I Derivati I derivati sono strumenti il cui «valore» dipende dai «valori» di altre più fondamentali variabili sottostanti Esempi di derivati Contratti Forward (o Forwards) Contratti Futures (o Futures) (swaps) Coperti in un successivo corso Opzioni 1 Perché si Usano i Derivati Per proteggersi dai rischi Per «concretizzare un opinione» circa la futura evoluzione del «mercato» Per «bloccare» un profitto di arbitraggio Per «cambiare la natura» di una «passività» Es. da tasso fisso a variabile Per «cambiare la natura» di un «investimento» senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l acquisto di un altro 2
Contratti Forward I contratti forward sono «accordi» per acquistare o vendere un «attività» ad una «certa data futura», ad un «certo prezzo» «diversi» dai contratti spot nei quali ci si accorda per acquistare o vendere un attività «immediatamente» (o entro un breve periodo di tempo) 3 Esempi di Contratti Forward Accordi per «comprare» 5.000 once d oro a $400 per oncia tra 1 anno «vendere» 1.000.000 a $1,5 per sterlina tra 6 mesi «ottenere» un tasso d interesse del 4% su un deposito in dollari per un periodo di 3 mesi che inizia tra 6 mesi «vendere» 1.000.000 di barili di petrolio a $20 per barile tra 9 mesi 4
Come Funziona un Contratto Forward Il «contratto forward» è un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC) Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nullo Pertanto, non c è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulato Il contratto viene «liquidato a scadenza» 5 Prezzi e posizioni Il prezzo forward di un contratto è il prezzo di consegna che si applica ad un contratto concluso «adesso» può essere «diverso» per contratti con «diverse» scadenze La parte che ha deciso di comprare ha una posizione lunga La parte che ha deciso di vendere ha una posizione corta 6
Esempio 8 maggio 2000: una società entra in un contratto forward lungo per acquistare tra 90 giorni 1.000.000 a K=$1,6056 per sterlina 8 agosto 2000: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a ST = $1,6500 In base alle «condizioni» contrattuali, la società paga $1.605.600 e riceve 1.000.000 Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000 tempo 8 maggio 2000 8 agosto 2000 7 Posizione Lunga su un Forward Profitto E l esempio del lucido precedente 0 1,55 1,65 K= 1,6056 Posizione lunga (a) S T Nota: figura 1.1 p. 3 8
Posizione Corta su un Forward Profitto 0 K S T Posizione corta Nota: figura 1.1 p. 3 9 Operatori Hedgers: coprono una posizione Es. imprese industriali, a fronte di acquisti/vendite future Speculatori: creano una posizione I derivati riducono l impiego di capitale necessario Arbitraggisti: incrociano due posizioni sfruttando momentanee incoerenze nei prezzi Es. la stessa azione quota $1,6 a NY e 1 a Londra Il cambio $/ è 1,5 Acquisto a Londra e vendo a NY 10
Esempio di arbitraggio Si supponga che: il prezzo spot dell oro sia di $390 il prezzo forward a 1 anno dell oro sia di $425 il «tasso d interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo C è un opportunità di arbitraggio? 11 Esempio di arbitraggio Se il prezzo spot dell oro è S e il prezzo forward è F, allora, per un contratto con consegna dopo T anni, vale la relazione F = S(1 + r) T dove r è il tasso d interesse privo di rischio Nel nostro esempio T = 1 e quindi F = $390(1 + 0,05)=$409,5 E dunque possibile una strategia di cash and carry 12
Conseguenze dell arbitraggio Se vi sono possibilità di arbitraggio è possibile fare profitti illimitati senza rischio (free lunch) I prezzi si aggiusteranno in modo da chiudere le possibilità di arbitraggio: Es. la forte domanda di azioni a Londra farà salire i prezzi, la forte offerta a NY li farà scendere Es. la forte offerta di contratti forward sull oro farà scendere il prezzo da $425 a $409.5 Il prezzo di equilibrio su un contratto è il prezzo di non arbitraggio Con ragionamenti di non arbitraggio è quindi possibile ricavare i prezzi equi dei contratti derivati 13 Contratti Futures Simili ai forwards: i futures sono «accordi» per acquistare o vendere un «attività» ad una «certa data futura», ad un «certo prezzo» (il prezzo futures) Diversi dai forwards: i futures sono trattati in «borsa» Ogni operatore ha come controparte una cassa di compensazione e garanzia Vengono richiesto il deposito di un margine cauzionale a fronte di possibili perdite future 14
Esercizi consigliati 1.1 1.2 1.4 1.9 1.16 1.17 1.23 a pagina 13 del libro di Hull (seconda edizione italiana) 15 Pricing di forward e futures Iniziamo dal pricing dei forward Non c è effetto finanziario del margine E facile stabilire relazioni di non arbitraggio Dimostreremo che il prezzo di un future è vicino a quello del corrispondente contratto forward Passeremo ad occuparci dei contratti futures ma per prima cosa facciamo un ripasso sui regimi di capitalizzazione 16
Capitalizzazione composta e continua Se investo S al tasso R composto per n anni ottengo n S(1 + R) Rm S 1 + m mn (capitalizzazione composta annua) (composta m volte all anno) Se investo S al tasso RC continuo ottengo Se R c n 17 Ovvio, se uso lo stesso tasso ottengo montanti diversi Se investo 100 al tasso 12% composto per 2 anni ottengo 100(1 + 0,12) 0,12 100 1 + 2 2 125,44 4 126,25 (capitalizzazione composta annua) (composta m volte all anno) Mentre al tasso continuo ottengo: 100, 24 e 0 = 127,12 18
19 Se voglio ottenere uguali montanti devo calcolare tassi equivalenti Equivalenza tra composto e continuo: ( ) = = + = = + 1 1 1 log 1 m R m R m m C n R mn m C C C e m e m R m R m R Se m R S 20 Se voglio ottenere uguali montanti devo calcolare tassi equivalenti/2 Equivalenza tra composti con diversa periodicità: + = + = + 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 m m m m n m m m n m m R m R m R S m R S
Capitalizzazione composta e continua E dunque sempre possibile passare dal tasso composto al continuo preservando il montante finale Noi utilizzeremo il tasso continuo, ampiamente usato e utile quando si considerano variazioni del montante in unità di tempo molto piccole: dm ( t) dt M ( t) rt Se r = rt Se = r Nota: ho sostituito Rc con r, n con t, adottando la simbologia standard che ci seguirà d ora in poi. 21 Pricing di forward e futures: le ipotesi di lavoro Non esistono costi di transazione Tutti sono soggetti alla stessa aliquota fiscale Tassi attivi e passivi privi di rischio sono uguali tra loro, e uguali per tutti i soggetti sul mercato Tasso r sulle operazioni pronti contro termine, detto anche repo rate Le opportunità di arbitraggio vengono colte appena si presentano Sono ammesse vendite allo scoperto E sufficiente che queste ipotesi valgano per un sottoinsieme di grandi operatori che fanno i prezzi guidando il mercato 22
Tasso di Riporto Il tasso di riporto (repo rate) è il tasso d interesse rilevante per molti arbitraggisti I contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un istituzione finanziaria vende titoli spot ad un altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto La «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l «interesse» percepito dalla controparte Si tratta di contratti a basso rischio (i titoli fanno da garanzia) 23 Vendita allo Scoperto La vendita allo scoperto consiste nel vendere titoli che non si posseggono I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker e vengono venduti nel modo consueto Chi vende allo scoperto dovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestito deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli durante la vita del contratto 24
Pricing dei forward: terminologia t T Tempo in anni Prezzo del sottostante: S -> ST Prezzo forward: F -> ST Valore di un contratto forward: f 25 Terminologia/2 Prezzo forward: F -> ST Prezzo di consegna: K t Nasce un contratto K=F f=0 Stesso contratto F K f 0 Uguale al prezzo forward solo quando il contratto nasce (così ha valore nullo) T 26
Un forward su un titolo che non offre redditi Se r è il tasso a (T t) anni composto continuamente e S il prezzo spot del titolo, la relazione F = Ser(T t) rappresenta il prezzo forward di equilibrio Se F > Se r(t t) andrei lungo sul sottostante e corto sul forward Se F < Se r(t t) andrei corto sul sottostante (dopo essermi assicurato al possibilità di ricomprarlo a F, stando lungo sul future) e investirei il ricavato ottenendo a scadenza Ser(T t) 27 Più formalmente: confronto tra due portafogli Un forward lungo e un deposito f + Ke-r(T t) ST Il valore dei due portafogli sarà, certamente il medesimo Un unità di sottostante S ST Devono valere uguale anche ora 28
Più formalmente: confronto tra due portafogli S=f + Ke-r(T t) f = S - Ke-r(T t) Se voglio f=0: S = Ke-r(T t) Prezzo di consegna dei nuovi contratti future, dunque prezzo future giorno dopo giorno K = Ser(T t) 29 Esercizio 1 Viene concluso un contratto forward a 3 mesi su una merce che non comporta utili, né costi di stoccaggio. Il prezzo della merce oggi è S=$10 Il tasso di interesse composto continuamente è il 4% Qual è il prezzo di consegna equo? K = F = Se r( T t) = 10e 0,04 0,25 = 10,101 f Se già posseggo un forward lungo con prezzo di consegna $ 11, quanto vale il contratto? = S Ke r( T t) = 10 11e 0,04 0,25 = 0,8905 30
Un forward su un titolo che offre redditi noti (es. cedola) Vale la relazione F =(S I)er(T t) dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti Se fosse F >(S I)e r(t t) comprerei il sottostante indebitandomi per S-I (con I rimborso in parte il prestito); a scadenza pago rimborso ma incasso F Se fosse F <(S I)e r(t t) venderei allo scoperto il sottostante versando I al proprietario dei titoli ed investendo la differenza; a scadenza ricaverò (S I)e r(t t) e pagherò F per comprare i titoli che devo restituire. 31 Più formalmente: confronto tra due portafogli Un forward lungo e un deposito f + Ke-r(T t) ST Il valore dei due portafogli sarà, certamente il medesimo Un unità di sottostante e un debito di I S-I ST Devono valere uguale anche ora 32
Più formalmente: confronto tra due portafogli S-I=f + Ke-r(T t) f = S-I - Ke-r(T t) Prezzo di consegna dei nuovi contratti future, dunque prezzo future giorno dopo giorno Se voglio f=0: S-I = Ke-r(T t) K(=F)= (S-I)er(T t) 33 Esercizio 2 Viene concluso un contratto forward a 6 mesi su un titolo Il valore del titolo, oggi, è S=$10 Il tasso di interesse composto continuamente è il 4% Tra tre mesi, il possessore del titolo incasserà una cedola pari a 1 Qual è il prezzo di consegna equo? I = 1e 0.04 0.25 K = ( S I ) e 0.99 r( T t) 9.01e 0,04 0,5 9,192 34
Un forward su un titolo che offre un «Dividend Yield Noto» Si assume che l attività sottostante offra un reddito pari a qs t nel periodo t Si assume che l erogazione di questo dividend yield q avvenga nel continuo (come nella capitalizzazione continua ). Ipotesi realistica per divise e indici di borsa. Se Q è il prezzo di carico dell azione, il valore dell investimento aumenta, perché ogni istante vengono pagati dividendi pari a qqdt Di conseguenza (dq/q)/dt=q, dunque Q(T)= Q(t) e q(t-t) Vale la relazione F = Se (r q)(t t) 35 Più formalmente: confronto tra due portafogli Un forward lungo e un deposito f + Ke-r(T t) e -q(t t) unità di sottostante, con dividendi reinvestiti: [e -q(t t) ]S ST ST Il valore dei due portafogli sarà, certamente il medesimo Devono valere uguale anche ora 36
Più formalmente: confronto tra due portafogli e -q(t t) S=f + Ke-r(T t) f = e -q(t t) S - Ke-r(T t) Prezzo di consegna dei nuovi contratti future, dunque prezzo future giorno dopo giorno Se voglio f=0: e -q(t t) S = Ke-r(T t) K(=F)= Se (r-q)(t t) 37 Esercizio 3 Viene concluso un contratto forward a 4 mesi su un titolo Il valore del titolo, oggi, è S=$10 Il tasso di interesse composto continuamente è il 4% Il titolo paga un dividend yield continuo del 3% annuo Qual è il prezzo di consegna equo? 4 (0,04 0,03) ( r q)( T t) 12 K = Se 10e 10,03 38
Valore di un forward successivamente all emissione Ho in tasca un forward con prezzo di consegna K Oggi il prezzo forward equo è F, diverso da K Quanto vale il mio forward? f = ( F K) e r( T t) Valore del forward Prezzo di oggi (rende f=0) Beneficio futuro Prezzo a cui ho diritto io scontato ad oggi 39 Torniamo all esercizio 1 Prezzo di consegna equo, cioè prezzo forward corrente: F = Se r( T t) = 10e 0,04 0,25 = 10,101 Se il prezzo di consegna è K=$ 11, il contratto vale: f = S Ke r( T t) = 10 11e 0,04 0,25 = 0,8905 Infatti, con la formula appena derivata: f = ( F = 0,899e K) e 0,01 r( T t) = (10,101 11) e = 0,8905 0,04 0,25 = 40
Contratti Futures Disponibili per un ampia gamma di sottostanti Merci, valute, indici di borsa, titoli di stato, depositi Trattati in borsa Specificazione del contratto: «cosa» si può consegnare Dimensione del contratto, tipo di merce o di titoli «dove» si può consegnare Molto importante per le merci «quando» si può consegnare In genere in un arco di tempo (es. mese) a scelta del venditore. Il compratore è tenuto ad accettare 41 Margini di garanzia: un esempio Il 3 giugno 1996 viene assunta una posizione lunga su 2 contratti futures sull oro con scadenza a dicembre La dimensione del contratto è di 100 once Il prezzo futures a cui si entra nel contratto è di $400/oncia I contratti comportano un esborso finale di $80.000 Il deposito di garanzia è di soli $2.000 per contratto ($4.000 in totale) perché inizialmente il contratto vale zero Ma se il valore del contratto si fa significativamente negativo e scende sotto il margine di mantenimento (es. $1.500 per contratto, $3.000 in totale) scatta la margin call, la controparte è chiamata a ricostituire il deposito 42
Tutto il contratto minuto per minuto Cfr. anche tavola 2.1 p. 22 (questa è una versione semplificata) Profitto Profitto Saldo Prezzo (Perdita) (Perdita) Deposito Margin Data Futures Giorn. Cumul. Garanzia Call 400,00 4.000 3 giu. 96 397,00 (600) (600) 3.400-4 giu. 96 393,00 (800) (1.400) 2.600 + 1.400 = 4.000 5 giu. 96 387,00 (1.200) (2.600) 2.800 + 1.200 = 4.000 6 giu. 96 392,00 1.000 (1.600) 5.000 - Facoltà di prelevare dal deposito 43 Altri punti fondamentali I soci delle stanze di compensazione hanno margini di mantenimento pari all ammontare del deposito iniziale I futures vengono liquidati giornalmente Il rischio di credito è prossimo a zero La «chiusura» di una posizione su un contratto futures comporta la stipula di un contratto di segno opposto La maggior parte dei contratti futures viene chiusa «prima» della scadenza 44
Terminologia Open interest: numero complessivo dei contratti in essere è uguale al numero dei contratti lunghi o al numero dei contratti corti Prezzo di liquidazione: il prezzo rilevato immediatamente prima del segnale che determina la fine delle contrattazioni è usato per la procedura di marking to market Volume degli scambi: il numero dei contratti stipulati in un giorno 45 Domande Quando si stipula un «nuovo contratto» quali sono i possibili «effetti» sull open interest? Tizio e Caio aprono una nuova posizione: +1 Tizio aveva una posizione con* Caio, la chiude facendo un contratto di segno opposto con* Sempronio: 0 Tizio e Caio fanno un contratto, ognuno per chiudere una posizione: -1 Il volume degli scambi effettuati in una giornata può essere «maggiore» dell open interest a fine giornata? Sì, se ci sono molti contratti giornalieri (day trades) * In realtà ognuno dei due opera con la stanza di compensazione 46
Futures e Forwards Forwards Futures Contratti «privati» «Trattati in borsa» tra due controparti Contratti «non standardizzati» Contratti «standardizzati» In genere viene specificata Scelta tra «diverse» «una sola» data di consegna date di consegna Regolati alla «fine» del contratto Regolati «ogni giorno» In genere si verifica la «consegna» In genere vengono chiusi o il regolamento di un saldo finale prima della scadenza 47 Convergenza del prezzo futures verso il prezzo spot Prezzo futures Prezzo spot Periodi di consegna Prezzo spot Tempo Prezzo futures sopra al prezzo spot Diversamente comprerei la merce e consegnerei il future Prezzo futures Tempo Prezzo futures sotto al prezzo spot (b) Diversamente comprerei il future e consegnerei la merce 48
Coperture Lunghe e Corte Una copertura «lunga» mediante futures è appropriata quando si sa di dover acquistare un attività in futuro e si vuole «bloccare» il prezzo di acquisto Se l attività rincara, aumenta il valore del future che ho in tasca e il saldo tra i due effetti è (circa) nullo Una copertura «corta» mediante futures è appropriata quando si sa di dover vendere un attività in futuro e si vuole «bloccare» il prezzo di vendita Se l attività si svaluta, aumenta il valore del future che ho in tasca e il saldo tra i due effetti è circa nullo In entrambi i casi evito perdite e rinuncio a profitti 49 Rischio base La base è la differenza tra il prezzo «spot» e il prezzo «futures»: B t =S t -F t Quando l operazione di copertura verrà chiusa, la base potrebbe non essere nulla (rischio base) Il future può non essere ancora giunto a scadenza (dunque il prezzo non coincide con quello del sottostante) Soprattutto per le merci non conviene usare la scadenza esatta L hedger può non conoscere l esatta data di chiusura Il sottostante può non essere esattamente lo stesso Es. future sul petrolio per coprire combustibile 50
Rischio base: esempi Ciccio deve vendere petrolio e vuole bloccare il prezzo future attuale F1. Vende future il petrolio. Tra due mesi: Vende petrolio e incassa S2 Sul future può guadagnare F1-F2 Es. se il prezzo è sceso, lui l ha bloccato più alto. Il suo payoff totale è: S2+F1-F2=F1+b2=F1+base 51 Rischio base: esempi Nonna Papera deve acquistare carburante per il trattore tra due mesi, e vuole bloccare il prezzo future attuale, F1. Compra un future sul petrolio. Tra due mesi Acquista carburante e paga S2 Sul future, può perdere F1-F2 Es. se il prezzo è sceso, lei l ha bloccato più alto! Il suo payoff totale è: S2+F1-F2=F1+b2=F1+base Più precisamente, considerato che il carburante (prezzo S) non costa come il petrolio (prezzo S*), il payoff è: F1+b2=F1+(S2-F2)=F1+(S*2-F2)+(S2-S*2) Effetto scadenza Effetto del sottostante 52
Rapporto di Copertura E la quota di esposizione coperta con contratti futures Non necessariamente è pari a 100% Consideriamo la variazione di valore della posizione di un hedger lungo sul sottostante e corto sul future ( Ciccio ): W = S - h F Calcoliamone la varianza: Var( W) = Var( S) + h 2 Var( F) - 2hCov( S, F)) = σ S2 + h 2 σ F2-2h ρσ S σ F L atteggiamento naturale per un hedger è minimizzare questa varianza 53 Rapporto di Copertura a varianza minima Var( W) = h 2 σ F2-2h ρσ S σ F + σ S 2 È una parabola convessa, nel semipiano positivo Esiste un valore di h che la rende minima Lo si ottiene annullando la derivata prima: 2h σ 2 F -2 ρσ S σ F =0 h =ρ σ σ F Per una copertura lunga W è l opposto, ma la formula della varianza rimane la stessa S Varianza h 54
Esempio Tra un mese Tizio dovrà comprare un kg d oro, e decide di coprirsi (copertura lunga) con un future Le variazioni mensili dei prezzo spot dell oro hanno varianza Var( S)=0,12, le variazioni mensili del prezzo future hanno varianza Var( F)=0,16, la correlazione tra le variazioni mensili è del 90% Il rapporto di copertura ottimale è: σ S h = ρ σ F 0,12 3 = 0,9 = 0,9 = 0,779 0,16 2 Tizio compra un future su (circa) 779 grammi d oro 55 Riaprire un operazione di copertura Spesso viene scelto un future con scadenza superiore al periodo di copertura, per evitare la consegna fisica Spesso viene scelto un future con scadenza più breve, perché è più liquido, o più conveniente Se il periodo di copertura eccede la scadenza del future prescelto è necessario concatenare diversi futures Ogni volta che passiamo da un contratto futures ad un altro siamo soggetti al rischio base Possiamo ridurre questo rischio scegliendo noi quando chiudere e riaprire la copertura 56
Riaprire un operazione di copertura: esempio Il 1/1/2000 la Canistracci s.r.l. vuole una copertura lunga sul rame, in vista di un acquisto il 31/10/2000 Decide di usare un future semestrale, ad esempio perché l annuale non esiste, o non è abbastanza liquido Quindi la Canistracci s.r.l. 1. Compra future con scadenza giugno 2000 2. Nel giugno 2000 chiude la posizione e compra un future (sempre semestrale) con scadenza novembre 2000 3. Il 31/10/2000 chiude il secondo future. Non solo sub 3, ma anche sub 2 ha un rischio di base. 57 Riaprire un operazione di copertura: esempio Future 11/00 Future 6/00 Prezzo spot 1/1 12/6 31/10 F1(6/00)=-120 F2(6/00)=+130 F1(11/00)=-140 F2(11/00)=142 S2=-135 Payoff finale totale: F1+prima base+seconda base 120 + (140-130) + (135-142) = 123 58
Riaprire un operazione di copertura: altro modo Future 11/00 Future 6/00 Prezzo spot 1/1 12/6 31/10 F1(6/00)=-120 F2(6/00)=+130 F1(11/00)=-140 F2(11/00)=142 S2=-135 Payoff finale totale: S2+primo future+secondo future -135 + (-120+130) + (-140+142) = -123 59 Esercizi consigliati Regimi di interesse composto e continuo: 3.1, 3.8, 3.9, 3.10 Coperture con futures 2.7, 2.9, 2.15, 2.20, 2.21, 2.22, 2.24, 2.25 Costituzione e mantenimento dei margini 2.10, 2.12, 2.13, 2.14 60
Il prezzo future prevede quello spot? Dipende [1] Dalla natura del sottostante: Se è correlato con il mercato (beta positivo) tenerlo in portafoglio aumenta i rischi (per scambiarlo con il future pago volentieri un premio) Se contribuisce fortemente a diversificare i rischi (beta negativo) tenerlo in portafoglio riduce i rischi (per scambiarlo con il future voglio un premio) Formalmente, il tasso richiesto per investire in un sottostante è k = r + β ( rm r) (quindi è < o > di r a seconda del segno del suo beta) 61 Il prezzo future prevede quello spot? Dipende Ora consideriamo un signore che: Investe al tasso r un importo Fe -r(t-t) Compra un future su S (alla scadenza avrà esattamente il capitale F necessario per onorare il contratto) Il valore attuale del suo investimento è: Fe r( T t) + E( S) e k ( T t) dove per S abbiamo usato il tasso k appropriato Assumiamo che tutti i progetti di investimento su un mercato perfetto abbiano valore attuale nullo: Fe r( T t) = E( S) e k ( T t) 62
Il prezzo future prevede quello spot? Dipende Da cui: F = E( S) e ( r k )( T t) Il secondo fattore è: >1 se k<r, quindi beta<0 e il sottostante è uno scudo contro il rischio per cederlo contro un prezzo fisso voglio un premio F > E(S) <1 se k>r, quindi beta>0 e il sottostante accresce il rischio non diversificabile (me ne libero volentieri ) F < E(S) 63 Il prezzo future prevede quello spot? Dipende [2] Dall attitudine psicologica dei partecipanti al mercato. Secondo Keynes e Hicks: F < E(S T ) (deporto, o normal backwardation) se chi vende future è un hedger (e chi compra uno speculatore), quindi si accontenta di un guadagno minore, purché certo F > E(S T ) (riporto o contango) se chi vende future è uno speculatore e vuole un premio per partecipare all affare (premio che gli hedgers sono disposti a pagare) 64
Prezzi forward e prezzi futures In teoria, il prezzo futures dovrebbe essere quasi «uguale» al prezzo forward di un contratto che ha la «stessa» scadenza ed è scritto sulla «stessa» attività La principale differenza è dovuta al costo finanziario del margine immobilizzato presso la stanza di compensazione Tuttavia, il margine può essere versato in titoli fruttiferi, e ciò riduce lo scostamento tra i prezzi teorici dei due contratti Il prezzo teorico è il medesimo se: Il tasso d interesse è costante per tutte le scadenze Il tasso d interesse è una funzione nota del tempo In ogni caso è comodo pensare che i prezzi siano equivalenti (in questo corso lo faremo) 65 Prezzi forward e prezzi futures Il prezzo teorico NON è il medesimo se: Il tasso d interesse è variabile e varia insieme al sottostante Infatti, chi ha una posizione lunga sul future: Quando S aumenta, realizza un guadagno e riceve parte del deposito di garanzia, che può investire a tassi più alti Quando S diminuisce, realizza una perdita e deve ricostituire il margine indebitandosi, ma a tassi più bassi In pratica, ha un beneficio finanziario che il possessore di un contratto forward non ha, e che fa salire il valore del future Se la correlazione fosse negativa, il valore del future sarebbe più basso di quello del corrispondente forward Sono stati svolti numerosi confronti empirici tra prezzi forward e futures, ed in diversi casi non si sono trovate differenze statisticamente significative 66
Pricing dei futures Applicheremo le regole già derivate per i forward, e in particolare: F = Se (r q)(t t) Studieremo il prezzo dei futures su Indici di borsa Valute Merci (commodities) 67 Indici azionari Sono panieri di titoli azionari, scelti in base ad un criterio di rappresentatività, ad esempio Appartenenza ad un mercato o ad un settore Liquidità o capitalizzazione Il peso dei singoli titoli è di norma fisso nel breve termine Gli indici azionari di solito non considerano il reinvestimento dei dividendi sui singoli titoli che quindi Sono pagati in modo abbastanza graduale nel tempo Vengono persi per strada e assegnati ai risparmiatori possono quindi essere considerati alla stregua di titoli che offrono un dividend yield continuo 68
Indici azionari Se gli indici azionari offrono un dividend yield continuo, allora la relazione tra prezzo futures e prezzo spot è F = Se (r q)(t t) dove q è il dividend yield del paniere che è alla base dell indice Esempio: l indice S&P500 (500 titoli del NYSE) vale S=$300 ed i titoli dell indice pagano un dividend yield del 2% annuo composto continuamente. Se r=5%, quanto vale un future a 4 mesi? F = 300e (5% 2%). 4/12 = 303,02 69 Arbitraggi su Indici Se F > Se (r q)(t t) l arbitraggio comporta: l acquisto delle azioni sottostanti l indice la vendita del futures Se F < Se (r q)(t t) l arbitraggio comporta: la vendita delle azioni sottostanti l indice l acquisto del futures 70
Arbitraggi su indici/2 Affinché la formula sia valida è «importante» che l indice rappresenti un bene d investimento In altri termini, le variazioni dell indice devono corrispondere alle variazioni del «valore di un portafoglio negoziabile» Gli arbitraggi su indici comportano negoziazioni «simultanee» su futures e su diverse azioni Molto spesso è il computer che suggerisce le operazioni da effettuare, da cui il termine computer trading L indice Nikkei ( ) visto come un attività in dollari ($) non rappresenta un bene d investimento 71 Futures su indici con scadenze diverse Dalla formula per il pricing dei futures su indici F = Se (r q)(t t) Segue che, per due futures con scadenze diverse (diciamo: T e T+ t) prezzati entrambi oggi il prezzo è F(T) = Se (r q)(t t) F(T+ t) = Se (r q)(t+ t t) =Se (r q)(t t)+(r - q) t F(T+ t) = F(T) e (r q) t Cioè il prezzo, passando da una scadenza all altra, varia in ragione di (r-q) 72
Futures su indici con scadenze diverse Prezzi del future su S&P500 (esempio, tav. 3.2 p. 58) Giugno 526.65 Settembre 530.90 = 526.65 x 1.0081 = 526.65 x e 0.25x3.20% Dicembre 535.00 = 530.90 x 1.0077 = 530.90 x e 0.25x3.08% Marzo 539.30 = 535.00 x 1.0080 = 535.00 x e 0.25x3.20% r - q 3,1 3,2% 73 Evoluzione nel tempo del prezzo di un dato future Dalla formula per il pricing dei futures su indici F = Se (r q)(t t) Segue che, in un istante τ tale che t<τ<t il prezzo diventa F τ = S τ e (r q)(t τ) Se (r+x) è il rendimento del paniere di azioni nell indice (comprensivo dei guadagni in conto capitale e dei dividendi che vengono staccati dall indice) allora S τ = Se (r + x q)(τ t) e sostituendo, con un po di pazienza, si ottiene F τ = Fe x (τ t) 74
Evoluzione nel tempo del prezzo di un dato future La formula ora trovata (F τ = Fe x (τ t) ) dice che il prezzo di un future cresce in ragione x, cioè pari all extrarendimento dell indice rispetto al tasso risk-free r In pratica, per periodi di tempo brevi: F F F x t x t F Questa x è una grandezza molto simile a quella presente nell equazione fondamentale del CAPM: l extrarendimento di un portafoglio dipende dal suo beta e dall extra rendimento di mercato r Π r = β ( r m F r) β x β F 75 Utilizzo di questa relazione per finalità di copertura 1. Riordino la relazione precedente 2. Moltiplico per il valore del portafoglio r r Π Π F β r F βπ Π F F rπ Guadagno da una posizione lunga sul portafoglio Guadagno da una posizione corta su un certo numero di futures sull indice Guadagno al tasso risk-free (immunizzato) 76
Copertura mediante futures su indici La relazione precedente mi suggerisce quindi di andare corto su un numero di contratti futures pari a βπ F volte l indice. Ai fini pratici, possono servire βπ mf contratti, se ogni contratto riguarda m volte l indice (nota: Π è il valore del portafoglio, F è il valore del futures) 77 Copertura mediante futures su indici: esempio La Sarchiaponi Ltd. possiede titoli per un valore di un milione di dollari, con un beta, riferito al NYSE, di 0,9 Desidera coprirsi con un future sullo S&P, contratto che riguarda 500 volte l indice. Il prezzo future dell indice è, oggi, $280 Per proteggersi, deve vendere un numero di contratti future pari a: βπ mf 0,9 1.000.000 = 500 280 = 6,43 cioè sei contratti, arrotondando all intero più vicino. 78
Utilizzo della relazione per cambiare beta al portafoglio 1. Riordino la relazione precedente 2. Aggiungo al portafoglio uno certo n. di futures r Π + Π r Π = Π rπ + βπ F F * * ( β β ) Π β Π F = rπ + F F F Portafoglio di partenza più posizione future (lunga se β*>β, corta se viceversa) Guadagno simile a quello di un portafoglio con beta pari a β* 79 Futures su valute estere Una valuta estera, in fondo, è un titolo che offre un dividend yield continuo. E infatti possibile depositarla in banca, ottenendo un tasso di interesse r f che, in generale, è diverso da r Allora la relazione tra prezzo (cambio) futures e prezzo (cambio) spot è F = Se (r r f)(t t) 80
Futures su valute estere: esempio La relazione tra prezzo (cambio) futures e prezzo (cambio) spot è F = Se (r r f)(t t) Esempio: una sterlina vale 1,25 dollari, ed i tassi risk-free (composti continui) sono del 4% sul dollaro e del 3% sulla sterlina. Quanto vale un future a 2 mesi? F = 1,25e (4% 3%). 2/12 = 1.252 81 Più formalmente: confronto tra due portafogli Un future lungo e un deposito f + Ke-r(T t) ST Il valore dei due portafogli sarà, certamente il medesimo e -r f (T t) unità di valuta estera: e -r f (T t) S ST Devono valere uguale anche ora 82