Modelli per la distribuzione del reddito Obiettivo trovare (semplici) funzioni matematiche che generino distribuzioni di frequenza che si adattino bene alle distribuzioni di reddito osservate e che abbiano un fondamento logico Motivazioni Studiare le caratteristiche, le proprietà della distribuzione del reddito nella popolazione sulla base di dati osservati Confrontare le stime della distribuzione del reddito relative a periodi di tempo(in genere anni) diversi, al fine di studiare gli eventuali cambiamenti intervenuti nel tempo Individuare eventuali sottopopolazioni omogenee
Elementi di base del problema Si consideri una popolazione, sulla quale si osserva un carattere descritto tramite una funzione di densità f, che supponiamo incognita. Sia poi F la famiglia di possibili funzioni di densità a cui f appartiene. In altre parole, anche se l esatta forma della f è incognita, si conosce a priori che è un membro della famiglia F. Approccio parametrico: si assume di conoscere anche la forma della funzione di densità f, a meno di un numero finito di parametri incogniti. Approccio non parametrico: non si impone a priori la forma della funzione f ma si cerca di trarre dai dati empirici indicazioni sulle caratteristiche di struttura della distribuzione dei redditi, quali la forma, la presenza di più mode, il numero di tali mode, etc..
Modello di Pareto (1896) Modelli parametrici Obiettivo: dimostrare che la diseguaglianza della distribuzione dei redditi è un fenomeno naturale Nasce dalla osservazione empirica che nelle distribuzioni di reddito in genere l elasticità della funzione G(x)=1-F(x) (frequenze retrocumulate: frazione degli individui che hanno un reddito superiore a x, N(x), sul totale degli individui, N) rispetto a x risulta all incirca costante(e ovviamente negativa). La funzione G(x) può allora essere espressa dall iperbole: ossia G(x)=Kx -α logg(x) = logk- αlogx
DatocheNnondipendedax,siha: Per K>0 e α>1, il numero di individui con un redditosuperioreaxèalloraparia: N( x) = K α x Ipotizzando che non vi siano redditi nulli e quindi sia possibile definire una soglia h<x min, il numero complessivo degli individui nella popolazione è K N = h α
Il numero dei percettori con un reddito compresotraxe x,n(x+ x),saràparia: n(x+ x)= N(x)-N(x+ x)=-[n(x+ x)-n(x)] Per un incremento infinitesimo di reddito dx, si ottiene: da cui:
La funzione di ripartizione F(x) indica la frequenza relativa dei percettori con un reddito inferiore a x, ossia mentrelafunzionedidensitàf(x)èparia:
La funzione di densità di Pareto presenta le seguenti caratteristiche: f(x) è decrescente per x>h (al crescere del livello di reddito diminuisce il numero dei redditieri che percepiscono tale livello di reddito). Ne deriva che la distribuzione dei redditi è zeromodale (quindi valida empiricamente solo per i redditi alti); f(x) decresce più velocemente al crescere di α. α è un indice descrittivo della diseguaglianza della distribuzione
Dal punto di vista empirico, il modello di distribuzione di Pareto appare particolarmente adatto per descrivere i livelli elevati di reddito, ossia la coda destra della sua distribuzione. In realtà, negli studi sulla diseguaglianza, appare più rilevante l analisi della coda sinistra. Secondo Pareto, al crescere del livello del reddito diminuiva il grado di diseguaglianza, conclusione rovesciata dalle analisi empiriche di Gini, l ideatore di quello che ancora oggi è il più diffuso indice di diseguaglianza a livello internazionale, il Rapporto di concentrazione.
La distribuzione lognormaleè unimodale, asimmetrica a destra, con media e varianza definite da: = = + = 2 +2-2 +
Il modello log-normale si collega alla «legge dell effetto proporzionale». L ipotesi dibaseècheilredditoxsimodificaper l effetto di moltissime cause indipendenti, ognuna delle quali produce un effetto molto piccolo rispetto all effetto totale, e la variazione dx è proporzionale al livello x. Sotto questa ipotesi dx/x=dlog(x) si può considerare come un errore casuale e quindi si distribuisce normalmente.
La ricerca di nuovi modelli analitici dovrebbe rispondere ai seguenti requisiti: 1. esistenza di fondamenti teorici (assunzioni di natura logico-empirica); 2. convergenza verso la distribuzione di Pareto (per i livelli medio-alti di reddito); 3. significato economico dei parametri; 4. buon adattamento per l intero dominio di esistenza dei valori di reddito; 5. buon adattamento rispetto a distribuzioni sia unimodali sia zeromodali; 6. buon adattamento rispetto a distribuzioni che presentano un livello minimo positivo e non predeterminato di reddito(es. reddito di cittadinanza); 7. rispetto del principio di parsimonia
Il modello Singh-Maddala Il modello di Singh-Maddala, si basa sull ipotesi che l elasticità della funzione G(x) (frequenze retro cumulate) rispetto a x, cresca all aumentare dei livelli di reddito, per poi stabilizzarsi. Infatti l elasticità rappresenta la difficoltà di raggiungere livelli più elevati di reddito: è sensato assumere che sia diversa a seconda del livello del reddito. Il modello ha la seguente forma: F( x) = 1 G( x) = 1 (1 + ax ) I parametri (a,b,c) possono essere stimati con la regressione non lineare, minimizzando la somma dei quadrati degli scarti tra i valori osservati G(x) e i corrispondenti valori stimati. b c 14
Albero delle distribuzioni Fonte: Dastrup et al.(2007), Journal of Economic Inequality 15