Istituzioni di Matematiche Modulo A (ST) V foglio di esercizi ESERCIZIO. Siano f(t) = t t + per ogni t R ed F una primitiva di f. Se F () =, si calcoli F (). Le primitive di f(t) sono tutte della forma (t t + )dt = t t + t + c al variare di c tra i numeri reali. Imponendo la condizione F () =, si ottiene c =, quindi l unica primitiva che soddisfi alla condizione F () = è F (t) = t t + t +. Si ha quindi F () = 6 4 + + =. ESERCIZIO. Si calcolino (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 5 6 4 d; d; ( + ) / d; ( ) d; d; arctg + d; e d; (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) π/ π/4 e e d; cos sin d; log d; e e / π/4 / log d; d; sin + cos d; 4 d; (a). Una primitiva di è, e quindi d = [ ] = + =.
(b). Con la sostituzione t =, si trova dt = d; quindi l integrale proposto diventa t d = dt = t + c = ( ) + c. Alternativa. Ponendo y =, si trova che = y e d = y dy; quindi l integrale proposto diventa y dy = y + c, ovvero Applicando la formula di Barrow, si conclude che 5 d = [ d = ( ) + c. ( ) ] 5 = 4. (c). Con la sostituzione t = +, si trova dt = d; quindi l integrale proposto diventa d = + t dt = t + c = + + c. Alternativa. Ponendo y = +, si trova che = ( y ) e d = y dy; quindi l integrale proposto diventa y dy = y + c, ovvero Applicando la formula di Barrow, si conclude che 6 ( + ) / d = + d = + + c. [ ] 6 + = ( 9 ). (d). Si ha ( ) d = (4 4 + 4 )d = 4 4 + 5 5 + c e quindi, applicando la formula di Barrow, si conclude che (e). Si ha 4 4 d = ( ) d = [ 4 4 + ] 5 5 = 4 4 + 5 = 4 5. + 4 d = Ricordando che log è una primitiva di 4 ( ) + d = 4 ( + ) d. ed applicando la formula di Barrow, si conclude che d = [ + log ]4 = (8 + log ) (4 + log ) = 8 + log 4 = 4 + log.
(f ). Osserviamo che + è la derivata di arctg, e che arctg = π 4 ; quindi [ ] arctg + d = (arctg ) = π. (g). Osserviamo che è la derivata dell esponente, e quindi e d = [ ] e = ( ). e (h). Osserviamo che è la derivata dell argomento della radice, e quindi, facendo la sostituzione y =, dy = d si ricava d = y dy = [ y (i). Osserviamo che cos è la derivata di sin, e quindi, facendo la sostituzione y = sin, dy = cos d si ricava π/ π/4 cos d = sin / y / dy = ] =. [ y ] = ( ) /. (j). Osserviamo che è la derivata di log su tutta la semiretta (, + ), e quindi, facendo la sostituzione y = log, dy = d si ricava e log d = ydy = [ ] y =. (k). Osserviamo che è la derivata di log su tutta la semiretta (, + ), e quindi, facendo la sostituzione y = log, dy = d si ricava e e log d = dy = [ log y ] = log log = log. y (l). Osserviamo che è la derivata dell esponente, e quindi, facendo la sostituzione y =, dy = si ricava e / d = / e y dy = [e y ] / = e e. (m). Osserviamo che sin è la derivata di cos, e quindi, facendo la sostituzione y = cos, dt = sin d si ricava π/4 sin / + cos d = + y dy = [arctg y] / = π 4 arctg. (n). Osserviamo che è la derivata di, e quindi, facendo la sostituzione y =, dy = d si ricava / d = /4 [ ] /4 4 dy = y arcsin y = arcsin 4.
4 ESERCIZIO. Data la funzione per ogni R, si calcoli F (). F () = e t dt Poniamo G(u) = u e t dt Allora G (u) = e u per il teorema fondamentale del calcolo. A questo punto F () = G(), quindi applicando la derivazione di funzioni composte si ottiene F () = G () = e () = e 4 TABELLE al variare di c R. d = arctg() + c + ( + ) d = ( + ) + arctg() + c ( + ) d = 4 ( + ) + 8 ( + ) + arctg() + c 8 ( + ) 4 d = 6 ( + ) + 5 4 ( + ) + 5 6 ( + ) + 5 arctg() + c 6 ESERCIZIO 4. Calcolare ( )( + ) d ( + ) ( + ) d 4 + + 4 d Si ha ( )( + ) d = ( + ) 9 arctg() log + + log( + ) + c 5
( + ) ( + ) d = ( + ) 5 ( + ) + 9 arctg() log + + log( + ) + c 5 5 Osserviamo che Si ottiene 4 + + 4 d = 4 + + 4 = ( ) ( + + ) ) 7 ( + ) + arctg( + 49 5 log + 49 + 5 log( + + ) 98 + c 5 ESERCIZIO 5. Si calcolino (a) (b) (c) d; + d; d; (a). Con la sostituzione = sin t, si trova che d = cos t dt e t = arcsin ; osservo che varia in [, ] e faccio variare t in [ π, π ], e quindi = cos t. L integrale proposto diventa d = cos t cos t dt = cos t dt Ricordando che cos t dt = t + sin t cos t + c (questo si può ottenere utilizzando l integrazione per parti, ad esempio) si ottiene d = arcsin + + c al variare di c in R. (b). Con la sostituzione = sinh t, si trova che d = cosh t dt e t = log( + + ); osservo che in questo caso varia in R, t in R e + = + sinh t = cosh t = cosh t, in quanto cosh t = et +e t > per ogni t R. L integrale proposto diventa + d = cosh t cosh t dt = cosh t dt Ricordando che cosh t dt = t + sinh t cosh t + c
6 (questo si può ottenere utilizzando l integrazione per parti) si ottiene al variare di c in R. + d = + + log( + + ) + c (c). Osservo che in questo caso varia in (, ] [, + ). Consideriamo prima il caso ed utilizziamo la sostituzione = cosh t, con t. Si ha d = sinh t dt, t = log(+ ) e = cosh t = sinh t = sinh t, in quanto t e sinh t = et e t se t. L integrale proposto diventa d = sinh t sinh t dt = sinh t dt Ricordando che sinh t dt = sinh t cosh t t + c (questo si può ottenere utilizzando l integrazione per parti, oppure a partire da cosh t dt ricordando che sinh t = cosh t ) si ottiene al variare di c in R. d = log( + ) + c Ricordando che D log f() = f () f(), si ottiene d = log + + c al variare di c in R su tutto (, ] [, + ) (con la solita convenzione su c). In generale, se a R, a >, in integrali che coinvolgono a si può provare con la sostituzione a = sin t, t [ π, π ] a + si può provare con la sostituzione a = sinh t, t R a si può provare con la sostituzione a = cosh t, t (considerando prima a).