Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 3.3 Il metodo degl spostament per la rsoluzone del telao Il metodo degl spostament è basato sulla valutazone de moment flettent ce agscono sugl estrem e d un asta generca per effetto delle rotazon φ e φ negl estrem de carc vertcal (moment d ncastro perfetto) e degl spostament trasversal tra gl estrem δ. S defnscono le seguent grandezze: W, momento ce nasce nell estremo per effetto d una rotazone untara n V, momento ce nasce nell estremo per effetto d una rotazone untara n U, momento ce nasce nell estremo per effetto uno spostamento trasversale relatvo tra gl estrem dell asta Per ogn tpo d condzone vncolare è possble applcare semplc relazon d congruenza ce consentono d rcavare tal grandezze n funzone dell nerza dell asta e della sua lungezza. S ntroducono noltre moment d ncastro perfetto e, ce s orgnano negl estrem dell asta a nod suppost bloccat per effetto d carc e altre azon esterne. L espressone del momento flettente per cascun estremo è pertanto del tpo: W ϕ + V ϕ U δ + Il metodo degl spostament assume come ncognte le rotazon de nod (ntern) del telao, scrvendo equazon d equlbro alla rotazone del tpo: C dove C è l eventuale coppa applcata drettamente sul nodo. Per tela a nod spostabl quale l telao oggetto d studo, vanno noltre consderate le relazon ce ntervengono tra le forze esterne, moment flettent e gl spostament relatv d pano. el caso n cu plastr ce sono n effett gl unc nteressat da spostament relatv degl estrem (almeno per lo scema strutturale ce s sta trattando, e coè telao a magle rettangolar) rsultno scarc s possono scrvere tante equazon quanto l numero d pan nella forma: U ϕ + U δ T dove n T, coè la sommatora delle forze orzzontal agent sugl mpalcat dal pano - F esmo al pano n-esmo, essendo appunto n n totale l numero d pan costtuent l telao. (S fa notare ce l equazone scrtta precedentemente la s può ottenere, con alcun passagg algebrc da un equlbro alla traslazone orzzontale della struttura, ove essendo plastr scarc tagl agent su plastr stess sono funzone de sol moment attraverso la relazone, T ). 0
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 Scrtte tutte le equazon e rorganzzat termn l sstema d equazon ce regge l problema può essere scrtto nella forma matrcale: K s f f 0 dove K è la matrce d rgdezza del sstema, s è l vettore degl spostament nodal ncognt ed f-f 0 è l vettore delle azon nodal. Fatte queste premesse è possble scrvere tutte le equazon ce rsolvono lo scema n esame: Equazon d equlbro a nod 4,1 6,3 7,8 8,7 10,7 11,10 1,11 Equazon d equlbro alla traslazone 1,4 4,7 7,10 4,1 7,4 10,7 + +,5 5,8 + 8,11 4,5 5, 6,5 7,4 8,5 10,11 11,8 1,9 4,7 5,6 6,9 7,10 8,9 0 0 0 0 11,1 0 5,8 8,11 0 0 0 5, 3,6 6,3 + 1 8,5 6,9 9,6 + 11,8 9,1 1,9 + ( F + F + F ) ( F + F ) Ovvamente tutte le equazon andranno po svluppate tenendo presente l espressone master de moment flettent d cu s è detto ad nzo paragrafo. on rtenendo opportuno dlungarc nello svluppo d tutt passagg s fa soltanto notare ce è possble automatzzare la scrttura delle matrc rappresentatve del sstema d equazon facendo alcune consderazon: ( F ) Anztutto è possble ndvduare una sottomatrce all nterno della matrce d rgdezza ce raccogle la parte rotazonale e ce è dentca alla matrce d rgdezza del telao supposto a nod fss termn sulla dagonale prncpale sono par alla sommatora delle rgdezze W delle aste confluent nel nodo termn fuor dagonale sono par a V V, nel caso n cu nod e sano tra d loro collegat par a 0 nel caso n cu non lo sano termn not sono par alla sommatora de moment d ncastro perfett confluent nel nodo cambat d segno per la parte rotazonale, pù la somma delle forze orzzontal agent al pano per la parte traslazonale 3 3 3 1
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 gl altr termn sulla dagonale prncpale s presentano nella forma d sommatora delle rgdezze traslant de rtt del pano -esmo dvse per l altezza degl nterpan termn fuor dagonale s presentano nella forma U a seconda ce rtt appartengano al pano nteressato qund dallo spostamento δ ; vengono post par a 0 n caso contraro la matrce delle rgdezze è smmetrca. 3.4 Rgdezze delle aste del telao Prma d procedere alla rsoluzone delle sngole combnazon d carco s rcorda ce per le aste ncastrate-ncastrate valgono le seguent relazon: W V U 4EI L EI L 6EI L W V,, U ql 1 Per l telao n esame sono d seguto rassunte le rgdezze d tutte le aste (calcolate con E50000 g/cmq): Asta L [cm] b [cm] [cm] Inerza [cm^4] W [gcm] V [gcm] U [g] 1,4 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041 4,7 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041 7,10 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041,5 350 50 80 833333 38095381 1190476190 100408 5,8 350 50 80 833333 38095381 1190476190 100408 8,11 350 50 80 833333 38095381 1190476190 100408 3,6 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041 6,9 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041 9,1 350 50 40 416667 1190476190 59538095 510041 4,5 450 30 60 540000 100000000 600000000-5,6 500 30 60 540000 1080000000 540000000-7,8 450 30 60 540000 100000000 600000000-8,9 500 30 60 540000 1080000000 540000000-10,11 450 30 60 540000 100000000 600000000-11,1 500 30 60 540000 1080000000 540000000 -.B.: nella tabella d cu sopra non s rportano valor de coeffcent d rgdezza U per le trav soltanto per l fatto ce ess non vengono utlzzat nel calcolo essendo la struttura a magle rettangolar. 3.5 Combnazone 1: Carc vertcal S valutano anztutto carc gravant sul telao: per questa combnazone vale la relazone,, Q d 1.4 G + 1. 5 Q
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 q 1 q 6446.8 g/m q 3 4703.9 g/m [1 e mpalcato] [3 mpalcato] per cu è possble calcolare moment d ncastro perfetto: 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l1 1 1087898gm q1l 1 1343083gm ql1 8,7 1 1087898gm ql 9,8 1 1343083gm q3l1 11,10 1 793783gm q3l 1,11 1 979979gm e qund l vettore de termn not: f f o 1087898 55186-1343083 1087898 55186-1343083 793783 186196-979979 0 0 0 Quanto alla matrce d rgdezza questa è data da: 358095381 600000000 0 59538095 0 0 0 0 0-510041 -510041 0 600000000 704190476 540000000 0 1190476190 0 0 0 0-100408 -100408 0 0 540000000 346095381 0 0 59538095 0 0 0-510041 -510041 0 59538095 0 0 358095381 600000000 0 59538095 0 0 0-510041 -510041 0 1190476190 0 600000000 704190476 540000000 0 1190476190 0 0-100408 -100408 0 0 59538095 0 540000000 346095381 0 0 59538095 0-510041 -510041 0 0 0 59538095 0 0 390476190 600000000 0 0 0-510041 0 0 0 0 1190476190 0 600000000 466095381 540000000 0 0-100408 0 0 0 0 0 59538095 0 540000000 70476190 0 0-510041 -510041-100408 -510041 0 0 0 0 0 0 116618 0 0-510041 -100408-510041 -510041-100408 -510041 0 0 0 0 116618 0 0 0 0-510041 -100408-510041 -510041-100408 -510041 0 0 116618 3
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04.B.: Una verfca prelmnare consste nel controllare ce l matrce sa smmetrca e defnta postva: questo secondo punto mplca ce tutt termn sulla dagonale prncpale sano strettamente postv. Operatvamente per rsolvere lo scema d carco è stato mplementato un foglo elettronco n grado d svolgere l sstema d 1 equazon n 1 ncognte alla base del problema. Da un punto d vsta puramente matematco nfatt la rsoluzone del sstema non offre nessuna complcazone partcolare, trattandos semplcemente d nvertre la matrce delle rgdezze e d moltplcarla, rge per colonne, con l vettore de termn not. on rtenendo opportuno soffermars eccessvamente sul calcolo (ampamente svluppato nell allegato foglo d calcolo) s rportano d seguto rsultat del sstema: ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ 3 0.0005905 rad 3.499E-05 rad -0.0003513 rad 0.000061 rad.0548e-05 rad -0.000737 rad 0.0006561 rad 3.868E-05 rad -0.0003748 rad -0.00119 cm -0.003497 cm A questo punto s calcolano tutte le caratterstce della sollectazone (ovvamente s rcorda ce segn fanno rfermento alla convenzone del Cross): Plastr I ordne 1,4 16077 gcm I mpalcato 4,5-757540 gcm 4,1 314473 gcm 1835 gcm,5 5085 gcm 5,6-149768 gcm 5, 89541 gcm 6,5 98138 gcm 3,6-0300 gcm 6,3-411 gcm II ordne 4,7 443067 gcm II mpalcato 7,8-8830 gcm 7,4 411560 gcm 8,7 1364 gcm 5,8 15816 gcm 8,9-1468675 gcm 8,5 111589 gcm 9,8 105861 gcm 6,9-569116 gcm 9,6-5916 gcm 4
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 III ordne 7,10 416670 gcm III mpalcato 10,11-45085 gcm 10,7 45085 Kgcm 11,10 999074 gcm 8,11 1086 Kgcm 11,1-114103 gcm 11,8 141958 Kgcm 1,11 595880 gcm 9,1-535696 Kgcm 1,9-595880 Kgcm Per quanto rguarda tagl s rcorda ce valgono le seguent espresson general: T, per plastr T, ql per le trav, ± Per cu svolgendo calcol s a: Plastr I ordne T 1,4-1356.43 Kg I mpalcato T 4,5 13339.11 Kg T,5-401.1 Kg T -15671.49 Kg T 3,6 1757.55 Kg T 5,6 17149.89 Kg T 6,5-15084.11 Kg II ordne T 4,7-441.79 Kg T 5,8-678.30 Kg II mpalcato T 7,8 13598.65 Kg T 6,9 310.09 Kg T 8,7-15411.95 Kg T 8,9 16937.13 Kg III ordne T 7,10-48.16 Kg T 9,8-1596.87 Kg T 8,11-750.91 Kg T 9,1 333.07 Kg III mpalcato T 10,11 9368.5 Kg T 11,10-11799.30 Kg T 11,1 1850.05 Kg T 1,11-10669.45 Kg e nfne gl sforz normal sono dat da relazon d equlbro a nod: 5
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 7,10 8,11 9,1 10,11 11,1 4,7 5,8 6,9 7,8 8,9 1,4,5 3,6 4,5 5,6 T T F T T 10,11 11,1 T T 8, 11 6,9 1 3 7,10 9,1 4,7 5,8 6,9 3,6 1,11 F 9,1 + T F + T T 7,10 4,7 7,10 + T + T 9,1 + T + T 4,5 5,6 6,5 6,9 11,10 7,8 8,9 9,8 1,4 4,7 8,7 6
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 per cu rassumendo s a: Plastr I ordne 1,4 36306.00 Kg I mpalcato 4,5-1085.36 Kg,5 89819.8 Kg 5,6-136.54 Kg 3,6 41050.43 Kg II ordne 4,7 966.89 Kg II mpalcato 7,8-40.37 Kg 5,8 56998.44 Kg 8,9-11.98 Kg 6,9 5966.3 Kg III ordne 7,10 9368.5 Kg III mpalcato 10,11 48.16 Kg 8,11 4649.36 Kg 11,1 333.07 Kg 9,1 10669.45 Kg S rmanda n ogn caso alle tavole allegate per la rappresentazone de dagramm delle caratterstce della sollectazone. 3.6 Combnazone : Carc vertcal + Forze ssmce Per questo scema d carco valgono tutte le consderazon fatte nel paragrafo precedente relatvamente alle modaltà d rsoluzone. Stante noltre la stessa matrce d rgdezza, vanno rcalcolat soltanto carc agent sulla struttura, da cu dscenderà un nuovo vettore d termn not. Rcordando ce per questa combnazone vale la relazone: Q d G + 0. 3 Q q 1 q 3677.6 g/m q 3 896.3 g/m [1 e mpalcato] [3 mpalcato] e qund: 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l1 1 60595gm q1l 1 766167gm ql1 8,7 1 60595gm ql 9,8 1 766167gm q3l1 11,10 1 488751gm q3l 1,11 603396gm 1 E rcordando ce stavolta sono present le forze: 7
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 F 1 4918 g F 9835 g F 3 1048 g l vettore de termn not è: f f o 60595 14557-766167 60595 14557-766167 488751 114645-603396 5001 0083 1048 Per cu l vettore delle ncognte è dato da: ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ 3 0.001078093 rad 0.00097038 rad 0.00077901 rad 0.0008436 rad 0.00075949 rad 0.000603173 rad 0.000490636 rad 0.000357617 rad 0.000107939 rad 0.3807954 cm 0.46765678 cm S rassumono d seguto le caratterstce della sollectazone nterna: oment Flettent Plastr I ordne 1,4-198446 gcm I mpalcato 4,5 155346 gcm 4,1-65674 gcm 431909 gcm,5-7510 gcm 5,6 6991 gcm 5, -1569904 gcm 6,5 14905 gcm 3,6-1480108 gcm 6,3-100048 gcm 8
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 II ordne 4,7-5986 gcm II mpalcato 7,8 843089 gcm 7,4-738403 gcm 8,7 030091 gcm 5,8-156117 gcm 8,9 3773 gcm 8,5-180065 gcm 9,8 184186 gcm 6,9-1104857 gcm 9,6-105885 gcm III ordne 7,10-104686 gcm III mpalcato 10,11 31458 gcm 10,7-31458 gcm 11,10 1173 gcm 8,11-58757 gcm 11,1-15888 gcm 11,8-1053390 gcm 1,11 913083 gcm 9,1-618301 gcm 1,9-913083 gcm Tagl Plastr I ordne T 1,4 5586.0 Kg I mpalcato T 4,5 80.70 Kg T,5 171.50 Kg T -16468.50 Kg T 3,6 7143.30 Kg T 5,6 3545.77 Kg T 6,5-1484.3 Kg II ordne T 4,7 380.07 Kg T 5,8 9660.81 Kg II mpalcato T 7,8 1889.76 Kg T 6,9 660.1 Kg T 8,7-14659.44 Kg T 8,9 4800.16 Kg III ordne T 7,10 1197.91 Kg T 9,8-13587.84 Kg T 8,11 4674.71 Kg T 9,1 4375.38 Kg III mpalcato T 10,11 313.66 Kg T 11,10-9909.69 Kg T 11,1 573.35 Kg T 1,11-8749.15 Kg Sforz ormal Plastr I ordne 1,4 5094.1 Kg I mpalcato 4,5 3151.87 Kg,5 55115.91 Kg 5,6 541.18 Kg 3,6 37179. Kg II ordne 4,7 5013.4 Kg II mpalcato 7,8 71.84 Kg 5,8 35101.64 Kg 8,9 6.74 Kg 6,9 336.99 Kg III ordne 7,10 313.66 Kg III mpalcato 10,11 9050.09 Kg 8,11 1564.03 Kg 11,1 4375.38 Kg 9,1 8749.15 Kg 9
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 3.7 Combnazone 3: Carc vertcal - Forze ssmce Per quest ultmo scema d carco varano rspetto al precedente soltanto le forze, ce agscono n drezone contrara. Per cu rcordando ce: q 1 q 3677.6 g/m [1 e mpalcato] q 3 896.3 g/m [3 mpalcato] 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l1 1 1087898gm q1l 1 1343083gm ql1 8,7 1 1087898gm ql 9,8 1 1343083gm q3l1 11,10 1 793783gm q3l 1,11 1 979979gm F 1-4918 g F -9835 g F 3-1048 g l vettore de termn not è: f f o 60595 14557-766167 60595 14557-766167 488751 114645-603396 -5001-0083 -1048 Da cu rsolvendo l sstema: 30
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ 3-0.00078174 rad -0.00093308 rad -0.0011750 rad -0.0006130 rad -0.00073068 rad -0.00090790 rad -0.00015773 rad -0.0003097 rad -0.00057801 rad -0.38163616 cm -0.46994688 cm D seguto sono rassunte le caratterstce della sollectazone nterna dervant da quest ultma anals: oment Flettent Plastr I ordne 1,4 1481803 gcm I mpalcato 4,5-11858 gcm 4,1 101648 gcm -968140 gcm,5 783441 gcm 5,6-40840 gcm 5, 167635 gcm 6,5-100671 gcm 3,6 147704 gcm 6,3 54885 gcm II ordne 4,7 110046 gcm II mpalcato 7,8-1794845 gcm 7,4 10366 gcm 8,7-6414 gcm 5,8 1703908 gcm 8,9-045566 gcm 8,5 1944856 gcm 9,8-60899 gcm 6,9 458435 gcm 9,6 617440 gcm III ordne 7,10 59479 gcm III mpalcato 10,11-863591 gcm 10,7 863591 gcm 11,10 991 gcm 8,11 7485 gcm 11,1-14956 gcm 11,8 16535 gcm 1,11-187854 gcm 9,1-8510 gcm 1,9 187854 gcm Tagl Plastr I ordne T 1,4-7137.96 Kg I mpalcato T 4,5 15133.86 Kg T,5-1731.65 Kg T -1415.34 Kg 31
Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 T 3,6-5131.40 Kg T 5,6 1604.5 Kg T 6,5-363.75 Kg II ordne T 4,7-6584.03 Kg T 5,8-1045.04 Kg II mpalcato T 7,8 13650.13 Kg T 6,9-3073.93 Kg T 8,7-899.07 Kg T 8,9 1450.99 Kg III ordne T 7,10-4160.0 Kg T 9,8-3885.01 Kg T 8,11-5575.39 Kg T 9,1-51.41 Kg III mpalcato T 10,11 8384.67 Kg T 11,10-4648.68 Kg T 11,1 10115.51 Kg T 1,11-4365.99 Kg Sforz ormal Plastr I ordne 1,4 37168.66 Kg I mpalcato 4,5-4364.08 Kg,5 49605.83 Kg 5,6-057.47 Kg 3,6 10614.75 Kg II ordne 4,7 034.80 Kg II mpalcato 7,8-7411.17 Kg 5,8 3166.5 Kg 8,9-561.5 Kg 6,9 851.00 Kg III ordne 7,10 8384.67 Kg III mpalcato 10,11-6087.80 Kg 8,11 14764.18 Kg 11,1-51.41 Kg 9,1 4365.99 Kg 3