DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2017/2018 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA

DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2017/2018 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA DANIELE ANDREUCCI, EMILIO CIRILLO DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY I richiami ai testi sono identificati così: A: Versione preliminare degli Appunti del corso, pubblicata sul sito del corso prima dell inizio del corso; R: Sheldon M. Ross, Introduction to Probability Models, 9th edition, Academic Press; G: Geoffrey Grimmet and David Stirzaker, Probability and Random Processes, Third Edition, Oxford University Press; L: Gregory F. Lawler, Random Walk and The Heat Equation, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island. La numerazione n/m relativa agli esercizi si riferisce all esercizio n del gruppo m, nella raccolta pubblicata sul sito del corso prima dell inizio del corso. 1

1. Lunedì 25/09/2017 Presentazione del corso. Discussione del comportamento della soluzione dell equazione di diffusione in dimensione spaziale 1: larghezza della distribuzione in funzione del tempo. Introduzione euristica al modello di Random Walk (passeggiata aleatoria) su Z. Calcolo del valor medio della posizione della particella dopo n passi e del valor medio del quadrato della posizione della particella dopo n passi definito come la media su tutte le possibili realizzazione della traiettoria della particella in n passi. Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.1 e 1.2], [G, Paragrafi 1.1 e 1.2]. Definizione di spazio campionario, definizione di algebra degli eventi. Esempio 1.1. Lancio della moneta, lancio del dado, lancio di due monete. 2

2. Mercoledì 27/09/2017 (Andreucci) (Aula 20) Richiami sulle derivate parziali. Equazioni alle derivate parziali del primo ordine riducibili a equazioni alle derivate ordinarie. Esempio 2.1. u y = u + xy, x, y R. Assegnazione di un dato su y = 0. Perché non si può assegnare il dato su x = 0. L equazione del trasporto u t + cu x = 0, con c > 0. Integrale generale nella forma u(x, t) = f(x + ct). Derivazione dalla dinamica dell equazione delle onde in una dimensione spaziale u tt c 2 u xx = 0 come modello di una corda vibrante. Derivazione dell equazione del calore dalla legge di Fourier. Soluzioni X(x)T (t) per separazione delle variabili dell equazione del calore in dimensione 1: X X = T DT = λ. Soluzioni a variabili separabili che si annullano in due punti: caso di seni e coseni (λ < 0). Per casa 2.2. Soluzioni a variabili separabili che si annullano in due punti: caso di esponenziali (λ > 0 e caso lineare λ = 0). Paragrafi di riferimento sul testo: A: 1.1, 1.4, 5.1. 3

3. Lunedì 02/10/2017 Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.2 e 1.3], [G, Paragrafi 1.2 e 1.3]. Proprietà delle σ algebre, definizione di misura di probabilità, proprietà delle misure di probabilità, definizione di insieme limite e sua probabilità, esempi. Esempio 3.1. σ algebra minimale, insieme delle parti. Teorema 3.2. Se F è una σ algebra su S, allora i) S F, ii) la differenza e la differenza simmetrica di due insiemi misurabili è misurabile, iii) un intersezione finita o numerabile di insiemi misurabili è misurabile, iv) l intersezione di due σ algebre è una σ algebra. Teorema 3.3. i) P(E c ) = 1 P(E), ii) F E P(F ) = P(E) + P(F \ E) P(E), iii) P(E F ) = P(E) + P(F ) P(E F ), iv) P(E F ) P(E), v) P(E \ F ) P(E). Teorema 3.4. Se A 1 A 2 e B 1 B 2, allora P(lim n A n ) = lim n P(A n ) e P(lim n B n ) = lim n P(B n ). Esempio 3.5. Costruzione dello spazio di probabilità per il lancio di una moneta, per il lancio di un dado, per il lancio di due monete e per il lancio di due dadi. Esempio 3.6. Problema del Cavaliere di Meré: calcolare la probabilità di almeno un sei se un dado non truccato viene lanciato quattro volte; calcolare la probabilità del doppio sei se due dadi non truccati vengono lanciati ventiquattro volte. Esempio 3.7. Calcolare la probabilità che in un insieme di n persone scelte a caso ve ne siano almeno due che festeggiano il compleanno lo stesso giorno. 4

4. Mercoledì 04/10/2017 (Andreucci) (Aula 20) Derivazione dell equazione della diffusione secondo Einstein. Soluzione fondamentale e sua interpretazione; cammino quadratico medio. Problemi di Dirichlet e di Neumann. Separazione delle variabili per l equazione del calore e l equazione delle onde in dimensione spaziale maggiore di 1. Autofunzioni del problema di Dirichlet e del problema di Neumann. Teorema 4.1. Gli autovalori del problema di Dirichlet sono strettamente positivi. Gli autovalori del problema di Neumann sono non negativi, e 0 è autovalore con autofunzione costante. Esercizio 4.2. Ricerca delle autofunzioni del problema di Dirichlet nel quadrato (0, π) (0, π). Autovalori. Per casa 4.3. Ricerca delle autofunzioni del problema di Neumann nell intervallo (0, π). Ricerca delle autofunzioni del problema di Neumann nel quadrato (0, π) (0, π). Autovalori. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 2.3, 5.1, 5.2. 5. Lunedì 9/10/2017 Introduzione al calcolo delle probabilità [R, Paragrafi 1.4], [G, Paragrafi 1.4]. Probabilità condizionali. Esempi e esercizi tratti dai testi [R] e [G] nei paragrafi citati. Teorema 5.1. i) P = P(E F )P(F )+P(E F c )P(F c ), ii) P(E) = n i=1 P(E F i )P(F i ), iii) formula di Bayes. 5

6. Mercoledì 11/10/2017 Introduzione al calcolo delle probabilità [G, Paragrafi 1.5, 2.1, 2.3, 2.4], [R, Paragrafi 1.5, 1.6, 2.1, 2.2, 2.3]. Eventi indipendenti, famiglie di eventi indipendenti, famiglie di eventi indipendenti a coppie. Esempio 6.1. [G, example 1.5.2], [G, example 1.5.3], [G, exercise 1.5.3], [R, exercise 1.3] Variabili aleatorie: introduzione e definizione. Definizione di funzione di distribuzione. Esempio 6.2. [G, example 2.1.1], [R, example 2.3] Teorema 6.3. i) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1; ii) x < y F (x) F (y); iii) lim h 0 + F (x + h) = F (x). Teorema 6.4. i) P(X > x) = 1 F (x); ii) P(x < X y) = F (y) F (x); iii) P(X = x) = F (x) lim y x F (y). Definizione di variabile aleatoria discreta e continua. Esempio 6.5. Variabile aleatoria uniforme [R, 2.3.1], variabile aleatoria esponenziale [R, 2.3.2], variabile aleatoria Gamma [R, 2.3.3], variabile aleatoria gaussiana [R, 2.3.4]. Per casa 6.6. Dimostrazione della seconda parte del punto i) del teorema 6.3. Dimostrazione del teorema 6.4. Determinare la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria uniforme. Dimostrare che Γ(n) = (n 1)!. Dimostrare che la variabile aleatoria gaussiana è ben normalizzata. 6

7. Lunedì 16/10/2017 Variabile aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.1,3.2], [R, Paragrafi 2.1, 2.2, 2.3]. Variabile Bernoulli, normalizzazione. Variabile Binomiale, normalizzazione, interpretazione in termini di numero di testa in lanci di monete indipendenti. Variabile geometrica, normalizzazione, connessione con la lunghezza della stringa in lanci di monete ripetuti fino alla prima testa. Variabile di Poisson, normalizzazione. Esempio 7.1. [R, example 2.6], [R, example 2.7], [R, example 2.8], Teorema 7.2 (di Poisson). Se p = λ/n con λ > 0 fissato, allora fissato k, la probabilità che una variabile binomiale di parametri n e p assuma valore k, nel limite n tende alla probabilità che una variabile di Poisson di parametro λ assuma valore k. Esempio 7.3. La probabilità di centrare un bersaglio è p = 10 3. Si effettuano n = 5000 tiri. Calcolare la probabilità di fare almeno due centri usando la distribuzione binomiale e la sua approssimazione di Poisson. Variabili aleatori discrete indipendenti e famiglie di variabili aleatori indipendenti. Esempio 7.4. Nel lancio di una moneta le variabili aleatori numero di teste e numero di croci non sono indipendenti. Il lancio di una moneta viene ripetuto un numero di volte aleatorio scelto in accordo con la distribuzione di poisson. Allora le variabili aleatori numero di teste e numero di croci sono indipendenti (poissonizzazione). Per casa 7.5. Dimostrare che in un lancio di n monete indipendenti le variabili aleatorie numero di test e numero di croci non sono indipendenti. Completare i calcoli relativi alla dimostrazione delle poissonizzazione delle variabili aleatorie numero di teste e numero di croci in un lancio ripetuto di un numero aleatorio di monete indipendenti. Discutere l esempio [R, example 2.9]. 7

8. Mercoledì 18/10/2017 (Andreucci) (Aula 20) Teorema 8.1. Se (ϕ 1, λ 1 ), (ϕ 2, λ 2 ) sono coppie a./a. per lo stesso problema, e λ 1 λ 2, allora ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) dx = 0. Ω Osservazioni sulle analogie con le matrici simmetriche. Esempio 8.2. Esempio di un problema di Dirichlet con soluzione a variabili separate in (0, π) (0, π). Metodo degli sviluppi in serie di autofunzioni del laplaciano per le soluzioni dell equazione del calore non omogenea. Necessità dello sviluppo in serie infinita. Equazione differenziale per i coefficienti dipendenti dal tempo. Normalizzazione delle autofunzioni. Esempio 8.3. Normalizzazione nel caso di sin(nx) in (0, π). Verifica dell ortogonalità. Per casa 8.4. Normalizzare il sistema 1, cos(nx) n 1 in (0, π). Verificare l ortonormalità. Il sistema di Fourier 1, cos(nx), sin(nx) in ( π, π) come sistema di autofunzioni per il problema periodico. Per casa 8.5. Trovare i problemi di cui sono autofunzioni rispettivamente le sin(2n + 1)x e le cos(2n + 1)x, n 0 in (0, π/2). Teorema 8.6. (Stima dell energia) Se u è regolare e risolve con allora per 0 < t < T 1 u(x, t) 2 dx + 2 Ω u t D u = 0, in Ω (0, T ), u u ν t 0 Ω = 0 su Ω (0, T ), Corollario 8.7. Due soluzioni regolari di coincidono. D u 2 dx dτ = 1 u(x, 0) 2 dx. 2 Ω u t D u = F (x, t), in Ω (0, T ); u(x, t) = g(x, t), su Ω (0, T ); u(x, 0) = u 0 (x), in Ω; 8

Introduzione dello spazio L 2 (I); identificazione di funzioni tali che f(x) g(x) 2 dx = 0. I Prodotto scalare di funzioni, norma, distanza tra funzioni. Commenti sul significato della norma in L 2 (I). Proprietà del prodotto scalare; simmetria, linearità, positività. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Disuguaglianza tra norme: f g f g. Definizione di convergenza di successioni e serie in L 2 (I). Definizione di funzioni ortogonali. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3, 6.2, 7.1, 7.2. 9

9. Lunedì 23/10/2017 Variabili aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.3, 3.4, 3.5], [R, Paragrafi 2.4]. Attesa, momenti della distribuzione di una variabile aleatoria, momenti centrati, varianza, deviazione standard. Esempio 9.1. [G, example 3.3.2], attesa del numero di teste su due lanci di monete non truccate. Teorema 9.2. Attesa della funzione di una variabile aleatoriea, E[g(X)] = x Ω X g(x) p(x). Esempio 9.3. [G, example 3.3.4], X = 2, 1, 1, 3 con probabilità date da 1/4, 1/8, 1/4, 3/8. Calcolare l attesa di X 2 usando la definizione e il teorema precedente. Esempio 9.4. Calcolo dell attesa, del secondo momento e della varianza della variabile di Bernoulli e di quella di Poisson. Per casa 9.5. Calcolo dell attesa, del secondo momento e della varianza della variabile geometrica e di quella binomiale. Teorema 9.6. i) se X 0 allora E[X] 0; ii) E[aX +by ] = ae[x]+ be[y ]; Teorema 9.7. Se X e Y sono indipendenti, allora E[XY ] = E[X]E[Y ]. Definizione di variabili non correlate e osservazione che indipendenti implica non correlate. Per casa 9.8 (G, problem 3.11.16). Siano X e Y Bernoulli indipendenti di parametro 1/2. Verificare che X + Y e X Y sono non correlate, ma non sono indipendenti. Teorema 9.9. i) Var[aX] = a 2 Var[X]; ii) Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] + 2[E[XY ] E[X]E[Y ]]. Esempio 9.10. Calcolo dell attesa della somma dell esito del lancio di tre dadi non truccati usando la linearità dell attesa e usando la definizione di attesa sullo spazio campionario che descrive il lancio di tre dadi con 6 3 eventi elementari. 10

10. Mercoledì 25/10/2017 (Andreucci) (Aula 20) Teorema 10.1. Se u soddisfa u tt c 2 u xx = 0, in (a, b) (α, β), vale u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct), per f e g funzioni opportune. Teorema 10.2. Il problema di Cauchy per l equazione delle onde in dimensione N = 1 ha unica soluzione data dalla formula di D Alembert u(x, t) = 1 2 [u 0(x ct) + u 0 (x + ct)] + 1 2c x+ct x ct u 1 (s) ds. Definizione di soluzione debole del problema di Cauchy per l equazione delle onde. Analisi della struttura della soluzione del problema di Cauchy nei due casi: 1) u 0 (x) = χ(x), u 1 (x) = 0 per ogni x R; 2) u 0 (x) = 0, u 1 (x) = χ(x) per ogni x R. Qui χ(x) = 1 se x (a, b), χ(x) = 0 se x (a, b). Esercizio 10.3. 1, 8/300. Per casa 10.4. 2, 4/300; 2, 8/310. Teorema 10.5. Se f n f allora (f n, g) (f, g). Se n=1 F n = F allora n=1 (F n, g) = (F, g). Definizione di funzioni ortogonali. Proposizione 10.6. Funzioni diverse da zero e ortogonali due a due sono linearmente indipendenti. Corollario 10.7. L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale. Definizione di sistema ortonormale. Approssimazione di funzioni con sistemi ortonormali; il metodo dei minimi quadrati. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 7.1, 7.2, 7.3, 10.1. 11

11. Lunedì 30/10/2017 Variabili aleatorie discrete [G, Paragrafi 3.6, 3.8], [R, Paragrafi 2.5]. Funzione di distribuzione congiunta e funzione di probabilità congiunta. Teorema 11.1. Per X e Y variabili aleatorie discrete valgono le seguenti affermazioni: p X (x) = y Ω Y p X,Y (x, y) e p Y (y) = x Ω X p X,Y (x, y) (marginali); X e Y indipendenti se e soltanto se p X,Y (x, y) = p X (x)p Y (y) per ogni x e y; se X e Y sono indipendenti allora F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y) per ogni x e y. Esempio 11.2. Calcolo della marginale usando la conoscenza della funzione di probabilità congiunta per le variabili aleatorie X = numero di teste e Y = numero di croci in un solo lancio e in un lancio di N monete non truccate ove N è una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ. Teorema 11.3. Siano X e Y variabili aleatorie discrete e g : R 2 R, allora E[g(X, Y )] = x Ω X, y Ω Y g(x, y)p X,Y (x, y). Il teorema precedente può essere usato per dimostrare in modo semplice che E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]. Il teorema precedente può essere usato per dimostrare in modo semplice che se X e Y sono indipendenti, allora E[XY ] = E[X]E[Y ]. Definizione di covarianza cov(x, Y ) e di correlazione ρ(x, Y ) (o coefficiente di correlazione). Proprietà elementari cov(x, X) = Var[X] e cov(x, Y + Z) = cov(x, Y ) + cov(x, Z). Teorema 11.4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete: E[XY ] 2 E[X 2 ]E[Y 2 ] (disuguaglianza di Cauchy Schwarz); ρ(x, y) 1. Teorema 11.5. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete: P(X + Y = z) = x Ω X p X,Y (x, z x) e, se X e Y sono indipendenti, P(X + Y = z) = x Ω X p X (x)p Y (z x) p X p Y (convoluzione). Esempio 11.6. La somma di due variabili aleatorie di Poisson di parametri λ 1 e λ 2 è una variabile di Poisson di parametro λ 1 + λ 2. 12

12. Lunedì 06/11/2017 Esempio 12.1. Discussione con gli studenti dell esercizio [R, exercise 1.13]. Esempio 12.2. La variabile binomiale di parametri p e n è la somma di n variabili di Bernoulli di parametro p. Applicazione al calcolo della media e della varianza. Introduzione al Random Walk [L, capitolo 1]. Definizione di random walk 1D semplice e simmetrico, analogia con la somma di variabili di Bernoulli, calcolo della media e della varianza, comportamento diffusivo. Calcolo della probabilità che all istante n la particella occupi la posizione j. 13. Mercoledì 08/11/2017 (Andreucci) (Aula 20) Disuguaglianza di Bessel Definizione di sistemi ortonormali completi. Identità di Parseval. Corollario 13.1. Il sistema ortonormale {ϕ n } è completo se e solo se per ogni f, g L 2 (I) vale + n=1 (f, ϕ n )(g, ϕ n ) = (f, g). Esempi di sistemi ortonormali completi: F, C, S, C, S, per le varie condizioni al bordo. Passaggio ad altri intervalli. Applicazione del metodo di Fourier a problemi al contorno per l equazione delle onde e del calore. Esempi. Esercizio 13.2. 3/310. Uso della formula di D Alembert per la soluzioni di problemi in intervalli limitati e semirette. Per casa 13.3. 9, 10/610; 14, 20, 26/620. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4, 8.1, 8.2, 8.3, 10.6. 13

14. Lunedì 13/11/2017 Random Walk [L, capitolo 1]. Comportamento della probabilità che all istante n la particella occupi la posizione j. Discussione e dimostrazione di alcune disuguaglianze notevoli e applicazione al Random Walk. Teorema 14.1. Siano X una variabile aleatoria discreta, sia h : R [0, ] una funzione non negativa e a > 0, allora: i) P(h(X) a) E[h(X)]/a (disuguaglianza di Markov [R, proposition.2.6], [G, theorem 7.3.1]); ii) P( X a) E[X 2 ]/a 2 (disuguaglianza di Chebyshev [G, example 7.3.3]); iii) P( X E[X] a) Var[X]/a 2 (disuguaglianza di Chebyshev [R, proposition 2.7]). Teorema 14.2 (Formula di Stirling). Vale n! = 2πn n+1/2 e n (1 + ϕ(n)) con ϕ(n) 0 per n. Lemma 14.3. Presa b n successione di numeri positivi, posto δ j = b j /b j 1 1, se j 2 δ j converge allora esiste finito il limite della successione b n. Lemma 14.4. Esiste finito il limite della successione n!/(x n+1/2 e n ). 15. Lunedì 20/11/2017 Enunciato, dimostrazione e discussione del teorema limite centrale per il random walk simmetrico [L]. Teorema 15.1 (Limite centrale per il random walk simmetrico). Per a < b si ha lim n P(a 2n S 2n b 2n) = (1/ 2π) b a exp{ x2 /2} dx. Enunciato e discussione del teorema limite centrale (De Moivre Laplace) per la somma di variabili aleatorie identicamente distribuite. Teorema 15.2 (De Moivre Laplace). Siano X 1, X 2,... variabili aleatorie (discrete) indipendenti e identicamente distribuite. Sia E[X 1 ] = µ R e Var[X 1 ] = σ 2 R. Allora, posto S n = X 1 + + X n, per ogni y R si ha lim n P((S n µn)/(σ n) y) = (1/ 2π) y exp{ x2 /2} dx. Esempio 15.3. Un giocatore punta alla roulette un euro sul rosso ripetutamente. La roulette ha 16 numeri rossi, 16 neri e 2 verdi. Stimare la probabilità che il giocatore sia in attivo dopo 100 giocate. 14

16. Mercoledì 22/11/2017 (Andreucci) (Aula 20) Teorema 16.1. (s.d.) Sia il problema di Dirichlet che il problema di Neumann per il laplaciano hanno una successione infinita di coppie autofunzione/autovalore (ϕ n, λ n ). Inoltre lim λ n = +. n Infine {ϕ n } è un sistema ortonormale completo. Il caso N = 1 (intervalli di R) si è considerato direttamente. Il caso N = 2 con Ω rettangolo segue dal Teorema 16.2. (s.d.) Sia {ϕ n }, rispettivamente {ψ m }, un sistema ortonormale completo in L 2 (I), rispettivamente in L 2 (J). Allora {ϕ n ψ m } è un sistema ortonormale completo in L 2 (I J). Teorema 16.3. Se f C 1 ([ π, π]) e f(π) = f( π) allora la serie di Fourier di f converge uniformemente. Il fenomeno di Gibbs. Principio del massimo debole per l equazione di Poisson: Teorema 16.4. Sia u C(Ω) C 2 (Ω). Allora se u 0 in Ω vale max u = max u. Ω Ω Teorema 16.5. Sia u C(Ω) C 2 (Ω). Allora se u 0 in Ω vale min u = min u. Ω Ω Teorema 16.6. Sia u C(Ω) C 2 (Ω). Allora se u = 0 in Ω vale min Ω u u(x) max u, x Ω. Ω Frontiera parabolica; sua rilevanza modellistica. Principio del massimo debole per l equazione del calore. Esercizio 16.7. 1, 4/430; 20/620. Per casa 16.8. 18/620; 17/610; 23, 25/430; 18/420. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.3, 8.4, 8.5, 8.7, 9.1. 15

17. Lunedì 27/11/2017 Proprietà di ricorrenza del random walk [L]. Teorema 17.1. La probabilità che il random walk semplice e simmetrico in dimensione uno torni nell origine è uno. Argomenti euristici per stimare la probabilità che il random walk in dimensione d 1 arbitraria sia nell origine all istante 2n. Teorema 17.2. La probabilità che il random walk semplice e simmetrico in dimensione due torni nell origine è uno. Definizione di limite superiore e limite inferiore di una sequenza di eventi. Interpretazione dei due eventi. Teorema 17.3 (Lemma di Borel Cantelli). Data la sequenza di eventi A 1, A 2,..., se i=1 P(A i ) <, allora P(lim sup n A i ) = 0. Teorema 17.4. In dimensione d 3 la probabilità che il random walk torni nell origine infinite volte è zero. 16

18. Mercoledì 29/11/2017 (Andreucci) (Aula 20) Problema di Cauchy per l equazione del calore. Formula di rappresentazione. La soluzione fondamentale dell equazione del calore. Teorema di esistenza e unicità per soluzioni limitate. Teorema 18.1. Se il dato iniziale soddisfa m u 0 M, allora la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore soddisfa m u M. Se il dato iniziale è integrabile in R N allora la soluzione soddisfa u(x, t) C, t > 0. t N 2 Proposizione 18.2. Conservazione della massa per dati iniziali integrabili e non negativi. Propagazione con velocità infinita. Teorema 18.3. Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u 0, vale che per ogni ε > 0 esiste C ε > 0 tale che u(x, t) dx (1 ε) u 0 (x) dx, { x C ε Dt+L} { x L} per ogni u 0 0, L > 0. Ottimalità della stima asintotica u(x, t) costante t N 2 per soluzioni non negative del problema di Cauchy per l equazione dl calore. Teorema 18.4. (s.d.) Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u 0, vale che u(x, t) c 0, x C Dt, t t (Dt) N 0, 2 ove c 0 > 0 e C > 0 dipendono da u 0, L, t 0 e D. Effetto regolarizzante dell equazione del calore. Principio del massimo forte: Teorema 18.5. (s.d.) Sia u C(Ω) C 2 (Ω), Ω connesso. Allora se u 0 in Ω ed esiste x 0 Ω tale che u(x 0 ) = max Ω u, 17

vale u costante in Ω. Principio del massimo forte per l equazione del calore (s.d.). Condizione della sfera interna. Lemma di Hopf per l equazione di Laplace e per quella del calore (s.d.). Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.3, 4.5, 4.6, 11.4, 11.5. 19. Lunedì 04/12/2017 Il problema della rovina del giocatore [L]. Interpretazione in termini di Random Walk di una particella soggetta a deriva costante e con posizione iniziale S 0 = x Z d [0, N]: S n = x + X 1 + + X n con P(X 1 = +1) = p e P(X 1 = 1) = 1 p, con 0 < p < 1. Calcolo del valor medio e della varianza della posizione S n al tempo n. Equazioni alle differenze finite omogenee e non omogenee. Teorema 19.1. Posto T = inf{n 0, S n = 0 o S n = N}, si ha P(T = S 0 = x) = 0. Lemma 19.2. Posto F (x) = P(S T = N S 0 = x) si ha i) F (0) = 0, ii) F (N) = 1, iii) F (x) = pf (x+1)+(1 p)f (x 1) per x = 1,..., N 1. Teorema 19.3. Per p = 1/2 si ha F (x) = x/n, Per p 1/2 si ha F (x) = [((1 p)/p) x 1]/[((1 p)/p) N 1]. Lemma 19.4. Posto e(x) = E(T S 0 = x) = t 1 tp(t = t S 0 = x) si ha i) e(0) = 0, ii) e(n) = 0, iii) e(x) = 1 + pe(x + 1) + (1 p)e(x 1) per x = 1,..., N 1. Teorema 19.5. Per p = 1/2 si ha e(x) = x(n x), Per p 1/2 si ha e(x) = x/(1 2p) [N/(1 2p)][((1 p)/p) x 1]/[((1 p)/p) N 1]. Osservazioni sul comportamento balistico della particella per p 1/2, e(n/2) N/[2(1 2p)], e sul comportamento diffusivo per p = 1/2, e(x) = (N/2) 2. 18

20. Mercoledì 06/12/2017 (Andreucci) (Aula 20) Esercizio 20.1. 10, 26/430. Il metodo di Galerkin. Applicazione del metodo di Galerkin all equazione del calore con diffusività variabile. Confronto tra i metodi di Galerkin e di Fourier. Corda con carico continuo e discontinuo, caso stazionario. Corda con carico concentrato costante, caso stazionario. Condizioni di raccordo. Risoluzione mediante il metodo di Fourier. Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.3. Esercizio 21.1. 5/520. 21. Giovedì 07/12/2017 (Andreucci) (Aula 23) Corda con carico concentrato costante, caso stazionario. Condizioni di raccordo. Risoluzione mediante il metodo di Fourier (approccio rigoroso con le condizioni di raccordo). Corda con carico concentrato dipendente dall incognita. Condizioni di raccordo. Risoluzione mediante il metodo di Galerkin. In alternativa, risoluzione mediante il metodo di Fourier: ricerca delle autofunzioni. Equazione degli autovalori. Per casa 21.2. Dimostrare che gli autovalori sono positivi e che autofunzioni corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali. Il metodo delle soprasoluzioni e sottosoluzioni per l equazione del calore. Esercizio 21.3. 8/420; Se il dato iniziale del problema di Cauchy per l equazione del calore è dispari allora la soluzione è dispari. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.4, 14.3. 19

22. Mercoledì 13/12/2017 (Andreucci) (Aula 20) Il principio di Duhamel. Applicazione all equazione differanziale y = ay + f(t), con a R e f C([0, T )). Applicazione al problema di Cauchy per l equazione della corda vibrante non omogenea. Teorema 22.1. Siano f, f x C(R [0, T ]); allora w(x, t) = 1 2c t 0 x+c(t τ) x c(t τ) soddisfa w C 2 (R [0, T ]) e risolve f(s, τ) ds dτ, w tt c 2 w xx = f(x, t), x R, t > 0, w(x, 0) = 0, x R, w t (x, 0) = 0, x R. Il principio di Dirichlet; equivalenza tra il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace e il problema di minimo per il funzionale dell energia J(u) = u(x) 2 dx, u K = {u C 2 (Ω), u = u 0 su Ω}. Ω Condizione necessaria per il problema di Neumann per l equazione u = f. Dipendenza continua dai dati: nel caso delle equazioni di Laplace e del calore attraverso il principio di massimo, nel caso dell equazione delle onde attraverso la formula di D Alembert. Esercizio 22.2. 22/470. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 2.6, 4.2, 4.4, 10.4, 12.1, 12.2. 20

23. Lunedì 18/12/2017 Problema di Dirichlet e Random Walk simmetrico [L]. Richiami sulla definizione di Random Walk su Z d. Proprietà di omogeneità temporale e simmetria spaziale del Random Walk. Proprietà di Markov. Punti primi vicini e definizione di frontiera di chiusura in Z d. Insiemi connessi in Z d. Definizione di proprietà del valor medio e di laplaciano per funzioni definite su Z d. Funzioni armoniche su Z d e loro proprietà: equivalenza con la validità della proprietà del valor medio, principio del massimo, unicità dell estensione al dominio interno. Il problema di Dirichlet su Z d. Definizione di stopping time T A per il Random Walk in dimensione d con punto iniziale nella regione A Z d : T A = inf{n 0, S TA A}. Teorema 23.1. Sia A Z d finito e connesso. Sia f : A R. Esiste un unica estensione armonica f : Ā R di f. Tale estensione è data da f(x) = E[f(S TA ) S 0 = x] = y A f(y)p(s TA = y S 0 = x). FINE DEL CORSO 21