ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 011 CORSO DI ORDINAMENTO Quesionario Quesio 1 Poniamo = con i limii geomerici 0<< = = Il volume del cilindro è dao da: = h = = La derivaa prima è: = 3 =0; 3 =0;, = >0; <0; 0<< << Perano il massimo volume si ha per = e sosiuendo il valore =6 si oiene che: il massimo volume si ha per = = 1= 3. In definiiva il cilindro di volume massimo ha raggio = = = 36 1= 4= 6 ed alezza h==4 3. Il volume del cilindro massimo è: = 4 4 3 = 4 4 3 =5,37 Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 1
Quesio Sia ; un puno generico della curva =. Occorre rovare la minima disanza fra il puno P e il puno 4;0 La disanza fra i due puni P e Q è daa dalla funzione del paramero p: = 4 + 0 = / 0 = +16 8+ = 7+16 7 = 7+16 =0 = 7 >0 > 7 <0 0<< 7 Perano la minima disanza si oiene per =. Il puno P richieso ha coordinae: ; menre la disanza minima vale: = 7 +16= +16= 1,94 Noa In alernaiva era possibile sudiare la funzione quadrao della disanza : = 7+16, che rappresena una parabola con concavià posiiva e con valore minimo nel verice = =. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i
Quesio 3 La funzione = inerseca la rea = nel puno ;8 La funzione = inerseca la rea = nel puno ;8 La funzione = è biunivoca in uo l insieme dei numeri Reali, perano è inveribile. La sua funzione inversa è = Il volume del solido di roazione è dao dalla differenza fra il volume del cilindro avene raggio e alezza 8 e il solido oenuo dalla roazione del ramo di curva = aorno all asse y. Il volume del cilindro è: = h= 8=3. Il volume del solido di roazione è: = = 3 5 = 96 5. = = 3 5 = 3 5 8 = In definiiva il volume richieso è: = =3 96 5 =64 5 40,1. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 3
Quesio 4 Il numero di combinazioni semplici di n oggei in gruppi di 4 sono: n (n 1) (n ) (n k + 1) C n, k = k! Occorre risolvere l equazione:, =, con le condizioni di esisenza / >4 n (n 1) (n ) (n 3) n (n 1) (n ) = 4! 3! n 3 = 3! 4 n 3 = 1 4 n 3 = 4 n = 7 1 3! Valore acceabile perché soddisfa le condizioni di esisenza. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 4
Quesio 5 L area richiesa è daa da: = cos cos =1 sin1 sin+1= sin1 sin 0,5. =sin sin =sin sin1 sin sin = Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 5
Quesio 6 Soluzione 1 gx ga lim = 0 0 Per eliminare la forma di indeerminazione si pone Se x a 0 x a = x = + a g lim 0 ( + a) ga g lim ( + a) g + ga g + ga ga + g g ga ga 1 g ga 1 g ga ( 1+ g a) g 1 g ga g ( 1+ g a) ( 1 g ga) g ( 1+ g a) a g + g g a 1 g ga a = ( 1 g ga) cos a = 1+ g 1 Con 0 0 π a + kπ, alrimeni il limie perde di significao. Soluzione gx ga lim x a si pone x a = x = + a g lim 0 ( + a) ga Se x a 0 Esso rappresena il limie del rapporo incremenale della funzione angene in =, cioè della derivaa prima della funzione = in x = a. g( a + h) ga I 1 lim = f (a) =. h 0 cos α Soluzione 3 Applicando la regola di De L Hopial 1 0 gx ga lim cos x 1 0 1 1 = cos x cos a Soluzione 4 gx ga lim sinx cosx sina cosa sinx sina cosx cosa sinx sina 1 1 1 = 1 = cosx cosa cos a cos a Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 6
Quesio 7 = +011 +1 La funzione f(x) è coninua e derivabile in R Inolre: 1= 000<0 0=1>0 Per il eorema di esisenza degli zeri, esise almeno un puno 1,0 in cui la funzione =0. Calcoliamo la derivaa prima: =011 +011 >0 011 +011>0 Poiché la derivaa prima è sempre posiiva, la funzione è sreamene crescene in 1,0. Si conclude che esise un unico puno 1,0 in cui =0. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 7
Quesio 8 La quadraura del cerchio, assieme al problema della risezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, cosiuisce un problema classico della geomeria greca. Il problema risale alle origini della geomeria, e ha enuo occupai i maemaici per secoli. Fu solo nel 188 che l'impossibilià venne provaa rigorosamene. Il problema della quadraura del cerchio consise nell impossibilià di cosruire un quadrao che abbia la sessa area di un dao cerchio, con uso esclusivo della riga (senza acche) e del compasso. Trovare una soluzione richiederebbe la cosruzione geomeria del numero. Infai essendo l'area del cerchio =, il lao del quadrao ad esso equivalene è =. L'impossibilià di una ale cosruzione, con le limiazioni impose dall'uso esclusivo di riga e compasso, deriva dal fao che π è un numero rascendene (cioè non può essere oenuo come soluzione di un equazione polinomiale a coefficieni ineri), e quindi non cosruibile. La rascendenza di π fu dimosraa da Ferdinand von Lindemann nel 188. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 8
Quesio 9 Per dimosrare che la rea r è il luogo geomerico dei puni equidisani da i re verici del riangolo occorre dimosrare che: A. ogni puno H di r è equidisane da A,B e C B. ogni puno H equidisane da A,B e C appariene ad r Dimosrazione Puno A Essendo il riangolo reangolo il puno P, puno medio di AC, coincide con il circocenro. Consideriamo la rea r perpendicolare al foglio passane per il puno P e prendiamo un suo puno H. Uilizzando il T. di Piagora si ha: = + = + = + Ma essendo P il circocenro si ha: = = Perano: = =. Dimosrazione Puno B Sia H un puno dello spazio ale che: = =. Congiungiamo il puno H con il puno medio P dell ipoenusa AB e consideriamo i re riangoli, BPH e. Essi sono congrueni per il III crierio di congruenza. Infai, essi hanno : = = per ipoesi, in comune, = = perché il puno P è il circocenro. Perano =, ma essendo angoli supplemenari, essi sono rei. Allo sesso modo è reo anche l angolo. Si conclude quindi, che la rea HP è perpendicolare in P al piano del riangolo ABC. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 9
Quesio 10 L alernaiva correa è la D. Infai: La funzione f : ha un min relaivo in = un max relaivo in =, volge la concavià verso l alo nell inervallo 0,+ menre volge la concavià verso il basso in, 0. La funzione =0 La funzione >0 La funzione <0 La funzione >0 La funzione <0 per = = per < ; > per << per 0,+ per, 0. Le alre alernaive sono ue errae: Le alernaive A e B non sono corree, perché essendo la funzione in 0,+ sreamene crescene e con la concavià posiiva, le funzioni e dovrebbero essere posiive in ale inervallo, ma dal grafico ciò non risula. L alernaive C non è correa, perché essendo la funzione con la concavià posiiva nell inervallo,+, la funzione dovrebbe essere posiiva in ale inervallo, ma dal grafico ciò non risula. L alernaive E non è correa, perché la funzione ha un minimo relaivo nell inervallo 0,+, menre la funzione risula sempre posiiva in ale inervallo. Esame di Sao 011 - Liceo Scienifico www.mimmocorrado.i 10