Marco Martini L'ELLISSE 18 March 2006 Articolo n 4 su 6 del corso "Le coniche". Vai all'indice del corso. Paragrafi dell'articolo: 1. L'ellisse come luogo geometrico 2. Costruzione secondo il metodo del giardiniere 3. Costruzione a partire da una circonferenza 4. Costruzione a partire da un segmento 5. Equazione dell'ellisse 6. Simmetria 7. Eccentricità 8. Orbite planetarie 9. Proprietà geometriche L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO Definiamo l ellisse come il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi e detti fuochi. ellisse = Dalla definizione seguono due semplici costruzioni dell ellisse, una meccanica e l altra geometrica: metodo del giardiniere (costruzione meccanica) costruzione geometrica a partire da una circonferenza costruzione geometrica a partire da un segmento Metodo del giardiniere Questa costruzione consiste nel fissare i due capi di un filo inestensibile in due punti e di un foglio da disegno. Facendo scorrere la punta P di una matita lungo il L'ELLISSE 1
filo tenuto ben teso, si traccia una linea curva chiusa formata da punti per i quali la somma delle distanze da e è costante, in questo caso uguale alla lunghezza del filo. Questo metodo è detto anche del giardiniere perché può essere utilizzato per tracciare sul terreno aiuole a contorno ellittico. Possiamo simulare questa costruzione con CABRI: dato il segmento AB di misura k si considera un punto P di AB e si definiscono i segmenti AP, PB. Si considerano le due circonferenze di centri, e raggi AP e PB. I punti di intersezione (due se k > ) appartengono ad un ellisse di fuochi e. Fig. 1 Metodo del giardiniere Costruzione geometrica a partire da una circonferenza La seconda costruzione si effettua con riga e compasso: si disegna una circonferenza di centro un punto e raggio a piacere ed un punto interno alla circonferenza. Preso un punto A sulla circonferenza si traccia la retta e l asse del segmento. Il loro punto di intersezione P appartiene ad un ellisse di fuochi e. Si può dimostrare inoltre che: l asse del segmento è tangente all ellisse. L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 2
Fig.2 Costruzione ellisse a partire da una circonferenza Costruzione geometrica a partire da un segmento Fissiamo sul piano un segmento AB uguale alla somma delle distanze di un ellisse dai due fuochi. In seguito, scelto ad arbitrio un punto P interno al segmento AB, si tracciano due archi di circonferenza rispettivamente di centro e raggio PB e di centro e raggio AP. I punti P e P in cui gli archi si intersecano appartengono all ellisse. Facendo variare P su AB si ottengono,a coppie, tutti i punti della curva L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 3
Fig. 4 Costruzione geometrica dell Ellisse Si può svolgere parte della lezione in laboratorio di informatica, utilizzando il software didattico Cabri Géomètre II per simulare le due costruzioni dell ellisse. Gli studenti hanno la possibilità di riflettere sulla condizione che caratterizza il luogo geometrico e scoprirne la costruzione passo a passo. Equazione dell ellisse Si determina ora l equazione dell ellisse: come per le coniche precedenti, essa si ricava direttamente dalla definizione. Consideriamo un ellisse e indichiamo con 2c la distanza tra i due fuochi; scegliamo un opportuno sistema di assi cartesiani Oxy in modo che i due fuochi dell ellisse stiano sull asse delle x e siano equidistanti dall origine (ad una distanza c da essa). Vediamo ora come determinare l equazione dell ellisse rispetto a tale riferimento. Indichiamo con 2a la somma delle distanze del generico punto P dell ellisse dai due fuochi (osserviamo che 2a > 2c, quindi a > c). Per definizione di ellisse deve essere: con l equazione:, che si esprime analiticamente L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 4
Dopo alcuni passaggi si ottiene l equazione canonica dell ellisse:, dove Vediamo ora come si può disegnare il grafico di un ellisse nota l equazione canonica. Possiamo riscrivere l equazione canonica nella forma seguente: da cui Poiché,, sono quantità non negative, necessariamente risulta, ovvero: Analogamente si ottiene: Pertanto l ellisse è contenuta nel rettangolo individuato dalle rette x = -a, x = a, y = -b, y = b Osserviamo inoltre che dall equazione canonica, posto x = 0, otteniamo y = b e y = -b, e posto y = 0 otteniamo x= a e x = -a. Pertanto l ellisse interseca l asse x nei punti A(-a,0) A (a,0), e l asse y nei punti B(0,- b), B (0,b), che vengono detti vertici dell ellisse. L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 5
Il segmento AA ( o la sua misura 2a) è detto asse maggiore Il segmento BB ( o la sua misura 2b) è detto asse minore La quantità 2c è detta distanza focale Il caso considerato è quello dove e, ossia quello in cui i fuochi si trovano sull asse delle x. Ma possono verificarsi anche le condizioni seguenti: - : i fuochi si trovano sull asse delle y e vale ; - : in questo caso l ellisse si riduce ad una circonferenza con centro nell origine e raggio a. D ora in avanti considereremo solo ellissi con fuochi sull asse Esempi con DERIVE: significato dei coefficienti a e b. Fig. 3 Ellissi aventi diversi valori di a Esempio: è possibile costruire l ellisse con riga e compasso servendosi di due circonferenze aventi come centro l origine e raggi a e Il compasso ellittico: è uno strumento in grado di disegnare ellissi, come il tradizionale compasso consente di tracciare le circonferenze. Esso consiste in una barretta di lunghezza a + b mobile in grado di scorrere con gli estremi A e B vincolati a due guide rette perpendicolari. Vediamo ora come disegnare un ellisse con Cabri utilizzando lo stesso metodo del compasso ellittico. L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 6
Si disegni una circonferenza c di centro O e due diametri perpendicolari. Per ogni punto M di c consideriamo le sue proiezioni ortogonali A e B sui due diametri rispettivamente. Si consideri un punto P sul segmento AB. Il luogo descritto da P al variare di M su c è un ellisse di semiassi BP = a e AP = b. Con Cabri géomètre possiamo verificare che al variare di P su AB otteniamo sempre ellissi, con la circonferenza come caso particolare se prendiamo P coincidente con il punto medio di AB Simmetrie Fig. 5 Compasso ellittico Dall equazione canonica segue che: L ellisse è simmetrica sia rispetto agli assi coordinati, sia rispetto all origine. Pertanto gli assi coordinati si dicono assi di simmetria dell ellisse, l origine O si dice centro dell ellisse. Eccentricità L eccentricità di un ellisse è il rapporto tra la semidistanza focale c e il semiasse maggiore a: L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 7
Pertanto risulta. Se risulta e = 0, allora a = b, pertanto l ellisse è una circonferenza di raggio a Intersezioni di un ellisse con una retta e condizione di tangenza Consideriamo il sistema di 2 grado formato dall equazione dell ellisse e dall equazione di una retta r ( non parallela all asse delle ordinate): le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti di intersezione tra l ellisse e la retta. Calcolato il discriminante dell equazione risolvente, a seconda che risulti,,, la retta r è rispettivamente secante, tangente, esterna all ellisse. Ne consegue che, per determinare l equazione della tangente a un ellisse in un suo punto, oppure le equazioni delle tangenti a un ellisse condotte da un punto esterno ad essa, occorre annullare il discriminante dell equazione risolvente il sistema tra l equazione della retta generica passante per il punto dato e l equazione dell ellisse. Esempio: scrivere le equazioni delle tangenti all ellisse punto P 0 (3;0)., condotte dal Condizioni per determinare l equazione di un ellisse Poiché nell equazione compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie 2 condizioni indipendenti per determinare l equazione di un ellisse riferita ai suoi assi di simmetria. Indichiamo alcuni casi che si possono presentare: 1. passaggio dell ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto all origine); 2. conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice; 3. conoscenza dell eccentricità e passaggio per un punto; 4. conoscenza della misura di un semiasse e dell eccentricità. Possiamo qui fornire alcuni esempi per ciascun caso. L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 8
Osservazione: arrivati a questo punto, possiamo far ragionare gli allievi sul collegamento Ellisse Circonferenza, utilizzando anche i software didattici a disposizione. Le orbite planetarie Nel 1600 Johannes Kepler (1571-1630) riconobbe che i pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche complanari delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi. Con Cabri si possono disegnare le orbite dei pianeti e dei satelliti e illustrare le leggi di Keplero. Fig. 7 orbite dei pianeti Proprietà geometriche dell ellisse 1) Sia un punto dell ellisse di fuochi e. Allora la bisettrice di uno dei due angoli formati dalle rette e è la tangente all ellisse in, l altra la normale all ellisse in 2) Coppie di tangenti ortogonali ad un ellisse si incontrano in un punto di una stessa circonferenza avente centro coincidente con il centro dell ellisse. Dimostriamo la proprietà 1) Il nostro obiettivo è di mostrare che se si prende un qualunque punto dell ellisse e si considerano le due rette congiungenti e, la normale n all ellisse coincide con la bisettrice dell angolo L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 9
Utilizzando la legge dello sdoppiamento, scriviamo dapprima l equazione della retta t tangente all ellisse in : Perciò, indicato con m t il coefficiente angolare della retta tangente, avremo: e di conseguenza, detto m n il coefficiente angolare della normale all ellisse in P 0, sarà Scriviamo ora l equazione della normale n: L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 10
Le equazioni delle due rette P 0 F 1 e P 0 F 2 sono date da ; Equazione delle bisettrici = { P(x, y) / d ( P, P 0 F 1 ) = d ( P, P 0 F 2 ) } dove possiamo osservare che i denominatori coincidono con le distanze P 0 F 1 e P 0 F 2 rispettivamente. Sciogliendo il valore assoluto avremo L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 11
e, fra le due rette bisettrici dei due angoli opposti al vertice formati dalle rette P 0 F 1 e P 0 F 2, andiamo a considerare quella ottenibile utilizzando il segno -. Inoltre, per opportunità di calcolo, cambiamo di segno entrambi i numeratori. Dunque: Moltiplichiamo ora tutto per e otterremo, tenendo conto che l equazione Ricordando ora che a 2 - c 2 potremo scrivere: L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 12
Utilizziamo la relazione e avremo: L ultima equazione scritta (che è l equazione della bisettrice dell angolo ) risulta uguale all equazione della normale all ellisse in, pertanto esse coincidono. Ottica: l ellisse possiede una proprietà ottica analoga a quella già osservata nello studio della parabola: pensata come un filo riflettente, l ellisse è tale da riflettere ogni raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi in un raggio che passerà per l altro fuoco. Questa proprietà discende direttamente dalla proprietà 1) prima dimostrata e dalle leggi della riflessione Fig. 8 proprietà ottica dell ellisse L ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO 13