 1 sin x 3 x 3 è un infinitesimo di ordine 3, mentre 1 cos x x 2 /2 è un infinitesimo di ordine 2; pertanto e sin x3 cos x = Dalla regola di sostituzione si ha infine ( ) e sin x3 1 + (1 cos x) 1 cos x x2 2. e log2 (cos x) cos x x 2 /2 lim x 0 e sin = lim x3 cos x x 0 x 2 /2 = 1. 3. La serie è a termini di segno alterno. Inoltre, per ogni n N, n (n + 2)! ( 1) n! e quindi, per n +, sin 2 1 n 2 = ( 1)n (n + 1)(n + 2) sin 2 1 n 2. (n + 2)! n! sin 2 1 n 2 = (n+1)(n+2) sin2 1 n 2 (n+1)(n+2) ( 1 n 2 ) 2 1 n 2. Si deduce che la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta e inoltre che il termine generale è un infinitesimo di ordine 2; dal criterio sull ordine di infinitesimo, la serie assegnata converge assolutamente (e quindi converge).
7 Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log ( x + 1x ) 2. 2. Calcolare il seguente integrale: sin 5 2x (cos x + sin x) dx. 3. Teoria: Caratterizzazione della crescenza e della stretta crescenza di una funzione in un intervallo (con dim.). 4. Teoria: Integrabilità delle funzioni continue (con dim.). 5. Teoria (Facoltativo): Uniforme continuità e teorema di Cantor.
8 Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2012, A 1. La funzione è definita in R \ {0} ed è pari, per cui può essere studiata nell intervallo ]0, + [ dove si ha x ]0, + [ : f(x) = log (x + 1x ) 2. Per quanto riguarda il segno della funzione si osserva che, per ogni x ]0, + [, si ha f(x) 0 se e solo se x + 1/x 2 1 e quindi se e solo se x 3 x 2 + 1 0, da cui x 3 x 2 1; confrontando i grafici delle funzioni (elementari) a primo e secondo membro si ricava che f è sempre strettamente positiva in ]0, + [ e quindi non ci sono intersezioni con gli assi. Inoltre f è continua e per quanto riguarda gli asintoti verticali si ha lim x 0 + f(x) = + per cui la retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale in alto per f. Non esistono invece asintoti orizzontali o obliqui in quanto f(x) x + x = 0. lim f(x) = +, lim x + La funzione è derivabile infinite volte in ]0, + [ e in tale insieme si ha f (x) = x3 2 x(x 3 + 1), f (x) = x6 10x 3 2 x 2 (x 3 + 1) 2. Dallo studio del segno di f si ricava che f è strettamente decrescente in ]0, 3 2] e strettamente crescente in [ 3 2, + [, per cui il punto 3 2 è di minimo relativo (anzi assoluto) per f e si ha ( ) ( ) 3 3 1 f 2 = log 2 + 3. 4 Infine dallo studio del segno di f si ricava che f è strettamente convessa in [ 3 5 + 3 3, + [ e strettamente concava in [0, 3 5 + 3 3], per cui il punto 3 5 + 3 3 è un punto di flesso proprio per f. Dalle informazioni precedenti e tenendo presente la proprietà di simmetria della funzione se ne può a questo punto tracciare un grafico approssimativo. 2. Tenendo presente che sin 2x = 2 sin x cos x si ha sin 5 2x (cos x + sin x) dx = 32 sin 5 x cos 5 x (cos x + sin x) dx = 32 sin 5 x cos 6 x dx + 32 sin 6 x cos 5 x dx = 32 (1 cos 2 x) 2 cos 6 x sin x dx + 32 sin 6 x(1 sin 2 x) 2 cos x dx
9 e ponendo t = cos x nel primo integrale ed s = sin x nel secondo integrale, si ottiene 32 (1 t 2 ) 2 t 6 dt + 32 s 6 (1 s 2 ) 2 ds = 32 (t 3 2t 8 + t 10 ) dt + 32 (s 6 2s 8 + s 10 ) ds ( ) ( ) t 7 = 32 7 2t9 9 + t11 s 7 + 32 11 7 2s9 9 + s11 + c 11 = 32 7 cos7 x + 64 9 cos9 x 32 11 cos11 x + 32 7 sin7 x 64 9 sin9 x + 32 11 sin11 x + c.
10 Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: ( f(x) = log x 2 + 1 ). x 2. Calcolare il seguente integrale: cos 4x (sin 3x + cos 3x) dx. 3. Teoria: Formula di Taylor con il resto di Lagrange. 4. Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). 5. Teoria (Facoltativo): Funzioni lipschitziane e confronto con la uniforme continuità e la continuità.
11 Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2012, B 1. La funzione è definita in R \ {0} ed è pari, per cui può essere studiata nell intervallo ]0, + [ dove si ha ( x ]0, + [ : f(x) = log x 2 + 1 ). x Per quanto riguarda il segno della funzione si osserva che, per ogni x ]0, + [, si ha f(x) 0 se e solo se x 2 + 1/x 1 e quindi se e solo se x 3 x + 1 0, da cui x 3 x 1; confrontando i grafici delle funzioni (elementari) a primo e secondo membro si ricava che f è sempre strettamente positiva in ]0, + [ e quindi non ci sono intersezioni con gli assi. Inoltre f è continua e per quanto riguarda gli asintoti verticali si ha lim x 0 + f(x) = + per cui la retta di equazione x = 0 è un asintoto verticale in alto per f. Non esistono invece asintoti orizzontali o obliqui in quanto lim f(x) = +, lim f(x) x + x + x = 0. La funzione è derivabile infinite volte in ]0, + [ e in tale insieme si ha f (x) = 2x3 1 x(x 3 + 1), f (x) = 2x6 8x 3 1 x 2 (x 3 + 1) 2. Dallo studio del segno di f si ricava che f è strettamente decrescente in ]0, 1/ 3 2] e strettamente crescente in [1/ 3 2, + [, per cui il punto 1/ 3 2 è di minimo relativo (anzi assoluto) per f e si ha f ( 1 3 2 ) = log ( 1 3 4 + 3 2 Infine dallo studio del segno di f si ricava che f è strettamente convessa in ]0, 3 2 + 3/ 2] e strettamente concava in [ 3 2 + 3/ 2, + [, per cui il punto 3 2 + 3/ 2 è un punto di flesso per f. Dalle informazioni precedenti e tenendo presente la proprietà di simmetria della funzione se ne può a questo punto tracciare un grafico approssimativo. 2. Dalle formule di prostaferesi sin α cos β = 1 (sin (α + β) + sin (α β)), 2 cos α cos β = 1 (cos (α + β) + cos (α β)), 2 ).
12 si ricava cos 4x (sin 3x + cos 3x) dx = = (sin 7x sin x) dx + cos 4x sin 3x dx + (cos 7x + cos x) dx cos 7x sin 7x = + cos x + + sin x + c. 7 7 cos 4x cos 3x dx
13 15 febbraio 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x +1/x. 2. Calcolare le radici terze del numero complesso z = (1 + 3i) 6 (1 + i) 2. 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=1 ( 1) n ( e 1/ n 1) 2. 4. Calcolare il seguente integrale: e x e 2x + 2e x + 10 dx.
14 15 febbraio 2012, Parte teorica: A 1. Teoria: Teorema di Weierstrass (con dim.). 2. Teoria: Teorema di Rolle (con dim.). 3. Teoria: Criterio di condensazione per le serie numeriche.
15 15 febbraio 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = e x+1/ x. 2. Calcolare le radici terze del numero complesso z = (1 + i)6 ( 3 + i) 6. 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=1 ( 1) n arctan 2 1 n. 4. Calcolare il seguente integrale: 2 log x x(log 2 x + 2 log x + 10) dx.
16 15 febbraio 2012, Parte teorica: B 1. Teoria: Classificazione dei punti di discontinuità. 2. Teoria: Teorema di Cauchy (con dim.). 3. Teoria: Criterio di Raabe per le serie numeriche.
17 29 febbraio 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x + 2 x 1. 2. Calcolare il modulo e l argomento del seguente numero complesso z = 1 i ( 3 + i) 3 e scrivere la formula per il calcolo delle radici quinte di z. 3. Studiare il seguente limite: ( lim x + x2 log 1 + sin 1 ) x 4. Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 5x cos 2 3x dx. arctan 1 x.
18 29 febbraio 2012, Parte teorica: A 1. Teoria: Teorema sul limite delle funzioni composte (con dim.). 2. Teoria: Serie alternanti e criterio di Leibnitz (enunciato). 3. Teoria: Caratterizzazione dell integrabilità mediante suddivisioni (enunciato).
19 29 febbraio 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x x + 3. 2. Calcolare il modulo e l argomento del seguente numero complesso z = 1 + i ( 3 i) 9 e scrivere la formula per il calcolo delle radici settime di z. 3. Studiare il seguente limite: lim x + x3 log (1 + arcsin 1x ) ( ) cos 1x 2 1. 4. Calcolare il seguente integrale definito: π/6 0 cos 3x sin 2 7x dx.
20 29 febbraio 2012, Parte teorica: B 1. Teoria: Teoremi sui limiti delle funzioni monotone (con dim.). 2. Teoria: Serie assolutamente convergenti e criterio sull ordine di infinitesimo (enunciato). 3. Teoria: Funzioni primitive e proprietà (enunciato).
21 23 aprile 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = xe (x+1)/x. 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 3. Studiare il seguente limite: ( ( 1) n e 1/n cos 1 ). n x sin x cos x + e x lim x 0 x 2 (sin x + 2) 4. Calcolare il seguente integrale: x + 2 x 4 1 dx..
22 23 aprile 2012, Parte teorica: A 1. Teoria: Teoremi di confronto per i limiti (con dim.). 2. Teoria: Criterio del rapporto e della radice per le serie numeriche (enunciato). 3. Teoria: Criteri per punti di massimo e di minimo (enunciato).
23 23 aprile 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = xe (x 2)/x. 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 3. Studiare il seguente limite: ( e 1/n2 cos 1 ) n x 2 + 1 cos x lim. x 0 sin x tan x 4. Calcolare il seguente integrale: x 2 (x 3 1)(x 1) dx..
24 23 aprile 2012, Parte teorica: B 1. Teoria: Teorema di Weierstrass (con dim.). 2. Teoria: Comportamento della serie armonica e della serie geometrica. 3. Teoria: Caratterizzazione della convessità e della stretta convessità in intervalli.
25 25 giugno 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log x 3 x. 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 ( ( 1) n sin 1 ) ( 2 cos 1 ) n n 3. Calcolare le radici terze del numero complesso: e rappresentarle geometricamente. z = (1 + 3 i) 3 (i + 3) 3 4. Calcolare il seguente integrale: x + 2 (x 1)(x 2 + 1) dx..
26 25 giugno 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = log ( 1 + x 2 x ). 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 log (1 + ( 1)n n 2 ) n. 3. Calcolare le radici terze del numero complesso: z = (1 + i)6 (i + 3) 3 e rappresentarle geometricamente. 4. Calcolare il seguente integrale: x + 1 (x 1) 3 dx.
27 26 luglio 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 1 x 2 + 1. 2. Studiare il seguente limite: lim x 0 x 2 sin 2 x cos x log(1 + x 2 ) + x 2 sin 2 x. 3. Determinare le soluzioni della seguente equazione in campo complesso: (z z ) (z z ) i + z = (1 + i) 3. 4. Calcolare il seguente integrale: ( x 3 log x + log x 1 ) x(log 2 dx. x + 1)
28 26 luglio 2012, B 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 + 1 x 2 1. 2. Studiare il seguente limite: x 2 log(1 + x 2 ) cos x lim x 0 tan 2 x + x 2 sin 2 x. 3. Determinare le soluzioni della seguente equazione in campo complesso: 4. Calcolare il seguente integrale: ( x 3 sin x + (z z ) (z z ) + iz = (1 + i) 3. ) cos x(sin x 1) sin 2 dx. x + 1
29 3 settembre 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan 2x 3 3x 2. 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 ( 1) n 1 ( ) n + 1 n cos 2n + 1 π. 3. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: 3 z + 2 3 z = 0. 4. Calcolare il seguente integrale: x 4 + 1 (x 2 + 1) 2 dx.
30 19 settembre 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 x 1. 2. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie: + n=1 ( 1) n n 2 e 1/n. 3. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z 2 = z 2. 4. Calcolare il seguente integrale: x 3 x 3 + 1 dx.
31 22 ottobre 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x 3 f(x) = log x 2 + 1. 2. Calcolare il seguente limite: x tan x + 2 log cos x lim x 0 x 2 sin 2. x 3. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z 4 = iz z. 4. Calcolare il seguente integrale definito: 1/2 1/2 1 1 x 4 dx.
32 10 dicembre 2012, A 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: f(x) = arctan x2 x + 1. 2. Calcolare il seguente limite: e x sin x cos x x tan x lim x 0 x. x 3. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z 3 = iz. 4. Calcolare il seguente integrale indefinito: sin x 1 + sin 2 x dx.
33 10 gennaio 2013 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico: x f(x) = arctan x 2 1. 2. Calcolare il seguente limite: e x sin x e sin2 x + sin 5 x lim x 0 x 2. 3. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione: z + 1 = z i. 4. Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 5x cos 3x dx.