UNVERSTÀ D ROMA LA SAENZA FACOLTÀ D NGEGNERA - CORSO D LAUREA N NGEGNERA ENERGETCA DSCLNA D MACCHNE E CONVERTTOR D ENERGA ELETTRCA ROVA SCRTTA D ESONERO DEL 0 ARLE 009 α γ Si consideri un trasformatore monofase con i seguenti dati di targa: potenza nominale 400 kva, tensioni nominali primarie e secondarie 0 kv e 400 V, frequenza 50 Hz. Dalle prove effettuate si ha: perdite a vuoto percentuali nella prova a vuoto p 0 % %, corrente a vuoto i 0 % %, perdite nella prova di corto circuito p cc 3 %, tensione di corto circuito v cc % 6 %. Calcolare: l rapporto spire[] 3 3 4 5 6 7 La resistenza rappresentativa delle perdite nel ferro [Ω] 3 La reattanza rappresentativa della corrente di magnetizzazione [Ω] 3 La resistenza rappresentativa delle perdite nel rame [Ω] 3 La reattanza rappresentativa della dispersione [Ω] 3 La corrente di cortocircuito pieno della macchina lato AT [A] 3 La corrente di cortocircuito pieno della macchina lato BT [A] 3 8 per un carico di 50 kw con cosϕ 0.8 rit., il rapporto di trasformazione che produce una variazione di tensione sul carico del 3 3 % rispetto alla tensione a vuoto nominale [ ] 9 Nelle condizioni 8, le perdite nel ferro [W] 3 0 Nelle condizioni 8, il rendimento convenzionale [%] 3 NB parametri circuitali delle domande -5 sono quelli equivalenti totali ; in altre parole, non è necessario calcolare le resistenze e le reattanze del primario e del secondario, ma le stesse grandezze equivalenti totali riferite al lato AT. cognome, nome mobile Email autorizzo/non autorizzo la trasmissione dei risultati via SMS/email autorizzo/non autorizzo la pubblicazione dei risultati sul sito www.ingelettrica.uniroma. it/santini/risultati scritti firma
SOLUZONE reliminarmente, si calcolano i valori numerici delle grandezze dalle quali derivare il circuito equivalente. Corrente nominale lato AT: n 400000 / 0000 0 A Corrente nominale lato BT: n 400000 / 400 000 A Corrente a vuoto (lato AT): 0 % 0 0.4 A otenza a vuoto 0 : % 400000 4 kw Tensione di corto circuito: V cc 6% 0000 00 V otenza dissipata nella prova di cto cto: cc : 3% 400000 kw otenza apparente nella prova a vuoto: S 0 0000 0.4 8 kva otenza reattiva nella prova a vuoto: Q 0 Q S 0 0 0 6. 93kVAr otenza apparente nella prova di cto cto: S cc 0 * 00 4 kva otenza reattiva nella prova di cto cto: Qcc S cc cc 0. 8kVAr l rapporto spire è pari al rapporto tra le tensioni primarie e secondarie V 0000 k sp 50 V 400. La resistenza a vuoto è pari al rapporto tra la tensione primaria al quadrato e le perdite a vuoto. V R 0 0 0000 4000 00000 Ω 3. La reattanza a vuoto è pari al rapporto tra la tensione primaria al quadrato e la potenza reattiva a vuoto. X 0 V Q0 0000 698 57376 Ω 4. La resistenza di cto cto è pari al rapporto tra la potenza dissipata nella prova di cto cto e la corrente nominale al quadrato. 000 R cc cc 30 Ω 400 n l valore di questa resistenza riferito al lato BT può essere ottenuto dividendo il valore riferito al lato AT per il quadrato del rapporto spire:: R cc mω.
5. La reattanza di cto cto è pari al rapporto tra la potenza reattiva associata nella prova di cto cto e la corrente nominale al quadrato. X cc Q cc n 0800 5 Ω 400 La stessa reattanza, riferita al lato primario, ha il valore X cc 4mΩ. 6. La corrente di corto circuito lato AT è pari al valore della corrente nominale diviso il valore della tensione di corto circuito: 7. n cc vcc % 0 0.06 333.3 A La corrente di corto circuito lato BT è pari al valore della corrente nominale diviso il valore della tensione percentuale di corto circuito: 8. 000 n cc.a vcc % 0.06 Questo quesito è relativo alle seguenti considerazioni. A vuoto, la tensione secondaria V è pari a 400 V, essendo il rapporto spire pari a 50. A carico, questa tensione (che è la tensione alla quale è sottoposto il carico) tende a diminuire, a causa della caduta di tensione sull impedenza longitudinale. n generale, la variazione di tensione sul carico deve essere per quanto possibile contenuta, non importa qual è la condizione di carico. Ciò al fine di garantire un corretto servizio elettrico ed in definitiva la possibilità per l utente di approvvigionarsi della quantità di energia che desidera, compatibilmente con le condizioni contrattuali del servizio. Una soluzione possibile è la variazione (generalmente in aumento) della tensione V : portandola, ad esempio, a 0.5 o a kv. Questo provvedimento è di fatto impossibile, essendo la tensione primaria garantita dall ente distributore, che non ha in generale la possibilità di modificare la tensione di alimentazione (e comunque non ha certamente la possibilità di modificare la tensione ai capi di ogni singolo utilizzatore durante il normale esercizio). L unica soluzione è allora quella di modificare il rapporto spire, in generale diminuendolo (ad esempio, portandolo a 49 o a 48); in questo modo si ha a vuoto una tensione secondaria maggiore rispetto alle condizioni nominali; a carico, però, la tensione secondaria diminuisce e ritorna vicina al valore che garantisce il funzionamento ottimale dei dispositivi connessi appunto al secondario del trasformatore. È importante ricordare che la potenza assorbita da un utilizzatore dipende dal valore efficace della tensione. n generale, esistono delle relazioni tra tensione, corrente, potenza assorbita da un carico che non sono sempre facilmente identificabili, in quanto riguardano anche le condizioni termiche e meccaniche del carico stesso (si consideri una lampadina: se la tensione diminuisce, diminuisce anche la corrente, diminuisce la temperatura e quindi cambia la resistenza con una legge che non è agevole identificare. Se le variazioni sono limitate, si può pensare di applicare delle leggi di variazione lineari
per la resistenza; se invece si tratta di grandi variazioni, i fenomeni sono sicuramente non lineari, ed i modelli sono molto più complicati). er semplicità, si supporrà che le condizioni richieste siano proprio quelle indicate dalla domanda: si supporrà cioè che sia presente un carico che, quando la tensione è pari al 97 % della tensione nominale, assorbe una potenza attiva di 50 kw con un fattore di potenza pari a 0.8 in ritardo. Non sarà inutile ricordare che è prassi comune, nei calcoli del tipo di quello in esame, considerare non la tensione modificata (cioè la tensione pari al 97 % di quella nominale) ma la tensione nominale: in altri termini, considerare che il carico assorbe 50 kw con cos ϕ 0.8 rit. a tensione nominale, e calcolare la corrente di macchina da tali valori (in pratica, dalla tensione piena e non da quella affetta dalla caduta di tensione ). Come si vedrà, la corrente di carico calcolata a partire dalle ipotesi fatte sul carico è pari a 805.4 A; questo è il valore corretto. Se si considerasse la corrente secondaria pari al rapporto tra la potenza apparente e la tensione a vuoto, tale corrente sarebbe pari a 78.5 A. (in pratica, essendo la tensione cambiata del 3 % in più, la corrente cambia del 3% in meno se non si considera alcuna variazione della potenza). Nessuna delle due impostazioni è sbagliata a-priori: l approccio corretto dipende solamente da quale è il vero comportamento del carico. N questo esercizio supporremo quindi che il carico sia in grado di assorbire comunque 50 kw, indipendentemente dal valore della tensione applicata. Nella presente condizione di carico, è conveniente fare riferimento al circuito equivalente come mostrato in Fig.. Fig. l circuito equivalente del trasformatore monofase in esame. er le grandezze numeriche esterne si ha: tensione secondaria: V 97% 400 V 388 V potenza attiva assorbita dal carico 50 kw potenza apparente assorbita dal carico: S 50 3. 5kVA cosϕ 0.8 potenza reattiva assorbita dal carico Q S sinϕ 3.5 0.6 87. 5kVAr S corrente assorbita dal carico: 3500 805. 4A V 388 Dal punto di vista del diagramma vettoriale, è possibile prendere la tensione ai morsetti del secondario come riferimento, quindi come fasore con parte reale positiva e con parte immaginaria nulla. Si porrà quindi V V + j0 388 + j0 (Fig. ).
Fig. la tensione secondaria viene assunta come grandezza di riferimento.. La corrente secondaria può essere tracciata nello stesso piano delle fasi ma con scale differenti, in quanto (come ovvio) si tratta di correnti e non di tensioni. n questo piano, il fasore rappresentativo della forma con quello rappresentativo della V un angolo ϕ in ritardo (cioè negativo: il carico è quindi di tipo resistivo-induttivo) il cui coseno è pari a 0.8; pertanto tale angolo ha valore numerico di circa 36.9 gradi sessagesimali. n forma fasoriale, la corrente ha valore: 805.4cosϕ j805.4sinϕ 644.33 j483.5[ A] Fig. 3 La tensione e la corrente sul carico 8. Calcolo della cdt con metodo esatto La tensione ai capi della impedenza di corto circuito è pari a: VZ Z Rcc + jx cc La tensione ai capi del trasformatore ideale (il relativo diagramma vettoriale è mostrato in Fig. 4) sarà quindi pari a: VT V + Rcc + jx cc Fig. 4 l diagramma vettoriale completo del circuito secondario del trasformatore. Se si effettua il calcolo esatto, si ha che la V T vale: V T 388 + 0.0 (644.33 j483.5) + j0.008 (644.33 j483.5) 405.76 + j7.60
l modulo della tensione ai capi del trasformatore ideale è quindi pari a 405.83 V; poiché la tensione ai capi del primario è pari comunque alla tensione di rete, il rapporto di trasformazione necessario a sostenere il carico nelle condizioni desiderate è pari a 49,8, con una variazione dello.46 % rispetto al valore nominale pari a 50. 8. Calcolo della cdt con metodo approssimato oiché l angolo tra le tensioni V e V T è molto piccolo, si può ritenere che questi due fasori siano di fatto sovrapposti, e quindi che anche il fasore differenza tra i due sia parallelo ad entrambi. er il modulo di questo fasore si ha : VT V + Rcc cosϕ + X cc sinϕ Di conseguenza, moltiplicando e dividendo il secondo ed il terzo termine a secondo membro per V si ottiene: R X Q V V cc cc 0.0 50000 0.0 87500 T + + 388 + + 388 + 7.73 + 0.05 405. 76V V V 388 388 Come si vede, la differenza con il calcolo esatto è molto piccola (i due valori differiscono di meno dello 0. %. 9. Considerando il tipo di circuito equivalente utilizzato, in qualsiasi condizioni di carico le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato del modulo della tensione V (oltre che, ovviamente, al quadrato della frequenza) oiché per ipotesi la V non cambia, le perdite nel ferro sono costanti e valgono nella condizione di carico 8. (ed in ogni altra condizione) 4 kw. 0. La potenza attiva erogata al carico è di 50 kw. La potenza dissipata sulla resistenza longitudinale è pari alla potenza perduta nel rame: cu 0.0 805.4 7784. W Come stabilito al punto 9., la potenza perduta nel ferro è pari a quella misurata nella prova a vuoto. l rendimento quindi vale: 50000 η out 0.955 in 50000 + 7784. + 4000 Questa quantità non deve sorprendere. nfatti, il rendimento massimo del trasformatore è dato dal valore massimo della seguente frazione: V V cosϕ α n cosϕ η : V cosϕ + cu + fe αv + cosϕ α cun + fe
nella quale è stato introdotto il fattore di carico, pari al rapporto tra la corrente secondaria e la corrente secondaria nominale. Ovviamente, a parità di altre grandezze, il rendimento è massimo se il fattore di potenza è pari ad uno; se il fattore di potenza diminuisce, il numeratore diminuisce più del denominatore e quindi il valore massimo di rendimento si ottiene, sempre a parità degli altri parametri, per fattore di potenza unitario. Derivando la precedente rispetto al fattore di carico si trova: α ( η max) ed in tali condizioni il rendimento (massimo) vale: fe cu, n 57.7% η MAX 0.577 400000 0.967 0.577 400000 + 0.577 000 + 4000 mentre il rendimento a carico nominale: η N 400000 0.96 400000 + 000 + 4000
UNVERSTÀ D ROMA LA SAENZA FACOLTÀ D NGEGNERA - CORSO D LAUREA N NGEGNERA ENERGETCA DSCLNA D MACCHNE E CONVERTTOR D ENERGA ELETTRCA ROVA SCRTTA D ESONERO DEL 0 ARLE 009 Si consideri un trasformatore monofase con i seguenti dati di targa: potenza nominale 630 kva, tensioni nominali primarie e secondarie 0 kv e 380 V, frequenza 50 Hz. Dalle prove effettuate si ha: perdite a vuoto percentuali nella prova a vuoto p 0 % 0.75 %, corrente a vuoto i 0 %.75%, perdite nella prova di corto circuito p cc %, tensione di corto circuito v cc % 6 %. Calcolare: l rapporto spire[] 3 β δ 3 4 5 6 7 La resistenza rappresentativa delle perdite nel ferro [Ω] 3 La reattanza rappresentativa della corrente di magnetizzazione [Ω] 3 La resistenza rappresentativa delle perdite nel rame [Ω] 3 La reattanza rappresentativa della dispersione [Ω] 3 La corrente di cortocircuito pieno della macchina lato AT [A] 3 La corrente di cortocircuito pieno della macchina lato BT [A] 3 8 per un carico di 400 kw con cosϕ 0.8 rit., il rapporto di trasformazione che produce una variazione di tensione sul carico del 3 % rispetto alla tensione a vuoto nominale [ ] 9 Nelle condizioni 8, le perdite nel ferro [W] 3 0 Nelle condizioni 8, il rendimento convenzionale [%] 3 NB parametri circuitali delle domande -5 sono quelli equivalenti totali ; in altre parole, non è necessario calcolare le resistenze e le reattanze del primario e del secondario, ma le stesse grandezze equivalenti totali riferite al lato AT. cognome, nome mobile Email autorizzo/non autorizzo la trasmissione dei risultati via SMS/email autorizzo/non autorizzo la pubblicazione dei risultati sul sito www.ingelettrica.uniroma. it/santini/risultati scritti firma
SOLUZONE reliminarmente, si calcolano i valori numerici delle grandezze dalle quali derivare il circuito equivalente. Corrente nominale lato AT: n 630000 / 0000 3.5 A Corrente nominale lato BT: n 630000 / 380 657.9 A Corrente a vuoto (lato AT): 0.75% 3.5 0.55 A otenza a vuoto 0 : 0.75% 630000 475 W Tensione di corto circuito: V cc 6% 0000 00 V otenza dissipata nella prova di cto cto: cc : % 630000 600 W otenza apparente nella prova a vuoto: S 0 0000 0.55 kva otenza reattiva nella prova a vuoto: Q 0 Q S 0 0 0 9. 93kVAr otenza apparente nella prova di cto cto: S cc 3.5 * 00 37.8 kva otenza reattiva nella prova di cto cto: Qcc S cc cc 35. 64kVAr l rapporto spire è pari al rapporto tra le tensioni primarie e secondarie V 0000 k sp 5.63 V 380. La resistenza a vuoto è pari al rapporto tra la tensione primaria al quadrato e le perdite a vuoto. V R 0 0 0000 475 84656 Ω 3. La reattanza a vuoto è pari al rapporto tra la tensione primaria al quadrato e la potenza reattiva a vuoto. X 0 V Q0 0000 698 57736 Ω 4. La resistenza di cto cto è pari al rapporto tra la potenza dissipata nella prova di cto cto e la corrente nominale al quadrato. R cc cc n 600 99.5.69 Ω l valore di questa resistenza riferito al lato BT può essere ottenuto dividendo il valore riferito al lato AT per il quadrato del rapporto spire: R cc 4. 58mΩ
5. La reattanza di cto cto è pari al rapporto tra la potenza reattiva associata nella prova di cto cto e la corrente nominale al quadrato. X cc Q 35630 35.9 Ω cc n 3. 5 La stessa reattanza, riferita al lato primario, ha il valore X cc. 96mΩ 6. La corrente di corto circuito lato AT è pari al valore della corrente nominale diviso il valore della tensione di corto circuito: 7. n v % cc cc 3.5 0.06 55 A La corrente di corto circuito lato BT è pari al valore della corrente nominale diviso il valore della tensione percentuale di corto circuito: 8. 000 n cc 763.6A vcc % 0.06 Questo quesito è relativo alle seguenti considerazioni. A vuoto, la tensione secondaria V è pari a 380 V, essendo il rapporto spire pari a 5.63. A carico, questa tensione (che è la tensione alla quale è sottoposto il carico) tende a diminuire, a causa della caduta di tensione sull impedenza longitudinale. n generale, la variazione di tensione sul carico deve essere per quanto possibile contenuta, non importa qual è la condizione di carico. Ciò al fine di garantire un corretto servizio elettrico ed in definitiva la possibilità per l utente di approvvigionarsi della quantità di energia che desidera, compatibilmente con le condizioni contrattuali del servizio. Una soluzione possibile è la variazione (generalmente in aumento) della tensione V : portandola, ad esempio, a 0.5 o a kv. Questo provvedimento è di fatto impossibile, essendo la tensione primaria garantita dall ente distributore, che non ha in generale la possibilità di modificare la tensione di alimentazione (e comunque non ha certamente la possibilità di modificare la tensione ai capi di ogni singolo utilizzatore durante il normale esercizio). L unica soluzione è allora quella di modificare il rapporto spire, in generale diminuendolo (ad esempio, portandolo a 49 o a 48); in questo modo si ha a vuoto una tensione secondaria maggiore rispetto alle condizioni nominali; a carico, però, la tensione secondaria diminuisce e ritorna vicina al valore che garantisce il funzionamento ottimale dei dispositivi connessi appunto al secondario del trasformatore. È importante ricordare che la potenza assorbita da un utilizzatore dipende dal valore efficace della tensione. n generale, esistono delle relazioni tra tensione, corrente, potenza assorbita da un carico che non sono sempre facilmente identificabili, in quanto riguardano anche le condizioni termiche e meccaniche del carico stesso (si consideri una lampadina: se la tensione diminuisce, diminuisce anche la corrente, diminuisce la temperatura e quindi cambia la resistenza con una legge che non è agevole
identificare. Se le variazioni sono limitate, si può pensare di applicare delle leggi di variazione lineari per la resistenza; se invece si tratta di grandi variazioni, i fenomeni sono sicuramente non lineari, ed i modelli sono molto più complicati). er semplicità, si supporrà che le condizioni richieste siano proprio quelle indicate dalla domanda: si supporrà cioè che sia presente un carico che, quando la tensione è pari al 98 % della tensione nominale, assorbe una potenza attiva di 400 kw con un fattore di potenza pari a 0.8 in ritardo. Non sarà inutile ricordare che è prassi comune, nei calcoli del tipo di quello in esame, considerare non la tensione modificata (cioè la tensione pari al 98 % di quella nominale) ma la tensione nominale: in altri termini, considerare che il carico assorbe 400 kw con cos ϕ 0.8 rit. a tensione nominale, e calcolare la corrente di macchina da tali valori (in pratica, dalla tensione piena e non da quella affetta dalla caduta di tensione ). Come si vedrà, la corrente di carico calcolata a partire dalle ipotesi fatte sul carico è pari a 30.64 A; questo è il valore corretto. Se si considerasse la corrente secondaria pari al rapporto tra la potenza apparente e la tensione a vuoto, tale corrente sarebbe pari a 35.8 A. (in pratica, essendo la tensione cambiata del % in più, la corrente cambia del % in meno se non si considera alcuna variazione della potenza). Nessuna delle due impostazioni è sbagliata a-priori: l approccio corretto dipende solamente da quale è il vero comportamento del carico. n questo esercizio supporremo quindi che il carico sia in grado di assorbire comunque 400 kw, indipendentemente dal valore della tensione applicata. Nella presente condizione di carico, è conveniente fare riferimento al circuito equivalente come mostrato in Fig.. Fig. l circuito equivalente del trasformatore monofase in esame. er le grandezze numeriche esterne si ha: tensione secondaria: V 98% 380 V 37.4 V potenza attiva assorbita dal carico 400 kw potenza apparente assorbita dal carico: S 400 500kVA cosϕ 0.8 potenza reattiva assorbita dal carico Q S sinϕ 500.0 0.6 300. 0kVAr S corrente assorbita dal carico: 500000 34. 6A V 37.7 Dal punto di vista del diagramma vettoriale, è possibile prendere la tensione ai morsetti del secondario come riferimento, quindi come fasore con parte reale positiva e con parte immaginaria nulla. Si porrà quindi V V + j0 37.4 + j0 (Fig. ).
Fig. la tensione secondaria viene assunta come grandezza di riferimento.. La corrente secondaria può essere tracciata nello stesso piano delle fasi ma con scale differenti, in quanto (come ovvio) si tratta di correnti e non di tensioni. n questo piano, il fasore rappresentativo della forma con quello rappresentativo della V un angolo ϕ in ritardo (cioé negativo: il carico è quindi di tipo resistivo-induttivo) il cui coseno è pari a 0.8; pertanto tale angolo ha valore numerico di circa 36.9 gradi sessagesimali. n forma fasoriale, la corrente ha valore: 34.6cosϕ j34.6sin ϕ 074. j805.56[ A] Fig. 3 La tensione e la corrente sul carico 8. Calcolo della cdt con metodo esatto La tensione ai capi della impedenza di corto circuito è pari a: VZ Z Rcc + jx cc La tensione ai capi del trasformatore ideale (il relativo diagramma vettoriale è mostrato in Fig. 4) sarà quindi pari a: VT V + Rcc + jx cc Fig. 4 l diagramma vettoriale completo del circuito secondario del trasformatore. Se si effettua il calcolo esatto, si ha che la V T vale: V T 37.4 + 0.00458 (074. j805.56) + j0.096 (074. j805.56) 387.76 + j0.3
l modulo della tensione ai capi del trasformatore ideale è quindi pari a 387.89 V; poiché la tensione ai capi del primario è pari comunque alla tensione di rete, il rapporto di trasformazione necessario a sostenere il carico nelle condizioni desiderate è pari a 5,56, con una variazione del.07 % rispetto al valore nominale pari a 5.63. 8. Calcolo della cdt con metodo approssimato oiché l angolo tra le tensioni V e V T è molto piccolo, si può ritenere che questi due fasori siano di fatto sovrapposti, e quindi che anche il fasore differenza tra i due sia parallelo ad entrambi. er il modulo di questo fasore si ha : VT V + Rcc cosϕ + X cc sinϕ Di conseguenza, moltiplicando e dividendo il secondo ed il terzo termine a secondo membro per V si ottiene: R X Q V V cc cc T + + V V 0.00458 400000 0.096 300000 37.4 + + 37.4 + 4.9 + 0.44 387.76V 37.4 37.4 Come si vede, la differenza con il calcolo esatto è molto piccola (i due valori differiscono di meno dello 0. %. 9. Considerando il tipo di circuito equivalente utilizzato, in qualsiasi condizioni di carico le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato del modulo della tensione V (oltre che, ovviamente, al quadrato della frequenza) oiché per ipotesi la V non cambia, le perdite nel ferro sono costanti e valgono nella condizione di carico 8. (ed in ogni altra condizione) 475 W. 0. La potenza attiva erogata al carico è di 400 kw. La potenza dissipata sulla resistenza longitudinale è pari alla potenza perduta nel rame: cu 0.00458 34.6 855. 8W Come stabilito al punto 9., la potenza perduta nel ferro è pari a quella misurata nella prova a vuoto. l rendimento quindi vale: 400000 η out 0.968 in 400000 + 855.8 + 475 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------